车灯线光源的优化设计
车灯线光源的优化设计
中国地质大学(武汉)刘爱华董建华 彭锦国 指导教师 奚 先 湖北省一等奖
摘要：
论文就传统的旋转抛物面形的汽车前灯的线光源优化设计问题进行了讨论。文章根据物理学中的反射定律、能量守恒定律和光强与能流密度的关系，运用空间解析几何、微积分，建立了最优化模型。再结合Matlab 和Fortran,用数值方法对模型进行求解。
本文建模的主要思想分为两个部分。首先，求光路：线光源上一点P 0(x 0,y 0,z 0)朝某一方向(θ，φ)发出一条光线g 在抛物面被反射，入射光线与反射光线服从反射定律，根据空间解析几何和二元函数的微分法则，求得法线方程。接下来求反射线方程。论文运用解析几何知识，用入射线与法线的方向数求出反射线的方向数，再通过反射点P1写出反射线方程。得到反射线方程后，再另其与测试屏平面的方程联立，得到反射线在测试屏上的光点的坐标P3，同时可以算得反射光线与测试屏的夹角的正弦值。然后由光强、能流密度和功率P 的关系，把光强I 与功率P 联系起来，因为它们之间存在线性关系。
在空间球坐标系下取一束光束（θ，θ+△θ），（φ，△φ），这一束光的功率为△P 光束经抛物面反射后在测试屏上形成面积为△S 的光斑，此时，由能量守恒定律，求得该区域的能流密度ω，然后积分便得到了测试屏上任意点P ( x ,y ,z )的光强的积分表达式（未考虑直接照射光线）。结合设计规范的要求（即最优化问题的限制条件），就得到了问题一的最优化数学模型。
模型的求解是论文的一大特色，这里采用直角坐标与位于离散的点光源处的空间球面坐标相结合的方法，将复杂的解析几何运算转化为离散的运算，使得求解过程教容易在计算机上实现。而且模型求解过程中，采用一种全新的方法计算光强，在处理复杂的问题时，其极强的可操作性使它可以应用于几乎所有的同类问题。
离散化处理时，对光源发出的光线的方向，在球面坐标中对出射方向角进行二维离散，求出离散的点光源在测试屏上的光强分布，并根据光线密度与照度以及光强的关系，确定出所求点的照度，进而得到模型的最优解。
对某一线光源长度为2L ，将其离散化为长度为△L 的若干个点，然后由每一点得到测试屏的一个照度分布数据D i (S)，共有 N = 2L / △L 个照度分布数据，该2L 长度的数据组成一个集合Data(2L),称为光源长度为2L 时测试屏的相对照度数据。
为求得规范标准下的最优解，论文引入一个灯丝功效函数：W （L ） W(L)= F(C ，L) 当 F(B ，L)>2F(C ，L)时 W(L)= F(B ，L)/2 当 F(B ，L)<2F(C ，L)时
功效函数的物理意义表示在达到设计规范（F(C ，L)>=1, F(B ，L)>=2）下，所能节省的功率，我们的目的是为了求最小值L ，这样的引入更利于了问题的求解，由于这里已将约束条件该为比值形式。
反射光照图的求解是通过计算机编程在三维域进行搜索，得到测试屏上的光照轮廓。根据常识以及相关资料表明，相关的图示见论文求解过程。
本文完整求解了模型所提的问题，并作了相关讨论，模型求解所得到的最优灯丝长度为4mm ，这时B 点和C 点的光强之比为C B I I :=2.49，本文还在模型的假设下，得到了灯丝长度与功效函数（相当于节能比例）的离散函数关系,还得到了测试屏水平轴线Y=0，Z=25.015上固定功率的照度随灯丝长度2L 以及X 坐标变化的离散函数关系。
关键词： 汽车前灯 线光源 旋转抛物面 光强
问题的重述：
安装在汽车头部的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过点A 引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为一个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
请解决下列问题： （1） （1） 在满足该设计规范的条件下，设计线光源长度，，使线光源的功率最小； （2） （2） 对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮
区；
（3） （3） 讨论该设计规范的合理性。
模型的假设：
1． 1． 假设线光源为均匀线光源，并且在线光源取很小一段时，可近似看作点光
源，点光源空间均匀辐射；
2． 2． 由于是线光源，因此不考虑线光源对光线的阻挡；
3． 3． 源发出的光不考虑光的波动性，求解光照区域时，把光看成纯几何射线； 4． 4． 考虑一次反射； 5． 5． 反射无能量损失。
