中考数学考前小题狂做专题22等腰三角形含解析

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2021年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题22等腰三角形

等腰三角形一.选择题1,〔2021威海,第9题4分〕【答案】：B【解析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC=∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD=∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．【备考指导】此题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．2.．〔2021·山东潍坊第11 题3分〕如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，那么该纸盒侧面积的最大值是〔〕A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2考点：二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．.分析：如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，那么AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解答：解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=A C．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，，∴Rt△AOD≌Rt△AOK〔HL〕．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，那么AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6﹣2x，∴纸盒侧面积=3x〔6﹣2x〕=﹣6x2+18x，=﹣6〔x﹣〕2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．应选C．点评：此题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的性质的运用，解答时表示出纸盒的侧面积是关键．3．(2021•江苏苏州,第7题3分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，那么∠C的度数为A．35°B．45°C．55°D．60°【难度】★【考点分析】考察等腰三角形三线合一，往年选择填空也常考察三角形根底题目，难度很小。

全国中考数学试卷解析分类汇编(第二期)专题22等腰三角形

全国中考数学试卷解析分类汇编（第二期）专题22等腰三角形一.选择题1．（2015•湖北, 第7题3分）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）A． B． 1 C． D． 2考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．解答：解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，∴BE=CE=2，∴∠B=∠DCE=30°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，∴AE=CE=1．故选B．点评：本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．2．（2015•衡阳, 第7题3分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A． 11 B． 16 C． 17 D． 16或17考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．解答：解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17；②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16．综上所述，三角形的周长为16或17．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．1、(2015年陕西省,6,3分)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角）是等腰三角形；DBC=是△ABC的角）∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．点评：此题考查了等腰三角形的判定，用到的知识点是等腰三角形的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的角平分线定义等，解题时要找出所有的等腰三角形，不要遗漏．2，则其内切圆半径的长为（）A． B． 2﹣2 C． 2﹣ D．﹣2考点：三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心．分析：由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．解答：解：∵等腰直角三角形外接圆半径为2，∴此直角三角形的斜边长为4，两条直角边分别为2，∴它的内切圆半径为：R=（2+2﹣4）=2﹣2．故选B．点评：本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=（a+b﹣c）；（a、b为直角边，c为斜边）直角三角形的外接圆半径：R=c．5.（2015•山东泰安,第13题3分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF．给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．分析：根据等腰三角形的性质三线合一得到BD=CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF，得到DE=DF，CE=BF，故①④正确．解答：解：∵BF∥AC，∴∠C=∠CBF，∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠CBF，∴∠C=∠ABC，∴AB=AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴BD=CD，AD⊥BC，故②③正确，在△CDE与△DBF中，，∴△CDE≌△DBF，∴DE=DF，CE=BF，故①正确；∵AE=2BF，∴AC=3BF，故④正确．故选A．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形的性质三线合一是解题的关键．6．（2015•营口，第10题3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°考点：轴对称-最短路线问题．分析：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解答：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴CM+DN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．点评：本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．7.（2015•温州第8题4分）如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（）A．1B．2C．D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.分析：首先过点A作BC⊥OA于点C，根据AO=2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．解答：解：过点A作BC⊥OA于点C，∵点A的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO是等边三角形，∴OC=1，BC=，∴点B的坐标是（1，），把（1，）代入y=，得k=．故选C．点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键8. （2015年浙江衢州第4题3分）如图，在ABCD中，已知平分交于点，则的长等于【】A. B. C. D.【答案】C．【考点】平行线分线段成比例的性质．【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴.∴.又∵平分，∴.∴. ∴.∵，∴.∴.故选C.9.（2015•四川遂宁第8题4分）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm考点：线段垂直平分线的性质．.分析：首先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可．解答：解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN=BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC=7（cm），∴AN+NC+BC=7（cm），∵AN+NC=AC，∴AC+BC=7（cm），又∵AC=4cm，∴BC=7﹣4=3（cm）．故选：C．点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．10．（3分）（2015•桂林）（第12题）如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连接PD，以PD为边，在PD右侧按如图方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是（）A．8B．10C．3πD．5π考点：轨迹．专题：计算题．分析：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，根据等边三角形的性质得∠B=60°，过D 点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，则点E′与点E重合，所以∠BDE=30°，DE=BE=2，接着证明△DPE≌△FDH得到FH=DE=2，于是可判断点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，则DF1⊥BC，当点P 在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=8，所以F1F2=DQ=8，于是得到当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8解：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，∴点E′与点E重合，∴∠BDE=30°，DE=BE=2，∵△DPF为等边三角形，∴∠PDF=60°，DP=DF，∴∠EDP+∠HDF=90°，∵∠HDF+∠DFH=90°，∴∠EDP=∠DFH，在△DPE和△FDH中，，∴△DPE≌△FDH，∴FH=DE=2，∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10﹣2=8，∴F1F2=DQ=8，∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．点评：本题考查了轨迹：点运动的路径叫点运动的轨迹，利用代数或几何方法确定点运动的规律．也考查了等边三角形的性质和三角形全等的判定与性质．11．（2015•湖南湘西州，第16题，4分）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°考点：等腰三角形的性质．.分析：根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C．点评：本题考查的是三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键．12.（2015•黄石第8题，3分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，程的两根，则的值为（）个三角形的周长为（）A．9B．12C．7或9D．9或12考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：题目给出等腰三角形有两条边长为5和2，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．15. （2015•江苏盐城，第7题3分）若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A． 12B．9C．12或9D．9或7考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：利用等腰三角形的性质以及三角形三边关系得出其周长即可．解答：解：∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2，则2+2＜5，此时不成立，当腰长为5时，则它的周长为：5+5+2=12．故选：A．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，正确分类讨论得出是解题关键．二.填空题1. （2015•江苏南通，第16题3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．考点：等腰三角形的性质．.分析：设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．解答：解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．点评：本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．2．（5分）（2015•毕节市）（第18题）等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为36°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，进而可得∠ABE=∠A=36°，然后可计算出∠EBC的度数．解答：解：∵等腰△ABC的底角为72°，∴∠A=180°﹣72°×2=36°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°．故答案为：36°．点评：此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握等边对等角．3.（2015•青海西宁第19题2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是110°或70°．考点：等腰三角形的性质．.分析：本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．解答：解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为：110°或70°．点评：考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．其中考查了直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．4.（2015•青海西宁第20题2分）如图，△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC 边上的高，将△ABC折叠，使点B与点D重合，折痕EF交BD于点D1，再将△BEF 折叠，使点B于点D1重合，折痕GH交BD1于点D2，依次折叠，则BDn=．考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质．专题：规律型．分析：根据等边三角形的性质依次求出边上的高，找出规律即可得到结果．解答：解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，BD为AC边上的高，∴BD=，∵△BEF是边长为等边三角形，∴BD1=，∴BD2=，…∴BDn=，故答案为：．点评：本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等边三角形的性质，根据已知条件找出规律是解题的关键．5.（2015•四川攀枝花第14题4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD 为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．专题：分类讨论．分析：由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．解答：解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．点评：本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．6.（2015•昆明第14题，3分）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．考点：等边三角形的判定与性质；三角形的重心；三角形中位线定理．.分析：根据等边三角形的性质，可得AD的长，∠ABG=∠HBD=30°，根据等边三角形的判定，可得△MEH的形状，根据直角三角形的判定，可得△FIN的形状，根据面积的和差，可得答案．解答：解：如图所示：，由△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=4，得AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°．由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°．由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；S△ABC=AC•BE=AC×EH×3EH=BE=×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=．S五边形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN=×42﹣×22﹣××1=，故答案为：．点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，直角三角形的判定，利用图形的割补法是求面积的关键．7.（2015•四川巴中,第19题3分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD、AE分别为△ABC的中线和角平分线，过点C作CH⊥AE于点H，并延长交AB于点F，连结．中位线定理即可求解．∴DH=BF，°，则∠1= 45 度．考点：平行线的性质；等腰直角三角形．.分析：先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠1=∠ABC，即可得出答案．解答：解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵直线m∥n，∴∠1=∠ABC=45°，故答案为：45．点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．9．（2015•通辽,第16题3分）如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为8cm2或2cm2或2cm2．考点：勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质．专题：分类讨论．分析：因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论：（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再代入面积公式求解；（3）先求出AE边上的高DF，再代入面积公式求解．解答：解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=4时，如图：∴S△AEF=AE•AF=×4×4=8（cm2）；（2）当AE=EF=4时，如图：则BE=5﹣4=1，BF===，∴S△AEF=•AE•BF=×4×=2（cm2）；（3）当AE=EF=4时，如图：则DE=7﹣4=3，DF===，∴S△AEF=AE•DF=×4×=2（cm2）；故答案为：8或2或2．点评：本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．10．（2015•乌鲁木齐,第12题4分）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的考点：等腰三角形的性质．分析：三角形内角与相邻的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，100°只可能是顶角．解答：解：等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．点评：本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出80°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键．，则∠C 的度数为30°．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质．分析：由OA=AB，OA=OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB=60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠C的度数．解答：解：∵OA=AB，OA=OB，∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=30°．故答案为30°．点评：此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．12、(2015年陕西省,15,3分)如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动3．考点：三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．分析：根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．解答：解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN=AC，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC时直径时，最大，如图，∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，∴AD=6，∴MN=AD=3故答案为：3．点评：本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．2cm，5cm，考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．分析：根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为2cm，只能为5cm，然后即可求得等腰三角形的周长．解答：解：∵等腰三角形的两条边长分别为2cm，5cm，∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为2，只能为5，候不太方便操作。

中考数学真题等腰三角形解析

中考数学真题等腰三角形解析一.选择题1.（2012肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为A．16B．18C．20D．16或20【解析】先利用等腰三角形的性质:两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边,确定三角形的第三边长,最后求得其周长.【答案】C【点评】本题将两个简易的知识点:等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起.难度较小.2．（2012江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（）A． 20°B．50°C．60°D．80°考点：等腰三角形的性质。

分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°∴底角=（180°﹣80°）÷2=50°．故选B．点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．3．（2012•中考）把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）解答：解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC 是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC 既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选C ．点评：本题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形ABDC是菱形是解题的关键．4.（2012荆州）如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF ＝2，则PE 的长为( )A ．2B ．CD ．3【解析】题目中已知了△ABC 是等边三角形，联想到等边三角形的三边相等、三角相等、三线合一的性质。

本题中，有含有30°角的直角三角形，要想到30°角的直角边等于斜边的一半。

△ABC 是等边三角形，BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD=∠CBD=21∠ABC=30°。

2022河南数学中考总复习--等腰三角形与直角三角形(试题、含解析)

