高等动力学2.2
高等动力学
T T0 T1 T2
式中
(1.3.20)
1 l l T2 a jk q j qk 2 j 1 k 1
1 T0 a0 2
T1 a j q j
j 1
l
（1.3.21）
分别为广义速度 q j ( j 1, 2,..., l )的零次、一次、二次齐函数。用动能Fra bibliotek示的动力学普遍方程
韩伟
用动能表示的动力学普遍方程
仍讨论N个质点 Pi(i 1, 2,..., N ) 组成的带有r个完整约束 和s个非完整约束的系统， 选取l 3N r 个广义坐标 q j ( j 1, 2,..., l ) 表示系统的位形， 系统的自由度为 f 3N r s 。 各质点的矢径 ri (i 1, 2,..., N )由广义坐标完全确定，
（1.3.22）
质点系具有定常约束时，ri t 0 ，即 a0 a j 0, a jk 中不显含时间， 则有
T T2
(1.3.23)
因此定常约束情况下质点系的动能是广义速度的二次齐函数。
谢谢大家！
(i 1, 2,..., N ; j 1, 2,...l )
(1.3.16a)
将 ri 对某个广义坐标 q j 求偏导数，并交换对时间t求导的次序， 导出第二个恒等式
ri d ri ( ) q j dt q j
(i 1, 2,...N ; j 1, 2,...l )
（1.3.16b）
（1.3.17）
式中T为质点系的动能
1 T mi ri i r i 1 2
N
（1.3.18）
将式（1.3.4）和（1.3.17）代入式（1.3.13），得到用动能 表示的动力学普遍方程
高等动力学 第二章 2.3
例2.6 在倾角为α 的冰面上运动的冰刀，简化为长度 为l的均质杆AB，其质心0c的速度方向保持与刀刃AB一 致。试利用阿佩尔方程建立冰刀的运动微分方程。
解：将广义坐标中的xc，ϑ的
导数取作准速度，令
，从例1.3给 c，u 2 u1 x 出的约束方程解出 c x c tan (a) y
与广义坐标xc，yc，ϑ对应的广义力依次为
Q1 0，Q2 -mgsin ，Q3 0
代入式（2.3.16），令h11=1，
（b）
h12=tanϑ，h32=1，其余hjv为零， 导出
~ ~ Q1 mgsin tan，Q2 0 (c)
将约束方程（a）对t微分一次，化作
2 yc xc tan xc sec
(c)
将式（a）和（c）代入阿佩尔方程（2.3.19），得到 与例1.10相同的运动微分方程。
3.刚体的加速度能量
刚体内质量为 mi的质点的加速度 ri可分解为 i 质心加速度 rc和由转动引起的相对加 速度 p i c i (2.3.20) r r p
将式（2.3.8）对t再微分一次。得到
ri
l j 1
i r j (与q j无关项 ) （i 1 q ， 2， ，N）（2.3.11 ） j q
利用上式及P20（1.3.16a）导出
i ri ri r j q j qj q (i 1 ， 2， ，N；j 1， 2， ，l ) （2.3.12）
将式（2.3.9），（2.3.10）和（2.3.12）代入动力 学普遍方程（2.3.7），适当改变求和顺序，得到
l N
f
[
(
高等大气动力学讲义
高等大气动力学讲义(第三稿)第一章引论1、大气动力学的内容，方法和意义2、高等大气动力学讲述的主要内容3、大气动力学发展(简)史1、大气动力学的内容，方法和意义1.1内容大气动力学把地球(行星)大气作为连续介质(流体)，用流体力学、热力学定律研究其中发生的各种尺度的宏观运动，总结运动规律，探索运动的机制，为预测大气的运动提供理论基础。
高等大气动力学：对物理内涵的阐释更加精准，使用的数学方法更加严谨，得出的结论更具普遍意义及一般性。
该课程与大学所修“动力气象学”之关系，类似普通物理学与理论物理学之关系。
大气(地球流体)大尺度运动与普通流体之运动主要异处有三：①层结性：层结性使之更具“弹性”；②旋转性：旋转性使之更具“刚性”；③斜压性：斜压性使之更具“活性”。
此为地球流体(大气与海洋)大尺度运动之主要特性，此外，大气运动还有以下独特属性：④气压场(质量场)、温度场、湿度场均与流场耦合，而非相互独立；⑤不同时空尺度的运动之间存在复杂的非线性相互作用。
就大气运动而言，水汽相变至为重要且困难；辐射过程为另一重要且复杂之过程。
这些过程令大气运动之动力过程与热力过程相耦合，能量过程与物质过程相耦合，使问题复杂化，然亦令大气运动运动丰富且独特。
此外，非线性过程令不同尺度(时间尺度、空间尺度)之运动间耦合，亦使大气运动复杂而多彩。
大气中各种时空尺度的运动规律及其物理机制，不同时空尺度运动间的相互作用，是大气动力学研究的核心内容。
本课程主要关注大气的大尺度运动。
图1.1 该图给出了辐射传输、水汽过程、大气运动等热力、动力过程的耦合。
