初中数学《几何变换》竞赛专题复习含答案

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人教版初中数学竞赛专题复习《第16章几何变换》竞赛专题复习含答案

第16章几何变换§16.1对称和平移16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点，求PA PM +的最小值．CA'M'PA M B解析作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点，故M 是A B '的中点．PM PM '=，如图所示，则 PA PM PA PM AM ''+=+≥.连结CM '，易知90ACM '∠=︒，所以AM '=．所以，PA PM +16．1．2★★已知ABC △中，60A ∠<︒．试在ABC △的边AB 、AC 上分别找出一点P 、Q ，使BQ QP PC ++最小．解析作B 关于直线AC 的对称点B '，C 关于直线AB 的对称点C '，连B C ''与AB 、AC 分别交于点P 、Q ，则P 、Q 即为所求，如图所示．CA'M'PA M B事实上，对于AB 、AC 上的任意点P '，Q '， BQ Q P P C B Q Q P P C ''''''''''++=++ B C B Q QP PC ''''=++≥ BQ QP PC =++．评注因为60A ∠<︒，所以所作线段B C ''必与线段AB 、AC 相交．16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．解析如图所示，设在直角三角形ABC 中，CD 是斜边上的高，PQR △是它的任一内接三角形．BDP ARC Q S VET G FU将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △，此时PQR △反射为SQV △，再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △，此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ．易知FF AB ∥，所以CG CD =，即2GD CD =，且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离．所以2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥.16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=︒，30MBA ∠=︒．设80ACB ∠=︒， AC BC =．求AMC ∠.CHBME解析本题中ABC △为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知， 30EAB EBA ∠=∠=︒，所以20EAM ∠=︒，从而20CAE ∠=︒，因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=︒，又1402ACE ACB ∠=∠︒=，所以CAF △≌MAE △，于是AC AM =，所以()118040702AMC ∠=︒-︒=︒． 16．1．5★★在ABC △中，AH 是高，H 在边BC 上，已知45BAC ∠=︒，2BH =，3CH =，求ABC △的面积．解析作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △，作H A B △的关于AB 的对称图形NAB △．分别延长MC 和NB ，它们相交于L ，如图所示．ANMBH CL易知90M N ∠=∠=︒，且 290NAM BAC ∠=∠=︒， AM AH AN ==．所以，四边形LMAN 是正方形．设正方形LMAN 的边长为a ，则 3CL a =-，2BL a =-．在直角三角形BCL 中，由勾股定理知 222BL CL BC +=．()()222325a a -+-=．解方程，得6a =，即6AH =．所以1152ABC S BC AH =⋅=△． 16．1．6★★★如图，凸四边形PQRS 的四个顶点分别在边长为a 的正方形ABCD 的四条边上，求证：PQRS的周长不小于．解析作正方形ABCD 关于BC 的轴对称图形，得到正方形11A BCD ，再作正方形11A BCD 关于1CD 的轴对称图形，得到正方形221A B CD ，再作正方形221A B CD 关于21A D 的轴对称图形，得到正方形2331A B C D ，而P 、Q 、R 、S 四点的对应点如图所示．A S DP B P 1A 1S 1D 1R 3C 3Q 3B 3P 3A 2P 2B 2Q 2R C R 1S 2Q显然，2AA =，23AP A P ∥，故32PP AA ∥，所以四边形PQRS 的周长 PQ QR RS SP +++ 11223PQ QR R S S P =+++32PP AA ==≥．即四边形PQRS的周长不小于．16．1．7★★★如图，ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形， 90ABC ADE ∠=∠=︒，现固定ABC △而将ADE △绕点A 在平面上旋转，试证：不论ADE △旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M 使BMD △力等腰直角三角形．BAD ECMA'解析如图，设BMD △为等腰直角三角形，下面证明点M 在线段EC 上．作A 关于BD 的对称点A '，则ADB AD B '∠=∠．因为902ADE BDM ∠=︒=∠，所以45EDM A DM A DB ''∠=∠=︒-∠ 45ADB =︒-∠，又DA DA DE '==．所以A '又是E 关于DM 的对称点．同理A '也是C 关于BM 的对称点，因此 EM D A M D '∠=∠，CMB A MD '∠=∠，又因90BMD ∠=︒，所以180CME ∠=︒．即M 在EC 上（且为EC 的中点）．16．1．8★★★如图，矩形ABCD 中，20AB =，10BC =，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM MN +的值最小，试求出这个最小值．DEC GF ANP MBQ解析作AB 关于直线AC 的对称线段AE ，即B 、E 关于AC 对称，作N 关于AC 的对称点F ，则F 在AE 上，且有BE AC ⊥于Q ，NF AC ⊥于P ．由对称变换可知，MN BM MF MB +=+.欲使M F BM +最小，必须BMF 共线，所以BM MN +最小值为点B 到AE 的距离BG .在Rt ABC △中，20AB =，10BC =，所以AB BCBQ AC⋅==2BE BQ == 在Rt ABQ △中，AQ =20AE AB ==，在ABE △中，1122ABE S BE AQ AE BG =⋅=⋅△，则16BE AQBG AE⋅==．从而BM MN +的最小值为16．16．1．9★★凸四边形ABCD 中，ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠．求证： AB AD BC CD +>+.D CEPA B解析将BCD △沿BD 翻折，点C 落在点P ．因为ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠，所以P 必定在ABD △内部．BP 延长线交AD 于点E ，则 AB AD BE FD BP PD BC CD +>+>+=+.16．1．10★★设S 表示凸四边形ABCD 的面积，证明1()2S AB CD BC AD ⋅+⋅≤．B ACD D'l解析如图，作点D 关于AC 的垂直平分线l 的对称点D '，显然ACD △与ACD '△关于l 成轴对称图形．所以 ABCD S S '= BAD BCD S S ''=+△△，11sin sin 22AB AD BAD BC CD BCD ''''=⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()AB AD BC CD ''⋅+⋅≤ 1()2AB CD BC AD =⋅+⋅. 16．1．11★★在矩形ABCD 内取一点M ，使180BMC AMD ∠+∠=︒，试求BCM DAM ∠+∠的值．解析如图将BMC △沿AB 平移至ADM '△，显然M M AD '⊥，BMC AM D '∠=∠．所以，由已知条件180AM D AMD '∠+∠=︒，即A 、M 、D 、M '四点共圆，从而 BCM DAM ADM DAM '∠+∠=∠+∠ 90AMM DAM '=∠+∠=︒．16．1．12★★设P 是平行四边形ABCD 内一点，使得PAB PCB ∠=∠，证明：PBA PDA ∠=∠．A D PP'BC解析如图，把AP 平移至DP '，则BAP CDP '∠=∠，及PBA P CD '∠=∠，PP BC '∥，所以P PC BCP '∠=∠．又已知PAB PCB ∠=∠，故P PC CDP ''∠=∠，从而P 、D 、P '、C 四点共圆．于是 P PD P CD ''∠=∠，又PPDPD A '∠=∠，所以PBA PDA ∠=∠．16．1．13★（1）如图（a ）所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥.已知：3AD BC +=，AC =，BD ABCD 的面积．（2）如图（b ），在梯形ABCD 中，AD BC ∥．M 是CD 的中点，MN AB ⊥于N ．设A B a =，MN h =，求梯形ABCD 的面积．解析（1）将BD 平移到CE ，连结DE，则CE BD ==DE BC =．所以B CAD E(a)A DENM CF B(b)3AE AD DE AD BC =+=+=．222AE AC CE =+．因此90ACE ∠=︒．因为ABC CDE S S =△△，所以12ACE ABCD S S AC CE ==⋅=△梯形．（2）将AB 平移至EF ，如图（b ）所示，EF 过点M ．由于MDF △≌MCF △，所以 ABCD ABFE S S AB MN ah ==⋅=梯形梯形．评注本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．16．1．14★★如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是DC 及AB 中点，FE 的延长线与AD 及BC 的延长线分别交于点H 、G ．求证：AHF BGF ∠=∠．G H DAB'F BCE (a)解析1如图（a ），将线段CB 平移至AB '．则四边形AB BC '为平行四边形．由于F 是AB 中点，故C 、F 、B '共线．现在EF 是CDB '△的中位线，故EF D B '∥，所以 AHF ADB '∠=∠，BGF AB D '∠=∠．又显然AB BC AD '==．故ADB AB D ''∠=∠．于是AHF BGF ∠=∠．G H E CD MAF B(b)解析2如图（b ），连结AC ，取AC 中点为M ，连结ME 、MF ，则ME 、MF 分别为CDA △、ABC △的中位线，所以12ME DA ∥，12MF BC ∥．故M EF AH F ∠=∠， AFE FGB ∠=∠，且M E M F =，故M EF M FE ∠=∠，所以AHF FGB ∠=∠．16．1．15★★如图，A B ∠=∠，1AA 、1PP 、1BB 均垂直于11A B ，垂足为1A 、1P 、 1B ，117AA =，116PP =，120BB =，1112A B =．求AP BP +的值．A C D A 1P 1B 1E PB解析将1PP 平移到1CA，C 在线段1AA 上，延长BP 交1AA 于D ，将1DA 平移到1EB ，E 在1BB 上．因为1AA 、1BB 、1PP 均垂直于11A B ，所以四边形11CAPP 和11DA B E 都是矩形．由1116CA PP ==，117AA =，得1AC =．又11AA BB ∥，所以P D A B A ∠=∠=∠，90PCD PCA ∠=∠=︒，PC PC =．所以Rt PCD △≌Rt PCA △，PA PD =，1CD AC ==．于是AP BP BD +=， 11115DA AA AD EB =-==， 115BE BB EB =-=．在Rt BED △中，1112DE A B ==，13BD ==，也即 13AP BP +=．16．1．16★★在正三角形ABC 的三条边上，有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．证明：直线21B C 、21C A 、21A B 所成的三角形中，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边成比例．CABC 1C 23A 1A 2A 3B 1B 2B 3解析如图，将12C C 平移到2B P ，连结1PA 、1PB 、2PC ．因为四边形12BC C P 为平行四边形，所以1260B B P A ∠=∠=︒，21212B P C C B B ==，故12B B P △为正三角形，112B P A A ∥．这样所得四边形121A A B P 为平行四边形，121A P A B ∥．因此，由21B C 、21C A 、21A B 这三条线段构成的三角形与12A PC △全等，而12A PC △≌333A B C △，从而命题得证．16．1．17★★如图所示，2AA BB CC '''===且共点于O ，60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=︒，求证：AOB BOC COA S S S '''++△△△Q解析将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离，得AQR △，将BOC '△沿BB '方向平移BB '长的距离，得B PR ''△．由于 2OP OQ ==，60POQ ∠=︒，所以2PQ =．又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==，故R 与R '重合，且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中， AOB BOC COA S S S '''++△△△AOB B PR AQR S S S ''=++△△△22OPQ S <==△ 16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ，已知KH a =，BD b =，求点B 到BKH △的垂心的距离． B PCHD KAaH 1解析令1H 表示BKH △的垂心．考虑到1KH BH ⊥，D H BH ⊥，有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥，因而四边形1KDHH ，为平行四边形，平移1BKH △到PDH △位置，显然P 为BC 上一点，所求线段1BH 即PH ，已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形，有PK BD =，于是1BH PH ==16．1．19★★★已知ABC △的面积为S ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点，且 1BD CE AF DC EA FB n===，试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． GCEDF解析如图，过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ，则四边形AFCG 为平行四边形，GCA CAB ∠=∠．又11CG AF AE AE AB AB AB CA n ====+，所以CGE △≌ABC △，CEG ACB ∠=∠，因此GE CB ∥. 又因1=1GE BDBC n BC =+，所以GE BD =．于是四边形GEBD 也为平行四边形，从而GD BE =，即ADG △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形，它的面积为S '．在梯形GABC 中， 1111GABC S GC AB GC S AB AB n +==+=++梯形，所以111GABC S S n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭梯形，而11ABD S BD S BC n ==+△，所以111ABC CG CD nS BA BC n n ⋅==⋅⋅++△，因此()2111111n S S n n n ⎡⎤⎛⎫'=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()2211n n S n ++=+．§16.2旋转16．2．1★★对于边长为1的正ABC △内任一点P PA PB PC ++．ACBPC'P'解析把ABC △绕点B 旋转60︒到CBC '△．则PBP '△为正三角形，且 PC P C ''=，PB PP '=，因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++≥16．2．2★★设P 是等边三角形ABC 内一点，3PC =，4PA =，5PB =．试求此等边三角形的边长．BACP 543解析如图，把CBP △绕点C 逆时针旋转60︒，到达CAP '△的位置，显然， 60PCP '∠=︒，3P C PP ''==，5AP '=．在APP '△中，222222345AP P P AP ''+=+==，所以90APP '∠=︒．故 9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=︒+︒=︒. 在APC △中，由余弦定理，得 2222cos150AC AP PC AP PC =+-⋅⋅︒2234243=+⨯⨯+25=+所以，等边三角形ABC16．2．3★★设O 是正三角形ABC 内一点，已知115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角．解析以B 为旋转中心，将AOB △按逆时针方向旋转60︒，旋转至CDB △，如图所示．连结OD ．由于OB OD =，60OBD ∠=︒，所以OBD △是正三角形，故OD OB =．又CD OA =，故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形．因此COD BOC BOD ∠=∠-∠ 1256065=︒-︒=︒，ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠ 1156055=︒-︒=︒，从而180655560OCD ∠=︒-︒-︒=︒．所以，以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65︒、55︒和60︒． 16．2．4★★如图，两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．CDQ K LRM SAPB解析设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心，Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点，先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．连结BK 、DM ，将ADM △绕A 逆时针旋转90︒，则D 、M 分别到B 、K 位置，所以BK DM =，BK DM ⊥．因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点，所以12PS DM ∥．同理12SR BK ∥．所以PS SR ⊥，且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．16．2．5★★正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，3PB =．PD =ABCD 的面积．ADB CPP'解析将PAB △绕A 点旋转90︒，得P AD '△．连结PP '．易知90PAP '∠=︒，1PA PA '==．于是PP '=在P PD '△中，222279P P PD P D ''+=+==．所以P PD '△是直角三角形，从而135APD ∠=︒．由余弦定理得222AD PA PD PD =+⋅8=16．2．6★★在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K ，使得AM AK =，在线段DM 上取点P ，使得PCD PKA ∠=∠．证明：APM ∠是直角．AM BL K PDC解析如图所示，在边BC 上取点L ，使BL AK =，连结KL 、AP 、PL ．由于PCD PKA ∠=∠，所以P 、C 、D 、K 四点共圆，作四边形PCDK 的外接圆和矩形 KDCL 的外接圆，因为这两个外接圆均过K 、D 、C 三点，从而这两圆是相同的，所以 90LPD LKD ∠=∠=︒．易知Rt MAD △≌Rt LBA △.故以正方形ABCD 的中心为旋转中心，将Rt LBA △以逆对针方向旋转90︒，则L B A △旋转至MAD △，从而AL D M ⊥．又LP D M ⊥，故A 、P 、L 三点共线，所以90APM ∠=︒． 16．2．7★★★已知凸六边形123456A A A A A A 中，1223A A A A =，3445A A A A =，5661A A A A =， 135246A A A A A A ∠+∠+∠=∠+∠+∠．求证：（1）24612345612A A A A A A A A A S S =△；（2）624212A A A A ∠=∠，246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．A 1A 2A 3A 45A 6A'4解析（1）将234A A A △绕点2A 旋转，使23A A 与21A A 重合，得到214A A A '△，如图所示．连结46A A '．因为135246()()A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠+∠ 720=︒，所以135A A A ∠+∠+∠ 246360A A A =∠+∠+∠=︒．因此4161412360A A A A A A A ''∠=︒-∠-∠ 135360A A A =︒-∠-∠=∠.从而146A A A '△≌546A A A △， 246A A A △≌246A A A '△，所以24624641234561122A A A A A A A A A A A A A S S S '==△．（2）由（1）可知624624126324A A A A A A A A A A A A '∠=∠=∠+∠ 2624A A A A =∠-∠，所以624212A A A A ∠=∠．同理可证：246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．评注本题通过旋转，把234A A A △、456A A A △、612A A A △拼成一个与246A A A △全等的新三角形246A A A '.也可以采取向246A A A △内部旋转的方法，把234A A A △、456A A A △、612A A A △放在26A A A 4△的内部，使之恰好“拼成”246A A A △．16．2．8★★★如图所示，P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点，使得 45PAQ PCQ ∠=∠=︒，求PAB PCQ QAD S S S ++△△△的值．ADQ PBCADQPQ'BQ''C(a)(b)解析将AQD △绕点A 顺时针旋转90︒至AQ B '△，CQD △绕点C 逆时针旋转90︒至CQ B ''△，连结PQ '、PQ ''，则APQ '△≌APQ △，CPQ ''△≌CPQ △．又90ABQ CBQ ADQ CDQ '''∠+∠=∠+∠=︒，所以Q '、B 、Q ''三点共线，且 BQ DQ BQ '''==，故PBQ PBQ S S '''=△△，所以PAB PCQ QAD S S S ++△△△PAQ PBC QCD S S S =++△△△1122ABCD S ==正方形． 16．2．9★★在ABC △中，120A ∠︒≥，点P 不与A 重合．求证PA PB PC AB AC ++>+. 解析如图，将PAB △绕点A 旋转至P AB ''△的位置，使CA 与AB '共线．于是 AB AC AB AC PC PB ''+=+<+．B'ACPBP'又因为120P AB PAC BAP PAC BAC ''∠+∠=∠+∠=∠︒≥，所以 18060PAP BAC '∠=︒-∠︒≤．故在等腰PAP '△中， PA P A PP ''=≥．因此PB PP P B PA P B PA PB ''''''++=+≤≤，从而PA PB PC AB AC ++>+.评注此题似乎依赖于图形，P 在BAC ∠内，事实上P 在其他位置照样成立，方法完全一样． 16．2．10★★★凸四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，且AM AN a +=（a 是常数），求证：22ABCDa S <四边形．ED NC FMBA解析如图所示，将ABM △绕点M 旋转180︒得FCM △，将ADN △绕点N 旋转180︒得ECN △，连EF ，于是360ECF ECN BCD FCM ∠=︒-∠-∠-∠ 360ADC BCD ABC =︒-∠-∠-∠ 180DAB =∠<︒，所以EF 与凸四边形ABCD 的边不相交．故 FCM ECN AEF ABCD AMCN S S S S S =++<△△△四边形四边形122AE AF AM AN ⋅=⋅≤ 22222AM AN a +⎛⎫⋅=⎪⎝⎭≤． 16．2．11★★★如图，设D 为锐角ABC △内一点，且AC BD AD BC ⋅=⋅， 90ADB ACB ∠=∠+︒，求AB CDAC BD⋅⋅的值．A DBC解析将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒到BE ，连结DE 、CE ．因为ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠，90ADB ACB ∠=∠+︒，所以 90CAD CBD ∠+∠=︒，又90CBD CBE ∠+∠=︒，则CAD CBE ∠=∠．由AC BD AD BC ⋅=⋅，得AC AD ADBC BD BE==，于是ACD BCE △∽△，所以ACD BCE ∠=∠， AC AD CDBC BE EC ==．从而A C B A C D B C D E C B B C ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以，A B C D E△△∽，则AB ACDE DC=，即AB CD AC DE ⋅=⋅．在Rt BDE △中，BD BE =，DE =，故AB CDAC BD⋅⋅。

初三数学几何竞赛试题及答案

初三数学几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=6，c=10，则b的长度为多少？A. 8B. 9C. 10D. 112. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是？A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 一个正六边形的边长为a，其外接圆半径为多少？A. aB. √3aC. 2aD. a√34. 已知点P在圆O的内部，PA和PB是点P到圆O的两条切线，PA=PB，圆的半径为r，那么PA的长度为？A. rB. 2rC. √2rD. √3r5. 在三角形ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，AB=1，求BC的长度。

A. √2B. √3C. 2D. 3√2二、填空题（每题2分，共10分）6. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是_________三角形。

7. 一个圆的直径为10cm，那么它的面积是_________平方厘米。

8. 一个正方体的体积为27立方厘米，它的边长是_________厘米。

9. 如果一个多边形的内角和为900°，那么这个多边形的边数是_________。

10. 在一个直角三角形中，如果一个锐角的度数是另一个锐角的两倍，那么较小的锐角的度数是_________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=2，求AC的长度。

12. 已知圆O的半径为r，点P在圆O上，PA是点P到圆心O的半径，求点P到圆O的切线长度。

13. 一个正五边形的外接圆半径为R，求正五边形的边长。

14. 已知点M在圆O的直径AB上，且OM=1/3AB，求点M到圆O的切线长度。

四、综合题（每题10分，共20分）15. 已知正方形ABCD的边长为1，E是CD边上的一点，F是BC边上的一点，且CE=CF=1/3。

2023年九年级数学中考复习几何图形变换综合压轴题专题训练(含答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是（用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