2022河南数学中考总复习--§4.3等腰三角形与直角三角形五年中考考点1等腰三角形1.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=()A.a+b2B.a-b2C.a-bD.b-a答案C∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=36°,∴∠BDC=72°=∠C,∠ABD=∠A,∴BD=BC,BD=AD,∴AD=BC=b,∴CD=AC-AD=a-b.故选C.2.(2021陕西,7,3分)如图,AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒.点A、C、E共线.若AC=6cm,CD ⊥BC,则线段CE的长度为()A.6 cmB.7 cmC.6√2 cmD.8 cm答案 D 过点B ,D 分别作BF ⊥AC 于点F ,DG ⊥CE 于点G ,∴∠BCF +∠FBC =90°,∵CD ⊥BC ,∴∠BCF +∠DCG =90°,∴∠FBC =∠DCG ,又∵BC =CD ,∴Rt△FBC ≌Rt △GCD ,∴DG =CF.∵△ABC 是等腰三角形,∴CF =12AC =3 cm,∴DG =CF =3 cm,∵CD =5 cm,∴CG =√CD 2-DG 2=4 cm,∵△CDE 是等腰三角形,∴CE =2CG =8 cm .故选D .3.(2020河南,10,3分)如图,在△ABC 中,AB =BC =√3,∠BAC =30°,分别以点A ,C 为圆心,AC 的长为半径作弧,两弧交于点D ,连接DA ,DC ,则四边形ABCD 的面积为( )A.6√3B.9C.6D.3√3答案 D 根据作图可知△ACD 为等边三角形.在△ABC 中,作BE ⊥AC 于点E ,在Rt △AEB 中,AE =AB ·cos 30°=32,BE =12AB =√32,∵AB =BC ,∴AC =2AE =3,∴S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =√34AC 2+12AC ·BE =3√3.故选D .思路分析根据作图知△ACD 为等边三角形,依据△ABC 中的条件求得AC 的长及AC 边上的高,进而求得四边形ABCD 的面积.4.(2021新疆,14,5分)如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠C =70°,分别以点A ,B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,作直线MN 交AC 于点D ,连接BD ,则∠BDC = °.答案80解析∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-∠C-∠ABC=40°.由作图可知MN是线段AB的垂直平分线,∴DA=DB,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=80°.解题关键理解MN是线段AB的垂直平分线及垂直平分线的性质是解答本题的关键.5.(2017河南,14,3分)如图1,点P从△ABC的顶点B出发,沿B→C→A匀速运动到点A.图2是点P运动时,线段BP的长度y随时间x变化的关系图象,其中M为曲线部分的最低点,则△ABC的面积是.答案12解析观察题图可知BC=BA=5.当BP⊥AC时,BP=4,此时AP=CP=√BC2-BP2=3,所以AC=6,所以S△ABC=1×6×4=12.26.(2020辽宁营口,17,3分)如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD 和AB 上的两个动点,连接CE ,EF ,则CE +EF 的最小值为 .答案 3√3解析过C 作CF ⊥AB 于点F ,交AD 于E ,此时CE +EF 的值最小,且CE +EF 的最小值为CF 的长. ∵△ABC 为等边三角形,边长为6,∴BF =12AB =12×6=3, ∴CF =√BC 2-BF 2=√62-32=3√3,∴CE +EF 的最小值为3√3.解题关键解决本题的关键是将CE +EF 的最小值转化为点C 到直线AB 的距离,进而借助勾股定理求出线段CF 的长.7.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰△ABC 中,BD ⊥AC ,垂足为点D ,且BD =12AC ,则等腰△ABC 底角的度数为 . 答案 15°或45°或75° 解析如图,当BA =BC 时,∵BD ⊥AC , ∴AD =CD =12AC , ∵BD =12AC ,∴AD =BD =CD ,∴∠A =∠C =12×(180°-90°)=45°. 如图,当AB =AC 且∠A 为锐角时, ∵BD =12AC =12AB , ∴∠A =30°,∴∠ABC =∠ACB =75°.如图,当AB =AC 且∠BAC 为钝角时,∵BD =12AC =12AB ,∴∠BAD =30°, ∴∠ABC =∠ACB =12×30°=15°.同理,当BC =AC 时,可求得∠CBA =∠CAB =75°或15°. 故答案为15°或45°或75°.方法点拨等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.8.(2020广东,20,6分)如图,在△ABC 中,点D ,E 分别是AB 、AC 边上的点,BD =CE ,∠ABE =∠ACD ,BE 与CD 相交于点F.求证:△ABC 是等腰三角形.证明 ∵BD =CE ,∠ABE =∠ACD ,∠DFB =∠EFC ,∴△DFB≌△EFC.(3分)∴FB=FC.∴∠FBC=∠FCB.∴∠FBC+∠ABE=∠FCB+∠ACD,即∠ABC=∠ACB.∴△ABC是等腰三角形.(6分)思路分析首先证明△DFB≌△EFC,得到FB=FC,进而证得∠FBC=∠FCB,推理得到∠ABC=∠ACB,根据等腰三角形的判定得证.解题关键解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.考点2直角三角形1.(2020广西北部湾经济区,11,3分)《九章算术》是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是()图1图2A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸答案C如图,过O作OE⊥CD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故DC=1寸.FO=DE=12设AO =AD =BC =OB =x 寸, 则AF =(x -1)寸,在Rt △ADF 中,AD 2=AF 2+DF 2, 即x 2=(x -1)2+102, 解得x =1012,故AB =2x =101寸.故选C .2.(2018陕西,6,3分)如图,在△ABC 中,AC =8,∠ABC =60°,∠C =45°,AD ⊥BC ,垂足为D ,∠ABC 的平分线交AD 于点E ,则AE 的长为 ( )A.2√2B.3√2C.43 √2 D.83 √2 答案 D ∵AC =8,∠C =45°,AD ⊥BC ,∴AD =AC sin 45°=4√2,过点E 作EF ⊥AB 于点F ,∵BE 是∠ABC 的平分线,∴DE =EF ,∵∠ABC =60°,AD ⊥BC ,∴∠BAE =30°,∴在Rt △AEF 中,EF =12AE ,又∵AD =4√2,DE =EF ,∴AE =23AD =83 √2.故选D .思路分析首先利用AC 的长及∠C 的正弦求出AD 的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE 和AE 的数量关系,最后求出AE 的长.3.(2021浙江宁波,7,4分)如图,在△ABC 中,∠B =45°,∠C =60°,AD ⊥BC 于点D ,BD =√3.若E ,F 分别为AB ,BC 的中点,则EF 的长为 ( )A.√33 B.√32 C.1 D.√62答案 C ∵AD ⊥BD ,∴∠ADB =∠ADC =90°. 又∵∠B =45°,BD =√3,∴AD =BD =√3. 在Rt △ADC 中,∠C =60°, ∴sin C =sin 60°=AD AC =√3AC =√32, ∴AC =2.又∵点E 、F 分别为AB 、BC 的中点, ∴EF 是△BAC 的中位线, ∴EF =12AC =12×2=1.故选C .思路分析先根据等腰直角三角形求出AD 的长,然后根据直角三角形ADC 中∠C =60°,建立三角函数关系求出AC 的长,最后由三角形中位线定理得出EF =12AC =1.4.(2017河南,15,3分)如图,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,BC =√2+1,点M ,N 分别是边BC ,AB 上的动点,沿MN 所在的直线折叠∠B ,使点B 的对应点B'始终··落在边AC 上.若△MB'C 为直角三角形,则BM 的长为 . 答案√2+12或1解析在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC , ∴∠B =∠C =45°.(1)当∠MB'C =90°时,∠B'MC =∠C =45°.设BM =x ,则B'M =B'C =x ,在Rt △MB'C 中,由勾股定理得MC =√2x ,∴√2x +x =√2+1,解得x =1,∴BM =1.(2)如图,当∠B'MC =90°时,点B'与点A 重合,此时BM =B'M =12BC =√2+12.综上所述,BM 的长为√2+12或1.5.(2018河南,15,3分)如图,∠MAN =90°,点C 在边AM 上,AC =4,点B 为边AN 上一动点,连接BC ,△A'BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称.点D ,E 分别为AC ,BC 的中点,连接DE 并延长交A'B 所在直线于点F ,连接A'E.当△A'EF 为直角三角形时,AB 的长为 .答案 4或4√3解析 (1)当点A'在直线DE 下方时, 如图1,∵∠CA'F =90°,∠EA'F >∠CA'F , ∴△A'EF 为钝角三角形,不符合;(2)①当点A'在直线DE 上方且∠A'FE =90°时,如图2.∵DE ∥AB ,∴∠EDA =90°,∴A'B ∥AC.由对称知四边形ABA'C 为正方形,∴AB =AC =4;②当点A'在直线DE 上方且∠A'EF =90°时,如图3.A'E ∥AC ,∴∠A'EC =∠ACE =∠A'CE ,∴A'C =A'E.∵A'E =EC ,∴△A'CE 为等边三角形,∴∠ACB =∠A'CB =60°,∴在Rt △ACB 中,AB =AC ·tan60°=4√3;③当点A'在直线DE 上方时,∵∠EA'F <∠CA'B ,∴∠EA'F 不可能为90°. 综上所述,当△A'EF 为直角三角形时,AB 的长为4或4√3.图1图2图3思路分析由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A'可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A'在DE的下方时,△A'EF不可能为直角三角形,当点A'在直线DE上方时,∠A'EF或∠A'FE为90°时分别计算AB的长,显然∠EA'F<90°,可以排除.方法总结解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾股定理等计算得出结果.6.(2021福建,21,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.线段EF是由线段AB平移得到的,点F在边BC上,△EFD 是以EF为斜边的等腰直角三角形,且点D恰好在AC的延长线上.(1)求证:∠ADE=∠DFC;(2)求证:CD=BF.证明本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质,考查推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)在等腰直角三角形EDF中,∠EDF=90°,∴∠ADE+∠ADF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠DFC+∠ADF=∠ACB=90°,∴∠ADE=∠DFC.(2)连接AE.由平移的性质得AE∥BF,AE=BF.∴∠EAD=∠ACB=90°.又∠DCF=180°-∠ACB=90°,∴∠EAD=∠DCF.∵△EDF是等腰直角三角形,∴DE=DF.由(1)得∠ADE=∠DFC,∴△AED≌△CDF,∴AE=CD,∴CD=BF.7.(2020江苏苏州,26,10分)问题1:如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求证:AB+CD=BC.问题2:如图②,在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求AB+CD的值.BC解析问题1:证法一:∵∠B =90°, ∴∠APB +∠BAP =90°.∵∠APD =90°,∴∠APB +∠CPD =90°. ∴∠BAP =∠CPD.在△APB 和△PDC 中,{∠B =∠C ,∠BAP =∠CPD ,PA =DP ,∴△APB ≌△PDC (AAS). ∴AB =PC ,BP =CD , ∴AB +CD =PC +PB =BC.证法二:同证法一,可得∠BAP =∠CPD , 设∠BAP =∠CPD =α.在Rt △ABP 中,BP =PA ·sin α,AB =PA ·cos α, 在Rt △PCD 中,CD =PD ·sin α,PC =PD ·cos α, 又∵PA =PD ,∴AB =PC ,BP =CD , ∴AB +CD =PC +BP =BC.问题2:如图,分别过点A 、D 作BC 的垂线,垂足为E 、F.由问题1可知AE +DF =EF ,在Rt △ABE 和Rt △DFC 中,∠B =∠C =45°,∴AE =BE ,DF =CF ,AB =AEsin45°=√2AE ,CD =DFsin45°=√2DF.∴BC =BE +EF +CF =2(AE +DF ),AB +CD =√2(AE +DF ).∴AB+CD BC=√2(AE+DF )2(AE+DF )=√22. 解题关键本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形边与角之间的关系,通过作辅助线构造“K ”字型全等三角形是解决本题的关键.三年模拟A 组基础题组一、选择题(每题3分,共21分)1.(2021许昌一模,9)如图,在5×5的网格中,每个格点小正方形的边长均为1,△ABC 的三个顶点A ,B ,C 都在网格点的位置上,则△ABC 的边AB 上的高为 ( )A.√5B.8√55C.4√55D.2√55答案 C 由勾股定理得AB =√22+12=√5,设AB 边上的高为h ,则12AB ·h =12×2×2,∴h =4√55.故选C.2.(2021驻马店一模,5)如图,从笔直的公路l 旁一点P 出发,向西走6 km 到达l ;从P 出发向北走6 km 也到达l.下列说法错误的是 ( )A.从点P 向北偏西45°走3 km 到达lB.公路l 的走向是南偏西45°C.公路l 的走向是北偏东45°D.从点P 向北走3 km 后,再向西走3 km 到达l答案 A 如图,由题意可得△PAB 是腰长为6 km 的等腰直角三角形,则AB =6√2 km,如图所示,过P 点作AB的垂线PC交AB于点C,则PC=3√2km,则从点P向北偏西45°走3√2km到达l,选项A错误;公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°,选项B,C正确;从点P向北走3km后到达BP中点D,此时CD为△PAB的中位AP=3km,故再向西走3km到达l,选项D正确.故选A.线,故CD=12AC的长为半径作弧,两弧相交于M,N 3.(2021开封一模,8)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于12两点,作直线MN,交AC于点E,交BC于点D,连接AD,若AE=3,△ABD的周长为13,则△ABC的周长是()A.16B.17C.18D.19答案D由作图知,MN⊥AC,AE=EC=3,AD=DC,∵△ABD的周长为13,∴AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13.∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+2AE=13+6=19.故选D.4.(2020开封一模,8)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以点A为圆心,BC的长为半径作弧交AB于点D,再分别以点A,D为圆心,以AB,AC的长为半径作弧交于点E,连接AE,DE,若点F为AE的中点,则DF的长为()A.4B.5C.6D.8答案 B 由作图可知△ADE ≌△BCA ,∴∠ADE =∠C =90°,AE =AB.又∵AC =6,BC =8,∠C =90°,∴AB =10,∵点F 为AE 的中点,∴DF =12AE =12AB =5.故选B .5.(2021驻马店一模,8)如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,利用尺规在BC 、BA 上分别截取BE 、BD ,使BE =BD.分别以D 、E 为圆心,以大于12DE 的长为半径作弧,两弧在∠CBA 内交于点F ,作射线BF 交AC 于点G ,若CG =1,P 为AB 上一动点,则GP 的最小值为 ( )A.无法确定B.12C.1D.2 答案 C 如图,过点G 作GH ⊥AB 于点H.由作图可知,BG 平分∠ABC , ∵GH ⊥BA ,GC ⊥BC , ∴GH =GC =1,根据垂线段最短,可知GP 的最小值为1.故选C.思路分析根据作图方法,判断BG 是∠ABC 的平分线,运用角平分线的性质得出点G 到AB 边的距离等于线段GC 的长,由垂线段最短可得出GC 的长即为GP 长度的最小值.6.(2021平顶山二模,8)如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,∠C =30°,以点A 为圆心,任意长为半径作弧,分别交边AB ,AC 于点P ,Q.再分别以点P ,Q 为圆心,以大于12PQ 的长为半径作弧,两弧交于点E ,作射线AE 交BC 于点F.设△ABF ,△ABC 的面积分别为S 1,S 2,则S1S 2的值为( )A.12B.13C.√3D.14答案B如图,过点F作FG⊥AC于点G,由作图知AF平分∠BAC,∵∠B=90°,∠C=30°,∴∠1=∠2=30°=∠C,∴BF=GF,AB=AG=CG,∴S△ABF=S△AGF=S△CGF,∴S1S2=13.故选B.7.(2020郑州二模,9)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC中点,E为边AB上一动点(不与A,B 点重合),以点D为直角顶点,以射线DE为一边作∠MDN=90°,另一条边DN与边AC交于点F.下列结论中正确的是()①BE=AF;②△DEF是等腰直角三角形;③无论点E,F的位置如何变化,总有EF=DF+CF成立;④四边形AEDF 的面积随着点E,F的位置不同发生变化.A.①③B.②③C.①②D.①②③④答案C∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠B=∠C,BD=CD,AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠ADN+∠CDF=90°,∵∠MDN=90°,∴∠EDA+∠ADN=90°,∴∠EDA=∠CDF,∴∠BED=∠AFD,∠BDE=∠ADF,又BD=AD,∴△BED≌△AFD,∴BE=AF,DE=DF,∴△DEF是等腰直角三角形,无法判断EF=DF+CF成立.S△ABC.无论点E,F的位置如何变化,S四边形AEDF=12综上,①②正确,③④错误.故选C.二、填空题(每题3分,共6分)8.(2021许昌禹州二模,15)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,D,E分别为边AB和AC上的点,连接DE,将△ADE 沿DE折叠得到△FDE.若点F始终落在边BC上,则线段DE的取值范围为.答案3≤DE≤3√3.BC=3;解析如图1中,当AF⊥BC时,DE是△ABC的中位线,此时DE的值最小,最小值DE=12图1如图2中,当点F与点B(或点C)重合时,DE的值最大,最大值是△ABC的高,此时DE=3√3.图2综上所述,3≤DE ≤3√3.9.(2021信阳商城一模,14)如图,在边长为6的等边三角形ABC 中,点D ,E 分别是AC ,BC 的中点,连接AE ,BD ,点G ,H 分别是AE ,BD 的中点,连接GH ,则GH 的长度为 .答案 32解析 ∵△ABC 是边长为6的等边三角形, ∴AC =BC =6,∠ABC =∠BAC =60°, ∵点D ,E 分别是AC ,BC 的中点, ∴AD =BE =3,取AB 的中点F ,连接GF ,HF , ∵点G ,H 分别是AE ,BD 的中点,∴FG ∥BE ,FG =12BE =32,FH ∥AD ,FH =12AD =32,∴FG =FH =32,∠AFG =∠ABC =60°,∠BFH =∠BAC =60° ∴∠HFG =180°-∠AFG -∠BFH =60°, ∴△FGH 是等边三角形, ∴GH =FG =32.解题关键本题主要考查了三角形中位线定理,等边三角形的性质,正确作出辅助线并证得△FGH 是等边三角形是解决问题的关键.三、解答题(共13分)10.(2020许昌一模,22)(1)发现如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形,点D在BC边上,连接CE.填空:①∠DCE的度数是;②线段CA、CE、CD之间的数量关系是;(2)探究如图2,△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点D在BC边上,连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系,并说明理由;(3)应用如图3,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=4,AB=6.若点D满足DB=DC,且∠BDC=90°,请直接写出DA的长.解析(1)①120°;②CA=CE+CD.(2)∠DCE=90°;√2CA=CD+CE.理由:∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD=CE,∠B=∠ACE=45°.∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=90°.在等腰直角三角形ABC中,CB=√2CA,∵CB=CD+DB=CD+CE,∴√2CA=CD+CE.(3)DA=5√2或√2.提示:如图,根据题意画出图形,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,∵在Rt△ABC中,AB=6,AC=4,∠BAC=90°,∴BC=√AB2+AC2=√62+42=2√13.∵∠BDC=90°,DB=DC,∴DB=DC=√26,∠BCD=∠CBD=45°,∵∠BDC=∠BAC=90°,∴点B,C,A,D四点共圆,∴∠DAE=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴AE=DE,∴BE=6-DE,在Rt△BED中,∵BE2+DE2=BD2,∴(6-DE)2+DE2=26,∴DE=1或DE=5,∴DA=√2或DA=5√2.思路分析(1)根据条件判定△BAD≌△CAE,再结合等边三角形的性质,可得出结论.(2)证明△BAD≌△CAE,可得出BD=CE,∠B=∠ACE=45°,运用直角三角形的性质求线段CA、CE、CD之间的数量关系.(3)由题意推出点B,C,A,D四点共圆,过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,根据勾股定理得到BC=2√13,根据圆周角定理得到∠DAE =45°,进而得到△ADE 是等腰直角三角形,根据勾股定理即可得到答案.B 组提升题组一、选择题(每题3分,共12分)1.(2021平顶山一模,9)如图,在△ABC 中,AB =AC =√3,∠BAC =120°,分别以点A ,B 为圆心,以AB 的长为半径作弧,两弧相交于M ,N 两点,连接MN 交BC 于点D ,连接AD ,AN ,则△ADN 的周长为 ( )A.3+√2B.3-√2C.2-√2D.2+√3答案 D 如图,由作图可知,MN 垂直平分线段AB , ∴AD =BD ,∵AB =AC =√3,∠BAC =120°, ∴∠B =30°,AE =BE =√32,∴ED =12,BD =AD =2ED =1, Rt △AEN 中,AN =AB =√3,∴EN =√AN 2-AE 2=√(√3)2-(√32)2=32,∴DN =EN -ED =32-12=1,∴△ADN 的周长为AD +AN +DN =1+√3+1=2+√3.故选D.2.(2019郑州二模,6)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4 cm,BC =3 cm .动点P ,Q 分别从点A ,B 同时开始移动(移动方向如图所示),点P 的速度为12 cm/s,点Q 的速度为1 cm/s,点Q 移动到点C 后停止,点P 也随之停止运动.若使△PBQ 的面积为154cm 2,则点P 运动的时间是 ( )A.2 sB.3 sC.4 sD.5 s答案 B 设运动时间为t s,则AP =12t cm,BQ =t cm,则PB =(4-12t)cm,则S △PBQ =12BP ·QB =154,即12×(4-12t)×t =154.解得t 1=3,t 2=5,当t =5时,BQ =5>3,不符合题意,舍去,所以t =3.故选B .3.(2021许昌禹州二模,9)如图,已知Rt △ABO 的顶点A 在x 轴负半轴上,点B 在y 轴上,AB =4√5,B (0,4),按以下步骤作图:①分别以点A ,B 为圆心,大于12AB 的长为半径作弧,交于点P ,Q ;②作直线PQ 交x 轴于点C ,交y 轴于点D ,则点C 的坐标为 ( )A.(3,0)B.(-3,0)C.(3√32,0) D.(-3√32,0) 答案 B 连接BC ,由作图知直线PQ 垂直平分线段AB , ∴AC =BC ,∵B (0,4),∴OB =4, ∵AB =4√5,∴OA =√AB 2-OB 2=√(4√5)2-42=8,设OC =x ,∴AC =BC =8-x , ∵BC 2=OC 2+OB 2,∴(8-x )2=x 2+42,∴x =3,∴OC =3, ∴C (-3,0).故选B.4.(2021平顶山二模,9)如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是等腰直角三角形,且最大的正方形的边长为4.若按照图①至图③的规律设计图案,则在第n 个图中所有等腰直角三角形的面积和为( )A.4nB.8nC.4nD.32答案 A 题图①中等腰三角形面积为4;题图②中相对于题图①增加的等腰三角形面积为2×14×(2√2)2=4,所有等腰直角三角形的面积和为4×2=8;题图③中相对于题图②增加的等腰三角形面积为22×14×[4×(√22)2]2=4,所有等腰直角三角形的面积和为4×3,则第n 个图形中相对于第n -1个图形增加的等腰三角形面积为2n -1×14×[4×(√22)n -1]2=4,所有等腰直角三角形的面积和为4n.故选A .二、填空题(每题3分,共12分)5.(2021洛阳汝阳一模,15)如图,△ABC 中,AB =AC =10,tan A =2,BE ⊥AC 于点E ,D 是线段BE 上的一个动点,则CD +√55BD 的最小值是 .答案4√5解析如图,过点D作DH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M.∵BE⊥AC,∴∠AEB=90°,∵tan A=BEAE=2,设AE=a,BE=2a,则100=a2+4a2,∴a=2√5或-2√5(舍),∴BE=2a=4√5,同理,CM=4√5.∵∠DBH=∠ABE,∠BHD=∠BEA=90°,∴sin∠DBH=DHBD =AEAB=√55,∵DH=√55BD,∴CD+√55BD=CD+DH.∴CD+DH≥CM,∴CD+√55BD≥4√5,∴CD+√55BD的最小值为4√5.思路分析在直角三角形ABE中,由tan A=2,可求得sin∠ABE=AEAB =√55,过点D作DH⊥AB于点H,构造DH的长为√55BD,过点C作CM⊥AB于点M,由垂线段最短可知CD+DH≥CM,解直角三角形ACM,求出CM的长即可解决问题.6.(2021郑州外国语学校模拟,15)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=2√3,点P是AC上的动点,连接BP,以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点P在运动过程中,线段CQ长度的最小值是.答案√32解析如图,取AB的中点E,连接CE,PE.∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠CBE=60°,∵BE=AE,∴CE=BE=AE,∴△BCE 是等边三角形.∴BC=BE.∵△BPQ是等边三角形,∴∠PBQ=∠CBE=60°,∴∠QBC =∠PBE ,∵QB =PB ,∴△QBC ≌△PBE (SAS), ∴QC =PE ,∴当EP ⊥AC 时,QC 的值最小.∵AE =√3,∠A =30°,∴当PE ⊥AC 时PE =12AE =√32,∴CQ 的最小值为√32.7.(2021郑州一模,15)如图,平面直角坐标系中,点A (0,2),B (4,0),将△BCD 沿着垂直于x 轴的直线CD 折叠(点C 在x 轴上,点D 在AB 上,点D 不与A ,B 重合),点B 的对应点为点E ,则当△ADE 为直角三角形时,S△BDC S △ADE的值是 .答案310或56解析在Rt △AOB 中,AB =√AO 2+BO 2=√22+42=2√5,tan ∠ABO =AO OB =12,①当∠AED =90°时,如图,∵CD ⊥OB ,CB =CE ,设CD =x ,则BC =EC =2x ,OE =4-4x ,易证△AOE ∽△ECD ,∴AO OE =EC CD ,24-4x =2x x ,∴x =34,∴OE =1,BC =EC =32,∴AE =√OE 2+AO 2=√5,DE =√EC 2+CD 2=34√5,∴S△BDC S △ADE=12×32×3412×√5×34√5=310; ②当∠EAD =90°时,如图, ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3,∴EO =AO ·tan ∠3=1,∴BE=OE+OB=5,∵CE=CB=52,∴CD=54,∴S△BDC=12DC·CB=2516,∴S△ADE=S△ABE-2S△BDC=12×2×5-258=158,∴S△BDCS△ADE=56;③∵tan∠ABO=12<1,∴∠ABO<45°,∴∠ADE<90°,即∠ADE不可能为直角.综上,当△ADE为直角三角形时,S△BDCS△ADE 的值是310或56.8.(2020开封一模,15)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8,点D,E分别为AC,BC的中点,点F为AB边上一动点,将△ADF沿着DF折叠,点A的对应点为点G,且点G始终在直线DE的下方,连接GE,当△GDE为直角三角形时,线段AF的长为.答案2或3解析∵∠C=90°,∠A=30°,AB=8,∴AC=4√3.∵点D,E分别为AC,BC的中点,∴AD=CD=2√3,DE∥AB,∴∠CDE=∠A=30°.(i)当∠GDE=90°时(如图1),可得∠ADG=60°,∴∠ADF=∠A=30°.过点F作FH⊥AD于点H,则AH=√3,∴AF=2.图1(ii)当∠DGE=90°时(如图2),可证△DCE≌△DGE,∴∠GDE=∠CDE=30°,∴∠ADG=120°,∴∠ADF=60°,∴∠AFD=90°,∴AF=3.图2因为DG <DE ,所以∠DEG 不可能为直角. 综上所述,AF 的长为2或3.三、解答题(共16分)9.(2021信阳商城一模,23改编)(1)问题发现如图1,△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形,且∠BAC =∠DAE =90°,直线BD 、CE 交于点F.线段BD 和CE 的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)类比探究如图2,在锐角三角形ABC 和ADE 中,∠ABC =∠ADE =α,∠ACB =∠AED =β,直线BD ,CE 交于点F.若AB =kAC ,试判断线段BD 和CE 的数量关系以及直线BD 和CE 相交所成的较小角的度数,并说明理由. 解析 (1)BD =CE ;BD ⊥CE.提示:可证明△ABD ≌△ACE 进而得出BD =CE ,BD ⊥CE. (2)∵∠ABC =∠ADE =α,∠ACB =∠AED =β, ∴△ABC ∽△ADE , ∴∠BAC =∠DAE ,ABAD =ACAE , ∴∠BAD =∠CAE , ∴△ABD ∽△ACE ,∴∠ABD =∠ACE ,BD CE =AB AC =k.∵∠BGC =∠ABD +∠BAC =∠BFC +∠ACE , ∴∠BFC =∠BAC ,∵∠BAC +∠ABC +∠ACB =180°, ∴∠BFC =∠BAC =180°-α-β.∴BD =kCE ,直线BD 和CE 相交所成的较小角的度数为180°-α-β.思路分析 (1)判定BD 与CE 的关系,可先判定△BAD ≌△CAE ,再由角之间的关系判定BD ⊥CE.(2)先证明△ABC ∽△ADE ,根据相似三角形的性质得AB AD =ACAE ,∠BAD =∠CAE ,推出△ABD ∽△ACE ,进而判定BD 与CE 的关系.10.(2020郑州二模,22)已知:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,其中AB =AC ,AD =AE ,∠BAC =90°,∠DAE =90°.(1)观察猜想如图1,连接BE ,CD 交于点H ,再连接CE ,那么BE 和CD 的数量关系和位置关系分别是 , ; (2)探究证明将图1中的△ABC 绕点A 逆时针旋转到图2的位置时,分别取BC ,CE ,DE 的中点P ,M ,Q ,连接MP ,PQ ,MQ ,请判断MP 和MQ 的数量关系和位置关系,并说明理由; (3)拓展延伸已知AB =√2,AD =4,在(2)的条件下,将△ABC 绕点A 旋转的过程中,若∠CAE =45°,请直接写出此时线段PQ 的长.解析 (1)BE =CD ;BE ⊥CD. (2分)(2)PM =MQ ,PM ⊥MQ. ∵∠CAB =∠EAD =90°, ∴∠CAD =∠BAE. 又AC =AB ,AE =AD , ∴△CAD ≌△BAE.(4分)∴CD =BE ,∠CDA =∠BEA.∵AC ⊥AB ,AD ⊥AE ,∴CD ⊥BE. (6分) ∵BC 、CE 、DE 的中点分别为P 、M 、Q , ∴PM =12BE ,MQ =12CD ,PM ∥BE ,MQ ∥CD. ∴PM =MQ ,PM ⊥MQ. (8分) (3)√5或√13. (10分)提示:由(2)的结论可知△PMQ 为等腰直角三角形, 则PQ =√2PM =√2MQ.根据中位线定理可知PM =12BE ,MQ =12CD , 则PQ =√22CD =√22BE ,所以只需求CD 或BE 的长即可.当点C 在AE 的左侧时,CD =√52+12=√26, 所以PQ =√22×√26=√13;当点C 在AE 的右侧时,CD =√32+12=√10, 所以PQ =√22CD =√22×√10=√5. 综上,PQ 的长为√5或√13.。

