人教版高中数学必修三练习2-1-3分层抽样

2.1.3 分层抽样

双基达标 (限时20分钟)

1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样

的方法从这三个年级的学生中随机抽取几名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为 ( )．

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

解析 2107＝300x

，得x ＝10. 答案 A

2．为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求 ( )．

A ．每层不等可能抽样

B ．每层抽取的个体数相等

C ．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n N i N

(i ＝1,2，…，k )个个体．(其中k 是层数，n 是抽取的样本容量，N i 是第i 层中个体的个数，N 是总体的容量)

D ．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

解析 A 不正确．B 中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B 也不正确．C 中对于第i 层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C 正确．D 不正确．

答案 C

3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分

层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为( )．

A ．50

B ．60

C ．70

D ．80

解析 由分层抽样方法得：

33＋4＋7

×n ＝15.解得n ＝70. 答案 C

4．某农场在三种地上种玉米，其中平地210亩，河沟地120亩，山坡地180亩，估计产量

时要从中抽取17亩作为样本，则平地、河沟地、山坡地应抽取的亩数分别是________．

解析 应抽取的亩数分别为210×17510＝7,120×17510＝4,180×17510

＝6. 答案 7,4,6

5．将一个总体分为A 、B 、C 三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层抽样方法抽取容量为

100的样本，则应从C 中抽取________个个体．

解析 由题意可设A 、B 、C 中个体数分别为5k,3k,2k ，所以C 中抽取个体数为

2k 5k ＋3k ＋2k

×100＝20.

答案 20

6．某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要

从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．

解 用分层抽样来抽取样本，步骤是：

(1)分层：按区将20 000名高中生分成三层；

(2)确定每层抽取个体的个数．在这3个区抽取的学生数目分别是40、60、100.

(3)在各层分别按随机数法抽取样本；

(4)综合每层抽样，组成样本． 综合提高 (限时25分钟)

7．某单位共有老、中、青职工430人，其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人

数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为 ( )．

A ．9

B ．18

C ．27

D ．36

解析 设老、中、青职工分别为x 人，y 人，z 人，则

{ x ＋y ＋z ＝430，

z ＝160，y ＝2x ，解得{ x ＝90，y ＝180，z ＝160，由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人．

答案 B 8．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点，公司

为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②.完成①②这两项调查采用的抽样方法依次为 ( )．

A ．分层抽样法、系统抽样法

B ．分层抽样法、简单随机抽样法

C ．系统抽样法、分层抽样法

D ．简单随机抽样法、分层抽样法

解析 在①中，销售情况差异较大，应采用分层抽样，在②中，由于个体数量不多，故采用简单随机抽样法．

答案 B

9．某学校有教师300人，其中高级教师90人，中级教师150人，初级教师60人，为了了

解教师健康状况，从中抽取40人进行体检．用分层抽样方法抽取高级、中级、初级教师人数分别为________．

解析 抽取比例为40300＝215，故分别抽取人数为90×215＝12,150×215＝20,60×215

＝8. 答案 12,20,8

10．一个总体分为A ，B 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B

层中每个个体被抽到的概率都为112

，则总体中的个体数为________． 解析 设总体中的个体数为x ，则10x ＝112

⇒x ＝120. 答案 120

11．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的样

本，分别用三种方法计算总体中每个个体被抽到的可能性．

解 法一 简单随机抽样法：因为总体中的个体数N ＝120，样本容量n ＝20，故每个个

体被抽到的可能性均为16

. 法二 系统抽样法：将120个零件分组，k ＝12020

＝6，即6个零件一组，每组取1个，显然每个个体被抽到的可能性均为16

. 法三 分层抽样法：一、二、三级品的个数之比为2∶3∶5,20×210＝4,20×310＝6,20×510

＝10，故分别从一、二、三级品中抽取4个、6个、10个，每个个体被抽到的可能性分

别为424、636、1060，即都是16

. 12．(创新拓展)某校有在校高中生共1600人，其中高一年级学生520人，高二年级学生500

人，高三年级学生580人．如果想通过抽查其中的80人来调查学生的消费情况，考虑到不同年级学生的消费情况有明显差别，而同一年级内消费情况差异较小，问应采用怎样的抽样方法？高三年级学生中应抽查多少人？

解 因不同年级的学生消费情况有明显差别，所以应采用分层抽样．因为520∶500∶580＝26∶25∶29，于是将80分成比例为26∶25∶29的三部分．设三部分各抽个体数分别为26x,25x,29x ，由26x ＋25x ＋29x ＝80，得x ＝1.所以高三年级学生中应抽查29人．