中考数学复习之几何三大变换学案,附练习题含参考答案

中考数学复习之几何三大变换学案知识梳理1. 平移、折叠、旋转统称为几何三大变换，它们都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状．2. 三大变换思考层次平移思考层次（1）平移性质：①全等变换：对应线段①平行（或在一条直线上）且相等、对应角相等； ②对应点：②对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等．（2）组合搭配：平移会出现平行四边形．（3）应用：常应用在天桥问题、存在性问题等．旋转思考层次（1）旋转性质：①全等变换：对应线段相等、对应角相等；②对应点：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应点所连线段的垂直平分线都经过旋转中心.（2）组合搭配：旋转会出现等腰三角形，特别地，旋转 60°会出现等边三角形，旋转90°会出现等腰直角三角形．（3）应用：当题目中出现等线段共端点时，会考虑构造旋转．（常见于图形中有正方形、等边三角形、等腰三角形等）折叠（轴对称）思考层次（1）轴对称性质：①全等变换：对应线段相等、对应角相等； ②对应点：对应点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴上的点到对应点的距离相等．（2）组合搭配：矩形背景下常出现等腰三角形；两次折叠常出现直角、60°角；折叠会出现圆弧等．（3）应用：常应用在最值问题等．例1：如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将该纸片折叠，使点B 落在CD 边上的点B′处，点A 的对应点为A′，折痕为MN ．若B′C=3，则AM 的长为__________．【思路分析】要求AM 的长，设AM=x ，则MD =9-x ．思路一：考虑利用折叠为全等变换转条件，得AM =A′M=x ， A′B′=AB=9．观察图形，∠A′=∠D =90°，∠MA′B′和∠MDB′都是直角三角形，MB′是其公共斜边，则MB′可分别在两个A'B'ADBCMN直角三角形中借助勾股定理表达，列方程．思路一思路二思路二：MN 是对称轴，考虑利用对称轴上的点到对应点的距离相等转条件，得MB =MB′．观察图形，∠A =∠D =90°，MB ，MB′可分别放到Rt∠ABM 和Rt∠DB′M 中借助勾股定理表达，列方程．例2：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，若四边形ABCD 的面积为24，则AC 的长为____________．【思路分析】已知四边形ABCD 的面积，要求AC 的长，考虑借助AC 表达四边形ABCD 的面积．四边形ABCD 为不规则四边形，考虑割补法或转化法求面积．分析题目中条件AB =AD ，存在等线段共端点的结构，且隐含∠B +∠D =180°，故考虑通过构造旋转解决问题，可把∠ABC 绕点A 逆时针旋转90°．➢ 练习题1. 如图，将周长为8的△ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD的周长为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．122. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，将线段AB 平移至A 1B 1，若点A 1，B 1的坐标分别为(2，a )，(b ，3)，则a b +=___________．A'B'ADBCMN MC BDAB'A'D CBAF C E DB A 21ED CB A第2题图第3题图3. 如图，AB =CD ，AB 与CD 相交于点O ，且∠AOC =60°，则AC +BD 与AB 的大小关系是（） A ．AC BD +>AB B ．AC +BD =AB C ．AC BD +≥AB D ．无法确定4. 如图，在44⨯的正方形网格中，△MNP 绕某点旋转一定的角度得到△M 1N 1P 1，则其旋转中心可能是（） A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D第4题图第5题图5. 如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴正半轴上，且∠B =120°，OA =2．将菱形OABC 绕原点O 顺时针旋转105°至菱形OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为___________．6. 如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC 和A ′B ′C ′重合在一起，将三角板A ′B ′C ′绕其直角顶点C ′按逆时针方向旋转角α（090α<︒≤），则下列结论： ①当30α=︒时，A ′C 与AB 的交点恰好为AB 的中点； ②当60α=︒时，A ′B ′恰好经过点B ； ③在旋转过程中，始终存在AA ′⊥BB ′．其中正确的是____________．（填写序号）第6题图第7题图DOCBA11(C' ) CB'BA'AO'OCBAD EF CBA7. 如图，O 是等边三角形ABC 内一点，且OA =3，OB =4，OC =5．将线段OB 绕点B 逆时针旋转60°得到线段O′B ，则下列结论：①△AO′B 可以由△COB 绕点B 逆时针旋转60°得到； ②∠AOB =150°；③6AOBO'S =+四边形④6AOB AOC S S +=△△ 其中正确的是____________．（填写序号）8. 如图，将长为4cm ，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN ，则线段AM 的长为__________．9. 如图，在一张矩形纸片ABCD 中，AB =4，BC =8，点E ，F 分别在AD ，BC 边上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 边上的一点H 处，点D 落在点G 处，则下列结论： ①四边形CFHE 是菱形； ②CE 平分∠DCH ；③当点H 与点A 重合时，EF= 其中正确的是____________．（填写序号）A ．B CD11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3．D 是BC 边上一动点（不与点B ，C 重合），过点D 作DE ⊥BC ，交AB 于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处．当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为________．B CFAEN MD GHFEDCBAE FD'A'CBDAABC12.13. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点B′处，将△CEF 沿EF 折叠，使点C 落在EB ′与AD 的交点C ′处．若AB =1，则BC 的长为__________．14. 如图，将边长为2的等边三角形ABC 沿BC 方向平移1个单位得到△DEF ，则四边形ABFD的周长为_________．第1题图第2题图15. 如图，已知△ABC 的面积为8，将△ABC 沿BC 方向平移到△A′B′C′的位置，使点B′和点C重合，连接AC ′，交A ′C 于点D ，则△CAC ′的面积为_________．16. 如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（） A ．格点MB ．格点NC ．格点PD ．格点Q第3题图第4题图17. 如图，已知OA ⊥OB ，等腰直角三角形CDE 的腰CD 在OB 上，∠ECD =45°，将△CDE 绕点CC'B'F ED CBAF E DC BA64⨯NMED C BOA D( B' )C'A'C B A逆时针旋转75°，点E 的对应点N 恰好落在OA 上，则的值为_________．18. 如图，E 是正方形ABCD 内一点，连接AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°至△CBE′的位置．若AE =1，BE =2，CE =3，则∠BE′C =_________．19. 如图，在□ABCD 中，∠A =70°，将该平行四边形折叠，使点C ，D 分别落在点E ，F 处，折痕为MN ．若点E ，F 均在直线AB 上，则∠AMF =________．20. 如图，在正方形纸片ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，沿过点B 的直线折叠，使点C落在EF 上，落点为N ，折痕交CD 边于点M ，BM 与EF 交于点P ，再展开．则下列结论：①CM =DM ；②∠ABN =30°；③；④△PMN 是等边三角形．其中正确的是____________．（填序号）第7题图第8题图21. 已知一个矩形纸片OABC ，OA =6，点P 为AB 边上一点，AP =2，将△OAP 沿OP 折叠，点A落在点A′处，延长PA′交边OC 于点D ，经过点P 再次折叠纸片，点B 恰好落在点D 处，则AB 的长为____________．22. 如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，点C 的对应点为点C′，折痕为EF ，则EF 的长为_________．OCCDFNM D CBA223AB CM NMPFE DCBAA'Q P DCOB AGC ′FE DC BA23. 如图，矩形纸片ABCD ，AB =5，BC =10，CD 上有一点E ，ED =2，AD 上有一点P ，PD =3，过P 作PF ⊥AD 交BC 于点F ，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q ，与AD 交于点G ，则PQ 的长为_________．24. 如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，则CD 的长为________．参考答案1. C2. 23. C4. B5.，) 6.①②③ 7. ①②④ 8.9.①③ 10. A 11. 1或2 12. (-4，4) 13.14. 8 15. 8 16. B 17.18. 135° 19. 40° 20. ②③④QGF E PD CBA DCA13cm 8221. 12 22.23.24. 4134。

初中几何竞赛考试题及答案

初中几何竞赛考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项不是三角形的内角和？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°2. 在一个圆中，如果半径为r，那么圆的面积是多少？A. πrB. πr²C. 2πrD. πr³3. 一个正方形的对角线长度是边长的多少倍？A. 1倍B. √2倍C. 2倍D. √3倍4. 如果一个矩形的长是宽的两倍，那么这个矩形的面积是其周长的多少倍？A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍5. 在一个正六边形中，每个内角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°二、填空题（每空2分，共10分）6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，那么斜边的长度是________cm。

7. 如果一个圆的直径是14cm，那么它的周长是________cm。

8. 一个正五边形的外接圆半径是r，那么正五边形的边长是________。

9. 一个等腰三角形的底边长度是10cm，如果腰长是底边的√3倍，那么腰长是________cm。

10. 一个正方体的体积是27立方厘米，那么它的边长是________cm。

三、简答题（每题5分，共20分）11. 证明：在一个直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。

12. 解释为什么在一个圆中，任意两点之间的最短路径是圆的弦。

13. 如果一个矩形的长是10cm，宽是5cm，求其对角线的长度。

14. 给定一个正三角形的边长是a，求其面积。

四、解答题（每题15分，共30分）15. 在一个正六边形中，求证其内角和为720°。

16. 给定一个圆的半径为r，求其内接正六边形的边长。

答案一、选择题1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：B4. 答案：C5. 答案：C二、填空题6. 答案：5cm（根据勾股定理）7. 答案：44cm（周长=πd）8. 答案：r√5/2（正五边形边长=外接圆半径×√5/2）9. 答案：10√3cm10. 答案：3cm（体积=边长³）三、简答题11. 证明：在直角三角形ABC中，设直角边AB=3cm，BC=4cm，斜边AC。

初中几何竞赛试题及答案

初中几何竞赛试题及答案1. 已知一个等腰三角形的顶角为120°，求底角的度数。

答案：等腰三角形的底角相等，设底角为x°，则顶角为120°。

根据三角形内角和为180°，有x + x + 120 = 180，解得x = 30°。

所以底角的度数为30°。

2. 一个圆的半径为5cm，求其周长。

答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为半径。

将半径r = 5cm代入公式，得 C = 2 × 3.14 × 5 = 31.4cm。

所以圆的周长为31.4cm。

3. 一个矩形的长是宽的两倍，若宽为4cm，求矩形的面积。

答案：设矩形的宽为4cm，则长为2 × 4 = 8cm。

矩形的面积公式为A = 长× 宽，代入数值得A = 8 × 4 = 32cm²。

所以矩形的面积为32cm²。

4. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度c满足c² = a² + b²，其中a和b分别为两条直角边的长度。

将a = 3cm和b = 4cm代入公式，得c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，所以c = √25 = 5cm。

