第二章 平面向量练习题及答案全套.doc

第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.下列各量中不是向量的是 【 】A .浮力B .风速C .位移D .密度2.下列说法中错误．．的是 【 】A .零向量是没有方向的B .零向量的长度为0C .零向量与任一向量平行D .零向量的方向是任意的3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 【 】A .一条线段B .一段圆弧C .圆上一群孤立点D .一个单位圆4.下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a ≠b ，则|a |≠|b |. 其中正确命题的个数是 【 】A ．1B ．2C ．3D ．45．下列命题中，正确的是 【 】A . 若a b =，则a b =B . 若a b =，则//a bC . 若a b >，则a b >D . 若1a =，则1a =6.在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则 【 】A . 与共线B . 与共线C . 与相等D . 与相等7.已知非零向量a ∥b ，若非零向量c ∥a ，则c 与b 必定 .8.已知a 、b 是两非零向量，且a 与b 不共线，若非零向量c 与a 共线，则c 与b 必定 . 9.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC =60°，则|BC |= .10.在四边形ABCD 中， AB =DC ，且|AB |=|AD |，则四边形ABCD 是 .2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是 【 】A ．00a b =B ．001a b ⋅= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 2.在平行四边形中ABCD ，,AB AD ==a b ，则用a 、b 表示AC 的是 【 】A ．a ＋aB ．b +bC ．0D ．a ＋b3.若++=，则、、 【 】A .一定可以构成一个三角形；B .一定不可能构成一个三角形；C .都是非零向量时能构成一个三角形；D .都是非零向量时也可能无法构成一个三角形4.一船从某河的一岸驶向另一岸船速为1v ，水速为2v ，已知船可垂直到达对岸则 【 】A <B >C ≤D ≥5.若非零向量，a b 满足+=a b b ，则 【 】Ａ.2>2+a a b Ｂ.22<+a a b Ｃ.2>+2b a b Ｄ. 22<+b a b6.一艘船从A 点出发以m/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，求水流的速度7.一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速8.一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为4km/h ，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和v9.一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.在△ABC 中， BC =a ， CA =b ，则等于 【 】A .a +bB .-a +(-b )C .a -bD .b -a2.下列等式:①a +0=a ②b +a =a +b ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b 正确的个数是 【 】A .2B .3C .4D .53.下列等式中一定能成立的是 【 】A . +=B . -=C .+=D . -=4.化简-QP ++的结果等于 【 】A .B .C .D .5.如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:a +b = ，b +c = ，c -d = ，a +b +c -d = .6.一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 .7.若a 、b 共线且|a +b |＜|a -b |成立，则a 与b 的关系为 .8.在正六边形ABCDEF 中， =m ， =n ，则= .9.已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件 .10.在五边形ABCDE 中，设=a ， =b ， =c ， =d ，用a 、b 、c 、d 表示.2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1．下列命题中正确的是 【 】A ．OA OB AB -= B ．0AB BA +=C ．00AB ⋅=D ．AB BC CD AD ++=2．下列命题正确的是 【 】A ．单位向量都相等B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C ．||||b -=+，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=3. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是【 】 A . 0=λ B . 02=e C .1e ∥2e D .1e ∥2e 或0=λ4.对于向量,,a b c 和实数λ ，下列命题中真命题是 【 】A .若0 =⋅b a ，则0a =或0b =B .若0a λ=，则0λ=或0a =C .若22a b =，则a b =或a b =- D .若 c a b a ⋅=⋅，则b c =5.下列命题中，正确的命题是 【 】A .a b a +≥且.a b b +≥B .a b a +≥或.a b b +≥C .若,a b c >>则c b b a +>+D .若a 与 b 不平行，则a b a b +>+6.已知ABCD 是平行四边形，O 为平面上任意一点，设,,,OA a OB b OC c OD d ====，则有【 】A .0 =+++d c b aB .0 =-+-d c b aC .0 =--+d c b aD .0 =+--d c b a7.向量a 与 b 都不是零向量，则下列说法中不正确的是 【 】A .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与a 的方向相同B .向量a 与 b 同向，则向量a + b 与b 的方向相同C .向量a 与 b 反向，且,b a >则向量a + b 与a 同向D .向量a 与 b 反向，且,b a <则向量a + b 与a 同向8.若a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a |+|b |，则有 【 】A .a ∥b 且a 、b 方向相同B .a =bC .a =－bD .以上都不对9.在四边形ABCD 中，AB －DC －CB 等于 【 】 A . B .BD C .AD D .2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理1.若ABCD 是正方形，E 是DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE 等于 【 】A .12b a +B .12b a -C .12a b +D . 12a b - 2. 若O 为平行四边形ABCD 的中心， = 4e 1， = 6e 2，则3e 2－2e 1等于 【 】A .B .C .D .3. 已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 及平面内一点P ，满足0PA PB PC ++=，若实数λ满AB AC AP λ+=，则λ的值为 【 】A .2B .32C .3D .64. 在ABC △中，AB =c ，AC =b .若点D 满足2BD DC =，则AD = 【 】A .2133+b cB .5233-c bC .2133-b cD .1233+b c 5. 如右图在平行四边形ABCD 中，=，b AD =，3=，M 为BC 的中点，则=【 】A .2141-B .2141-C .)(41-D .)(41- 6.如右图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD的中点， D E 与A F 相交于点H ， 设b a 则,,==等于_____. 7.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为______ 8.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或μλ+=，其中λ，μR ，则λ+μ= _________.9．在 ABCD 中，设对角线AC =a ，=b 试用a ， b 表示，BC10．