大气辐射过程与大气中的水汽含量和分布密切相关，水汽的分布状况有强烈依赖于大气运动，而大气的运动多于热源强迫有关，热源的状况本质上又是辐射过程决定。
如此以来，热力过程与动力过程相耦合，形成一个相互作用的复杂的系统。
复杂系统往往较为稳定，形成观测到的相对稳定的气候。
1.2 方法①观测(实验)研究：获得(收集)观测资料加以分析，去粗取精，去伪存真，发现最核心的物理现象，提出科学问题。
高等动力学课程总结
高等动力学课程总结刚进入博士一年级，所参与的课题是水下机器人的控制研究，进入课题组的时候，所涉及到的相关课题中的涉及到的很多的运动系统模型基本不知所以然，看了很多关于水下机器人的书籍和文献，但是对其中的一些物理量也缺乏明确认知。
很是庆幸的是开学的时候听从了师兄的意见选修了《高等动力学》的课程，通过这一学期的学习，对分析力学、刚体力学等有了一些了解，对后续的课题研究打下了扎实的基础。
《高等动力学》课程主要包括三个部分的内容，分别是分析力学，刚体力学和稳定性理论。
分析力学通过引入广义坐标将传统矢量力学的矢量分析方法转化为直接运用数学分析的方法，研究宏观现象中的力学问题。
分析力学的是独立于牛顿力学的描述力学世界的体系；刚体力学包括刚体运动学和刚体动力学两个基本部分内容，主要讲述特殊质点系-刚体在外力作用下的运动规律；运动稳定性理论则主要介绍了稳定性的基本分析方法和判别方法及思路。
分析力学分析力学的最基本出发点是引入了广义坐标的概念，并利用约束的概念建立了广义坐标变量之间的相互关系，即约束方程。
在此基础上，引入了与矢量力学中牛顿动力学基本定律相对应的动力学普遍方程。
此后在动力学普遍方程的基础上通过不同的变化与数学推导，引出了适用于完成系统的拉格朗日第二类方程，哈密顿正则方程、罗斯方程和适用于非完整系统的拉格朗日第一运动方程、劳斯方程、阿贝尔方程和凯恩方程，在引入各方程的过程中引入了相对应的常见动力学量的广义坐标形式和广义动力学量。
相比于经典力学中矢量力学分析方法，分析力学在分析过程中，完全避免了约束力在方程中出现，极大程度上减小了方程处理的难度。
刚体动力学刚体的一般运动可以分解为随质心运动的平移和相对质心的转动。
刚体的平移可直接利用质心运动定理转化为质点动力学问题，因而刚体绕定点的转动是刚体动力学的主要内容。
其主要内容包括刚体绕定点转动的运动学和动力学两大部分。
稳定性理论稳定性理论课程中，主要介绍了运动稳定性理论、Lyapunov 直接法、保守系统的平衡位置与定常运动稳定性、力的结构一起对运动稳定性的影响。
高等结构动力学2
t
p (τ )
数值积分递推计算公式：v N = AN sin ω D t N − B N cos ω D t N 矩形公式： 曲边梯形：
AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) +
二次曲线： AN = AN −2 exp(−ξω∆τ )
+ ∆τ 3mω
∆τ y N −1 exp(−ξω∆τ ) mω D ∆τ [ y N −1 exp(−ξω∆τ ) + y N ] AN = AN −1 exp( −ξω∆τ ) + 2 mω D
FFT计算法则(续) ③ WNnm计算方法
(2 nm WN = WN
γ −1
nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 + 2γ − 2 mr − 2 +L+ m0 )
∵
a +b a b WN = WN WN
∴ W
nm N
=W
( 2γ −1 nr −1 + 2γ − 2 nr − 2 +L+ n0 )( 2γ −1 mr −1 ) N
1.1 无阻尼精确解(续)
广义卷积(General Convolution Integral)：
v(t ) = p(τ )h(t − τ )dτ
0
∫
t
(t ≥ 0)
单位脉冲响应函数(Unit-Impulse Response Function)：
高等结构动力学
SC — 地基土对地震谱影响
ξ — 阻尼比
T — 周期
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
3.1确定合适的地震输入(续) ¾响应谱简化 S = S (SC ,ξ , T )
结论：地震土越硬，卓越周期越小，带宽越小
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
&& }+ [C ]{∆δ & }+ [K ]{∆δ } = {∆p(t )}+ {p T (t )} [M ss ]{∆δ vs ss vs ss vs
&& }− ([C ]{∆δ& }+ [C ]{∆δ& }) {∆p(t )} = −[M ss ]{∆δ ps ss ps sg g