因此，斜边的长度为5cm。

5. 一个正五边形的内角和是多少度？答案：正五边形有5个内角，每个内角的度数可以通过公式(5-2) × 180° ÷ 5计算得出。

代入数值得(5-2) × 180° ÷ 5 = 3 × 180° ÷ 5 = 540° ÷ 5 = 108°。

所以每个内角的度数为108°，正五边形的内角和为5 × 108° = 540°。

初中数学竞赛专题-第十八章几何变换的性质及应用

第十八章几何变换的性质及应用【基础知识】平面几何中的几何变换主要有合同（包括平移、旋轴、轴对称）、相似（包括位似）、仿射和反演变换．在平面到自身的一一变换下,如果任意线段的长和它的象的长总相等,那么这种变换叫做合同变换．合同变换具有下述基本性质：性质1在合同变换下,直线变为直线,线段变为线段,射线变为射线；两直线的平行性、垂直性,所成的角度都不变；共线点变为共线点,且保持顺序关系不变；直线上A 、B 、C 三点的简比ACBC不变．性质2在合同变换下,三角形、多边形和圆分别变为与它们全等的三角形、多边形和圆；封闭图形的面积不变．在平面到自身的一一变换下,若任意一对对应点A ,A '连结的有向线段等于定向量a ,则这种变换叫做平移,记为()T a ．a 叫平移向量,a 的方向叫做平移方向,其长度叫平移距离．在平面到自身的一一变换下,若每对对应点A ,A '所连结的线段,都被定直线l 所垂直平分,则这种变换叫做关于直线l 的轴对称或轴反射,记为()S l ．直线l 叫做对称轴或反射轴,点A '叫做点A 关于轴l 的对称点．在平面到自身的一一变换下,若任意一对对应点A ,A '与平面上一定点O 的距离总相等,且AOA '∠等于定角θ,这种变换叫做关于点O 的旋转,记为(),R O θ．点O 叫做旋转中心,θ叫做旋转角．特别地,旋转角180θ=︒的旋转变换称为中心对称变换或点反射,记为()(),180C O R O =︒．性质3在平移变换下,直线（线段）变成与它平行（或重合）的直线（线段）；在轴对称变换下,P 为对称轴l 上任一点,则一对对应点所成的角APA '∠被l 所平分；在旋转变换下,对应直线的交角总等于旋转角；在中心对称变换下,对应点连线段过对称中心且被它平分,对应线段相等且反向平行或共线,不过对称中心的直线与其对应的直线平行．在平面到自身的一一变换下,若线段A B ''是AB 的象,且A B AB k ''=∶（k 为正的常数）,则这种变换叫做相似变换,记为()H k ．常数R 叫做相似系数或相似比．特别地,若1k =,则为合同变换；1k =-,则为中心对称变换．性质4在相似变换下,直线变为直线,线段变为线段,射线变为射线；点与直线的结合关系不变,点在直线上的顺序关系不变；直线上三点的简比不变,两直线的夹焦不变,两相似多边形面积比不变且等于相似比的平方．在平面到自身的一一变换下,若对于任一对对应点A ,A '与平面上一定点O ,都有OA OA k '=∶（k 为非零常数）,则这种变换叫做位似变换,记为H （O ,k ）．点O 叫做位似中心,k 叫做位似比．特别地,当0k >时,A ,A '在点O 同侧,这种变换叫顺（或正或外）位似；0k <时,A ,A '在点O 两侧,这种变换叫逆（或反或内）位似．性质5在位似变换下,对应线段之比相等,对应角相等且转向相同；不过位似中心的对应直线平行．在平面到自身的一一变换下,若对于任一对对应点A ,A '与平面上一定点O ,都有OA OA k '=∶（k 为正的常数）,且AOA θ'∠=（θ为有向的定角）,则这种变换叫做位似旋转变换,记为(),,S O k θ．点O 叫做位似中心,k 叫做位似比,θ叫做旋转角,且()()()()(),,,,,,S O k H O k R O R O H O k θθθ=⋅=⋅；()(),0,,S O k H O k =；()(),,,S O k H O k π=-；()(),,1,S O R O θθ=．性质6在位似旋转变换下,把两个相似形中的一个变到另一个；具有共同中心的两个位似旋转变换之积仍是一位似旋转,即有()()()11221212,,,,,,S O k S O k S O k k θθθθ⋅=+⋅．在平面到自身的一一变换下,若满足任意共线三点的对应点仍共线,且其三点的简比保持不变,则称此变换为仿射变换．显然,若建立平面坐标系,仿射坐标系与直角坐标系的差别就在于两轴间的夹角及轴上单位长度不相同．若两轴夹角仍为90︒,则称为伸缩变换：()()12,,x y k x k y →,其中10k >,20k >．性质7在仿射变换下,点变成点,直线变成直线；保持点和直线的结合关系；保持直线的平行关系；保持两平行（共线）线段的长度比；任一封闭凸曲线所围成的图形的面积S 和它对应图形所围成的面积S '之比为常数．性质8在仿射变换下,任一三角形变成正三角形；梯形变为等腰梯形；任一平行四边形变成正方形；任一椭圆变为圆,相应地椭圆中心变成圆心,椭圆直径变成圆的直径,椭圆的切线变成圆的切线．设O 是平面上一定点,对于一个变换,若任一对对应点A ,A '（异于O ）,都有OA OA k ⋅=（k 为非零常数）,则称此变换为反演变换,记为I O k （，）．O 点称为反演中心,k 为反演幂．显然,0k <时,A ,A '在点O 两侧,可经以O 为中心对称变换变成0k >的情形．故只考虑0k >的情形,且令2k r =．此时,反演变换的几何意义为,满足“以O 为圆心,r 为半径的圆中直角三角形的射影定理形式：22r OP OA OA '==⋅”的图形,并称这个圆叫反演变换的基圆．性质9在反演变换下,基圆上的点仍变为自己；基圆内的点（除中心外）变为基圆外的点．反之亦然．性质10在反演变换下,过反演中心的直线是不变直线（除中心）；过反演中心的圆变为不过反演中心的直线；过反演中心的相切两圆（或一圆一直线）变为不过反演中心的两平行直线；过反演中心的两相交圆变为不过反演中心的相交直线．反之亦然．性质11在反演变换下,不过反演中心的圆变为不过反演中心的圆；以反演中心为圆心的圆变为同心圆；不过反演中心相切（交）的圆变为不过反演中心的相切（交）的圆；不共线的任意两对对应点必共圆；圆和圆、圆和直线、直线和直线的交角保持不变．【典型例题与基本方法】例1如图18-1,设A ',B ',C '分别是ABC △的边BC ,CA ,AB 的中点,1O ,2O ,3O ,1I ,2I ,3I 分别是AB C ''△,A BC ''△,A B C ''△的外心和内心．求证：123123O O O I I I △≌△．证明由三角形中位线性质,知C B B A AC ''''==,故()T AC AB C C A B '''''−−−→△△．于是()12T AC O O '−−−→,()12T AC I I −−−→,所以1212O O AC I I '==．同理,1313O O I I =,2323O O I I =．故123123O O O I I I △≌△．例2设DPQ △是锐角ABC △的垂足三角形（即D ,P ,Q 分别为三条高线的垂足）．求证：DPQ △是ABC △中周长最短的内接三角形．证明由题设,如图18-2,AD ,BP ,CQ 分别是DPQ △的内角平分线．图18-2D "D 'R"R'F EDABCRQP ST令DEF △是ABC △中以D 为一顶点的任一内接三角形,且()S ABD D '−−−→,()S ACD D ''−−−→,则D ',D ''落在直线PQ 上,且D Q DQ '=,D P D P ''=,线段D D '''之长等于DPQ △之周长．连D E ',D F '',刚折线D EFD '''之长等于DEF △之周长,显然D D D E EF FD ''''''++≤．不难计算2sin D D AD BAC '''=⋅∠．若RST △是ABC △的任一内接三角形,则用类似方法可以证得RST △的周长大于或等于2sin AR BAC ⋅∠．由于AR AD ≥,从而RST △的周长DPQ ≥△的周长,即垂足三角形DPQ △的周长最短．例3在ABC △内有一点P ,满足120APB BPC CPA ∠∠=∠=︒=．求证：P 是到三顶点距离之和最小的点（即费马点）．图18-3Q Q 'P'ABCEP证明由120CPA BPC ∠=∠=︒,故对APC △施行旋转变换(),60R C -︒,则(),60R C APC EP C -︒'−−−−→△△．由于60P PC PP C ''∠=∠=︒,则B ,P ,P ',E 共线,且 BE BP PP P E BP CP AP ''=++=++．对于ABC △内任一点Q ,令(),60R C AQC EQ C -︒'−−−−→△△,则QQ QC '=,Q E QA '=,于是QA QB QC Q E QQ QB BF BP CP AP ''++=++=++≥,故P 点是到三顶点距离之和最小的点．例4如图18-4,在ABC △中,AB AC >,A ∠的一个外角的平分线交ABC △的外接圆于点E ,过E 作EF AB ⊥,垂足为F ．求证：2AF AB AC =-．（1989年全国高中联赛题）图18-4F EDA BCT证明1902AEF BAE BAC ∠=︒∠=∠-．作A 关于F 的对称点D ,则AED CAB ∠=∠,且EA ED =．又EB EC =（因EBC EAT EAB ∠=∠=∠）,则EB EC =,且CEB CAB AED ∠∠=∠=,所以可将AEC △绕E 点旋转AED ∠到DEB △处,从而AC DB =．故2AB AC AD AF -==．例5如图18-5,ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形,现固定ABC △,而将ADE △绕A 点在平面上旋转,试证：不论ADE △旋转到什么位置,线段EC 上必有点M 使BMD △为等腰直角三角形．（1987年全国高中联赛题）图18-5A'E 1C 1EDABCM证法1先证BMD △为等腰直角三角形,再证M 为EC 上．作A 关于BD 的对称点A ',则ADB AD B '∠∠=．由902ADE BDM ∠=︒-∠, 有|45|9045|EDM A DM A DB ADB ''∠∠=︒-∠︒-︒-∠==|．而DA DA DE '==,则A '是E 关于DM 的对称点．同理,A '也是C 关于BM 的对称点．从而EM D A M D '∠=∠,CMB A MB '∠∠=,而90BMD ∠=︒,故180CME ∠=︒,即M 在BC 上．证法2先取EC 中点M ,再证BMD △为等腰直角三角形．作AC 关于AB 的对称线段1AC ,连1BC ,1EC ,将1AC E △绕A 点顺时针方向旋转90︒到1ACE △的位置如图18-5,则11C E CE ⊥,11AC E ACE △≌△,且1190C AC EAE ∠=∠︒=,从而由1AE AE =有1ADE ADE ∠=∠,即知E ,D ,1E 三点共线且D 为1EE 中点．再由112BM C E ∥,112DM CE ∥及1C E 1CE ,即证．例6如图18-6,在锐角ABC △的BC 边上有两点E ,F ,满足BAE CAF ∠∠=,作FM AB ⊥于M ,作FN AC ⊥于N ,延长AE 交ABC △的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与ABC △的面积相等．图18-6LFE DABC M NK（2000年全国高中联赛题）证明作DK AB ⊥于K ,作DL AC ⊥于L ,则只需证明 FBM FCN FDM FDN S S S S +=+△△△△．利用FDM FKM S S =△△,FDN FLN S S =△△,只需证明FBM PCN FKM FLN S S S S +=+△△△△,即FM BM FN CN FM MK FN NL ⋅+⋅=⋅+⋅．因此,只需证明()()FM BM MK FN NL CN -=-,即FM BK FN CL ⋅=⋅．设BAE CAF α∠=∠=,利用BKD CLD △∽△,有 ()sin sin BK DK FNCL DL A FM αα===-．故结论成立．例7如图18-7,1O 与2O 外切于点A ,半径分别为1r 和2r ,PB ,PC 分别为1O ,2O 的切线,B ,C 为切点,且12PB PC r r =∶∶,又PA 交2O 于E 点．求证：PAB PEC △∽△．图18-7证法1（相似证法）连线1BO ,1PO ,2PO ,2EO ,2CO ．注意到1O ,A ,2O 三点共线,由12PB PC r r =∶∶有12Rt Rt PBO PCO △∽△,从而1212PO PO O A O A =∶∶．由角平分线性质定理的逆定理,知12BPO O PA ∠=∠．又22O AP O EA ∠=∠,有12O AP O EP ∠=∠,从而12O AP O EP △∽△,则12PA PE r r =∶∶,即PA PE PB PC =∶∶．而BPA CPE ∠=∠,故PAB PEC △∽△．证法2（位似证法）考虑以A 为位似中心的变换,把1O 变到2O ,PAB △变到P AC ''△,则P C ''切2O 于C '．由12PB P C r r PB PC ''==∶∶∶,知P C PC ''=．延长P C ''与PC 的延长线相交于点Q ,如图18-7,由QC QC '=,知PQP '△为等腰三角形．连2QO 并延长交AE 于F ,则QF AE ⊥,故QF 平分AE ,则AP PE '=．由此知PEC P AC PAB '△≌△∽△．例8如图18-8,设H 为ABC △的垂心,L ,M ,N 分别是BC ,CA ,AB 边的中点．D ,E ,F 分别是三条高的垂足,P ,Q ,R 分别是HA ,HB ,HC 的中心,试证：L ,M ,N ,D ,E ,F ,P ,Q ,R 九点共圆（九点圆定理）．图18-8BC证明由于P ,Q ,R 分别是HA ,HB ,HC 的中点,故以H 为位似中心,位似比为2的位似变换把PQR 变成ABC ．因此,要证L ,M ,N ,D ,E ,F 在PQR 上,只要证明这些点在上述位似变换下的象点均在ABC 上即可．作()C D H D '−−−→,()C L H L '−−−→,则D ',L '在ABC 上．同理E ,M ,F ,N 的象点也在ABC 上．再由上述位似变换之逆即证得结论成立．例9如图18-9,2AB CD ∥,1AC BD ∥,A 在12D D 上．求证：122ABC ABCD ACD S S S =⋅△△△．图18-945°45°MD 2'D 1'C 'B'A'D 2ABCD 1证明因为梯形是仿射不变形,所以题设中的两个梯形可由两个特殊梯形经仿射变换后得到,设梯形2C B A D ''''和梯形1C B D A ''''皆为直角梯形,且221C D D A MB '''''===．梯形2A D C B ''''−−−→仿射梯形2AD CB ,梯形1A C B D ''''−−−→仿射梯形1ACBD ,则112A B C S A B MC ''''''=⋅=△,11122A B D S A B A D '''''''=⋅=△,212A C D S '''=△．从而122A B C A B D A C D S S S '''''''''=⋅△△△．故122ABC ABD ACD S S S ⋅△△△=．例10在凸四边形ABCD 的边AB 和BC 上取点E 和F ,使线段DE 和DF 把AC 三等分,已知ADE △和CDF △的面积等于四边形面积的14．求证：ABCD 是平行四边形．（第16届全俄竞赛题）证明题中条件与结论均满足仿射变换不变性特性．将ABC △变换成图18-10所示直角三角形,设3AB BC ==,则()3,0A ,()0,3C ,()2,1P ,()1,2Q ．图18-10DO ABCEFP Qxy设(),D a b 为所求,则直线DE 的方程为()1122b y x a --=--．令0y =得221E ax b -=+-．于是11232221ADE D a S AE y b b -⎛⎫=⋅=--⋅ ⎪-⎝⎭△ 1321a b b b +-=⋅⋅-．同理,得1321CDF a b S a a +-=⋅⋅-△．()11333222ABD BCD ABCD S S S b a a b =+=⋅⋅+⋅⋅=+△△四边形．由已知易得()131313212142a b a b b a a b b a +-+-⋅⋅=⋅⋅=⋅+--．解得3a b ==．即33D （，）,故ABCD 为平行四边形．例11如图18-11,H 是ABC △的垂心,P 是ABC △内任一点,由H 分别向PA ,PB ,PC 引垂线HL ,HM ,HN 与BC ,CA ,v 的延长线相交于X ,Y ,Z ,其中L ,M ,N 为垂足．求证：X ,Y ,Z 三点共线．图18-11PXYZ L DH AC EF MN证明由于H 是一特殊点,将其作为反演中心,则只须证X ,Y ,Z 的象点（或反点）与H 共圆．设ABC △的高线分别交BC ,CA ,AB 的垂足为D ,E ,F ,则HA HD HB HE HC HF ⋅=⋅=⋅．又A ,D ,L ,X 共圆,有HL HX HA HD ⋅=⋅．同理,H M H Y H B H E ⋅=⋅,HN HZ HC HF ⋅=⋅．以H 为反演中心,则L 与X ,N 与Z ,M 与Y 均为反点．又L ,P ,N ,H 共圆,L ,P ,M ,H 共圆,有L ,N ,M ,H 共圆,故X ,Z ,Y 三点共直线．例12如图18-12,四边形ABCD 内接于圆O ,对角线AC 与BD 相交于P ．设三角形ABP ,BCP ,CDP 和DAP 的外接圆心分别是1O ,2O ,3O ,4O ．求证：OP ,13O O ,24O O 三直线共点．图18-12（1990年全国高中联赛题）证明由于本题涉及的圆很多,于是可考虑反演变换．取P 为反演中心,P 关于圆O 的幂为反演基圆半径,则圆O 反演为本身,()1,2,3,4i O i =反演为四边形ABCD 各边所在直线,过点P 的直线也反演为本身．由直线2PO 与2O 正交,可知它们的反形也正交,即2PO AD ⊥．又易知4O O AD ⊥,所以24PO O O ∥．同理,42PO O O ∥．所以24PO OO 为平行四边形,PO ,24O O 互相平分．同理,PO ,13O O 也互相平分,命题得证．【解题思维策略分析】1．注意同一类变换的多次运用例13如图18-13,凸四边形ABCD 的边是位于形外的、两两相似的等腰APB △、BQC △,CRD △、DSA △的底边．已知PQRS 是矩形,且PQ QR ≠．证明：ABCD 是菱形．图18-13FSPQRD OABCE（第15届全俄第三阶段赛题）证明设这些相似的等腰三角形的顶角为θ（90≠︒）．考虑一系列的旋转变换：点A 绕点P 转θ角到点B ,点B 绕点Q 转θ角到点C ,合成为点A 绕点E 转2θ角到点C ．同理点C 绕点F 转2θ角到点A ,其中12EPQ PQE FRS RSF θ∠=∠=∠=∠=．从而EA EC =,FA FC =,2180AEC AFC θ∠=∠=≠︒．于是AEC AFC △≌△,AECF 是菱形．又由于PQ SR =,则PEQ SFR △≌△．因此,E ,F 在矩形PQRS 的中位线上,从而AC 被该中位线垂直平分于矩形中心O 点．同理BD 也被矩形PQRS 的另一中位线垂直平分于矩形中心O 点．故ABCD 是菱形．若90θ=︒,则E ,F 都与矩形PQRS 的中心O 重合,且90POQ ROS ∠=∠=︒,从而知PQRS 是正方形,矛盾．所以90θ≠︒．例14设ABCDEF 是凸六边形,AB BC CD ==,DE EF FA ==,60BCD EFA ∠=∠=︒,G ,H 是六边形内两点,使120AGB DHE ∠=∠=︒．求证：AG GB GH DH HE CF ++++≥．（IMO -36试题）证明如图18-14,分别以AB ,DE 为边向六边形外作正ABM △和DEN △,将AGB △绕A 逆时针方向旋转60︒到AG M '△,则AGG '△为正三角形．故AG GG '=,GB G M '=．图18-14FCH 'ENH DG 'MABG同样,将EHD △绕E 点顺时针方向旋转60︒到EH N '△,则EHH '△为正三角形,于是EH HH '=,HD H N '=．连MN ,则多边形AMBCDEF 关于轴BE 对称,MN CF =．另一方面,由“两点间线段最短”有 AG GB GH DH HE MG G G GH HH H N MN CF '''''++++=+++=+≥． 2．注意几类变换的配合运用例15平面上有两个直角三角形,其斜边上的中线互相平行,证明：一个三角形的一条直角边与另一个三角形的某条直角边之间的（小于直角的）夹角小于两条斜边之间的夹角．（第19届全俄竞赛题）证明平行移动两个给定的Rt ABC △和Rt A B C '''△中的一个,使两三角形的直角顶点C 与C '重合,并以点C 为中心,作位似变换,使得两三角形的中线重合,如图18-15．那么以E 为圆心,CE 为半径的圆将外接这两个三角形,并且它们斜边之间的夹角是圆心角,而它是相应的圆周角的两倍,这圆周角是直角边之间（小于直角）的夹角（图中2AEA ACA ''∠=∠）,注意到上述的平移及位似变换均不改变直线间的夹角,于是结论获证．图18-15A BC =C 'EB'A'例16如图18-16,ABC LMN △∽△,且AC BC =,LN MN =,顶点按逆时针顺序排列,并在同一平面内,而且AL BM =．证明：CN 平行于AB 和LM 中点的连线．图18-16N LM（第19届全俄第3阶段竞赛题）证明平移线段AB 到QM ,因AL BM =,BM AQ =,则AL AQ =,即ALQ △为等腰三角形．若F 为LQ 的中点,则AF LQ ⊥．设E 为LM 的中点,D 为AB 的中点,则FE 是QLM △的中位线,1122FE QM AB AD ===及FE QM AD ∥∥,因此AFED 是平行四边形,即AF DE ∥,AF DE =．又AF LQ ⊥,故DE LQ ⊥．平移ABC △,使A 点重合于F 点,D 点重合于E 点,则C 点移到G 点,ADC FEG △≌△,AF CG DE ∥∥及CG DE =．由ADC LEN △∽△,得FEG LEN △∽△且FE CELE NE=．又因90GEF NEL ∠=∠=︒,故GEN LEF ∠=∠,进而FEL ∠可由GEN ∠绕E 点逆时针旋转90︒并经位似变换而得到．由此得GN LF ⊥,即GN LQ ⊥．又GC LQ ⊥,即G ,C ,N 都在垂直于LQ 的一条直线上,因此,CN AF ∥,亦即CN DE ∥,原命题得证．【模拟实战】习题A1．给定以O 为圆心,AB 为直径的半圆周,在其上取点K 和M ,在直径上取点C ,使得KCA MCB ∠=∠．证明：K ,C ,O ,M 四点共圆．（第18届全俄竞赛题）2．在ABC △中,AB AC =．任意延长CA 到P ,再延长AB 到Q ,使AP BQ =．求证：ABC △的外心O 与A ,P ,Q 四点共圆．（1994年全国初中联赛题） 3．在半径为1的圆周上给定弦AB ,不与圆相交的直线l 与弦AB 成45︒．用圆规和直尺在直线l 上作出点C ,使得线段DE 与AB 垂直（C ,E 分别是CA ,CB 与圆的交点）．（第16届全俄竞赛题） 4．ABC △中,2AB AC ==,BC 边—上有100个不同的点1P ,2P ,…,100P ,记2(1,2,,10)i i i i m AP BP PC i =+⋅=,求12100m m m +++的值．（1990年全国初中联赛题）5．从以AD 为直径的半圆周上的点B ,C 分别作BE ,CF 垂直于AD 于E ,F ．线段AC 与BD 相交于P ,线段BF 与CE 相交于Q ．求证：直线PQ AD ⊥．（第17届全俄第3阶段竞赛题）6．设两个等圆相交,由其对称中心引出两条射线,它们交圆周于不在同一直线上的四点．证明：这四点共圆．（第19届全俄竞赛题） 7．在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上分别取异于顶点的点K ,L ,M ,N ．已知KL MN ∥,KM NL ⊥于O ．证明：KM 和LN 的交点在矩形的对角线BD 上．（第25届全苏竞赛题）8．ABC △的中线AE ,BF 和CD 相交于M ．已知E ,C ,F 和M 共圆,且CD n =．求线段AB 的长度．（第18届全俄竟赛题）9．等边ABC △和KMN △（顶点按逆时针顺序）在同一平面内,且AK NB =．证明：线段CM 和AN 互相垂直,且CMAN=（第19届全俄竞赛题） 10．运用位似旋转变换证明例5． 11．四边形ABCD 中,以一对对边的比AB CD ∶内分另一对对边AD ,BC 于E ,F ,延长BA ,CD 与EF 的延长线分别相交于G ,Q ．试证：BGF FQC ∠=∠． 12．四边形ABCD 的对边AD ,BC 延长交于E ,AB ,CD 延长交于F ．O 为其对角线交点,过O 作AB 的平行线OQ 交EF 于Q ．求证：OG GQ =．习题B1．已知平面上三个半径相等的圆1O ,2O ,3O 两两相交于A ,B ,C ,D ,E ,F ,如图18-17．证明：弧AB ,CD ,EF 的和等于180︒．图18-172．如图18-18,111A B C △,在ABC △内,且111ABC A B C △∽△．作1B D AC ⊥于D ,1C E AB ⊥于E ,1A F BC ⊥于F ．求证：1112ABC A F BC B D AC C E AB S ⋅+⋅+⋅=△．图18-18D A BCE C 1B 1A 13．设D 是锐角ABC △内部的一点,使得90ADB ACB ∠∠+︒=,并有AC BD AD BC ⋅=⋅．（1）计算比值AB CDAC BD⋅⋅；（2）求证：ACD △的外接圆和BCD △的外接圆在C 点的切线互相垂直．（IMO34-2试题）4．BK 是锐角ABC △的高,以BK 为直径作圆分别交AB ,BC 于E ,F ．过E ,F 分别引所作圆的切线．证明：两切线的交点在过顶点B 的ABC △的中线所在的直线上．（第21届俄罗斯竞赛题）5．在梯形ABCD 中,腰AB CD =．将ABC △绕点C 转过一个角度,而得到A B C ''△．证明：线段A D ',BC 和B C '的中点共线．（第23届全苏竞赛题） 6．111A B C △是不等边锐角ABC △的垂足三角形,2A ,2B ,2C 是111A B C △的内切圆分别切11B C ,11C A ,11A B 的切点．证明：222A B C △与ABC △的欧拉线重合．（第7届巴尔干地区竞赛题）7．在钝角ABC △（C ∠为钝角）的BC 边上选取点D （异于B ,C 点）．过线段BC （异于D ）的内点M 引直线AM ,交ABC △的外接圆S 于点N ．经过点M ,D 和N 作圆,交圆S 于N 及另一点P ,问点M 在何位置时,线段MP 的长度最短？（第22届全苏竞赛题）8．ABCD 是一个四边形,且BC AD ∥,M 是CD 的中点,P 是MA 的中点,Q 是MB 的中点,直线DP ,CQ 交于点N ．求证：点N 不在ABM △外部的充要条件是上下底边长之比在1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．（IMO -35预选题）9．在ABC △中,12AB =,16AC =,M 是BC 的中点,E ,F 分别在AB ,AC 上,EF 交AM 于G ,且2AE AF =．求比值EFGF．（IMO -29预选题） 10．三个全等的圆有一个公共点Q ,并且都在一个已知三角形内,每一个圆与三角形的两条边相切,求证：三角形的内心I ,外心O 与已知点Q 共线．（IMO -22试题） 11．123A A A △是一个非等腰三角形,它的边长分别为1a ,2a ,3a ,其中i a 是i A 的对边（123i =，，）,i M 是边i a 的中点,123A A A △的内切圆I 切边i a 于i T 点,i S 是i T 关于i A ∠的平分线的对称点．求证：11M S ,22M S ,33M S 三直线共点．（IMO -23试题）12．设A 是两个不相等的,分别以1O 与2O 为圆心而共面的圆1C 与2C 的两个不同交点之一,一条外公切线切1C 于1P ,切2C 于2P ；另一条公切线切1C 于1Q ,切2C 于2Q ．设1M 是11PQ 的中点,2M 是22P Q 的中点．证明：1212O AO M AM ∠∠=．（IMO -24试题）13．已知两相切圆1C ,2C ,点P 在根轴上,即与两圆连必线垂直的公切线上．试用圆规和直尺作所有的圆C ,使得C 与1C ,2C 相切,且过P 点．（1991年亚太地区竞赛题）14．给定两个圆,其中一个圆在另一个内部,且两圆相切于点N ．外圆的弦BA 和BC 分别与内圆相切于点K 和M ．外圆的弦BA 和BC 分别与内圆相切于点K 和M ．设不包含点N 的弧AB 和BC 的中点分别是Q 和P ．BQK △和BPM △的外接圆的第二个交点为1B ．证明：1BPB Q 为平行四边形．（第26届俄罗斯竞赛题）15．四边形ABCD 外切于圆ω,边AB 和CD 所在的直线相交于点O ．圆1ω与边BC 相切于点K ,且与边AB 和CD 所在的直线都相切；圆2ω与边AD 相切于点L ,且亦与边AB 和CD 作在的直线都相切,现知点O ,K ,L 共线,证明：边BC 和AD 的中点以及圆ω的圆心三点共线．（第26届俄罗斯竞赛题）第十八章几何变换的性质及应用习题A1．若C 与O 重合,则结论显然成立．今设C 与O 不重合,将半圆以直径为轴,对称变换成整圆,设K ',M '为K ,M 关于AB 的对称点,则K ',C ,M 共线,K ,C ,M '也共线．1(2M KCM KM ∠=+)K M KOM ''=∠．故K ,C ,O ,M 共圆．2．等腰ABC △的外心O 在顶角平分线上,而顶角平分线又是ABC △的对称轴,以AO 为轴作AOQ △的对称AOR △,则,OQA ORA AQ AR ∠=∠=．由AB AC =,有CR AR AC AQ AB BQ AP =-=-==．连OC ,OP ,设OM 是等腰OAC △的对称轴,则OM 垂直平分AC （M 为垂足）．于是MR MC CR MA AP MP =+=+=,从而OMR △与OMP △关于OM 为轴对称,所以OPA ORA ∠=∠．又已证ORA OQA ∠=∠,所以OPA OQA ∠=∠,故O ,A ,P ,Q 四点共圆．3．设直线AB 与l 的交点为P ,过P 作直线m AB ⊥,分别作出A ,B 关于l 的对称点1A ,1B ,则1A ,1B 在m 上．连1AB 交l 于C ,则C 点为所求．设CB ,CA 与圆的交点为E ,D ．由对称性,知11A B C ABC ∠=∠．又CDE ABC ∠=∠,所以,11A B C CDE ∠=∠,DC m ∥,从而DE AB ⊥．4．将i ABP △绕A 点逆时针旋转i ACP '△处,使AB 重合于AC ．因180i i APC APC '∠+∠=︒,故A ,i P ,C ,i P '共圆．设AC ,i i PP '交于D 点．由i APD △∽i ACP △∽i PCD '△,知2i AP AD AC =⋅,i i PCPC '⋅= DC AC ⋅,于是22()4i i i i m AP BP PC AD DC AC AC =+⋅=+⋅==,故12100400m m m +++=．5．易知90ABD ACD ∠=∠=︒．分别过P ,Q 引KL ,MN 垂直于BE 交BE 于K ,N ,交CF 于L ,M ．显然,它们也垂直于,CF MN KL =．由BKP △∽AEB △,KP BP BE AB =；ABP △∽DCP △,BP CPAB DC=；PCL △∽CDF △,CP PL DC CF =．于是KP PL BE CF =,即KP BEPL CF=．又BQE △∽FQC △,有BE MQ CF QN =（相似三角形对应高的比等于相似比）,于是KP MQ PL QN =,故11KP MQ PL QN +=+,即KL MNPL QN =,故PL QN =．因此PQ AD ⊥．注：此题中,若P 为直线AB 与DC 的交点,可类似证明,得到PQ AD ⊥．6．设这两个等圆的对称中心为O ．从O 引出的两条射线分别交圆周于1A ,2A 及1B ,2B ,如图所示．又3A ,3B 及4B 分别是2B ,1A 及2A 关于O 点的对称点,由对称性知2313B B A A =,从而321312A A A B B B ∠=∠,即122211A A B B B A ∠=∠,所以1A ,1B ,2A ,2B 四点共圆．对于右图情形,有1323A A B B =,从而321213A A A B B B ∠=∠．而122321180A A B A A A ∠=︒-∠,因此,312B B B ∠122180A A B +∠=︒,故1A ,1B ,2B ,2A 四点共圆．7．由MN KL ∥,有MNO OLK ∠=∠,NMO LKO ∠=∠,从而ONM △∽OLK △,即有MO NOOK OL=．又OMD OKB ∠=∠,OND OLB ∠=∠,因此OMDN 和OKBL 关于O 点为中心位似,所以点D ,O ,B 在一直线上．结论证毕．注：题中条件KM NL ⊥可省略；当ABCD 为平行四边形时结论亦成立．8．以C 为位似中心,2为位似比作位似变换,则E B →,F A →．四边形ECFM 的外接圆变为ABC △的外接圆,并且点M 变为点G 在ABC △的外接圆上．由CM ∶2MD =∶1,CM MG =,知MD DG ==3n ．由相交弦定理及BD DA =,有BD DA CD DG ⋅=⋅,即23n BD n =⋅,即BD =亦即AB =． 9．由AK NB =知ANBK 是平行四边形．因此,等边三角形的边AB ,NK 互相平分于点P ,从而CP PA ⊥,CD 及PM NP ⊥,PM =．今以P 点为中心,先作按顺时针方向旋转90︒的变换,再作位似比为的位似变换,于是A 点变为C点,N 点变为M 点,从而线段AN 变为线段CM ．因此AN CM ⊥且CM ．10．设ADE △在旋转过程中的任一位置如图195-．考虑这样两个位似旋转变换：(,45,S E ︒和(,45,S C ︒．在前一个变换下,点D 变到A ,EC 的中点M 变到M '．在第二个变换下,点A 变到点B ,点M '变到M ．因此M 是两个变换的复合的不变点．由于(,45,(,45,S E S C ︒⋅︒= (,90,1)S M ︒．在这个复合变换下点D 变到B ,所以90DMB ∠=︒．又DM BM =,由此即证得命题成立．11．由于要证明的两角在两个三角形中,且题设中有线段的比内分不在一条直线上两线段,条件较分散,须作辅助线将条件集中．不妨连BD ,则(,)(,),CDCDH B H D AB CDAB CDC F A E ++−−−−−→−−−−−−→．假设(,)ABH B AB CDD P +−−−−−→,则,BP AB DP CD BD AB CD DB AB CD==++．（*）故(,)CDH D AB CDB P +−−−−−−→．因为在位似变换下,直线变成与它平行的直线,则,PF CD PE AB ∥∥,从而PEF BGF ∠=∠,PFE ∠=FQC ∠．又,BF BP PF DE DP PE BC BD CD DA DB AB ====,由此两式相除,得AB PF BP CD PE DP ⋅=．又BP AE ABPD ED CD==,则1PFPE=,从而PEF PFE ∠=∠．故BGF FQC ∠=∠． 12．设直线QGO 交AD 于R ,交EB 于P ,作位似变换：(,),,,,ER H E EAA B F R P Q −−−−→；(,),,COH C CAA B F O −−−−→,,P G ；(,),,,,DB H D DAA B F R O G −−−−→,则RQ RP AF AB =,RO RG AB AF =,OP OGAB AF=．由GO RQ RG RQ RG RP RO OP OGAF AF AF AF AB AB AB AF -==-=-==,故OG GQ =．习题B 1．连1AO ,2AO ,1BO ,2CO ,2DO ,3EO ,3FO ,易知21AO DO 为平行四边形,即21O D AO ∥．同理,有31O E BO ∥,32O F CO ∥．于是,分别将2O ,3O 平移使之与1O 重合．设21()O O CD C D ''−−−−→平移,31()O O EF E F ''−−−−→平移,则1,,A O D '共线,1,,B O E '共线,1,,C O F ''共线,由此即知12AO B CO D ∠+∠3111180EO F AO B C O D E O F ''''+∠=∠+∠+∠=︒．即证．2．将111A B C △绕1A 点旋转α角到1A B C ''△的位置,使1AC AB '∥,则111sin C E C E AC α''=+⋅,1B D = 11sin B D A B α''-,于是11111111(sin )(A F BC B D AC C E AB A F BC B D A B AC C E AC α''''⋅+⋅+⋅=⋅+-⋅++⋅ 111111sin ()sin AB A F BC B D AC C E AB AC AB A B AC αα'''')⋅=⋅+⋅+⋅+⋅-⋅⋅．由ABC △∽111A B C △,有1111AB ACA B A C =,即11110AC AB A B AC ⋅-⋅=．又因为1B D A D ''''=,1E C A E ''''=,从而11A F BC B D AC ⋅+⋅+ 11112ABC C E AB A F BC A D AC A E AB S ''''⋅=⋅+⋅+⋅=△（其中C E AB ''⊥于E ',1A E AB ''⊥于E '',1A D AC''⊥于D '',B D AC ''⊥于D '）．3．（1）由ADB ACB CAD CBD ∠=∠+∠+∠,知90CAD CBD ∠+∠=︒．将D 、B 旋转90︒到E ,则由ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠及已知90ADB ACB ∠=∠+︒知CBE ∠= 90CBD CAD ︒-∠=∠．又BC BC AC BE BD AD ==（因AC BD AD BC ⋅=⋅）,知BCE △∽ACD △,从而ACBC=CD CE ,ACD BCE ∠=∠,则ACB DCE ∠=∠,于是又有ABC △∽DEC △,即有AB ACDE CD =,而2BE BD =,则2AB CD AC BD ⋅=⋅,故2AB CDAC BD⋅=⋅．（2）ACD △的外接圆在C 点的切线与CD 夹角等于CAD ∠（弦切角与圆周角）,BCD △的外接圆在C 点的切线与CD 夹角等于CBD ∠,且两切线在CD 不同侧,故它们的夹角等于90CAD CBD ∠+∠=︒,即两切线互相垂直．4．若证踢类似结论：对于以B力位似中心,与以BK 为直径的圆位似的圆也有类似的性质,则原命题的结论即可成立．设ABC △的三条高AM ,BK ,CL 相交于点H ,则以BH 为直径的O 与以BK 为直径的圆位似,且O 过点M ,L ．由OM OM =,有90OMB OBM ACB ∠=∠=︒-∠．设N 为AC 的中点,连MN ,则90AMN MAN ACB ∠=∠=︒-∠,从而AMN OMB ∠=∠．于是OMN ∠= 90OMA AMN OMA OMB AMB ∠+∠=∠+∠=∠=︒,所以MN 是O 的切线．同理可证LN 也是O 的切线．由位似图形性质的对称性,以BK 为直径的圆也有同样的性质．5．将BCB '△沿DC 平移至EFG △,那么以D 为中心,位似比为2,将BC ,B C '和A D '的中点变到E ,G 到A '．由图形的对称性可知,EC CA ECB CAD BCA =∠=∠=∠,所以BC EA ⊥,从而EA EF ⊥．1(1802)2AEG FEG ∠=︒-∠（因EA EF ⊥）12EFG =∠（因EF BC B C GF '===）1122BCB ACA ''=∠=∠（因BCB B CA ACA B CA ''''∠+∠=∠+∠）AEA '=∠（因E ,A ,A '在以C 为圆心的同一圆上）．所以E ,G ,A '共线,因而在上述位似变换下,它们的原象：BC 的中点,B C '的中点,DA '的中点也共线． 6．设H 为ABC △的垂心,由11190BA H BC H CB H ∠=∠=∠=︒,知1A ,B ,1C ,H 和1A ,C ,1B ,H 分别四点共圆,因此,111111BAC BHC B HC B AC ∠=∠=∠=∠,从而1111119090C A H BAC B AC ∠=︒-∠=-∠= 11B A H ∠,即1A H 平分111B AC ∠．同理,11,B H C H 也平分111111,A B C AC B ∠∠,故H 是111A B C △的内心（此可由垂心性质直接得H 为其内心）．从而H 也是222A B C △的外心．由1212,A B AC 分别是111A B C △内切圆的切线,22,B H C H 分别是内切圆的半径,所以1212A B AC =,2B H 2C H =,从而122A H B C ⊥,但1A H BC ⊥,从而22B C BC ∥．同理,22A B AB ∥,22A C AC ∥．由于ABC △与222A B C △的边对应平行,因此它们是位似形．于是这两个三角形的欧拉线（对应的线）或者平行或者重合．由于ABC △的垂心即222A B C △的外心,而这一点分别在这两个三角形的欧拉线上,所以这两个三角形的欧拉线重合．7．过点A 引AK CB ∥,交圆S 于点K ,延长KD ,交圆S 于点0P ．现证明：对每一个符合条件的点M ,点P 和0P 重合．（i ）当点0N P ≠时,设点N 在00()P B CP 内,由A ,K ,N ,0P 共圆,知0ANP ∠与0AKP ∠相等（相补）,由CB AK ∥,有00MDP AKP ∠=∠,则0MNP ∠与0MDP ∠相筹（相补）,因此,M ,D ,N ,0P 共圆,0P P =．（ii ）当点0N P =时,以点0P 为位似中心,将点K 变为点D ,直线0AP 变换为自身．由CB AK ∥,所以线段AK 变换为线段MD ,即点A 变换为点M ,于是圆S 就变换为三角形NMD 的外接圆,因为0P 为位似中心,所以这两圆只有一个公共点,0P P =．所以,所要求的点M 的位置应是点0P 在BC 的射影．因为A ∠是锐角,所以该射影在线段BC 内．又因为KDC KBC ACB ∠>∠=∠,所以KDC ∠为钝角,故点0P 在BC 上的射影不会与点D 重合．8．题中条件及结论均满足伸缩变换的不变特性．设AB 中点为R ,将AMR △变换为以R 为直角顶点的等腰直角三角形,建立仿射坐标系,(0,0)M ．可设(2,2)A ,(2,0)R ,(2,2)B -,(,2)C a --,(,2)D a ,则(1,1),(1,1)P Q -．由直线DP ：211(1)1y x a --=--和CQ ：2(1)1(1)1y x a ---+=---的方程联立,解得2(2,)N a a --,点N 在ABM △之外的充要条件是：。