中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《等腰三角形》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底。

两腰构成的夹角叫做顶角，腰与底构成的夹角叫做底角。

2.等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等。

②等腰三角形的两底角相等。

（简称“等边对等角”）③等腰三角形底边的中线、高线以及顶角平分线相互重合。

（简称底边上三线合一）3.等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形。

②有两个底角相等的三角形是等腰三角形。

（等角对等边）③若一个三角形某一边上存在“三线合一”，则三角形是等腰三角形。

练习题1、（2022•黑龙江）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若△ABC的面积是24，PD＝1.5，则PE的长是（）A．2.5 B．2 C．3.5 D．3【分析】如图，过点E作EG⊥AD于G，证明△EGP≌△FDP，得PG＝PD＝1.5，由三角形中位线定理可得AD的长，由三角形ABC的面积是24，得BC的长，最后由勾股定理可得结论．【解答】解：如图，过点E作EG⊥AD于G，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠PDF＝∠EGP＝90°，EG∥BC，∵点E是AB的中点，∴G是AD的中点，∴EG＝BD，∵F是CD的中点，∴DF＝CD，∴EG＝DF，∵∠EPG＝∠DPF，∴△EGP≌△FDP（AAS），∴PG＝PD＝1.5，∴AD＝2DG＝6，∵△ABC的面积是24，∴•BC•AD＝24，∴BC＝48÷6＝8，∴DF＝BC＝2，∴EG＝DF＝2，由勾股定理得：PE＝＝2.5．故选：A．2、（2022•淄博）某城市几条道路的位置关系如图所示，道路AB∥CD，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（）A．23°B．25°C．27°D．30°【分析】先根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠DFE＝∠BAE＝50°，根据等腰三角形的性质得出∠C＝∠E，再根据三角形外角性质计算∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠BAE＝50°，∵CF＝EF，∴∠C＝∠E，∵∠DFE＝∠C+∠E，∴∠C＝∠DFE＝×50°＝25°，故选：B．3、（2022•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，则∠D的度数为（）A．39°B．40°C．49°D．51°【分析】利用等边对等角求得∠B＝∠ACB＝78°，然后利用三角形外角的性质求得答案即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故选：A．4、（2022•荆州）如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1+∠2的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．90°【分析】过点C作CD∥l1，利用平行线的性质可得∠1+∠2＝∠ACB，再由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，从而可求解．【解答】解：过点C作CD∥l1，如图，∵l1∥l2，∴l1∥l2∥CD，∴∠1＝∠BCD，∠2＝∠ACD，∴∠1+∠2＝∠BCD+∠ACD＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵∠BAC＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°，∴∠1+∠2＝70°．故选：B．5、（2022•台湾）如图，△ABC中，D点在AB上，E点在BC上，DE为AB的中垂线．若∠B＝∠C，且∠EAC＞90°，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（）A．∠1＝∠2，∠1＜∠3 B．∠1＝∠2，∠1＞∠3C．∠1≠∠2，∠1＜∠3 D．∠1≠∠2，∠1＞∠3【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．【解答】解：∵DE为AB的中垂线，∴∠BDE＝∠ADE，BE＝AE，∴∠B＝∠BAE，∴∠1＝∠2，∵∠EAC＞90°，∴∠3+∠C＜90°，∵∠B+∠1＝90°，∠B＝∠C，∴∠1＞∠3，∴∠1＝∠2，∠1＞∠3，故选：B．6、（2022•宜宾）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AEDF的周长是（）A．5 B．10 C．15 D．20【分析】由于DE∥AB，DF∥AC，则可以推出四边形AFDE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可以证明▱AFDE的周长等于AB+AC．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∠B＝∠EDC，∠FDB＝∠C∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∠C＝∠EDC，∴BF＝FD，DE＝EC，∴▱AFDE的周长＝AB+AC＝5+5＝10．故选：B．7、（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．8、（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且AB ⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（）A．（5，4）B．（3，4）C．（5，3）D．（4，3）【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写出点A的坐标．【解答】解：设AB与x轴交于点C，∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，∴AC＝AB＝3，由勾股定理得：OC＝＝＝4，∴点A的坐标为（4，3），故选：D．9、（2022•泰安）如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°．则∠2的度数是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行线的性质得到∠BEA＝95°，再根据三角形外角的性质即可求解．【解答】解：如图，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故选：A．10、（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得：x+x+2x+20＝180，解得：x＝40，故选：B．11、（2022•广安）若（a﹣3）2+5−b＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为．【分析】先求a，b．再求第三边c即可．【解答】解：∵（a﹣3）2+＝0，（a﹣3）2≥0，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5，设三角形的第三边为c，当a＝c＝3时，三角形的周长＝a+b+c＝3+5+3＝11，当b＝c＝5时，三角形的周长＝3+5+5＝13，故答案为：11或13．12、．（2022•岳阳）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，若BC＝6，则CD＝．【分析】根据等腰三角形的性质可知D是BC的中点，即可求出CD的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∵BC＝6，∴CD＝3，故答案为：3．13、（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因1.5+1.5＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝1.5，△ABC三边分别是1.5，1.5，3，∵1.5+1.5＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．14、（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC的顶角度数是．【分析】分∠A是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【解答】解：当∠A是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；当∠A是底角时，则△ABC的顶角度数为180°﹣2×40°＝100°；综上，△ABC的顶角度数是40°或100°．故答案为：40°或100°．15、（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×60°＝30°．故答案为：30°．11。

中考数学复习专项之等腰三角形(含答案)

等腰三角形一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点，若，则的长为( ).A ．B ．C ．D ．1答案：B2、(2022年惠州市惠城区模拟)等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（） A.16 B.18 C. 20 D. 16或20 答案：C3、(2022浙江永嘉一模)10．如图，在△ABC 中，AB =BC ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转α度，得到△A 1BC 1，A 1B 交AC 于点E ，A 1C 1分别交AC ，BC 于点D ，F ，下列结论： ①∠CDF =α；②A 1E =CF ；③DF =FC ；④BE =BF ．其中正确的有（ ▲ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【答案】C4、（2022重庆一中一模）11．如图，在等腰ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，6=AC ,D 是AC 上一点．若51tan =∠DBA ，那么AD 的长为 A ． 2 B ．3 C ．2 D ． 1 【答案】A5. （2022江西饶鹰中考模拟）如图,将矩形ABCD 对折，得折痕PQ ，再沿MN 翻折，使点C 恰好落在折痕PQ 上的点C ′处，点D 落在D ′处，其中M 是BC 的中点.连接AC ′，BC ′，则图中共有等腰三角形的个数是( ) A .1 B.2（第1 题图）FED C 1C BAA 1第2题图A BD′ P CD M NE C′Q F第6题CA PBDC.3D.4 答案：C6、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，P 为其底角平分线的交点，将△BCP 沿CP 折叠，使B 点恰好落在AC 边上的点D 处，若DA=DP ，则∠A 的度数为( ).A.20°B.30°C.32°D.36°D7、 (2022年江苏无锡崇安一模）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ＝1，AE ＝DE ＝2，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小，则△AMN 的最小周长为…（ ▲ ） A ．2 6 B ．27 C ．4 2D ．5答案：B二、填空题1、（2022年安徽模拟二）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA ＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为．第1题图答案：42．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，ABC ∆为等边三角形，AQ =PQ ，PR =PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个结论正确的是．（把所有正确答案的序号都填写在横线上） ①AP 平分∠BAC ；②AS =AR ；③QP ∥AR ；④BRP ∆≌△QSP ．3、(2022年安徽省模拟六)如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G .下列结论：①AE =CD ；②∠AFC =1200；③⊿ADF 是正三角形；④12FG AF =.其中正确的结论是（填所有正确答案的序号）．答案：①②④4、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____ . 1.57．(2022年江苏无锡崇安一模）在直角△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，若CD ＝4，则点D 到斜边AB 的距离为 ▲ .第1题第3题图 ABCDEF第4题图答案：47.（2022浙江东阳吴宇模拟题）如图，C 、D 、B 的坐标分别为（1, 0）（9, 0）（10, 0），点P （t ，0）是CD 上一个动点，在x 轴上方作等边△OPE 和△BPF ，连EF ，G 为EF 的中点。

等腰三角形2020年中考数学学霸专题(答案版)

第22章等腰三角形一、选择题1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（）（A ）32（B ）33（C ）34（D ）36【答案】B2. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=CDBC;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个MECA【答案】D3. 如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交CE 于点G ，连结BE . 下列结论中： ① CE =BD ；② △ADC 是等腰直角三角形；③ ∠ADB =∠AEB ；④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】DABCEFGA BCD E4. 如图，ΔABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE．若∠A=30∘，AB＝AC，则∠BDE的度数为何？A． 45 B． 52．5 C． 67．5 D． 75【答案】Ｃ5. 如图①，有两全等的正三角形ABC、DEF，且D、A分别为△ABC、△DEF的重心．固定D点，将△DEF逆时针旋转，使得A落在DE上，如图②所示．求图①与图②中，两个三角形重迭区域的面积比为何？图①图②A．2：1 B． 3：2 C． 4：3 D． 5：4【答案】C6. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是A．15cm B．16cmC．17cm D．16cm或17cm【答案】D7. 如图，在ABC△中，13AB AC==，10BC=，点D为BC的中点，DE DE AB⊥，垂足为点E，则DE等于（）A．1013B．1513C．6013D．7513【答案】C二、填空题1. 边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.【答案】33cm2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 .【答案】4或63. 在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，则点F到直线BC的距离为．【答案】313122+-或4. 已知等边△ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点Bˊ处，DBˊ,EBˊ分别交边AC于点F，G，若∠ADF=80º ，则∠EGC的度数为【答案】80º5. 如图，在△ABC中，AB=AC，︒=∠40A，则△ABC的外角∠BCD＝°．【答案】1106. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。