&& (t )}− [C ]{∆δ& (t )}− {F (t )} {p (t )} = {p(t )}− [M ]{∆δ
概率性线性地震反应分析 各态平稳随机过程 自相关函数、功率谱密度、概率分布 概率性非线性地震反应分析
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
小结
桥梁地震反应分析
实际地震波输入 确定合适的地震输入 模拟地震波输入 分步计算增量方程 建立系统的数学模型 静力平衡解耦方程 非线性地震时程分析 选择有效的求解方法 逐步积分法求解
同济大学土木工程防灾国家重点实验室、桥梁工程系
1. 桥梁抗震设计现状(续)
1.3 引起震害原因
¾地震问题 砂土液化、地基下沉、岸坡滑移或开裂 ¾结构问题 形式、构造或连接措施不当引起的落梁 ¾地震力分布问题 桥梁各支承点的地面运动不一致 ¾设计问题 墩柱本身抗震能力不足造成的破坏
大学精品课件：动力学2-2
质点系的动量(momentum of particle system)
n
p mi vi i 1
矢量和，没有涉及 动量的位置
m
v r
r
2v 2
质心的运动 相对质心的运动？
2mm
作用力的位置？
1
2
动量的‘位置’ 、力的‘位置’
mv
mv
5m
5m
3
动量矩 Moment of momentum (Angular momentum)
yivix )
7
平移刚体的动量对O点之矩 有无意义？
n
mi
v
vC
Lo (ri mi vi ) i 1 n
z
ri rC
(ri mi vC ) i 1 n
( miri ) vC i 1
o
y
x
(mrC ) vC
rC (mvC )
8
定轴转动刚体的动量矩
zik rxy
ri
O
n
n
Lo (ri mi v) miri (k ri )
i 1
i 1
n
n
ri '(miaC ) ( miri) aC
i 1
i 1
17
例：半径为R，质量为m的均质圆盘，静止放在光滑地面上，其 上作用有力偶，如图所示，求在力偶作用下质心的加速度，角加 速度。
y
F C
xF
解：由质心运动定理
maC 0 vC 0 rC 0
由相对质心的动量矩定理
i 1
i 1
ri zk rxy k ri k rxy
n
Lo mi (zkk rxy) (k rxy )
高等动力学2
δW (Q
j 1
k
j
Q gj )δq j 0
广义虚位移q1、q2、…、qk独立且任意
Q j Q gj 0
j 1,2, , k
上式表明质点系的动力学普遍方程也可表示为 广义力与广义惯性力之和等于零。它是代数方程， 其数目等于系统的自由度数。
(3)拉格朗日方程
n 1 1 2 l r l T ml v l ml r l 1 2 l 1 2 k r r rl 1 k rl l l q q mi i j q q t t 1 l 1 2 i i j 1 j k 1 k k i q j bi q i c aij q 2 i 1 j 1 i 1 n n
高等动力学
应祖光
yingzg@
第二章 拉格朗日方程
1 2 3 4 第二类拉格朗日方程 拉格朗日方程的应用 耗散力与陀螺力 能量积分与循环积分
1.第二类拉格朗日方程
(1)动力学普遍方程
质点系由n个质点组成，受到s个完整约束，系统自由 度为k=3n-s。 取广义坐标q1、q2、…、qk，任一质点的矢量坐标通过 广义坐标表示为ri=ri(q1,q2,…,qk;t)。 质点的质量为mi，受到主动力Fi与约束力Fci作用，再 加上惯性力 F gi mi a i 。 根据达朗贝尔原理，质点系的所有主动力、约束力和惯 性力在形式上组成平衡力系，满足平衡条件。
d T dt q j
T Qj q j
j 1,2, , k
它是常微分形式的方程，其数目等于系统的自由 度数。 该方程由系统动能与广义力确定，它们都是代数 量、计算方便。 对于受理想约束的系统，该动力学方程不包含未 知的约束力，故没有“多余”的动力学关系。 如果需求约束力，可解除相应的约束，将约束力 转化为主动力，从而通过广义力进入拉格朗日方 程，同时系统的自由度或方程数也随之增加。
《高等动力学》PPT课件
3m x 1 m (x 1 kx 2 2 2 L 2 x ) 1 r 2 2 2 r
广义能量积分为
T2 T0 V
循环积分为
2 3 m1 x 2
1 kx 2 E 2 1 m ( x x ) r 2 2 2 r
T 3m x 1 m2 ( x xr ) C x
d L j dt q
d L j dt q
L q 0 j
0
L C j j q
循环积分
V与广义速度无关
L T p p — 广义动量 j j j q j q
刚体平动和定轴转动时广义动量的物理意义?
