流体力学_第7章_不可压缩流体动力学基础

（3）涡线微分方程 对于一条涡线，流体质点的旋转角速度矢量与 涡线相切，即旋转角速度矢量与涡线方向一致。 取一微分段
ds
，微分段在空间坐标上的分
量与旋转角速度矢量在空间坐标上的分量成正比。
即
dx
x

dy
y

dz
z
（7-2-6）
式（7-2-6）为涡线微分方程。
（四）涡通量 微小涡束上各点处的旋转角速度可认为是相等的,
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ) z ( 2 x y
2 x i y j z k
涡量是空间坐标和时间的矢性
流体质点运动表达式
u x u x 0 x dx z dy y dz z dy y dz u y u y 0 y dy x dz z dx x dz z dx u z u z 0 z dz y dx x dy y dx x dy
1 p dx )dydz （前）( p 2 x
沿x方向的质量力:
1 p ( dx )dydz （后） p 2 x
Xdxdydz
欧拉运动微分方程（推导）
1 p dux X x dt 1 p duy Y y dt 1 p duz Z z dt
s s
切向速度与所周线绕行方向相同，速度环量为正
值，反之为负。
（一）斯托克斯定理 斯托克斯公式：
u ds (u dx u dy u dz)
s s x y z
u z u y u x u z u x u y ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy A z z x y x y
u z u y z y u x u z x z u y u x y x
有分析数学可知 式成立，流场中一定存在一个函 数 ( x, y, z, t )
x u x uy y uz z
或写为：
u ds ( dA dA dA
s A x x y A n
y
z dAz )
即
s J A
（二）汤姆逊定理 对于无涡流，存在流速势函数，当流速势为单值 时，在无涡流空间画出的封闭周线上的速度环量都等 于0。 汤姆逊定理：在理想流体的涡量场中，如果质量 力具有单值的势函数，那么，沿由流体质点所组成的 封闭曲线的速度环量不随时间变化。
2 2 2 x y z
2 2 2 2
4.理想流体运动微分方程的积分 对于理想流体运动微分方程，一般质量力已知， 密度已知，所以该方程有4个未知量， p, ux , u y , uz 与连续性微分方程 联立，4个方程，4 个未知量，应该可解，但是-----u x u x u x 1 p u x X ux uy uz x t x y z

3.实际流体的运动微分方程(N-S方程)
dux 1 p 2 X x u x dt duy 1 p 2 u y Y y dt 1 p duz 2 u z z z dt
(7-6-3)
式中 2u 为粘性项. 2 为拉普拉斯算子

