《时间序列分析》(第部分)解读
(整理)时间序列分析讲义__第01章_差分方程.
第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。
差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。
经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。
§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。
假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：t t t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。
如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。
在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。
例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。
可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。
1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。
由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφt t =：t t t w y y ++=-110φφ依次进行叠代可以得到：1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-i ti i t t i it w y y ∑∑=-=++=011110φφφφ (1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。
精选时间序列分析时间序列讲解讲义
§1.2 平稳序列
一· 平稳序列
定义 如果时间序列 {X t} {X t : t N满}足
（1） 对任何的
t
N,
EX
2 t
（2） 对任何的 t N , EX t
（3） 对任何的 t, s N , E[( X t )( X s )] ts
就称是 X平t 稳时间序列，简称时间序列。称实数 为 的{自 t协} 方差X函t 数。
a则j 称 是绝对可{a和j}的。
j
对于绝对可和的实数列
，{a{定Xj}{义tX}零t}均值白噪声 的无穷{滑t动} 和
如下 X t a j t j ,t ，Z则 是{X平t}稳序列。下面说明 是
j
{X t}
平稳序列。
由 Schwarz不等式得到
E[ a jt j ] a j E t j a j
j0
k
q
0, k q
{ X t }平稳
第三十七页，共74页。
例：X t t 0.36 * t1 0.85 * t2 , t ~ WN (0,22 )
第三十八页，共74页。
概率极限定理：
定理 （单调收敛定理） 如果非负随机变量序列单调不减： 0 1 2
lim 则当 n ,a时s ，有 E
{St }
3. 随机项估计即为
方法一：分段趋势法
1 趋势项（年平均）
第五页，共74页。
减去趋势项后,所得数据 {Xt Tˆt}
第六页，共74页。
2、季节项 {Sˆt}
第七页，共74页。
3.随机项的估计 Rˆt xt Tˆt Sˆt ,t 1,2,,24.
第八页，共74页。
方法二：回归直线法
当 0, 2 称1为标准白噪声。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
时间序列分析课件讲义
3.5E+09 3.0E+09 2.5E+09 2.0E+09 1.5E+09 1.0E+09
5.0E+08 99:01 99:07 00:01 00:07 01:01 01:07 02:01 02:07
Y
8
单变量时间序列分析
趋势模型
确定型趋势模型
平滑模型 季节模型
水平模型
加法模型
9
乘法模型
ARMA模型 ARIMA模型 （G）ARCH类模型
42
（2）ADF检验 DF检验只对存在一阶自相关的序列适用。 ADF检验 适用于存在高阶滞后相关的序列。 y = y t 1 + t
表述为
y t = y t 1 + t
t
存在高阶滞后相关的序列，经过处理可以表述为 y t = y t 1 + 1yt 1+ 2yt 2 + ....... + p1yt p1 + t 上式中，检验假设为
34
特别地，若 其中，{ t }为独立同分布，且E（ t ） = 0，
D（ t ）
2 = <
yt= y t 1+ t
t = 1，2，......