中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《等腰三角形》专项提升练习题(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为( )A.12B.9C.12或9D.9或72.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°3.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为( )A.36°B.60°C.72°D.108°4.如图，在△ABC中，D为BC的中点，AD⊥BC，E为AD上一点，∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，则∠ABE＝( )A.10°B.15°C.20°D.25°5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为( )A.BD＝CEB.AD＝AEC.DA＝DED.BE＝CD6.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是( )A.有一个内角是60°B.有一个外角是120°C.有两个角相等D.腰与底边相等7.等边△ABC的两条角平分线BD和CE相交所夹锐角的度数为( )A.60°B.90°C.120°D.150°8.如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为( )A.(1，1)B.(3，1)C.(3，3)D.(1，3)9.如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE上，此时∠CDB=82°，则原三角形的∠B为( )A.75°B.76°C.77°D.78°10.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，若BE＝6 cm，DE＝2 cm，则BC的长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.12 cm二、填空题11.等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．12.如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝3，AE＝4，则AC＝.13.如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°，则∠2的度数为.14.如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE＝AD，则∠ADE＝________.15.已知一张三角形纸片ABC(如图甲)，其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD(如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF(如图丙)．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为．16.《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图(蜨，同“蝶”)，如图为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件(大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形)，已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP.若∠ADQ＝25°，则∠DCP的度数为.三、解答题17.如图，在△ABC中，AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°，求∠B的度数.18.如图，△ABC中，AC＝BC，点D在BC上，作∠ADF＝∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F.（1）求证：CF∥AB；（2）若∠CAD＝20°，求∠CFD的度数.19.如图，等边△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，E为AD上一点，以BE为一边且在BE下方作等边△BEF，连接CF.(1)求证：AE＝CF；(2)求∠ACF的度数.20.如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是AB、BC、AC上一点，且∠DEF＝60°.(1)若∠1＝50°，求∠2；(2)连接DF，若DF∥BC，求证：∠1＝∠3.21.如图，在△ABC中，AB＝BC，CD⊥AB于点D，CD＝BD，BE平分∠ABC，点H是BC 边的中点，连接DH，交BE于点G，连接CG．(1)求证：△ADC≌△FDB；(2)求证：CE＝12BF；(3)判断△ECG的形状，并证明你的结论；22.如图，已知在等边三角形ABC中，点D、E分别在直线AB、直线AC上，且AE＝BD．(1)当点D、E分别在边AC、边AB上时，如图1所示，EB与CD相交于点G，求∠CGE 的度数；(2)当点D、E分别在边CA、边AB的延长线上时，如图2所示，∠CGE的度数是否变化？如不变，请说明理由．如变化，请求出∠CGE的度数．答案1.A2.D3.C4.C.5.C6.C7.A8.D9.D10.C.11.答案为：100°.12.答案为：7.13.答案为：40°.14.答案为：75°15.答案为：72°.16.答案为：20°.17.解：∵AC＝DC＝DB，∠ACD＝100°∴∠CAD＝(180°﹣100°)÷2＝40°∵∠CDB是△ACD的外角∴∠CDB＝∠A＋∠ACD＝100°＝40°＋100°＝140°∵DC＝DB∴∠B＝(180°﹣140°)÷2＝20°.18.（1）证明：∵AC＝BC∴∠B＝∠BAC∵∠ACE＝∠B+∠BAC∴∠BAC＝12∠ACE∵CF平分∠ACE∴∠ACF＝∠ECF＝12∠ACE∴∠BAC ＝∠ACF∴CF ∥AB ；（2）解：∵∠BAC ＝∠ACF ，∠B ＝∠BAC ，∠ADF ＝∠B ∴∠ACF ＝∠ADF∵∠ADF+∠CAD+∠AGD ＝180°，∠ACF+∠F+∠CGF ＝180° 又∵∠AGD ＝∠CGF∴∠F ＝∠CAD ＝20°.19.证明：(1)∵△ABC 是等边三角形∴AB ＝BC ，∠ABE ＋∠EBC ＝60°.∵△BEF 是等边三角形∴EB ＝BF ，∠CBF ＋∠EBC ＝60°.∴∠ABE ＝∠CBF.在△ABE 和△CBF 中⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠CBF EB ＝BF ，∴△ABE ≌△CBF(SAS).∴AE ＝CF.(2)∵等边△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线∴∠BAE ＝30°，∠ACB ＝60°.∵△ABE ≌△CBF∴∠BCF ＝∠BAE ＝30°.∴∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACB ＝30°＋60°＝90°.20.解：(1)∵△ABC 是等边三角形∴∠B ＝∠A ＝∠C ＝60°∵∠B ＋∠1＋∠DEB ＝180°∠DEB ＋∠DEF ＋∠2＝180°∵∠DEF ＝60°∴∠1＋∠DEB ＝∠2＋∠DEB∴∠2＝∠1＝50°；(2)连接DF∵DF∥BC∴∠FDE＝∠DEB∵∠B＋∠1＋∠DEB＝180°，∠FDE＋∠3＋∠DEF＝180°∵∠B＝60°，∠DEF＝60°∴∠1＝∠3.21.证明：(1)∵AB＝BC，BE平分∠ABC∴BE⊥AC，CE＝AE∵CD⊥AB∴∠ACD＝∠DBF在△ADC和△FDB中∴△ADC≌△FDB(ASA)；(2)∵△ADC≌△FDB∴AC＝BF又∵CE＝AE∴CE＝12BF；(3)△ECG为等腰直角三角形．∵点H是BC边的中点∴GH垂直平分BC∴GC＝GB∵∠DBF＝∠GBC＝∠GCB＝∠ECF，得∠ECG＝45°又∵BE⊥AC∴△ECG为等腰直角三角形.22.(1)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°在△ABE和△BCD中AE＝BD,∠A＝∠DBC,AB＝BC∴△ABE≌△BCD∴∠ABE＝∠BCD∵∠ABE＋∠CBG＝60°∴∠BDG＋∠CBG＝60°∵∠CGE＝∠BCG＋∠CBG∴∠CGE＝60°；(2)证明：∵△ABC为等边三角形∴AB＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°∴∠EAB＝∠CBD＝120°在△ABE和△BCD中AB＝BC,∠EAB＝∠CBD,AE＝BD∴△ABE≌△BCD(SAS)∴∠D＝∠E∵∠ABE＝∠DBG，∠CAB＝∠E＋ABE＝60°∴∠CGE＝∠D＋∠DBG＝60°．。

中考数学专题复习之 22 等腰三角形(含解析)2 精编

22 等腰三角形(含解析)一、选择题1．（4分）（2016•怀化）如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ，则下列结论错误的是（）A ．PC =PDB ．∠CPD =∠DOPC ．∠CPO =∠DPOD ．OC =OD【考点】角平分线的性质．【分析】先根据角平分线的性质得出PC =PD ，再利用HL 证明△OCP ≌△ODP ，根据全等三角形的性质得出∠CPO =∠DPO ，OC =OD ．【解答】解：∵OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ， ∴PC =PD ，故A 正确；在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，OP OP PC PDì=ïïíï=ïî， ∴△OCP ≌△ODP ，∴∠CPO =∠DPO ，OC =OD ，故C 、D 正确．不能得出∠CPD =∠DOP ，故B 错误．故选B ．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质，得出PC =PD 是解题的关键．2．（4分）（2016•怀化）等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则它的周长为（）A ．16cmB ．17cmC ．20cmD ．16cm 或20cm【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm 或是腰长为8cm 两种情况．【解答】解：等腰三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，当腰长是4cm 时，则三角形的三边是4cm ，4cm ，8cm ，4cm+4cm=8cm 不满足三角形的三边关系；当腰长是8cm 时，三角形的三边是8cm ，8cm ，4cm ，三角形的周长是20cm ．故选C ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．3．（4分）（2016•铜仁市）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】角平分线的性质；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】作PE⊥OA于E，如图，先利用平行线的性质得∠ECP=∠AOB=30°，则PE=12PC=2，然后根据角平分线的性质得到PD的长．【解答】解：作PE⊥OA于E，如图，∵CP∥OB，∴∠ECP=∠AOB=30°，在Rt△EPC中，PE=12PC=12×4=2，∵P是∠AOB平分线上一点，PE⊥OA，PD⊥OB，∴PD=PE=2．故选B．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．解决本题的关键是把求P点到OB的距离转化为点P到OA的距离．2．（3分）（2016•呼伦贝尔）如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（）A．40°B．30°C．70°D．50°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据AD ∥BC 可得出∠C=∠1=70°，再根据AB=AC 即可得出∠B=∠C=70°，结合三角形的内角和为180°，即可算出∠BAC 的大小．【解答】解：∵AD ∥BC ，∴∠C=∠1=70°，∵AB=AC ，∴∠B=∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=40°．故选A ．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，解题的关键是找出∠B=∠C=70°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键．3．（7分）（2016•呼伦贝尔）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 及等边△ABE ，已知：∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF ．（1）试说明AC=EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）首先由Rt △ABC 中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC ，又由△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，由此得到AE=2AF ，并且AB=2AF ，然后证得△AFE ≌△BCA ，继而证得结论；（2）根据（1）知道EF=AC ，而△ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD ，并且AD ⊥AB ，而EF ⊥AB ，由此得到EF ∥AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形．【解答】证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC ，又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB=2AF∴AF=BC ，在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，AF BC AE BA =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AFE ≌Rt △BCA （HL ），∴AC=EF ；（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°又∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．【点评】此题考查了平行四边形的判定、等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得Rt△AFE≌Rt△BCA是关键．4．（3分）（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．D．【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【解答】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=12OA=30cm，∴弧CD的长=12030180·´=20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高=故选D．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．4．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A ．线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DC 重合B ．线段DB 绕点D 顺时针旋转一定能与线段DI 重合C ．∠CAD 绕点A 顺时针旋转一定能与∠DAB 重合D ．线段ID 绕点I 顺时针旋转一定能与线段IB 重合【分析】根据I 是△ABC 的内心，得到AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD ，∠ABI=∠CBI 根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB ，根据等腰三角形的性质得到BD=DI ．【解答】解：∵I 是△ABC 的内心，∴AI 平分∠BAC ，BI 平分∠ABC ，∠ABI=∠CBI ，∴∠BAD=∠CAD ，故C 正确，不符合题意；∴ CDBD ，∴BD=CD ，故A 正确，不符合题意； ∵∠DAC=∠DBC ，∴∠BAD=∠DBC ，∵∠IBD=∠IBC+∠DBC ，∠BID=∠ABI+∠BAD ，∴∠BDI=∠DIB ，∴BD=DI ，故B 正确，不符合题意；故选D ．【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心的，以及等腰三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等．2．平面直角坐标系中，已知A （2，2）、B （4，0）．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质．【分析】由点A 、B 的坐标可得到AB =AC =AB ；若BC =AB ；若CA =CB ，确定C 点的个数．【解答】解：∵点A 、B 的坐标分别为（2，2）、B （4，0）．∴AB =①若AC=AB，以A为圆心，AB为半径画弧与坐标轴有4个交点（含B点），即满足△ABC 是等腰三角形的P点有3个；②若BC=AB，以B为圆心，BA为半径画弧与坐标轴有2个交点（A点除外），即满足△ABC 是等腰三角形的P点有2个；③若CA=CB，作AB的垂直平分线与坐标轴有两个交点，即满足△ABC是等腰三角形的C 点有2个；在一条直线上的要舍去，所以点C在坐标轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．故选A．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，也考查了通过坐标确定图形的性质以及分类讨论思想的运用．5．1．（2016•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A．13cm B．14cm C．13cm或14cm D．以上都不对【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故选C【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类考虑是解本题的关键．1．（2016•陕西）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A．7B．8C．9D．10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=12AC，由此即可解决问题．【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴10，∵DE是△ABC的中位线，∴DF∥BM，DE=12BC=3，∴∠EFC=∠FCM，∵∠FCE=∠FCM，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF=12AC=5，∴DF=DE+EF=3+5=8．故选B．【点评】本题考查三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，掌握等腰三角形的判定和性质，属于中考常考题型．1．（3分）（2016•黑龙江）若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，则△ABC 的面积为（）A．2+3B．332C．2+3或2﹣3D．4+23或2﹣3【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质．【专题】探究型．【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当△ABC为△A1BC时，连接OB、OC，∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA 1⊥BC 于点D ，∴CD=1，OD=31222=-， ∴2)32(221-⨯=⨯='∆D A BC S C B A =2﹣3，当△ABC 为△A 2BC 时，连接OB 、OC ，∵点O 是等腰△ABC 的外心，且∠BOC=60°，底边BC=2，OB=OC ，∴△OBC 为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA 1⊥BC 于点D ，∴CD=1，OD=31222=-，∴S △A2BC =2)32(222+⨯=⨯DA BC =2+3，由上可得，△ABC 的面积为32-或2+3，故选C ．【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．1．（4分）（2016•甘孜州）如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，ED ∥BC ，已知AB=3，AD=1，则△AED 的周长为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD ，根据两直线平行，内错角相等可得∠CBD=∠BDE ，从而得到∠ABD=∠BDE ，再根据等角对等边可得BE=DE ，然后求出△AED 的周长=AB +AD ，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD ，∵ED∥BC，∴∠CBD=∠BDE，∴∠ABD=∠BDE，∴BE=DE，△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD，∵AB=3，AD=1，∴△AED的周长=3+1=4．故选C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记性质并推导出BE=DE 是解题的关键．1．（3分）（2016•菏泽）如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=6x在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A．36 B．12 C．6 D．3【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．【分析】设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点B的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数k的几何意义以及点B的坐标即可得出结论．【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a﹣b）．∵点B在反比例函数y=6x的第一象限图象上，∴（a+b）×（a﹣b）=a2﹣b2=6．∴S△OAC﹣S△BAD=12a2﹣12b2=12（a2﹣b2）=12×6=3．故选D．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、等腰三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出a2﹣b2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．1．（3分）（2016•荆门）如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴，∴BC=2BD=8，故选C．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．（3分）（2016•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC 的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，解得m=6，则原方程为x2﹣7x+12=0，解得x1=3，x2=4，因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．综上所述，该△ABC的周长为10或11．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．二、填空题1．（4分）（2016•铜仁市）如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC=18°，则∠A=72°．【考点】圆周角定理．【专题】计算题；圆的有关概念及性质．【分析】由OB=OC，利用等边对等角得到一对角相等，进而求出∠BOC的度数，再利用圆周角定理求出∠A的度数即可．【解答】解：∵OB=OC，∠OBC=18°，∴∠OBC=∠OCB=18°，∴∠BOC=144°，∵∠A与∠BOC都对 BC，∴∠A=72°，故答案为：72°【点评】此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．2．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等腰三角形的周长为19或21或23．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】求出方程的解，分为两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可．【解答】解：由方程x2﹣8x+15=0得：（x﹣3）（x﹣5）=0，∴x﹣3=0或x﹣5=0，解得：x=3或x=5，当等腰三角形的三边长为9、9、3时，其周长为21；当等腰三角形的三边长为9、9、5时，其周长为23；当等腰三角形的三边长为9、3、3时，3+3＜9，不符合三角形三边关系定理，舍去；当等腰三角形的三边长为9、5、5时，其周长为19；综上，该等腰三角形的周长为19或21或23，故答案为：19或21或23．【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，因式分解法求出方程的解是根本，根据等腰三角形的性质分类讨论是关键．2．3．4．5．6．3．4．1．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为13．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．1．（3分）（2016•黑龙江）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；坐标与图形变化-平移．【专题】规律型．【分析】据轴对称判断出点A 变换后在x 轴上方，然后求出点A 纵坐标，再根据平移的距离求出点A 变换后的横坐标，最后写出即可．【解答】解：解：∵△ABC 是等边三角形AB=3﹣1=2，∴点C 到x 轴的距离为1+2×23=3+1，横坐标为2，∴A （2，3+1），第2016次变换后的三角形在x 轴上方，点A 的纵坐标为3+1，横坐标为2﹣2016×1=﹣2014，所以，点A 的对应点A′的坐标是（﹣2014，3+1），故答案为：（﹣2014，3+1）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2016次这样的变换得到三角形在x 轴上方是解题的关键．2．（3分）（2016•齐齐哈尔）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为 20和20 ．【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角，②当30度角是底角，分别作腰上的高即可．【解答】解：如图1中，当∠A=30°，AB=AC 时，设AB=AC=a ，作BD ⊥AC 于D ，∵∠A=30°，∴BD=AB=a ，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．如图2中，当∠ABC=30°，AB=AC时，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设AB=AC=a，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=30°，∴∠BAC=120°，∠BAD=60°，在RT△ABD中，∵∠D=90°，∠BAD=60°，∴BD=a，∴•a•a=5，∴a2=20，∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20．故答案为20或20．【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．1．（4分）（2016•黔南州）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线ED 交AB于点E，交BC于点D，若CD=3，则BD的长为6．【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD，可得∠DAE=30°，易得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD为∠BAC的角平分线，由角平分线的性质得DE=CD=3，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得结果．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAE=∠B=30°，∴∠ADC=60°，∴∠CAD=30°，∴AD 为∠BAC 的角平分线，∵∠C=90°，DE ⊥AB ，∴DE=CD=3，∵∠B=30°，∴BD=2DE=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．2．1．（3分）（2016•大庆）一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为 334040+ 海里/小时．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】设该船行驶的速度为x 海里/时，由已知可得BC=3x ，AQ ⊥BC ，∠BAQ=60°，∠CAQ=45°，AB=80海里，在直角三角形ABQ 中求出AQ 、BQ ，再在直角三角形AQC 中求出CQ ，得出BC=40+403=3x ，解方程即可．【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为x 海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，由题意得：AB=80海里，BC=3x 海里，在直角三角形ABQ 中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=21AB=40，BQ=3AQ=403，在直角三角形AQC 中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+403=3x ，解得：x=334040+．即该船行驶的速度为334040+海里/时；故答案为：334040+．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键．2．（3分）（2016•哈尔滨）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，△BEF 与△GEF 关于直线EF 对称，点B 的对称点是点G ，且点G 在边AD 上．若EG ⊥AC ，AB =FG 的长为【考点】菱形的性质．【分析】首先证明△ABC ，△ADC 都是等边三角形，再证明FG 是菱形的高，根据2•S △ABC =BC •FG 即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，∴AB =BC =CD =AD ，∠CAB =∠CAD =60°，∴△ABC ，△ACD 是等边三角形，∵EG ⊥AC ，∴∠AEG =∠AGE =30°，∵∠B =∠EGF =60°，∴∠AGF =90°，∴FG ⊥BC ，∴2•S △ABC =BC •FG ，∴(22FG =，∴FG =故答案为【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，常借此等面积思想来求线段长．1．（3分）（2016•龙岩）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC=2．【考点】等边三角形的性质．【分析】先证明BC=2CD，证明△CDE是等腰三角形即可解决问题．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴BC=2DC，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠CDE=∠E=30°，∴CD=CE=1，∴BC=2CD=2，故答案为2【点评】不同考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．1．（3分）（2016•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=13．【考点】正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形．【专题】计算题．【分析】作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，根据等腰直角三角形的性质得CDCE，∠DCE=45°，再利用正方形的性质得CB=CD，∠BCD=90°，接着判断△CEF为等腰直角三角形得到CF=EFa，然后在Rt△BEF中根据正切的定义求解．【解答】解：作EF⊥BC于F，如图，设DE=CE=a，∵△CDE为等腰直角三角形，∴CD，∠DCE=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴∠ECF=45°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CF=EF=2CE=2a，在Rt△BEF中，tan∠EBF=EFBFa=13，即∠EBC=13．故答案为13．【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了等腰直角三角形的性质．1．（3分）（2016•荆门）如图，已知点A（1，2）是反比例函数y=kx图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质．【分析】由对称性可知O为AB的中点，则当△PAB为等腰三角形时只能有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），可分别表示出PA和PB，从而可得到关与x的方程，可求得x，可求得P点坐标．【解答】解：∵反比例函数y=kx图象关于原点对称，∴A、B两点关于O对称，∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），∴当△PAB为等腰三角形时有PA=AB或PB=AB，设P点坐标为（x，0），∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），∴，当PA=AB x=﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；当PB=AB x=3或﹣5，此时P点坐标为（3，0）或（﹣5，0）；综上可知P点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0），故答案为：（﹣3，0）或（5，0）或（3，0）或（﹣5，0）．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和反比例函数的对称性，判断出只有PA=AB或PB=AB两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用．2．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．三、解答题1．（10分）（2016•铜仁市）如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，求证：DE=DF．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】证明题．【分析】连接CD，构建全等三角形，证明△ECD≌△FBD即可．【解答】解：连接CD，∵∠C=90°，D是AB的中点，∴CD=12AB=BD，∴CD⊥AB，∠ACD=∠B=45°，∴∠CDF+∠BDF=90°，∵ED⊥DF，∴∠EDF=90°，∴∠EDC+∠CDF=90°，∴∠EDC=∠BDF，∴△ECD≌△FBD，∴DE=DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质，同时要熟知等腰直角三角形的特殊性：如两个锐角都是45°；在全等三角形的证明中，常运用同角的余角相等来证明角相等．2．（12分）（2016•铜仁市）如图，已知AB是⊙O的直径，点P为圆上一点，点C为AB延长线上一点，PA=PC，∠C=30°．（1）求证：CP是⊙O的切线．（2）若⊙O的直径为8，求阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OP，由等腰三角形的性质得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；（2）证明△OBP是等边三角形，阴影部分的面积=扇形OBP的面积﹣△OBP的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OP，如图所示：∵PA=PC，∠C=30°，∴∠A=∠C=30°，∴∠APC=120°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠A=30°，∴∠OPC=120°﹣30°=90°，∴CP 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°，∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，∵OP=OB=4，∴△OBP 是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积=2604360π ﹣1283π﹣【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定．证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．3．（12分）（2016•铜仁市）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 为圆上一点，点C 为AB 延长线上一点，PA=PC ，∠C=30°．（1）求证：CP 是⊙O 的切线．（2）若⊙O 的直径为8，求阴影部分的面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）连接OP ，由等腰三角形的性质得出∠C=∠OPA=30°，∠APC=120°，求出∠OPC=90°即可；（2）证明△OBP 是等边三角形，阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积，即可得出结果．【解答】（1）证明：连接OP ，如图所示：∵PA=PC，∠C=30°，∴∠A=∠C=30°，∴∠APC=120°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠A=30°，∴∠OPC=120°﹣30°=90°，即OP⊥CP，∴CP 是⊙O 的切线．（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°，∴∠OBP=90°﹣∠A=60°，∵OP=OB=4，∴△OBP 是等边三角形，∴阴影部分的面积=扇形OBP 的面积﹣△OBP 的面积=2604360π ﹣1283π﹣【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定．证明三角形是等边三角形是解决问题（2）的关键．4．（10分）（2016•株洲）已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于E 点，且△AEF 为等边三角形（1）求证：△DFB 是等腰三角形；（2）若，求证：CF ⊥AB ．【考点】圆周角定理；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．【分析】（1）由AB 是⊙O 直径，得到∠ACB=90°，由于△AEF 为等边三角形，得到∠CAB=∠EFA=60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）过点A 作AM ⊥DF 于点M ，设AF=2a ，根据等边三角形的性质得到FM=EN=a ，，在根据已知条件得到AB=AF +BF=8a ，根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a ，推出∠ECF=∠EFC ，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF 为等边三角形，∴∠CAB=∠EFA=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，，在Rt△DAM中，，，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．【点评】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．5．如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．【分析】（1）①欲证明直线AB是⊙O的切线，只要证明OC⊥AB即可．②首先证明OC∥DF，再证明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可．（2）作ON⊥DF于N，延长DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解决问题．【解答】（1）①证明：连接OC．∵OA=OB，AC=CB，∴OC ⊥AB ，∵点C 在⊙O 上，∴AB 是⊙O 切线．②证明：∵OA=OB ，AC=CB ，∴∠AOC=∠BOC ，∵OD=OF ，∴∠ODF=∠OFD ，∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC ，∴∠BOC=∠OFD ，∴OC ∥DF ，∴∠CDF=∠OCD ，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD ，∴∠ADC=∠CDF ．（2）作ON ⊥DF 于N ，延长DF 交AB 于M ．∵ON ⊥DF ，∴DN=NF=3，在RT △ODN 中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，∴ON=22DN OD -=4，∴OC ∥DF ，∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，∴四边形OCMN 是矩形，∴ON=CM=4，MN=OC=5，在RT △CDM 中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，∴CD=22CM DM +=2248+=54．【点评】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质、垂径定理、平行线的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．1．1．19．（10分）（2016•安徽）如图，河的两岸l 1与l 2相互平行，A 、B 是l 1上的两点，C 、D 是l 2上的两点，某人在点A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得∠DEB=60°，求C 、D 两点间的距离．。

