自动控制原理简明教程第二版课后答案第七章习题答案

2 2 z −5.0335z+ 3 2 z +
0.0035+ 3.0067Kz+ 0.9598K = 0
(3.0067K − 5.0335)z+ 0.0035 + 0.9598K = 0
10
胡寿松自动控制原理习题解答第七章 电三刘晓峰制作
（2）G(z) = (1− z−1)Z
z−1)Z
K s2(0. 2s +1) 5K s2( s + 5)
系统特征方程：
z2 −1.0067z+ 0.0067 + 4.0067z+ 0.96 = z2 + 3z+ 0.9667 = 0 解方程得到 z1 =−2.6328 z2 =−0.3672 所以系统不稳定。
1
5z2 − 5.0335z+ 0.0035
=
5z2 −5.0335z+ 0.0035 系统特征方程：
（b）Z
s +2 2 s +5 5 z −ze−2T − 103 z −z e−5T
=Z
103 s +1 2 − 103 s +1 5
= 103
(z −(e e
T −−2T
z 2 G(z) = 103 )(−ze−−5eT −) 5T )
—10 试求图 7—56 闭环离散系统的脉冲传递函数 Φ (z)或输出 z 变换 G(z) 。 R(s) G1(s) T － － T G2(s) G3(s) (a) T
E*(s) =∑sin(ω nT)e−nsT
n=0
E(z) = z2 − 2zzsin cosω ω T T +1
1
（2）E(s) =
(s + a)(s +b)(s + c) e−at + + e−bt e−ct
e(t) =
(b − a)(c − a) (a −b)(c −b) (a −c)(b −c) =
(注，要求用朱利判据) (3)已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期 T =1s，开环传递函数
22.57 G(s) = s 2(s +1) 解： （1）D(z) = (z +1)(z + 0.5)(z + 2) = 0 由特征方程得到：z1 = −1 z2 =−0.5 z3 =−2 所以系统不稳定。
*
r( t)
G(s )
图 7-58 离散系统
9
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K G(s) = s(0.2s +1)
要求： (1)当 K = 5 时，分别在 z 域和 ω 域中分析系统的稳定性； (2)确定使系统稳定的 K 值范围。 解：系统开环脉冲传递函数 （1）G(z) = (1− z−1)Z
即： z2C(z) − 6zC(z) +8C(z) =
z z −1
z
1
z =
1
z
1
z
1 =
z 3 z −1 − 2z−2 + 6 z − 4 c*(t) =∑n∞=0
z −1 z2 − 6z +8
(z −1)(z − 2)(z − 4)
13 − 12 2n + 1 6 4n
δ (t − nT)
7-9 设开环离散系统如图 7—55 所示，试求开环脉冲传递函数 G(z) 。
Tz−1 （1）E(z) = (1− z −1)2
z2
（2）E(z) =
4
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(z − 0.8)(z − 0.1) Tz lim lim lim ) 解： （1） n→∞e(nT) = z→1(z −1)E(z) = z→1(z −1 (z − 1) 2 =∞
+
(a −c)(b −c)(z −e−cT )
7—2 试求下列函数的 z 变换： （1）e(t) = an （2）e(t) = t2e−3t （3）e(t) =
t3 !
（4）E(s) = s s
+ 1
2
1 −e−s （5）E(s) = s 2(s +1)
解： （1）e(t) = an
an z E(z) = z −1
（2）e(t) = t2e−3t
T 2ze−3T 2T 2ze−6T = + E(z) (z −e −3T )2 (z −e−3T )3
（3）e(t) =
t3 !
T3(z2 + 4z +1) E(z) = 6(z −1) 4
2
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（4）E(s) = s s +21 = 1s + s1 2
z Tz E(z) = z −1 + (z −1) 2
（5）E(s) = s 12(−se +−1s ) = s2(s1 +1) − s2(es−+s 1)
1 1 1 s2 − s + s +1
1
1
−s 1 s2 − s + s + 1
e
E(z) = F(z) − F(z)z−m Tz z z
F(z) = (z 1) 2 − z −1 + z −e−T m =1/T −
dz 7-7 已知差分方程为 c(k) − 4c(k +1) + c(k + 2) = 0 初始条件：c(0) = 0,c(1) =1。试用迭代法求输出序列 c(k),k =1,2,3,4。 解： 因为 c(k) − 4c(k +1) + c(k + 2) = 0 k = 0 时 c(0) − 4c(1) + c(2) = 0 所以 c(2) = 4c(1) − c(0) = 4 − 0 = 4 k = 1 时 c(1) − 4c(2) + c(3) = 0 所以 c(3) = 4c(2) − c(1) = 16 −1 = 15 k = 2 时 c(2) − 4c(3) + c(4) = 0 所以 c(4) = 4c(3) − c(2) = 60 − 4 = 56
(3) c(0) = c(1) =1,c(2) = 0
2 c(k + 2) + 5c(k +1) + 6c(k) = cosk
(4) π c(0) = c(1) = 0 c*(t + 2T) − 6c*(t +T)
+8c*(t) = r*(t) ,
解： （1）将 变为如下形式
r(t) =1(t),c*(t) = 0(t ≤ 0) c(k + 2) − 6c(k +1) + 8c(k) = r(k)
∞
e*(t) = −∑(2n + 3)δ (t − nT)
n=0
7-4 试求下列函数的脉冲序列 e*(t)：
z
（1）E(z) = (z +1)(3z2 + 1)
z （2）E(z) = (z −1)(z + 0.5) 2
z
解： （1）E(z) = (z +1)(3z 2 1) +
