高中数学竞赛解题方法篇
高中数学竞赛解题方法
高中数学竞赛解题方法高中数学竞赛是展现数学优秀人才的舞台，而参加数学竞赛也成为了大多数学子们展示自己特长的方式。
想要在高中数学竞赛中获得好成绩，除了平时的坚实基础，更需要掌握一套行之有效的解题方法。
本文将从数学思维、解题技巧、数学知识的拓展等几方面进行介绍，希望能对广大竞赛学子有所帮助。
一、数学思维1.思维模型数学竞赛中，思维模型功能强大。
它是指一种通用解决问题的思维方式。
思维模型根据不同的考试形式和题型，具体体现为归纳法、逆推法、类比法、转化法、画图法、反证法等。
2.逆向思维数学竞赛中，逆向思维是常见的求解复杂问题的方法之一。
我们经常会遇到问题分解、构造和证明题等类型的问题，这些问题需要用到逆向思维。
逆向思维的关键在于反着想，从解的步骤逆向推导，而不是直接计算出答案。
二、解题技巧1.强化基础高中数学竞赛的解题技巧常常是建立在扎实的基础上的，因此，学习基础知识以及掌握基本的解题技巧是必不可少的。
可以分别从代数、几何、数论等各方面提高基本功。
2.多练习数学竞赛是相对于普通数学而言的。
其中的难度和复杂度更高，需要更多练习来不断提高自己的解题能力。
只有不断练习，才能加深对数学竞赛知识的理解，掌握解决问题的思路。
3.掌握易错点掌握易错点是提高解题能力的重要方法之一。
例如，负数、分数等基础问题很容易错，而一旦犯了这种错误通常会影响整个题目的解答。
三、数学知识的拓展数学竞赛中，知识量和难度都非常大，需要有一定的数学知识储备。
同时，我们还需要通过实际操作和实验，拓宽我们的研究领域，扩展我们的数学思维。
1.参加数学竞赛通过参加各种数学竞赛，我们可以了解到更多的数学领域和知识点，从而扩大自己的数学知识面和解题思路。
2.阅读数学相关书籍对于数学爱好者来说，阅读数学相关的书籍也是一种不错的拓展数学知识的方式。
可以挑选一些优秀的数学竞赛相关的书籍，如《高中数学竞赛1200题》、《计数的艺术》等等。
总而言之，高中数学竞赛不是一朝一夕可以练就的能力，需要长时间的沉淀和坚实的基础。
高中奥林匹克数学竞赛解题方法
高中奥林匹克数学竞赛解题方法一、代数技巧代数是数学的基础，掌握代数技巧对于解决数学问题至关重要。
以下是一些常用的代数技巧：1、合并同类项：将同类项合并为一个项，可以简化计算过程。
2、提取公因式：将公因式提取出来，可以简化计算过程。
3、完全平方公式和平方差公式：这两个公式在代数中非常常用，可以用来进行化简和展开。
4、分式的约分：将分式约分为最简形式，可以简化计算过程。
5、根式与分数指数幂的互化：将根式转化为分数指数幂，或将分数指数幂转化为根式，可以用来解决一些复杂的问题。
二、几何技巧几何是数学中重要的分支之一，掌握几何技巧对于解决数学问题非常重要。
以下是一些常用的几何技巧：1、三角形的内心、外心和垂心：掌握这些特殊点的性质和作法，可以用来解决一些与三角形相关的问题。
2、圆的标准方程和一般方程：掌握圆的标准方程和一般方程，可以用来解决一些与圆相关的问题。
3、立体几何中的空间向量：通过空间向量的运算，可以用来解决一些立体几何问题。
4、解析几何中的直线、圆和椭圆：掌握直线、圆和椭圆的性质和作法，可以用来解决一些解析几何问题。
三、数据分析数据分析是数学中重要的应用之一，掌握数据分析技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数据分析技巧：1、数据的集中趋势和离散程度：掌握数据的集中趋势和离散程度，可以用来评估数据的分布情况。
2、数据的可视化：通过图表等可视化工具，可以更加直观地展示数据和分析结果。
3、回归分析：通过回归分析，可以找出变量之间的关系，从而对数据进行更加深入的分析。
4、方差分析：通过方差分析，可以检验多个样本之间是否存在显著性差异。
5、时间序列分析：通过时间序列分析，可以预测未来一段时间内的数据变化趋势。
四、数学建模数学建模是数学中重要的应用之一，掌握数学建模技巧对于解决实际问题非常重要。
以下是一些常用的数学建模技巧：1、建立数学模型：根据实际问题建立相应的数学模型，可以是方程、不等式、图形等。
数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的立体几何题
数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的立体几何题数学竞赛中，立体几何题是考察学生几何思维和解题能力的重要一环。
对于高中学生来说，合理的应对立体几何题是提高竞赛成绩的关键。
本文将探讨数学竞赛中应对高中数学立体几何题的秘诀和解题方法。
一、了解基本概念和性质在应对立体几何题之前，首先要对基本概念和性质有所了解。
高中立体几何题主要涉及到立体图形的表面积、体积、几何关系等方面的知识点。
学生应熟悉各种常见几何体的特点和性质，例如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等的公式和计算方法，并掌握它们之间的转化关系。
二、掌握解题方法和技巧1. 画出清晰的图形：解决立体几何题的关键是明确图形的形状和结构，因此应该通过手绘或者几何软件画出准确、清晰的图形。
图形的细节对于解题过程及结果都有重要影响，因此务必细心且准确。
2. 利用平行关系：在解题过程中，多利用平行关系推导出所需的条件。
例如，当题目给出某平面与几个直线平行时，可以运用平行关系推导出更多的几何关系，从而简化解题过程。
3. 运用类比和类比思维：类比思维可以帮助发现问题间的相似性，找到解决问题的通用方法。
利用已经学过的解题思路和方法，将新题目与旧题目作类比，找出解题的线索和方向。
4. 运用三维图形展开：对于一些立体几何题，将其展开成二维图形有助于解题。
