2011年全国高中数学联赛安徽省预赛参考答案
2002~2014年全国高中数学联赛(安徽赛区)预赛试题及解答
4.
设 P1 , P2 是平面上两点， P2 k +1 是 P2 k 关于 P1 的对称点， P2 k + 2 是 P2 k +1 关于 P2 的对称点，
k ∈ N * ．若 P1 P2 = 1 ，则 P2013 P2014 =
． ．
5.
已知四面体 ABCD 的侧面展开图如下图所示，则其体积是
6. 7.
ABCD 一定是菱形，否则如图所示，可固定两对角
点（不妨设是 B, D ） ，过 A,C 分别做 BD 的平行线， 调整另外两点 A, C 的位置，使它们分别位于两平行 线上，则 ∆ABD 和 ∆CBD 的面积都不变，但 L 变大．从而 AB=AD, BC=CD.类似地， AB=BC, CD=DA. 即 ABCD 是菱形-----12 分
2 (3) aω + bω + c = 0 .将第（4）式乘 a 减去第（3）式乘 b 得 2 + ( + ) + = 0 ( 4 ) b a c a ω ω
1 1 12． （1）设 f ( x) = x 3 − x − 1 ，则 f ′( x) = 3 x 2 − 1 ． f ( x) 在 − ∞, − 单调增，在 x = − 3 3 处取得极大值 2 1 1 1 处取得极小值 , − 1 < 0 ，在 − 单调减，在 x = 3 3 3 3 3 2
P2 k + 2 = 2k ( P2 − P1 ) + P2 P2 k +1 = 2 P1 − P2 k 4． ． ⇒ P2 k + 2 = 2( P2 − P1 ) + P2 k ⇒ P2 k +1 = 2k ( P1 − P2 ) + P2 P2 k + 2 = 2 P2 − P2 k +1 从而， P2 k +1 P2 k + 2 = 4k P1 P2 ．特别， P2013 P2014 = 4024 ．
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)模拟卷(全国高中数学联赛一试)(解析版)
2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题1参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知函数()sin()f x x 是定义在R 上的偶函数，则cos(2) 的值为 ． 答案：0．解：由于()sin()f x x 是偶函数，故()2k kZ ，所以 cos(2)cos cos sin 02k k． 2．若关于z 的复系数一元二次方程2i 0()z z R 的一个根为11z =，则另一个根2z ．答案：i 12． 解：由题意得201i 1 ，解得i 12．因此12i 12i z z ，所以2i 12z ． 3．设数列{}n a 的通项公式为2[log ]n a n n ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则{}n a 的前32项和为 ．答案：631．解：事实上，22[log ][log ]n a n n n n ．而当1n 时，2[log ]0n ；当2,3n 时，2[log ]1n ；当4,5,6,7n 时，2[log ]2n ；当8,9,,15n 时，2[log ]3n ；当16,17,,31n 时，2[log ]4n ；当32n 时，2[log ]5n ，因此{}n a 的前32项和为321232102142831645631S ．4．已知向量,a b的最小值为 ．答案：2．解：设向量,a b的夹角为 ，其中(0,) ，则． 令254()((1,1))1x f x x x ，则222(2)(21)()(1)x x f x x ．因此()f x 在11,2 单调递减，1,12单调递增，所以()f x 的最小值为142f ．2，此时1cos 2 ． 5．在梯形ABCD 中，,2260A D C A B B ，M 为CD 边点Q （异于的中点，动点P 在BC 边上，ABP 与CMP 的外接圆交于点P ），则BQ 的最小值为 ．1．解：由熟知的结论，,,ABP CMP AME 的外接圆有唯一公共点，该公共点即为题中的点Q ，故点Q 在AME 的外接圆上，如图所示．而AME 是直角三角形，故其外接圆半径1R AD ．在ABD中，由余弦定理，BD ，所以BQ1，此时P 在线段BC 上，且CP ．6．已知双曲线 的两条渐近线互相垂直，过 的右焦点F 且斜率为3的直线与 交于,A B 两点，与 的渐近线交于,C D 两点．若||5AB ，则||CD ．答案：．7．已知某圆台的侧面是一个圆环被圆心角为90 的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2 ，则该圆台体积的取值范围是 ．答案：．解：设圆台上底面为圆1O ，半径为1R ，下底面为圆2O ，半径为2R ，圆台母线为l ．由圆台的侧面积为2 可得21(222)π2lR R ，故212l R R ①．由侧面展开是圆心角为90 的扇形所截得的扇环，可得 11122222l R l l R，故2144l R R ②．因此圆台的高21)h R R ，圆台的体积2222121212211(()3)V R R h R R R R R R ．结合①②可得222112R R．由于210R R，故21R R．令21x R R ，则12124124x R x x R x，进而可得3134V x x ．令31()34f x x x x ，则43()304f x x ．因此()f x在 上单调递增，故()f x f ．所以V ，即圆台体积的取值范围是 ． 8．用 表示11元集合{1,2,3,,10,2024}A 的三元子集的全体．对 中任意一个三元子集{,,}()T x y z x y z ，定义()m T y ，则()T m T的值为 ．答案：990．解：不妨将集合A 视为{}1,2,3,,10,11 （这是因为，将“2024”改成“11”不影响每个()()m T T 的值）．对每个T ，定义*{12|}T t t T ，则*T ，且*)12()(T m T m ． 由于当T 遍历 的所有三元子集时，*T 也遍历 的所有三元子集，所以**311()666C 990()()(2)T T T T m T m T m T m T ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）已知,,0a b c ，二次函数2()f x ax bx c 存在零点，求a b cb c a的最小值．解：令,b c m n a a ，则,0m n 且1a b c mn b c a m n．由题意得240b ac ，即24m n，故m ．考虑11()f m m m n，则()f m在) 上单调递增．所以()a b c f m n f n n b c a，当n m 时等号成立．因此a b c b c a． 10．（本题满分20分）在ABC 中，,30AB AC BAC ．在AB 边上取五等分点12345,,,,T T T T T （12345,,,,,,A T T T T T B 顺次排列）．记(1,2,3,4)k k BT C k ，求31141tan tan tan tan tan tan k k k A B 的值．解：在AB 延长线上任取一点D ，记05,A DBC B ，则所求式子即为410tan tan kk k．为方便，记05,T A T B ．作CH AB 于点H ，则tan (04)k k CH k T H（这里及以下，有向线段的方向约定为AB方向）．注意到,30AB AC BAC ，有111112tan tan 555k k k k k k AC T H T H T T ABCH CHCH CH ， 故115tan tan (tan tan (04))2k k k k k ．进而4411500055tan tan (ta )n tan (tan tan 22)k k k kk k575tan tan (252126211．（本题满分20分）已知A 是抛物线22(0)y px p 上一点（异于原点），斜率为1k 的直线1l 与抛物线恰有一个公共点A （1l 与x 轴不平行），斜率为2k 的直线2l 与抛物线交于,B C两点．若ABC 是正三角形，求12k k 的取值范围．解：设(,),(,),(,)A A B B C C A x y B x y C x y ．设直线):(A A AB y y t x x −=−，代入抛物线22y px 得2220A A y p y y p x t t ，故2B A p y y t． 设直线):(A A AC y y s x x ，同理可得2C A py y s． 由AB AC 知2222111)(1()B A C A y y y y t s． 不妨设,,A B C 是绕着ABC 的重心逆时针排列的，则由3BAC知s t ，代入化简得)2A A p t y t p y t．结合t 0t 时B A y y 与C A y y 同号可知A py ， 又22B C B C B C y y p k x x y y，进而121112B C AA y y k p k y t s y ，代入化简得1211k k0,t ． 因此121111,,00,227k k．当t时，易知AC x 轴，B 位于坐标原点，此时12122B C A y y k k y．而0,t 均不符合题意．k k 的取值范围是1(1,0)0,7．因此，12。
1高斯函数
第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x],即y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+nn 1-]=[nx]; 证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa +11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 .3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 .2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+[4y]+ 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字(见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 .2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= .3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+ 第一讲:高斯函数 3[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:对应的m 值 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . ③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = .②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 .2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .4 第一讲:高斯函数②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23] ③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.[练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数).6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 第一讲:高斯函数 5⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= . 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ]. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.8.不等问题:[例8]:(1981年美国数学奥林匹克试题)对正整数n 和一切实数x.求证:[nx]≥1][x +2]2[x +…+nnx ][. [解析]:为方便,记a n =1][x +2]2[x +…+nnx ][.用数学归纳法证明:①当n=1时,a 1=[x],[nx]=[x]⇒原不等式成立;②假设当k<n 时,原不等式均成立,即a 1≤[x],a 2≤[2x],…,a n-1≤[(n-1)x];注意到:a k -a k-1=kkx ][⇒ka k -ka k-1=[kx]⇒na n =a 1+(2a 2-a 1) 6 第一讲:高斯函数+(3a 3-2a 2)+…+[na n -(n-1)a n-1]=a 1+(2a 2-2a 1)+(3a 3-3a 2)+…+(na n -na n-1)+(a 1+a 2+…+a n-1)=[x]+[2x]+[3x]+…+[nx]+(a 1+a 2+…+a n-1)≤n[nx]⇒a n ≤[nx].[练习8]:1.(第10届地中海地区数学奥林匹克试题)设x 为大于1的实数.证明:(][}{x x x +-}{][x x x +)+(}{][x x x +-][}{x x x +)>29.2.(2005年国家集训队训试试题)求所有正整数m 、n,使得不等式[(m+n)α]+[(m+n)β]≥[m α]+[m β]+[n(α+β)]对任意实数α、β都成立.3.(2005年国家集训队选拔考试试题)设n 是任意给定的正整数,x 是正实数.证明:∑++-=nk x kx x k x 1])1)[1(][(≤n.第一讲:高斯函数 1第一讲:高斯函数高斯函数是数论中的重要函数,从小学、初中、高中,直到大学的各级、各类数学竞赛均有涉及,是数学竞赛极独特的内容.定义:[x]表示不超过实数x 的最大整数.则y=[x]称为高斯函数,也叫取整函数.由任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即x=[x]+α(0≤α<1),这里,[x]称为x 的整数部分,而α,即x-[x]称为x 的小数部分,记{x}=x-[x].函数性质:①高斯函数y=[x]的定义域是R,值域是Z;函数y={x}的定义域是R,值域是[0,1);②函数y=[x]与y=x-[x]与y={x}的图像分别为:③函数y=[x]是一个分段表达的不减的无界函数,即当x 1≤x 2时,有[x 1]≤[x 2];y={x}是一有界、周期为1的非单调函数;等式性质:①[n+x]=n+[x],{x+n}={x},其中x ∈R,n ∈Z;②[-x]=⎩⎨⎧∉--∈-)(1][)]([Z x x Z x x ;③若n ∈N +,x ∈R,则[n nx ][]=[x],特别地,[n x ][]=[n x],[nm x][]=[mn x ](证明:由x-1<[x]≤x<[x]⇒n[x]≤nx<n([x]+1)⇒[x]≤[n nx ][]>[x]+1⇒[n nx ][]=[x])不等性质:①若x ∈R,则x-1<[x]≤x<[x]+1;②若x,y ∈R,则[x+y]≥[x]+[y],且{x}+{y}≥{x+y},一般地,若x i ∈R,则[∑=ni i x 1]≥∑=ni i x 1][,特别地,[nx]≥n[x],[b na ]≥n[b a ];③若x,y ∈R +,则[xy]≥[x][y],特别地,][][y x ≥[yx],一般地,若x i ∈R +,则[∏=ni i x 1]≥∏=ni i x 1][,特别地,[x n ]≥[x]n ,[x]≥[n x ]n;厄米特恒等式:若x ∈R,n ∈N 6,则[x]+[x+n1]+[x+n2]+…+[x+nn 1-]=[nx];证明:引入辅助函数f(x)=[nx]-([x]+[x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-])⇒f(x+n 1)=[nx+1]-([x+n 1]+[x+n2]+…+[x+ n n 1-]+[x+n 1+n n 1-])=[nx]+1-([x+n 1]+[x+n 2]+…+[x+n n 1-]+[x]+1)=f(x)⇒f(x)是一个以n1为周期的周期函数,而当x ∈[0,n1]时,直接计算知f(x)=0.