中考--压轴--等腰三角形(附详细解析)

中考--压轴--等腰三角形（附详细解析）2022中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在某、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与某轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．思路点拨图1图21．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．满分解答（1）因为PC//DB，所以点D的坐标为(2，4－m)．（2）在△APD中，AD2(4m)2CPBDPMDMMCMB1．因此PM＝DM，CP＝BD＝2－m．所以AD＝4－m．于是得到，AP2m24，PD232(2PM)44(2m)22．①当AP＝AD时，(4m)2m24．解得m②当PA＝PD时，m24（如图3）．4344(2m)2．解得m（如图4）或m234（不合题意，舍去）．（不合题意，舍去）．③当DA＝DP时，(4m)244(2m)2．解得m（如图5）或m43232综上所述，当△APD为等腰三角形时，m的值为，或．23图3图4图5（3）点H所经过的路径长为54．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单：①如图3，当AP＝AD时，AM垂直平分PD，那么△PCM∽△MBA．所以PCCMMBBA12．因此PC．解得m12，m32．②如图4，当PA＝PD时，P在AD的垂直平分线上．所以DA＝2PO．因此4m第（2）题的思路是这样的：2m43．如图6，在Rt△OHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的⊙G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，∠COH＝45°，∠CGH＝90°．图6图7例2如图，已知一次函数y＝－某＋7与正比例函数y（1）求点A和点B的坐标；43某的图象交于点A，且与某轴交于点B．（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交某轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答y某7,（1）解方程组4y某,3得某3,y4.所以点A的坐标是(3，4)．令y某70，得某7．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由S△APRS梯形CORAS△ACPS△POR8，得1112（3+7t)44(4t)t(7t)8．整理，得t8t120．解得222t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2图3图4②我们先讨论P在OC上运动时的情形，0≤t＜4．如图1，在△AOB中，∠B＝45°，∠AOB＞45°，OB＝7，AB＞∠B．如图4，点P由O向C运动的过程中，OP＝BR＝RQ，所以PQ//某轴．因此∠AQP＝45°保持不变，∠PAQ越来越大，所以只存在∠APQ＝∠AQP的情况．此时点A在PQ的垂直平分线上，OR＝2CA＝6．所以BR＝1，t＝1．我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4≤t＜7．在△APQ中，coA3542，所以OB＞AB．因此∠OAB＞∠AOB为定值，AP7t，AQOAOQOA53OR53t203．如图5，当AP＝AQ时，解方程7t53t203，得t418．如图6，当QP＝QA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP＝2(OR－OP)．解方程7t2[(7t)(t4)]，得t15．如7，当PA＝PQ时，那么coA2AQAP．因此AQ2APcoA．解方程5t32032(7t)35，得t22643．综上所述，t＝1或41或5或226时，△APQ是等腰三角形．843图5图6图7考点伸展当P在CA上，QP＝QA时，也可以用AP2AQcoA来求解．2022中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3如图，在直角坐标平面内有点A(6,0)，B(0,8)，C(－4,0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥某轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，ANAM35，所以5t102t35．解得t3031．此时CM6031．图2图3图4(3)如图5，图6，图7中，OPQNMPMNOP4t2585，即．所以OPt．①当N在AB上时，在△BNP中，∠B是确定的，BP88585t，BN105t．2022(Ⅰ)如图5，当BP＝BN时，解方程8t105t，得t1017．此时CM．(Ⅱ)如图6，当NB＝NP时，BE45BN．解方程55184t，得．此时CM．8t105t42255(Ⅲ)当PB＝PN时，BN2145BP．解方程12105t488t，得t的值为负数，因此不存在PB＝PN55的情况．②如图7，当点N在线段AB的延长线上时，∠B是钝角，只存在BP ＝BN的可能，此时BN5t10．解方程885t5t10，得t3011．此时CM6011．图5图6图7考点伸展如图6，当NB＝NP时，△NMA是等腰三角形，BN2145BP，这样计算简便一些．例4如图，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E 为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝某，BF＝y．（1）求y关于某的函数关系式；（2）若m＝8，求某为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若y12m，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y 关于某的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到某＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于某的一元二次方程，解出某的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角，所以∠EDC＝∠FEB．又因为∠C＝∠B＝90°，所以△DCE∽△EBF．因此DCCEEBBF，即m某8某y182．整理，得y关于某的函数关系为y1m某28m某．(2)如图2，当m＝8时，y(3)若y12m某某8m218(某4)2．因此当某＝4时，y取得最大值为2．2，那么12m1m某某．整理，得某8某120．解得某＝2或某＝6．要使△DEF为等腰三12m2角形，只存在ED＝EF的情况．因为△DCE∽△EBF，所以CE＝BF，即某＝y．将某＝y＝2代入y＝6（如图3）；将某＝y＝6代入y12m，得m ，得m＝2（如图4）．图2图3图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到y1m某28m某1m(某8某)21m(某4)216m，那么不论m为何值，当某＝4时，y都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值．第（2）题m＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m为小于8的任何值，△DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程某1m某28m某总有一个根某8m的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2022中考数学压轴题函数相似等腰三角形问题(三)例5已知：如图，在平面直角坐标系某Oy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在某轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF＝2GO是否成立？若成立，请给予证明；56若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到．2．过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA 的长．3．将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标．满分解答（1）由于OD平分∠AOC，所以点D的坐标为（2，2），因此BC＝AD＝1．由于△BCD≌△ADE，所以BD＝AE＝1，因此点E的坐标为（0，1）．c1,5b某c，那么4a2bc2,解得a，69a3bc0.56某2设过E、D、C三点的抛物线的解析式为ya某2b136c1．因此过E、D、C三点的抛物线的解析式为y136某1．（2）把某65代入y56某2136某1，求得y125．所以点M的坐标为,612．5512如图2，过点M作MN⊥AB，垂足为N，那么MNFADNDA，即522265．解得FA1．FA因为∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG≌△DEF，所以CG＝EF＝2．因此GO＝1，EF＝2GO．5613某1．6（3）在第（2）中，GC＝2．设点Q的坐标为某,某2①如图3，当CP＝CG＝2时，点P与点B（3，2）重合，△PCG是等腰直角三角形．此时yQ某Q某G，因此56某213127某1某1。

2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析

2019-2020年中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。

则A，B，C，D的面积的和等于 ()A、B、C、D、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A、B、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为()A、B、C、D、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（xx•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（xx•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（xx•黔东南州）xx年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（xx•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（xx•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（xx•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（xx•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n 的值．22、（xx•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（xx•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（xx•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。

(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等腰三角形(含解析)

