自动控制原理 孟华第3章习题解答
自动控制原理第3章 习题及解析
自动控制原理（上）习 题3-1 设系统的结构如图3-51所示，试分析参数b 对单位阶跃响应过渡过程的影响。
考察一阶系统未知参数对系统动态响应的影响。
解 由系统的方框图可得系统闭环响应传递函数为/(1)()()111K Ts Ks Kbs T Kb s Ts +Φ==++++ 根据输入信号写出输出函数表达式：111()()()()()11/()K Y s s R s K s T Kb s s s T bK =Φ⋅=⋅=-++++对上式进行拉式反变换有1()(1)t T bKy t K e-+=-当0b >时，系统响应速度变慢；当/0T K b -<<时，系统响应速度变快。
3-2 设用11Ts +描述温度计特性。
现用温度计测量盛在容器内的水温，发现1min 可指示96%的实际水温值。
如果容器水温以0.1/min C ︒的速度呈线性变化，试计算温度计的稳态指示误差。
考察一阶系统的稳态性能分析(I 型系统的，斜坡响应稳态误差)解 由开环传递函数推导出闭环传递函数，进一步得到时间响应函数为：()1t T r y t T e -⎛⎫=- ⎪⎝⎭其中r T 为假设的实际水温，由题意得到：600.961Te-=-推出18.64T =，此时求输入为()0.1r t t =⋅时的稳态误差。
由一阶系统时间响应分析可知，单位斜坡响应的稳态误差为T ，所以稳态指示误差为：lim ()0.1 1.864t e t T →∞==3-3 已知一阶系统的传递函数()10/(0.21)G s s =+今欲采用图3-52所示负反馈的办法将过渡过程时间s t 减小为原来的1/10，并保证总的放大倍数不变，试选择H K 和0K 的值。
解 一阶系统的调节时间s t 与时间常数成正比，则根据要求可知总的传递函数为10()(0.2/101)s s Φ=+由图可知系统的闭环传递函数为000(10()()1()0.211010110()0.21110H HHHK G s K Y s R s K G s s K K K s s K ==++++==Φ++）比较系数有101011011010HHK K K ⎧=⎪+⎨⎪+=⎩ 解得00.9,10H K K ==3-4 已知二阶系统的单位阶跃响应为1.5()1012sin(1.6+53.1t y t e t -=-）试求系统的超调量%σ，峰值时间p t ，上升时间r t 和调节时间s t 。
自动控制原理第三章答案
p
0.1
1.1 1.0 100% 10% 1.1 根据二阶欠阻尼系统指标计算公式
p
p
e
2
1 2
0.1 ln
2 2
p
2
1
2
ln 0.1 2.3 (2.3 )
2
1
2.3 0.59
t
h（t） 1
1 2
4 e 3
t
1 e 3
4t
T 1,T 0.25 ts 3T 3s(T 4T )
1 1 2
ts 3T 1 , (T 1 4T2 )
6
不是舍去T2 , 是相应项衰减快
3-7 某单位反馈系统阶跃响应如题3-7所示， 试确定其开环传递函数
解：由可知图，系统具有二阶欠阻尼系统 特征，且
带入原系统特征方程，得到一个以s1为变量的新特征方程，对新特征 方程应用劳斯稳定判据，可以判定是否全部位于s=-1垂线之左。
3-15 设控制系统如题3-15图所示，要求闭环特征
根全部位于s=-1之左，试确定参数K的取值范围。
10K 0 10 10K 0 1 10K H （s） K 0 0.2s 1 10KH 0.2 0.2s 1 10K H 1 s 1 0.2s 1 1 10K H
10
G（s）
10 0.2s 1
据题意
10K 10 （放大倍数不变） 1 10K
0 H
方法1 根据定义
1 Y(s) L[y(t )] s X（s) L(x(t )] 1 1 s 1 s 2 (s 1)(s 2) s(s 2) s(s 1) 1 (s 1)(s 2)
自动控制原理习题及其解答第三章
第三章例3-1 系统的结构图如图3-1所示。
已知传递函数 )12.0/(10)(+=s s G 。
今欲采用加负反馈的办法，将过渡过程时间t s减小为原来的0.1倍，并保证总放大系数不变。
试确定参数K h 和K 0的数值。
解 首先求出系统的传递函数φ（s ），并整理为标准式，然后与指标、参数的条件对照。
一阶系统的过渡过程时间t s 与其时间常数成正比。
根据要求，总传递函数应为)110/2.0(10)(+=s s φ即HH K s K s G K s G K s R s C 1012.010)(1)()()(00++=+= )()11012.0(101100s s K K K HHφ=+++=比较系数得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+1010110101100H HK K K 解之得9.0=H K 、100=K解毕。
例3-10 某系统在输入信号r (t )=(1+t )1(t )作用下，测得输出响应为：t e t t c 109.0)9.0()(--+= （t ≥0）已知初始条件为零，试求系统的传递函数)(s φ。
解 因为22111)(ss s s s R +=+=)10()1(10109.09.01)]([)(22++=+-+==s s s s s s t c L s C 故系统传递函数为11.01)()()(+==s s R s C s φ 解毕。
例3-3 设控制系统如图3-2所示。
试分析参数b 的取值对系统阶跃响应动态性能的影响。
解 由图得闭环传递函数为1)()(++=s bK T Ks φ系统是一阶的。
动态性能指标为)(3)(2.2)(69.0bK T t bK T t bK T t s r d +=+=+= 因此，b 的取值大将会使阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。
解毕。
