函数的极限

lim������→∞ f x������ = lim������→������ 0 f x 。 3、函数极限存在的准则 （1）. 夹逼准则;
（2）. 单调有界准则;
4、函数极限的求法 （1）. 有理分式·求极限先化简再求极限 （2）. 用等价无穷小替换求极限 （3）. 用洛必达法则求极限 （4）. 用泰勒展开式求极限 （5）. 利用夹逼准则求极限 （6）. 其他方法
1
7、 lim������→0 【解析】 lim������→0
xln (1+x) 1−cosx
(2006，数一，4 分)
xln (1+x) 1−cosx
=lim 1
1
������ 2
������→0 2 ������ 2
=2 (2003，数一，4 分)
(1+x 2 ) 8、 limcosx ln ⁡
x →0
【解析】 limcosx
x →0
1 ln ⁡ (1+x 2 )
= lim[1 + (cosx − 1)]
x →0
1 ln 1+x 2
1 ln 1+x 2
= lime
x →0 x →0
2 ln ⁡ [1+(cosx −1)]ln 1+x
1
= lime
x →0
ln ⁡ [1+ cosx −1 ]
【解析】 lim − lim 2 + ex 1+e
1 4 x 1
x →0
+
sinx =2−1=1 x
x →0+
sinx 2e−4/x + e−3/x sinx = lim + = 0+1 =1 4 + x →0+ x x e−4/x + 1 1 + ex 2 + ex
1 4 x
lim
x →0
2 + ex 1+e
历年真题
1、 lim������→0
x 0
tln 1+tsint dt 1−cosx 2
(2016，数一，4 分)
【解析】 lim
x tln 0
1 + tsint dt cosx2
������→0
1−
= lim
x tln 0
1 + tsint dt
1 2
������→0
������ 4
= lim
xln(1 + xsinx) ������→0 2x 3
= limeln
cosx −1 1+x 2
cosx − 1 = x →0 ln 1 + x 2 lim
1
1 − 2 x2 lim 2 x →0 x
1
=−
1 2
(1+x 2 ) = e−2 limcosx ln ⁡
x →0
9、 lim(
x →0
2+e x
1
4 1+e x
+
sinx x
)
(2000，数一，5 分)
x 2 sinx 1 = lim = ������→0 2x 3 2 2、 lim������→0
ln ⁡ (cosx ) x2
(2015，数一，4 分)
【解析】 − 2 x2 ln⁡ (cosx) ln⁡ [1 + cosx − 1 ] cosx − 1 1 lim = lim = lim = lim 2 = − 2 2 2 ������→0 ������→0 ������→0 ������→0 x x x x 2
x
6、 lim������→0 【解析】
������→0
sinx −sin sinx sinx x4
(2008，数一，9 分)
lim
sinx − sin sinx sinx sinx − sin sinx x cosx − cos sinx cosx = lim = lim ������→0 ������→0 x4 x4 3x 2 sin2 x 1 1 1 − cos⁡ (sin x ) 1 2 = lim = lim = 3 ������→0 x2 3 ������→0 x 2 6
1
−x
1 2
������→0
lim(
1 ln⁡ (1 + x) x1 )e −1 = e−2 x
5、 limx →+∞ [ 【解析】
x2 x −a
] (x+b)
x
(2010，数一，4 分)
x2 xln lim [ ] = lim e x →+∞ x − a (x + b) x →+∞
x
x2 x −a (x +b )
一、 函数极限
1、 定义
（ 1 ） 设 函 数 ������(������) 在 点 ������0 的 某 去 心 邻 域 内 有 定 义 ， 若 ∀������ > 0, ∃������ > 0 ， 当 ������ − ������0 < ������ 时，有 ������ ������ − ������ < ������，则称常数������为函数������(������)当������ → ������0 时的极限。记 作lim������→������ 0 f x = A。 （ 2 ）设函数 ������(������) 当 x 大于某一正数时有定义，如果存在常数 ������ ，对于若 ∀������ > 0, ∃������ > 0， 当 ������ > ������时， 有 ������ ������ − ������ < ������ ， 则称常数������为函数������ (������)当������ → ∞ 时的极限。记作lim������→∞ f x = A。 2、函数极限的性质 （1）. 如果lim������→������ 0 f x 存在，则极限值唯一 （2）. 如果lim������→������ 0 f x = A，那么存在常数������ > 0和������ > 0，使得当 ������ − ������0 < ������ 时， ������ ������ < M。
+
sinx =1 x
x2 a − b x + ab a − b x + ab lim xln = lim xln 1 + = lim x x →+∞ x →+∞ x − a (x + b) x →+∞ x−a x+b x−a x+b =a−b x2 lim [ ] = ea −b x →+∞ x − a (x + b)
1
3、 limx →+∞ 【解析】 lim
x 2 1 [t
e t −1 −t]dt
1 x
1
x 2 ln ⁡ (1+ )
(2014，数一，10 分)
x 2 [t 1
e t − 1 − t]dt
1 x 2 [t 1
1
1
x →+∞
x 2 ln⁡ (1 + x ) = lim
x →+∞
1
e t − 1 − t]dt x2 x
ln ⁡ (1+x )
������→0
lim
ln
ln ⁡ (1+x) x
ex − 1
= lim =−
ln⁡ (1 +
ln 1+x −x x
)
������→0来自百度文库
x
−1 ln 1 + x − x 1+x lim = lim = lim 1+x ������→0 ������→0 ������→0 2x x2 2x
U o
当 ������������ （������0 ）时，就有 ������ ������
U
o
>
������ 2
。
（5）. 如果在. ������0 的某一去心邻域内������ (������) ≥ 0， 而且lim������→������ 0 f x = A， 那么������ ≥ 0。 如果在. ������0 的某一去心邻域内������ (������) ≤ 0， 而且lim������→������ 0 f x = A， 那么������ ≤ 0。 （6）. 如果极限lim������→������ 0 f x 存在，{������������ }为函数������(������)定义域内任一收敛于 ������0 的数 列 ， 且 满足 ������n ≠ x0 (nϵN+) ，那么 相 应的函 数值 数列 {������ ������������ } 必收 敛，且
（3）. 如果lim������→������ 0 f x = A， 且������ > 0， 那么存在常数������ > 0， 使得当 ������ − ������0 < ������ 时，有������ ������ > 0。 如果lim������→������ 0 f x = A， 且������ < 0， 那么存在常数������ > 0， 使得当 ������ − ������0 < ������ 时，有������ ������ < 0。 （4）. 如果lim������→������ 0 f x = A， 且������ ≠ 0， 那么就存在着������0 的某一去心邻域 （������0 ），
1
= lim x 2 ex − 1 − x
x →+∞
= lim x 2
x →+∞
1 1 1 2 + + o(x ) − x = x 2! x 2 2 (2011，数一，10 分)
4、 lim������→0 ( 【解析】
ln ⁡ (1+x) x
)e x −1
1
ln ln⁡ (1 + x) x1 x lim( )e −1 = lim e e x −1 ������→0 ������→0 x