Leabharlann Baidu
7-5 试确定下列函数的终值：
7-3 试用部分分式法、幂级数法和反演积分法，求下列函数的 z 反变换：
10z
（1）E(z) =
(z −1)(z − 2) − 3+ z−1
（2）E(z) = 1− 2z−1 + z−2
10z 10z 10z 解： （1）E(z) = = − (z −1)(z − 2) (z − 2) (z −1)
= (1−
= (1−z
−1
) (zKTz−1)2 − 5(zK−(11)(−ze−−5Te)−z5T ) K5((z1−−ee−−55TT))
s2(0.K2s +1)
= (1− z−1)Z
s2(5sK+ 5)
1
− (1 z
− 1
)
(z5−Tz1)2
= − 5(z5−(11−)(ez−−2Te)−z3T ) (z5−T1) = ((1z−−ee−−55TT )) z(4(+z −e−15)(T )z+−1e−−56T e) −5T
−
4.0067z + 0.96 = z2 − 1.0067z + 0.0067
7
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G2(s) R(s) G1(s) － T Gh(s) G3(s) G4(s)
(b) D2(z) D1(z) T (c) 图 7-56 闭环离散系统 N(s) T Gh(s) G1(s) G2(s)
R(s) －
T T
G1(z)
解： （a）G12(z) =
E*(s) −c)
∑
n∞ = 0
(b −ea−)(anTc − a)
+
(a −eb−)(bnTc −b)
+
(a −ec−)(cnTb
e−nsT
z z
1
z
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E(z)
=
(b − a)(c − a)(z −e −aT )
+
(a −b)(c −b)(z −e−bT )
1+G1G2(z) G1(z) G(z) = G12(z) = 1 +G1G2(z) = G1(z) 1+G12(z)G3(z)
7—11 已知脉冲传递函数
1+ G1(z) G3(z) 1+G1G2(z)
1+G1G2(z) +G1(z)G3(z)
C(z) 0.53+ 0.1z−1 G(z) = R(z) = 1− 0.37z −1 其中 R(z) = z /(z −1)，试求 c(nT) 。
3
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e(nT) =10× (2n −1)
∞
e*(t) =∑10(2n −1)δ (t − nT)
n= 0
− 3+ z−1 z − 3z2 (2) E(z) = 1 2z −1 z−2 = z2 − 2z +1 − +
= −3− 5z−1 − 7z−2 − 9z−3 −11z−4 −13z−5 −
（2）D(z) = z4 + 0.2z3 + z2 + 0.36z + 0.8 = 0 列朱利阵列如下：
0.8 0.36 1 0.2 1
1 0.36
0.2 1 0.8
（3） 7—16 设离散系统如图 7-58 所示，采样周期 T =1s，Gh (s)为零阶保持器， e ( t) － T Gh( s ) c( t) e(t)
z2 （2）lime(nT) = lim(z −1)E(z) = lim(z −1) 0.8)(z − 0.1)
= 0 n→∞
z→1
z→1
(z −
7-6 已知 E(z) = Z[e(t)]，试证明下列关系式成立：
（1）Z[ane(t)] =
E a z
dE(z)
（2）Z[te(t)] =−Tz ，T 为采样周期。
c(nT) =∑∞ (1− 0.47× 0.37n )δ (t − nT)
n=0
7—15 试判断下列系统的稳定性： （1） 已知闭环离散系统的特征方程为
D(z) = (z +1)(z + 0.5)(z + 2) = 0
(2)已知闭环离散系统的特征方程为
D(z) = z4 + 0.2z3 + z2 + 0.36z + 0.8 = 0
令 k =−1 则
c(1) − 6c(0) +8c(−1) = r(−1) 即 c(1) = 6c(0) = 0
对差分方程的每一项进行变换，根据实数位移定理：
Z[c(k + 2)]= z2C(z) − z2c(0) − zc(1) = z2C(z) Z[c(k +1)]= zC(z) − zc(0) = zC(z) 所以：Z[c(k + 2) − 6c(k +1) +8c(k)]= Z[r(k)]
R(s)
6
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2 s+2 2 s+2 (b) 5 s+5
5 s+5 C(s)
C(s)
(a) R(s)
图 7-55 开环离散系统 解：Z
s +2 2 s +5 5
= z −2ez −2T = z −5ez−5T
Z
2z 5z
（a） G(z) = z − e −2T z − e−5T
C(z) = 0.53 + 0.1z1−1 R(z) = 01.53+ 0.1z−1 z = 0.53z + 0.1
解：
1− 0.37z − = − z −1 z − 0.37
− 0.37z−1 z −1
z2 −1.37z + 0.37 z
0.47z
8
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7—1 试根据定义
∞
E*(s) =∑e(nT)e−nsT
n=0
确定下列函数的 E*(s)和闭合形式的 E(z)： (1) e(t) = sinω t
1
(2) E(s) =
(s + a)(s +b)(s + c) 解： （1）e(t) = sinω t
∞
7-8 试用 z 变换法求解下列差分方程：
c*(t + 2T) − 6c*(t +T) +8c*(t) = r*(t) ,
5
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(1) r(t) =1(t),c*(t) = 0(t ≤ 0) c*(t + 2T) +
2c*(t +T) + c*(t) = r*(t) , (2) c(0) = c(T) = 0,r(nT) = n,(n = 0,1,2,) c(k + 3) + 6c(k + 2) +11c(k +1) + 6c(k) =0