2018年11月24日 Page 9
Page 11
例1:椭圆摆
取x和为广义坐标 2 2lx cos ) mB gl cos 2 1 mB ( x 2 l 2 L 1 mA x 2 2 a) x为循环坐标，存在循环积分
L m x A mB ( x l cos ) C x
劳斯函数
( q , q , , q , q 1 , q 2 , , q m , q m 1 , q m 2 ,, q l , LL m 1 m2 l C1 , C2 , Cm , t )
拉格朗日函数对非循环坐标及导数的复合导数： j L m j q L m L q L Cj qi qi qi qi j q j qi j
l ai d ( T1 ) T1 ( ai a j )q j (i 1, 2, l ) i dt q qi q j qi t j l l ai a j j gij q j )q 其中第一项可以表示为： ( q j qi j j a j ai ai a j g ji gij 注意到： gij q q qi q j j i
1高等动力学2014
2 1 c33
其中，cij表示方向余弦矩阵C(,, )中的第i行的第j列元素（i， j = 1，2，3）注意求得的欧拉角将是多组解，但各组解的刚体 位置是相同的，因此，只选择其中的一组解。
刚
体
动
力
学
机械学院
例1-1 设有一△OAB由图(a)所示的位置绕点O运动 至图(b)所示的位置，图中固定坐标系为Oxyz和随体坐标 系为Oxyz。求△OAB运动至图(b)所示的位置时，其连 体坐标系相对固定坐标系的欧拉角。
z
z
z
y
y
y
z y
x x
x
x
刚
体
动
力
学
机械学院
解：由图(b)所示的几何关系可以看出，其连体坐标系相对 固定坐标系的方向余弦矩阵为 z
刚
体
动
力
学
机械学院
刚
体
动
力
学
机械学院
定量分析，随体坐标系Oz轴转过角后，此时，刚体 上任意一点M在固定参考系Oxyz中的坐标为
cos y1 sin z1 0 x x1 sin y1 cos z1 0 y x1 0 y1 0 z1 1 z x1
0 2π,
0 π,
0 2π
刚体作定点运动时，欧拉角、 和是时间的单值连 续函数，可分别表示为
f1 (t ),
f 2 (t ),
f 3 (t )
这就是定点运动刚体的运动方程。
高等结构动力学
2、系统特点 ①惯性元件为质点
②弹性元件为无质量弹簧
③不计次要自由度
2.1.2 系统数学模型——二阶常系数线性微分方程
f (t ) kx mx
kx f (t ) mx
k m
f (t )
x
f (t ) k ( x 0 ) mg mx
mg k 0
cos(t ) 0
代入得：
max 0
max 0
1 2 2 2 2 2 2 2 m1l m2 l 0 k1l1 k2 l2 0 3
ke 1 2 me m1l m2l 2 3
k1l12 k2l22
——系统固有频率
x 2x 0
f
2
1 2 f
(Hz)
T
(s)
——系统固有周期
2.1.4 固有频率计算
1、直接法
kx 0 mx
k m
(1)简支梁固有频率计算
k
1
k 48EI l3
m
l
l3 48 EI
48EI ml 3
(2)悬臂梁固有频率计算 ①弯曲变形
x Cet sin(Dt D )
4、振幅C和初相位
x0 C sin D
D
0 C sin D DCcosD x
x x0 2 C x0 0 D
2
——振幅 ——初相位
D arctan
D x0 0 x0 x
ln
1 (4 2 2 ) 2
Ai 2 k k Ai k 1 2
《高等动力学》课件
一质量为2kg的物体在力F=-3t^2+4 的作用下，从速度v0=3m/s开始做减 速运动，求t=2s时的速度和位移。
答案部分
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
答案1
牛顿第二定律的数学表 达式为F=ma，其中F 为物体所受合外力，m 为物体的质量，a为物 体的加速度。牛顿第二 定律的物理意义是描述 物体运动状态变化的原 因和规律，即力是改变 物体运动状态的原因。
01
高等动力学在研究基本粒子的运动规律和相互作用中具有重要
应用。
Байду номын сангаас
核聚变与核裂变
02
高等动力学用于分析核聚变和核裂变过程中粒子的运动轨迹和
相互作用机制。
等离子体物理
03
高等动力学在等离子体物理领域中用于研究等离子体的运动特
性和稳定性。
在天文学领域的应用
行星运动规律
高等动力学用于研究行星和其他天体的运动规律，揭示宇宙演化 的奥秘。
积极参与国际交流与合作，吸收国际先进经 验，推动高等动力学的发展。
CHAPTER
06
习题与答案
习题部分
习题1
简述牛顿第二定律的数学表达式及其物 理意义。
习题3
一质量为1kg的质点在力F=-2t^2+4 的作用下，从静止开始运动，求质点
的速度和位移与时间的关系。
习题2
计算一质量为2kg的物体在力 F=3t^2+4的作用下，在t=2s时的速 度和加速度。
特性
高等动力学具有理论性强、数学要求 高、应用广泛等特点，是物理学、工 程学、天文学等学科的重要基础。
高等动力学的重要性
基础学科地位
高等动力学是物理学的重要分支 ，为其他学科提供了理论基础和 工具，促进了科学技术的发展。
高等动力学课后习题答案及考题解答
(V )
∫ ρ x dV (2)
2
Jx =