故对任意x ∈R,厄米特等式成立. 1.函数性质:[例1]:(2010年全国高中数学联赛天津预赛试题)若关于x 的函数f(x)=|x-[x+a]|存在最大值M(a),则正实数a 的取值范是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数).[解析]:设x+a=n+α,其中,n ∈Z,0≤α<1,则f(x)=|x-[x+a]|=|n+α-a-n|=|α-a|;①当0<a<21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|>|-a|⇒f(x)无最大值;②当a ≥21时,由-a ≤α-a<1-a,因|1-a|≤|-a|⇒f(x)有最大值.故a 的取值范是[21,+∞).[练习1]:2 第一讲:高斯函数1.(1994年全国高中数学联赛河北预赛试题)设f(x)=xa+11-21,且[m]表示不超过m 的最大整数,则[f(x)]+[f(-x)]的值域是 .解:因f(x)+f(-x)=(x a +11-21)+(x a -+11-21)=x a +11+xxa a +1-1=0⇒f(-x)=-f(x);设f(x)=k+α,其中,k ∈Z,0≤α<1,①若α=0,则f(x)=k ⇒-f(x)=-k ⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-k ⇒[f(x)]+[f(-x)]=0;②若α≠0,则f(x)=k+α⇒-f(x)=-k-α= -(k+1)+(1-α)⇒[f(x)]=k,[f(-x)]=-(k+1)⇒[f(x)]+[f(-x)]=-1⇒[f(x)]+[f(-x)]的值域是{-1,0}. 2.(2012年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设f(x)=⎩⎨⎧>-≤-)0)(1()0]([x x f x x x ,其中[x]表示不超过x 的最大整数,若f(x)=kx+k(k>0)有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是 . 解:令g(x)=kx+k,由图知g(2)≤1,g(3)>1⇒41<k ≤31. 3.(2008年全国高中数学联赛湖南预赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第k 棵树种植在点P k (x k ,y k )处,其中x 1=1,y 1=1,当k ≥2时,x k =x k-1+1-5[51-k ]+5[52-k ],y k =y k-1+[51-k ]-[52-k ].其中,[a]表示实数a 的整数部分,例如[206]=2,[0.6]=0.按此方案,第2008棵树种植点的坐标为 . 解:令f(k)=[51-k ]-[52-k ],则f(k+5)=[515-+k ]-[525-+k ]=[1+51-k ]-[1+52-k ]=[51-k ]-[52-k ]=f(k),故f(k)是周期为5的函数;计算可知:f(2)=0,f(3)=0,f(4)=0,f(5)=0,f(6)=1;由x k =x k-1+1-5f(k)⇒x k -x k-1=1-5f(k)⇒x 2008=x 1+(x 2- x 1)+(x 3-x 2)+…+(x 2008-x 2007)=x 1+2007-5[f(2)+f(3)+…+f(2008)]=x 1+2007-5[4001(f(2)+f(3)+…+f(6))+f(2)+f(3)]=3;同理可得y 2008=402.所以,2008棵树的种植点为(3,402).2.求值问题:[例2]:(1993年全国高中数学联赛试题)整数[310103193+]的末两位数是_______.[解析]:由[310103193+]=[3103)310(313393+-+]=[(1031)2-1031×3+32-3103313+]=(1031)2-1031×3+32-1=1031(1031-3)+8⇒末两位数是08.[练习2]:1.(2006年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:d+[2.6m-0.2]+y+ [4y ]+[4c]-2c 除以7的余数,其中,c 表示年的前两位数字(即世纪),y 表示年的后两位数字,d 表示日,m 表示月对应的数字 (见表). [x]表 示不于x 的最大整数.则2008年6月18日是星期 . 解:因c=20,y=8,d=18,m=4⇒d+[2.6m-0.2]+y+[4y ]+[4c]-2c=18+[10.2]+8+[2]+[5]-40=3≡3(mod7)⇒2008年6月18日是星期三.2.①(2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)以[x]表示不超过x 的最大整数,试确定[sin1]+[sin2]+[sin3]+ [sin4]+[sin5]的值. 解:因为0<1<2π,2π<2、3<π,π<4<23π,23π<5、6<2π⇒sin1、sin2、sin3∈(0,1),sin4、sin5∈(-1,0)⇒[sin1]=第一讲:高斯函数 3[sin2]=[sin3]=0,[sin4]=[sin5]=-1⇒[sin1]+[sin2]+[sin3]+[sin4]+[sin5]=-2.②(2011年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[sin1]+[cos2]+[tan3]+[sin4]+[cos5] +[tan6]= . 解:因为0<1<2π,2π<2<π,43π<3<π,π<4<23π,23π<5<2π,47π<6<2π⇒sin1∈(0,1),cos2∈(−1,0),tan3∈(−1, 0),sin4∈(−1,0),cos5∈(0,1),tan6∈(−1,0)⇒[sin1]+[cos 2]+[tan 3]+[sin 4]+[cos5]+[tan 6] =0+(-1)+(-1)+(-1) +0+(-1)=-4.3.①(2005年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,求集合{n|n=[20052k ],1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数. 解:当20052k <1,即k<44时,[20052k ]=0;当1≤20052k <2,即45≤k<63时,[20052k ]=1;当2≤20052k <3,即64≤k<77时,[20052k ]=2; 当3≤20052k <4,即78≤k<89时,[20052k ]=3;当4≤20052k <5,即90≤k<100时,[20052k ]=4;当5≤20052k <6,即100≤k<109时,月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对应的m 值111212345678910[20052k ]=5;当6≤20052k <7,即110≤k<118时,[20052k ]=6;当7≤20052k <8,即119≤k<126时,[20052k ]=7;…,集合{n|n=[20052k ], 1≤k ≤2004,k ∈N}的元素个数=1503.②(2010年全国高中数学联赛山西预赛试题)设a n =21⋅+32⋅+…+)1(+n n ,则[na n2]= . 解:由k<)1(+k k <k+21⇒2)1(+n n <a n <2)1(+n n +21n ⇒n+1<n a n 2<n+2⇒[n a n 2]=n+1. ③(2011年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数n,设x n 是关于x 的方程nx 3+2x-n=0的实数根,记a n =[(n+1)x n ](n= 2,3,…)([x]表示不超过x 的最大整数).则10051(a 2+a 3+…+a 2011)= . 解:设f(x)=nx 3+2x-n,易知,当n 为正整数时,f(x)为增函数;f(1)=2>0,且当n ≥2时,f(1+n n )=n(1+n n )3+21+n n -n=3)1(+n n (- n 2+n+1)<0⇒x n ∈(1+n n ,1)⇒n<(n+1)x n <n+1⇒a n =[(n+1)x n ]=n ⇒10051(a 2+a 3+…+a 2011)=2013. ④(2007年全国高中数学联赛四川预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列满足{a n }:a n =3n-2,若b n =[5na ],则b 1+b 2+…+b 2007= . 解:由b n =[5n a ]=[523-n ]⇒b 5k+r =[52)5(3-+r k ]=[3k+523-r ]=3k+[523-r ](r=0,1,2,3,4)⇒b 5k =3k-1,b 5k+1=b 5k+2=3k,b 5k+3=3k+1,b 5k+4=3k+2⇒b 5k-4+b 5k-3+b 5k-2+b 5k-1+b 5k =15k-10⇒b 1+b 2+…+b 2007=(b 1+b 2+…+b 5)+…+(b 401×5-4+b 401×5-3+b 401×5-2+b 401×5-1+b 401×5)+(b 401×5+1+b 401×5+2)=152)4011(401+-10×401+(3×401+3×401)=(15×201-4)401=1207411.3.求和问题:[例3]:(2012年全国高中数学联赛河南预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 22012]= .[解析]:我们来解决一般性问题:设a ∈N +,且a ≥2,求和[log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n].当a t≤k<a t+1时,[log a k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[a t,a t+1)中的正整数有(a-1)a t个.并设a m≤n<a m+1,n=a m+b(b ∈N +),则 [log a 1]+[log a 2]+[log a 3]+…+[log a n]=(a-1)[0×a 0+1×a+2×a 2+…+(m-1)×a m-1]+mb=(a-1){[1-a a (m-1)-2)1(-a a ]a m-1+ 4 第一讲:高斯函数2)1(-a a }+mb=[a(m-1)-1-a a ]a m-1+1-a a +m(b+1) 回到本题:a=2,由210<2012<211⇒m=10,由2012-210=2012-1024=988⇒b=988⇒和为(2×9-2)29+2+10×989=18084.[练习3]:1.①(2008年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]= .解:当2t ≤k<2t+1时,[log 2k]=t,t=0,1,2,…,且在区间[2t ,2t+1)中的正整数有2t 个.设f(x)=[log 2x],注意到29=512,所以, [log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[log 2500]=∑=5001)(k k f =f(1)+∑-=1222)(k k f +∑-=12232)(k k f +∑-=12243)(k k f +∑-=12254)(k k f +∑-=12265)(k k f +∑-=12276)(k k f +∑-=12287)(k k f +∑=50028)(k k f =0+1×21+2×22+3×23+4×24+5×25+6×26+7×27+8(28-11)=3498.②(2010年全国高中数学联赛贵州预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2010]= . 解:因为1≤k ≤9⇒[lgk]=0;10≤k ≤99⇒[lgk]=1;100≤k ≤999⇒[lgk]=2;1000≤k ≤2010⇒[lgk]=3;所以,[lg1]+ [lg2]+[lg3]+…+[lg2010]=60×1+900×2+1011×3=4923.③(2009年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)[x]表示不超过x 的最大整数,若[log 36]+[log 37]+[log 38]+…+ [log 3(n-1)]+[log 3n]=2009,试确定正整数n 的值.解:由[log 36]=[log 37]=[log 38]=1⇒[log 36]+[log 37]+[log 38]=3;[log 39]=[log 310]=…=[log 326]=2⇒[log 39]+[log 310]+ …+[log 326]=36;[log 327]=[log 328]=…=[log 380]=3⇒[log 327]+[log 328]+…+[log 380]=162;[log 381]=[log 382]=…= [log 3242]=4⇒[log 381]+[log 382]+…+[log 3242]=648;3+36+162+648=849;[log 3243]=[log 3244]=…=[log 3728]=5⇒ [log 3243]+[log 3244]+…+[log 3728]=2430⇒n=474.④(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛试题){x}表示不小于实数x 的最小整数,则{log 21}+{log 22}+…+{log 21991} = .解:当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n](n=20,21,…,210);当log 2n 为整数时,{log 2n}=[log 2n]+1;所以,{log 21}+{log 22}+…+{log 21991}=[log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11;由a=2,1024=210<1991<211⇒m=10,由1991-210=967⇒b=967⇒ [log 21]+[log 22]+…+[log 21991]+1991-11=[2×9-2]29+2+10×968+1991-11=19854.2.①(1990年第一届“希望杯”全国数学邀请赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则[1]+[2]+[3]+…+ [19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]的值是 .解:当k 为整数时,[k ]+[-k ]=0(k=12,22,…,19892),当k 不是整数时,设k =n+α(0<α<1),则[k ]=n,[-k ]=[-n-α]=[-(n+1)+(1-α)]=-(n+1)⇒[k ]+[-k ]=-1⇒[1]+[2]+[3]+…+[19901989⋅]+[-1]+[-2]+[-3]+…+[-19901989⋅]=-1989×1990+1989=-19892.②(2012年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,求满足方程[nlg2]+[nlg5]=2012的自然数n 的值.解:因为nlg2和nlg5是无理数,那么可以表示nlg2=m+a 其中m=[nlg2],a={nlg2}≠0,而nlg5=n-nlg2=n-m-a=(n-m-1)+(1- a)⇒[nlg5]=n-m-1⇒[nlg2]+[nlg5]=n-1=2012⇒n=2013.3.