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练(附答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题提升训练（附答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为线段AB上一点，线段CD绕点C 逆时针旋转90°能与线段CE重合，点F为AC与BE的交点．（1）若BC＝5，CE＝4，求线段BD的长；（2）猜想BD与AF的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）设CA＝3DA＝6，点M在线段CD上运动，点N在线段CA上运动，运动过程中，DN+MN的值是否有最小值，如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．2．阅读下列材料，并完成相应的学习任务：图形旋转的应用图形的旋转是全等变换（平移、轴对称、旋转）中重要的变换之一，利用图形旋转中的对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变等性质，可以将一般图形转化成特殊图形，从而达到解决问题的目的．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，且AC＝4，BC＝3．过点E作互相垂直的两条直线，即EF⊥ED，EF交AC于点F，ED交BC于点D，求四边形EFCD 的面积．分析：将∠FED以点E为旋转中心顺时针旋转，使得旋转后EF的对应线段所在直线垂直于AC，并且交AC于点M，旋转后ED的对应线段所在直线交BC于点N．则容易证明四边形MENC为正方形．因为∠EMF＝∠END＝90°，ME＝NE，∠MEF＝∠NED，所以△MEF≌△NED，所以S四边形EFCD＝S正方形MENC．学习任务：（1）四边形EFCD的面积等于；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，①作出△ABC的外接圆O；②作∠ACB的平分线，与⊙O交于点D．要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹．（3）在（2）的基础上，若BC+AC＝14，则四边形ACBD的面积等于．3．△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，点E为AD的中点．（1）如图1，将AE绕点A顺时针旋转60°至AF，连接EF交AB于点G，求证：G为EF中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△AEF绕点A顺时针旋转，旋转角为α，连接BE，H为BE的中点，连接DH，GH．当30°＜α＜120°时，猜想∠DHG的大小是否为定值，并证明你的结论．（3）在△AEF绕点A顺时针旋转过程中，H为BE的中点，连接CH，问线段CH何时取得最大值，请说明理由，并直接写出此时△ADH的面积．4．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，CD是边AB上的高线，E是AC上一点，连接BE，交CD于点F．（1）如图1，若∠ABE＝15°，BC＝+1，求DF的长；（2）如图2，若BF＝AC，过点D作DG⊥BE于点G，求证：BE＝CE+2DG；（3）如图3，若R为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△BRH，M 为RH的中点．在（2）的条件下，将△CEF绕点C旋转，得到△CE'F'，E，F的对应点分别为E'，F'，直线MF'与直线AB交于点P，tan∠ACD＝，直接写出当MF'取最小值时的值．5．如图1，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B逆时针旋转一定的角度α得到△A1BC1．（1）若α＝90°，则AA1的长为．（2）如图2，若0°＜α＜90°，直线A1C1分别交AB，AC于点G，H，当△AGH为等腰三角形时，求CH的长．（3）如图3，若0°＜α＜360°，M为边A1C1的中点，N为AM的中点，请直接写出CN的最大值．6．问题发现：（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，点D为AB上一点，且AD＝2DB，过点D作DE∥BC，填空：＝，＝；类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A逆时针旋转得到△AMN，连接DM，BM，EN，CN，请求出，的值；拓展延伸：（3）如图3，△ABC和△DEF同为等边三角形，且AB＝3EF＝6，连接AD，BE，将△DEF绕AC（DF）的中点O逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中BE﹣AD的最大值．7．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，P A＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数．【数学思考】当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．【尝试解决】（1）将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP'B，连接PP'，则△APP'为等边三角形．∵P'P＝P A＝3，PB＝4，P'B＝PC＝5，∴P'P2+PB2＝P'B2，△BPP'为三角形，∴∠APB的度数为．（2）如图2，在等边三角形ABC外部有一点P，若∠BP A＝30°，求证：P A2+PB2【类比探究】＝PC2．【联想拓展】（3）如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点P在直线BC上方且∠APB＝45°，PC＝BC＝2，求P A的长．8．如图（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC；AE是过A的一条直线，且B，C 在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．（1）求证：BD＝DE+CE；（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE，CE的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE在不同位置时BD与DE，CE的数量关系．9．（1）如图1，等腰直角△ABC，∠B＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，作DE垂直DF交BC于点F，求证：DE＝DF．（2）如图2，等腰直角△ABC，∠B＝90°，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF，求证：点F在线段BC上；（3）如图3，直角△ABC，点D为AC的中点，点E为边AB上的一点，线段DE绕着点D逆时针旋转90°得到线段DF，若AB＝6，BC＝8，①直接写出线段EF＝时，BE的长；②直接写出△ACF是等腰三角形时，BE的长；③直接写出△BEF面积的最大值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣4，0），点B（0，3），△ABO绕点B顺时针旋转，得△A'BO'，点A、O旋转后的对应点为A'、O'，记旋转角为α．（1）如图①，α＝90°，边OA上的一点M旋转后的对应点为N，当OM＝1时，点N 的坐标为；（2）在（1）的条件下，当O'M+BN取得最小值时，在图②中画出点M的位置，并求出点N的坐标．（3）如图③，P为AB上一点，且P A：PB＝2：1，连接PO'、P A'，在△ABO绕点B顺时针旋转一周的过程中，△PO'A'的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．11．如图①，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D在AB边上，过点D作DE⊥AC于点E，取BC边的中点F，连接DF并延长到点G，使FG＝DF，连接CG．（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答．）问题发现：（1）填空：CE与CG的数量关系是，直线CE与CG所夹的锐角的度数为．探究证明：（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图②所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；问题解决：（3）若AB＝4，AD＝3，将△ADE由图①位置绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜180°），当△ACE是直角三角形时，请直接写出CG的值．12．如图，两直角三角形ABC和DEF有一条边BC与EF在同一直线上，且∠DFE＝∠ACB ＝60°，BC＝1，EF＝2．设EC＝m（0≤m≤4），点M在线段AD上，且∠MEB＝60°．（1）如图1，当点C和点F重合时，＝；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点C逆时针旋转，当点A落在DF边上时，求的值；（3）当点C在线段EF上时，△ABC绕点C逆时针旋转α度（0＜α＜90°），原题中其他条件不变，则＝．13．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，连接DE，将△AED 沿直线AE翻折得到△AEF（点D与点F为对应点），连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G．（1）如图1，求证：四边形DFEG为平行四边形；（2）如图2，连接CF，若tan∠ABE＝，在不添加任何辅助线与字母的情况下，请直接写出图2中所有正切值等于2的角．14．在△ABC中，∠BAC＝90°，点E为AC上一点，AB＝AE，AG⊥BE，交BE于点H，交BC于点G，点M是BC边上的点．（1）如图1，若点M与点G重合，AH＝2，BC＝，求CE的长；（2）如图2，若AB＝BM，连接MH，∠HMG＝∠MAH，求证：AM＝2HM；（3）如图3，若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN，请直接写出∠AMH、∠NAE、∠MNE之间的角度关系．15．（1）如图1．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝8，BC＝6，点D、E分别在边CA，CB上，且CD＝3，CE＝4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是．（提示：延长CF到点M，使FM＝CF，连接AM）（2）将△DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将△DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为．16．在△ABC和△AEF中，∠AFE＝∠ABC＝90°，∠AEF＝∠ACB＝30°，AE＝AC，连接EC，点G是EC中点，将△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图1，若E恰好在线段AC上，AB＝2，连接FG，求FG的长度；（2）如图2，若点F恰好落在射线CE上，连接BG，证明：GB＝AB+GC；（3）如图3，若AB＝3，在△AEF旋转过程中，当GB﹣GC最大时，直接写出直线AB，AC，BG所围成三角形的面积．17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AB，BC上运动，将线段DE绕点E按顺时针方向旋转90°得到线段EF．（1）如图1，若D为AB中点，点E与点C重合，AF与DC相交于点O，求证：OE＝OD；（2）如图2，若点E不与C，B重合，点D为AB中点，点G为AF的中点，连接DG，连接BF，判断线段BF，CE，AD的数量关系并说明理由；（3）如图3，若AB＝4，AD＝3BD，点G为AF的中点，连接CG，∠GDE＝90°，请直接写出CE的长．18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（x，y）中的横坐标x与纵坐标y 满足+|y﹣8|＝0，过点A作x轴的垂线，垂足为点D，点E在x轴的负半轴上，且满足AD﹣OD＝OE，线段AE与y轴相交于点F，将线段AD向右平移8个单位长度，得到线段BC．（1）直接写出点A和点E的坐标；（2）在线段BC上有一点G，连接DF，FG，DG，若点G的纵坐标为m，三角形DFG 的面积为S，请用含m的式子表示S（不要求写m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S＝26时，动点P从D出发，以每秒1个单位的速度沿着线段DA向终点A运动，动点Q从A出发，以每秒2个单位的速度沿着折线AB→BC向终点C运动，P，Q两点同时出发，当三角形FGP的面积是三角形AGQ面积的2倍时，求出P点坐标19．如图：直线l1：y＝﹣x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线l1翻折后，设点O的对应点为点C，已知双曲线y＝（x＞0）经过点C．（1）求点A，B的坐标．（2）求k的值．（3）将直线l1绕着点A逆时针旋转得到直线l2．直线l2与y轴交于点B′，将△AOB′沿直线l2翻折得到△AB′C'，当四边形OAC′B′为正方形时停止转动，求转动过程中点C运动到点C′的路径长．20．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段AB，AC上，且∠C＝∠AED＝90°．（1）观察猜想小华将△ADE绕点A逆时针旋转，连接BD，CE，如图（2），当BD的延长线恰好经过点E时，①的值为；②∠BEC的度数为度；（2）类比探究如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转△ADE，连接BD，CE，设BD的延长线交CE于点F，请求出的值及∠BFC的度数，并说明理由．（3）拓展延伸若AE＝DE＝，AC＝BC＝，当CE所在的直线垂直于AD时，请你直接写出BD 的长．参考答案1．解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC,BC＝5,∴AB＝AC＝BC＝5,由旋转知，CD＝CE＝4,在Rt△ADC中，AD＝＝＝,∴BD＝AB﹣AD＝5﹣；(2)猜想：BD＝2AF,理由：如图1，延长BA至G，使AG＝AB，连接EG，则CG＝CB,∴∠ABC＝∠AGC,在Rt△ABC中，AB＝AC,∴∠ABC＝45°,∴∠AGC＝45°,∴∠BCG＝90°,由旋转知，CD＝CE,∠DCE＝90°＝∠BCG,∴∠BCD＝∠GCE,∴△BCD≌△GCE(SAS),∴BD＝GE,∠CBD＝∠CGE＝45°,∴∠BGE＝∠CGB+∠CGE＝90°＝∠BAC,∴AC∥GE,∴,∴＝,∴EG＝2AF,∴BD＝2AF；(3)存在，如图2，延长DA至P，使AP＝AD，∵∠BAC＝90°,∴点P,点D关于AC对称，∴MN+DN＝MH+PN,过点P作PH⊥CD于H,要使MN+DN最小，则点P,N,M在同一条线上，且PM⊥CD，即MN+DN的最小值为PH，∵CA＝3DA＝6，∴AD＝2,∴DP＝2AD＝4,CD＝＝＝2,连接CP，∴S△CDP＝DP•AC＝CD•PH,∴PH＝＝＝,即DN+MN的最小值为．2．解：（1）如图1中，∵EC平分∠ACB，EM⊥AC，EN⊥BC，∴EM＝EN，∵∠EMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形EMCN是矩形，∵EM＝EN，∴四边形EMCN是正方形，设正方形的边长为m，则×AC×BC＝×AC×m+×BC×m，解得m＝，∵EF⊥ED∴∠MEN＝∠FED＝90°，∴∠MEF＝∠NDF，∵∠EMF＝∠END＝90°，∴△EMF≌△END（AAS），∴S四边形EFCD＝S正方形EMCN＝，故答案为：；（2）①如图2中，⊙O即为所求作．②如图2中，射线CD即为所求作．（3）如图2中，过点D作DM⊥CB交CB的延长线于M，DN⊥AC于N．∵∠DMC＝∠DNC＝∠MCN＝90°，∴四边形DMCN是矩形，∵DC平分∠ACB，DM⊥CB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∴四边形DMCN是正方形，∴CM＝CN，∵∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴DB＝DA，∵DM＝DN，∠DMB＝∠DNA＝90°，∴Rt△DMB≌Rt△DNA（HL），∴BM＝AN，S四边形ACBD＝S正方形DMCN，∴AC+BC＝CM﹣BM+CN﹣AN＝2CM＝14，∴CM＝7，∴S四边形ACBD＝49．故答案为：49．3．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，∵∠EAF＝60°，∴∠GAE＝∠GAF＝30°，∵AE＝AF，∴FG＝EG．（2）解：结论：∠EHD＝120°，是定值．理由：如图2中，连接BF，CE．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BH＝EH，∴DH∥EC，∴∠HDB＝∠ECB，∵FG＝GE，EH＝HB，∴GH∥BF，∴∠EHG＝∠EBF，∵∠EAF＝∠BAC＝60°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABF，∵∠EHD＝∠HDB+∠HBD，∴∠DHG＝∠EHG+∠EHD＝∠EBF+∠HDB+∠HBD＝∠ABF﹣∠ABE+∠ECB+∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ECB+∠ABD＝∠ACB+∠ABC＝120°．（3）解：如图3中，取AB的中点N，连接AH，HN，CH，CH交AD于M，过点H作HT⊥AD于T．∵EH＝BH，AN＝BN，∴NH为△ABE的中位线，∴HN＝AE＝，∴点H在以N为圆心，为半径的圆上，当C，N，H共线时，CH的值最大，∵△ABC是等边三角形，∴CN⊥AB，∴∠ACM＝∠MCB＝30°，∵AD＝2，∴CN＝AD＝2，在Rt△CMD中，CD＝2，∠MCD＝30°，∴CM＝＝，∴MN＝CN﹣CM＝，∴HM＝HN+MN＝+＝，∴HT＝HM•sin60°＝，∴S△ADH＝•AD•HT＝．4．（1）解：如图1中，过点F作FH⊥BC于H．∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠DBC＝45°，∴∠DCB＝90°﹣45°＝45°，∵FH⊥CH，∴∠FHC＝90°，∴∠HFC＝∠HCF＝45°，∴CH＝FH，设FH＝CH＝m，∵∠ABE＝15°，∴∠FBC＝45°﹣15°＝30°，∴BH＝HF＝m，∴m+m＝+1，∴m＝1，∴CF＝CH＝，∵CD＝BC＝，∴DF＝CD﹣CF＝﹣＝．（2）证明：如图2中，连接DE，过点D作DH⊥DE交BE于H．∵∠ADC＝∠FDB＝90°，DB＝DC，BF＝AC，∴Rt△BDF≌Rt△CDA（HL），∴∠DBF＝∠ACD，∵∠BFD＝∠CFE，∴△BFD∽△CFE，∴＝，∴＝，∵∠DFE＝∠BFC，∴△DFE∽△BFC，∴∠DEF＝∠BCF＝45°，∵DH⊥DE，∴∠HDE＝90°，∴∠DHE＝∠DEH＝45°，∴DH＝DE，∵∠BDC＝∠EDH＝90°，∴∠BDH＝∠CDE，∵DB＝DC，DH＝DE，∴△BDH≌△CDE（SAS），∴BH＝EC，∵DH＝DE，DG⊥EH，∴GH＝EG，∴DG＝EH，∴BE＝BH+HE＝EC+2DG．（3）解：如图3中，过点M作MJ⊥BC于J，过点P作PK⊥BC于K．∵△BHR，△DBC都是等腰直角三角形，∴∠DBC＝∠HBR＝45°，∴∠HBC＝90°，∵∠H＝∠HBJ＝∠MJB＝90°，∴四边形BHMJ是矩形，∴BH＝MJ，HM＝BJ，∵BH＝HR，HM＝MR，∴MJ＝2BJ，∴tan∠MBJ＝＝2，∴点M的在射线BM上运动，∴当C，F′，M共线，且CM⊥BM时，F′M的值最小．设AD＝m，∵tan∠ACD＝＝，∴CD＝BD＝3m，DF＝AD＝m，CF＝CF′＝2m，BC＝3m，∵∠CMB＝90°，tan∠CBM＝＝2，∴BM＝m，CM＝m，∴BJ＝HM＝m，JM﹣BH＝HR＝m，∴MR＝m，设BK＝PK＝n，CK＝2n，∴n＝m，∴BK＝PK＝m，CK＝2m，PC＝m，∴PF′＝PC﹣CF′＝m﹣2m，∴＝＝．5．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，CB＝3，∴AB＝＝＝5，∵α＝90°，∴△ABA1是等腰直角三角形，AA1＝AB＝5．故答案为：5．（2）如图2﹣1中，当AG＝AH时，∵AG＝AH，∴∠AHG＝∠AGH，∵∠A＝∠A1，∠AGH＝∠A1GB，∴∠AHG＝∠A1BG，∴∠A1GB＝∠A1BG，∴AB＝AG＝5，∴GC1＝A1G﹣C1G＝1，∵∠BC1G＝90°，∴BG＝＝＝，∴AH＝AG＝AB﹣BG＝5﹣，∴CH＝AC﹣AH＝4﹣（5﹣）＝﹣1．如图2﹣2中，当GA＝GH时，过点G作GM⊥AH于M．同法可证，GB＝GA1，设GB＝GA1＝x，则有x2＝32+（4﹣x）2，解得x＝，∴BG＝，AG＝5﹣＝，∵GM∥BC，∴＝，∴＝，∴AM＝，∵GA＝GH，GM⊥AH，∴AM＝HM，∴AH＝3，∴CH＝AC﹣AM＝1．综上所述，满足条件的CH的值为﹣1或1．（3）如图3中，取AB的中点J，连接BM，CJ，JN．∵AJ＝BJ，∠ACB＝90°，∴CJ＝AB＝，∵BC1＝BC＝3，MC1＝MA1＝2，∠BC1M＝90°，∴BM＝＝＝，∵AJ＝BJ，AN＝NM，∴JN＝BM＝，∵CN≤CJ+JN，∴CN≤，∴CN的最大值为．6．解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，，∵AD＝2DB，∴AB＝AD+DB＝3DB，∵DE∥BC，∴，∵，∴，即，∴，故答案为：，．（2）由旋转性质可知：AD＝AM，AE＝AN，∠BAM＝∠CAN，∵，∠BAM＝∠CAN，∴△ABM∽△ACN，∴，∠ABM＝∠ACN，∵，∠ABM＝∠ACN，∴△DBM∽△ECN，∴．（3）如图3中，连接OB，OE，由三线合一性质可知∠BOC＝∠DOE＝90°，∴∠BOD＝∠COE，∴∠AOB+∠BOD＝∠BOC+∠COE，即∠AOD＝∠BOE，∵，∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△BOE，∴，∵AB＝3EF＝6，∴，，在△BOE中，由三边关系可得，BE＜BO+OE，当B、O、E三点共线时，BE存在最大值为，∵，∴当BE存在最大值时，BE﹣AD的最大值＝．7．（1）解：如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．∵PP′＝P A＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．故答案为：直角；150°．（2）证明：如图2中，将△P AB绕点B逆时针旋转60°得到△TCB，连接PT．∵BP＝BT，∠PBT＝60°，∴△PBT是等边三角形，∴PT＝PB，∠PTB＝60°，由旋转的性质可知：△P AB≌△TCB，∴∠APB＝∠CTB＝30°，P A＝CT，∴∠PTC＝∠PTB+∠CTB＝60°+30°＝90°，∴PC2＝PT2+CT2，∵PB＝PT，P A＝CT，∴P A2+PB2＝PC2．（3）解：过点C作CT⊥PB于T，连接AT，设CT交AB于O．∵PC＝BC＝2，CT⊥PB，∴PT＝BT，∵∠CAO＝∠BTO＝90°，∠AOC＝∠BOT，∴∠ACT＝∠ABP，∠ATC＝∠ABC＝45°，∵∠CTB＝90°，∴∠ATP＝∠CTA＝∠APT＝45°∵AC＝AB，∴△CAT≌△BAP（AAS），∴CT＝PB＝2PT，∵PC2＝PT2+CT2，∴（2）2＝m2+（2m）2，解得m＝2或﹣2（舍弃），∴PT＝2，∴P A＝PT＝．8．解：（1）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，AD＝EC，∴BD＝DE+CE．（2）∵BD⊥AE，CE⊥AE，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠EAC+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝DE﹣CE．（3）同（2）的方法得出，BD＝DE﹣CE．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B，C在AE的同侧时，BD＝DE﹣CE．当B，C在AE的异侧时，BD＝DE+CE．9．（1）证明：如图1中，连接BD．∵△ABC是等腰直角三角形，AD＝DC，∴BD⊥AC，BD＝DA＝DC，∴BD⊥AC，∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠BDC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC，∵∠DBE＝∠C＝45°，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴DE＝DF．（2）证明：如图2中，连接DB，CF．∵∠BDC＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠CDF，∵DB＝DC，DE＝DF，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴∠DBE＝∠DCF＝45°，∴点F在线段BC上．（3）①如图3﹣1中，过点D作DT⊥AB于T．∵∠ATD＝∠ABC＝90°，∴DT∥CB，∵AD＝DC，∴AT＝TB＝3，∴DT＝BC＝4，∵△DEF是等腰直角三角形，EF＝，∴DE＝DF＝，∴ET＝＝＝1，∴BE＝TB+ET＝3+1＝4，当点E在点T的下方时，BE＝3﹣1＝2，综上所述，满足条件的BE的值为4或2．②如图3﹣2中，∵△ACF是等腰三角形，又∵AD＝DC＝DF，∴∠AFC＝90°，∴△AFC是等腰直角三角形，∴点E与A重合，∴BE＝6．③如图3﹣3中，过点D作DT⊥AB于T，过点F作FR⊥DT于R．∵∠DTE＝∠FRD＝90°，∠EDT＝∠DFR，DE＝DF，∴△DTE≌△FRD（AAS），∴ET＝DR，DT＝FR＝4，设ET＝DR＝m，则RT＝4﹣m，∴S△EFB＝（3+m）（4﹣m）＝（﹣m2+m+12）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴△BEF的面积有最大值，最大值为．10．解：（1）∵点A（﹣4，0），点B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由旋转的性质可知，BO＝BO′＝3，OM＝O′N＝1，∠OBO′＝90°，∴N（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．（2）如图②中，∵BM＝BN，∴O′M+BN＝O′M+BM，作点B关于OA的对称点B′，连接O′B′交OA于M，连接BM，O′M+BM的值最小．∵O′（﹣3，3），B′（0，﹣3），∴直线O′B′的解析式为y＝﹣2x﹣3，∴M（﹣，0），∴O′N＝OM＝，∴N（﹣3，）．（3）存在．理由：如图③﹣1中，当点O′落在AB的延长线上时，△PO′A′的面积最大．由题意，OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝＝5，∴P A：PB＝2：1，∴PB＝，∴PO′＝PB+PO′＝，∴△PO′A′的面积的最大值＝×4×＝．如图③﹣2中，当点O′落在AB上时，△PO′A′的面积最小，最小值为×4×（3﹣）＝．11．解：（1）如图①中，过点D作DT⊥BC于T．∵DE⊥AC，∴∠DEC＝∠ECT＝∠DTC＝90°，∴四边形ECTD是矩形，∴DT＝EC，DT∥AC，∴∠TDB＝∠A＝30°，∴DT＝BD，∵FC＝FB，∠CFG＝∠BFD，FG＝FD，∴△CFG≌△BFD（SAS），∴CG＝BD，∠FCG＝∠B＝60°，∴EC＝CG，∴∠ACG＝90°+60°＝150°，∴直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°，故答案为：EC＝CG，30°．（2）成立．理由如下：连接CD，BG，延长BD交CE的延长线于H，设BH交AC于点O．在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝30°，∴cos∠BAC＝＝，cos∠EAD＝＝，∠EAC＝∠DAB，∴＝＝，∴△ACE∽△ABD，∴＝＝，∠ACE＝∠ABD，∵∠HOC＝∠AOB，∴∠H＝∠OAB＝30°，∵CF＝FB，DF＝FG，∴四边形DCGB是平行四边形，∴CG＝BD，CG∥BH，∴∠1＝∠H＝30°，∴EC＝CG，直线CE与CG所夹的锐角的度数为30°．（3）如图③﹣1中，当∠AEC＝90°时，由题意AC＝AB＝2，AE＝AD＝，∴EC＝＝＝，∴CG＝EC＝，如图③﹣2中，当∠EAC＝90°时，可得EC＝＝，∴CG＝EC＝5．综上所述，CG的值为或5．12．解：（1）由题意得，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BC＝1，∴AC＝2，BC＝，在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，∠DCE＝60°，EF＝2，∴DC＝4，DE＝2，∴∠DCA＝180°﹣∠DCE﹣∠ACB＝60°，∴AC＝EF，∠DCE＝∠DCA，DC＝DC，∴△DEF≌△DAC（SAS），∴AD＝DE＝2，∠EDC＝∠CDA＝30°，∵∠MEC＝60°，∴∠DEM＝30°，∴∠DME＝180°﹣∠DEM﹣∠EDM＝180°﹣∠DEM﹣2∠EDC＝90°，∴DM＝DE＝，∴AM＝AD﹣DM＝，∴＝1，故答案为：1；（2）如图2，连接AE，∵AC＝EF＝2，∠ACE＝60°，∴△AEC是等边三角形，∴AE＝2，∠EAC＝∠AEC＝60°，∴∠AEB+∠BEC＝∠AEC＝60°，∵∠MEB＝60°，∴∠AEB+∠MEA＝60°，∴∠BEC＝∠MEA，∵∠DAE＝∠ECB＝120°，AE＝EC，∴△AME≌△CBE（ASA），∴AM＝BC＝1，∵AD＝DC﹣AC＝2，∴DM＝AD﹣AM＝1，∴＝1；（3）如图3，过点B作BG⊥BE交EM延长线于点G，连接AG，BG，∵∠CBA＝∠EBG＝90°，∴∠EBC＝∠GBA，∵∠MEB＝∠ACB＝60°，∴，∴△ECB∽△GAB，∴，∠AGB＝∠CEB，∴AG＝m，∵∠CEB+∠DEG＝30°，∠AGB+∠EGA＝30°，∴∠AGM＝∠DEM，∴AG∥DE，∴△AGM∽△DEM，∴，∵DE＝EF＝2，∴＝＝．故答案为：．13．（1）证明：如图1中，∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴∠GDE＝∠DEF＝90°，DG＝DE＝EF，∴DG∥EF，∴四边形DFEG是平行四边形．（2）解：如图2中，设AD交BE于P，过点P作PT⊥AB于T．∵tan∠ABE＝＝，∴可以假设PT＝a，BT＝3a，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠P AT＝45°，∵PT⊥AB，∴∠ATP＝90°，∴∠P AT＝∠APT＝45°，∴AT＝PT＝a，∴P A＝a，AB＝4a，AD＝BD＝2a，∴P A＝PD＝a，∴tan∠BPD＝＝2，∵BE⊥AC，∴∠ADC＝∠PEC＝90°，∴∠EPD+∠ACD＝180°，∵∠EPD+∠BPD＝180°，∴∠BPD＝∠ACD，根据对称性可知，∠ACD＝∠ACF，∠ADF＝∠AFD，AC⊥DF，∴∠ACD＝∠ACF＝∠BPD，∵∠ADF+∠CDF＝90°，∠CDF+∠ACD＝90°，∴∠ADF＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ACF＝∠ADF＝∠AFD＝∠BPD，∴正切值等于2的角有：∠ACD，∠ACF，∠ADF，∠AFD．14．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AE，∴△BAE为等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴AH是△BAE的中线，∴BE＝2AH＝4，∵∠BEA＝45°，∴∠BEC＝135°，在△BCE中，过点C作CD⊥BE交BE的延长线于点D，如图1，∵∠DEC＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形，设ED＝x，则DC＝x，CE＝x，在Rt△BCD中，BC2＝BD2+DC2，即，∴x1＝1或x2＝﹣5（舍去），∴CE＝；（2）如图2，过H作HD⊥HM交AM于点D，连接BD，∵AB＝AE，∠BAC＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AG⊥BE，∴△ABH为等腰直角三角形，∴BH＝AH，∠BAN＝45°，∠BHA＝90°，∵AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA，∵∠HMG＝∠MAH，∴∠BAM﹣∠MAH＝∠BMA﹣∠HMG，即∠BAH＝∠AMH＝45°，∵HD⊥HM，∴△DHM为等腰直角三角形，∴DH＝HM，∠DHM＝90°，∵∠BHD＝∠BHA+∠AHD，∠AHM＝∠DHM+∠AHD，∴∠BHD＝∠AHM，在△BHD与△AHM中，，∴△BHD≌△AHM（SAS），∴∠DBH＝∠MAH，BD＝AM，∴∠BHA＝∠BDA＝90°，∵BA＝BM，∴D是AM的中点，∴AM＝2DM＝2HM，即AM＝2HM；（3）∵H是BE的中点，M是BC的中点，∴MH是△BCE的中位线，∴MH∥CE，∴∠AMH＝∠MAC，∵∠BAC＝90°，∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABM，∵点B与点N关于线段AM对称，∴∠ABM＝∠ANM，AB＝AN，∴AE＝AN，∴∠AEN＝∠ANE，在△AEN中，∠NAE+2∠ANE＝180°①，∵∠ANE＝∠ANM+∠MNE，∠ABM＝∠ANM＝∠MAB＝90°﹣∠MAC，∴∠ANE＝90°﹣∠MAC+∠MNE，∴∠ANE＝90°﹣∠AMH+∠MNE②，将②代入①，得：∠NAE+2×（90°﹣∠AMH+∠MNE）＝180°，∴∠NAE+180°﹣2∠AMH+2∠MNE＝180°，∴∠NAE+2∠MNE＝2∠AMH．15．解：（1）结论：CG⊥BD．理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．∵F A＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AMF≌△ECF（SAS），∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，∴AM∥CE，∴∠MAC＝∠DCB＝90°，∵＝＝，∴△MAC∽△DCB，∴∠DBC＝∠ACM，∵∠ACM+∠GCB＝90°，∴∠DBC+∠GCB＝90°，∴∠CGB＝90°，∴CG⊥BD．故答案为：CG⊥BD．（2）结论仍然成立．理由：延长CF到点M，使得FM＝CF，连接AM．∵F A＝FE，∠AFM＝∠EFC，FM＝FC，∴△AMF≌△ECF（SAS），∴AM＝CE＝4，∠AMF＝∠ECF，∴AM∥CE，∴∠MAC+∠ACE＝180°，∴∠MAC＝180°﹣∠ACE，∵∠DCB＝∠DCE+∠ACB﹣∠ACE＝90°+90°﹣∠ACE＝180°﹣∠ACE，∴∠MAC＝∠DCB，∵＝＝，∴△MAC∽△DCB，∴∠DBC＝∠ACM，∵∠ACM+∠GCB＝90°，∴∠DBC+∠GCB＝90°，∴∠CGB＝90°，∴CG⊥BD．（3）如图3中，当点E在线段BD上时，∵△AMC∽△CDB，∴＝＝，在Rt△DCE中，CD＝3，CE＝4，∴DE＝＝＝5，∵CG⊥DE，∴CG＝＝，在Rt△CGB中，CB＝6，CG＝中，∴BG＝＝＝，在Rt△DCG中，DG＝＝＝，∴BD＝BG+DG＝，∴CM＝BD＝，∴CF＝CM＝如图4中，当点E在线段BD的延长线上时，同法可得CF＝CM＝．综上所述，满足条件的CF的值为或．16．（1）解：如图1中，过点F作FH⊥AE于H．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠C＝30°，∴AC＝2AB＝4，BC＝AB＝2，∵AE＝EC＝AC＝2，EG＝GC，∴EG＝CG＝1，∵∠AFE＝90°，∠AEF＝30°，∴EF＝AE•cos30°＝，∴FH＝EF＝，HE＝FH＝，∴GH＝HE+EG＝，∴FG＝＝＝．（2）证明：如图2中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．∵AM＝MC，∠ABC＝90°，∴BM＝AM＝CM，∵AC＝2AB，∴AB＝AM＝BM，∴∠BAM＝∠AMB＝∠ABM＝60°，∴∠BMC＝120°，∵AE＝2AF，∠EAF＝60°，∴∠BAF＝120°+∠EAC，∵AM＝MC，EG＝GC，∴GM＝AE＝AF，GM∥AE，∴∠CMG＝∠EAC，∴∠BMG＝120°+∠CMG＝120°+∠EAC＝∠BAF，∴△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∴BG＝EF+EG＝AE+CG＝AB+CG．（3）解：如图3中，取AC的中点M，连接BM，GM，BF．在MC上取一点D，使得MD＝MG，连接DG，BD．同法可证：△BAF≌△BMG（SAS），∴∠ABF＝∠MBG，BF＝BG，∴∠FBG＝∠ABM＝60°，∴△BFG是等边三角形，∴BG＝FG，∵AM＝CM，EG＝CG，∴MG＝AE，∵AB＝3，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝6，AM＝CM＝3，∵AE＝AC＝3，MG＝，∴MD＝MG＝，∵＝＝，∠DMG＝∠GMC，∴△MDG∽△MGC，∴＝＝，∴DG＝CG，∴GB﹣CG＝GB﹣DG≤BD，∴当B，D，G共线时，BG﹣CG的值最大，最大值为BD的长，∴直线AB，AC，BG围成的三角形为△ABD，∵AD＝AM+DM＝3+＝，∴S△ABD＝××＝，∴当GB﹣GC最大时，直线AB，AC，BG所围成三角形的面积为．17．（1）证明：如图1中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，∵∠DEF＝∠ADC＝90°，DE＝EF，∴AD＝EF，∵∠AOD＝∠EOF，∴△AOD≌△FOE（AAS），∴OE＝OD．（2）解：结论：AD﹣BF＝CE．理由：如图2中，过点E作ET⊥BC交AB于T，过点T作TR⊥AC于R．则四边形ECRT 是矩形，△ART，△EBT都是等腰直角三角形，可得EC＝RT，AT＝RT＝EC．∵∠TEB＝∠DEF＝90°，∴∠TED＝∠BEF，∵ET＝EB，ED＝EF，∴△TED≌△BEF（SAS），∴DT＝BF，∵AD﹣DT＝AT，∴AD﹣BF＝CE．（3）解：如图3中，取AB的中点R，连接GR，BF，过点E作EM⊥AB于M．设GR ＝x，EM＝BM＝y．由（2）可知，△TED≌△BEF（SAS），∴∠ETD＝∠EBF＝45°，∴∠ABC＝45°，∴∠FBA＝90°，∵AG＝GF，AR＝RB＝2，∴GR∥BF，BF＝2GR＝2x，∴∠GRA＝∠FBA＝90°，∵GR⊥AB，∵AB＝4，AD＝3BD，∴AD＝3，BD＝，∴DR＝AD﹣AR＝3﹣2＝，∵∠GRD＝∠EMD＝∠EDG＝90°，∴∠GDR+∠DGR＝90°，∠GDR+∠EDM＝90°，∴∠DGR＝∠EDM，∴△DRG∽△EMD，∴＝，∴＝①又∵AD﹣BF＝CE，∴3﹣2x＝（4﹣y）②，由①②可得y＝（不合题意的解已经舍弃）．∴EC＝4﹣（）＝．18．解：（1）∵+|y﹣8|＝0，又∵≥0，|y﹣8|≥0，∴x＝2，y＝8，∴A（2，8），∵AD⊥x轴，∴OD＝2，AD＝8，∵AD﹣OD＝OE，∴OE＝6，∴E（﹣6，0）．（2）如图1中，连接OG．由题意G（10，m）．∵AD＝DE＝8，∠ADE＝90°，∴∠AED＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴OE＝OF＝6，∴F（0，6），∴S＝S△ODG+S△OFG﹣S△OFD＝×2×m+×6×10﹣×2×6＝m+24（0≤m≤8）．（3）如图2中，设FG交AD于J，P（2，t），当点P在DJ上，点Q在AB上时，当S＝26时，m＝2，∴G（10，2），∵F（0，6），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+6，∴J（2，），由题意，•（﹣t）×10＝2××2t×6，解得t＝，∴P（2，），当点P在AJ上，点Q在BG上时，同法可得，•（t﹣）×10＝2××（14﹣2t）×8，解得t＝，∴P（2，）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，）或（2，）．19．解：（1）当x＝0时，y＝6，∴B（0，6），当y＝0时，﹣x+6＝0，∴x＝6，∴A（6，0）；（2）如图1，过点C作CM⊥x轴于M，Rt△ABO中，OA＝6，OB＝6，∴AB＝＝12，∴∠ABO＝30°，由翻折得：∠ABC＝∠ABO＝30°，∠AOB＝∠ACB＝90°，AC＝OA＝6，∴∠CAM＝60°，∴∠ACM＝90°﹣60°＝30°，∴AM＝AC＝3，CM＝3，∴C（9，3），∴k＝9×3＝27；（3）分两种情况：①如图2，当点B'在y轴的负半轴上时，。