(V )
∫ ρ y dV (3)
2
由(1)(2)(3)式，得：J z = J x + J y
（2） J z = J x + J )
并且J z = J x + J y ∴
(V )
2
+ y 2 )dV =
2
+ y 2 )dV +
ju s
w
tan α = 3 / 4 = ψ / ω sin α = 3 / 5 = ψ / ϕ
w w
z
i
.n
ψk
i i
tjx
i
vC = v A + ω × rAC
ψ = (3 / 4) ω = 15 ϕ = (5 / 3)ψ = 25
t = 0 时， ω = 15k + 25k '
因为瞬时转动轴始终在 xoy 平面内，所以 ω 也在 xoy 平面内， ω z = 0 即 ω = ωx i + ω y j
解得： ωC =
aωa − bωb a −b
1 vC = (aωa + bωb ) × e 2
第三篇 刚体动力学 第一章 物体的二次惯量矩（P254） 1、 （1） 薄片平面 ⇒ J z = J x + J y
∵ 厚度为0, ∴ z = 0 Jz =
(V )
∫ ρ(x
2
+ y 2 )dV (1) J y =
^
π
同理可证： 当A > C时, ω位于Go和k '之间。
3、设 ox y z 为刚体在 o 点的惯性主轴坐标系。
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高等结构动力学目录
《高等结构动力学》李东旭，科学出版社，2010.9第1章绪论1.1 结构动力学研究的基础内容1.2 结构动力学研究的基本方法思考题与习题第2章单自由度系统的动力学特性2.1 概述2.2 无阻尼系统的自由振动2.3 有阻尼系统的自由振动2.4 周期载荷作用下的强迫振动2.5 任意载荷作用下的强迫振动思考题与习题第3章多自由度系统的动力学特性3.1 概述3.2 无阻尼系统的自由振动3.3 固有频率与固有模态的特性3.4 有阻尼系统的自由振动3.5 确定基频的近似方法思考题与习题第4章多自由度系统的动力学模型4.1 概述4.2 拉格朗日方程4.3 拉格朗日方程在振动系统中的应用4.4 约束坐标与拉格朗日乘子4.5 受约束结构的振动思考题与习题第5章求解特征问题的数值方法5.1 概述5.2 分解法5.3 迭代法5.4 变换法5.5 三对角矩阵的特征值与特征向量思考题与习题第6章模态参数辨识的基本原理6.1 概述6.2 黏性阻尼系统6.3 结构阻尼系统6.4 单自由度系统频响函数分析(曲线分析) 6.5 多自由度系统频响函数分析6.6 模态参数辨识的基本方法思考题与习题第7章部件模态综合法7.1 概述7.2 基本概念7.3 无阻尼自由振动系统的综合7.4 自由部件模态7.5 残余柔度及残余部件模态思考题与习题第8章结构动力学系统固有特性理论8.1 概述8.2 特征值的变分式8.3 强迫振动8.4 Collatz包含定理8.5 改进的Collatz定理及包含定理之间的关系8.6 实对称矩阵的非正特征值数8.7 基于动刚度的特征值计数法8.8 基于凝聚动刚度的特征值计数法8.9 约束定理证明思考题与习题第9章多自由度系统的强迫振动9.1 概述9.2 求解强迫振动的直接积分法9.3 方程的解耦与模态响应思考题与习题第10章模态叠加法10.1 概述10.2 模态位移法10.3 模态加速度法10.4 含有刚体模态的模态叠加法思考题与习题第11章一维连续系统的动力学建模与分析11.1 概述11.2 弦的振动11.3 杆的纵向振动11.4 杆的扭转振动11.5 轴系的扭转振动11.6 梁横向振动的一般情况11.7 梁横向振动的特殊情况11.8 圆环的振动思考题与习题第12章二维连续系统的动力学建模与分析12.1 概述12.2 薄膜的振动12.3 板的横向振动12.4 壳的振动思考题与习题第13章固液耦合系统的动力学建模与分析13.1 概述13.2 液体储箱壳体的固有特性13.3 盛液储箱固液耦合下的纵向振动13.4 考虑固液耦合时箭体的纵向振动13.5 箭体的横向振动与液体晃动问题思考题与习题第14章航天器空间桁架结构动力学建模与分析14.1 概述14.2 简化模型14.3 直梁式架设桁架动力学分析14.4 直梁式可展桁架动力学仿真14.5 结构桁架的模态分析14.6 结构桁架的谐激励响应14.7 结构桁架的瞬态响应14.8 小结思考题与习题第15章航天器太阳能电池翼结构动力学建模与分析15.1 概述15.2 太阳能电池翼基板连接刚度的参数识别15.3 刚性组合基板的动力学建模与分析15.4 柔性组合基板的动力学建模与分析15.5 一类卫星太阳能电池翼的结构动力学特性分析思考题与习题附录A 课程设计题目附录B 部分习题答案主要参考文献《高等结构动力学》唐友刚，天津大学出版社，2002第1章绪论1.1 结构动力学发展简介1.2 结构动力问题的特点1.3 结构动力问题的分类1.4 结构系统的动力自由度及其离散1.5 振动能量耗散与阻尼力1.6 建立运动方程的方法综述第一篇线性振动第2章单自由度系统振动2.1 运动方程的建立2.2 无阻尼系统自由振动分析2.3 有阻尼系统自由振动分析2.4 简谐荷载作用下的动力响应2.5 周期荷载作用下的动力响应2.6 冲周荷载和任意动荷载作用下的动力响应第3章多自由度系统振动3.1 运动方程的建立3.2 系统无阻尼自由振动3.3 多自由度系统阻尼的处理3.4 无阻尼强迫振动响应计算3.5 有阻尼强迫振动响应计算3.6 主、从系统的减振设计第4章分布参数系统的振动4.1 直梁弯曲振动的微分方程4.2 直梁弯曲振动的固有特性4.3 固有振形的正交性4.4 用振形叠加法计算强迫振动响应4.5 直杆的轴向振动、扭转振动和剪切振动4.6 链状结构的传递矩阵法第5章大型结构系统的振动分析方法5.1 动力问题的有限单元法5.2 无约束结构系统分析5.3 里次法及子空间迭代法5.4 动态子结构的模态综合法第二篇非线性振动第6章非线性系统的解析方法……第7章多自由度系统与参数振动第8章动力响应计算的数值方法第三篇工程中的若干振动问题第9章大开口船弯扭耦合振动分析第10章大型储液器液固耦合振动分析第11章海洋平台张力腿波、流联合作用的动力响应参考文献。