中考数学抛物线压轴题之等腰三角形（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，己知点O（0，0），A（5，0），B（4，4）．（1）求过O、B、A三点的抛物线的解析式．（2）在第一象限的抛物线上存在点M，使以O、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标．（3）作直线x=m交抛物线于点P，交线段OB于点Q，当△PQB为等腰三角形时，求m的值．5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．6．如图，已知二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）和二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1（a＞0）图象的顶点分别为M，N，与y轴分别交于点E，F．（1）函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为，当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是．（2）当EF=MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状（直接写出，不必证明）．（3）若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程﹣a（x+1）2+1=0的解．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B 的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．8．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l 经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m 为何值时，△OPQ是等腰三角形．10．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A （﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标xOy中，（如图）正方形OABC的边长为4，边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BE⊥DB交x轴于点E．（1）求经过点D、B、E的抛物线的解析式；（2）将∠DBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F，边BD交y轴于点G，交（1）中的抛物线于M（不与点B重合），如果点M的横坐标为，那么结论OF=DG能成立吗？请说明理由；（3）过（2）中的点F的直线交射线CB于点P，交（1）中的抛物线在第一象限的部分于点Q，且使△PFE 为等腰三角形，求Q点的坐标．12．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．13．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式．（2）如图1，当点P的横坐标为时，求证：△OBD∽△ABC．（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积．（4）当以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标．14．如图，已知二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D．（1）求该二次函数的解析式；（2）如图1，连结BC，在线段BC上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标．16．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于（0，），点A坐标为（﹣1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．17．如图1，抛物线y=﹣x2平移后过点A（8，0）和原点，顶点为B，对称轴与x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S阴影；（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，∠PMN为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t，试探究：①t为何值时△MAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图1，抛物线y＝﹣++2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C，对称轴与x轴相交于点H，与AC相交于点T．（1）点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ∥AC交抛物线的对称轴于点Q，当△AQH面积最大时，点M、N在y轴上（点M在点N的上方），MN＝，点G在直线AC上，求PM+NG+GA的最小值．（2）点E为BC中点，EF⊥x轴于F，连接EH，将△EFH沿EH翻折得△EF'H，如图所示，再将△EF'H沿直线BC平移，记平移中的△EF'H为△E'F″H'，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R，则是否存在这样的点R，使得△RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标．20．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣4交x轴于A、B两点，交y轴于点C．（1）点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y轴上一点M，再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N，再沿x轴以每秒个单位长度运动到点B．当四边形ACPB面积最大时，求运动时间t的最小值；（2）过点C作AC的垂线交x轴于点D，将△AOC绕点O旋转，旋转后点A、C的对应点分别为A1、C1，在旋转过程中直线A1C1与x轴交于点Q．与线段CD交于点I．当△DQI是等腰三角形时，直接写出DQ的长度．1.抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．方法二：（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB=PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入l BC：y=﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±，（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y=3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y=x+，l AC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．2.（1）抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，（2）由（1）知，抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=3，BE=2，CE=，∵直线y=﹣x+1与y轴交于点D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO，（3）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1），②当PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（1，）或P（1，﹣），③当PC=BC时，∴3=，∴m=﹣3±，∴P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣），∴符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，﹣3+）或P（1，﹣3﹣）3．（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）此抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）存在；如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△P′OD中，∠P′DO=90°，sin∠P′OD==，∴∠P′OD=60°，∴∠P′OB=∠P′OD+∠AOB=60°+120°=180°，即P′、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2）．方法二：（3）设P（2，t），O（0，0），B（﹣2，﹣2），∵△POB为等腰三角形，∴PO=PB，PO=OB，PB=OB，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（2+2）2+（t+2）2，∴t=﹣2，（2﹣0）2+（t﹣0）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=2或﹣2，当t=2时，P（2，2），O（0，0）B（﹣2，﹣2）三点共线故舍去，（2+2）2+（t+2）2=（0+2）2+（0+2）2，∴t=﹣2，∴符合条件的点P只有一个，∴P（2，﹣2）．（4）∵点B，点P关于y轴对称，∴点M在y轴上，设M（0，m），∵⊙M为△OBF的外接圆，∴MO=MB，∴（0﹣0）2+（m﹣0）2=（0+2）2+（m+2）2，∴m=﹣，M（0，﹣）．4．（1）∵该抛物线经过点A（5，0），O（0，0），∴该抛物线的解析式可设为y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．∵点B（4，4）在该抛物线上，∴a×4×（4﹣5）=4．∴a=﹣1．∴该抛物线的解析式为y=﹣x（x﹣5）=﹣x2+5x．（2）以O、A、B、M为顶点的四边形中，△OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大．①当0＜x＜4时，点M在抛物线OB段上时，如答图1所示．∵B（4，4），∴易知直线OB的解析式为：y=x．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交OB于点E，则E（x，x），∴ME=（﹣x2+5x）﹣x=﹣x2+4x．S△OBM=S△MEO+S△MEB=ME（x E﹣0）+ME（x B﹣x E）=ME•x B=ME×4=2ME，∴S△OBM=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8∴当x=2时，S△OBM最大值为8，即四边形的面积最大．②当4＜x＜5时，点M在抛物线AB段上时，图略．可求得直线AB解析式为：y=﹣4x+20．设M（x，﹣x2+5x），过点M作ME∥y轴，交AB于点E，则E（x，﹣4x+20），∴ME=（﹣x2+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x2+9x﹣20．S△ABM=S△MEB+S△MEA=ME（x E﹣x B）+ME（x A﹣x E）=ME•（x A﹣x B）=ME×1=ME，∴S△ABM=﹣x2+x﹣10=﹣（x﹣）2+∴当x=时，S△ABM最大值为，即四边形的面积最大．比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大．当x=2时，y=﹣x2+5x=6，∴M（2，6）．（3）由题意可知，点P在线段OB上方的抛物线上．设P（m，﹣m2+5m），则Q（m，m）当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ，如答图2﹣1所示．过点B作BE⊥PQ于点E，则点E为线段PQ中点，∴E（m，）．∵BE∥x轴，B（4，4），∴=4，解得：m=2或m=4（与点B重合，舍去）∴m=2；②若点P为顶点，即PQ=PB，如答图2﹣2所示．易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，则△PQB为等腰直角三角形．∴PB∥x轴，∴﹣m2+5m=4，解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）∴m=1；③若点Q为顶点，即QP=QB，如答图2﹣3所示．∵P（m，﹣m2+5m），Q（m，m），∴PQ=﹣m2+4m．又∵QB=（x B﹣x Q）=（4﹣m），∴﹣m2+4m=（4﹣m），解得：m=或m=4（与点B重合，舍去），∴m=．综上所述，当△PQB为等腰三角形时，m的值为1，2或．5．（1）．（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P 1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由，解得，x 2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P 1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，=DQ（OG+GH），=，=，∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．方法二：（1）略．（2）①由A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）得l AB：y=﹣x﹣，∴C（0，﹣），l OB：y=﹣x，设P（t，﹣t），O（0，0），C（0，﹣），∵△OPC为等腰三角形，∴OP=OC，OP=PC，PC=OC，（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（0﹣0）2+（0+）2，∴t1=，t2=﹣（舍），（0﹣0）2+（0+）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t1=，t2=0（舍），（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t=，∴P点坐标为P 1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过D作x轴垂线交OB于Q，∵B（3，﹣3），∴l OB：y=﹣x，设D（t，﹣t2+t），Q（t，﹣t），∵S△OBD=（D Y﹣Q Y）（B X﹣O X），∴S△OBD=（﹣t2+t+t）•（3﹣0）=﹣t2+t，当t=时，S有最大值，D（，﹣）．（3）∵△FAB是以AB为斜边的直角三角形，∴∠GOA+∠BOH=90°，∵BH⊥OH，∴∠OBH+BOH=90°，∴∠GOA=∠OBH，∴△GOA∽△OBH，∵点F为x轴上一动点，∴设F（m，0），∵A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3），∴，∴m2﹣2m=0，∴m=0或2，∴F 1（0，0），F2（2，0）．6．（1）∵二次函数L1：y=ax2﹣2ax+a+3=a（x﹣1）2+3，∴顶点M坐标为（1，3），∵a＞0，∴函数y=ax2﹣2ax+a+3（a＞0）的最小值为3，∵二次函数L1的对称轴为x=1，当x＜1时，y随x的增大而减小；二次函数L2：y=﹣a（x+1）2+1的对称轴为x=﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；∴当二次函数L1，L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是﹣1≤x≤1；。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解22 等腰三角形(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题22等腰三角形【知识要点】等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。

等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。

（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。

它是特殊的等腰三角形。

等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。

（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[【考点题型】考点题型一等腰三角形的定义【解题思路】考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．典例1．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A ．9B ．17或22C ．17D ．22【答案】D【提示】分类讨论腰为4和腰为9，再应用三角形的三边关系进行取舍即可．【详解】解：分两种情况：当腰为4时，449+<，所以不能构成三角形；当腰为9时，994,994+>-<，所以能构成三角形，周长是：99422++=．故选：D ．变式1-1．（2020·广西玉林市·中考真题）如图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东35度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西55度方向，则A ，B ，C 三岛组成一个（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形【答案】A【提示】先根据方位角的定义分别可求出35,80,55CAD BAD CBE ∠=︒∠=︒∠=︒，再根据角的和差、平行线的性质可得45BAC ∠=︒，100ABE ∠=︒，从而可得45ABC ∠=︒，然后根据三角形的内角和定理可得90C ∠=︒，最后根据等腰直角三角形的定义即可得．【详解】由方位角的定义得：35,80,55CAD BAD CBE ∠=︒∠=︒∠=︒803545BAC BAD CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒由题意得：//AD BE180********ABE BAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒1005545ABC ABE CBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒45BAC ABC ∴∠=∠=︒由三角形的内角和定理得：18090C BAC ABC ∠=︒-∠-∠=︒ABC ∴是等腰直角三角形即A ，B ，C 三岛组成一个等腰直角三角形故选：A ．变式1-2．（2020·青海中考真题）等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（）A ．55°，55°B ．70°，40°或70°，55°C ．70°，40°D ．55°，55°或70°，40°【答案】D【提示】先根据等腰三角形的定义，分70︒的内角为顶角和70︒的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．【详解】（1）当70︒的内角为这个等腰三角形的顶角则另外两个内角均为底角，它们的度数为18070552︒-︒=︒（2）当70︒的内角为这个等腰三角形的底角则另两个内角一个为底角，一个为顶角底角为70︒，顶角为180707040︒-︒-︒=︒综上，另外两个内角的度数分别是55,55︒︒或70,40︒︒故选：D ．变式1-3．（2020·湖南张家界市·中考真题）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程2680x x -+=的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A ．2B ．4C ．8D ．2或4【答案】A 【提示】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：x 2－6x+8=0（x －4）（x －2）=0解得：x=4或x=2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，所以三角形的底边长为2，故选：A ．考点题型二根据等边对等角求角度典例2．（2020·广西中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 与⊙O 相切于点A ，连接OA ，OB ，若∠O ＝130°，则∠BAC 的度数是（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B 【提示】利用切线的性质及等腰三角形的性质求出∠OAC 及∠OAB 即可解决问题．【详解】解：∵AC 与⊙O 相切于点A ，∴AC ⊥OA ，∴∠OAC ＝90°，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ．∵∠O ＝130°，∴∠OAB ＝1802O -∠＝25°， ∴∠BAC ＝∠OAC ﹣∠OAB ＝90°﹣25°＝65°．故选：B ．变式2-1．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，//AB CD ，AD CD =，165∠=︒，则2∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【答案】A【提示】利用平行线的性质结合等腰三角形的性质求出∠CAD ，再根据三角形内角和定理求出∠2．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ＝65°，∵AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠CAD ＝65°，∴∠2＝180°−65°−65°＝50°．故选：A ．变式2-2．（2020·山东临沂市·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【答案】D 【提示】先根据等腰三角形的性质得到∠B 的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.【详解】解：∵AB=AC ，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，∵CD ∥AB ，∴∠BCD=∠B=70°，故选D.变式2-3．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，AB ＝AC ，点D 在AC 边上，以CB ，CD 为边作□BCDE ，则∠E 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】D 【提示】先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠C 的度数，再根据平行四边形的性质解答即可．【详解】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC=∠C=70°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠E=∠C=70°．故选：D．考点题型三根据三线合一求解典例3．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【提示】根据尺规作图的方法步骤判断即可．【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B变式3-1．（2020·铜仁市·中考真题）已知等边三角形一边上的高为，则它的边长为（）A．2 B．3 C．4 D．【答案】C【提示】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．【详解】根据等边三角形的三线合一性质：设它的边长为x ，可得：2222x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：x ＝4，x ＝﹣4（舍去），故选：C ．变式3-2．（2020·四川中考真题）已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（）A ．2B ．﹣2C ．+2D ．【答案】B【提示】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB ＝，由已知条件得到点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，于是得到结论．【详解】解：∵等腰直角三角形ABC 的腰长为4，∴斜边AB ＝∵点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，∴点P 在以C 为圆心，PC 为半径的圆上，当点P 在斜边AB 的中线上时，PM 的值最小，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴CM ＝12AB ＝， ∵PC ＝2，∴PM ＝CM ﹣CP ＝﹣2，故选：B ．考点题型四格点中画等腰三角形典例4在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【提示】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．变式4-1．（2020·山东枣庄市一模）如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【详解】解：∵A、B是4×5网格中的格点，∴同理可得，∴所求三角形有：△ABD，△ABC，△ABE．如图：故选B．变式4-2．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC 为等腰三角形，且S△ABC＝1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】试题提示：如下图，△ABC为等腰三角形，点C的位置一共有6种可能，其中满足面积为1.5的，只有C5和C6.考点题型五根据等角对等边证明等腰三角形典例5．要使得△ABC是等腰三角形，则需要满足下列条件中的（）A．∠A=50°，∠B=60°B．∠A=50°，∠B=100°C．∠A+∠B=90° D．∠A+12∠B=90°【答案】D【提示】根据三角形的内角和是180°结合选项中的条件能够证得有两个角相等即为等腰三角形．【详解】解：A、∵∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=70°，所以∠A≠∠B≠∠C，所以△ABC不是等腰三角形；B、∵∠A=50°，∠B=100°，∴∠C=180°-∠A-∠B=30°，所以∠A≠∠B≠∠C，所以△ABC不是等腰三角形；C、∠A+∠B=90°不能判定△ABC是等腰三角形；D、∠A+12∠B=90°，则2∠A+∠B=180°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠C，所以△ABC是等腰三角形．故选D．变式5-1．（2020·无锡市模拟）下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50°B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70°D．AB=3，BC=6，周长为14【答案】C【提示】根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.【详解】A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； B、∵∠A=2∠B=70°，∴∠B=35°，∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； D、∵AB=3，BC=6，周长为14，∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误；故选C．变式5-2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点O，且DE∥BC，DE 分别交AB、AC 于D、E，则图中等腰三角形的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D【提示】根据等腰三角形的判定定理，即可得到答案.【详解】∵在△ABC 中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴∠ADE=∠AED，∴△ADE是等腰三角形，∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC=∠OCB，∴△OBC是等腰三角形，∵DE∥BC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠DBO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC，∴△DBO，△ECO是等腰三角形，∴图中由5个等腰三角形，故选D.考点题型六根据等角对等边求边长典例6．（2020·山东青岛市·中考真题）如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点.O 若5AE =，3BF =，则AO 的长为（）A B ．C ．D ．【答案】C 【提示】先证明,AE AF =再求解,,AB AC 利用轴对称可得答案．【详解】解：由对折可得：,,AFO CFO AF CF ∠=∠=矩形ABCD ，//,90,AD BC B ∴∠=︒,CFO AEO ∴∠=∠,AFO AEO ∴∠=∠5,AE AF CF ∴===3,BF =4,AB ∴==BC=8AC ∴===由对折得：12OA OC AC === 故选C ．变式6-1．（2020·山东济宁市·中考真题）一条船从海岛A 出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B 处．灯塔C 在海岛在海岛A 的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上．则海岛B到灯塔C的距离是（）A．15海里B．20海里C．30海里D．60海里【答案】C【提示】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出∠C=∠CAB=42°，根据等角对等边得出BC=AB，求出AB即可．【详解】解：∵根据题意得：∠CBD=84°，∠CAB=42°，∴∠C=∠CBD-∠CAB=42°=∠CAB，∴BC=AB，∵AB=15海里/时×2时=30海里，∴BC=30海里，即海岛B到灯塔C的距离是30海里．故选C.变式6-2．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝8，BC＝5，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AD、AB于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠DAB内交于点M，连接AM并延长交CD于点E，则CE的长为（）A．3 B．5 C．2 D．6.5 【答案】A【提示】根据作图过程可得得AE平分∠DAB；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAE=∠DEA，证出AD=DE=5，即可得出CE的长．【详解】解：根据作图的方法得：AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，AD=BC=5，∴∠DEA=∠EAB，∴∠DAE=∠DEA，∴AD=DE=5，∴CE=DC-DE=8-5=3；故选A．考点题型七等腰三角形性质与判定的综合典例7．（2020·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在△ABD中，BA＝BD．在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC，若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝45°思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC 的度数会改变吗？说明理由；（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．【答案】（1）∠DAC 的度数不会改变，值为45°；（2）12n °．【提示】（1）根据等腰三角形的性质得到∠AED ＝2∠C ，①求得∠DAE ＝90°-∠BAD ＝90°-（45°+∠C ）＝45°﹣∠C ，②由①，②即可得到结论；（2）设∠ABC ＝m °，根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）∠DAC 的度数不会改变；∵EA ＝EC ，∴∠AED ＝2∠C ，①∵∠BAE ＝90°，∴∠BAD ＝12[180°﹣（90°﹣2∠C ）]＝45°+∠C ， ∴∠DAE ＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣（45°+∠C ）＝45°﹣∠C ，②由①，②得，∠DAC ＝∠DAE +∠CAE ＝45°；（2）设∠ABC ＝m °，则∠BAD ＝12（180°﹣m °）＝90°﹣12m °，∠AEB ＝180°﹣n °﹣m °， ∴∠DAE ＝n °﹣∠BAD ＝n °﹣90°+12m °， ∵EA ＝EC ，∴∠CAE ＝12∠AEB ＝90°﹣12n °﹣12m °， ∴∠DAC ＝∠DAE +∠CAE ＝n °﹣90°+12m °+90°﹣12n °﹣12m °＝12n °．变式7-1．（2020·江苏淮安市·中考真题）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，45ABC ∠=︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离．（参考1.4≈ 1.7≈，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米．【提示】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD △中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD === 在Rt BCD 中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．变式7-2．（2020·辽宁鞍山市·中考真题）图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN 为立柱的一部分，灯臂AC ，支架BC 与立柱MN 分别交于A ，B 两点，灯臂AC 与支架BC 交于点C ，已知60MAC ∠=︒，15ACB ∠=︒，40cm AC =，求支架BC的长．（结果精确到1cm1.414≈ 1.732≈2.449≈）【答案】49cm【提示】过点C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，分别解△ACD 和△BCD ，即可得到结果．【详解】解：过点C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，∵∠MAC=60°，∠ACB=15°，∴∠ABC=60°-15°=45°，∠ACD=30°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∵AC=40cm ，∴在Rt △ACD 中，AD=12AC=20cm ，∴=cm ，∴在Rt △BCD 中，49=≈cm ，∴支架BC 的长为49cm ．考点题型八等边三角形的性质典例8．（2020·福建中考真题）如图，面积为1的等边三角形ABC 中，,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则DEF ∆的面积是（）A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】D 【提示】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是14．【详解】∵,,D E F 分别是AB ，BC ，CA 的中点,且△ABC 是等边三角形,∴△ADF ≌△DBE ≌△FEC ≌△DFE,∴△DEF 的面积是14．故选D ．变式8-1．（2020·山西中考真题）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为4cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．280cm πB ．240cm πC ．224cm πD ．22cm π【答案】B 【提示】先证明COD △是等边三角形，求解,OC OD ，利用摆盘的面积等于两个扇形面积的差可得答案．【详解】解：如图，连接CD ，,60,OC OD COD =∠=︒COD ∴是等边三角形，4,CD =4,OC OD ∴==12,AC BD ==16,OA OB ∴== 所以则图中摆盘的面积222601660440.360360AOB CODS S cm πππ⨯⨯-=-=扇形扇形故选B ．变式8-2．（2019·甘肃天水市·中考真题）如图，等边OAB 的边长为2，则点B 的坐标为()A ．()1,1B ．C ．D ．【答案】B 【提示】过点B 作BH AO ⊥于H 点，由勾股定理求出BH 的长，即可求出点B 的坐标.【详解】过点B 作BH AO ⊥于H 点，∵OAB 是等边三角形，∴1OH =，BH ．∴点B 的坐标为．故选B ．考点题型九等边三角形的性质与判定的综合典例9．（2020·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A 地到C 地途经B 地当他由A地出发时，发现他的北偏东45︒方向有一电视塔P ，他由A 地向正北方向骑行了到达B 地，发现电视塔P 在他北偏东75︒方向，然后他由B 地向北偏东15︒方向骑行了6km 到达C 地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．【答案】（1）AP=3+（2）6【提示】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，如图，在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，∴AE=BE，∵AB=∴AE=BE=3，在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，∴PE=tan6033BE⋅=∴AP=AE+PE=3+（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，∴BP=6cos60BE =，又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，∴△BCP 是等边三角形，∴CP=BP=6．变式9-1．（2020·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点C '．连接BB '；②在①中所画图形中，'∠AB B ＝°．（2）（问题解决）如图2，在Rt ABC 中，BC ＝1，∠C ＝90°，延长CA 到D ，使CD ＝1，将斜边AB 绕点A 顺时针旋转90°到AE ，连接DE ，求∠ADE 的度数．（3）（拓展延伸）如图3，在四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，∠BAE ＝∠ADC ，BE ＝CE ＝1，CD ＝3，AD ＝kAB （k 为常数），求BD 的长（用含k 的式子表示）．【答案】（1）①见解析，②45；（2）135°；（3【提示】（1）①根据旋转角，旋转方向画出图形即可．②只要证明△ABB′是等腰直角三角形即可．（2）如图2，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．证明△ABC≌△EAH（AAS）即可解决问题．（3）如图3中，由AE⊥BC，BE＝EC，推出AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，只要证明∠GDC＝90°，可得CG此即可解决问题．【详解】解：（1）①如图，△AB′C′即为所求．②由作图可知，△ABB′是等腰直角三角形，∴∠AB′B＝45°，故答案为45．（2）如图2中，过点E作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵∠C＝∠BAE＝∠H＝90°，∴∠B+∠CAB＝90°，∠CAB+∠EAH＝90°，∴∠B＝∠EAH，∵AB＝AE，∴△ABC≌△EAH（AAS），∴BC＝AH，EH＝AC，∵BC＝CD，∴CD＝AH，∴DH＝AC＝EH，∴∠EDH＝45°，∴∠ADE＝135°．（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD ＝∠CAG ，∴∠BAC ＝∠DAG ，∵AB ＝AC ，AD ＝AG ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADG ＝∠AGD ，∴△ABC ∽△ADG ，∵AD ＝kAB ，∴DG ＝kBC ＝2k ，∵∠BAE+∠ABC ＝90°，∠BAE ＝∠ADC ，∴∠ADG+∠ADC ＝90°，∴∠GDC ＝90°，∴CG∴BD ＝CG ＝．考点题型十含30°角的直角三角形典例10．（2020·海南中考真题）如图，在Rt ABC 中， 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连接BB '，则BB '的长度是（）A ．1cmB ．2cmCD ．【答案】B【提示】由旋转的性质可知，'=60∠∠=CAB BAB ，进而得出'∆BAB 为等边三角形，进而求出'==2BB AB ．【详解】解：∵ 90,30,1,C ABC AC cm ∠=︒∠=︒=由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可知，∴=2=2AB AC cm ，又∠CAB =90°-∠ABC =90°-30°=60°，由旋转的性质可知：'=60∠∠=CAB BAB ，且'=AB AB ，∴'∆BAB 为等边三角形，∴'==2BB AB ．故选：B ．变式10-1．（2020·湖北中考真题）如图，点,,,A B C D 在O 上，OA BC ⊥，垂足为E ．若30ADC ∠=︒，1AE =，则BC =（）A ．2B ．4CD ．【答案】D 【提示】连接OC ，根据圆周角定理求得60AOC ∠=︒，在Rt COE △中可得1122OE OC OA ==，可得OC 的长度，故CE 长度可求得，即可求解．【详解】解：连接OC ，∵30ADC ∠=︒，∴60AOC ∠=︒，在Rt COE △中，1cos602OE OC =︒=， ∴1122OE OC OA ==， ∴1122AE OC OA == ∵1AE =，∴2OA OC ==， ∴CE =∵OA BC ⊥，垂足为E ，∴BC =故选：D ．变式10-2．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点B 在第一象限，点A 在x 轴的正半轴上，30AOB B ∠=∠=︒，2OA =，将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒，点B 的对应点B '的坐标是（）A ．(1,2-+B ．()C ．(2+D ．(- 【答案】B 【提示】如图，作B H y '⊥轴于H ．解直角三角形求出B H '，OH 即可．【详解】如图，作B H y '⊥轴于H ．由题意：2OA A B '''==，60B A H ''∠=︒， ∴30A B H ''∠=︒，∴112AH A B '''==，B H '= ∴3OH =，∴()B '，故选B ．。