通过展开图形，可以更好地观察和分析几何关系，从而解决问题。
5. 利用空间想象力：立体几何题需要学生具备较强的空间想象力。
在解题过程中，可以通过空间构想或者辅助手段，如拼图、模型等来帮助理解和解决问题。
三、创造思维和分析能力高中立体几何题往往需要学生具备较高的创造思维和分析能力。
学生应注重培养思维的灵活性，善于抽象和推理。
在解题过程中，可以通过数学归纳法、反证法等方法，积极探索解题的多种可能性和方法。
四、重视实践和练习掌握立体几何题的秘诀，离不开实践和练习。
只有在大量的练习中，才能更好地掌握解题技巧和方法，并在竞赛中更加得心应手。
高中数学竞赛题目解析与解题技巧
高中数学竞赛题目解析与解题技巧引言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它的应用不仅限于解决实际问题，还包括在数学竞赛中展示才华。
高中数学竞赛是对学生数学能力的综合考验，不仅需要深厚的数学知识，还需要良好的解题技巧和思维能力。
本文将介绍高中数学竞赛题目的一些常见类型，并提供解题技巧，帮助读者更好地应对数学竞赛。
数列与序列等差数列等差数列是高中数学竞赛中经常出现的题型之一。
对于给定的等差数列，求解其中某一项或求解前n项和是常见的考点。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式来快速求解。
此外，还需要注意将等差数列问题转化为已知条件，利用已知条件推导出所求的未知量。
等比数列等比数列是另一个常见的数列类型。
与等差数列类似，求解等比数列的通项或前n项和也是考点之一。
解题技巧包括使用通项公式和求和公式进行求解。
此外，还需要注意等比数列的特点，如首项、公比以及递推关系等，利用这些特点进行解题分析。
数列极限数列极限是高中数学竞赛中较为复杂和抽象的题目之一。
要求求解数列的极限值，需要运用极限的定义和性质进行分析。
解题技巧包括使用夹逼定理和数列收敛性的判定方法，以及灵活运用数列极限的性质，如极限运算法则、极限不等式和极限的唯一性等。
几何与三角形平面几何平面几何是高中数学竞赛中的一个重要部分。
常见的几何题目包括线段、角度、三角形、四边形和圆等。
解题技巧包括使用几何图形的性质和定理进行分析，灵活运用平行线、垂直线、相似三角形、角平分线和圆的性质等。
此外，还需要注意对等式和不等式进行推导和证明。
三角函数三角函数是高中数学竞赛中的另一个重要内容。
常见的三角函数题目包括求解三角方程、三角恒等式、三角函数图像和三角函数性质等。
解题技巧包括运用三角函数的定义和性质进行分析，灵活运用三角函数的周期性、奇偶性和对称性，以及运用三角函数的图像进行推导和求解。
三角形三角形是几何学的基本要素之一，也是高中数学竞赛中的重要内容。
常见的三角形题目包括求解三角形的面积、周长、角度和边长等。
【高中】提升数学竞赛能力：数学竞赛题型与解题技巧
提升数学竞赛能力：数学竞赛题型与解题技巧引言数学竞赛是一项能够培养学生逻辑思维和解决问题能力的活动。
在高中阶段，参加数学竞赛可以提高学生对数学的理解和运用能力，并有助于培养他们的创造力和团队合作精神。
本文将介绍常见的高中数学竞赛题型以及相应的解题技巧，帮助读者提升自己的数学竞赛能力。
一、常见的高中数学竞赛题型1.选择题：选择题是最常见且基础的数学竞赛题型。
它要求考生从几个给定选项中选择正确答案。
2.填空题：填空题要求考生填写一个或多个空格，补充完整问题所需的答案。
3.证明题：证明题通常要求考生使用逻辑推理和定理证明等方法，证明给定条件下某个结论成立。
4.计算题：计算题是要求考生进行具体运算来得出结果，可能涉及到复杂的计算步骤和技巧。
5.应用问题：应用问题是将数学方法应用于实际情境中，考察学生将数学知识转化为解决问题的能力。
二、提升数学竞赛能力的解题技巧1.熟悉考试要求：在参加数学竞赛前，了解并熟悉考试的题型和要求是非常重要的。
这样可以根据不同的题型，有针对性地准备和练习。
2.掌握基本概念和定理：掌握数学的基本概念和定理是解题的基础。
通过复习课堂内容和查阅相关资料，加深对基本概念和定理的理解，并灵活应用于解题过程中。
3.注重思维训练：数学竞赛强调逻辑推理和问题解决能力。
平时可以多进行一些数学推理和思维训练题目，培养自己在时间限制下处理问题的能力。
4.多做模拟试题：高中阶段有很多模拟试题可供练习。
多做模拟试题有助于熟悉各种题型，并提高解题速度和准确性。
5.合理安排时间：在参加数学竞赛时，合理安排时间对于解题非常重要。
根据题目的难易程度和分值，合理分配时间，并在有限的时间内完成尽可能多的题目。
结论通过熟悉常见的高中数学竞赛题型和掌握相应的解题技巧，可以提升自己在数学竞赛中的能力。
通过不断练习和思考，培养解决问题的能力和创造力，在数学竞赛中取得好成绩。
希望本文对你提升数学竞赛能力有所帮助！。
数学竞赛解题方法总结
数学竞赛解题方法总结在数学竞赛中，我们常常会遇到各种形式的难题，需要找到合适的解题方法来解决。
本教案将总结一些常见的数学竞赛解题方法，帮助学生更好地应对考试。
一、分析题目在开始解题之前，首先要仔细阅读题目，理解题目的意思。
分析题目的关键信息，并提取出问题的关键点。
明确题目要求，确定解题的思路和方向。
二、分类讨论对于一些复杂的问题，可以采用分类讨论的方法来解决。
将问题分成几个不同的情况，并分别进行研究。
通过对每种情况的分析，找到解题的突破口。
分类讨论能够帮助我们将复杂的问题简化，更容易理解和解答。
三、逆向思维逆向思维是一种常见的解题方法，即从目标出发，倒推回原因。
在解题时，我们可以先设定一个目标，然后尝试从目标出发，逆向推导出前提条件。
通过逆向思维，我们能够更加深入地理解问题的本质，并找到解决问题的方法。
四、利用已知条件在解题的过程中，我们要充分利用已知的条件。