高等动力学习题答案（1[1]23章）
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高等动力学习题答案第一章1.1解：由此图可以看出，该均质杆的长度为L,并已知该杆的两个端点的坐标分别为A （1x ,1y ）,B （2x ,2y ），建立坐标系，根据其几何关系可确定其约束方程：（1x - 2x ）2+ (1y -2y ）2=L 2 又∵△BOD ∽△BAC∴h/(1y -2y )=(-2x )/( 1x - 2x )=222x h +/L所谓的完整系统即系统中的约束均为完整约束（仅对质点的位形加以限制约束）的系统，在此系统中的约束仅对杆的位形加以限制约束，故为完整系统。
另外，均质杆的B 和O 两点与台阶构成点接触（高副），故f=3-2=1即自由度为1。
O()111x y P，()222x y P ，∙∙vxy题1.2图1.2.解：因为制导系统保证质点p 1的速度v 始终对准质点p 2，所以，p 1p 2所形成的直线)(x f y =的斜率为2121yxy yx xθ-=-＝tan可见是对位形和速度加以限制，此系统是非完整系统。
因为p 2有两个自由度，p 1有一个自由度，所以此系统有三个自由度。
1.3．解：（1）因为AB 是长度为l 的刚性杆，故AB 两点坐标应该满足方程为：2l（2）选择中点C O 的坐标c x ,c y 和相对轴X 的倾角θ为广义坐标。
因为接触点A 的速度只能沿与AB 杆垂直方向即:11yx=-cot θ ①2121cot x x y y θ-=- ②①②两式联立得: 121121()()0xx x y y y -+-= (3)32312L H f n p p =--=-= 故此系统为二自由度的非完整系统。
1.4 解:由几何关系知12cos 22lR ϕϕ+= 12002cos 2l l l R l ϕϕ+∴∆=-=- 对系统有 2222112222120112211(2cos )222T m R m R V k l k R l ϕϕϕϕ=++=∆=-因此,拉格朗日函数为 222221211220111(2cos )2222L T V m R m R k R l ϕϕϕϕ+=-=+-- 所以21112111121201sin .2cos 22Lm R d L m R dt L kR R l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ∂=∂⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭++∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭由于1ϕ,2ϕ是对称的,所以有1212022222sin .2cos 22L kR R l d L m R dt ϕϕϕϕϕϕϕ++∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭由拉格朗日方程0j d L Ldt q q ⎛⎫∂∂-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭有 2121211021212220sin .2cos 022sin .2cos 022m R kR R l m R kR R l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭++⎛⎫--= ⎪⎝⎭⇒12121101212220sin .2cos 022sin .2cos 022m R k R l m R k R l ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭++⎛⎫--= ⎪⎝⎭所以,能量积分为T V C +=即222221211220111(2cos )2222m R m R k R l C ϕϕϕϕ+++-=化简为2222212112201(2cos)2m R m R k R l C ϕϕϕϕ+++-=1.5．