例 3-12 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3-34所示。
试确定系统的传递函数。
解 首先明显看出，在单位阶跃作用下响应的稳态值为3，故此系统的增益不是1，而是3。
自动控制原理第三章课后习题 答案(最新)要点
3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4s i n 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
自动控制原理第三章课后习题 答案(最新)
3-1 设系统的微分方程式如下：（1） )(2)(2.0t r t c =&（2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&&试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Tss s s G 1)(1)()(=Φ-Φ=⎩⎨⎧==11v TK 用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
自动控制原理 第3章习题解答
1−ζ 2 = π
ζ
3
2π
tr
=
π −β ωd
=
3 3
=
23 9
π
；t p
=π ωd
=
π 3
=
3π 3
−ζ π
M p = e 1−ζ 2 ×100% = 16.3% ；
t
5% s
=3 ζω n
=
3s,
t
2% s
=4 ζω n
= 4s
3-6 系统结构图如题 3-6 图所示，试求当τ = 0 时，
系统的ζ 和ωn 之值，如要求ζ =0.7，试确定参数τ 。
s2
0.8
1+ K
s1 0.8(2 + K ) − (1 + K ) 0
0.8
s0 1+ K
Q 系统临界稳定
∴ 0.8(2 + K ) − (1 + K ) = 0
即K = 3 即系统的临界增益K = 3
由s 2行构成辅助多项式：0.8s 2 + (1 + K ) = 0
即0.8s 2 + 4 = 0 ∴ s1,2 = ± j 5 = ± j2.24 ∴系统的振荡频率为ωn = 2.24rad / s
= 150.5°
h(t) = 1 − 0.06e−5.76t + 1.07e−0.37t cos(1.27t + 150.5°)
3-4
已知根据主导极点 s1,2 确定的调整时间为 10.82s，考察这一时刻系统单位阶跃响应中
的指数项值 − 0.06e−5.76t |t=10.82 = −5.15 ×10−29 ，可见指数项值在 ts = 10.82 时已经衰减到 微不足道的程度。事实上，在峰值时间 t p = 2.48s ，指数项的值为 − 3.7 ×10−8 ，可见对
自动控制原理孟华第二版课后答案
自动控制原理孟华第二版课后答案【篇一：自动控制原理_孟华_习题答案大连理工】t>第一章（略）第二章2.1 试分别写出图2.68中各无源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
图2.68 习题2.1图解：(a)ur?ucurrrrr2?c?uc?12cu?r??r?u?c)?i2，i1?i2?c，12cu?i1，c(uurr1r2r1?r2r1?r2r1?r2(b)?r?u?c)?i1，c1(uur?u1?1，uc?i1r2?u1， ?i2，i1?i2?c2ur1??c?(r1c1?r1c2?r2c1)u?c?uc?r1r2c1c2u??r?(r1c1?r2c1)u?r?u r r1r2c1c2u(c)u1ur?uc?i1，c1(ur?u1)?i2，i1?i2?1，uc?i1dt?u1， r1r2c2???c?(rc????r1r2c1c2u12?r2c2?r2c1)uc?uc?r1r2c1c2ur?(r2c2?r2c1)ur?ur2.2 试证明图2.69(a)所示电路与图2.69(b)所示的机械系统具有相同的微分方程。
图2.69(b)中xr(t)为输入，xc(t)为输出，均是位移量。
(a)(b)图2.69 习题2.2图解：(a)1ur?uc?r?u?c)?i2，i1?i2?i，uc??i1，c1(uidt?ir2，r1c2???c?(r1c1?r1c2?r2c2)u?c?uc?r1r2c1c2u??r?(r1c1?r2c2)u?r?u r r1r2c1c2u(b)?c?x?1)?k2x1，b1(x?r?x?c)?k1(xr?xc)?b2(x?c?x?1)， b2(x b1b2bbbbbbb??c?(1?2?2)x?c?xc?12??r?(1?2)x?r?xrxxk1k2k1k2k1k1k2k1k22.3 试分别求出图2.70中各有源电路的输入ur(t)与输出uc(t)之间的微分方程。
自动控制原理(孟华)第3章习题解答
3.1.已知系统的单位阶跃响应为)0(2.1.0)(16≥-+=--t e e t c tt 0021试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn =？ 解：（1）由c (t )得系统的单位脉冲响应为t te et g 10601212)(--+-=600706006011210112)]([)(2++=+-+==Φs s s s t g L s （2）与标准2222)(nn ns s ωζωω++=Φ对比得： 5.24600==n ω，429.1600270=⨯=ζ3.2.设图3.36 (a )所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b )所示。
试确定系统参数,1K 2K 和a 。