将已知条件进行整理和归纳，在不同的条件之间进行推导和关联。
通过利用已知条件，我们可以获得更多的信息，从而解决问题。
五、建立方程建立方程是解决数学问题的常见方法之一。
通过将问题转化为数学方程，建立数学模型，从而进行求解。
对于一些几何问题和代数问题，建立方程是一种有效的解题思路。
六、数学归纳法数学归纳法是一种证明方法，也可以应用于解题。
通过对数学归纳法的运用，我们可以从特殊情况出发，逐步推导得出一般情况的结论。
数学归纳法可以帮助我们发现问题的规律和性质，从而解答问题。
七、巧妙的数学变换在解决一些复杂的问题时，巧妙地进行数学变换是提高解题效率的关键。
通过变换等式、恒等式等操作，将原问题转化为一个更简单的问题。
数学变换能够帮助我们发现新的线索和解题方法。
八、辅助图形辅助图形是解决几何问题的重要手段。
通过画图、构造图形等方式，将几何问题可视化，从而更好地理解和解决问题。
辅助图形能够帮助我们发现问题的特点和规律，引导解题的思路。
九、反证法反证法是一种常用的证明方法，也可以应用于解题。
数学高手之路高中数学竞赛题型攻略与解答
数学高手之路高中数学竞赛题型攻略与解答数学高手之路：高中数学竞赛题型攻略与解答一、导论数学高中竞赛对学生的数学水平和解题能力提出了很高的要求，掌握解题技巧是通向数学高手的必由之路。
本文将从高中数学竞赛的题型出发，介绍各种题型的攻略和解答方法，帮助同学们更好地应对高中数学竞赛。
二、选择题选择题是数学竞赛中常见的题型，包括单选题和多选题。
正确解答选择题需要掌握一定的数学知识，并善于分析题干和选项。
1. 单选题单选题要求从若干个选项中选择一个正确答案。
解答单选题时，可以采用排除法和代入法。
排除法是通过分析选项的特点和问题的条件，逐个排除不符合要求的选项，最终确定正确答案。
代入法是将选项中的数值代入问题进行验证，以找到满足问题条件的正确答案。
在解答单选题时，同学们不仅要仔细审题，还要注意推理和逻辑思维。
多选题要求从多个选项中选择一个或多个正确答案。
解答多选题时，同学们需要理清题目要求和选项之间的关系，注意审题和分析。
对于多选题，可以采用排除法和代入法的组合使用，先排除明显错误的选项，再针对剩余选项进行代入验证，最终确定最合适的答案。
三、填空题填空题是竞赛中常见的题型，要求根据题目给出的条件，填入适当的数值或表达式。
对于填空题，同学们需要掌握各种数学关系和公式，以及灵活的解题思路。
解答填空题时，同学们可以从题目中提供的条件入手，通过列方程、代入和求解等方法，逐步填写空白或求得解题结果。
对于较复杂的填空题，可以考虑运用变量代换、数学归纳法等高级解题方法，从而更快地求解答案。
四、解答题解答题是竞赛中的开放性题型，需要学生完整地展示解题过程和思路。
解答题包括证明题、计算题和应用题等。
1. 证明题证明题要求学生根据已知条件，推导出一种结论或数学关系。
在解答证明题时，同学们需要理解题意，利用所学的数学知识和定理，清晰地展现出证明的逻辑。
计算题要求学生进行数值计算或近似计算。
在解答计算题时，同学们需要熟练运用数学公式和计算方法，注意计算过程中的精确性和步骤的准确性。
数学竞赛常见解题方法总结
数学竞赛常见解题方法总结数学竞赛常见解题方法可以分为几个大类，包括代数、几何、概率与统计以及数论。
每个类别下又有不同的方法和技巧，适用于解答不同类型的题目。
下面将对这些常见解题方法进行总结和分析。
一、代数类解题方法1. 数列求和：对于给定的数列，可以用等差数列或等比数列的求和公式来快速求解。
此外，还可以利用差分法、二次差分法等方法求和。
2. 方程求解：对于一元二次方程、一次方程及其他更复杂的方程，可以运用配方法、因式分解、绝对值法、韦达定理等方法求解。
3. 不等式求解：针对不等式问题，可以运用代换法、区间判断法、平方运算法等方法，求解不等式的解集。
4. 函数图像分析：可以通过求导、极值问题等方法，对函数的图像进行分析和求解。
5. 组合函数求解：针对给定的复合函数，可以通过逆函数定义、复合函数的性质等方法进行求解。
二、几何类解题方法1. 平面几何定理：常用平面几何定理包括平行线定理、相似三角形定理、勾股定理等。
在解题过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法，将问题转化为已知几何定理的形式进行求解。
2. 三角形性质利用：针对三角形问题，可以应用三角形中位线、垂心定理、欧拉定理等几何性质进行解题。
3. 向量方法：向量方法在几何问题中有广泛应用，常用于求解线段的中点、平行四边形的性质、共线问题等。
4. 坐标系与方程运用：对于平面几何问题，可以通过建立坐标系，利用坐标运算进行解题。
此外，还可以通过方程的运用，表示几何图形，进而求解问题。
三、概率与统计类解题方法1. 随机事件计算：针对概率问题，可以利用集合论的知识进行解题，包括用频率定义概率、利用互斥事件和对立事件计算概率等方法。
2. 组合计数：在概率和统计问题中，常常需要进行组合和计数的运算。
可以利用阶乘、排列组合等方法进行计算。
3. 数据处理与分析：对于给定的数据集合，可以通过构造频率分布表、绘制直方图、计算中位数、算术平均数等方法进行数据的处理和分析。
高中数学建模竞赛解题方法教学总结
高中数学建模竞赛解题方法教学总结一、引言数学建模竞赛是高中学生展示数学应用能力的重要平台，通过参与竞赛可以提高学生的问题解决能力和团队合作能力。
本文旨在总结高中数学建模竞赛解题方法的教学策略。
二、建模竞赛解题方法的基本要求1. 熟悉竞赛规则与题型：首先需要了解竞赛的规则，包括题目的要求和限制条件，以及评分标准。
熟悉竞赛的题型，可以准确选择合适的数学方法来解题。
2. 准确理解问题：解题前需要仔细阅读题目，并确保准确理解题目的意思。
要注意理解问题中的关键信息和条件限制。