选取两圆柱的转角21,ϕϕ为广义坐标，由题意可知.22.11ϕϕR R V B +=此系统的动能为：21.122211.22.21)(21)(212121ϕϕϕϕϕR m R R m J J T C B B A ++++=21121R m J B =22221R m J B =故：.212132.22.112.22222.2121121)(214141ϕϕϕϕϕR m R R m R m R m T ++++=.2.1212.22222.212132143)224(ϕϕϕϕR R m R m R m m m ++++= 系统势能：1322112)(ϕϕϕg m R R g m V ++-=拉格朗日函数： V T L -=)(43)224(22112112.2.1212.22222.2121321ϕϕϕϕϕϕϕR R g m gR m R R m R m R m m m ++-++++= 由拉格朗日方程：0)(.2.2=∂∂-∂∂ϕϕLL dt d （i=1,2） 0)224(21213..2212..121321=-++++gR m gR m R R m R m m m ϕϕ 1 02322..1212..2222=-+gR m R R m R m ϕϕ2整理1，2式， 其能量积分：C V T =+即：C R m R m R m g R R m R m R m m m =--+++++)(43)2(222112113.2.1212.22222.2121321ϕϕϕϕϕϕϕ 1.6解；此系统的自由度=21021323=-⨯-⨯=--h l p p n ，此系统为二自由度完整系统。
高等结构动力学 目录+第一章
结构动力学目录第一章：绪论第二章：运动方程的建立方法2.1、直接动力平衡法2.2、虚功原理2.3、Hamilton原理2.4、Lagrauge方程第三章：单自由度（SDOF）体系的振动理论（Single Degree of Freedom）3.1、自由振动:即固有振动3.2、谐振荷载响应3.3、对周期性荷载的响应3.4、对冲击荷载的响应3.5、对一般动荷载的响应3.6、非线性结构的响应3.7、状态空间法在动力学中的应用简介第四章：多自由度体系的振动理论（MDOF）4.1、自由振动4.2、动力响应的分析4.3、实用振动分析4.4、非线性结构的分析4.5、多支座扰动问题简介4.6、复模态理论简介第五章：连续弹性体系的振动理论5.1、梁、板的无阻尼自由震动5.2、梁、板的动力响应的分析5.3、波传播的分析第六章：结构随机振动理论6.1、随机过程简介6.2、谱分析理论基础6.3、地震动模型6.4、经典结构随机振动理论简介6.5、虚拟激励法第一章绪论第一节：结构动力学的研究内容和目的研究范畴：研究结构、动荷载、结构反应三者之间关系的学科，即研究动荷载作用下结构或构件内力和变形规律。
主要目的：介绍任何给定模型的结构在承受任意动荷载时所产生的应力和挠度的分析方法。
1、动力作用与静力作用动力作用：a不能忽略。
静力作用：a=0或者a 很小，可以忽略不计。
动荷载定义：大小、方向和作用点随时间而变化的任何荷载；在其作用下。
结构上的惯性力与外荷比不可忽略的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍可视作静荷载。
静荷载只与作用位置有关，而动荷载是坐标和实践的函数。
2、 动荷载的类型：↗确定性→数定分析 deterministic动荷载↘非确定性→非数定分析 non deterministic↗简谐性周期性↗ ↘非简谐性确定性荷载↘ ↗冲击荷载非周期性→突加荷载↘其他确定规律的动荷载↗风荷载非确定性荷载→地震荷载↘其他无法确定变化规律的动荷载借助于傅立叶分析，任何周期荷载引用一系列简谐分量的和来表示。
高等结构动力学_p36_p44
第二章两自由度系统2.1 无阻尼自由振动对应第一阶固有频率w1的振动形状称为第一主振型，或第一主模态。
对应第二阶固有频率w2的振动形状称为第二主振型，或第二主模态。
有时也将主振型叫固有振型（只与结构参数有关，与其它条件无关）。
固有频率与振型一一对应，固有频率是定值，固有振型中振幅比值也是定值，振幅与初始条件有关。
自由振动微分方程的全解为：任意常数。
m2处作用单位力在该点产生的挠度,α12(α21),表示在m2(m1)点作用单位力而在m1(M2)点产生的挠度。
系统在作自由振动时，设m1和m2的位移为x1和x2，则它们的惯性力分别为－m1x1，一m2x2，于是可建立起系统的振动微分方程2．2有阻尼受迫振动动力减振器，m1是主质量，在主质量上作用有檄振力F0sin(wt)，因此m1将作受迫振动，为减轻m1的振动，在其上加一动力减振器，动力减振器的质量为m2，用弹簧K2和阻尼c与主质量联接。
设其阻尼为粘性阻尼．位移x1，x2均由质量的静平衡位置开始计算，对每个质量应用牛顿定律，则可建立系统的振动方程或受迫振动的稳定响应的频率与激振力的频率相同，其振幅不仅与激振力的力幅大小和频率有关，而且与组成系统的参数有关。
在工程实际中，为利用或消除振动对系统的参数选择就显得尤为重要。
2.3 动力减振器本节讨论动力减振器的设计原理及最佳阻尼。
动力减振器由附加质量m2、附加刚度K2与阻尼器c组成，其目的是为了减小主质量m1的振动，也就是要使式中A1减小。
引入无量纲化参数：（1）ζ=0情况当A1／x st＝0时，得到λ＝δ，也就是当激振频率ω等于减振器的固有频率ωa时，主质量的振幅为零。
减振器的工作效率最高。
无阻尼减振器的缺点是要求激振频率一定要稳定在ωa 这一点(或一个很小的区域)。
当激振频率稍微变化大一点时，振幅A1立即上升很大，因此，这在实际上是不适用的。
特别是无阻尼系统对越过共振区也是不利的，为了克服无阻尼动力减振器工作领带太窄的缺点．一般都使用有阻尼减振器。
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L/O/G/O
THANK YOU!