，则{
（random waik process) 。可以看出，随机游动过程是 单位根过程的一个特例。
yt }为一随机游动过程
（2） 季节差分
3. 随机性
23
（四）ARMA模型及其改进 1. 自回归模型 AR（p） 模型的一般形式
( B) yt
=
et
AR (p) 序列的自相关和偏自相关 rk ：拖尾性 k ：截尾性
时间序列分析教材(PPT 171页)
fn
ai fi
i 1 n
fi
i 1
9 - 25
统计学
STA[T例IST]I某CS厂成品仓库库存变动时登记如下
日期
1
6
10
库存量（台） 38(a1) 42(a2) 39(a3)
25 37(a4)
试求该仓库该月的平均库存量
31 41(a5)
x xf a af
f
f
a 38 5 42 4 39 15 37 6 411 5 4 15 6 1
统月计初 学
一
二
三
四
S库TA存TI量ST（IC台S ） 38(a1) 42(a2) 39(a3) 37(a4)
五 41(a5)
38 42 1 42 39 1 39 37 1
a 2
2
2
111
x xf f
(a1 a2 ) (a2 a3 ) (a3 a4 )
2
2
2
3
x
f
时间 库存量 a 间隔 f
1/1—31/1 38—42 1
1 2
a1
a2
a3
1 2
a4
39.5(台)
4 1
1/2—28/2 42—39 1
1/3—31/3 39—37 1
——
3
a
912-a218
a2
a3
1 2
an
n 1
首尾折半法 n指标值个数 n1时间长度
统计学
STA（TIS４TI）CS间隔不等的间断时点资料
一季
二季
统计学
STA3TI、STI作CS用
（1）描述现象的历史状况； （2）揭示现象的发展变化规律；
（3）外推预测。
《时间序列分析》(第部分)解读
其中， s 分别表示非季节和 s 期季节性差分。 d, D 分别表示非季节和季节性差分次数， 用以保证把 yt 转换为一个平稳的时间序列。 ut~IID(0,2) 是白噪声。 p(L)和P(Ls)分别 称作非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式。 q(L)和Q(Ls)分别称作非季节与 季节移动平均算子或移动平均特征多项式。表示如下，
熟悉 SARIMA 模型表达式的写法。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型，表达式是， (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut 例：对于 SARIMA (2, 1, 0) (1, 1, 1)4 模型，表达式是， (1-1 L-2 L2)(1-1 L4 )4 yt = (1+1 L4) ut ●： 1、 2、 1 前的符号用负号表示； 1 前的符号用正号表示。 例：(0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶 SARIMA 模型是月度模型，表达式为，
12Lnyt= ut +1 Lut+1 L12ut+ 11 L13ut = ut +1 ut –1+1 ut – 12+ 11 ut – 13
= ut +1 ut –1+12 ut – 12+ 13 ut – 13 其中13 = 11。与 SARIMA 模型惟一不同点是，上式对 ut – 13 的系数13 没有约束，而 对季节模型来说，相当于增加了一个约束条件，13 =11。 对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度 s 的识别可以通过对实际问题的分析、 时间序列图，时间序列的相关图、偏相关图和谱图分析得到。 以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不是呈近似线性衰减趋势，而 是在变化周期的整倍数时点上出现绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为 该时间序列可以用 SARIMA 模型描述。 ● 对 SARIMA 模型的估计、检验、诊断都与 ARIMA 模型相同。
时间序列分析讲义(上)
39
• 滞后k偏自相关函数 可由下式计算:
1 k10 k21
2
k11
k20
kk k1 kk k2
k k1k1 k2k2 kk 0
• 样本偏自相关函数 ˆ k k 可由
ˆ1 k1ˆ0 k2ˆ1
ˆ2
k1ˆ1
k2ˆ0
kk ˆk1 kk ˆk2
序列长度为 N 的观察值序列 x1,x2, ,xN
• 随机序列和观察值序列的关系
– 观察值序列是随机序列的一个实现 – 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 – 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
3
下面是几个常见的时间序列观察值序列的点图：
时序图1.1
4
时序图1.2
• 德国业余天文学家施瓦尔发现太阳黑子的活动具有 11年左右的周期
ARMA模型，简记 ARM(pA,q)