①(2012年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不超过x 的最大整数,则∑+=+201201]222012[k k k = . 解:由1222012++k k <1⇒2012+2k <2k+1⇒2k>2012⇒k>11⇒当k>11时,[1222012++k k ]=0;当k=0时,[1222012++k k ]=1006;当k=1时,[1222012++k k]=503;当k=2时,[1222012++k k ]=250;当k=3时,[1222012++k k ]=126;当k=4时,[1222012++k k ]=63;当k=5时,[1222012++k k ]=31;当k=6时,[1222012++k k ]=16;当k=7时,[1222012++k k ]=8;当k=8时,[1222012++k k ]=4;当k=9时,[1222012++k k ]=2;当k=10、第一讲:高斯函数 511时,[1222012++k k ]=1⇒∑+=+20121]222012[k k k =1006+503+250+126+63+31+16+8+4+2+1+1=2012.②(2012年全国高中数学联赛福建预赛试题)对正整数x,记m=[2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[k x 2],其中k 为满足2k≥x 的最小整数,符号[x]表示不超过x 的最大整数.x 与m 的差,即x-m 称为正整数x 的“亏损数”.(如x=100时,m=[2100]+[22100]+…+ [72100]=97,x-m=3,因此,数100的“亏损数”为3).则“亏损数”为9的最小正整数x 为________.解:设下x=a n ×2n+a n-1×2n-1+…+a 2×22+a 1×21+a 0×20,其中a i ∈{0,1}(i=0,1,2,…,n),则x-2[2x ]=a 0;[2x ]-2[22x]=a 1; [22x ]-2[32x ]=a 2,…,[nx 2]-2[12+n x ]=a n ⇒a 0+a 1+a 2+…+a n =(x-2[2x ])+([2x ]-2[22x ])+([22x ]-2[32x ])+…+([n x2]- 2[12+n x])=x-([2x ]+[22x ]+[32x ]+…+[12+n x ])=x-m=x 的“亏损数”⇒亏损数”为9的最小正整数x=1+2+22+…+28=511. 4.方程问题:[例4]:(1995年全国高中数学联赛试题)用[x]表示不大于实数x 的最大整数,方程lg 2x-[lgx]-2=0的实根个数是_____.[解析]:由x ≥[x],lg 2x-[lgx]-2=0⇒lg 2x-2=[lgx]≤lgx ⇒-1≤lgx ≤2⇒[lgx]=-1,0,1,2;当[lgx]=-1时,lg 2x=1⇒lgx=-1;当[lgx]=0时,lg 2x=2⇒lgx=±2,无解;当[lgx]=1时,lg 2x=3⇒lgx=3;当[lgx]=2时,lg 2x=4⇒lgx=2⇒实根个数是3.[练习4]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北预赛试题)设[x]表示不大于x 的最大整数,集合A={x|x 2-2[x]=3},B={x|81<2x<8},则A ∩B= .解:由81<2x <8⇒-3<x<3⇒[x]=-3,-2,-1,0,1,2;①若[x]≤-2,则x 2=2[x]+3<0,没有实数解;②若[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1; ③若[x]=0,则x 2=3,没有符合条件的解;④若[x]=1,则x 2=5,没有符合条件的解;⑤若[x]=2,则x 2=7⇒有一个符合条件的解x=7⇒ A ∩B={-1,7}.②(2008年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设集合A={x|x 2-[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x 的最大整数,则A ∩B= .解:因|x|<2⇒[x]的值可取-2,-1,0,1;当[x]=-2,则x 2=0无解;当[x]=-1,则x 2=1⇒x=-1;当[x]=0,则x 2=2无解;当[x]=1,则x 2=3⇒x=3⇒A ∩B={-1,3}.③(1999年全国高中数学联赛广西预赛试题)[tanx]表示不超过tan 的最大整数,则方程[tanx]=2cos 2x 的解为 . 解:由0≤2cos 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,cosx=0,tanx 无意义;当[tanx]=1时,cosx=±22, 注意:[tanx]=1⇒x=k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,cosx=1⇒sinx=0⇒tanx=0,矛盾. ④(2009年上海市高中数学竞赛试题)若[a]表示不超过实数a 的最大整数,则方程[tanx]=2sin 2x 的解是 . 解:由0≤2sin 2x ≤2⇒0≤[tanx]≤2⇒[tanx]=0,1,2;当[tanx]=0时,sinx=0,tanx=0⇒x=k π;当[tanx]=1时,sinx=±22,注意:[tanx]=1⇒x=2k π+4π(k ∈Z);当[tanx]=2时,sinx=1⇒cosx=0⇒tanx=0无意义.2.①(2006年全国高中数学联赛湖南预赛试题)对于实数x,当且仅当n ≤x<n+1(n ∈N +)时,规定[x]=n.则不等式4[x]2-36[x] +45<0的解集为 .6 第一讲:高斯函数解:由4[x]2-36[x]+45<0⇒23<[x]<215⇒2≤[x]≤7⇒2≤x<8. ②(2009年全国高中数学联赛山东预赛试题)对任意的x ∈R,[x]表示不大于x 的最大整数,则满足[|x 2-1|]=10的x 的集合是( )(A)(-23,-11) (B)[11,23] (C)(-23,-11]∪[11,23) (D)[-23,-11)∪(11,23]解:因[|x 2-1|]=10⇔10≤|x 2-1|<11⇔-11<x 2-1≤-10,或10≤x 2-1<11⇔x ∈(-23,-11]∪[11,23),选(C).③(2009年全国高中数学联赛福建预赛试题)方程x [x]=29的实数解是 (其中[x]表示不超过x 的最大整数). 解:显然x>0;①若x ≥3,则[x]≥3⇒x [x]≥27>29;②若0<x<2,则0≤[x]<2⇒x [x]<22=4<29;③若2≤x<3,则[x]=2⇒x 2=29 ⇒x223. 3.①(2011年全国高中数学联赛内蒙古预赛试题)方程x 2-8[x]+7=0的所有解为 .解:由x ≥[x]=872+x ⇒1≤x ≤7⇒[x]=1,2,3,4,5,6,7⇒x=1,33,41,7.②(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛试题)若[x]表示不超过x 的最大整数,且x 2-2008[x]+2007=0,则[x]的值是 .解:1,2005,2006,2007.③(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则方程[3x-465]-2x-1=0的解是 .解:设2x+1=k,则x=21-k ,3x-465=6389-k =k+6383-k ,于是原方程等价于[k+6383-k ]-k=0⇒[6383-k ]=0⇒0≤6383-k<1⇒338≤k<344⇒k=13,14⇒解是x=6,213. ④(2011年全国高中数学联赛四川预赛试题)设x 为实数,定义[x]为不小于x 的最小整数,例如[π]=4,[-π]=-3,关于实数x 的方程[3x+1]=2x-21的全部实根之和等于 . 解:设2x-21=k ∈Z,则x=412+k ,3x+1=k+1+432+k ,于是原方程等价于[432+k ]=-1,即-2<432+k ≤-1⇒-211<k ≤-27⇒k=-5,-4⇒x=-49,-47⇒所有实根之和为-4. 5.方程综合:[例5]:(1998年加拿大数学奥林匹克试题.2009年全国高中数学联赛安徽预赛试题)求方程[2x ]+[3x ]+[7x ]=x 的所有解([a]表示不超过实数a 的最大整数).[解析]:由方程知解x 是整数,设x=42p+q(p ∈Z,q ∈{0,1,…,41}),则(21p+[2q ])+(14p+[3q ])+(6p+[7q ])=42p+q ⇒[2q ]+[3q ]+[7q]=p+q ⇒q=0,p=0,x=0;q=1,p=-1,x=-41;q=2,p=-1,x=-40;q=3,p=-1,x=-39,…,因此,方程的解集为{0, -6,-l2,-14,-18,-20,-21,-24,-26,-27,-28,-30,-32,-33,-34,-35,-36,-38,-39,-40,-41,-44,-45,-46,-47,-49,-50,- 51,-52,-53,-55,-57,-58,-59,-61,-64,-65,-67,-71,-73,-79,-85}.第一讲:高斯函数 7 [练习5]:1.(2010年全国高中数学联赛福建预赛试题)将方程x 3-3[x]=4的实数解从小到大排列得x 1,x 2,…,x k ,则x 13+x 23+…+x k 3的值为 ([x]表示不超过x 的最大整数).解:由x-1<[x]≤x;①当x ≥3时,x 3-3[x]≥x 3-3x=x(x 2-3)≥3(32-3)=18;②当x ≤-3时,x 3-3[x]<x 3-3(x-1)=x(x 2-3)+3≤ -3[(-3)2-3]+3=-15;③当-3<x<3时,[x]=-3,-1,-1,0,1,2;若[x]=-3,则x 3=3[x]+4=-5,不合要求;若[x]=-2,则x 3=3[x]+4= -2⇒x=-32,合要求;若[x]=-1,则x 3=3[x]+4=-1,不合要求;若[x]=0,则x 3=3[x]+4=4,不合要求;若[x]=1,则x 3=3[x]+4= 7⇒x=37,合要求;若[x]=2,则x 3=3[x]+4=10⇒x=310,合要求⇒(-32)3+(37)3+(310)3=15.2.①(1989年上海市高中数学竞赛试题)设[x]表示x 的整数部分,{x}=x −[x],则方程[x 3]+[x 2]+[x]={x}−1的所有实数根是 .解:由[x 3]+[x 2]+[x]∈Z ⇒{x}−1∈Z ⇒{x}=0⇒x ∈Z ⇒x 3+x 2+x=-1⇒(x+1)(x 2+1)=0⇒x=-1.②(1991年上海市高中数学竞赛试题)求满足[x 2−2x]=[x]2−2[x]的一切实数x.其中[x]表示不超过x 的最大整数. 解:设[x]=n,x-[x]=α(0≤α<1),则x 2−2x=(n+α)2-2(n+α)=n 2-2n+α2+2(n-1)α,所以原方程等价于[n 2-2n+α2+2(n-1)α]=n 2-2n ⇔[α2+2(n-1)α]=0⇔0≤α2+2(n-1)α<1;当α=0时,不等式成立,此时,x=n;当α≠0时,由0≤α2+2(n-1)α<1⇔0<α<1)1(2+-n -(n-1)⇔0<x-n<1)1(2+-n -(n-1)⇔x ∈(n,1)1(2+-n +1)(n=1,2,…). ③(1993年上海市高中数学竞赛试题)自然数x 使得[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x7]=1993.则x=_____. 解:由[x]+[！x 3]+[！x 5]+[！x 7]=1993⇒[x]<1993⇒x<1994⇒[！x 7]=0⇒[x]+[！x 3]+[！x5]=1993⇒x>5！;设x=5！n+r(0≤r<5！=120)⇒(120n+r)+(20n+[6r ])+n=1993⇒141n+r+[6r ]=1993=14×141+19⇒n=14,r+[6r]=19⇒r=17⇒x=1697. 3.①(2007年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)求正整数n,使得[log 31]+[log 32]+[log 33]+[log 34]+…+[log 3n]=2007.其中[x]表示不超过x 的最大整数.解:因为当3k≤n<3k+1时,[log 3n]=k(k=0,1,2,…),且区间[3k,3k+1)内的正整数个数=3k+1-3k=2×3k,所以,S k =[log 31]+[log 32]+ [log 33]+[log 34]+…+[log 3(3k+1-1)]=2(0×30+1×31+2×32+…+k ×3k)=(23k-43)3k +43;令(23k-43)3k+43≤2007⇒(2k- 1)3k≤2675⇒k ≤5;S 5=1391,2007-1391=6×101⇒n=36+100=829. ②(2009年上海市TI 杯高二年级数学竞赛试题)对整数n>1,设x=1+21+…+n1,y=lg2+lg3+…+lgn.则满足[x]=[y]的所有整数n 构成的集合为 ([a]表示不超过实数a 的最大整数). 解:{5,6}.6.方程应用:[例6]:(1989年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为__________. [解析]:设该数为x,则(x-[x])x=[x]2⇒x=251+[x](x>0);由0<x-[x]<1⇒0<215-[x]<1⇒0<[x]<251+<2⇒[x]=1 ⇒x=251+. [练习6]:1.(2009年全国高中数学联赛江苏预赛试题)设a 是整数,0≤b<1.若a 2=2b(a+b),则b= .解:若a 为负整数,则a 2>0,2b(a+b)<0,不可能,故a ≥0;于是a 2=2b(a ＋b)<2(a+1)⇒a 2-2a-2<0⇒0≤a<1+3⇒a=0,1,8 第一讲:高斯函数2;a=0时,b=0;a=1时,2b 2+2b-1=0⇒b=213-;a=2时,b 2+2b-2=0⇒b=3-1. 注:本题也可以这样说:求实数x,使[x]2=2{x}x.2.①(2011年全国高中数学联赛甘肃预赛试题)设[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面上,由满足[x]2+[y]2=50的点所形成的图形的面积是 .解:由[x]2+[y]2=50⇒[x]=±1,[y]=±7;[x]=±5,[y]=±5;[x]=±7,[y]=±1.每组解有4种情况,每种情况下的面积为1⇒图形的面积是12.②(2011年北京市中学生数学竞赛高一年级初试试题)若[x]表示不超过x 的最大整数.求在平面直角坐标系xOy 中满足[x][y]=2011的所有点(x,y)组成的图形的面积.解:设[x]=a,[y]=b,即所有这样的点(x,y)组成的图形就是a ≤x<a+1,b ≤y<b+1界定的区域,它的面积为1,又2011是质数,所以满足[x][y]=2011的点(x,y)组成的图形是4个面积为1的区域,即[x]=1,[y]=2011;[x]=2011,[y]=1;[x]=−1,[y] =−2011;[x]=−2011,[y]=−1.这些图形的总面积是4.③(2012年全国高中数学联赛新疆预赛试题)[x]表示不超过实数x 的最大整数,则在平面直角坐标系xOy 中,满足[x][y]=2013的所有点(x,y)组成的图形面积为 .解:由[x][y]=2013=1×2013=3×671=11×183=33×61,共有16种情况,每种情形下的面积为1,所以,所有点(x,y)组成的图形面积为16.3.①(2009年全国高中数学联赛新疆预赛试题)数(3+8)2n (n ∈N +),且n ≥2009,设[x]为x 的整数部分,则[(3+8)2n]除以8的余数是( )(A)1 (B)3 (C)4 (D)7解:设a n =(3+8)2n +(3-8)2n =(17+122)n +(17-122)n ,则a 1=34,a 2=342-2=1154,a n+2=34a n+1-a n ⇒a 1≡2(m0d8),a 2≡2(m0d8),a 3≡34×2-2≡2(m0d8)⇒a n ≡2(m0d8);又因0<(3-8)2n <1⇒[(3+8)2n ]=a n -1⇒[(3+8)2n]≡1(m0d8).选(A).