《时间序列分析》(第部分)解读

下标 p, P, q, Q,分别表示非季节，季节，自回归，移动平均算子的最大滞后阶数。上述 模型用 SARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s 表示。对于季度序列， s=4；对于月度序列， s=12。 ● 因为p(L)和P(Ls)，q(L)和Q(Ls)分别是相乘关系，所以此季节时间序列模型也称 作乘积季节模型（模型两侧的最终形式都是相乘关系） 。
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12yt 具有平稳性的条件是(1-1 L)(1-1 L12)= 0 的根在单位圆外。12yt 具有可逆性的 条件是(1+1 L)(1+1 L12) = 0 的根在单位圆外。
对于季节时间序列模型来说，自回归部分的最高滞后阶数是 p+Ps。移动平均部分 的最高滞后阶数是 q + Qs。但并不是每一个滞后期都有对应的滞后项在模型中存在。 自回归特征多项式仅由 p+P 个自回归系数决定；移动平均特征多项式仅由 q + Q 个移 动平均系数决定。对于月度序列，s =12，p+P+q + Q 将远远小于 p+Ps+q + Qs。因此会 得到一个非常简洁的模型。 （以上模型为例，p+P+q+Q = 4，而 p+Ps+q+Qs = 26。 ） ● 在实际建模过程中，d, D, p, P, q, Q 的值都不会很大。 ● 在实际研究中，通常是先对经济序列取对数，以消除可能存在的异方差。非季节和 季节性差分次数 d 和 D 通常取 0 和 1 即可满足要求。
周期为 s 的季节时间序列模型的一般表达式如下： (1- 1L - …-pLp)(1-1Ls - …-PLPs )(dsDyt) = (1+1L+…+qLq)(1+1 Ls- …-Q LQs )ut 或
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
p(L) = (1- 1L - 2 L2 - …- p Lp) P(Ls) = (1-1 Ls-2 L2s - …-PLPs ) q(L) = (1 + 1L + 2L2+ … +qLq) Q(Ls) = (1+ 1 Ls-2 L2s - …- Q LQs )
（注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用正号表示） （注意： i 前的符号用正号表示）
s =1-Ls
若季节性时间序列用 yt 表示，则一次季节差分表示为
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转换成一 个平稳的序列。若原序列长度用 T 表示，经过一次季节差分和一次非季节差分，序列 将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
12Lnyt= (1+1 L)(1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 例：(1-1.20L+0.66 L2)(1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2)(1-0.95L4)vt
熟悉 SARIMA 模型表达式的写法。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型，表达式是， (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut 例：对于 SARIMA (2, 1, 0) (1, 1, 1)4 模型，表达式是， (1-1 L-2 L2)(1-1 L4 )4 yt = (1+1 L4) ut ●： 1、 2、 1 前的符号用负号表示； 1 前的符号用正号表示。 例：(0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶 SARIMA 模型是月度模型，表达式为，
其中， s 分别表示非季节和 s 期季节性差分。 d, D 分别表示非季节和季节性差分次数， 用以保证把 yt 转换为一个平稳的时间序列。 ut~IID(0,2) 是白噪声。 p(L)和P(Ls)分别 称作非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式。 q(L)和Q(Ls)分别称作非季节与 季节移动平均算子或移动平均特征多项式。表示如下，
SARIMA 模型：
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
序列 (dsDyt) 具有平稳性的条件是 p(L)P(Ls) = 0 的根必须在单位圆以外。序列 (dsDyt) 具有可逆性的条件是q(L)Q(Ls) = 0 的根都必须在单位圆以外。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型 (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括 季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。 经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间 序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额比其他季 度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型(seasonal ARIMAmodel)， 用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（multiplicative seasonal model） 。因为 模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。
80,000
GDP
70,000 60,000 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
1.9.1 季节时间序列模型定义 季节性序列的变化周期用 s 表示。对于月度序列，s=12；对于季度序列，s=4。首 先用季节差分（seasonal deference）的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为，