(a) (b)图3.36 习题3.2图解：系统的传递函数为22212212112)(1)()(nn n s K K as s K K K a s s K a s s K s W ωζωω++=++=+++= 又由图可知：超调量 43133p M -== 峰值时间 ()0.1p t s =代入得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-==--221121.01312K K eK n n ζωπωζζπ 解得：213ln ζζπ-=；33.0≈ζ，3.331102≈-=ζπωn ，89.110821≈=nK ω， 98.213.3333.022≈⨯⨯≈=n a ζω，32==K K 。
3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量p σ5≤%，调节时间 s t 3<s ，峰值时间1<p t s ，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解：设该二阶系统的开环传递函数为()()22nn G s s s ωξω=+ 则满足上述设计性能指标：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=<=≤=--113305.0212ζωπζωσζζπn p ns p t t e得：69.0≥ζ，1>n ζωπζω>-21n由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：3.4.设一系统如图3.37所示。
自动控制原理课后答案第3章
第3章 控制系统的时域分析【基本要求】1. 掌握时域响应的基本概念，正确理解系统时域响应的五种主要性能指标；2. 掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标和结构参数；3. 掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其欠阻尼情况下的性能指标和结构参数；4. 掌握稳定性的定义以及线性定常系统稳定的充要条件，熟练应用劳斯判据判定系统稳定性；5. 正确理解稳态误差的定义，并掌握系统稳态误差、扰动稳态误差的计算方法。
微分方程和传递函数是控制系统的常用数学模型，在确定了控制系统的数学模型后，就可以对已知的控制系统进行性能分析，从而得出改进系统性能的方法。
对于线性定常系统，常用的分析方法有时域分析法、根轨迹分析法和频域分析法。
本章研究时域分析方法，包括简单系统的动态性能和稳态性能分析、稳定性分析、稳态误差分析以及高阶系统运动特性的近似分析等。
根轨迹分析法和频域分析法将分别在本书的第四章和第五章进行学习。
这里先引入时域分析法的基本概念。
所谓控制系统时域分析方法，就是给控制系统施加一个特定的输入信号，通过分析控制系统的输出响应对系统的性能进行分析。
由于系统的输出变量一般是时间t 的函数，故称这种响应为时域响应，这种分析方法被称为时域分析法。
当然，不同的方法有不同的特点和适用范围，但比较而言，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
3.1 系统的时域响应及其性能指标为了对控制系统的性能进行评价，需要首先研究系统在典型输入信号作用下的时域响应过程及其性能指标。
下面先介绍常用的典型输入信号。
3.1.1 典型输入信号由于系统的动态响应既取决于系统本身的结构和参数，又与其输入信号的形式和大小有关，而控制系统的实际输入信号往往是未知的。
为了便于对系统进行分析和设计，同时也为了便于对各种控制系统的性能进行评价和比较，需要假定一些基本的输入函数形式，称之为典型输入信号。
自动控制原理参考答案-第3章
10 0 6
0 − 10 10
0
D2 = 30
D3 = −300 0 0 1 0 D4 = −1800 0 0 5 0 − 10 D5 = 18000 胡尔维茨行列式非正定，系统不稳定． 题 3-7：已知三个控制系统的特征方程式如下，试应用劳斯稳定判据判定系统 的稳定性；对不稳定的系统要求指出不稳定的极点数；对存在不稳定虚根的要求
劳斯表： 由于出现全零行： F ( s) = 2s 4 + 12s 2 + 16 = 0 解得系统不稳定的闭环极点： s1,2 = ±2 j ； s3,4 = ± 2 j
s2
(3)
特征方程： s 6 + 2s5 + 32s 4 + 20s 2 + s + 6 = 0 s6 1 32 20 6 5 s 2 0 1 4 s 32 19.5 6 3 劳斯表： s −1.22 0.625 s 2 35.89 6 1 s 0.83 0 s 6 首列元素符号改变 2 次，系统不稳定，不稳定的极点有 2 个． 题 3-8：已知某单位负反馈控制系统的开环传递函数为
(1)
(2)
2 = 0.35 ； 4 s 2 + 2s 1 ess = lim sE ( s) = lim s[1 − T ( s )]R ( s) = lim s 2 = 0.25 s →0 s →0 s →0 s + 2s + 8 s 2 二阶系统最佳参数： ξ = 0.707 ，又 2ζωn = 8τ + 2 ， ωn = 2.83 ⇒ τ = 0.25
第三章
题 3-1：某单位负反馈闭环控制系统的开环传递函数为 G(s) = 5 ，试求闭环系统
自动控制原理第三章课后习题答案
3-1（1） )(2)(2.0t r t c= （2） )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c=++ 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。
已知全部初始条件为零。