②(2009年全国高中数学联赛吉林预赛试题)(2+3)2010的小数点后一位数字是 .解:因(2+3)2010+(2-3)2010为整数,则(2+3)2010的小数部分为1-(2-3)2010,又因0<(2-3)2010<0.21005<(0.008)300,所以0.9<1-(2-3)2010<1,可知(2+3)2010的小数点后一位数字是9.7.等式问题:[例7]:(1987年第19届加拿大数学奥林匹克试题)对每一个正整数n,证明:[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[解析]:设正整数m 满足:m 2>4n+1;若m 为偶数,则m 2=4k>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+4>4n+3;若m 为奇数,则m 2=4k+1>4n+1⇒k>n ⇒k ≥n+1⇒m 2≥4n+5>4n+3;综上m 2>4n+3,即m>34+n ;特别地,取m=[14+n ]+1,满足:m 2>4n+1,则m>34+n⇒[14+n ]+1>34+n >14+n ≥[14+n ]⇒[34+n ]=[14+n ]⇒[14+n ]=[24+n ]=[34+n ];因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n >2n+1+2n=4n+1⇒n +1+n >14+n ⇒[n +1+n ]≥[14+n ];且(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+2(n+1)=4n+3⇒n +1+n <34+n ⇒[n +1+n ]<[34+n ]⇒[n +1+n ]=[14+n ]=[24+n ]=[34+n ].[练习7]:1.①(1981年第44届莫斯科数学奥林匹克试题)试问:对x>1,下面的等式[][x ]=[x ]一定能成立吗？解:设[x ]=n,由[x ]≤x <[x ]+1⇒n ≤x <n+1⇒n 2≤x <(n+1)2⇒n 2≤[x ]<(n+1)2⇒n ≤][x <n+1⇒n ≤[][x ]<n+1⇒[][x ]=n ⇒[][x ]=[x ]成立.②(1948年第8届普特南数学奥林匹克试题)如果n 为一正整数,试证:[n +1+n ]=[24+n ].第一讲:高斯函数 9解:因(n +1+n )2=2n+1+2)1(+n n <2n+1+[n+(n+1)]=4n+2⇒n +1+n <24+n ⇒[n +1+n ]≤[24+n ];若存在某个正整数n,使得[n +1+n ]≠[24+n ],则[n +1+n ]<[24+n ];设[24+n ]=k,则n +1+n <k ≤24+n⇒2n+1+2)1(+n n <k 2≤4n+2⇒2)1(+n n <k 2-(2n+1)≤2n+1⇒4n(n+1)<[k 2-(2n+1)]2≤4n(n+1)+1(因4n(n+1)与4n(n+1)+1是连续整数)⇒[k 2-(2n+1)]2=4n(n+1)+1⇒k 2=4n+2,但任意整数的平方被4除不余2,矛盾. 2.①(1991年第9届美国数学邀请赛试题)设r 是实数,且满足条件[r+10019]+[r+10020]+…+[r+10091]=546.求[100r]. 解:设[r]=n,r=n+α(0≤α<1),则[r+100i ]=[n+α+100i ]=n(当0<α+100i <1时),或n+1(当1≤α+100i<2时),设其中有 73-k 个n,k 个n+1,则(73-k)n+k(n+1)=546⇒n=7+7335k -⇒k=35,n=7⇒α+10056<1,α+10057≥1⇒10043≤α<10044⇒7+10043≤r<7+10044⇒743≤100r<744⇒[100r]=743. ②(1981年第13届加拿大数学奥林匹克试题)试证方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解. 解:设f(x)=[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x],则f(x)单调不减;由f(x)≤[(1+2+4+8+16+32)x]=[63x]≤63x ⇒x ≥6312345>195;f(196)=63×196=12348⇒x<196⇒x ∈(195,196);令t=x-195,则t ∈(0,1),且f(x)=[195+t]+[2(195+t)]+ [4(195+t)]+[8(195+t)]+[16(195+t)]+[32(195+t)]=63×195+[t]+[2t]+[4t]+[8t]+[16t]+[32t]<12285+0+1+3+7+15+31 =12342⇒方程[x]+[2x]+[4x]+[8x]+[16x]+[32x]=12354没有实数解.3.(1989年国家理科试验班入学考试试题)通项为a n =b[c n +]+d 的数列{a n }:1,3,3,3,5,5,5,5,5,…,其中每一个正奇数m 恰好连续出现m 次.上述b 、c 、d 是侍定的整数,求b+c+d 的值.解:由a n+1-a n =b([c n ++1]-[c n +]),由题知,a n+1-a n =0,或2⇒b([c n ++1]-[c n +])=0,或2;由c n ++1-c n +=cn c n ++++11≤1⇒c n +<c n ++1≤c n ++1⇒[c n +]<[c n ++1]≤[c n +]+1⇒[c n ++1]-[c n +]=0,或1;显然b ≠0,当b([c n ++1]-[c n +])=2时,b=2,[c n ++1]-[c n +]=1;由a 1=2[c +1]+d=1⇒c ≥-1,d=1-2[c +1];注意到2k a =2k-1⇒2[c k +2]+d=2k-1⇒2[c k +2]+1-2[c +1]=2k-1⇒[c k +2]-[c +1]=k-1对任意的k ∈N +恒。
2011年全国高中数学联赛湖北省预赛试题word版含参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。
直接将答案写在横线上。
）1．计算：2222sin 10sin 20sin 30sin 90︒+︒+︒++︒ ＝ 5 ．2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1221S =，则34910a a a a +++＝____7____． 3．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++= ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为1:2． 4．111(1)(1)(1)121231232011---+++++++ ＝6712011．5．满足方程28sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．6．已知函数2()2||2f x x x =-+的定义域为[,]a b （其中a b <），值域为[2,2]a b ，则符合条件的数组(,)a b 为1(,22+． 7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程20x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．8．已知关于x 的方程||x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是01k <≤．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数2()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.解 （1）因为函数1()2y f x =-是偶函数，所以二次函数2()f x x bx c =++的对称轴方程为12x =-，故1b =. ------------------------------------------4分又因为二次函数2()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =.因此，()f x 的解析式为2()11f x x x =++. ------------------------------------------8分（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，则2211m m n ++=，从而224(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.------------------------------------------12分 注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,2(21)1,n m n m ++=⎧⎨-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.------------------------------------------16分10．已知,R a b ∈，关于x 的方程432210x ax x bx ++++=有一个实根，求22a b +的最小值． 解 设r 为方程432210x ax x bx ++++=的实根，则有432210r ar r br ++++=，即 222(1)()0r r ar b +++=.显然0r ≠. ------------------------------------------5分 容易证明22224()()(1)ar b a b r +≤++，于是222224422222442424()(1)1(1)(21)[]11(1)(1)ar b r r r r a b r r r r r r r ++++++≥=-⋅==++++42244422424(1)4(1)414448(1)1r r r r r r r r r r +++++==++≥=++. ------------------------------------------15分 当且仅当4224141r r r r +=+且2a r b=时等号成立，此时21r =，a b =. 结合222(1)()0r r ar b +++=可求得2,1,a b r ==-⎧⎨=⎩或2,1.a b r ==⎧⎨=-⎩ 因此22a b +的最小值为8. ------------------------------------------20分11．已知数列{}n a 满足2*1121,(N )3n n n a a a a n n+==+∈.证明：对一切*N n ∈，有 （1）11n n a a +<<； （2）1124n a n>-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n+=+>（*n N ∈）. 所以，对一切*k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k ++=+<+，所以21111k k a a k +-<. --------------------5分 所以，当2n ≥时，111121122111111111111()3[1]3[1()](1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111n n n =-+-=>--， 所以1n a <. 又1113a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <. 因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. ------------------------------------------10分（2）显然111113424a =>=-. 由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以2121k k k a a k +>+，所以 2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++， 所以211111k k a a k +->+， ------------------------------------------15分 所以，当*n N ∈且2n ≥时，111121111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k kk ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 1213(1)n n n+=--=， 所以11112122(21)24n n a n n n >=->-++. ------------------------------------------20分。
2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64862AB C D２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角783660A B C D都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.解 答一、 选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 2.令)110lg(+=-xy ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .令t x=2，则题设方程为 )()(1t ft f -=-，即 )110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+tt，1)110)(110(=-+tt，2102=t， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x. 从而 1)2(l g l o g )2lg 21(log 22-==x . 答：A. 3. 注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以 6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，nn)1(103-≡（mod7）, 所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）. (2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n .所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200）（499500497498103104101102100+++++ 2200499500101102100999999÷⨯+++=）（B 60060200100999999++=B 60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C.4.易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故 ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， 3,2,1=k .从而b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba)]1()()1([111+---++=++b b a a b a k k ])([12121b b a a b a k k ⋅--⋅+=++ 233])([1+++=--+=k k k u b a b a ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故 b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ， ,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A.5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m .