八年级数学竞赛培优专题及答案 29 几何变换

专题29 几何变换阅读与思考几何变换是指把一个几何图形1F 变换成另一个几何图形2F 的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.l图3图2图1F 1F 21.平移变换如图1，如果把图形1F 上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形2F 后，则由1F 到2F 的变换叫平移变换.平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致. 2.对称变换如图2，将平面图形1F 变换到与它成轴对称的图形2F ，这样的几何变换就叫做关于直线l （对称轴）的对称变换.对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线. 3.旋转变换如图3，将平面图形1F 绕这一平面内一定点M 旋转一个定角α，得到图形2F ，这样的变换叫旋转变换，M 叫旋转中心，α叫旋转角.旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.例题与求解【例l 】如图，∠AOB =045，角内有点P ，PO =10，在角的两边上有两点Q ，R （均不同于O ），则△PQR 的周长的最小值为_______________. （黄冈市竞赛试题）解题思路：作P 点关于OA ，OB 的对称点，确定Q ，R 的位置，化折线为直线，求△PQR 的最小值.O【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CP A的大小之比是5:6:7，则以P A，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:5:6D.不能确定（全国通讯赛试题）B C解题思路：解本例的关键是如何构造以P A，PB，PC为边的三角形，若把△P AB，△PBC，△PCA中的60，就可以把P A，PB，PC有效地集中在一起.任一个，绕一个顶点旋转0【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.（天津市竞赛试题）解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.C【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD ＞0，求证：该六边形的各角都相等.（全俄数学奥林匹克竞赛试题）解题思路：设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞0，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.【例5】已知Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB =090，∠MCN =045 （1）如图1，当M 、N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕C 点旋转，当M 在BA 的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）解题思路：222MN AM BN =+符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM 沿直线CM 对折，得△DCM . 连DN ，只需证DN=BN ，∠MDN =090；或将△ACM (或△BCM )旋转.【例6】如图，∠DAC=012，∠DBC=024，∠CAB=036，∠ABD=048，求∠DCA 的度数.（日本算术奥林匹克试题）解题思路：已知角的度数都是12的倍数，0362460+=，这使我们想到构作正三角形.A图2图1MA B B能力训练1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC 向右平移3个单位后得到△A B C '''，则BA A '∠的度数是_______.（泰安市中考试题）B(第1题) （第2题）（第3题）2.如图，P 是等边△ABC 内一点，P A =6，PB =8，PC =10，则∠APB =_________.3.如图，直线143y x =与双曲线2(0)k y k x =>交于点A ，将直线143y x =向右平移92个单位后，与双曲线2k y x =交于点B ，与x 轴交于点C . 若2AOBC=，则k =______________. （武汉市中考试题） 4.如图，△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC ，DB =3，DC =2，则△ABC 的面积是___________. 5.如图，P 为正方形内一点，若::1:2:3PA PB PC =，则∠APB 的度数是（）. A. 0120 B. 0135 C. 0145 D. 0150（第6题）（第5题）（第4题）ACB ABDABDA'6.如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线交于点O ，把边BA 、CD 分别绕点B 、C 同时逆时针旋转060，得四边形A BCD '',下列结论：①四边形A BCD ''为菱形；②12ABCD A BCD S S ''=正方形四边形；③线段OD '的1. 其中正确的结论有（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 如图，A ，B 两个电话机离电话线l 的距离分别是3米，5米，CD =6米，若由L 上一点分别向A ，B 连电话线，最短为（）.A. 11米B. 10米C. 9米D. 8米8. 如图，在△ABC 中，∠BAC =0120，P 是△ABC 内一点，若记x PA PB PC =++，y AB AC =+，则（）.A. x y <B. x y =C. x y >D. x 与y 的大小关系不确定l第8题图第7题图CB9. 如图，已知D 是△ABC 中BC 边的中点，过D 作DE ⊥DF ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，求证：BE CF EF +>.（天津市竞赛试题）DB10.如图，△ABC ，△A B C '''其各边交成六边形DEFGHK ，且EF ∥KH ，GH ∥DE ，FG ∥KD ，0KH EF FG KD DE GH -=-=->. 求证：△ABC ，△A B C '''均为为正三角形.（“缙云杯”邀请赛试题）A B C A'11.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，P ，Q 分别为AC ，AB 上的点，且AP=PQ=QB=BC ，求∠PCQ .（北京市竞赛试题）B12.如图，已知在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(2,3)A -，(4,1)B -. (1) 若(,0)P x 是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若(,0),(3,0)C a D a +是x 轴上的两个动点，当四边形ABCD 的周长最短时，求a 的值；（3）设M ，N 分别为x 轴，y 轴上的动点，问：是否存在这样的点(,0)M m 和(0,)N n ，使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出,m n 的值；若不存在，请说明理由.（浙江省湖州市中考试题）13.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，分别以两腰AB ，CD 为边向两边作正方形ABGE 和正方形DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ，求证：EP=FQ.（全国初中数学联赛试题）14.如图所示，已知Rt △ABC 中，AB=BC ，在Rt △ADE 中，AD=DE ，连结EC ，取EC 中点M ，连结DM 和BM .（1）若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图1，求证：BM=DM ，且BM ⊥DM ；（2）如图2中的△ADE 绕点A 逆时针旋转小于045的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.（广州市中考试题）图2图1ACBBCA15.如图，在△ABC 中，∠BAC =045，AD ⊥BC 于D ，若BD =3，CD =2，求△ABC 的面积.（山东省竞赛试题）B专题29 几何变换例1 210例2 A 提示：将ABP ∆绕B 点顺时针旋转︒60得CBD ∆，则ABP ∆≌CBD ∆，BPD ∆为等边三角形. 例3 提示:延长BD 至E ,使AB BE =,连接AE ,E ABC ∠=∠2.例4 提示:过E 作ER ∥,CD 过C 作CP ∥AB ,过A 作AQ ∥EF ,则PQR ∆为等边三角形.例5 (1)如图a ，由DCM ∆≌ACM ∆则AM DM AC DC ==,,,ACM DCM ∠=∠A CDM ∠=∠.又由CB CA =，得CB CD =.由DCM DCN ∠-︒=∠45,得BCN DCN ∠=∠,又CN CN =,则DCN ∆≌BCN ∆,有BN DN =,B CDN ∠=∠, ∴︒=∠+∠=∠+∠=∠90B A CDN CDM MDN ∴222DN MD MN +=即222BN AM MN +=(2)关系式: 222BN AM MN +=仍成立,方法同上,如图b 例6 如图,作ACD ∆关于AD 所在直线的轴对称图形,APD 则,12,60,APD ACD PAD CAD PAB AP AB AC ∠=∠∠=∠=∠===，连接PB ，则PAB 为正三角，得12PBD ∠=.123648,,,DAB DBA AD BD PAD PBD ∠=+==∠∴=∴≅故30.30APD BPD ACD APD ∠=∠=∴∠=∠=能力训练1. 452. 1503. 12 提示: 如图, 设4(,)3A a a 过A 作AD x ⊥轴, 交于点D , 过B 作BE x ⊥轴, 交于点E由,2AO AD OD AOD BCE BC BE CE ∴===, 则2912,,(,)23223a CE BE a B a a ==+ ,A B 都在双曲线上, 4291()3322a a a a ∴=+, 解得 123,0a a ==(舍去) 3412k ∴=⨯=4. 15 提示: 分别以,AB AC 为对称轴作D 点的对称点,E F , 连接,FC EB 相交于G , 证明四边形AFGE 为正方形5. B6. C7. B8. D9. 提示: 延长FD 至G , 使DG FD =, 连接EG10. 提示: 作//,//,//EQ FG PG KH KR DE ，交成等边三角形PQR11. 提示: 作//CD BQ , 连,PD CD ，∴四边形QBCD 为菱形, DQ QB = , 由,AP QB CD AQ PC === ,A PCD ∠=∠ 得,,DCP PAQ PD PQ QB QD ≅=== QPD ∴为等边三角形,又,CDP A PQA ∠=∠=∠2,QPC A ∠=∠360QPD A ∠=∠=20,A ∴∠=80B ACB ∠=∠=又,QB BC = 50QCB ∴∠= 30PCQ ∠=12. 提示: (1) 作(4,1)B -关于x 轴对称点'(4,1)B ,连','AB AB 交x 轴于P ,PAB 周长最短, (3.5,0)P ∴ (2) 将点(4,1)B -向左平移3个单位得1(1,1)B -，再作1B 关于x 的对称点2(1,1)B ，连2AB 交x 轴于C ，再将C 向右平移3个单位得点D ，(1.25,0), 1.25C a ∴= (3) 作点A 关于y 轴对称点'(2,3)A --,作点B 关于x 轴的对称点'(4,1)B ,连''A B 交x 轴于M , 交y 轴于N 5(2.5,0),(0,)3M N ∴-13. 提示: 过N 作'//NQ DF ,作'//,NP AE 作//,//.NS DC NR AB 由','PP N LNR RN AB AE P N ∠=∠=== 则''Rt PP N Rt LNR PP LN ≅∴= 同理可证: ''PP QQ =又 '//,'//EP AN FQ ND , 又''AN ND EP FP =∴= 从而'',''PE PP P E FQ FQ QQ =+=+则 PE FQ =(1) 11,,22BM EC DM EC BM DM ==∴= 由2BME BCM ∠=∠ 2,DME DCM ∠=∠ 2()90BMD BME DME BCM DCM ∴∠=∠+∠=∠+∠= BM DM ∴⊥(2) 延长DM 至点F ,使DM FM =,连,,BD BF FC . 可证:EMD CMF ≅,ED AD CF DEM FCN ∴==∠=∠ //ED CF延长AD ,交BC 于T ,交CF 延长线于S 90EDS CST ∠=∠= 又BTA CTS ∠=∠BAD BCF ∠=∠,,,AB CB ABD CBF BD BF ABD CBF =∴≅∴=∠=∠,又90ABD DBC CBF DBC ∠+∠=∠+∠=, BDF ∴为等腰三角形, ,BM DM BM DM ∴=⊥15. 如图, 以AB 为对称轴作ADB 的对称AGB ,以AC 为对称轴作ADC 的对称AFC ,并延长,GB FC 交于点E ,则易知四边形AGEF 是正方形, 不妨设AD h =,则2,3,BE h CE h =-=-由2222222(2)(3)5560BC BE CE h h h h =+⇒-+-=⇒--=116561522ABCh S BC AD ⇒=⇒==⨯⨯=。