三、数学建模竞赛解题方法教学策略1. 数学知识的讲解与巩固（1）线性代数：讲解矩阵理论和线性代数的基本原理，例如矩阵运算、矩阵的秩和行列式等。
通过例题的讲解和练习来巩固学生的基本概念和计算能力。
（2）微积分：讲解微积分的基本概念与应用，例如函数的极限、导数和积分等。
通过实际问题的分析和计算来加深学生对微积分的理解。
（3）概率与统计：讲解概率与统计的基本原理与方法，例如概率计算、统计推断和假设检验等。
通过实际案例和数据分析的练习来提高学生的应用能力。
2. 解题思路与技巧的培养（1）问题分解：教学生将复杂问题分解为若干个简单的部分，并逐步解决。
通过具体案例的分析与练习来培养学生的问题分解能力。
（2）建立模型：教学生将实际问题转化为数学模型，并选择适当的数学方法进行求解。
引导学生掌握各类常见模型的建立方法。
（3）合理假设：教学生在建模过程中，对未知条件进行合理假设。
通过实例分析和讨论来培养学生的合理假设能力。
（4）数据分析：教学生运用统计方法对实际数据进行分析和预测。
通过案例和实验的模拟来提高学生的数据处理与分析能力。
3. 团队合作与交流能力的培养数学建模竞赛强调团队合作，教学中应注重培养学生的合作与交流能力。
通过小组讨论、案例分析和报告等活动来促进学生之间的交流与合作。
四、经验总结与展望1. 实际案例的应用：在教学中增加实际案例的应用，可以帮助学生更好地理解数学知识的应用价值，并将其运用于实际问题解决中。
高中数学竞赛二试代数
高中数学竞赛二试代数代数是高中数学中的一个重要分支，涵盖了多个概念和技巧。
在高中数学竞赛的二试中，代数题目常常涉及到各种代数表达式的化简、方程与不等式的求解、函数的性质分析等内容。
以下是针对高中数学竞赛二试代数部分的一些常见题型和解题技巧。
1. 代数表达式的化简：在代数化简题中，需要我们根据给定的表达式，利用代数运算的性质和技巧，将其简化为最简形式。
常用的代数运算性质有分配律、结合律、交换律等。
此外，对于含有指数、对数等的表达式，还需要掌握相应的运算法则。
2. 方程与不等式的求解：求解方程和不等式的关键是将未知数的所有可能取值找出来。
对于一元一次方程或一次不等式，我们可以利用基本的代数运算和方程化简的技巧求解。
而对于高次方程或复杂的不等式，可能需要运用因式分解、配方法、二次函数图像等工具进行分析和求解。
3. 函数的性质分析：在竞赛中，可能会出现关于函数的性质分析题目。
这类题目通常要求我们根据给定函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，来判断函数的某些特定性质或求出满足条件的函数值。
对于一般的代数函数，我们可以利用函数的图像和方程解析式来辅助分析。
4. 数列与数列题目：数列是高中数学中常见的代数概念。
数列题目可能涉及到递推关系、通项公式、数列的性质等内容。
求解数列题目的关键是找到数列的规律。
对于递推关系，我们可以通过观察数列前几项的差或比的特点，来推测出递推关系式。
对于求和问题，可以运用数列求和公式或等差数列等的性质进行求解。
以上是高中数学竞赛二试代数部分的一些常见题型和解题技巧。
要在竞赛中取得好成绩，除了熟练掌握代数的相关知识和技巧外，还需要多做题、多总结经验，并注重思维的灵活运用。
通过不断练习和思考，我们可以提高解题的效率和准确性，从而在竞赛中获得好的成绩。
高中数学竞赛解题方法篇(不等式)
高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++ 即 lg lg 3a b ca b cab c abc ++≥故 3()a b c a b cab c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设ab c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥ 利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111 a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++ 两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列. 求证：1111r snnnni j r sr s r s a b a b r sr s ====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令 1s nj rs b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11rnnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111nn nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证 ()()G n A n ≤.记c= i ia b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中 12121...( (1)n n b b b a a a c == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明 ()()H n G n ≤对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有xy aa +≥=从而log ()log log 22xy a a a x ya a ++≤=+下证128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