f 1 x12 x 2 2 x3 2 l 2 0 f2( bx1 bx2 bx3 b) 2 ( h) 2 ( ) 2 h 2 0 l l l
写出此约束方程的变分形式：
x1x1 x 2x 2 x3x3 0 b 2 ( x1 l )x1 b(bx2 hl)x 2 b 2 x3x3 0
ki i i 1
3N
(k 1,2,..., r s)
xi dxi dxi
*
**
(2.2.2)
具有理想双侧约束的质点系在 运动的任意瞬时，其主动力和 惯性力在系统的任意虚位移中 系统内各质点的运动必须满足动力学普遍方程 所做的元功之和等于零。
(F m r ) r 0
（上一章中导出的拉格朗日方程（1.3.30）也 称为第二类拉格朗日方程）
2.拉格朗日乘子的物理意义
设一质点在固定面f(x1,x2,x3)=0上运动，取λ 为拉格朗日乘子，则第一类拉格朗日方程为
f Fi mi x i ( ) 0 xi
(i 1,2,3)
或写作
mi x i Fi (
Fi mi x i kAki 0
k 1
r s
(i 1,2,..., 3N )
(2.2.5)
此包含r+s个未定乘子的方程组（2.2.5）称为第一 类拉格朗日方程，未定乘子λk(k=1,2,…,r+s)称为 拉格朗日乘子。 由于方程中除待定的各质点坐标xi (i=1,2,…,3N)以 外,又增加了待定的拉格朗日乘λk(k=1,2,…,r+s)，共 有3N +r+s个未知变量，因此还必须同时列出r个完 整约束方程（1.1.2）和s个线性非完整约束（1.1.6） 才能使方程组封闭。
例2.3长度为l的无质量直杆一端用球铰O与支座固 定，如图示， 另一端固定一质量为m的小球A，长度为h的软绳一端固定于点C， 另一端固定于杆上的点B，BO的距离为b，平衡时OA水平，而BC 垂直。试用拉格朗日乘子法建立小球的运动微分方程。
解：小球具有一个自由度，设小球的坐标 为 x1, x2, x3 , 则点B的坐标为bx1 / l , bx2 / l , bx3 / l 由于OA和BC的长度不变，可列出两个约束方 程
f ) (i 1,2,3) xi
将上式与牛顿第二定律
mi x i Fi Ni (i 1,2,3)
相比较得到
f ( ) Ni (i 1,2,3) xi
从而看出拉格朗日乘子正比于约束力。这表明在 动力学普遍方程中已被消去的理想约束力通过拉 格朗日乘子又被引回来了。因此，利用第一类拉 格朗日方程可同时解出系统的约束力。 （虽然这种方法的未知变量和方程都增多， 但由于计算过程极为程式化，在计算技术高 度发展的今天，第一类拉格朗日方程又重新 受到重视，在工程技术得到实际应用。）
2.2拉格朗日乘子法
2.2拉格朗日乘子法
1 2
第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子法的物理意义
3
劳斯方程
不含多余坐标的 完整系统
拉格朗日方程
哈密顿正则方程
拉格朗日乘子法是处理非完整系统的一种方法，本 章介绍的第一类拉格朗日方程和劳斯方程都是拉格 朗日乘子法的具体应用，区别在于前者使用笛卡尔 坐标，后者使用广义坐标。
fk Aki xi
m x 2 F 2 1 A12 2 A22 f 1 f 2 F 2 1 2 x 2 x 2 mg 1 x 2 2b(bx2 hl)
m x3 F 3 1 A13 2 A23 f 1 f 2 F 3 1 2 x3 x3 2 1 x 3 2b x 3
f 2 b(bx2 hl) x 2
f 2 b 2 ( x1 l ) x1
f 2 b 2 x3 x3
m x1 F 1 1 A11 2 A21 f 1 f 2 F 1 1 2 x1 x1 2 1 x1 2b ( x1 l )
小球A受到的主动力为重力，沿轴 x 2的负方向，即有
F 1 0, F 2 mg , F 3 0
将式（b）分别乘以 导出
1, 2 ，代入第一个拉格朗日方程，
m x1 1 x1 2b 2 ( x1 l ) m x 2 mg 1 x1 2b(bx2 hl) m x 3 1 x 3 2b 2 x 3
推导过程
x1x1 x 2x 2 x3x3 0 b 2 ( x1 l )x1 b(bx2 hl)x 2 b 2 x3x3 0
f 1 f 1 f 1 x1 x2 x3 x1 x 2 x3 f 1 f 1 f 1 x1 x2 x3 x1 x 2 x3
1.第一类拉格朗日方程
设质点系由N个质点Pi(i=1,2,…N)组成，以3N个 笛卡尔坐标确定其位形。设系统存在r个完整约 束和s个线性非完整约束，约束方程统一写成
A dx A
ki i i 1
3N
k0
dt 0 (k 1,2,..., r s)
也可以写作关于虚位移的约束条件
A x 0
引入r+s个未定乘子λk，分别与式（2.2.2）中 标号相同的各式相乘，然后将它们的和式与式 （2.2.3）相加，得到
(F m x A
i i i k i 1 k 1
3N
rs
ki
) xi 0
(2定乘子λk ，使式 （2.2.4）中r+s个实现指定为不独立变分 i x （i=1，2，…，r+s）前的系数等于零，可得到 r+s个方程。 于是在方程（2.2.4）中只包含f个与独立变分 xi （i=r+s+1，r+s+2，…，3N）有关的和式。 这f个变分既然是独立变量，则方程（2.2.4） 成立的充分必要条件就是各坐标变分前的系数 等于零，共得到f个方程，连同已得到的r+s个 方程，总共可列出f+r+s=3N个方程：
i i i i i 1
N
将主动力Fi(i=1,2,…N)相对某个参考坐标系的3N 个分量依次排列为Fi(i=1,2,…3N)，则动力学普遍 方程的标量形式为
( F m x ) x 0
i i i i i 1
3N
(2.2.3)
xi 由于r+s个约束条件的存在，在3N个坐标变分 中只有f=3N-r-s个独立变量，至于3N个坐标变分中哪些 是独立的，则可以任意指定。