符号及部分概念说明:
θ：直线在xoy 平面上的投影线与x 轴的夹角；)20(πθ≤≤ ?：直线与z 轴的夹角；)0(π?≤≤
i ：由线光源发出的入射线；
n ：旋转抛物面的内法线向量；
l ：一次反射线；
α：反射线与测试屏的夹角；
0),,(=z y x f ：旋转抛物面方程；
f I 反射光光强 d I 直射光光强
L 线光源长度的一半
F （X ，L ） 灯丝长为2L 时X 点的照度（标量）。 W （L ） 长度2L 灯丝的功效函数W （L ）： 当 F(B ，L)>2F(C ，L)时 W(L)= F(C ，L) 当 F(B ，L)<2F(C ，L)时 W(L)= F(B ，L)/2
功效函数的物理意义表示在达到设计规范（F(C ，L)>=1, F(B ，L)>=2）下，所能节省的功率。
问题的分析:
光强I 与能流密度ω的关系为I =c ω,c 为光速,我们采用无量纲化计算,可以取c =1。而能流密度ω是垂直通过单位面积的功率,因此可得:
I=dS dP
(1)
模型的建立：
图一 坐标系的建立
如图一所示建立坐标系，取旋转抛物面的顶点为坐标原点，FA 连线方向为Z 轴方向，X 轴与线光源平行。在此坐标系中，旋转抛物面方程为：
0)(350),,(22
=-+=
z y x z y x f (2)
测试屏平面方程为：
015.25=z (3) 焦点F 及A 、B 、C 点坐标分别为)015.000(，，
F ，)015.25,0,0(A ，)015.25,0,3.1(B ，)015.25,0,6.2(C 。
根据题意和物理学原理，可得模型： Min ??∑
+=dxdy
I I L P d f )()(总
s.t. 2≥B I
1≥C I
问题一就是上述最优化问题中使总P 最小的L 。
模型的求解
求入射线与入射点
在线光源上任取一点),,(0000z y x P ，该点朝某一方向),(?θ发出一条光线，该入射线方程可表示为：
?θ?θ?cos sin sin cos sin 0
00z z y y x x -=
-=- (4)
其中],[0L L x -∈，00=y ，015.00=z 。
联立)1(式与)3(式可解得入射线与旋转抛物面的交点),,(1111z y x P
，即为入射点。直线与曲面的交点可能会出现两个解的情况，但由于入射光线具有方向性，且从光源到入射点的方向与入射光线的方向相同，故可根据空间向量间的方向关系舍去不合理解。
求反射点1P
的内法线n 方程及0P 点关于n 的对称点),,(2222z y x P 内法线方程:
1
1
11
1z z f y y f x x y x -=--=--
(5)
矢量20P P 法线垂直:
20P P 0)1,,(11=--?y x f f
(6)
20P P 连线的中点满足1P 点的法线方程:
1
021
210222211z z z f y y y f x x x y x --=---=--+
(7)
对(6),(7)联立,求解得2P 的坐标: ),,(2222z y x P .
求反射线方程
121
121121z z z z y y y y x x x x --=
--=-- (8)
求反射线方程与测试屏平面的交点3P 和夹角α
联立（2）式和（7）式，求的反射线方程f l 在测试屏上的投射点)z ,y ,(x 3333P :
1
121
21
33)(x x x z z z z x +---=
1
121
2133)(y y y z z z
z y +---=
015.253=z
其中，33,y x 与0x ,?θ,有关：3x =3x (?θ,,0x ),33y y =(?θ,,0x ). f l 与测试屏平面的夹角α的正弦值：
2132132131
3)()()(sin z z y y x x z z -+-+--=
α
（9）
求测试屏上一点的反射光光强
首先将线光源离散化，对于线光源上的一小段(0x ,0x +Δx )，方向为（?θ,），立体角
为),(),(???θθθ?+??+。该立体角内的光束经旋转抛物面反射后在测试屏上形成光斑区域ΔS ，面积即为ΔS 。设这束光束的功率为ΔP,则ΔS 上的平均光强：
αsin S P
???=
?I
（10）
从而得到ΔS 上的反射光强为
?-?=L
L
f dx
x I I )(
同理可求得直射线在测试屏上的光强为d I 。 线光源的总功率为：
??∑+=dS
I I L P d f )()(总 （11）
其中，Σ为测试屏平面。
对于固定的光源功率，设灯丝长为2L 时在测试屏上X 点处的照度为F(X,L).