高二数学学科竞赛题型解析与解题技巧
高二数学学科竞赛题型解析与解题技巧在高中数学学科竞赛中，掌握题型解析与解题技巧对于取得好成绩至关重要。
本文从竞赛的角度出发，对高二数学学科竞赛常见的题型进行了解析，并分享了一些解题技巧。
一、选择题选择题在数学竞赛中占据重要地位，因为它考察的是对知识点的掌握和应用能力。
解答选择题时，应注意以下几点。
1. 仔细审题。
选择题通常会给出多个选项，正确答案可能隐藏在错综复杂的选项中。
应仔细阅读题目，理解题意，避免因为粗心而选择错误。
2. 多做练习。
通过多做选择题，可以熟悉不同类型的题目和常见的陷阱选项，提高自己的解题能力。
同时，做完题目后要仔细分析解答过程，找出解题的规律和技巧。
3. 排除法。
当不确定一个选项是否正确时，可以使用排除法。
将明显错误的选项排除，可以提高正确答案的概率。
二、解答题解答题是数学竞赛中较难的题型，常常需要一定的推理和证明能力。
解答题的解题技巧如下。
1. 切忌死记硬背。
解答题不是简单的机械运算，而是应用知识解决问题。
要注重对知识点的理解和掌握，灵活运用。
2. 系统性思考。
在解答题时，要采用系统性思维，构建解题思路和证明过程。
可以使用逻辑推理、归纳法等方法，清晰地展示解题过程。
3. 注意图形和文字的结合。
某些解答题可能会给出图形和文字描述，要善于将二者结合起来进行分析，理解题目的要求和限制条件。
三、证明题证明题是数学竞赛中最具挑战性的题型之一，需要运用严谨的数学推理和逻辑思维。
解答证明题时，可以采用以下方法。
1. 根据已知条件展开证明。
在解答证明题时，可以先根据已知条件进行一定的推导和分析，寻找证明的思路和方向。
2. 使用归纳法或反证法。
归纳法和反证法是数学证明中常用的方法。
根据题目的特点，灵活选择合适的证明方法，推导出结论。
3. 注意严谨性。
在证明过程中，要注意每一步的逻辑严谨性，层层递进，避免出现漏洞或错误。
四、解决难题在数学竞赛中，难题常常是考察学生的思维能力和解题技巧的重要环节。
高一数学竞赛题型及解题方法
高一数学竞赛题型及解题方法
嘿，同学们！今天咱就来聊聊高一数学竞赛那些事儿！高一数学竞赛题型那可真是五花八门，就像一个神秘的宝藏等着我们去挖掘！比如说函数题，哎呀，那可复杂得很呢！就像一个调皮的小精灵，一会儿藏这儿，一会儿躲那儿。
比如这道题啊：已知函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x)，且当0≤x≤1 时，
f(x)=x，求 f()的值。
是不是乍一看有点懵？别慌！咱来一步步分析。
再说说几何题，那简直就是数学世界里的奇妙拼图！就好像在搭积木一样，得找到最合适的那块“积木”才能拼出答案。
来看看这道几何题：在一个直角三角形中，两条直角边分别为 3 和 4，求斜边的长度。
那解题方法呢，也是各有不同。
有时候就像是找到一把神奇的钥匙，“咔嚓”一下，难题就迎刃而解啦！像换元法，不就好比是孙悟空七十二变，把复杂的式子变得简单。
咱举个例子哈，解方程 2(x-3)+3(x+2)=15，这时候我们就可以用换元法，设 x-3=y，然后把方程变得简单易懂多啦！
还有分类讨论法，这就像把一个大蛋糕分成小块来一点点品尝，把各种情况都考虑清楚呀！哎呀，数学竞赛真的是太有趣啦，充满了挑战和惊喜！就看你有没有勇气和智慧去征服它！我觉得呀，参加高一数学竞赛绝对能让我们的数学思维更上一层楼，大家一定要好好加油，冲呀！。
高中数学竞赛解题技巧总结
高中数学竞赛解题技巧总结1. 强化基础知识在高中数学竞赛中，要想取得好成绩，首先要扎实掌握基础知识。
这包括理解数学概念、熟练运用基本运算法则和公式等。
只有打牢基础，才能更好地应对各类问题。
2. 灵活运用解题方法在面对不同类型的题目时，需要采用不同的解题方法。
例如，对于代数题目，可以使用方程求解或代数恒等变形进行求解；对于几何问题，则需要运用几何定理和性质进行推导和证明。
通过丰富的解题经验和灵活的思维方式，可以更高效地解决各类问题。
3. 重视数学建模思维竞赛中的数学问题往往与现实生活相关，并需要利用数学模型进行分析和求解。
因此，培养良好的建模思维至关重要。
这包括将实际问题转化为数学语言、选择合适的变量与参数、建立合理的等式或不等式关系等。
通过锻炼数学建模能力，可以更好地应对复杂问题。
4. 注重细节和审题能力高中数学竞赛的题目往往具有一定的难度，有时会隐藏一些特殊条件或设置陷阱。
因此，审题能力和注重细节十分重要。
在解题过程中，应仔细阅读问题描述、注意问题所给条件以及避免计算过程中的粗心错误。
5. 高效运用解题技巧在竞赛中，时间是非常宝贵的资源。
因此，在解题过程中需要灵活运用一些解题技巧，如利用对称性简化计算、通过观察规律缩短解题时间等。
这些技巧可以有效提高解决问题的速度和准确率。
6. 多做真题和模拟试卷为了更好地掌握竞赛所需的解题技巧，建议多做真实比赛的试题和模拟试卷。
通过不断练习并总结经验，逐渐提高自己在竞赛上的应对能力。
同时，也可以借鉴他人的优秀解法和思路。
总之，在高中数学竞赛中取得好成绩需要全面发展自身数学素质，并不断提高解题技巧。
希望以上总结能够对你有所帮助！。
高中数学竞赛全解析
高中数学竞赛全解析在高中数学竞赛中，学生需要展示出扎实的数学基础和解题能力。
本文将为大家全面解析高中数学竞赛中常见的题型和解题方法，帮助大家更好地应对这一挑战。
一、选择题选择题在数学竞赛中占据重要地位，能够考察学生对知识点的掌握和应用能力。
下面是几个常见的选择题类型及解题方法。
1.1 计算题计算题主要考察学生对基础计算方法的熟练程度和运算能力。
在解决计算题时，学生应注意以下几个方面：首先，要仔细审题，了解题目中给出的计算要求，例如求解多项式的系数、解方程等；其次，在计算过程中要注意精度，保留合适的小数位数或有效数字；最后，在得出结果后，要进行合理的检验，确保计算结果的准确性。