又因为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x =5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.）显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .6.显然 287cos 127cos 123cos 12++++++=A5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；287cos 127cos 123cos 12-++-+-=B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2+--=θθθ, 所以+-+-+-=⨯)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，+-+-+-=⨯)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B)5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，2B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i B iA )5.43sin 5.43(cos i ++∑=++=21)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cosi i i +-+-+=1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=)1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+==)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sini +. 因为2A 和2B是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====B A B A . 答：D.二、 填空题（满分54分，每小题9分）7.解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a cb <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.8.注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θc o s 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22c o s 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sinπn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n .答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8.10. 解：将向量1，，分别记为，，. 2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1， A ++-=1， BD +-=1， DB -+=1.)(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=22260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=222244332432222⨯+⨯+⨯+++==55， 故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33.11.令tx =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ， ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)1(,1)1(33)3(2696969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)4(),(3)(2696969y x x z x z z y z y y x所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 12.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=，215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得CO QO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ⨯⨯-⨯⨯=-==-∆-∆--223131ππ梯形平行四边形ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：13.解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m my y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x OB OA ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-.因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=---- 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线.14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ， 3,2,1=n . 故 ∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n n n x x x ，亦即 80244112006122122007∑=+=-n n x x x ，由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lg lg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .15.证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及 222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而 22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y xP.（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽省高中数学联赛初赛试题1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）． (A) g(x)=f −1(−x) (B) g(x)=f −1(x)(C) g(x)=−f −1(−x) (D) g(x)=−f −1(x)2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形3.下列４个数中与cos1∘+cos2∘+...+cos2008∘最接近的是（ ）．yAA 1B 1C 1D 1B CDABCD Q M O F E(A)−2008 (B)−1 (C)1 (D)2008 4.四面体的６个二面角中至多可能有（）个钝角．(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.000498...625498...625...，其循环节的长度为（）(A)30 (B)40 (C)50 (D)606.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有（）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 18817.化简多项式sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ).8.函数f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( )．9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正周期2008,则a_1=( ).10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为( )．11. 设点A(1,1),B,C在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC的方程为( )时，DeltaABC的面积最大$.13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.14.设a1≥1,an=[nan−1−−−−−√](n≥2)，其中[x]表示不超过x的最大整数.证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D，直线EF分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A,B,G三点共线．参考答案1.D2.D3.B4. B5.C6.D7.$C_n^m$8.$(-4/5sqrt10,sqrt10] 9.（错题）10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.200713. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$14. 思路：先用反证法证明存在$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N时，n-2<=a_n<=n+1$;$最后证n>=N时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$.这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m都在数列{a_n}中，结论正确.15. 利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F四点共圆，以A（或B）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分）1.答案：4⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cosϕ=，sin ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11yx e--=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-.4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=1=，故t =.5.答案：1提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11-++=+6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即 8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分） 9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnn n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n na -+=--.…（20分） 10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod 3240mod 5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod 31mod 543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod6710n n n +=⇔=或56mod67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤； （3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤. ……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 .4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n .5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE 于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ . 6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 . 7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应.若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.第5题第6题解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5.417. 6. 2π46r ar +. 7. zz zz ++1. 8.)3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-== ⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n n a n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k kn k nk a p k k n====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)f c f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=⎪⎩可知。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
9.若 是双曲线 上的点，则 的最小值是_________.
10. 如图，设正方体 的棱长为1，α为过直线 的平面，则α截该正方体的截面面积的取值范围是_________.
11.已知实数 满足： 的最大值是____.
12.设集合 则集合A中元素的个数是___________
二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)：
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
解：a2－a1= (y－x)，b4－b3= (y－x)， = ．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
解：( +2)2n+1－( －2)2n+1=2(C 2xn22n+1)．
1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 =．
2．( +2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为．
3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 =．