36
特别： q0,ARM A(p,0)
xtp00， 1xt1 pxtp t C t为白噪声序列，Var(t )2
称为P阶自回归模型，也称AR模型，简记 A R ( p )
p0,ARM A(0,q) xt t 1t1 qtq C q 0 t为白噪声序列，Var(t ) 2
其中 为均值，且有 C11 p
B 1 1 B p B P 、 B 1 1 B q B q
分别称为P阶自回归因 三种模型的性质
为了进一步识别模型，还需要引入另外一个重要数字特 征—偏相关函数。 • 偏自相关函数定义 对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关函数就是指 在给定中间k-1个随机变量 xt1,xt2, ,xtk1的条件下， 或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后， 对 影响的相关度量，记 kk
时间序列分析第一章
1. 什么是时间序列？请收集几个生活中的观察值序列。
按照时间的顺序把随机事件变化发展的过程记录下来就构成了一个时间序列。
例如我把每天的生活费记录下来；零售商把每个月的销售额记下来，重要的是时间间隔和量纲要相同。
2. 时域方法的特点是什么？时域分析方法具有理论基础扎实、操作步骤规范、分析结果易于解释，是时间序列分析的主流方法等特点。
3、时域方法的发展轨迹是怎样的？1927年,英国统计学家G. U. Yule 提出AR模型(自回归（autoregressive, AR）模型);1931年,英国统计学家、天文学家G. T. Walker提出MA模型(移动平均（moving average, MA）模型);1931年,英国统计学家、天文学家G. T. Walker提出ARMA模型(自回归移动平均（autoregressive moving average, AR MA）模型)1970年,美国统计学家G.E.P.Box和英国统计学家G.M.Jenkins 提出ARIMA模型(求和自回归移动平均（autoregressive integrated moving average, ARIMA）模型，又称（Box—Jenkins 模型）)出版了《Time Series Analysis Forecasting and Control》;美国统计学家,计量经济学家Robert F.Engle在1982年提出了自回归条件异方差（ARCH）模型,用以研究英国通货膨胀率的建模问题;Bollerslov在1985年提出了广义自回归条件异方差（GARCH）模型;Nelson等人指数广义自回归条件异方差（EGARCH）模型,方差无穷广义自回归条件异方差（IEGARCH）模型,依均值广义自回归条件异方差（EGARCH-M）模型。
在非线性场合，Granger和Andersen在1978年提出了双线性模型；Howell Ttong在1978年提出了门限自回归模型（分段线性化构造）等等。
第二章时间序列分析简介.pptx
• 13、志不立，天下无可成之事。20.8.1320.8.1319:58:2819:58:28August 13, 2020
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
G.T.Walker
1931年，MA模型，ARMA模型
核心阶段
G.E.P.Box和 G.M.Jenkins
1970年，出版《Time Series Analysis Forecasting and Control》
提出ARIMA模型（Box—Jenkins 模型） Box—Jenkins模型实际上是主要运用于单变
《时间序列分析》
目录
第一章 随机过程简介 第二章 时间序列分析简介 第三章 ARMA模型的特性 第四章 平稳时间序列的建立 第五章 平稳时间序列的预测
第二章
时间序列分析简介
本章结构
引言 时间序列的定义 时间序列分析方法简介 时间序列分析软件
1.1 引言
最早的时间序列分析可以追溯到7000年前的古 埃及。
量、同方差场合的线性模型
完善阶段
异方差场合 Robert F.Engle，1982年，ARCH模型 Bollerslov，1985年GARCH模型
第二章时间序列分析-PPT课件
2003-2-17 1496.52 2003-3-14
2003-2-18 1496.46 2003-3-17
2003-2-19 1510.8 2003-3-18
2003-2-20 1509.48 2003-3-19
2003-2-21 1478.87 2003-3-20
2003-2-24 1481.94 2003-3-21
801946:01:00
1946:02:00
7.5 8.9
1955:01:00 1955:02:00
20.9 23
1964:01:00 1964:02:00
37.9 39
1946:03:00
11.1
1955:03:00
24.9
1964:03:.4
1955:04:00
26.5
1948:01:00
16.7 18
1956:04:00 1957:01:00
27.2 28.1
1965:04:00 1966:01:00
48.3 50.2