初中数学竞赛中考讲义之几何三大变换之旋转

第32讲几何三大变换之旋转旋转的性质【例题讲解】例题1．如图所示，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若145AOD ∠=︒，则BOC ∠=度．【解答】解：由图145AOD ∠=︒ ，1459055AOC AOD COD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，则905535BOC ∠=︒-︒=度．故答案为：35．例题2．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，将ABC ∆绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，设CD 交AB 于F ，连接AD ，当旋转角α度数为，ADF ∆是等腰三角形．旋转中心：O旋转角：∠AOA'=∠BOB'=∠COC'性质：OA=OA'、OB=OB'、OC=OC'旋转中心：B旋转角：∠ABA'=∠CBC'性质：AB=A'B 、CB=C'B 连接AA'、CC'△ABA'∽△CBC'，且均为等腰三角形【解答】解：ABC ∆ 绕C 点按逆时针方向旋转α角(090)α︒<<︒得到DEC ∆，DCA α∴∠=，CD CA =，11(180)9022CDA CAD αα∴∠=∠=︒-=︒-，ADF ∆ 是等腰三角形，30DFA α∠=︒+，①CD CA =，则CDA CAD ∠=∠，当FD FA =，则FDA FAD ∠=∠，这不合题意舍去，②当AF AD =，ADF AFD ∴∠=∠，190302αα∴︒-=︒+，解得40α=︒；③当DF DA =，DFA DAF ∴∠=∠，13090302αα∴︒+=︒--︒，解得20α=︒．故答案为40︒或20︒．【旋转60°】得等边例题3.如图，在直角坐标系中，点A 在y 轴上，△AOE 是等边三角形，点P 为x 轴正半轴上任意一点，连接AP ，将线段AP 绕点A 逆时针60°得到线段AQ ，连接QE 并延长交x 轴于点F .（1）问∠QFP 角度是否发生变化，若不变，请说明理由；（2）若AO =，OP =x ，请表示出点Q 的坐标（用含x 的代数式表示）【解答】（1）不变（2）【旋转90°】构造全等例题4．如图，在平面直角坐标系中，点(,)A a b 为第一象限内一点，且a b <．连结OA ，并以点A 为旋转中心把OA 逆时针转90︒后得线段BA ．若点A 、B 恰好都在同一反比例函数的图象上，则b a的值等于多少？【解答】解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BD AE ⊥，90OAB ∠=︒ ，90OAE BAD ∴∠+∠=︒，90AOE OAE ∠+∠=︒ ，BAD AOE ∴∠=∠，在AOE ∆和BAD ∆中，90AOE BAD AEO BDA AO BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()AOE BAD AAS ∴∆≅∆，AE BD b ∴==，OE AD a ==，DE AE AD b a ∴=-=-，OE BD a b +=+，则(,)B a b b a +-；A 与B 都在反比例图象上，得到()()ab a b b a =+-，整理得：22b a ab -=，即2(10b b a a--=， △145=+=，∴152b a ±=，点(,)A a b 为第一象限内一点，0a ∴>，0b >，则152b a +=．故答案为152+．【旋转180°】由中心对称得平行四边形例题5．如图所示，抛物线2:(0,0)m y ax b a b =+<>与x 轴于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180︒，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ．（1）四边形11AC A C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（2）若四边形11AC A C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．【解答】解：（1）当1a =-，1b =时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+．令0x =，得：1y =．(0,1)C ∴．令0y =，得：1x =±．(1,0)A ∴-，(1,0)B ，C 与1C 关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：22(2)143y x x x =--=-+；四边形11AC A C 是平行四边形．理由：连接AC ，1AC ，11A C ，C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称，1AB BA ∴=，1BC BC =，∴四边形11AC A C 是平行四边形．（2）令0x =，得：y b =．(0,)C b ∴．令0y =，得：20ax b +=，∴x =∴(A B ，∴AB BC ===．要使平行四边形11AC A C 是矩形，必须满足AB BC =，∴=，∴24(b b b a a⨯-=-，3ab ∴=-．a ∴，b 应满足关系式3ab =-．例题6．如图1，抛物线23y ax ax b =-+经过(1,0)A -，(3,2)C 两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图2，过点(1,1)E -作EF x ⊥轴于点F ，将AEF ∆绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆（点M ，N ，Q 分别与点A ，E ，F 对应），使点M ，N 在抛物线上，求点M ，N 的坐标．【解答】解：（1）抛物线23y ax ax b =-+过(1,0)A -、(3,2)C ，03a a b ∴=++，299a a b =-+．解得12a =-，2b =，∴抛物线解析式213222y x x =-++．（2）如图2，由题意知，AEF ∆ 绕平面内某点旋转180︒后得MNQ ∆，∴设绕点I 旋转，联结AI ，NI ，MI ，EI ，AI MI = ，NI EI =，∴四边形AEMN 为平行四边形，//AN EM ∴且AN EM =．(1,1)E - 、(1,0)A -，∴设(,)M m n ，则(2,1)N m n -+M 、N 在抛物线上，213222n m m ∴=-++，2131(2)(2)222n m m +=--+-+，解得3m =，2n =．(3,2)M ∴，(1,3)N ．【旋转过后落点问题】例题7．如图，Rt ABC ∆中，已知90C ∠=︒，48B ∠=︒，点D 在边BC 上，2BD CD =，把Rt ABC ∆绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度后，如果点B 恰好落在初始Rt ABC ∆的边上，那么m =．【解答】解：当旋转后点B 的对应点B '落在AB 边上，如图1，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，48DB B B ∴∠'=∠=︒，18084B DB DB B B ∴∠'=︒-∠'-∠=︒，即84m =︒；当点B 的对应点B '落在AB 边上，如图2，Rt ABC ∆ 绕点D 逆时针旋转(0180)m m ︒<<︒度得到Rt △A B C '''，DB DB ∴'=，B DB m ∠'=，2BD CD = ，2DB CD ∴'=，90C ∠=︒ ，30CB D ∴∠'=︒，60CDB ∴∠'=︒，18060120B DB ∴∠'=︒-︒=︒，即120m =︒，综上所述，m 的值为84︒或120︒．故答案为84︒或120︒．例题8．如图，在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，点O 在AB 上，且6CA CO ==，1cos 3CAB ∠=，若将ACB ∆绕点A 顺时针旋转得到Rt △AC B ''，且C '落在CO 的延长线上，连接BB '交CO 的延长线于点F ，则BF =．【解答】解：过C 作CD AB ⊥于点D ，CA CO = ，AD DO ∴=，在Rt ACB ∆中，16cos 3AC CAB AB AB∠===，318AB AC ∴==，在Rt ADC ∆中：1cos 3AD CAB AC ∠==，123AD AC ∴==，24AO AD ∴==，18414BO AB AO ∴=-=-=，△AC B ''是由ACB ∆旋转得到，AC AC ∴='，AB AB ='，CAC BAB ∠'=∠'，1(180)2ACC CAC ∠'=︒-∠' ，1(180)2ABB BAB ∠'=︒-∠'，ABB ACC ∴∠'=∠'，∴在CAO ∆和BFO ∆中，BFO CAO ∠=∠，CA CO = ，COA CAO ∴∠=∠，又COA BOF ∠=∠ （对顶角相等），BOF BFO ∴∠=∠，14BF BO ∴==．故答案为：14．例题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线26(0)y mx mx n m =++>与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线BC 交y 轴于E ，且ABC ∆与AEC ∆这两个三角形的面积之比为2:3．（1）求点A 的坐标；（2）将ACO ∆绕点C 顺时针旋转一定角度后，点A 与B 重合，此时点O 的对应点O '恰好也在y 轴上，求抛物线的解析式．【解答】解：（1）如图1，抛物线26(0)y mx mx n m =++>∴对称轴3x =-，当:2:3ABC AEC S S ∆∆=时，:2:1ABC AEB S S ∆∆∴=，过点C 作CF x ⊥轴于F ，:2:1CF OE ∴=易知，BFC BOE ∆∆∽，::2:1BF OB CF OE ∴==，1OB ∴=，2BF =，5OA ∴=，(5,0)A ∴-，(1,0)B -；（2）(1,0)B - ，06m m n ∴=-+，5n m ∴=，(3,4)C m ∴--，如图2，作CF AB ⊥于F ，CP OD ⊥于P ，则四边形CFOP 是矩形，4OP CF m ∴==，3CP OF ==，OP O P '=，28OO OP m'∴==由旋转知，5OA BO '==，在Rt BOO '∆中，1OB =，根据勾股定理得，2285126m =-=，64m ∴=263656424y x x ∴=++【旋转+“恰好”问题】例题10．如图，在直角坐标系中，直线4y =+分别与x 轴、y 轴交于点M 、N ，点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，且30B ∠=︒，4AB =，将ABO ∆绕原点O 顺时针转动一周，当AB 与直线MN 平行时点A 的坐标．【另外再可思考，当“AB 所在直线与MN 垂直时点A 的坐标”】【解答】解：①4AB = ，30ABO ∠=︒，122OA AB ∴==，903060BAO ∠=︒-︒=︒，120OAD ∴∠=︒，直线MN 的解析式为43y x =-+，30NMO ∴∠=︒，//AB MN ，30ADO NMD ∴∠=∠=︒，30AOC ∴∠=︒，112AC OA ∴==，OC ∴==∴点A 的坐标为，1)；② 图②中的点A 与图①中的点A 关于原点对称，∴点A 的坐标为：(，1)-，故答案为：，1)、(1)-．例题11．在平面直角坐标系中，已知O 为坐标原点，点(3,0)A ，(0,4)B ，以点A 为旋转中心，把ABO ∆顺时针旋转，得ACD ∆．记旋转角为α．ABO ∠为β．（Ⅰ）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当旋转后满足//BC x 轴时，求α与β之间的数量关系：（Ⅲ）当旋转后满足AOD β∠=时，求直线CD 的解析式（直接写出结果即可）．【解答】解：（1）点(3,0)A ，(0,4)B ，得3OA =，4OB =，∴在Rt AOB ∆中，由勾股定理，得225AB OA OB =+=，根据题意，有3DA OA ==．如图①，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，则//MD OB ，ADM ABO ∴∆∆∽．有AD AM DM AB AO BO==，得39355AD AM AO AB ==⨯= ，65OM ∴=，∴125MD =，∴点D 的坐标为6(5，12)5．（2）如图②，由已知，得CAB α∠=，AC AB =，ABC ACB ∴∠=∠，∴在ABC ∆中，1802ABC α∴=︒-∠，//BC x 轴，得90OBC ∠=︒，9090ABC ABO β∴∠=︒-∠=︒-，2αβ∴=；（3）若顺时针旋转，如图，过点D 作DE OA ⊥于E ，过点C 作CF OA ⊥于F ，AOD ABO β∠=∠= ，3tan 4DE AOD OE ∴∠==，设3DE x =，4OE x =，则43AE x =-，在Rt ADE ∆中，222AD AE DE =+，2299(43)x x ∴=+-，2425x ∴=，96(25D ∴，72)25，∴直线AD 的解析式为：247277y x =-，直线CD 与直线AD 垂直，且过点D ，∴设724y x b =-+，把96(25D ，72)25代入得，72796252425b =-⨯+，解得4b =，互相垂直的两条直线的斜率的积等于1-，∴直线CD 的解析式为7424y x =-+．同理可得直线CD的另一个解析式为7424y x=-．【巩固练习】1．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ．将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ．若10BC =，9BD =，则AED ∆的周长是．2.如图一段抛物线：(3)(03)y x x x =--，记为1C ，它与x 轴交于点O 和1A ；将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ；将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，如此进行下去，直至得到10C ，若点(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，则m 的值为.3．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AC =，ABC ∆绕点C 顺时针旋转得△11A B C ，当1A 落在AB 边上时，连接1B B ，取1BB 的中点D ，连接1A D ，则1A D 的长度是．4．如图，AOB ∆中，90AOB ∠=︒，3AO =，6BO =，AOB ∆绕点O 逆时针旋转到△A OB ''处，此时线段A B ''与BO 的交点E 为BO 的中点，求线段B E '的值．5．如图，在直角坐标系中，直线14:83l y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，将直线1l 绕着点A 顺时针旋转45︒得到2l ．求2l 的函数表达式．6．如图，四边形ABCO 是平行四边形，2OA =，6AB =，点C 在x 轴的负半轴上，将ABCO 绕点A 逆时针旋转得到ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上，若点D 在反比例函数(0)k y x x =<的图象上，则k 的值为．7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(8,0)-，直线BC 经过点(8,6)B -，(0,6)C ，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转a 度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．在四边形OABC 旋转过程中，若使12BP BQ =？则点P 的坐标为．8．如图，在BDE ∆中，90BDE ∠=︒，BD =，点D 的坐标为(5,0)，15BDO ∠=︒，将BDE∆旋转到ABC ∆的位置，点C 在BD 上，则旋转中心的坐标为．9．已知正方形ABCD 的边长为5，E 在BC 边上运动，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，问CE =时，A 、C 、F 在一条直线上．10．如图，一次函数1(0)2y x m m =-+>的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段OA 上，点C 的横坐标为n ，点D 在线段AB 上，且2AD BD =，将ACD ∆绕点D 旋转180︒后得到△11A C D ．（1）若点1C 恰好落在y 轴上，试求n m的值；（2）当4n =时，若△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，求该一次函数的解析式．11．在ABC ∆中，5AB AC ==，3cos 5ABC ∠=，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转，得到△11A B C ．（1）如图①，当点1B 在线段BA 延长线上时．①求证：11//BB CA ；②求△1AB C 的面积；（2）如图②，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差．12．如图（1），在ABC=，动点P在线段AC上以5/cm s的速度从=，3BC cmAB cmC∆中，90∠=︒，5点A运动到点C，过点P作PD AB'，设点P的⊥于点D，将APD∆绕PD的中点旋转180︒得到△A DP 运动时间为()x s．（1）当点A'落在边BC上时，求x的值；（2）在动点P从点A运动到点C过程中，当x为何值时，△A BC'是以A B'为腰的等腰三角形；（3）如图（2），另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5/cm s的速度从点B运动到点C，过点Q 作QE AB⊥于点E，将BQE'，连结A B''，当直线A B''与ABC∆绕QE的中点旋转180︒得到△B EQ∆的一边垂直时，求线段A B''的长．13．如图，(0,2)A ，(1,0)B ，点C 为线段AB 的中点，将线段BA 绕点B 按顺时针方向旋转90︒得到线段BD ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点D ．（1）若该抛物线经过原点O ，且13a =-，求该抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，点(,)P m n 在抛物线上，且POB ∠锐角，满足90POB BCD ∠+∠<︒，求m 的取值范围．14．如图1，抛物线210y ax ax c =-+经过ABC ∆的三个顶点，已知//BC x 轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上35OA BC =，且AC BC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将AOC ∆沿x 轴对折得到1AOC ∆，再将1AOC ∆绕平面内某点旋转180︒后得△112(A O C A ，O ，1C 分别与点1A ，1O ，2C 对应）使点1A 、2C 在抛物线_P 上，求点1A 、2C 的坐标；15．点P为图①中抛物线22m>上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90︒=-+为常数，0)y x mx m m2(后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．（1）若点Q的坐标为(-，求该抛物线的函数关系式；（2）如图②，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内，是否存在这样的点P使得AGQ∆是以AG 为底的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1.【解答】解：ABC ∆ 是等边三角形，10AC AB BC ∴===，BAE ∆ 由BCD ∆逆时针旋旋转60︒得出，AE CD ∴=，BD BE =，60EBD ∠=︒，10AE AD AD CD AC ∴+=+==，60EBD ∠=︒ ，BE BD =，BDE ∴∆是等边三角形，9DE BD ∴==，AED ∴∆的周长19AE AD DE AC BD =++=+=．故答案为：19．2.【解答】解：令0y =，则(3)0x x --=，解得10x =，23x =，1(3,0)A ∴，由图可知，抛物线10C 在x 轴下方，相当于抛物线1C 向右平移3927⨯=个单位，再沿x 轴翻折得到，∴抛物线10C 的解析式为(27)(273)(27)(30)y x x x x =---=--，(28,)P m 在第10段抛物线10C 上，(2827)(2830)2m ∴=--=-．3.【解答】解：90ACB ∠=︒ ，30ABC ∠=︒，2AC =，9060A ABC ∴∠=︒-∠=︒，4AB =，BC =，1CA CA = ，1ACA ∴∆是等边三角形，112AA AC BA ===，1160BCB ACA ∴∠=∠=︒，1CB CB = ，1BCB ∴∆是等边三角形，1BB ∴=，12BA =，1190A BB ∠=︒，1BD DB ∴==，1A D ∴==，．4.【解答】解：90AOB ∠=︒ ，3AO =，6BO =，AB ∴==AOB ∆ 绕顶点O 逆时针旋转到△A OB ''处，3AO A O ∴='=，A B AB ''==，点E 为BO 的中点，116322OE BO ∴==⨯=，OE A O ∴='，过点O 作OF A B ⊥''于F ，1362A OB S OF ''=⨯=⨯⨯ ，解得655OF =，在Rt EOF ∆中，5EF ==，OE A O =' ，OF A B ⊥''，22A E EF ∴'==（等腰三角形三线合一），B E A B A E ∴'=''-'=5.【解答】解：直线483y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，(0,8)A ∴、(6,0)B -，如图2，过点B 做BC AB ⊥交直线2l 于点C ，过点C 作CD x ⊥轴，在BDC ∆和AOB ∆中，CBD BAO CDB AOB BC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BDC AOB AAS ∴∆≅∆，6CD BO ∴==，8BD AO ==，6814OD OB BD ∴=+=+=，C ∴点坐标为(14,6)-，设2l 的解析式为y kx b =+，将A ，C 点坐标代入，得1468k b b -+=⎧⎨=⎩，解得178k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，2l ∴的函数表达式为187y x =+；6.【解答】解：如图所示：过点D 作DM x ⊥轴于点M ，由题意可得：BAO OAF ∠=∠，AO AF =，//AB OC ，则BAO AOF AFO OAF ∠=∠=∠=∠，故60AOF DOM ∠=︒=∠，624OD AD OA AB OA =-=-=-= ，2MO ∴=，MD =，(2,D ∴--，2(k ∴=-⨯-=．故答案为：．7.【解答】解：存在这样的点P 和点Q ，使12BP BQ =．理由如下：过点Q 画QH OA ⊥'于H ，连接OQ ，则QH OC OC ='=，12POQ S PQ OC ∆= ，12POQ S OP QH ∆= ，PQ OP ∴=．设BP x =，12BP BQ =，2BQ x ∴=，如图4，当点P 在点B 左侧时，3OP PQ BQ BP x ==+=，在Rt PCO ∆中，222(8)6(3)x x ++=，解得13612x =+，23612x =-，（不符实际，舍去）．3692PC BC BP ∴=+=+，1(92P ∴--，6)，如图5，当点P 在点B 右侧时，OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．在Rt PCO ∆中，222(8)6x x -+=，解得254x =，257844PC BC BP ∴=-=-=，27(4P ∴-，6)，综上可知，存在点136(92P --，6)，27(4P -，6)使12BP BQ =．8.【解答】解：如图，AB 与BD 的垂直平分线的交点即为旋转中心P ，连接PD ，过P 作PF x ⊥轴于F ．点C 在BD 上，∴点P 到AB 、BD 的距离相等，都是12BD ，即12⨯=45PDB ∴∠=︒，4PD ==，15BDO ∠=︒ ，451560PDO ∴∠=︒+︒=︒，30DPF ∴∠=︒，114222DF PD ∴==⨯=，点D 的坐标是(5,0)，523OF OD DF ∴=-=-=，由勾股定理得，PF ===∴旋转中心的坐标为(3，．故答案为：(3，．9.【解答】解：过F 作FN BC ⊥，交BC 延长线于N 点，连接AC ，90DCE ENF ∠=∠=︒ ，90DEC NEF ∠+∠=︒，90NEF EFN ∠+∠=︒，DEC EFN ∴∠=∠，Rt FNE Rt ECD ∴∆∆∽，DE 的中点G ，EG 绕E 顺时针旋转90︒得EF ，:2:1DE EF ∴=，:::2:1CE FN DE EF DC NE ∴===，2CE NF ∴=，1522NE CD ==．45ACB ∠=︒ ，∴当45NCF ∠=︒时，A 、C 、F 在一条直线上．则CNF ∆是等腰直角三角形，CN NF ∴=，2CE CN ∴=，22553323CE NE ∴==⨯=．53CE ∴=时，A 、C 、F 在一条直线上．故答案为：53．10.【解答】解：（1）由题意，得(0,)B m ，(2,0)A m ，如图，过点D 作x 轴的垂线，交x 轴于点E ，交直线11A C 于点F ，易知：23DE m =，2(3D m ，2)3m ，14(3C m n -，4)3m ，∴403m n -=，∴43n m =；（2）由（1）得，当3m >时，点1C 在y 轴右侧；当23m <<时，点1C 在y 轴左侧．①当3m >时，设11A C 与y 轴交于点P ，连接1C B ，由△11A C D 被y 轴分得两部分图形的面积比为3:5，S ∴△1:BA P S △13:1BC P =，11:3A P C P ∴=，∴，185m ∴=，11825y x ∴=-+；②当23m <<时，同理可得：11827y x =-+；综上所述，11827y x =-+或11825y x =-+．11.【解答】解：（1）①证明：AB AC = ，1B C BC =，1AB C B ∴∠=∠，B ACB ∠=∠，1AB C ACB ∠=∠ （旋转角相等），111B CA AB C ∴∠=∠，11//BB CA ∴；②过A 作AF BC ⊥于F ，过C 作CE AB ⊥于E ，如图①：AB AC = ，AF BC ⊥，BF CF ∴=，3cos 5ABC ∠=，5AB =，3BF ∴=，6BC ∴=，16B C BC ∴==，1318655BE B E ∴==⨯=，1365BB ∴=，424655CE =⨯=，13611555AB ∴=-=，∴△1AB C 的面积为：1112413225525⨯⨯=；（2）如图2，过C 作CF AB ⊥于F ，以C 为圆心CF 为半径画圆交BC 于1F ，1EF 有最小值，此时在Rt BFC ∆中，245CF =，1245CF ∴=，1EF ∴的最小值为249355-=；如图，以C 为圆心BC 为半径画圆交BC 的延长线于1F ，1EF 有最大值；此时11369EF EC CF =+=+=，∴线段1EF 的最大值与最小值的差为936955-=．12.【解答】解：（1）如图1，在ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，当点A '落在边BC 上时，由题意得，四边形APA D '为平行四边形，PD AB ⊥ ，90ADP C ∴∠=∠=︒，APD ABC ∴∆∆∽，5AP x = ，4A P AD x ∴'==，45PC x =-，A PD ADP ∠'=∠ ，//A P AB ∴'，∴△A PC ABC '∆∽，∴PC A P AC AB '=，即45445x x -=，解得：2041x =，∴当点A '落在边BC 上时，2041x =；（2）当A B BC '=时，222(58)(3)3x x -+=，解得：4012373x ±=．45x ，∴4073x -=；当A B A C '='时，58x =．（3）Ⅰ、当A B AB ''⊥时，如图6，DH PA AD '∴==，HE B Q EB ='=，2224235AB AD EB x x =+=⨯+⨯= ，514x ∴=，514A B QE PD x ∴''=-==；Ⅱ、当A B BC ''⊥时，如图7，5B E x ∴'=，57DE x =-，53cos 575x B x ∴==-，1546x ∴=，2523A B B D A D ∴''='-'=；Ⅲ、当A B AC ''⊥时，如图8，由（1）有，2041x =，12sin 41A B PA A ∴''='=；当A B AB ''⊥时，514x =，514A B ''=；当A B BC ''⊥时，1546x =，2546A B ''=；当A B AC ''⊥时，2053x =，2553A B ''=．13.【解答】解：（1）过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ．90ABD ∠=︒ ，90DBF ABO ∴∠+∠=︒．又90OAB ABO ∠+∠=︒ ，DBF OAB ∴∠=∠．由旋转的性质可知AB BD =．在AOB ∆和BFD ∆中DBF OAB AOB BFD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，AOB BFD ∴∆≅∆．1DF OB ∴==，2AO BF ==．(3,1)D ∴．把点D 和点O 的坐标代入213y x bx c =-++得：1300b c c -++=⎧⎨=⎩，解得：43b =，0c =．∴抛物线的解析式为21433y x x =-+．（2）如图2所示：点(0,2)A ，(1,0)B ，C 为线段AB 的中点，1(2C ∴，1)．C 、D 两点的纵坐标为1，//CD x ∴轴．BCD ABD ∴∠=∠．∴当POB BAO ∠=∠时，恰好90POB BCD ∠+∠=︒．设点P 的坐标为214(,)33m m m -+．当点P 在x 轴上且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -+=，解得：52m =或0m =（舍去）．当点P 位于x 轴的下方，点P '处时，且POB BAO ∠=∠时，则1tan tan 2POB BAO ∠=∠=，即2141332m m m -=，解得：112m =或0m =（舍去）．POB ∠ 为锐角，4m ∴≠．由图形可知：当点P 在抛物线上P 与P '之间移动时，90POB BCD ∠+∠<︒．m ∴的取值范围是：51122m <<且4m ≠．14.【解答】解：（1）35OA BC = ，AC BC =∴设3OA k =，5(0)AC BC k k ==>4OC k∴= 当0x =时，210y ax ax c c=-+=(0,)C c ∴，即4OC c k==4c k ∴=3(4c A ∴-，50)(4c B ，)c 抛物线经过点A 、B ∴2233()10()04455(1044c c a a c c c a a c c ⎧---+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得：1128a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为：2158126y x x =-++（2）如图1，1AOC ∆旋转后得到△112A O C 的位置如图所示116O A OA ∴==，128O C OC ==，11//O A x 轴，12O C x ⊥轴设2C 坐标为215(,8)126t t t -++，则2115(6,)126A t t t +-+221515(6)(6)8126126t t t t ∴-++++=-+解得：10t =1A ∴坐标为(16,0)，2C 坐标为(10,8)．15.【解答】解：（1）对于222y x mx m =-+，当0y =时，x m =，OG m ∴=，点Q 为点P 绕顶点G 逆时针旋转90︒后的对应点，P m ∴，2)m +，把P m +，2)m +代入222y x mx m =-+中，得222)2)m m m m m +=-+，4m ∴=，∴该抛物线的函数关系式为；2816y x x =-+；（2）存在，点Q 在第一象限内，AQ GQ =，如图2中，由题意可知OA OG =，∴m =，1m ∴=，∴点(0,1)A ，点A 的对应点(2,1)C ，(1,0)G ，∴直线CG 解析式为1y x =-，线段CG 的中垂线MN 解析式为2y x =-+，由2221y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩解得15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或15232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，点P 在第一象限，∴点P坐标1(2+，32-．。