解：（1） 因为)(2)(2.0s R s sC =闭环传递函数ss R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应：s s C /10)(= 010)(≥=t t g单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c（2）)()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++=s s s R s C 闭环传递函数124.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应：124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 325)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++=s s s s s s Ct e t e t c t t 4sin 434cos 1)(33----=3-2 温度计的传递函数为11+Ts ，用其测量容器内的水温，1min 才能显示出该温度的98%的数值。
若加热容器使水温按10ºC/min 的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？解法一 依题意，温度计闭环传递函数11)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知：o o T c 98)4(=，因此有 min 14=T ，得出 min 25.0=T 。
视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ⎩⎨⎧==11v T K用静态误差系数法，当t t r ⋅=10)( 时，C T Ke ss ︒===5.21010。
解法二 依题意，系统误差定义为 )()()(t c t r t e -=，应有 1111)()(1)()()(+=+-=-==ΦTs TsTs s R s C s R s E s e C T s Ts Ts ss R s s e s e s ss ︒==⋅+=Φ=→→5.210101lim )()(lim 23-3 已知二阶系统的单位阶跃响应为)1.536.1sin(5.1210)(2.1o tt et c +-=-试求系统的超调量σ％、峰值时间ｔp 和调节时间ｔs 。
自动控制原理第三章课后习题答案(免费)
自动控制原理第三章课后习题答案（免费）3-1 判别下列系统的能控性与能观性。
系统中a,b,c,d 的取值对能控性与能观性是否有关，若有关其取值条件如何？（1）系统如图所示。
题3-1（1）图 系统模拟结构图解: 状态变量:11223123434x ax u x bx x x x cx x x dx =+=-=+-=+输出变量: 3y x =由此写出状态空间:0001000011000010(0010)a b x x u c d Y x⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= 223333[1,0,0,0],[,0,1,0],[,0,,1],[,0,,]T T T B AB a A B a a c A B a a ac c a c d ==-=--=-++---判断能控型:()2323221000001001c a a a U BABA BA B a c a ac c a c d ⎛⎫-- ⎪⎪== ⎪--++ ⎪ ⎪---⎝⎭4c rankU ≠,所以系统不完全能控,讨论系统能控性:判断能观性:022322222001011000C CA c U CA a c b c c CA a ac c b bc c c ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪== ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭04rankU ≠,所以系统不能观.（2）系统如图所示。
题3-1（2）图 系统模拟结构图解: 状态变量:()1211101[,]1c x a b x ux c d y xa b U B AB c d -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+⎛⎫== ⎪--⎝⎭若0,a b c d b ----≠则2c rankU =,系统能控.010C U CA a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭若0b ≠,则02rankU =,系统能观.（3）系统如下式：1122331122311021010000200000x x x a ux x b x x y c d x y x ∙∙∙⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=-+⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭解:系统如下:1231122311021010000200000x x x a u x b x y c d x y x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭若0,0a b ≠≠,系统能控.若0,0c d ≠≠,系统能观.3-2 时不变系统：311113111111x x u y x ∙-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪-⎝⎭试用两种方法判别其能控性与能观性。
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3.1.已知系统的单位阶跃响应为)0(2.1.0)(16≥-+=--t e e t c tt 0021试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn =？ 解：（1）由c (t )得系统的单位脉冲响应为t te et g 10601212)(--+-=600706006011210112)]([)(2++=+-+==Φs s s s t g L s （2）与标准2222)(nn ns s ωζωω++=Φ对比得： 5.24600==n ω，429.1600270=⨯=ζ3.2.设图3.36 (a )所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b )所示。