4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为．
⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)；
⑵kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)；
⑶knkn+1≥0，(n=1，2，3，……)．
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分）1．已知集合{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}M x x x x x N x x x x x = ---< ∈ = ---> ∈． R RM N = （ ） .(A) (2,3)(B) (3,4)(C) (4,5) (D) (5,6)2．已知3)n z i =, 若z 为实数，则最小的正整数n 的值为（ ） . (A) 3(B) 4(C) 5(D) 63．已知p ：,,,a b c d 成等比数列，q:ad bc =， 则p 是q 的（ ） . (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分且必要条件(D) 既不充分也不必要条件4．函数20.3()log (2)f x x x =+-的单调递增区间是（ ） . (A) (,2)-∞- (B) (,1)-∞ (C) (-2,1)(D) (1,) +∞5．已知,x y 均为正实数，则22x yx y x y+++的最大值为（ ） . (A) 2 (B)23 (C) 4(D)436．直线y=5与1y =-在区间40,πω⎡⎤⎢⎥⎦⎣上截曲线sin (0, 0)2y m x n m n ω=+>>所得的弦长相等且不为零，则下列描述正确的是（ ） .（A ）35,n=22m ≤（B ）3,2m n ≤=（C ）35,n=22m >（D ）3,2m n >=7．有6名同学咨询成绩．老师说：甲不是6人中成绩最好的，乙不是6人中成绩最差的，而且6人的成绩各不相同．那么他们6人的成绩不同的可能排序共有 （ ） .(A) 120种(B) 216 种(C) 384 种 (D) 504种8．若点P 在曲线21y x =--上,点Q 在曲线21x y =+上，则PQ 的最小值是（ ） .(A)(B)2(C) 4(D) 8 9．已知函数211()()612xf x x bx a =+++- (,a b 为常数，1a >)，且8(lglog 1000)8f =，则(lglg 2)f 的值是（ ） .(A) 8 (B) 4 (C) 4- (D) 8-10．在等差数列{}n a 中，若11101a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取最小正值时，n = （ ）.(A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20二、填空题（每小题6分，共24分）11．已知()cos 2|cos |f x x p x p =++，x ∈R ．记()f x 的最大值为()h p ，则()h p 的表达式为 .12．已知sin(sin )cos(cos )x x x x +=-，[]0,,x π∈ 则=x .13．设,A B 为抛物线22(0)y px p =>上相异两点，则22OA OB AB +- 的最小值为___________________．14．已知ABC ∆中，G 是重心，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且564035a G A b G B c G C ++=0 ，则B ∠=__________．三、解答题（本大题共5题，共66分） 15．(12分)不等式sin 2)sin()324cos()4a πθθπθ-+->---对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ恒成立．求实数a 的取值范围．16. （12分）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,O E F G 分别为11111,,,BD BB A D D C 的中点，且1AB =． 求四面体OEFG 的体积．17. （12分） 在平面直角坐标系中, 已知圆1C 与圆2C 相交于点P ，Q , 点P 的坐标A1为()3,2, 两圆半径的乘积为132．若圆1C 和2C 均与直线l : y kx =及x 轴相切，求直线l 的方程．18. （15分）甲乙两人进行某种游戏比赛，规定每一次胜者得1分，负者得0分；当其中一人的得分比另一人的多2分时即赢得这场游戏，比赛随之结束；同时规定比赛次数最多不超过20次，即经20次比赛，得分多者赢得这场游戏，得分相等为和局．已知每次比赛甲获胜的概率为p （01p <<），乙获胜的概率为1q p =-．假定各次比赛的结果是相互独立的，比赛经ξ次结束，求ξ的期望E ξ的变化范围．19. （15分） 集合{1,2,,2011},M ⊆ 若M 满足：其任意三个元素,,a b c ，均满足ab c ≠，则称M 具有性质P ，为方便起见，简记M ∈P ．具有性质P 的所含元素最多的集合称为最大集．试问具有性质P 的最大集共有多少个？并给出证明．解 答1．B. 提示：(,1)(3,5)M =-∞ ，(2,4)(6,)N =+∞ ．所以(3,4)M N = ．2．A. 提示：13)(()2n nnz i ==--，3n =是使z 为实数的最小的正整数．3．A. 提示：充分性显然成立，必要性不成立．例：1,2,5,10a b c d = = = =. 4．A. 提示：由对数函数的性质知，220x x +->，则1x >或2x <-．当2x <-时，()f x 为增函数；当1x >时，()f x 为减函数．5．B. 解法一 令2,2s x y t x y =+=+，则11(2),(2)33x s t y t s =-=-．所以412()22333x y t s x y x y s t +=-+≤++．解法二 令yt x=， 则(0,)t ∈+∞， 此时1()22221x y tf t x y x y t t +=+=++++，即有2223(1)'()(2)(21)t f t t t -=-++． 显然当1t <时，'()0f t >；当1t >时，'()0f t <，所以函数()f t 在1t =, 即x y =时取得最大值2(1)3f =． 6．D. 提示：函数1sin2xy m ω=，40,x πω⎡⎤∈⎢⎥⎦⎣的图象只有被y a =及,0y a a m =- ≤<这样的两直线所截，截得的弦长才能相等，且不为零．所以截取函数4sin,0,2xy m n x ωπω⎡⎤=+∈⎢⎥⎦⎣ 的图象所得弦长相等且不为零的两直线应为,,y n a y n a =+ =- 0a m ≤<，即有5,1n a n a += -=- ．解得2n =，3a =．进而3m >．7．D. 解法一 以A 记甲成绩排名第一的所有可能的排序之集， 以B 记乙成绩排名为最后的所有可能的排序之集，则5!A B ==，4!A B = ．甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序数为216A B A B A B =+-= ．按照老师所述，这６位同学成绩可能的排序数为6!216504-=．解法二 以乙的成绩不在最后为前提，考虑甲的成绩不在第一的所有可能排序．（1）甲的成绩排在最后的所有可能的排序数为55120A =；（2）甲的成绩不在最后，又不在第一的所有可能排序数为114444384C C A ⋅⋅=． 所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序数为120384504+=．8．C. 提示： 两抛物线21y x =--，21x y =+关于直线y x =-对称．所求PQ 的最小值为抛物线21y x =--上的点到直线y x =-距离的最小值的两倍．设2(,1)P x x --为21y x =--上任意点, 则212|1|22+-=--=x x x x d ,823min =d,min 4PQ =． 9．B. 提示：由已知可得83(lg log 1000)(lg)(lg lg 2)83lg 2f f f ==-=．又1111111112121212x x x x xa a a a a -+=+=-++=------． 令()()6F x f x =-，则有()()F x F x -=-． 从而有(lglg 2)(lglg 2)6(lglg 2)6f F F -=+=+－－=8．即知(lglg 2)2,(lglg 2)(lglg 2)64F f F =-=+=．10．C. 提示：设该等差数列的公差为d ．显然 0d <．由11101a a <-，知1010,0,a a >< 且11100a a +<． 因此12020101111919102010()02191902a a S a a a aS a +=⨯=+<+=⨯=>，．由11100,a a +< 知12190a d +<．从而有19111111918192189199(219)0S S a d a a d a d ⨯-=+-=+⨯=+<．所以19n =．11．1,2,()21,2p p h p p p -<-⎧=⎨+≥-⎩．提示：2cos 22cos 1x x =-, 令cos x u =，则01u ≤≤ 且2()21()f x u pu p F u =++-=．抛物线()y F u =顶点的横坐标为4p-，所以 1(1),,42()1(0),42p F h p p F ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩．即1,2,()21,2p p h p p p -<-⎧=⎨+≥-⎩．12．4π．提示：原方程等价于： cos(sin )cos(cos )2x x x x π--=-．.所以cos 2sin (1)2x x k x x k z ππ-=+--∈ ，，或cos 2(sin )(2)2x x k x x k z ππ-=---∈ ，，由（1）得：2sin cos 22x x x k ππ+-=+，且函数()2sin cos f x x x x =+-在[]π,0上为增函数．所以1(0)2()212f k f ππππ-=<+<=+．由此得0k =．所以 2sin cos 2x x x π+-=．令()2sin cos 2g x x x x π=+--，易知()g x 在[]π,0上单调递增，且当4x π>时，()0g x >；当4x π<时，()0g x <，因此当且仅当4x π=时，()0g x =．由（2）得：ππk x x 22cos sin -=+．因为122k ππ<-<k 无整数解，即此方程无解．综上所述, 原方程的解为4x π=．13．24p -. 解法一 设(,),(,)A A B B A x y B x y ，则22222222()()()()4()A B A B A B A B A B A B OA OB x x y y AB x x y y OA OB AB x x y y +=+++=-+-+-=⋅+⋅ ，，．设直线AB 和x 轴交于点(,0)P a ．若直线AB 的斜率存在，设为m ，则直线AB 的方程为()y m x a =-，将其代入抛物线方程得()2222220m x am p x m a -++=．由二元一次方程根与系数的关系得2A B x x a =， 由此得2()()2A B A B y y m x a x a ap =--=-．所以222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=-->- ．当直线AB的斜率不存在时，有,A B A B x x a y y ===-=222224()4[()]4A B A B OA OB AB x x y y a p p p +-=⋅+⋅=--≥- ．显然，当且仅当a p =时，即直线AB 的斜率不存在时等号成立， 22OA OB AB+- 有最小值24p -．解法二 设22(,),(,)22A BA B y y A y B y p p，则2222222222()(),2()()2A BA B A B A B y y OA OB y y py y AB y y p++=++-=+- ．所以222222224()44[()]24A BA B A B OA OB ABy y y y p y yp p pp +-⋅=+⋅⋅=+-≥- ．当22A B y y p =-时， 22OA OB AB +- 取最小值24p -．14．60. 提示：因为GA GB GC ++=0，所以404040bGA bGB bGC ++=0．所以(5640)(3540)aGA b GA c b GC - +- =0．因为,GA GC不共线，所以有750,780a b c b -= -=．设5,a k = 则7,8b k c k = =，由余弦定理可得2222564491cos 2582k k k B k k +-==⨯⨯．所以60B ∠=．15．设sin cos x θθ=+，则有2sin 21x θ=-，sin()cos()44ππθθ+=-=，x ⎡∈⎣． 原不等式化为：21)322x x a -->--． 即241(2)320x a x a x--+-++>,整理得2422(2)2(2)2x xx a x x x x x x --->-+=-+⨯．因为x ⎡∈⎣，20x ->，即得2a x x>+． 令2()f x x x=+， 则函数()f x在x ⎡∈⎣上单调递减，所以()f x在x ⎡∈⎣上的最大值为(1)3f =．即知a 的取值范围为3a >．16. 连结11B D 交FG 于H ，连结11C A ，则1111B D AC ⊥．因为,F G分别为1111,A D D C 的中点，所以11FG A C //，因此11FG B D ⊥．又因为1BB ⊥面1111A B C D ，FG 在平面1111A B C D 内，所以1BB FG ⊥．由此得 FG ⊥面11BB D D ．因为 FH GH =，所以223O EFG F OEH G OEH F OEH OEH V V V V S FH ----=+==⋅. 在梯形1OBB H 中11881616OEH EB H OBE OBB H S S S S ∆∆∆=--=--=梯形． 因此四面体OEFG 的体积为152316448O EFG V -=⨯⨯=．17. 由题意知，12,,O C C 共线. 设圆1C 与圆2C 的半径分别为12,r r ，直线12C C 的斜率为tan 0α≠.令cot m α=，则圆1C 与圆2C 的圆心分别为111(,)C mr r ，222(,)C mr r , 两圆的方程分别为222111222222()(),()()x mr y r r x mr y r r -+-=-+-=．1A点(3,2)P 是两圆的公共点，所以222111222222(3)(2)(3)(2)mr r r mr r r -+-=-+-=，．由此可知12,r r 是方程22(64)130m r m r -++=的两个根，即有12213,r r m=m =．从而知直线l 的方程为22tan tan 21tan y x x ααα=⋅==-．18. 以()p k ξ=记比赛经k 次结束的概率．若k 为奇数，则甲乙得分之差亦为奇数， 因而有()0p k ξ==．考虑头两次比赛的结果：（1）甲连胜或乙连胜两次，称为有胜负的两次，此结果出现的概率为22p q +； （2）甲乙各胜一次，称为无胜负的两次，此结果有两种情况，故出现的概率为2pq ． 比赛经k 次结束，k 必为偶数，则1,2两次，3,4两次，……，3,2k k - -两次均未分胜负．若20k ≠，则第1,k k - 两为有胜负的两次，从而有1222()(2)()kp k pq p q ξ-==+．若20k =，比赛必须结束， 所以 9(20)(2)p pq ξ==．综上所述922191()2(2)20(2)i i E p q i pq pq ξ-==++∑．由1p q +=，知2212p q pq +=-．