初一几何竞赛试题及答案

初一几何竞赛试题及答案1. 选择题：下列哪个选项是正方形的对角线长度的两倍？A. 边长B. 边长的平方C. 边长的根号2倍D. 边长的根号3倍答案：C2. 填空题：在一个等边三角形中，如果边长为a，那么该三角形的高是______。

答案：\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)3. 判断题：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形一定是矩形。

正确错误答案：错误4. 计算题：一个圆的直径是14cm，求这个圆的周长和面积。

答案：周长为\(\pi \times 14\)cm，面积为\(\frac{\pi \times14^2}{4}\)平方厘米。

5. 简答题：请说明如何证明一个三角形是等边三角形。

答案：要证明一个三角形是等边三角形，需要证明其三边相等。

可以通过测量每条边的长度，或者证明其中两个角相等（因为等边三角形的三个角都是60度），从而得出结论。

6. 作图题：给定一个点O，画出一个以O为圆心，半径为5cm的圆。

答案：使用圆规，以O为圆心，将圆规的两脚张开到5cm的距离，旋转一周即可画出圆。

7. 应用题：一个长方形的长是宽的两倍，如果宽为3cm，求长方形的周长。

答案：长方形的长为6cm，周长为\(2 \times (3 + 6) = 18\)cm。

8. 证明题：证明在一个直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离等于两直角边中点连线的长度。

答案：设直角三角形ABC中，∠C为直角，D为斜边AB的中点。

连接CD，根据直角三角形的性质，CD是斜边AB的中线，因此CD等于AB的一半。

又因为D是AB的中点，所以AD等于BD。

根据中线定理，CD等于AD，因此CD等于两直角边中点连线的长度。

数学初中竞赛大题训练：几何专题(含答案)

数学初中竞赛大题训练：几何专题1．阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆．（1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°；（2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长；（3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，故答案为：55°；（2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示：∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°，∴∠FAD＝∠BDE，在△ADF和△DEB中，，∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD＝2；（3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，∴△ABK是等边三角形，∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点，∴KM＝AK•sin60°＝2，∵AE＝3，AM＝AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，∴EK＝＝＝，∴EF＝＝＝．2．问题再现：如图1：△ABC 中，AF 为BC 边上的中线，则S △ABF ＝S △ACP ＝S △ABC由这个结论解答下列问题：问题解决：问题1：如图2，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，则S △BOC ＝S 四边形ADOE ．分析：△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，则S △BCD ＝S △ABC ，BE 为AC 边上的中线，则S △ABE ＝S △ABC∴S △BCD ＝S △ABE∴S △BCD ﹣S △BOD ＝S △ABE ﹣S △BOD又∵S △BOC ＝S △BCD ﹣S △BOD ，S 四边形ADOE ＝S △ABE ﹣S △BOD即S △BOC ＝S 四边形ADOE问题2：如图3，△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，BE 为AC 边上的中线，AF 为BC 边上的中线．（1）S △BOD ＝S △COE 吗？请说明理由．（2）请直接写出△BOD 的面积与△ABC 的面积之间的数量关系：S △BOD ＝S △ABC ．问题拓广：（1）如图4，E 、F 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝ S 四边形ABCD ．（2）如图5，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD 的面积之间的数量关系：S 阴＝ S 四边形ABCD ．（3）如图6，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的边AD 、BC 、AB 、CD 的中点，若S △AME ＝1、S △BNG ＝1.5、S △CQF ＝2、S △DPH ＝2.5，则S 阴＝ 7 ．解：问题2：S △BOD ＝S △COE 成立，理由：∵△ABC 中，CD 为AB 边上的中线，∴S △BCD ＝S △ABC ，∵BE 为AC 边上的中线，∴S △CBE ＝S △ABC∴S △BCD ＝S △CBE∵S △BCD ＝S △BOD +S △BOC ，S △CBE ＝S △COE +S △BOC∴S △BOD ＝S △COE（2）由（1）有S △BOD ＝S △COE ，同（1）方法得，S △BOD ＝S △AOD ，S △COE ＝S △AOE ，S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ，∵点O 是三角形三条中线的交点，∴OA ＝2OF ，∴S △AOC ＝2S △COF ＝S △AOE +S △COE ＝2S △COE ，∴S △COF ＝S △COE ，∴S △BOD ＝S △COE ＝S △AOE ＝S △AOD ＝S △BOF ＝S △COF ，∴S △BOD ＝S △ABC ，故答案为问题拓广：（1）如图4：连接BD，由问题再现：S△BDE ＝S△ABD，S△BDF ＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为，（2）如图5：连接BD，由问题解决：S△BMD ＝S△ABD，S△BDN＝S△BCD，∴S阴影＝S四边形ABCD，故答案为；（3）如图6，设四边形的空白区域分别为a，b，c，d，∵S△AME ＝1、S△BNG＝1.5、S△CQF＝2、S△DPH＝2.5，由（1）得出：a+1+2.5＝a+3.5＝S△ACD①，c+1.5+2＝c+3.5＝S△ACB②，b +1+1.5＝b +2.5＝S △ABD ③，d +2+2.5＝d +4.5＝S △BCD ④，①+②+③+④得，a +3.5+c +3.5+b +2.5+d +4.5＝a +b +c +d +14＝S 四边形ABCD ⑤而S 四边形ABCD ＝a +b +c +d +7+S 阴影⑥∴S 阴影＝7，故答案为7．3．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，内切圆⊙I 与边BC 切于点D ，AD 与⊙I 的另一个交点为E ，⊙I 的切线EP 与BC 的延长线交于点P ，CF ∥PE 且与AD 交于点F ，直线BF 与⊙I 交于点M 、N ，M 在线段BF 上，线段PM 与⊙I 交于另一点Q ．证明：∠ENP ＝∠ENQ ．证明：如图，设⊙I 与AC 、AB 分别切于点S 、T ，连接ST 、AI 、IT ，设ST 与AI 交于点G ．则IE ⊥PE ，ID ⊥PD ，故I 、E 、P 、D 四点共圆，∵AS 2＝AE •AD ＝AG •AI ，∵∠EAG ＝∠DAI ，∴△AEG ∽△AID ，∴∠AGE＝∠AID，∴E，G，D，I四点共圆，∴I、G、E、P、D五点共圆，∴∠IGP＝∠IEP＝90°，即IG⊥PG，∴P、S、T三点共线，对直线PST截△ABC，由梅涅劳斯定理知，∵AS＝AT，CS＝CD，BT＝BD，∴，设BN的延长线与PE交于点H，对直线BFH截△PDE，由梅涅劳斯定理知，∵CF∥BE，∴，∴，∴PH＝HE，∴PH2＝HE2＝HM•HN，∴，∴△PHN∽△MHP，∴∠HPN＝∠HMP＝∠NEQ，∵∠PEN＝∠EQN，∴∠ENP＝∠ENQ．4．如图，△ABC的垂心为H，AD⊥BC于D，点E在△ABC的外接圆上，且满足，直线ED交外接圆于点M．求证：∠AMH＝90°．证明：作高BP，CQ．连结MB、MC、MP、MQ、PQ．＝＝＝•①＝•＝•②由①②得：＝，又∵∠MBA＝∠MCA，∴△MBQ∽△MCP，∴点M、A、P、Q四点共圆，即点M、A、P、Q、H五点共圆，又AH为直径，∴∠AMH＝90°．5．如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD 和AC交于点N．求证：OH⊥MN．证明：∵A 、C 、D 、F 四点共圆，∴∠BDF ＝∠BAC又∵∠OBC ＝（180°﹣∠BOC ）＝90°﹣∠BAC ，∴OB ⊥DF ．∵CF ⊥MA ，∴MC 2﹣MH 2＝AC 2﹣AH 2（①）∵BE ⊥NA ，∴NB 2﹣NH 2＝AB 2﹣AH 2 （②）∵DA ⊥BC ，∴BD 2﹣CD 2＝BA 2﹣AC 2 （③）∵OB ⊥DF ，∴BN 2﹣BD 2＝ON 2﹣OD 2 （④）∵OC ⊥DE ，∴CM 2﹣CD 2＝OM 2﹣OD 2，①﹣②+③+④﹣⑤，得NH 2﹣MH 2＝ON 2﹣OM 2 MO 2﹣MH 2＝NO 2﹣NH 2∴OH ⊥MN ．6．在图1到图4中，已知△ABC 的面积为m ．（1）如图1，延长△ABC 的边BC 到点D 使CD ＝BC ，连接DA ，若△ACD 的面积为S 1，则S 1＝ m ．（用含m 的式子表示）（2）如图2，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD ＝BC ，AE ＝CA ，连接DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2＝ 2m ．（用含a 的代数式表示）（3）如图3，在图2的基础上延长AB 到点F ，使BF ＝AB ，连接FD 于E ，得到△DEF ，若阴影部分的面积为S 3，则S 3＝ 6m ．（用含a 的代数式表示）（4）可以发现将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF ，如图3，此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍．（5）应用上面的结论解答下面问题：去年在面积为15平方面的△ABC 空地上栽种了各种花卉，今年准备扩大种植规模，把△ABC 内外进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF ，第二次由△DEF 扩展成△MGH ，如图4，求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？解：（1）∵CD ＝BC ，∴△ABC 和△ACD 的面积相等（等底同高），故得出结论S 1＝m ．（2）连接AD ，，∵AE ＝CA ，∴△DEC 的面积S 2为△ACD 的面积S 1的2倍，故得出结论S 2＝2m ．（3）结合（1）（2）得出阴影部分的面积为△DEC 面积的3倍，故得出结论则S 3＝6m ．（4）S △DEF ＝S 阴影+S △ABC＝S 3+S △ABC＝6m +m＝7m＝7S △ABC故得出结论扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的7倍．（5）根据（4）结论可得两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为（7×7﹣1）×15＝720（平方米），答：求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为720平方米．7．（1）如图①，AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？（2）若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC ，如图②，已知S △ABC ＝1，△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积．小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下：连接BO ，设S △BEO ＝x ，S △BDO ＝y ，由（1）结论可得：S，S △BCO ＝2S △BDO ＝2y ，S △BAO ＝2S △BEO ＝2x ．则有，即．所以．请仿照上面的方法，解决下列问题： ①如图③，已知S △ABC ＝1，D 、E 是BC 边上的三等分点，F 、G 是AB 边上的三等分点，AD 、CF 交于点O ，求四边形BDOF 的面积．②如图④，已知S △ABC ＝1，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是AB 边上的四等分点，AD 、CG 交于点O ，则四边形BDOG 的面积为．解：（1）S △ABD ＝S △ACD ．∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，又∵△ABD 与△ACD 高相等，∴S △ABD ＝S △ACD ．（2）①如图3，连接BO ，设S △BFO ＝x ，S △BDO ＝y ，S △BCF ＝S △ABD ＝S △ABC ＝S △BCO ＝3S △BDO ＝3y ，S △BAO ＝3S △BFO ＝3x ．则有，即，所以x +y ＝，即四边形BDOF 的面积为；②如图，连接BO ，设S △BDO ＝x ，S △BGO ＝y ，S△BCG ＝S△ABD＝S△ABC＝，S△BCO ＝4S△BDO＝4x，S△BAO ＝4S△BGO＝4y．则有，即，所以x+y＝，即四边形BDOG的面积为，故答案为：．8．我们初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：13+23＝32？【解决问题】A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23＝32【递进探究】请仿用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33＝62．要求：自己构造图形并写出详细的解题过程．【推广探究】请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3＝．（参考公式：）注意：只需填空并画出图形即可，不必写出解题过程．【提炼运用】如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，如图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8个看不见；求：从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数．解：【递进探究】如图，A表示一个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，B、C、D表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，E、F、G表示3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33，而A、B、C、D、E、F、G恰好可以拼成一个大正方形，边长为：1+2+3＝6，，∵S A+S B+S C+S D+S E+S F+S G＝S大正方形∴13+23+33＝62；【推广探究】由上面表示几何图形的面积探究知，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2，又∵1+2+3+…+n＝，∴13+23+33+…+n3＝（）2＝．【提炼运用】图（1）中，共有1个小立方体，其中1个看的见，0＝（1﹣1）3个看不见；如图（2）中，共有8个小立方体，其中7个看的见，1＝（2﹣1）3个看不见；如图（3）中，共有27个小立方体，其中19个看的见，8＝（3﹣1）3个看不见；…，从第（1）个图到第（101）个图中，一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为：（1﹣1）3+（2﹣1）3+（3﹣1）3+…+（101﹣1）3＝03+13+23+…+1003＝50502＝25502500．故一切看不见的棱长为1的小立方体的总个数为25502500．故答案为：62；．9．问题引入：如图，在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，求：尝试探究：过点A作BC的垂线，垂足为F，过点E作BC的垂线，垂足为G，如图所示，有＝，＝，．类比延伸：若E为AD上的任一点，如图所示，试猜S四边形ABEC 与S△ABC的比是图中哪条线段的比，并加以证明．拓展应用：如图，E为△ABC内一点，射线AE于BC于点D，射线BE交AC于点F，射线CE交AB于点G，求的值．解：问题引入：∵在△ABC中，D是BC上一点，AE＝AD，∴，，∴＝＝；尝试探究：∵AE＝AD，∴＝，∵AF⊥BC，EG⊥BC，∴AF∥EG，∴△EDG∽△ADB，∴＝；∵＝＝＝，∴＝1﹣＝；故答案为：，，；类比延伸：＝，∵E为AD上的一点，∴＝，＝，∴＝＝；拓展应用：∵＝＝，同理：＝，＝，∴＝＝2．10．如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC＝MD，分别过点C、D作边BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P，过点P作PQ⊥AB于Q，求证：∠PQC＝∠PQD．证明：连接AP、BP，取AP的中点E，取BP的中点F，连接DE、ME、QE、CF、QF、MF，如图．∵E为AP的中点，F为BP的中点，M为AB的中点，∴EM∥BP，EM＝BP，MF∥AP，MF＝AP．∵E为AP的中点，F为BP的中点，∠ADP＝∠BCP＝90°，∴DE＝AE＝EP＝AP，FC＝PF＝BF＝BP，∴DE＝MF，EM＝FC．在△DEM和△MFC中，，∴△DEM≌△MFC（SSS），∴∠DEM＝∠MFC．∵EM∥BP，MF∥AP，∴四边形PEMF是平行四边形，∴∠PEM＝∠PFM．又∵∠DEM＝∠MFC，∴∠DEP＝∠CFP．∵DE＝AE，FC＝BF，∴∠DAE＝∠ADE＝∠DEP，∠FBC＝∠FCB＝∠CFP，∴∠DAE＝∠FBC，即∠DAP＝∠PBC．∵∠ADP＝∠AQP＝90°，E为AP中点，∴ED＝EA＝EQ＝EP＝AP，∴D、A、Q、P四点共圆，∴∠PQD＝∠DAP．同理可得：∠PQC＝∠PBC，∴∠PQD＝∠PQC．11．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．解：连接OC，如图．∵MC与⊙O相切，∴OC⊥MC．∵CM⊥AD，∴OC∥AM．∵CE∥AB，∴四边形AOCE是平行四边形，∴OA＝CE＝7，∴AB＝14．∵点C是弧BD的中点，∴BC＝CD＝6．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝4．∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，∴＝＝＝，∴AG＝AC＝．在Rt△ACB中，cos∠BAC＝＝＝．∵点C是弧BD的中点，∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，∴cos∠EAG＝．在△EAG中，cos∠EAG＝．∴＝．∵AG＝，AE＝CE＝7，∴＝．整理得：GE2＝．∵GE＞0，∴GE＝．∴EG的长为．12．如图，圆内接四边形ABCD的边AB、DC的延长线交于E，AD、BC延长线交于F，EF中点为G，AG与圆交于K．求证：C、E、F、K四点共圆．证明：延长AG到H，使得GH＝AG，连接EH、FH、CK，如图所示．∵GH＝AG，EG＝FG，∴四边形AEHF是平行四边形，∴∠EAG＝∠GHF，∠GAF＝∠GHE．∵A、B、C、K四点共圆，∴∠KCF＝∠EAG，∴∠KCF＝∠GHF，∴K、C、H、F四点共圆．∵K、C、A、D四点共圆，∴∠KCD＝∠KAF，∴∠KCD＝∠GHE，∴K、C、E、H四点共圆，∴K、C、E、H、F五点共圆，∴C、E、F、K四点共圆．13．在半圆O中，AB为直径，一直线交半圆周于C、D，交AB延长线于M（MB＜MA，AC＜MD），设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点，求证：∠MKO＝90°．证明：连接CK，BK，BC，如图所示．∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠ABC＝90°．∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BDC＝∠BAC．∵A、O、C、K四点共圆，∴∠CKO＝∠OAC．∵D、O、B、K四点共圆，∴∠BKO＝∠BDO．∴∠BKC＝∠BKO﹣∠CKO＝∠BDO﹣∠OAC．∵OB＝OD，∴∠ABD＝∠BDO．∴∠BMC＝∠ABD﹣∠BDC＝∠BDO﹣∠BAC＝∠BKC．∴B、C、K、M四点共圆．∴∠ABC＝∠MKC．∴∠MKO＝∠MKC+∠CKO＝∠ABC+∠OAC＝90°．14．已知，在△ABC中，AC＞AB，BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E，与BC相交点D，DE与AC相交于点F．（1）如图1，当∠ABC＝3∠ACB时，求证：AB＝AE；（2）如图2，当∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，过点D作AC的垂线，垂足为点H，并延是点D关于直线AC的对长DH交射线AE于点M，过点E作BP的垂线，垂足为点G，点D1称点，试探究AG和MD之间的数量关系，并证明你的结论．1解：（1）证明：连接BF，如图1．设∠A CB＝x，则∠ABC＝3x，∵FD垂直平分BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝x，∴∠ABF＝∠AFB＝2x，∴AB＝AF，∠PAC＝4x．∵AE平分∠PAC，∴∠EAC＝2x．∵∠AFE＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝180°﹣2x﹣（90°﹣x）＝90°﹣x，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AB＝AE．．（2）AG＝MD1证明：作EN⊥AC于N，取EC中点O，、NM、MC、MO、NO、EB、EC，如图2．连接AD1∵AE平分∠PAC，EN⊥AC，EG⊥AP，∴EG＝EN，∠EGA＝∠ENA＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠EGA＝∠ENA＝∠BAC＝90°，∴四边形EGAN是矩形．∵EG＝EN，∴矩形EGAN是正方形，∴AG＝AN，∠EAN＝45°，∠GEN＝90°．∵ED垂直平分BC，∴EB＝EC．在Rt△BEG和Rt△CEN中，，∴Rt△BEG≌Rt△CEN（HL），∴∠GBE＝∠NCE，∠GEB＝∠NEC，∴∠GEN＝∠BEC＝90°∵EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝45°．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠ACB，∴∠ABC＝60°，∠ACB＝30°，∴∠ABE＝∠ACE＝15°．∵∠BAC＝90°，点D为BC中点，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°．∵点D与点D关于AC对称，1AC＝∠DAC＝30°，∴∠D1＝45°﹣30°＝15°．∴∠MAD1∵DA＝DC，DM⊥AC，∴DM垂直平分AC，∴MA＝MC，∴∠CMH＝∠AMH＝90°﹣45°＝45°，∴∠AMC＝90°，∴∠ENC＝∠AMC＝90°．∵点O为EC中点，∴ON＝OM＝OE＝OC＝EC，∴E、N、C、M四点共圆，∴∠EMN＝∠ECN＝15°，∴∠MAD＝∠EMN＝15°，1中，在△AMN和△MAD1，，∴△AMN≌△MAD1，∴AN＝MD1．∴AG＝MD115．在平面直角坐标系中，已知A（2，2），AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C．（1）如图1，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交x轴于F，连EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+EF的值；（2）如图2，D为x轴上一点，AC＝CD，E为线段OB上一动点，连接DA、CE、F是线段CE的中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不变，求其值；若改变，求其变化范围．解：（1）∵AB⊥y轴于B，AC⊥x轴于C，∴∠ABO＝∠ACO＝90°．∵∠BOC＝90°，∴四边形ABOC是正方形，∴AB＝AC＝BO＝CO＝2，OA平分∠BOC，∠BAC＝90°．∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF．在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，BE＝CF．设BE＝CF＝t，OE＝2﹣t，OF＝2+t．∵ED平分∠OEF，∴点D是△OEF的内心．如图1，作DM⊥OB于M，作DH⊥OF于H，且DG⊥EF于G，∴DG＝DM＝DH，∴四边形MOHD是正方形，∴MO＝HO＝DM＝DG．设DG＝MO＝x，∴x＝，∴x＝，∴EF＝4﹣2x，∴WF＝2﹣x．∴DG+EF＝x+2﹣x＝2．即DG+EF的值为2；（2）∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°如图2，延长BF交AC于G，连接KG，作KM⊥AB于M，KN⊥AC于N，∵四边形ABOC是正方形，∴O B∥AC．∴∠EBF＝∠CGF，∠BEF＝∠GCF．∵F是CE的中点，∴EF＝CF．在△BEF和△GCF中，，∴△BEF≌△GCF（AAS），∴BF＝GF．∵BF⊥FK，∴∠BFK＝∠GFK＝90°．在△BFK和△GFK中，，∴△BFK≌△GFK（SAS）∴BK＝GK．∵AC＝CD，∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°．∵KN⊥AC，∴∠ANK＝90°，∴∠AKN＝45°，∴AN＝KN．∵KM⊥AB，∴四边形AMKN是正方形，∴KM＝KN．∠M＝∠GNK＝90°AM∥KN．在Rt△BKM和Rt△GKN中，，∴Rt△BKM≌Rt△GKN（HL），∴∠MBK＝∠NGK．∠GKN＝∠BKM．∵AM∥KN，∴∠BKN＝∠MBK．∵∠BKM+∠BKN＝90°，∴∠GKN+∠BKN＝90°，即∠BKG＝90°．∵BK＝GK，∴△BKG是等腰直角三角形．∴∠KBF＝45°，∴∠KBF的大小不变，∠KBF＝45°．16．如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，直线MN⊥AB于A，且分别与⊙O1，⊙O2交于M、N，P为线段MN的中点，又∠AO1Q1＝∠AO2Q2，求证：PQ1＝PQ2．解：连接MQ1、BQ1、BQ2、NQ2，过点P作PH⊥Q1B于H，如图所示．则由圆内接四边形的性质可得：∠Q1MA+∠ABQ1＝180°，∠ABQ2+∠ANQ2＝180°，∠MAB＝∠BQ2N．由圆周角定理可得：∠ABQ 1＝∠AO 1Q 1，∠ANQ 2＝∠AO 2Q 2． ∵∠AO 1Q 1＝∠AO 2Q 2， ∴∠ABQ 1＝∠ANQ 2， ∴∠ABQ 2+∠ABQ 1＝∠ABQ 2+∠ANQ 2＝180°， ∴Q 1、B 、Q 2三点共线．由圆内接四边形的性质可得：∠ABQ 1＝∠ANQ 2， ∴∠Q 1MA +∠ANQ 2＝∠Q 1MA +∠ABQ 1＝180°， ∴MQ 1∥NQ 2．∵AB ⊥MN ，∴∠MAB ＝90°，∴∠Q 1Q 2N ＝∠MAB ＝90°． ∵PH ⊥Q 1B ，即∠Q 1HP ＝90°， ∴∠Q 1HP ＝∠Q 1Q 2N ， ∴PH ∥NQ 2，∴MQ 1∥PH ∥NQ 2．∵P 为线段MN 的中点， ∴H 为线段Q 1Q 2的中点， ∴PH 垂直平分Q 1Q 2， ∴PQ 1＝PQ 2．。