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析

中考数学备考专题复习等腰三角形含解析一、单选题（共12题；共24分）1、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（）A、15°或75°B、15°C、75°D、150°和30°2、如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD 沿 CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A、25B、30C、45D、603、如图所示，A是斜边长为m的等腰直角三角形，B，C，D都是正方形。

则A，B，C，D的面积的和等于 ( )A 、B 、C 、D 、4、如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M 为EF中点，则AM的最小值为( )A、2B、2.4C、2.6D、35、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm， A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（）A、15 dmB、20dmC、25dmD、30dm6、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB 的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A 、B 、C、3D、47、直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为( )A 、B 、C 、D 、8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC ，若AD=6，则CD是（）A、1B、2C、3D、49、在矩形ABCD中，AB＝1，AD ＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A、②③B、③④C、①②④D、②③④10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（）A、50°B、51°C、51.5°D、52.5°11、（2016•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A、1B、2C、3D、412、（2016•黔东南州）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积为1，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值为（）A、13B、19C、25D、169二、填空题（共5题；共6分）13、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是________，对角线的长是________．14、如图，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上．若∠BAD=120°，则弧BC的长度等于________.15、（2016•菏泽）如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=________．16、（2016•贵港）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，若AB=6，AD=5，则DE的长为________．17、（2016•张家界）如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在E处，EQ与BC相交于F．若AD=8cm，AB=6cm，AE=4cm．则△EBF的周长是________cm ．三、解答题（共2题；共10分）18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B 的度数．19、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E，D分别为边AB，AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．四、综合题（共5题；共65分）20、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．(1)试说明AC=EF；(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.21、（2016•丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°．(1)当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC；(2)当BE=2EC时，求的值；(3)设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是，求n的值．22、（2016•贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．23、（2016•天津）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）24、（2016•义乌）如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．(1)分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；(2)已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；(3)我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q 是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。

中考数学考前小题狂做专题22等腰三角形含解析试题

等腰三角形创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题1．〔2021·〕如图，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，假设射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，那么点D在量角器上对应的度数是〔〕A．40° B．70° C．70°或者80°D．80°或者140°【考点】角的计算．【分析】如图，点O是AB中点，连接DO，易知点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠B CD，只要求出∠BCD的度数即可解决问题．【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO．∵点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD，∵当射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，∠BCD=40°或者70°，∴点D在量角器上对应的度数=∠DOB=2∠BCD=80°或者140°，应选D．2．〔2021·〕如图，在△ABC 中，AB = AC ，∠A = 30°，E 为BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点D ，那么∠D 等于A ．15°B ．17. 5°C ．20°D ．°【答案】A. 【解析】试题分析：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=30°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=75°，所以∠ACE=180°-∠ACB=180°-75°=105°，根据角平分线的性质可得∠°，∠°，即可得∠°，根据三角形的内角和定理可得∠D=180°-∠DBC-∠BCD=180°°°=15°，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理.3．〔2021.，3分〕如图，在△PAB 中，PA=PB ，M ，N ，K 分别是PA ，PB ，AB 上的点，且AM=BK ，BN=AK ，假设∠MKN=44°，那么∠P 的度数为〔〕A ．44°B ．66°C ．88°D ．92°DAB 第4题图【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵PA=PB，∴∠A=∠B，在△AM K和△BKN中，，∴△AMK≌△BKN，∴∠AMK=∠BKN，∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，∴∠A=∠MKN=44°，∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，应选：D．【点评】此题考察的是等腰三角形的性质、全等三角形的断定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的断定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．4．〔2021·〕如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余局部面积的最小值是〔〕A．6 B．3 C．2.5 D．2【考点】几何问题的最值．【分析】以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG 得到四边形EFDG，此时剩余局部面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余局部面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．应选C．二、填空题1.〔2021·〕如图，△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB=2，BC=1. 连接AI，交FG于点Q，那么QI=_____________.A D F HQB C E G I〔第14题〕【考点】相似三角形的断定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质. 【分析】过点A 作AM ⊥BC. 根据等腰三角形的性质，得到MC=21BC=21，从而MI=MC+CE+EG+GI=27.再根据勾股定理，计算出AM 和AI 的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC ∥GQ ，那么△IAC ∽△IQG ，故AIQI=CI GI ，可计算出QI=34.A D F HQB MC E G I 【解答】解：过点A 作AM ⊥BC.根据等腰三角形的性质，得 MC=21BC=21.∴MI=MC+CE+EG+GI=27.在Rt △AMC 中，AM 2=AC 2-MC 2= 22-〔21〕2=415.AI=MI AM22+=)(272415+=4.易证AC ∥GQ ，那么△IAC ∽△IQG ∴AI QI =CI GI 即4QI =31∴QI=34.4.故答案为：32. (2021·)如图，在3×3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D、E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，那么所作三角形为等腰三角形的概率是．【考点】概率公式；等腰三角形的断定．【分析】根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案．【解答】解：根据从C、D、E、F四个点中任意取一点，一一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，故P〔所作三角形是等腰三角形〕=；故答案为：．3. 〔2021··4分〕如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，那么AD的长为3．【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的断定与性质．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OA=OB，∵AE垂直平分OB，∴AB=AO，∴OA=AB=OB=3，∴BD=2OB=6，∴AD===3；故答案为：3．4. 〔2021··3分〕如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．假设PA=6，PB=8，PC=10，那么四边形APBQ的面积为24+9．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．【分析】连结PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠P AQ=60°，那么可判断△APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC ≌△ABQ得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ进展计算．【解答】解：连结PQ，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，∴△APQ为等边三角形，∴PQ=AP=6，∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，∴∠CAP=∠BAQ，在△APC和△ABQ中，，∴△APC≌△ABQ，∴PC=QB=10，在△BPQ中，∵PB2=82=64，PQ2=62，BQ2=102，而64+36=100，∴PB2+PQ2=BQ2，∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ=90°，∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9．故答案为24+9．5.〔2021，16，3分〕一个等腰三角形的两边长分别为2和4，那么该等腰三角形的周长是10 ．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，把三条边的长度加起来就是它的周长．【解答】解：因为2+2＜4，所以等腰三角形的腰的长度是4，底边长2，周长：4+4+2=10，答：它的周长是10，故答案为：10【点评】此题考察等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可．6.〔2021·〕如图3，△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12cm ,点D 在AC 上，DC ＝4cm ,将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E 、F 分别落在边AB 、BC 上，那么△EBF 的周长是 cm.［难易］容易［考点］平移，等腰三角形等角对等边［解析］ ∵CD 沿CB 平移7cm 至EF∴=∴=-===∠=∠=∴∠=∠∴==∴=++=++=//,75,4,,444513EBF EF CD CF BF BC CF EF CD EFB C AB AC B C EB EF C EB EF BF［参考答案］ 137.〔2021·广西〕如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，那么∠AOB的度数为120°．【考点】全等三角形的断定与性质；等边三角形的性质．【分析】先证明∴△DCB≌△ACE，再利用“8字型〞证明∠AOH=∠DCH=60°即可解决问题．【解答】解：如图：AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD=CA，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE，∴∠CAE=∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE=180°，∠DHC=∠OHA，∴∠AOH=∠DCH=60°，∴∠AOB=180°﹣∠AOH=120°．故答案为120°【点评】此题考察全等三角形的断定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型〞证明角相等，属于中考常考题型．8．〔2021·〕如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，那么点M对应的实数为．【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质．【分析】先利用等腰三角形的性质得到OC⊥AB，那么利用勾股定理可计算出OC=，然后利用画法可得到OM=OC=，于是可确定点M对应的数．【解答】解：∵△ABC为等腰三角形，OA=OB=3，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，OC===，∵以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，∴OM=OC=，∴点M对应的数为．故答案为．9．〔2021.,3分〕如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，那么它的容积为448﹣480 cm3．【考点】剪纸问题．【分析】由题意得出△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∠POQ=60°，连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，得出OD=AD=2cm，AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，求出PQ、QM，无盖柱形盒子的容积=底面积×高，即可得出结果．【解答】解：如图，由题意得：△ABC为等边三角形，△OPQ为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，∠POQ=60°，∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，作QM⊥OP于M，在Rt△AOD中，∠OAD=∠OAK=30°，∴OD=AD=2cm，∴AD=OD=2cm，同理：BE=AD=2cm，∴PQ=DE=20﹣2×2=20﹣4〔cm〕，∴QM=OP•sin60°=〔20﹣4〕×=10﹣6，〔cm〕，∴无盖柱形盒子的容积=×〔20﹣4〕〔10﹣6〕×4=448﹣480〔cm3〕；故答案为：448﹣480．10．〔2021·〕如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，假设∠α=40°，那么∠β等于20°．【考点】等边三角形的性质；平行线的性质．【分析】过点A作AD∥l1，如图，根据平行线的性质可得∠BAD=∠β．根据平行线的传递性可得AD∥l2，从而得到∠DAC=∠α=40°．再根据等边△ABC可得到∠BAC=60°，就可求出∠DAC，从而解决问题．【解答】解：过点A作AD∥l1，如图，那么∠BAD=∠β．∵l1∥l2，∴AD∥l2，∵∠DAC=∠α=40°．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠β=∠BAD=∠BAC﹣∠DAC=60°﹣40°=20°．故答案为20°．1.〔2021年〕从三角形〔不是等腰三角形〕一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，假如分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．〔1〕如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．〔2〕在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB 的度数．〔3〕如图2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【考点】相似三角形的断定与性质．【专题】新定义．【分析】〔1〕根据完美分割线的定义只要证明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．〔2〕分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出∠ACB即可．〔3〕设BD=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题．【解答】解：〔1〕如图1中，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB=∠A=40°，∠CBD=∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．〔2〕①当AD=CD时，如图2，∠ACD=∠A=45°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．②当AD=AC时，如图3中，∠ACD=∠ADC==66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°．③当AC=CD时，如图4中，∠ADC=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB=96°或者114°．〔3〕由AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴=，设BD=x，∴〔〕2=x〔x+2〕，∵x＞0，∴x=﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴==，∴CD=×2=﹣．【点评】此题考察相似三角形的断定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论思想，属于中考常考题型．2．〔2021·〕如下图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求线段CD的长；〔2〕假如△AEC是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；〔3〕假如点F在边CD上〔不与点C、D重合〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【考点】四边形综合题．【专题】综合题．【分析】〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；〔2〕分类讨论：当EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，那么判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，那么∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，那么利用相似比可表示出EG=，那么可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；〔2〕当EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，那么∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或者15；〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，∴y=〔9＜x＜〕．【点评】此题考察了四边形的综合题：纯熟掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．3．〔2021·〕如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，假设满足△PBC 是等腰三角形的点P有且只有3个，那么AB的长为 4 ．【分析】如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个．【解答】解：如图，当AB=AD时，满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形〔P3B=P3C〕，那么AB=AD=4，故答案为4．【点评】此题考察矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．4．〔2021·〕如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．【分析】先利用平行四边形性质证明DE=CF，再证明EB=ED，即可解决问题．【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，∴四边形EFCD是平行四边形，∴DE=CF，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CF．【点评】此题考察平行四边形的断定和性质、等腰三角形的断定和性质等知识，解题的关键是灵敏运用直线知识解决问题，属于根底题，中考常考题型．5．〔2021·〕△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点〔A、B两点除外〕，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D 的对应点．〔1〕如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；〔2〕如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的途径长．【分析】〔1〕欲证明GF∥AC，只要证明∠A=∠FGB即可解决问题．〔2〕①先证明A、D、M、C四点一共圆，得到∠CMF=∠CAD=45°，即可解决问题．②利用①的结论可知，点M在以AC为直径的⊙O上，运动途径是弧CD，利用弧长公式即可解决问题．【解答】解：〔1〕如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，∴CB与CE重合，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，∵BG=AD=BF，∴∠BGF=∠BFG=45°，∴∠A=∠BGF=45°，∴GF∥AC．〔2〕①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，∵∠ACD=∠ECF，∴∠ACE=∠CDF，∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，∴∠CAE=∠CDF，∴A、D、M、C四点一共圆，∴∠CMF=∠CAD=45°，∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．∵AD=DB，CA=CB，∴CD⊥AB，∴∠ADC=90°，由①可知A、D、M、C四点一共圆，∴当α从90°变化到180°时，点M在以AC为直径的⊙O上，运动途径是弧CD，∵OA=OC，CD=DA，∴DO⊥AC，∴∠DOC=90°，∴的长==．∴当α从90°变化到180°时，点M运动的途径长为．【点评】此题考察几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、平行线的断定和性质、弧长公式、四点一共圆等知识，解题的关键是发现A、D、M、C四点一共圆，最后一个问题的关键，正确探究出点M的运动途径，记住弧长公式，属于中考压轴题．6．〔2021•〕在△ABC中，AB=6，AC=BC=5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α〔0°＜α＜180°〕，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE．〔1〕如图，当α=60°时，延长BE交AD于点F．①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF=DF；③请直接写出BE的长；〔2〕在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG=∠ACB，且线段DG与线段AE无公一共点时，请直接写出BE+CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便答题．【考点】三角形综合题．【分析】〔1〕①由旋转性质知AB=AD，∠BAD=60°即可得证；②由BA=BD、EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出BF、EF的长即可得；〔2〕由∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°、∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°、∠DAG=∠ACB、∠DAE=∠BAC 得∠BAE=∠BAC且AE=AC，根据三线合一可得CE⊥AB、AC=5、AH=3，继而知CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．【解答】解：〔1〕①∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形；②由①得△ABD是等边三角形，∴AB=BD，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC=AE，BC=DE，又∵AC=BC，∴EA=ED，∴点B、E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF=DF；③由②知BF⊥AD，AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴EF=4，∵在等边三角形ABD中，B F=AB•sin∠BAF=6×=3，∴BE=BF﹣EF=3﹣4；〔2〕如下图，∵∠DAG=∠ACB，∠DAE=∠BAC，∴∠ACB+∠BAC+∠ABC=∠DAG+∠DAE+∠ABC=180°，又∵∠DAG+∠DAE+∠BAE=180°，∴∠BAE=∠ABC，∵AC=BC=AE，∴∠BAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC，∴AB⊥CE，且CH=HE=CE，∵AC=BC，∴AH=BH=AB=3，那么CE=2CH=8，BE=5，∴BE+CE=13．【点评】此题主要考察旋转的性质、等边三角形的断定与性质、中垂线的性质、三角形内角和定理等知识点，纯熟掌握旋转的性质是解题的关键．。