1.2 推理题推理题是指通过已知条件进行逻辑推理，得出未知结论的题目。
解决推理题时，学生要善于分析题目中的信息，形成推理链条，通过逐步推理得出正确答案。
解决推理题的一般步骤如下：首先，阅读题目，确定已知条件和所求结论；然后，分析已知条件中蕴含的信息，利用推理规则进行逻辑推理；最后，根据推理结果得出结论，进行合理的验证。
1.3 几何题几何题在数学竞赛中经常出现，考查学生对几何图形性质的理解和运用能力。
解决几何题时，学生应掌握基本的几何定理和性质，并善于利用这些定理和性质进行推理和证明。
解决几何题的一般思路如下：首先，仔细观察几何图形，辨别出各个要素的性质和特点；然后，根据已知条件，运用几何定理和性质，进行问题分析和推理；最后，得出结论，并进行必要的证明或验证。
二、解答题解答题是数学竞赛中的重点和难点，涉及面较广，考察学生的综合运用能力。
下面是几个常见的解答题类型及解题方法。
2.1 证明题证明题是数学竞赛中的经典题型，要求学生能够严谨地运用数学知识和方法，完成结论的推导和证明过程。
解决证明题时，学生应注意以下几点：首先，搞清楚证明的目标和要求，在开始证明之前，要明确证明结论是真还是假；然后，合理选择证明方法和途径，可以采用直接证明、反证法、数学归纳法等方法进行证明；最后，进行必要的补充和扩展，可以通过举例、推广等方式，拓宽证明的范围和深度。
数学 竞赛中的解题方法与策略
数学竞赛中的解题方法与策略全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学竞赛一直以来都是学生们展示自己数学能力的舞台，有着悠久的历史和严谨的规则。
参加数学竞赛既能检验自己的数学水平，也可以提高自己的数学思维能力。
在竞赛中获胜并不容易，需要高超的数学技巧和策略。
本文将重点介绍数学竞赛中的解题方法与策略，希望对广大参赛者有所帮助。
解题方法是竞赛中取胜的关键。
学生在解数学题时，要善于发现问题的本质，深入分析并巧妙运用数学知识来解决问题。
一般来说，数学竞赛中的题目通常不是按照教材上的内容来出的，而是考察学生的逻辑思维和创造力。
解题方法是非常重要的。
解题方法包括一些基本技巧，比如巧用数学定理、观察和分析题目、灵活运用数学知识等等。
策略也是竞赛中夺取胜利的重要因素。
在参加数学竞赛时，学生需要制定合理的解题策略，才能更好地应对各种题目。
要做到心态积极。
数学竞赛本身是一场考验，学生需要保持镇静，不慌不乱地面对问题，不要被难题击垮。
要有耐心。
数学竞赛中的题目往往需要时间去推敲和思考，不能急于求成，要有耐心和恒心。
要有条理。
在解题时要掌握好思路，不要急躁，可以将不确定的解题思路或结论记下来，以备后续检查和修正。
要灵活运用所学知识。
数学竞赛中的题目可能涉及到各个领域的知识，学生需要结合所学的数学知识来解题，不能死记硬背，应该增强自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。
除了上面所说的解题方法和策略，还有一些其他的技巧和建议可以帮助学生在数学竞赛中取得好成绩。
学生要多做练习题，加强自己的数学技能和逻辑思维能力。
可以参加一些数学培训班或者数学俱乐部，通过和其他同学交流学习，提高自己的解题水平。
学生可以多参加一些数学竞赛活动，提高自己的竞赛经验和应试能力。
要保持良好的学习习惯和健康的生活方式，有助于提高解题效率和保持好心态。
在总结中，数学竞赛中的解题方法与策略是关键要点。
学生需要通过不断的练习和思考，提高自己的数学水平和解题能力。
要有耐心和恒心，善于运用数学知识和逻辑思维，坚持不懈地努力，相信自己一定能够在数学竞赛中取得好成绩。
全国高中数学联赛辅导课件常用的解题方法与技巧(共7张PPT)
数形结合引言
以形解数
用数助形
课外思考
1
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高中数学联赛常用的解题方法与技巧(中篇)
(数形结合)
数和形这两个基本概念,是中学数学的两块基石,且
在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可
以互相转化、补充互助.数形结合就是通过数与形之间的
对应和转化来解决数学问题,具体来说就是在解题时,把
分析:令 y x ,则ຫໍສະໝຸດ x y 0 x (3
2 sin
a
cos
≥
)2
7
2
y
或
(a
a≤
sin a
6
cos )2
≥
1 8
8
由此想到解析几何知识来求解,转化为
点 (3 2sin cos , a sin a cos ) 到直线 y x 的距离的平
方大于 1 ,故原不等式可化为 3 2sin cos a sin a cos ≥ 1 ,
6
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课外训练:
1.(1984 年 美 国 中 学 生 竞 赛 题 ) 已 知 a,b 是 正 实 数 , 方 程
6 x2 ax 2 0, x2 2bx a 0 都有实数根,求a b 的最小值.
2.(2001 年全国高中数学联赛题)
求函数 y x x2 3x 2 的值域. 3.(1998 年全国高中数学联赛题)
1 a b ≥ 0 即 1 a b ≤ 0 ,
4 2a b ≥ 0 然后由线性规划的方法可得 (a 2b)min 1, (a 2b)max 5
4
例3
第4页，共7页。
例 3(1996 年全国高中数学联赛题)
高中数学竞赛复数法解决平面几何
高中数学竞赛复数法解决平面几何近年来，高中数学竞赛中，复数法在解决平面几何问题中发挥着重要的作用。