令2u pq =，则221p q u +=-，所以9191(1)220i i E u iu u ξ-==-+∑．令9112,i i s iu-==∑ 则910101112199199199991022(1)2(1),2(1)(1)21818,1(1)202[19(1)10(1)]12(1)1ii i i i i i i us iu i u i u u u s uu u u E u s u u u u u u uu uξ--===-===-=---=-=--=-+=---+---=-∑∑∑∑． 因 102u <≤，所以有 8124()2E ξ<≤-．19. 令{2,3,,44}A = ，{45,46,,2011}{1}B = ． 对任一M ∈P ，令,M M A M M B A B = = ．显然，集合B ∈P ．设最大集元素的个数为0n ，则0||1968n B ≥=． 若M ∈P ，设B M 中除１之外的最小元为45p +，042p ≤≤． 集合A 中与45+p 的乘积大于2011的元素个数记为q ，则2011201144454545q p p =-<-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 结论1 当4p ≥时，有q p <． 事实上，若有20114545p q p≤<-+，即 24545(45)2011p p p +≤+-，则可解得3p ≤．不难验证，当03p ≤≤时，均有p q =．令12A A A M M M = ，且12A A M M φ= ，这里{}144,A A M k k q k M =≤-∈，{}244,A A M k k q k M =>-∈．设{}112,,,A t M a a a = ，且12t a a a <<< ． 结论2 若M ∈P 是最大集，则3p ≤．事实上，否则的话，4p ≥，由结论1，知q p <，因为(45)2011i a p +<，所以 (45)i B a p M +∉ (1,2,,)i t = ．因此()()(){}1245,45,45t p B p a p a a M φ+ + ,+= ． 容易求得：1A t M =， 2A q M ≤，(1968)B M p t ≤--． 所以 120(1968)1968A A B M M M M t q p t n =++≤++--<≤，这与M 为最大集矛盾．结论3 若M ∈P 是最大集，则11A M t =≤．假定2t ≥.(1) 当0p q ==时， 由结论2的证明可知 {}1245,45,,45t B a a a M φ = ．因为1111454645()450t t t t t t a a a a a a -----=--≥->，则114546452011t t t a a a --<<<．由此知46和146t a -中至少有一个不属于B M ，所以01968(1)1967M t t n ≤--+=<；(2)当13p q ≤=≤时， 若2A M φ=，同理可得 0(1968)1967M t p t n ≤---≤<；若有 2A b M ∈，则4444q b -<≤， 则必有 145a b p >+，所以 1B a b M ∉，同理可得 0(1968)(1)1967M t q p t n ≤++--+≤<．综合（1），（2），以及结论2知， 1t ≤．结论4 若M ∈P 是最大集，则1A M ≤． 事实上， 若1A M >，任取其中两个数,a b ，由结论3知， 其中必有一数， 设为2A b M ∈，从而B ab M ∉，(45)B M a p +∉，则 01(1968)21967M q p n ≤++--≤<． 所以1A M ≤．由此可知，若M ∈P 是最大集，只有下述三种可能:(1) ,A B M M B φ= =(2) {}{}44,\45A B M M B = =(3) {}{}44,\4445A B M M B = =⨯ 注：1.;A cardA = 2.{}\.A B x x A x B =∈∉且。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分．解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤．
9．（本小题满分 16 分）已知实数 x, y, z 满足：x ≥ y ≥ z ，x + y + z = 1，x 2 + y 2 + z 2 = 3 ．求
实数 x 的取值范围． 解 令 x = 1+ t ．由 x + y + z = 1得 z = −t − y ，代入 x 2 + y 2 + z 2 = 3 ，得
2011 年全国高中数学联合竞赛一试答案（B 卷）第 4 页（共 5 页）
x 2 − 4 pq x − 2qy1 y2 = 0 ．
①
y1 + y2
y1 + y2
由于 A1 A2 所在的直线与抛物线 x 2 = 2qy 相切，所以方程①的判别式
化简整理得
Δ
=
⎜⎜⎝⎛ −
)=
2009a1006
=1，
于是 a1006
=
1 2009
，所以
S 2011
= 2011( a1
+ a 2011 )09
．
2．已知复数 z 的模为 1， 若 z = z1 和 z = z2 时|z+1+i|分别取得最大值和最小值，则
z1 − z2 =
．
解 易知|1+i|-|z|≤|z+1+i|≤|1+i|+|z|，即 2 −1 ≤|z+1+i|≤ 2 +1 ．
2
2
又 x ≥ y ，所以 1+ t ≥ − t + 4 − 4t − 3t 2 ，即 2 + 3t ≥ 4 − 4t − 3t 2 ，解得 t ≥ 0 ． 2
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
全国高中数学联赛预赛模拟试题解答
全国高中数学联赛预赛模拟试题解答考生注意：1、本试卷共三大题（15个小题），全卷满分150分．2、用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．3、解题书写不要超出装订线．4、不能使用计算器． 一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设1()lg ,||1,1xf x x x-=<+则323()13x x f x ++等于（ ）. （A ）2()f x （B ）3()f x （C ）2()f x （D ）3()f x 答：D.解：3323322313113()lg()lg()3()3131113x xx x x x f f x x x x x x +-+-+===+++++. 2．,a b 是不等于1的正数，3(,2),2πθπ∈若tan tan 1a b θθ>>，则成立的是（ ）.（A ）1a b >> （B ）1a b << （C ）1b a << （D ）1b a >>答：B.解：tan 0,θ->由tan tan 11()()1ab θθ-->>,知111,1a b a b>>∴>>． 3．ABC ∆中，,,,BC a AC b AB c ===则使等式2222sin sin sin cos 2222A B C B ++=成立的充要条件是（ ）.（A ）2a b c += （B ）2b c a += （C ）2c a b += （D ）2c a b ⋅= 答：C ． 解：由题设知，1cos 1cos 1cos 1cos 2222A B C B ---+++=2sin cos22B A C-⇒= 2sin sin sin ,B A C ⇒=+2,a c b ∴+=反之也成立。
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛及解析
2018年全国高中数学联赛安徽省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题|z |=5，则z=_________. 2.设n 是正整数，且满足n 5=438427732293，则n=__________.3.函数f (x )=|sin2x +sin3x +sin4x |的最小正周期=_________.4.设点P 、Q 分别在函数y=2x 和y =log 2x 的图象上，则|PQ |的最小值=_________.5.从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s 2≤1的概率=_________.6.在边长为1的长方体ABCD−A 1B 1C 1D 1内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1相切，则小球半径的最大值=___________. 7.设H 是△ABC 的垂心，且3HA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +4HB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +5HC⃑⃑⃑⃑⃑ =0，则cos∠AHB =_____________. 8.把1，2，…，n 2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n ，第一行是1，2，…，n.例如：T 3=[123894765].设2018在T 100的第i 行第j 列，则（i ，j ）=___________.二、解答题是矩形，点E 、F 分别是线段AD 、BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D 、H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：∠HAB=3∠GAB.10.设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值；⑵求△AOB的外心P的轨迹方程.11.⑴求证：对于任意实数x、y、z都有x2+2y2+3z2≥√3(xy+yz+zx).⑵是否存在实数k>√3，使得对于任意实数x、y、z有x2+2y2+3z2≥k(xy+ yz+zx)恒成立？试证明你的结论.12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.参考答案1.4-3i 或-3+4i【解析】1. 设z=x +yi ，由题设得x +y =1且x 2+y 2=25.故（x,y ）=（4，-3）或（-3，4）.所以z=4-3i 或-3+4i . 故答案为：4-3i 或-3+4i 2.213【解析】2.由n 5 ≈<44×1010，得200<n <300.设n =200(1+x ).由(1+x )5=1+5x +10x 2+10x 3+5x 4+x 5 ≈<4432=1.375，得x ≈<0.075，n ≈<215.再由n 5≡n (mod10)，得n=213.（注：“≈<”表示“小于约等于”.）故答案为：213 3.2π【解析】3.f (x )=|1+2cosx |⋅|sin3x |，其中|1+2cosx |的最小正周期是2π，|sin3x |的最小正周期是π3. 故答案为：2π4.1+ln (ln2)ln2√2【解析】4.设P （a,2a ），Q （b,log 2b ）使|PQ |最小.由y=2x 与y =log 2x 互为反函数，知点P 、Q 处的切线斜率都是1，直线PQ 的斜率都是-1.故2a=b =1ln2，|PQ |=|a −b |√2=1+ln (ln2)ln2√2. 故答案为：1+ln (ln2)ln2√2 5.115【解析】5.x 1<x 2<x 3的样本方差s 2=13∑(x i −x )23i=1≤1，当且仅当x 1、x 2、x 3是连续的正整数. 故P (s 2≤1)=8C 103=115.故答案为：115 6.4−√65【解析】6.当半径最大时，小球与正方体的三个面相切.不妨设小球与过点D 1的三个面相切.以D 1为原点，D 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、D 1A 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 、D 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 分别为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系.设A （0，1，1），C 1（1，0，0），小球圆心P （r ，r ，r ），则P 到AC 1的距离|AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ×AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||AC 1|=√23|1−2r |=r . 再由r<12，得r =4−√65.故答案为：4−√65 7.−√66【解析】7. 由题设得tanA3=tanB 4=tanC5=λ.再由tanA +tanB +tanC =tanAtanBtanC ，得λ=√5，tanC=√5.故cos∠AHC =−cosC =−√66.故答案为：−√668.（34，95）【解析】8. 设1≤k ≤50，则T 100的第k 行第k 列元素是1+4∑(101−2i )k−1i=1=1+4(101−k )(k −1).因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列. 故答案为：（34，95） 9.见解析【解析】9.由E 、F 分别是AD 、BC 的中点，得EF//AB ⊥AD.如图，设P 是E 关于l 的对称点，则EP//AG ⊥l ，故四边形AEPG 是等腰梯形.进而∠PAG=∠EGA =∠GAB ，∠APG =∠GEA ，从而AP ⊥HG.再由HP=DE=EA=PG ，得∠HAP =∠PAG =∠GAB .因此∠HAB=3∠GAB.10.（1）见解析（2）a 2x 2−b 2y 2=14(a 2+b 2)2【解析】10.⑴双曲线在M （x 0,y 0）处的切线方程为x 0xa 2−y 00b2=1，与渐近线方程联立，得A （x 1,y 1）=(ax 0a +y 0b ,bx 0a +y 0b)，B （x 2,y 2）=(a x 0a−y 0b,−b x 0a−y 0b).从而S=12|x 1y 2−x 2y 1|=|ab |是定值.⑵由⑴可设A （λa,λb ），B （aλ,−bλ），P （x ，y ），λ为非零常数. 由|AP |=|OP |=|BP |，得(x −λa )2+(y −λb )2=x 2+y 2=(x −a λ)2+(y +b λ)2.从而有ax+by =λ2(a 2+b 2)，ax −by =12λ(a 2+b 2).上述两式相乘，得P 的轨迹方程为a 2x 2−b 2y 2=14(a 2+b 2)2.11.（1）见解析 （2）见解析.【解析】11.⑴由均值不等式，可知x 22+3y 22≥√3xy ，x22+3z 22≥√3xz ，y22+3z 22≥√3yz .故有x 2+2y 2+3z 2≥√3(xy +yz +zx ).⑵x 2+2y 2+3z 2−k (xy +yz +zx )=(x −k 2y −k 2z )2+(2−k 24)y 2+(3−k24)z 2−(k22+k )yz .上式≥0恒成立，当且仅当2−k 24≥0且(k22+k )2≤4(2−k 24)(3−k24). 化简得|k |≤2√2且k 3+6k 2≤24.故存在k >√3满足要求.12.N =2C 10093【解析】12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，x i 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有M +N =C 20183，∑x i (2017−x i )2018i=1=2M .当且仅当每个x i =1008或1009时，N 取得最小值C 20183−10092×1008=2C 10093.N =2C 10093是可以取到的，例如：把线段i →i ±jmod2018（1≤i ≤2018，1≤j ≤504）染成红色，其他线段染成蓝色.。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。