2022中考数学技巧《类比归纳专题等腰三角形中辅助线的作法》专题讲解附练习及答案

类比归纳专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一〞作辅助线一、等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.假设BE＝2，那么BC＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF.试说明：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，试说明：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，且AP⊥△PBC的面积为2，那么△ABC的面积为()A．3B．4C．5D．65．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD.试说明：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上，且CE＝BF，试说明：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于D，试说明：BC＝AB＋CD.8．★如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)试说明：PD＝DQ；[提示：过点P作PF∥BC交AC于点F](2)假设△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案与解析1．42．解：连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD ＝∠F AD .又∵AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD (SAS)，∴DE ＝DF .3．解：过点E 作EF ⊥AC 于F ，∴∠AFE ＝90°.∵EA ＝EC ，∴AF ＝FC ＝12AC .∵AC ＝2AB ，∴AF ＝AB .∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD .又∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AFE (SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE ＝90°，∴EB ⊥AB .4．B5．解：如图，延长BA 和CE 交于点M .∵CE ⊥BD ，∴∠BEC ＝∠BEM ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠MBE ＝∠CBE .又∵BE ＝BE ，∴△BME ≌△BCE (ASA)，∴EM ＝EC ＝12MC .∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC ＝∠MAC ＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD ＋∠BDA ＝90°.∵∠BEC ＝90°，∴∠ACM ＋∠CDE ＝90°.∵∠BDA ＝∠EDC ，∴∠ABE ＝∠ACM .∴△ABD ≌△ACM (ASA)，∴DB ＝MC ，∴BD ＝2CE .6．解：连接CD .∵AC ＝BC ，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB ，CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∴∠B ＝180°－∠CDB －∠BCD ＝45°，∴∠ACD ＝∠B .∵ED ⊥DF ，∴∠EDF ＝∠EDC ＋∠CDF ＝90°.∵∠CDF ＋∠BDF ＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB .又∵CE ＝BF ，∴△ECD ≌△FBD (AAS)，∴DE ＝DF .7．解：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD ＝12∠ABC .又∵BD ＝BD ，∴△ABD ≌△EBD (SAS)，∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ，∴∠DEC ＝180°－∠BED ＝180°－108°＝72°.∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∴∠ACB ＝∠ABC ＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°，∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°－∠ABD －∠A ＝180°－18°－108°＝54°，∴∠CDE ＝180°－∠ADB －∠EDB ＝180°－54°－54°＝72°，∴∠CDE ＝∠DEC .过点C 作CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠CFE ＝90°.∵∠CDF ＝∠CEF ，CF ＝CF ，∴△CDF ≌△CEF ，∴CD ＝CE ，∴BC ＝BE ＋EC ＝AB ＋CD .8．解：(1)过点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ，∴∠AFP ＝∠ACB ，∠FPD ＝∠Q ，∠PFD ＝∠QCD .∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠ACB ＝60°，∴∠A ＝∠AFP ＝∠APF ＝60°，∴△APF 是等边三角形，∴PF ＝P A ＝CQ ，∴△PFD ≌△QCD ，∴PD ＝DQ .(2)∵△APF 是等边三角形，PE ⊥AC ，∴AE ＝EF .∵△PFD ≌△QCD ，∴CD ＝DF ，DE ＝EF ＋DF ＝12AF ＋12CF ＝12AC .又∵AC ＝1，∴DE ＝12.。

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等腰三角形一、选择题1. （2016 •山东烟台）如图，Rt△ ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，/ ABC=40 ,射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D,若射线。

将厶ABC 分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A. 40°B. 70°C. 70° 或80°D. 80° 或140°【考点】角的计算.【分析】如图，点O是AB中点，连接DO易知点D在量角器上对应的度数=/ D0B=2BCD 只要求出/ BCD的度数即可解决问题.【解答】解：如图，点O是AB中点，连接DO•••点D在量角器上对应的度数=/ DOB=2BCD•••当射线。

将厶ABC分割出以BC为边的等腰三角形时，/ BCD=40 或70°,•••点D在量角器上对应的度数=/ DOB=2BCD=80或140°,砂---------------- C2. （2016 •山东枣庄）如图，在△ ABC中, AB = AC，/ A = 3 0°, E为BC延长线上一点，/ ABC与/ ACM平分线相交于点D,则/ D等于A . 15°B . 17. 5°C . 20 °D. 22.5 °第4题图【答案】A.【解析】试题分析：在△ ABC中，AB=AC Z A=30°,根据等腰三角形的性质可得/ ABC=/ ACB=75 ,所以/ ACE=180 - / ACB=180 -75 ° =105°，根据角平分线的性质可得/ DBC=37.5°,/ ACD=52.5°，即可得/ BCD=127.5°，根据三角形的内角和定理可得/ D=180° - / DBC-Z BCD=180 -37.5 ° -127.5 ° =15°，故答案选A.考点：等腰三角形的性质；三角形的内角和定理3. （2016.山东省泰安市，3分）如图，在△ PAB中，PA=PB M N K分别是PA PB, AB上的点，且AM=BK BN=AK若/ MKN=44，则/P 的度数为（）A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°【分析】根据等腰三角形的性质得到/ A=Z B, 证明△ AMK^A BKN 得到/AMK M BKN根据三角形的外角的性质求出/ A=Z MKN=4°，根据三角形内角和定理计算即可.【解答】解：••• PA=PB•••/ A=Z B,在厶AMK和△ BKN中，•ZA=ZBAK=BN ,•△ AMK^ BKN•••/ AMK M BKN•••/ MKB M MKN乂NKB M A+Z AMK•••/ A=Z MKN=44 ,•Z P=180°-Z A-Z B=92°,故选：D.【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键.4. （2016 •江苏省扬州）如图，矩形纸片ABCD中, AB=4, BC=6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A________________ DR ----------------------- rA. 6B. 3C. 2.5D. 2【考点】几何问题的最值.【分析】以BC为边作等腰直角三角形厶EBC延长BE交AD于卩，得厶ABF是等腰直角三角形，作EGLCD于6得厶EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ ABF △ BCE △ ECG 得到四边形EFDG此时剩余部分面积的最小【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形厶EBC延长BE交AD于卩，得厶ABF是等腰直角三角形，作EGL CD于G得厶EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ ABF △ BCE △ ECG得到四边形EFDG此时剩余部分面积的最小=4X6--X4X4-」X 3X 6-丄X 3X 3=2.5 .2 2 2 故选C.DG二、填空题1. （2016 •湖北黄冈）如图，已知△ ABC, △ DCE, △ FEG, △ HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC, CE, EQ GI在同一条直线上，且AB=2, BC=1.连接AI，交FG于点Q则QI= ____________ .B C（第14题）【考点】相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质【分析】过点A作AM丄BC.根据等腰三角形的性质，得到MC=2 BC=1，从而MI=MC+CE+EG+GI=.再根据勾股定理，计算出AM和AI的值；根据等腰三角形的性质得出角相等，从而证明AC// GQ则厶IACIQG，故^ = ＞，可计算出QI=-4 .B MC E G I【解答】解：过点A作AML BC.根据等腰三角形的性质，得MC弓BC=2 .••• MI=MC+CE+EG+G7=.在Rt △ AMC中, A M=A C-M C= 2 2- (-2 ) 2=15.易证AC// GQ 则厶lAC s^ IQG• QI _ GI …AT= CI即^=4 • QI=4.故答案为：42. （2016 •四川资阳）如图，在3X3的方格中，A、B、C、D、E、F分别位于格点上，从C、D E、F四点中任取一点，与点A、B为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 '.4C、F时，所作三角形是等腰三角形，即可得出答案.【解答】解：根据从C、D E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，选取D、C、F时，所作三角形是等腰三角形，3故P （所作三角形是等腰三角形）=］；故答案为：...3. （2016 •四川成都• 4分）如图，在矩形ABCD中，AB=3对角线AC, BD相交于点O, AE【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质.【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3得出BD=2OB=6由勾股定理求出AD即可.AI= AM2 2MI共有4种可能，选取D、占八【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，•••OB=OD OA=OC AC=BD•••OA=OB•/ AE垂直平分OB• AB=AO• OA=AB=OB=3• BD=2OB=6• AD=.,t[|E ：・.一=3 ■；故答案为：3二.4. （2016 •四川达州• 3分）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ连接BQ若PA=6PB=8,PC=1Q则四边形APBQ的面积为24+9二_【考点】旋转的性质；等边三角形的性质.【分析】连结PQ如图，根据等边三角形的性质得/ BAC=60°, AB=AC再根据旋转的性质得AP=PQ=6 / PAQ=60，则可判断△ APQ为等边三角形，所以PQ=AP=6接着证明厶APC^△ ABQ得到PC=QB=10然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APB=S\BPC+S\APQ进行计算.【解答】解：连结PQ如图，•••△ ABC为等边三角形，•/ BAC=60 , AB=AC•••线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ• AP=PQ=6 / PAQ=60 ,•△ APQ为等边三角形，• PQ=AP=6•••/ CAP+Z BAP=60，/ BAP+/ BAQ=60 ,•/ CAP玄BAQ在厶APC和△ ABQ中，03 • Z CAP=ZBAQ ，AP=AQ•••△ APC^A ABQ••• PC=QB=10在厶 BPQ 中，T P 扌=82=64, PQ=62, BQ=102, 而 64+36=100,• PB 2+P Q=B Q ,• △ PBQ 为直角三角形，/ BPQ=90 ,故答案为24+9「.B5. （2016江苏淮安，16 , 3分）已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是 10 . 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系.【分析】根据任意两边之和大于第三边，知道等腰三角形的腰的长度是4，底边长2,把三条边的长度加起来就是它的周长.【解答】解：因为 2+2V 4,所以等腰三角形的腰的长度是 4,底边长2,周长：4+4+2=10,答：它的周长是10,故答案为：10【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是先判断出三角形的两条腰的长度，再根据三角形的周长的计算方法，列式解答即可.6. （2016 •广东广州）如图 3, △ ABC 中，AB= AC, BC= 12cm,点 D 在 AC 上, DC=4cm , 将线段DC 沿CB 方向平移7cm 得到线段EF ，点E 、F 分别落在边AB BC 上，贝U A EBF 勺周长是 cm.6 / 21S 四边形 APB(=S ^+S A =［难易］容易［考点］平移，等腰三角形等角对等边［解析］•/ CD沿CB平移7cm至EF.EF//CD,CF=7BF 二BC-CF=5,EF 二CD = 4, EFB —C:AB = AC,. . B—CEB 二EF =4C EBF = EB EF BF = 4 4 5 =13［参考答案］137. （2016 •广西贺州）如图，在△ ABC中，分别以AC BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE连接AE、BD交于点0,则/ AOB的度数为120°.D【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.【分析】先证明•••△ DCB^A ACE再利用“8 字型”证明/ AOH M DCH=60即可解决问题. 【解答】解：如图：AC与BD交于点H•••△ ACD △ BCE都是等边三角形，• CD=CA CB=CE / ACD M BCE=60 ,•••/ DCB M ACE在厶DCB和厶ACE中，f CD=CA，ZDCB=ZACE,CB=CE•••△ DCB2A ACE•••/ CAE M CDB•••/DCH£CHD£BDC=180 , M AOH M AHO M CAE=180 , M DHC M OHA•••/ AOH M DCH=60 ,•M AOB=180 -M AOH=120 .故答案为120°【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字型”证明角相等，属于中考常考题型.& （2016 •山东烟台）如图，0为数轴原点，A, B两点分别对应-3, 3,作腰长为4的等腰△ ABC连接0C以0为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为二.-3 -2 -10 1 2^3【考点】勾股定理；实数与数轴；等腰三角形的性质.【分析】先利用等腰三角形的性质得到OCL AB则利用勾股定理可计算出0C==，然后利用画法可得到OM=OC=—,于是可确定点M对应的数.【解答】解：•••△ ABC为等腰三角形，OA=OB=3•••OCL AB在Rt△ OBC中，°C=f,二‘ ：〕「='〔「r,•••以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M• •OM=OC= 1,•••点M对应的数为一・故答案为：9. （2016.山东省青岛市,3分）如图，以边长为20cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线, 形成三个有两个直角的四边形.把它们沿图中虛线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为448 - 480 cm5.【考点】剪纸问题.【分析】由题意得出△ ABC为等边三角形，△ OPQ为等边三角形，得出/ A=Z B=Z C=60 , AB=BC=AC / POQ=60，连结AQ 作QM L OP于M 在Rt△ AOD中，/ OAD M OAK=30，得出0D=AD=2cm AD£OD=£cm,同理：BE=AD=^cm,求出PQ QM 无盖柱形盒子的容积=底面积X 高，即可得出结果.【解答】解：如图，由题意得：△ ABC 为等边三角形，△ OPQ 为等边三角形，•••/ A=Z B=Z C=60 , AB=BC=AC / POQ=60 ,•••/ AD0M AK0=90 .连结AO 作QML OP 于M在 Rt △ AOD 中，/ OAD M OAK=3O ,•• OD= AD=2cm• AD= _OD=2 _cm, 同理：BE=AD=2_cm,• PQ=DE=2€ 2X2 _=20 - 4 - (cm ),•无盖柱形盒子的容积 =_X( 20 - 4 ~) (10 .一 - 6)X 4=448 _ - 480 ( cm 3); 故答案为：448 .二-480.10. （2016 •江苏泰州）如图，已知直线I 1//I 2，将等边三角形如图放置，若/ a =40°,则【考点】等边三角形的性质；平行线的性质.【分析】过点A 作AD//11，如图，根据平行线的性质可得/ BAD M B .根据平行线的传递性可得AD//1 2,从而得到/ DAC M a =40°.再根据等边△ ABC 可得到/ BAC=60，就可求出 M DAC 从而解决问题.【解答】解：过点A 作AD//1，如图，则/ BAD M 3 .'/I 1 /I 2,• AD//1 2,•••/ DAC M a =40° •/△ ABC 是等边三角形,• QM=OP?sin6°= ( 20 - 4 二)=10 二-6,•••/ B =Z BAD M BAC-Z DAC=60 - 40° =20° 故答案为20°.三.解答题1. (2016年浙江省宁波市) 从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在厶ABC 中，CD 为角平分线，Z A=40° , Z B=60°，求证：ABC 的完美分割线.(2) 在厶ABC 中，Z A=48°,。