2003-2-25 1511.28 2003-3-24
2003-2-26 1513.18 2003-3-25
2003-2-27 1513.7 2003-3-26
2003-2-28 1511.93 2003-3-27
2003-3-3 1525.48 2003-3-28 2200032-53-4 30 152354.3 40200435-3-3510
第一章 绪 论
通过本章的学习，理解时间序列的 概念，特别是随机时间序列的概念，掌 握时间序列的建立过程，掌握确定性时 序分析方法，掌握随机过程的概念，深 刻理解平稳性和白噪声。
第一节 时间序列分析的一般问题
时间序列分析教材(PPT 109页)
11244 11429 11518 12607 13351 15974
490.83
27.5 17921
545.46
29.2 20749
648.30
29.0 35418
第三章 时间序列分析
三、时间序列的编制原则
（一）总体范围应该一致 （二）统计指标的经济内容应该一致 （三）统计指标的计算方法、计算价格和计量单
表1：某种股票1999年各统计时点的收盘价
统计时点 1月1日 3月1日 7月1日 10月1日 12月31日
作用： 反映社会经济现象发展变化的过程和特点，研
究社会经济现象发展变化的趋势和规律以及对未来 状态进行预测的重要依据
第三章 时间序列分析
表3-2 某市社会劳动者、国内生产总值、社会劳动生产率时间序列
年份
1995 1996 1997 1998 1999
2000
2001
2002
2003
社会劳动者 （万人）
2003 771.62 648.30
第三产业增加 值比重 （%）
社会劳动生产 率（元/人）
21.1 11244
21.5 22.1 23.6 25.1 11429 11518 12607 13351
26.0 15974
27.5 17921
29.2 20749
29.0 35418
第三章 时间序列分析
（三）平均数时间序列
位应该保持前后一致 （四）时间序列的时间跨度应力求一致
第三章 时间序列分析
第二节 时间序列的指标分析法
时间序列的指标分析法包括水平指标分析 法与速度指标分析法。
水平指标主要包括平均发展水平和增长量； 速度指标主要包括平均发展速度与平均增 长速度。
时间序列分析步骤及其解释
一》identify
1.分析变量的描述性统计
名称，均值，标准差，观察值个数
2．样本自相关图
3.样本逆相关图
4.样本偏自相关图
5.纯随机性检验结果
二》相对最优定阶
Identify var=x nlag=8 minic p=(0:5) q=(0:5);
自相关延迟阶数小于等于5，移动平均延迟阶数小于等于5的ARMA(p，q)模型的BIC信息量；
模型为MA（4）；
三》参数估计
Estimate q=4 METHOD=CLS;
METHOD=ML(极大似然估计方法)
METHOD=ULS(最小二乘估计)
METHOD=CLS(条件最小二乘估计)（默认）
1.参数名称，MU常数，MA1,1是
1
2.各参数估计值
3.各参数估计值标准差
4.各参数t检验统计量的值
5.t统计量的P值
6.各参数对应延迟阶数；
7.从上到下方差估计值，标准差估计值，AIC信息量，SBC信息量，残差个数
显示中常数不显著则输入noint
系数相关矩阵
残差自相关检验结果
拟合模型
12340.91780.831980.5597890.623t t t t t t x ξξξξξ----=++++12340.91780.831980.5597890.623t t t t t t x ξξξξξ----=++++ 四》序列预测
Forecast lead=5 id=time out=results;
Lead 预测期数，id 身份标识，out 结果存入数据集中
预测序列 ，预测值 ，预测值的标准差值信上下限。
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SARIMA 模型：
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
序列 (dsDyt) 具有平稳性的条件是 p(L)P(Ls) = 0 的根必须在单位圆以外。序列 (dsDyt) 具有可逆性的条件是q(L)Q(Ls) = 0 的根都必须在单位圆以外。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型 (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut
1.9 季节时间序列模型 在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括 季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。 经济领域中，季节性时间序列更是常见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间 序列等。这里主要研究的是季度和月度时间序列。 中国季度 GDP 序列（yt，亿元人民币，1992:1~2009:1）见图。序列明显存在以 4 个季度为周期的变化。在每年的第 4 季度，由于受接近年终的影响，GDP 额比其他季 度要增加很多。 描述这类序列的模型称作季节时间序列模型(seasonal ARIMAmodel)， 用 SARIMA 表示。季节时间序列模型也称作乘积季节模型（multiplicative seasonal model） 。因为 模型的最终形式是用因子相乘的形式表示。