全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。
2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题及答案
2011年全国高中数学联赛江西省预赛试题一、填空题〔每题10分，共80分〕1、2011是这样的一个四位数，它的各位数字之和为4；像这样各位数字之和为4的四位数总共有 个．2、设数列{}n a 满足:121,2a a ==,且对于其中任三个连续项11,,n n n a a a -+,都有:11(1)(1)2n n n n a n a a n-+-++=.则通项n a = ．3、以抛物线2y x =上的一点()1,1M 为直角顶点，作抛物线的两个内接直角三角形MAB ∆与MCD ∆，则线段AB 与CD 的交点E 的坐标为 ．4、设,,,1x y z R x y z +∈++=，则函数23(,,)f x y z xy z =的最大值是 ．5、0000sin 6sin 42sin 66sin 78= ．6、正三棱锥D ABC -的底面边长为4，侧棱长为8，过点A 作与侧棱,DB DC 都相交的截面AEF ∆，那么，AEF ∆周长的最小值是 ．7、满足2272011x y +=的一组正整数(,)x y = ．8、用()S n 表示正整数n 的各位数字之和，则20111()n S n ==∑ ．二、解答题〔共3题，合计70分〕9、〔20分〕、设0180A B C ++=，且满足：sin sin sin 1cos cos cos A B CA B C++=++，求cos 2cos 2cos 2cos cos cos A B CA B C++++的值．10、〔25分〕如图，A BC ∆的内心为I ，,M N 分别是,AB AC 的中点，AB AC >，内切圆I 分别与边,BC CA 相切于,D E ；证明：,,MN BI DE 三线共点．11、〔25分〕在电脑屏幕上给出一个正2011边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的a 个顶点〔其中a 是小于2011的一个固定的正整数〕，一按鼠标键，将会使这a 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑；(1)、证明：如果a 为奇数，则可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；(2)、当a 为偶数时，是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论．解 答1、20．提示：这种四位数1234x x x x 的个数，就是不定方程12344x x x x +++=满足条件11x ≥，234,,0x x x ≥的整解的个数；即12343y x x x +++=的非负整解个数，其中111y x =-，易知这种解有413341620C C -+-==个，即总共有20个这样的四位数．〔注：也可直接列举．〕2、23n-． 提示：由条件得， 112(1)(1)n n n na n a n a -+=-++，所以11(1)()(1)()n n n n n a a n a a +-+-=--，故1111n n n n a a n a a n +---=-+，而211a a -=；113212111221()12311113n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n +-+-------=⋅⋅⋅⋅-------=⋅⋅⋅⋅⋅+-2(1)n n =+；于是12112()(1)1n n a a n n n n--==---；由此得112211()()()12(1)123n n n n n a a a a a a a a n n---=-+-++-+=-+=-.3、(1,2)-．提示：设221122(,),(,)A x x B x x ，则2111222211,111,1MAMB x k x x x k x x -==+--==+-22121212ABx x k x x x x -==+-， 直线AB 方程为21121()()y x x x x x -=+-，即1212()y x x x x x =+-，因为MA MB ⊥，则12(1)(1)1x x ++=-，即12122()x x x x -=++，代人方程得122()(1)y x x x -=++，于是点(1,2)-在直线AB 上；同理，假设设223344(,),(,)C x x D x x ，则CD 方程为342()(1)y x x x -=++，即点(1,2)-也在直线CD 上，因此交点E 的坐标为(1,2)E -．4、1432．提示：由122333x y zy y z z z x =++=+++++≥所以，623114276xy z ⎛⎫≤ ⎪⋅⎝⎭， 即23431123432xy z ≤=⋅，当1236y z x ===，即111,,632x y z ===时取得等号． 5、116．提示： 0000000000sin 6cos 48cos 24cos12cos6sin 6cos 48cos 24cos12cos6=00000000000sin12cos12cos 24cos 482cos 6sin 24cos 24cos 484cos 6sin 48cos 488cos 6===00sin 96116cos 616==． 6、11．提示：作三棱锥侧面展开图，易知EF ∥BC ，且由周长最小，得1,,,A E F A 共线，于是等腰DEFAEB ∆∆，4AE AB ==，12BE AB AB DA ==， 即2BE =，6DE =，6384EF DE BC DB ===， 所以3EF =，由14A F AE ==，则1111AA AE EF FA =++=．7、(38,9)．提示：由于2011是43N +形状的数，所以y 必为奇数，而x 为偶数， 设2x m =，21y n =+，代人得2428(1)2004m n n ++=，即27(1)501m n n ++=. ①而(1)n n +为偶数，则2m 为奇数，设21m k =+，则24(1)1m k k =++，A 1FEF EDC BADCBA由①得，(1)(1)71254n n k k +++⋅=， ② 则(1)4n n +为奇数，且,1n n +中恰有一个是4的倍数，当4n r =，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=+为奇数，且7(41)125r r +<，只有1r =，②成为(1)35125k k ++=，即(1)90k k +=，于是4,9,38,9n k x y ====；假设14n r +=，为使(1)77(41)4n n r r +⋅=-为奇数，且7(41)125r r -<，只有1r =，②成为(1)21125k k ++=，即(1)104k k +=，它无整解；于是(,)(38,9)x y =是唯一解：2238792011+⋅=． 〔另外，也可由x 为偶数出发，使22220112009(2)7287(2)x x x -=--=⨯--为7的倍数，那么22x -是7的倍数，故x 是73k ±形状的偶数，依次取1,3,5k =，检验相应的六个数即可．〕8、28072．提示：添加自然数0，这样并不改变问题性质；先考虑由0到999这一千个数，将它们全部用三位数表示，得到集{}000,001,,999M =，易知对于每个{}0,1,,9a ∈，首位为a 的“三位数”恰有100个：00,01,,99a a a ，这样，所有三位数的首位数字和为100(019)45100⋅+++=⋅.再将M 中的每个数abc 的前两位数字互换，成为bac ，得到的一千个数的集合仍是M ， 又将M 中的每个数abc 的首末两位数字互换，成为cba ，得到的一千个数的集合也是M ，由此知9999991()()30045n n S n S n ====⋅∑∑．今考虑四位数：在1000,1001,,1999中，首位〔千位〕上，共有一千个1，而在0000,0001,,0999中，首位〔千位〕上，共有一千个0，因此199********1()()10002()10006004528000n n n S n S n S n =====+=+⋅=∑∑∑；其次，易算出，20112000()72n S n ==∑. 所以，201120111()()28072n n S n S n ====∑∑．9、由sin sin sin 1cos cos cos A B CA B C++=++，即sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++，平方得222sin sin sin 2(sin sin sin sin sin sin )A B C A B B C C A +++++ 222cos cos cos 2(cos cos cos cos cos cos )A B C A B B C C A =+++++所以222222(cos sin )(cos sin )(cos sin )A A B B C C -+-+-2[cos()cos()cos()]A B B C C A =-+++++，即cos 2cos 2cos 22(cos cos cos )A B C A B C ++=++，所以cos 2cos 2cos 22cos cos cos A B CA B C++=++．10、如图，设,MN BI 交于点F ，连,,,AF AI IE EF ，由于中位线MN ∥BC ，以及BF 平分B ∠，则MF MB MA ==，所以90AFB ∠=，因IE AE ⊥，得AFEI 共圆．所以AEF AIF ∠=∠；又注意I 是ABC ∆的内心，则090222A B CAEF AIF IAB IBA ∠=∠=∠+∠=+=-.连DE ，在CDE ∆中，由于切线CD CE =，所以()0011809022CCED CDE C AEF ∠=∠=-=-=∠，因此,,D E F 三点共线，即有,,MN BI DE 三线共点．11、(1)证明：由于2011为质数，而12011a ≤<，则(,2011)1a =，据裴蜀定理，存在正整数,m n ，使20111am n -=, ① 于是当a 为奇数时，则①中的,m n 一奇一偶．如果m 为偶数，n 为奇数，则将①改写成：(2011)2011()1a m n a ⋅+-⋅+=， 令2011,m m n n a ''=+=+，上式成为20111am n ''-=，其中m '为奇数，n '为偶数． 总之存在奇数m 和偶数n ，使①式成立；据①，20111am n =+, ②现进行这样的操作：选取一个点A ，自A 开始，按顺时针方向操作a 个顶点，再顺时针方向操作接下来的a 个顶点……当这样的操作进行m 次后，据②知，点A 的颜色被改变了奇数次〔1n +次〕，从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次〔n 次〕状态，其颜色不变；称这样的m 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此，可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作，使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．(2)、当a 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作，使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点，则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；为此，采用赋值法：将白点改记为“+1”，而黑点记为“1-”，改变一次颜色，相当于将其赋值乘以1-，而改变a 个点的颜色，即相当于乘了a 个〔偶数个〕1-，由于(1)1a-=； 因此当多边形所有顶点赋值之积为1-，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时，每次操作后，其赋值之积仍为1-，因此无论操作多少次，都不能将全部顶点变白．但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数a ，则①②中的n 为奇数，设,A B 是多边形的两个相邻顶点，自点A 开始，按顺时针方向操作a 个顶点，再顺时针方向操作接下来的a 个顶点……当这样的操作进行m 次后，据②知，点A 的颜色被改变了偶数次〔1n +次〕，从而颜色不变，而其余所有2010个顶点都改变了奇数次〔n 次〕状态，即都改变了颜色；再自点B 开始，按同样的方法操作m 次后，点B 的颜色不变，其余所有2010个顶点都改变了颜色；于是，经过上述2m 次操作后，多边形恰有,A B 两个相邻顶点都改变了颜色，其余所有2009个点的颜色不变．现将这样的2m 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换，因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点，使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点，经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；〔只需将黑点赋值为“+1”，白点赋值为“1-”，证法便完全相同〕．。
2010-2012年安徽高中数学联赛
∆ABC 面积的 2 倍，即 12 6 .
8. 答案：
6 7
3
提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有 C8 个三角形，其中 直角三角形有 12 × C4 个，所求“构成直角三角形”的概率是 二、解答题（共 86 分） 9. 解：特征根法. 又 an + 2 =
12.（22 分）桌上放有 n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多 n − 1 根火柴， 此后每人每次至少取走 1 根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的 2 倍.取得最后一根火柴者获胜. 问：当 n = 100 时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.
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2011 年全国高中数学联赛安徽省预赛
一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1．以 X 表示集合 X 的元素个数 . 若有限集合 A, B, C 满足 A ∪ B = 20 ， B ∪ C = 30 ，
取得最小值，最小值为 1 − 提示：设三个根为 α − 1 ， α ， α + 1 ，则 x3 + ax 2 + bx + c = ( x − α + 1)( x − α )( x − α − 1) ，
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12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目 n 从小到大排序为： n1 ， n2 ， n3 ， …，不难发现 其前 4 项分别为 2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明： （1） {ni } 满足 ni +1 = ni + ni −1 ； （2）当 n = ni 时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目 ≤ ni −1 ； （3）当 ni < n < ni +1 时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目 ≤ ni . ……………………………………（10 分） 设 k = n − ni （ i ≥ 4 ） ，注意到 ni − 2 < 当1 ≤ k < 当