高等动力学2.2

例2.3长度为l的无质量直杆一端用球铰O与支座固 定，如图示， 另一端固定一质量为m的小球A，长度为h的软绳一端固定于点C， 另一端固定于杆上的点B，BO的距离为b，平衡时OA水平，而BC 垂直。试用拉格朗日乘子法建立小球的运动微分方程。
解：小球具有一个自由度，设小球的坐标 为 x1, x2, x3 , 则点B的坐标为bx1 / l , bx2 / l , bx3 / l 由于OA和BC的长度不变，可列出两个约束方 程
小球A受到的主动力为重力，沿轴 x 2的负方向，即有
F 1 0, F 2 mg , F 3 0
将式（b）分别乘以 导出

1, 2 ，代入第一个拉格朗日方程，
m x1 1 x1 2b 2 ( x1 l ) m x 2 mg 1 x1 2b(bx2 hl) m x 3 1 x 3 2b 2 x 3

f ) (i 1,2,3) xi
将上式与牛顿第二定律
mi x i Fi Ni (i 1,2,3)

相比较得到
f ( ) Ni (i 1,2,3) xi
从而看出拉格朗日乘子正比于约束力。这表明在 动力学普遍方程中已被消去的理想约束力通过拉 格朗日乘子又被引回来了。因此，利用第一类拉 格朗日方程可同时解出系统的约束力。 （虽然这种方法的未知变量和方程都增多， 但由于计算过程极为程式化，在计算技术高 度发展的今天，第一类拉格朗日方程又重新 受到重视，在工程技术得到实际应用。）

推导过程
x1x1 x 2x 2 x3x3 0 b 2 ( x1 l )x1 b(bx2 hl)x 2 b 2 x3x3 0
f 1 f 1 f 1 x1 x2 x3 x1 x 2 x3 f 1 f 1 f 1 x1 x2 x3 x1 x 2 x3
Fi mi x i kAki 0
k 1

r s
(i 1,2,..., 3N )
(2.2.5)
此包含r+s个未定乘子的方程组（2.2.5）称为第一 类拉格朗日方程，未定乘子λk(k=1,2,…,r+s)称为 拉格朗日乘子。 由于方程中除待定的各质点坐标xi (i=1,2,…,3N)以 外,又增加了待定的拉格朗日乘λk(k=1,2,…,r+s)，共 有3N +r+s个未知变量，因此还必须同时列出r个完 整约束方程（1.1.2）和s个线性非完整约束（1.1.6） 才能使方程组封闭。
引入r+s个未定乘子λk，分别与式（2.2.2）中 标号相同的各式相乘，然后将它们的和式与式 （2.2.3）相加，得到
(F m x A
i i i k i 1 k 1
3N

rs
ki
) xi 0
(2.2.4)
如果选择适当的r+s个未定乘子λk ，使式 （2.2.4）中r+s个实现指定为不独立变分 i x （i=1，2，…，r+s）前的系数等于零，可得到 r+s个方程。 于是在方程（2.2.4）中只包含f个与独立变分 xi （i=r+s+1，r+s+2，…，3N）有关的和式。 这f个变分既然是独立变量，则方程（2.2.4） 成立的充分必要条件就是各坐标变分前的系数 等于零，共得到f个方程，连同已得到的r+s个 方程，总共可列出f+r+s=3N个方程：
f 2 b(bx2 hl) x 2
f 2 b 2 ( x1 l ) x1
f 2 b 2 x3 x3
m x1 F 1 1 A11 2 A21 f 1 f 2 F 1 1 2 x1 x1 2 1 x1 2b ( x1 l )
i i i i i 1
N

将主动力Fi(i=1,2,…N)相对某个参考坐标系的3N 个分量依次排列为Fi(i=1,2,…3N)，则动力学普遍 方程的标量形式为
( F m x ) x 0
i i i i i 1
3Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

(2.2.3)
xi 由于r+s个约束条件的存在，在3N个坐标变分 中只有f=3N-r-s个独立变量，至于3N个坐标变分中哪些 是独立的，则可以任意指定。
2.2拉格朗日乘子法
2.2拉格朗日乘子法
1 2
第一类拉格朗日方程 拉格朗日乘子法的物理意义
3
劳斯方程
不含多余坐标的 完整系统
拉格朗日方程
哈密顿正则方程
拉格朗日乘子法是处理非完整系统的一种方法，本 章介绍的第一类拉格朗日方程和劳斯方程都是拉格 朗日乘子法的具体应用，区别在于前者使用笛卡尔 坐标，后者使用广义坐标。

L/O/G/O
THANK YOU!
1.第一类拉格朗日方程
设质点系由N个质点Pi(i=1,2,…N)组成，以3N个 笛卡尔坐标确定其位形。设系统存在r个完整约 束和s个线性非完整约束，约束方程统一写成
A dx A
ki i i 1
3N
k0
dt 0 (k 1,2,..., r s)
也可以写作关于虚位移的约束条件
A x 0
ki i i 1
3N
(k 1,2,..., r s)
xi dxi dxi
*
**
(2.2.2)
具有理想双侧约束的质点系在 运动的任意瞬时，其主动力和 惯性力在系统的任意虚位移中 系统内各质点的运动必须满足动力学普遍方程 所做的元功之和等于零。
(F m r ) r 0
f 1 x12 x 2 2 x3 2 l 2 0 f2( bx1 bx2 bx3 b) 2 ( h) 2 ( ) 2 h 2 0 l l l
写出此约束方程的变分形式：
x1x1 x 2x 2 x3x3 0 b 2 ( x1 l )x1 b(bx2 hl)x 2 b 2 x3x3 0
（上一章中导出的拉格朗日方程（1.3.30）也 称为第二类拉格朗日方程）
2.拉格朗日乘子的物理意义
设一质点在固定面f(x1,x2,x3)=0上运动，取λ 为拉格朗日乘子，则第一类拉格朗日方程为
f Fi mi x i ( ) 0 xi

(i 1,2,3)
或写作
mi x i Fi (

fk Aki xi
m x 2 F 2 1 A12 2 A22 f 1 f 2 F 2 1 2 x 2 x 2 mg 1 x 2 2b(bx2 hl)

m x3 F 3 1 A13 2 A23 f 1 f 2 F 3 1 2 x3 x3 2 1 x 3 2b x 3