下标 p, P, q, Q,分别表示非季节，季节，自回归，移动平均算子的最大滞后阶数。上述 模型用 SARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s 表示。对于季度序列， s=4；对于月度序列， s=12。 ● 因为p(L)和P(Ls)，q(L)和Q(Ls)分别是相乘关系，所以此季节时间序列模型也称 作乘积季节模型（模型两侧的最终形式都是相乘关系） 。
周 - …-pLp)(1-1Ls - …-PLPs )(dsDyt) = (1+1L+…+qLq)(1+1 Ls- …-Q LQs )ut 或
p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
s =1-Ls
若季节性时间序列用 yt 表示，则一次季节差分表示为
syt = (1-Ls)yt = yt - yt- s
对于非平稳季节性时间序列，进行有限次的季节差分和非季节差分，总可以转换成一 个平稳的序列。若原序列长度用 T 表示，经过一次季节差分和一次非季节差分，序列 将丢失 s+1 个观测值，序列长度变为 T- s-1。
p(L) = (1- 1L - 2 L2 - …- p Lp) P(Ls) = (1-1 Ls-2 L2s - …-PLPs ) q(L) = (1 + 1L + 2L2+ … +qLq) Q(Ls) = (1+ 1 Ls-2 L2s - …- Q LQs )
（注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用负号表示） （注意： i 前的符号用正号表示） （注意： i 前的符号用正号表示）
80,000
GDP
70,000 60,000 50,000 40,000 30,000 20,000 10,000 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09
1.9.1 季节时间序列模型定义 季节性序列的变化周期用 s 表示。对于月度序列，s=12；对于季度序列，s=4。首 先用季节差分（seasonal deference）的方法消除周期性变化。季节差分算子定义为，
其中， s 分别表示非季节和 s 期季节性差分。 d, D 分别表示非季节和季节性差分次数， 用以保证把 yt 转换为一个平稳的时间序列。 ut~IID(0,2) 是白噪声。 p(L)和P(Ls)分别 称作非季节与季节自回归算子或自回归特征多项式。 q(L)和Q(Ls)分别称作非季节与 季节移动平均算子或移动平均特征多项式。表示如下，
12Lnyt= (1+1 L)(1+1 L12) ut
● 这种模型也称作航线模型（air line model） ，首次被 Box 采用。 例：(1-1.20L+0.66 L2)(1-0.33L4) 4 yt = (1-1.16L+ 0.97 L2)(1-0.95L4)vt
熟悉 SARIMA 模型表达式的写法。 例：对于 SARIMA (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 模型，表达式是， (1-1 L)(1-1 L12)12yt= (1+1 L)(1+1 L12) ut 例：对于 SARIMA (2, 1, 0) (1, 1, 1)4 模型，表达式是， (1-1 L-2 L2)(1-1 L4 )4 yt = (1+1 L4) ut ●： 1、 2、 1 前的符号用负号表示； 1 前的符号用正号表示。 例：(0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶 SARIMA 模型是月度模型，表达式为，
12yt 具有平稳性的条件是(1-1 L)(1-1 L12)= 0 的根在单位圆外。12yt 具有可逆性的 条件是(1+1 L)(1+1 L12) = 0 的根在单位圆外。
对于季节时间序列模型来说，自回归部分的最高滞后阶数是 p+Ps。移动平均部分 的最高滞后阶数是 q + Qs。但并不是每一个滞后期都有对应的滞后项在模型中存在。 自回归特征多项式仅由 p+P 个自回归系数决定；移动平均特征多项式仅由 q + Q 个移 动平均系数决定。对于月度序列，s =12，p+P+q + Q 将远远小于 p+Ps+q + Qs。因此会 得到一个非常简洁的模型。 （以上模型为例，p+P+q+Q = 4，而 p+Ps+q+Qs = 26。 ） ● 在实际建模过程中，d, D, p, P, q, Q 的值都不会很大。 ● 在实际研究中，通常是先对经济序列取对数，以消除可能存在的异方差。非季节和 季节性差分次数 d 和 D 通常取 0 和 1 即可满足要求。