或
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2
（7-2-9）
1 A1 2 A2
式（7-2-9）表明，涡管截面积愈小，流体的旋转 角速的愈大。 有旋流：流体的流场是涡量场，也是速度场，涡线、 涡管、涡通量，与流速场的流线、流管、流量对应。
五、速度环量
在流体力学中也常用速度环量，来表征涡流的强
d 0 dt
结论：利用速度环量也可以判断有涡流与无涡流。
推论： 根据斯托克斯定理，沿曲线的速度环量等于
以该曲线为成都曲面的涡通量。
速度环量不随时间变化意味着涡通量也不随
时间变化。
具有单值势函数的理想流体，如果某一时刻 为有旋流，则总是有旋流。 如果某一时刻为无旋流，则永远是无旋流。 即流体的涡旋具有不生、不灭的性质。
函数 称为流速势函数。
流速势函数的二阶偏导，即流速的偏导
u x y xy
u y
x yx
u y z u z x u y u x y x
因为函数的导数值与微分次序无关， u z y u x u y u x 所以 z 0 y x z
x 0, y 0, z 0
式成立，一定存在一个势函数 无旋流又称为势流。
，所以，
三、有旋流（有涡流） 1 u z u y )0 x ( 从几何意义上描述，有涡线、涡束、涡管等概念。 2 y z 这些概念与流线雷同。 1 u x u z )0 y ( 表征涡流的强弱，有涡通量（漩涡强度）、速度环 2 z x 量。 1 u y u x )0 z ( 2 x y （一）涡线 定义，某一瞬时，在涡（流）场中，有一
（2）线变形 （4）旋转变形
u x x x u y y y u z z z
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ) z ( 2 x y
式中，①项——平移速度分量； ③、④项——旋转运动所引起的速度分量； ②、⑤、⑥项——角变形、线变形所引起的 速度分量。 亥姆霍兹速度分解定理
第二节
一、定义
有旋流动与无旋流动
物理特征：流体微团（质点）绕自身轴旋转，
称为有旋（涡）流动，反之，为无旋（涡）流动。 数学表达， 有旋流
x 0, y 0, z 0
Dt时段内，微分六面体内质量的变化
( dt )dxdydz dxdydzdt dxdydzdt t t
同一时段内，流入流出六面体总的流体质量的差值= 六面体内因密度变化所引起的质量变化。
( u x ) ( u y ) ( u z ) dxdydzdt dxdydzdt t y z x
k z uz
u z u y x y z u x u z y z x u y u x z x y
u y u x u x u z u z u y ( )i ( ) j( )k y z z x x y
无旋流
x 0, y 0, z 0
二、无旋流（无涡流）
1 u z u y )0 x ( 2 y z 1 u u y ( x z ) 0 2 z x u 1 u z ( y x ) 0 2 x y
可压缩流体非恒定流的连续性微分方程
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
对于不可压缩流体：
const
u x u y u z 0 x y z
不可压缩均质流体的连续微分方程 物理意义：体积守恒（质量守恒）
第三节 不可压缩流体连续性微分方程 1. 流体运动的连续性微分方程的建立
前面： u x u x dx
x 2
u A u( x, y, z )
中心点流速
dx 密度： x 2
u x dx u 后面： x x 2 dx x 2
dt时段从后面流入的流体质量为
函数，有涡流则构成一个矢量场，
也称为涡量场。
u z u y x y z u x u z y z x u y u x z x y
哈米尔顿算子 是一个矢性微分算子
i u x ux
i y uy
条几何曲线，在这条曲线上，各点处的质点（微团）的旋转 角速度的矢量都与该曲线相切。
与微小流束相似，涡线为光滑曲线，不是折线、两条涡 线不相交。
（二）涡束、涡管：在涡流场中，取一微小面积，
围绕这个微小面积作出的一束涡线——微小涡束。
（三）涡通量 （1）涡量 定义：涡量

旋转角速度矢量
( x, y, z, t )
弱。
——流速矢与切线的夹角
速度环量即
u ——速度矢量 S ——封闭周线
u cos ds
1
n
速度环量的和数的极限，即沿封闭曲线的积分。
速度环量符号：

lim u cos ds u cosds u cos(u, ds) ds
1 s s
n
u ds (u x dx u y dy u z dz)
至今仍未找到它的通解，在特殊情况下有特解。有的讲义 用葛罗米柯（Громеко ）积分，葛罗米柯将理想流体运动微 分方程进行了变换，得到了葛罗米柯方程。葛罗米柯方程也只 能在质量力是有势的条件下才能积分。工程流体力学一般用伯 努利(D.Bernoulli)积分 .
第七章 不可压缩流体动力学基础
一、流体微团运动 u x （1）平移 u y u z （3）角变形
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ) z ( 2 x y
u x dx ( )( u x )dydzdt x x 2
dt时段从前面流出的流体质量为
u x dx ( )( u x )dydzdt x x 2
规定流入为正，流出为负， dt (u x )dxdydzdt dxdydzdt x x x
与
2 x i y j z k
u
对照。
（2）涡量的连续性方程 由数学分析知
( u) 0
上式表明，涡量 即

的散度等于0， （ 7-2-5）
x y z 0 x y z
式（7-2-5）为涡量的连续性方程。
同理，在另外两个对应面流入流出的质量差为 Y向：
( u y ) y dxdydzdt
Z向：
( u z ) dxdydzdt z
Dt时段内，从微分六面体各个面流入流出质量差为 ( u x ) ( u y ) ( u z )
x y z dxdtdzdt
diV u 0
第四节
理想流体运动方程及其积分
实际流体
思路：理想流体
1.理想流体特征
0
（1） 理想流体不具有粘滞性：
（2） 理想流体动水压强的特性:（同实际流体） （3）作用在理想流体上的表面力：仅有正压力 无切向力。 2. 理想流体运动微分方程的建立
中心点压强
P( x, y, z )
沿x方向的表面力
若微小涡束，其横断面积 dA ，旋转角速度为
微小涡束的涡通量（漩涡强度）为
dA
。
也可以表示为：
n dA
涡通量的符号：
J
A
J dA n dA ( x dydz y dzdx z dxdy)
A A
有旋流重要运动特征：同一瞬时，通过同一涡管各 截面的涡量相等，及涡通量为常数，则