复数法作为一种独特的解题方法，通过将平面上的点和向量用复数表达，不仅简化了计算过程，而且能够直观地理解几何性质，极大地提高了解题效率和准确性。
本文将介绍复数法在高中数学竞赛中解决平面几何问题的具体应用。
一、利用复数表示平面上的几何图形在复数法中，我们可以将平面上的点用复数表示。
假设平面上有一个点A(x1,y1)，那么我们可以用复数z1=x1+iy1来表示它。
同理，另一个点B(x2,y2)可以用复数z2=x2+iy2表示。
通过这种方式，我们可以将平面上的任意点都用复数表示出来，从而在解决几何问题时可以直接利用复数的性质进行运算。
二、利用复数表示向量及其性质在平面几何中，向量是一个非常重要的概念。
利用复数法，我们可以将向量也用复数表示。
假设平面上有一个向量AB，我们可以用复数z表示，其中z=z2-z1。
这样，通过相减操作，我们可以得到向量的复数表示。
利用复数表示向量后，我们可以方便地进行向量运算，如向量的加法、减法、数量乘法等，从而简化计算过程。
三、利用复数解决平面几何问题利用复数法解决平面几何问题的关键是要灵活运用复数的性质和运算规则。
例如，在解决线段的中点问题时，我们可以利用复数的加法和数量乘法运算轻松得出线段的中点坐标。
同样，在解决直线的垂直平分线问题时，我们可以利用向量复数表示和向量垂直的性质推导出垂直平分线的方程。
此外，利用复数法还可以解决三角形的性质问题。
例如，在解决等边三角形的外接圆问题时，我们可以利用复数表示三角形的顶点，通过求解复数的模长和距离的关系得出外接圆的半径。
这种方法不仅简洁高效，而且可以避免繁琐的计算过程。
四、复数法解决平面几何问题的优点与传统的解题方法相比，复数法在解决平面几何问题时具有以下优点：（1）简化计算：通过利用复数的性质，可以通过简单的加减乘除运算得到所需的几何性质或结果，避免繁琐的计算过程。
高中数学竞赛技巧分享
高中数学竞赛技巧分享在高中时期，许多学生参加数学竞赛以提高自己的数学能力和解题能力，但这种竞赛往往让人感觉比较难以应对。
下面就为大家分享数学竞赛的一些技巧，希望能对大家有所帮助。
一、做题技巧1. 有计划地做题在做数学竞赛时，一定要有一定的计划性，按照有序地进行。
可以先从简单的题目开始做，慢慢地深入到难度较大的题目中。
不要在看到难题就放弃，可以先做一些简单的题目，积累信心，再来应对难题。
2. 留出思考时间遇到比较难的题目时，不要急着下手，可以先把题目看一遍，理解题目的意思，思考一下。
不要着急进入解题环节，调整好自己的心态和思维模式，跳出固有思维模式，看待问题的多个方面。
这样更容易发现问题的优点和漏洞，从而更快地解决问题。
3. 列式子的必要性在解決數學競賽時，列式子是一项非常实用的技能。
列式子不仅可以帮助我们更好地理解问题本质，而且还可以更加简单地解决问题。
二、备赛技巧1. 多做习题册许多人都知道，要在数学竞赛取得好成绩，平时需要多做习题册，积累各种各样的题目，从而提高自己的解题能力。
在做题时可以多看看人家的解题思路和解题方法，比如可参考书籍，或前辈的优秀成绩及解题模式，了解他们的思考模式和解题思路。
取长补短，得到提升。
2. 多参加模拟考试要想在数学竞赛中脱颖而出，参加模拟考试是必不可少的。
模拟考试不仅可以让我们更好地了解考试的情况和流程，还可以为我们提供很好的练习机会和实战经验。
通过模拟考试，我们可以更好地发现自己的优缺点，找到合适的方法提高自己的实力。
三、心理技巧首先，学生应该保持冷静，不要投入过多的情感。
当然，在做题时出现问题是很正常的，特别是对于初学者。
但是，要保持冷静，不要慌张，更不要陷入沮丧。
可以稍微休息一下，调整一下状态，再继续做题。
其次，保持专注，不要因为身旁的一切或其他因素而分心。
在做题时，要集中注意力，全神贯注，不要过多地思考其他事情。
这样可以更好地掌握解题技巧，更高效地解决问题。
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高中数学竞赛中不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。
希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式 定理1设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和)1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明： 本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。
不等式1212...nr r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上， ()()()0n n n n nk r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当nr n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好na 和nb 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)nn n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b c a b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++有3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++即lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故3()a b c a b ca b c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++ 两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333ab c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++333333111a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r snnn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑. （1-2） 思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式.