自动控制原理 孟华第3章习题解答

3.1.已知系统的单位阶跃响应为

)0(2.1.0)(16≥-+=--t e e t c t

t 0021

试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？

(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn =？ 解：（1）由c (t )得系统的单位脉冲响应为t t

e e

t g 10601212)(--+-=

600

70600

6011210112

)]([)(2

++=+-+==Φs s s s t g L s （2）与标准2

22

2)(n

n n

s s ωζωω++=Φ对比得： 5.24600==n ω，429.1600

270=⨯=

ζ

3.2.设图3.36 (a )所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b )所示。试确定系统参数,1K 2

K 和a 。

(a) (b)

图3.36 习题3.2图

解：系统的传递函数为

2

221221211

2)

(1)

()(n

n n s K K as s K K K a s s K a s s K s W ωζωω++=++=++

+= 又由图可知：超调量 431

33

p M -=

= 峰值时间 ()0.1p t s =

代入得

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎪

⎪⎨⎧==-==--2

2112

1.0131

2K K e

K n n ζωπωζζπ 解得：

213ln ζζπ

-=；33.0≈ζ，3.331102

≈-=

ζπωn ，89.11082

1≈=n

K ω， 98.213.3333.022≈⨯⨯≈=n a ζω，32==K K 。

3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量p σ5≤%，调节时间 s t 3

()()

2

2n

n G s s s ωξω=

+ 则满足上述设计性能指标：⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎨⎧<-=<=≤=--1133

05.02

12

ζωπζωσζζπn p n

s p t t e

得：69.0≥ζ，1>n ζωπζ

ω>-2

1n

由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：

3.4.设一系统如图3.37所示。

(a )求闭环传递函数C (s )/R (s )，并在S 平面上画出零极点分布图； (b)当r (t )为单位阶跃函数时，求c (t )并做出c (t )与t 的关系曲线。

图3.37 习题3.4图

解： (a)系统框图化简之后有

)235)(235(225

.25.02)()(2j s j s s

s s s

s R s C -+

-=+--=

j s z 2

35,22,11±

== 零极点分布图如下：

(b) 若()r t 为单位阶跃函数，()1

L r t s

=

⎡⎤⎣⎦ ，则 2

2222222)

2

35(235

352)235(35813584351)435(3583584

351)4

35(2)

2

35)(235(21)(+⨯

-+⨯-⨯=+-+-=+

-

+

=

-+-⨯

=s s s s s s s s s s s j s j s s

s

s C t t t c 235

sin 35

2235cos 358358)(--=

大致曲线图略。

3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为

2

22)()

(n

n n s s s R s C ωζωω++=2 分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。 (1) ζ =2，n ω=1-s 5； (2) ζ =1.2，n ω=1-s 5；

(3) 说明当ζ ≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。 解：（1）ζ

>1,闭环极点3510122,1±-=-±-=ζωζωn

n s

25

2025

)()()(2

++==

s s s R s C s W s

s s s R s W s C 1

252025)()()(2

⋅++=

= )

32(51

)

1(1

21-=

--=

ζζωn T )32(512+=T

3

463461111)()32(5)32(521122

1

++

-+=-+-+=+----

-t

t T t

T t e e T T e T T e t c

66.18,34.121-≈-≈s s 59.13|/|12>>≈s s

t t

e e t c 34.1)32(507735.113

461)(----≈-+≈

s t s 29.2≈

（2）ζ

1.2)>1,闭环极点44.056122,1±-=-±-=ζωζωn

n s

25

2025

)()()(2

++==

s s s R s C s W )44.02.1(511-=

T , )

44.02.1(51

2+=T

1

44

.02.144

.02.1144.02.144.02.11111)()44.02.1(5)44.02.1(521122

1

-+-+

--++=-+-+=+-----

t

t T t

T t e e T T e T T e t c 68.244.0561-≈+-=s ,32.92-≈s

s t n s 2.1)7.12.145.6(5

1

)7.145.6(1

≈-⨯=-≈

ζω （3）答： 1.5ξ≥时，25.155.7122,1±-=-±-=ζωζωn n s 。91.11-≈s ，

09.132-≈s ，585.6|/|12>≈s s ，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点

对应的暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因

此可以忽略掉。

3.6.设控制系统闭环传递函数为2

222)(n

n n

s s s G ωζωω++=，试在S 平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根可能位于的区域： (1) 1>ζ

≥0.707，n ω≥2 (2) 0.5≥ζ >0，4≥n ω≥2