试确定系统参数,1K 2K 和a 。
(a) (b)图3.36 习题3.2图解：系统的传递函数为22212212112)(1)()(nn n s K K as s K K K a s s K a s s K s W ωζωω++=++=+++= 又由图可知：超调量 43133p M -== 峰值时间 ()0.1p t s =代入得⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-==--221121.01312K K eK n n ζωπωζζπ 解得：213ln ζζπ-=；33.0≈ζ，3.331102≈-=ζπωn ，89.110821≈=nK ω， 98.213.3333.022≈⨯⨯≈=n a ζω，32==K K 。
3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量p σ5≤%，调节时间 s t 3<s ，峰值时间1<p t s ，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。
解：设该二阶系统的开环传递函数为()()22nn G s s s ωξω=+ 则满足上述设计性能指标：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-=<=≤=--113305.0212ζωπζωσζζπn p ns p t t e得：69.0≥ζ，1>n ζωπζω>-21n由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：3.4.设一系统如图3.37所示。
(a )求闭环传递函数C (s )/R (s )，并在S 平面上画出零极点分布图； (b)当r (t )为单位阶跃函数时，求c (t )并做出c (t )与t 的关系曲线。
图3.37 习题3.4图解： (a)系统框图化简之后有)235)(235(225.25.02)()(2j s j s ss s ss R s C -+-=+--=j s z 235,22,11±== 零极点分布图如下：(b) 若()r t 为单位阶跃函数，()1L r t s=⎡⎤⎣⎦ ，则 22222222)235(235352)235(35813584351)435(3583584351)435(2)235)(235(21)(+⨯-+⨯-⨯=+-+-=+-+=-+-⨯=s s s s s s s s s s s j s j s sss C t t t c 235sin 352235cos 358358)(--=大致曲线图略。
3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为222)()(nn n s s s R s C ωζωω++=2 分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。
(1) ζ =2，n ω=1-s 5； (2) ζ =1.2，n ω=1-s 5；(3) 说明当ζ ≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。
解：（1）ζ>1,闭环极点3510122,1±-=-±-=ζωζωnn s252025)()()(2++==s s s R s C s W ss s s R s W s C 1252025)()()(2⋅++== )32(51)1(121-=--=ζζωn T )32(512+=T3463461111)()32(5)32(5211221++-+=-+-+=+-----tt T tT t e e T T e T T e t c66.18,34.121-≈-≈s s 59.13|/|12>>≈s st te e t c 34.1)32(507735.113461)(----≈-+≈s t s 29.2≈（2）ζ1.2)>1,闭环极点44.056122,1±-=-±-=ζωζωnn s252025)()()(2++==s s s R s C s W )44.02.1(511-=T , )44.02.1(512+=T144.02.144.02.1144.02.144.02.11111)()44.02.1(5)44.02.1(5211221-+-+--++=-+-+=+-----tt T tT t e e T T e T T e t c 68.244.0561-≈+-=s ,32.92-≈ss t n s 2.1)7.12.145.6(51)7.145.6(1≈-⨯=-≈ζω （3）答： 1.5ξ≥时，25.155.7122,1±-=-±-=ζωζωn n s 。
91.11-≈s ，09.132-≈s ，585.6|/|12>≈s s ，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点对应的暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因此可以忽略掉。
3.6.设控制系统闭环传递函数为2222)(nn ns s s G ωζωω++=，试在S 平面上绘出满足下列各要求的系统特征方程式根可能位于的区域： (1) 1>ζ≥0.707，n ω≥2 (2) 0.5≥ζ >0，4≥n ω≥2(3) 0.707≥ζ >0.5，n ω≤23.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，图3.38 习题3.7图1200r /min 的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s ，试求电机传递函数。