证明：令1s nj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然12...n d d d ≥≥≥ 因为12...n b b b ≤≤≤ ， 且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式1nsr s b d r s =≤+∑ 又因为12...n a a a ≤≤≤所以11r nnr r i r r r a d a d ==≤∑∑且111nnnsr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故11111r ssrn nn nni j j iri rr s r s r a b b a a dr s r s =======++∑∑∑∑∑11111n n nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故 原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式.其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =，12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明： 先证()()G n A n ≤.记c =i i a b c=，则 原不等式12...n b b b n ⇔+++≥其中12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥下证()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n +++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号.下面证明()()H n G n ≤ 对n 个正数12111,,...,na a a ，应用()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+. 证明：由于01a <<，0,0x y a a >>，有x y a a +≥=从而log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+下证 128x y +≤ ， 即 14x y +≤。
又因为 2111()244x y x x x +=-=--+≤，等号在x=12(这时y=14)时取得所以 1log ()log 28x ya a a a +≤+ .例5（IMO ）设a,b,c 是正实数，且满足abc=1. 证明：111(1)(1)(1)1a b c b c a-+-+-+≤证明：令,,y y za b c x z x===，其中x,y,z 是正实数，将原不等式变形为 ()()()x y z y z x z x y xyz -+-+-+≤ （2-1）记,,u x y z v y z x w z x y =-+=-+=-+，注意到u,v,w 任意两个之和是一个正数，所以它们中间至多有一个负数. 如果恰有一个负数，那么0uvw xyz ≤<，（2-1）式成立. 如果这三个数都大于0，由算术—几何平均不等式1()2x y z y z x x -++-+=y ≤z ≤ 于是xyz ≤即 uvw xyz ≤，（2-1）式得证.例6 已知12,,...,0n a a a >，且12...1n a a a +++=.求证：1223131211...1...1 (21)n n n n a a a na a a a a a a a a n -++≥++++++++++++-.思路分析：左边各项形式较复杂，首先将其化简为112(1)22nni i i i ia a a ===---∑∑. 左边为和的形式，但其各项之和难与右边联系，利用算术平均大于几何平均难以求证，而左边各项22ia -可看为倒数形式，尝试用调和平均. 证明：不等式左边化为112(1)22nni i i i i a a a ===---∑∑， 对12222,, (222)a a a ---，利用()()A n H n ≥有111222n ini i ii a n a n a ==≥--∑∑即22211221122122nini i i a n n n n n n a ==-≥==---∑∑ 所以2111222(1)22221nn ni i i i i i i a a n n n a a n ===-=-=-≥----∑∑∑21n n =- .3．柯西不等式柯西不等式的推广 命题1若级数∑∑==ni i ni i b a 1212与收敛，则有不等式∑∑∑===≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i n i i n i i i b a b a 121221。