根据物理意义认为，当灯丝长度一定时，光强和照度有线性关系。因此用照度来求解不会影响问题的结果。
由于这里已将约束条件该为比值形式，为了简化求解，下面还将用照度来求解。
取线光源上任一点T ，该点发出的到达配光屏的光线有两种：直接照射和反射后到达（这里只考虑一次反射）。 球面坐标下点T 发出的某一条光线，其方向数为（?θ?θ?cos ,sin sin ,cos sin ），在θ和φ有一微小变化时光线的方向也会发生变化。现在让θ在0到2л变化，φ在0到л变化，然后取足够小的微小角度d θ和d φ，对点T 发出的所有光线进行离散化处理，即在取值范围内，每隔一定间隔取一对θ和φ值，然后对点T 在每一确定的方向射出的光线进行如下处理：
利用光学基本定律：入射角=反射角，可以根据每一条入射光线求得其反射光线的方向数，进而求得该反射光线与配光屏的交点Mi (x,y,z)，设每个交点是一个点元D i (x,y)。（因为点元由坐标x 和y 所唯一确定，这里略去了坐标z=25.015。
对线光源上确定的一点T 发出的光线，如果存在点元D i （x,y ），则该点元也唯一对应点T 发出的一条光线T （θi ,φi ）。如图二。
图二
设CD 方向数为（z y x r r r ,,）,则有：
2
22sin z y x z
r r r r ++=
α （12）
离散化处理时，如果对θ和φ的间隔取得足够小，就可以得到配光屏上足够多的点元。根据这些点元，用如下方法求得某一确定点M 的照度。
（1） （1） 在屏上以M 为中心确定一个以R 为边长的正方形。 （2） （2） 统计该正方形内点元的个数N d 。 （3） （3） 点D 的照度为：
F （D ，L ）=N d *sin α （13）
由此方法进行编程可以依次求得配光屏上任意点的照度。对线光源上某一定点S ，它对应会有配光屏的一个照度分布数据D i （S ）。
对某一线光源长度为2L ，将其离散化为长度为△L 的若干个点，然后由每一点得到配光屏的一个照度分布数据D i (S)，共有 2L / △L 个数据，该2L 长度的数据组成一个集合Data(2L),称为光源长度为2L 时配光屏的照度数据。对每一个照度数据，求灯丝功效：W （L ）。
取线光源长度初值L 为各个值时，由照度数据Data(2L)得到测试屏密度分布如下：
L=0.5 mm L=2.0 mm
L=3.0 mm L = 4.5 mm
由以上四图可以知道当线光源长度大于4.5mm 之后，虽然B 、C 点满足要求，但会造成灯泡功率的浪费，即不是最优设计，因此取线光源长度为1mm 至9mm 进行搜索，求解满足规范的最优设计是合理的。
取线光源步长为△L=0.01 mm ，初始值为2L=1mm 进行搜索，得到功效在各个灯丝长度下的函数值。
解的结果分析
当L=2.0mm 时，功效函数达到最大值。即最优灯丝长度为4.0mm ，这时B 点和C 点的光强之比为C B I I :=2.49。 其图形如：
0.00E+0
1.00E-3
2.00E-3
3.00E-3
4.00E-3
5.00E-3
x - ???′°???(?×
)
0.00E+0
1.00E+7
2.00E+7
3.00E+7
4.00E+7
5.00E+7
f ( x )
图五
灯丝长度2L=4.0mm 时， 功效函数W （L ）达到最大
图六 L=2.000时，反射光在测试屏上所覆盖的区域
x ( m )
0.50
1.001.50
2.002.50
3.003.50
4.00L ( m m )
图七 在测试屏水平轴线Y=0上固定功率的照度随灯丝长度以及坐标变化的灰度图
由上图可知，当灯丝功率一定的情况下，如果灯丝长度很小，则照度比较集中，随着灯丝长度的增加，照度逐渐分散。如果灯丝过短，虽然光照强度很大，但是照明区很小，达不到汽车司机所必须的明视区，对驾车会产生危险；如果灯丝过长，则虽然照明区很大，但是光照强度很低，也会对行车安全造成危害，而且对能源也是一种浪费。本模型求得的灯丝长度4.0mm，既满足了汽车行驶中司机对路面（2.6m）的有效观察和行驶需要（1.3m）,又节省了能源，因此符合问题所要求的最优规范。
模型的优缺点
本文采用数值方法完全求解了模型所提问题，并对问题三也给出了初步的回答。缺点是未能用理论推导的方法得到一个一般性的方法。
参考文献：
[1].高等数学，同济大学出版社，2000.7
[2].光学，赵凯华等，北京大学出版社，1982
[3].精通Matlab5.3,张志涌等，北京航空航天大学出版社，2000