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初中数学《几何变换》竞赛专题复习含答案§16.1对称和平移16．1．1★设M 是边长为2的正三角形ABC 的边AB 的中点．P 是边BC 上的任意一点，求PA PM +的最小值．CA'M'PA M B解析作正三角形ABC 关于BC 的对称图形A BC '△．M '是M 的对称点，故M 是A B '的中点．PM PM '=，如图所示，则 PA PM PA PM AM ''+=+≥.连结CM '，易知90ACM '∠=︒，所以AM '==．所以，PA PM +16．1．2★★已知ABC △中，60A ∠<︒．试在ABC △的边AB 、AC 上分别找出一点P 、Q ，使BQ QP PC ++最小．解析作B 关于直线AC 的对称点B '，C 关于直线AB 的对称点C '，连B C ''与AB 、AC 分别交于点P 、Q ，则P 、Q 即为所求，如图所示．CA'M'PA M B事实上，对于AB 、AC 上的任意点P '，Q '， BQ Q P P C B Q Q P P C ''''''''''++=++ B C B Q QP PC ''''=++≥ BQ QP PC =++．评注因为60A ∠<︒，所以所作线段B C ''必与线段AB 、AC 相交．16．1．3★★求证：直角三角形的内接三角形的周长不小于斜边上高的两倍．解析如图所示，设在直角三角形ABC 中，CD 是斜边上的高，PQR △是它的任一内接三角形．BDP ARC Q S VET G FU将Rt ABC △以BC 为对称轴反射为Rt BCE △，此时PQR △反射为SQV △，再将Rt BCE △以CE 为对称轴反射为Rt FCE △，此时SQV △反射为TUV △延长DC 交EF 于G ．易知FF AB ∥，所以CG CD =，即2GD CD =，且GD 是两平行线AB 与EF 之间的距离．所以2PQ QR RP PQ QV VT GD CD ++=++=≥.16．1．4★★★在ABC △内取一点M 使10MAB ∠=︒，30MBA ∠=︒．设80ACB ∠=︒， AC BC =．求AMC ∠.CHBME解析本题中ABC △为等腰三角形，这就提示我们利用对称性解题，先作一条对称轴，作ABC △的高CH 与直线BM 交于点E 由对称性知， 30EAB EBA ∠=∠=︒，所以20EAM ∠=︒，从而20CAE ∠=︒，因为40AME MAB MBA ∠=∠+∠=︒，又1402ACE ACB ∠=∠︒=，所以CAF △≌MAE △，于是AC AM =，所以()118040702AMC ∠=︒-︒=︒． 16．1．5★★在ABC △中，AH 是高，H 在边BC 上，已知45BAC ∠=︒，2BH =，3CH =，求ABC △的面积．解析作HAC △的关于AC 的对称图形MAC △，作H A B △的关于AB 的对称图形NAB △．分别延长MC 和NB ，它们相交于L ，如图所示．ANMBH CL易知90M N ∠=∠=︒，且 290NAM BAC ∠=∠=︒， AM AH AN ==．所以，四边形LMAN 是正方形．设正方形LMAN 的边长为a ，则 3CL a =-，2BL a =-．在直角三角形BCL 中，由勾股定理知 222BL CL BC +=．()()222325a a -+-=．解方程，得6a =，即6AH =．所以1152ABC S BC AH =⋅=△．16．1．6★★★如图，凸四边形PQRS 的四个顶点分别在边长为a 的正方形ABCD 的四条边上，求证：PQRS的周长不小于．解析作正方形ABCD 关于BC 的轴对称图形，得到正方形11A BCD ，再作正方形11A BCD 关于1CD 的轴对称图形，得到正方形221A B CD ，再作正方形221A B CD 关于21A D 的轴对称图形，得到正方形2331A B C D ，而P 、Q 、R 、S 四点的对应点如图所示．A S DP B P 1A 1S 1D 1R 3C 3Q 3B 3P 3A 2P 2B 2Q 2R C R 1S 2Q显然，2AA =，23AP A P ∥，故 32PP AA ∥，所以四边形PQRS 的周长 PQ QR RS SP +++ 11223PQ QR R S S P =+++32PP AA ==≥．即四边形PQRS的周长不小于．16．1．7★★★如图，ABC △和ADE △是两个不全等的等腰直角三角形，90ABC ADE ∠=∠=︒，现固定ABC △而将ADE △绕点A 在平面上旋转，试证：不论ADE △旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M 使BMD △力等腰直角三角形．BAD ECMA'解析如图，设BMD △为等腰直角三角形，下面证明点M 在线段EC 上．作A 关于BD 的对称点A '，则A DB ADB '∠=∠．因为902ADE BDM ∠=︒=∠，所以45EDM A DM A DB ''∠=∠=︒-∠ 45ADB =︒-∠，又DA DA DE '==．所以A '又是E 关于DM 的对称点．同理A '也是C 关于BM 的对称点，因此 EMD A MD '∠=∠，CMB A MD '∠=∠，又因90BMD ∠=︒，所以180CME ∠=︒．即M 在EC 上（且为EC 的中点）．16．1．8★★★如图，矩形ABCD 中，20AB =，10BC =，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM MN +的值最小，试求出这个最小值．DEC GF ANP MBQ解析作AB 关于直线AC 的对称线段AE ，即B 、E 关于AC 对称，作N 关于AC 的对称点F ，则F 在AE 上，且有BE AC ⊥于Q ，NF AC ⊥于P ．由对称变换可知，MN BM MF MB +=+.欲使MF BM +最小，必须BMF 共线，所以BM MN +最小值为点B 到AE 的距离BG .在Rt ABC △中，20AB =，10BC =，所以AB BCBQ AC⋅==2BE BQ == 在Rt ABQ △中，AQ ===20AE AB ==，在ABE △中，1122ABE S BE AQ AE BG =⋅=⋅△，则16BE AQBG AE⋅==．从而BM MN +的最小值为16．16．1．9★★凸四边形ABCD 中，ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠．求证： AB AD BC CD +>+.D CEPA B解析将BCD △沿BD 翻折，点C 落在点P ．因为ABD CBD ∠>∠，ADB CDB ∠>∠，所以P 必定在ABD △内部．BP 延长线交AD 于点E ，则 AB AD BE FD BP PD BC CD +>+>+=+.16．1．10★★设S 表示凸四边形ABCD 的面积，证明1()2S AB CD BC AD ⋅+⋅≤．B ACD D'l解析如图，作点D 关于AC 的垂直平分线l 的对称点D '，显然ACD △与ACD '△关于l 成轴对称图形．所以 ABCD S S '= BAD BCD S S ''=+△△，11sin sin 22AB AD BAD BC CD BCD ''''=⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()AB AD BC CD ''⋅+⋅≤ 1()2AB CD BC AD =⋅+⋅. 16．1．11★★在矩形ABCD 内取一点M ，使180BMC AMD ∠+∠=︒，试求BCM DAM ∠+∠的值．解析如图将BMC △沿AB 平移至ADM '△，显然MM AD '⊥，BMC AM D '∠=∠．所以，由已知条件180AM D AMD '∠+∠=︒，即A 、M 、D 、M '四点共圆，从而 BCM DAM ADM DAM '∠+∠=∠+∠ 90AMM DAM '=∠+∠=︒．16．1．12★★设P 是平行四边形ABCD 内一点，使得PAB PCB ∠=∠，证明：PBA PDA ∠=∠．A D PP'BC解析如图，把AP 平移至DP '，则BAP CDP '∠=∠，及PBA P CD '∠=∠，PP BC '∥，所以P PC BCP '∠=∠．又已知PAB PCB ∠=∠，故P PC CDP ''∠=∠，从而P 、D 、P '、C 四点共圆．于是 P PD P CD ''∠=∠，又P PD PDA '∠=∠，所以PBA PDA ∠=∠．16．1．13★（1）如图（a ）所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥.已知：3AD BC +=，AC ，BD =，求梯形ABCD 的面积．（2）如图（b ），在梯形ABCD 中，AD BC ∥．M 是CD 的中点，MN AB ⊥于N ．设AB a =，MN h =，求梯形ABCD 的面积．解析（1）将BD 平移到CE ，连结DE，则CE BD =，DE BC =．所以B CAD E(a)A DENM CF B(b)3AE AD DE AD BC =+=+=． 222AE AC CE =+．因此90ACE ∠=︒．因为ABC CDE S S =△△，所以12ACE ABCD S S AC CE ==⋅△梯形（2）将AB 平移至EF ，如图（b ）所示，EF 过点M ．由于MDF △≌MCF △，所以 ABCD ABFE S S AB MN ah ==⋅=梯形梯形．评注本题的两种添平行线法是解梯形问题的常用方法．16．1．14★★如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，E 、F 分别是DC 及AB 中点，FE 的延长线与AD 及BC 的延长线分别交于点H 、G ．求证：AHF BGF ∠=∠．G H DAB'F BCE (a)解析1如图（a ），将线段CB 平移至AB '．则四边形AB BC '为平行四边形．由于F 是AB 中点，故C 、F 、B '共线．现在EF 是CDB '△的中位线，故EF DB '∥，所以 AHF ADB '∠=∠，BGF AB D '∠=∠．又显然AB BC AD '==．故ADB AB D ''∠=∠．于是AHF BGF ∠=∠．G H E CD MAF B(b)解析2如图（b ），连结AC ，取AC 中点为M ，连结ME 、MF ，则ME 、MF 分别为CDA △、ABC △的中位线，所以12ME DA ∥，12MF BC ∥．故MEF AHF ∠=∠， AFE FGB ∠=∠，且ME MF =，故MEF MFE ∠=∠，所以AHF FGB ∠=∠．16．1．15★★如图，A B ∠=∠，1AA 、1PP 、1BB 均垂直于11A B ，垂足为1A 、1P 、 1B ，117AA =，116PP =，120BB =，1112A B =．求AP BP +的值．A C D A 1P 1B 1E PB解析将1PP 平移到1CA ，C 在线段1AA 上，延长BP 交1AA 于D ，将1DA 平移到1EB ，E 在1BB 上．因为1AA 、1BB 、1PP 均垂直于11A B ，所以四边形11CAPP 和11DA B E 都是矩形．由1116CA PP ==，117AA =，得1AC =．又11AA BB ∥，所以P D AB A ∠=∠=∠，90PCD PCA ∠=∠=︒，PC PC =．所以Rt PCD △≌Rt PCA △，PA PD =，1CD AC ==．于是AP BP BD +=，11115DA AA AD EB =-==， 115BE BB EB =-=．在Rt BED △中，1112DE A B ==，13BD ==，也即13AP BP +=．16．1．16★★在正三角形ABC 的三条边上，有三条相等的线段12A A 、12B B 、12C C ．证明：直线21B C 、21C A 、21A B 所成的三角形中，三条线段21B C 、21C A 、21A B 与包含它们的边成比例．CABC 1C 23A 1A 2A 3B 1B 2B 3解析如图，将12C C 平移到2B P ，连结1PA 、1PB 、2PC ．因为四边形12BC C P 为平行四边形，所以1260B B P A ∠=∠=︒，21212B P C C B B ==，故12B B P △为正三角形，112B P A A ∥．这样所得四边形121A A B P 为平行四边形，121A P A B ∥．因此，由21B C 、21C A 、21A B 这三条线段构成的三角形与12A PC △全等，而12A PC △≌333A B C △，从而命题得证．16．1．17★★如图所示，2AA BB CC '''===且共点于O ，60AOB BOC COA '''∠=∠=∠=︒，求证：AOB BOC COA S S S '''++<△△△Q解析将A OC '△沿A A '方向平移A A '长的距离，得AQR △，将B O C '△沿BB '方向平移BB '长的距离，得B PR ''△．由于 2OP OQ ==，60POQ ∠=︒，所以2PQ =．又因'2QR R P OC OC CC ''+=+==，故R 与R '重合，且P 、R 、Q 三点共线．在正三角形POQ 中， AOB BOC COA S S S '''++△△△ AOB B PR AQR S S S ''=++△△△22OPQ S <△ 16．1．18★★★如图，由平行四边形的顶点B 引它的高BK 和BH ，已知KH a =，BD b =，求点B 到BKH △的垂心的距离． B PCHD KAaH 1解析令1H 表示BKH △的垂心．考虑到1KH BH ⊥，DH BH ⊥，有1KH DH ∥．同理有1HH DK ∥，因而四边形1KDHH ，为平行四边形，平移1BKH △到PDH △位置，显然P 为BC 上一点，所求线段1BH 即PH ，已与KH 位于同一直角三角形中．由于四边形KDPB 为矩形，有PK BD =，于是1BH PH ===16．1．19★★★已知ABC △的面积为S ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 上的点，且 1BD CE AF DC EA FB n===，试求以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积S '． GCEDBF A解析如图，过点A 作AG 平行且等于FC ．连CG 、GD 、GE ，则四边形AFCG 为平行四边形，GCA CAB ∠=∠．又11CG AF AE AE AB AB AB CA n ====+，所以CGE △≌ABC △，CEG ACB ∠=∠，因此GE CB ∥. 又因1=1GE BDBC n BC =+，所以GE BD =．于是四边形GEBD 也为平行四边形，从而GD BE =，即AD G △为AD 、BE 、CF 所构成的三角形，它的面积为S '．在梯形GABC 中， 1111GABC S GC AB GC S AB AB n +==+=++梯形，所以111GABC S S n ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭梯形，而11ABD S BD S BC n ==+△，所以111ABC CG CD nS BA BC n n ⋅==⋅⋅++△，因此()2111111n S S n n n ⎡⎤⎛⎫'=+--⎢⎥ ⎪++⎝⎭+⎢⎥⎣⎦ ()2211n n S n ++=+．§16.2旋转16．2．1★★对于边长为1的正ABC △内任一点P PA PB PC ++．ACBPC'P'解析把ABC △绕点B 旋转60︒到CBC '△．则PBP '△为正三角形，且 PC P C ''=，PB PP '=，因而PA PB PC PA PP P C AC ''''++=++≥．16．2．2★★设P 是等边三角形ABC 内一点，3PC =，4PA =，5PB =．试求此等边三角形的边长．BACP 543解析如图，把CBP △绕点C 逆时针旋转60︒，到达CAP '△的位置，显然， 60PCP '∠=︒，3P C PP ''==，5AP '=．在APP '△中，222222345AP P P AP ''+=+==，所以90APP '∠=︒．故 9060150APC APP P PC ''∠=∠+∠=︒+︒=︒. 在APC △中，由余弦定理，得 2222cos150AC AP PC AP PC =+-⋅⋅︒2234243=+⨯⨯+25=+所以，等边三角形ABC16．2．3★★设O 是正三角形ABC 内一点，已知115AOB ∠=︒，125BOC ∠=︒，求以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角．解析以B 为旋转中心，将AOB △按逆时针方向旋转60︒，旋转至CDB △，如图所示．连结OD ．由于OB OD =，60OBD ∠=︒，所以OBD △是正三角形，故OD OB =．又CD OA =，故OCD △是以OA 、OB 、OC 为边构成的一个三角形．因此COD BOC BOD ∠=∠-∠ 1256065=︒-︒=︒，ODC BDC BDO ∠=∠-∠ AOB BDO =∠-∠1156055=︒-︒=︒，从而180655560OCD ∠=︒-︒-︒=︒．所以，以线段OA 、OB 、OC 为边构成的三角形的各角分别为65︒、55︒和60︒． 16．2．4★★如图，两个正方形ABCD 与AKLM （顶点按顺时针方向排列），求证：这两个正方形的中心以及线段BM 、DK 的中点是某正方形的顶点．CDQ K LRM SAPB解析设P 、R 分别是正方形ABCD 、AKLM 的中心，Q 、S 分别是线段DK 、BM 的中点，先证PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．连结BK 、DM ，将ADM △绕A 逆时针旋转90︒，则D 、M 分别到B 、K 位置，所以BK DM =，BK DM ⊥．因为P 、S 分别是BD 、BM 的中点，所以12PS DM ∥．同理12SR BK ∥．所以PS SR ⊥，且PS SR =．即PSR △是以PR 为斜边的等腰直角三角形．同理可证PQR △也是以PR 为斜边的等腰直角三角形．故P 、Q 、R 、S 是正方形的四个顶点．16．2．5★★正方形ABCD 内有一点P ，1PA =，3PB =．PD =ABCD 的面积．ADB CPP'解析将PAB △绕A 点旋转90︒，得P AD '△．连结PP '．易知90PAP '∠=︒，1PA P A '==．于是PP '=在P PD '△中，222279P P PD P D ''+=+==．所以P PD '△是直角三角形，从而135APD ∠=︒．由余弦定理得222AD PA PD PD =+⋅8=16．2．6★★在正方形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点M 和K ，使得AM AK =，在线段DM 上取点P ，使得PCD PKA ∠=∠．证明：APM ∠是直角．AM BL K PDC解析如图所示，在边BC 上取点L ，使BL AK =，连结KL 、AP 、PL ．由于PCD PKA ∠=∠，所以P 、C 、D 、K 四点共圆，作四边形PCDK 的外接圆和矩形 KDCL 的外接圆，因为这两个外接圆均过K 、D 、C 三点，从而这两圆是相同的，所以 90LPD LKD ∠=∠=︒．易知Rt MAD △≌Rt LBA △.故以正方形ABCD 的中心为旋转中心，将Rt LBA △以逆对针方向旋转90︒，则L B A △旋转至MAD △，从而AL DM ⊥．又LP DM ⊥，故A 、P 、L 三点共线，所以90APM ∠=︒． 16．2．7★★★已知凸六边形123456A A A A A A 中，1223A A A A =，3445A A A A =，5661A A A A =， 135246A A A A A A ∠+∠+∠=∠+∠+∠．求证：（1）24612345612A A A A A A A A A S S =△；（2）624212A A A A ∠=∠，246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．A 1A 2A 3A 4A 5A 6A'4解析（1）将234A A A △绕点2A 旋转，使23A A 与21A A 重合，得到214A A A '△，如图所示．连结46A A '．因为135246()()A A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠+∠720=︒，所以135A A A ∠+∠+∠ 246360A A A =∠+∠+∠=︒．因此4161412360A A A A A A A ''∠=︒-∠-∠ 135360A A A =︒-∠-∠=∠.从而146A A A '△≌546A A A △， 246A A A △≌246A A A '△，所以24624641234561122A A A A A A A A A A A A A S S S '==△．（2）由（1）可知624624126324A A A A A A A A A A A A '∠=∠=∠+∠2624A A A A =∠-∠，所以624212A A A A ∠=∠．同理可证：246412A A A A ∠=∠，264612A A A A ∠=∠．评注本题通过旋转，把234A A A △、456A A A △、612A A A △拼成一个与246A A A △全等的新三角形246A A A '.也可以采取向246A A A △内部旋转的方法，把234A A A △、456A A A △、612A A A △放在26A A A 4△的内部，使之恰好“拼成”246A A A △．16．2．8★★★如图所示，P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点，使得 45PAQ PCQ ∠=∠=︒，求PAB PCQ QAD S S S ++△△△的值．ADQ PBCADQPQ'BQ''C(a)(b)解析将AQD △绕点A 顺时针旋转90︒至AQ B '△，CQD △绕点C 逆时针旋转90︒至CQ B ''△，连结PQ '、PQ ''，则APQ '△≌APQ △，CPQ ''△≌CPQ △．又90ABQ CBQ ADQ CDQ '''∠+∠=∠+∠=︒，所以Q '、B 、Q ''三点共线，且 BQ DQ BQ '''==，故PBQ PBQ S S '''=△△，所以PAB PCQ QAD S S S ++△△△ PAQ PBC QCD S S S =++△△△1122ABCD S ==正方形． 16．2．9★★在ABC △中，120A ∠︒≥，点P 不与A 重合．求证PA PB PC AB AC ++>+. 解析如图，将PAB △绕点A 旋转至P AB ''△的位置，使CA 与AB '共线．于是 AB AC AB AC PC PB ''+=+<+．B'ACPBP'又因为120P AB PAC BAP PAC BAC ''∠+∠=∠+∠=∠︒≥，所以 18060PAP BAC '∠=︒-∠︒≤．故在等腰PAP '△中， PA P A PP ''=≥．因此PB PP P B PA P B PA PB ''''''++=+≤≤，从而PA PB PC AB AC ++>+.评注此题似乎依赖于图形，P 在BAC ∠内，事实上P 在其他位置照样成立，方法完全一样． 16．2．10★★★凸四边形ABCD 中，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，且AM AN a +=（a 是常数），求证：22ABCDa S <四边形．ED NC FMBA解析如图所示，将ABM △绕点M 旋转180︒得FCM △，将ADN △绕点N 旋转180︒得ECN △，连EF ，于是360ECF ECN BCD FCM ∠=︒-∠-∠-∠ 360ADC BCD ABC =︒-∠-∠-∠180DAB =∠<︒，所以EF 与凸四边形ABCD 的边不相交．故FCM ECN AEF ABCD AMCN S S S S S =++<△△△四边形四边形122AE AF AM AN ⋅=⋅≤ 22222AM AN a +⎛⎫⋅=⎪⎝⎭≤． 16．2．11★★★如图，设D 为锐角ABC △内一点，且AC BD AD BC ⋅=⋅，90ADB ACB ∠=∠+︒，求AB CDAC BD⋅⋅的值．A DBC解析将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒到BE ，连结DE 、CE ．因为ADB CAD CBD ACB ∠=∠+∠+∠，90ADB ACB ∠=∠+︒，所以 90CAD CBD ∠+∠=︒，又90CBD CBE ∠+∠=︒，则CAD CBE ∠=∠．由AC BD AD BC ⋅=⋅，得AC AD ADBC BD BE==，于是ACD BCE △∽△，所以ACD BCE ∠=∠， AC AD CDBC BE EC==．从而A C B A C D B C D E C B B C ∠=∠+∠=∠+∠=∠．所以，A B C D E△△∽，则AB ACDE DC=，即AB CD AC DE ⋅=⋅．在Rt BDE △中，BD BE =，DE =，故AB CDAC BD⋅⋅。