提示：注意)()(s V s Ω=a s K+，其中dt d t θω=)(，单位是rad/s 解： 由式)()(s V s Ω=as K+可得 )11(10)11(11010)()(as s a K s as aK s a s K s V a s K s +-=+⋅=⋅+=+=Ω )1()1(10)(0T tate e aK t ---=-=ωω02.105.0)1()2.1(ωωω=-=-a e 5.0)1(2.1=--a e58.02.12ln ≈=a s r r a K/20min 1200100===ω 16.1102058.0100=⨯≈=ωa k 电机传递函数为：)58.0(16.1)()()()(+=+=Θ=s s a s s K s V s s G3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。
(1) 022333=++++s s s s 24(2) 0200.30.023=+++s s s 2(3) 04422345=+++++10112s s s s s (4) 025262.61.250.1234=++++s s s s 答案：（1）劳斯表如下：24272323101234s s s s s -劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （2）劳斯表如下：2031203.0102.00123s ss s -劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （3）劳斯表如下：105233810223620104421121012345s s ss s s -劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （4）劳斯表如下：12342552.02625.1256.21.0s s s s s劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是)1)(1)(++=s s s s G 0.21(0.1采用比例控制器，比例增益为K p ，试利用劳斯判据确定K p 值的范围。
图3.39 习题3.9图解：)12.0)(11.0()(++=s s s K s G p特征方程为：03.0002.0)(23=+++=p K s s s s D 劳斯表如下：pppK sK s K s s 01233.0002.03.03.01002.0-要使系统稳定只需⎪⎩⎪⎨⎧>>-003.0002.03.0p p K K ，解得 1500<<p K 。
3.10.某控制系统的开环传递函数为 )1)(1()1()()(+++=s Ts s s K s H s G 2试确定能使闭环系统稳定的参数K 、T 的取值范围。
解：由系统开环传函可知)1()2(2)1()12)(1()(23=+++++=++++=K s K s T Ts s K s Ts s s D劳斯表如下：Ks T T K K s KTs K T s 012322)1(2212++-+++由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。
若第一列元素均大于0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>+-+>+>002)1(2020K T K K T T 解得0>K ，T K K )1()1(2->+当K >1时1)1(20-+<<K K T ，当10<<K 时,0>T 。
3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为 (1) ))(1()1()(*5+-+=s s s s K s G(2) ))(1()(*5+-=s s s K s G试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K ≠K *解：(1) 0)1(8.02.0)(23=+-++=K s K s s s D劳斯表如下：Ks K sK s K s 012304438.012.0--解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围34>K 。
(2) 08.02.0)(23=+-+=K s s s s D由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。
3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为)/1)(/1()(63s s s Ks G ++=若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于-2，情况又如何?解：由反馈系统的开环传函)6)(3(18)61)(31()(++=++=s s s Kss s K s G 018189)(23=+++=K s s s s D（1）令1-=z s ,得：010183618)1(18)1(9)1()(2323=-+++=+-+-+-=K z z z K z z z z D劳斯表如下：10186182810186310123---K z Kz K z z 欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：⎩⎨⎧>->-0101801828K K 得 91495<<K （2）令2-=z s ,得：8186318)2(18)2(9)2()(2323=-+-+=+-+-+-=K z z z K z z z z D如果要求实部均小于-2，由特征方程可见，062<-=a ，系统稳定的必要条件不成立，无论K 取何值，系统都不稳定。