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知AB =21e +k 2e ， CB =1e +32e ， CD =21e -2e ， 若三点A ， B ， D 共线，求k 的值2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算1. 若(2,4)AB =，(1,3)AC =， 则BC = 【 】A .(1，1)B .(－1，－1)C .(3，7)D .(-3，-7)2.下列各组向量中，不能作为平面内所有的向量的基底的一组是 【 】Ａ.)5,0(),2,1(=-= Ｂ.)1,2(),2,1(==Ｃ.)4,3(),1,2(=-=b a Ｄ.)2,4(),1,2(-=-=b aCB EC ADHF3.已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b 【 】 Ａ.(21)--， Ｂ.(21)-， Ｃ.(10)-， Ｄ.(12)-， 4.若向量()3,2-=x a 与向量()2,1+=y b 相等，则 【 】A .x =1，y =3B .x =3，y =1C .x =1，y = -5D .x =5，y = -15.点B 的坐标为(1，2)，的坐标为(m ，n )，则点A 的坐标为 【 】A .()n m --2,1B .()2,1--n mC .()n m ++2,1D .()m n ++2,16.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BD = 【 】A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）7.已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则+=_____________________.8.已知向量()1,2-=a ，()3,1-=b ，则b a 32-的坐标是 .9.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 .10．已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 的中点为C ，则OC 的坐标为 .2.3.4 平面向量共线的坐标表示1. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝ 【 】A .(5,10)--B .(4,8)--C .(3,6)--D .(2,4)--2．已知向量()3,x a = ，()1,3-=b ， 且a 与b 共线，则x 等于 【 】A . 1-B . 9C .9-D .13．已知()5,2-=a ，︱b ︱=︱a 2︱，若b 与a 反向，则b 等于 【 】A .(-4，10)B .(4，-10)C .(-1 ， 25)D . (1， 25-) 4． 平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是【 】A .（2，1）B .（2，2）C . （1，2）D .（2，3） 5．与向量()5,12=d 不．平行的向量是 【 】 A .()5,12-- B .⎪⎭⎫ ⎝⎛135,1312 C .()5,12- D .()10,24 6.已知a ，b 是不共线的向量，AB ＝λa ＋b ，AC ＝a ＋μb (λ，μ∈R)， 那么A ，B ，C 三点时λ，μ满足的条件是 【 】A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝17.与向量)4,3(--=同方向的单位向量是_______.8.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ .9．已知A (-1，-2)，B (4，8)，C (5，x )，如果A ，B ，C 三点共线，则x 的值为 .10．已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，︱m ︱=4137求向量m 的坐标.2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 1下列叙述不正确的是 【 】A 向量的数量积满足交换律B 向量的数量积满足分配律C 向量的数量积满足结合律D a ·b 是一个实数 2已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于 【 】 A 72 B -72 C 36 D -36 3. 已知向量a =1，b =2，b a ⋅=1，则向量a 与b 的夹角大小为A .4πB .3π C .32π D .65π 4已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是 【 】A 60°B 30°C 135°D ４５°5.若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是 【 】A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形 6.若向量a →=(cos sin )αα，，b →=(cos sin )ββ，，则a →与b →一定满足 【 】A .a →与b →的夹角等于αβ-B .a b →⊥→C .a b →→//D .()()a b a b →+→⊥→-→7.下列式子中（其中的a 、b 、c 为平面向量），正确的是 【 】A ．=-B ．a （b ·c ）= （a ·b ）cC ．()()(,)a a λμλμλμ=∈RD ．00=⋅AB 8设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝9已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .10已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______ 11已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角12设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1. 已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b 【 】A .垂直B .不垂直也不平行C .平行且同向D .平行且反向2.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４b a ⋅＝ 【 】A .23B .57C .63D .833.已知a (1，2)，b (2，3)，c (-2，5)，则△a b c 为 【 】A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形D .不等边三角形4.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 【 】A .)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C .)54,53(-或)53,54(-D .)54,53(-或)54,53(- 5.已知a =(2，3)，b =(-4，7)，则a 在b 方向上的投影为 【 】A .13B .513C .565D .656.已知|a |=10，b =(1，2)且a ∥b ，则a 的坐标为 .7.已知a =(1，2)，b (1，1)，c =b -k a ，若c ⊥a ，则c ＝ .8.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .9.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 10.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 .11.已知a =(3，-1)，b =(1，2)，求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .2.5平面向量应用举例1.在四边形ABCD 中，−→−AB ·0=−→−BC ，=−→−BC −→−AD ，则四边形ABCD 的形状是 【 】A .直角梯形B .菱形C .矩形D .正方形2．设,20时πθ<≤已知两个向量12(cos ,sin ),(2sin ,2cos )op op θθθθ==+-，12PP 则向量长度的最大值是 【 】A ．2B ．32C ．3D ．233．力1F 、2F 共同作用在某质点上，已知2121,12||,5||F F N F N F 与且==互相垂直，则质点所受合 力的大小为 【 】A ．7NB ．17NC ．13ND ．10N 4.在△ABC 中，若 BC a CA b AB c ===，，且 a b b c c a ==， 则△ABC 的形状是【 】A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形5.已知作用于点O 的力21,F F 的大小分别为6，6，且两力间的夹角为60︒，则两力合力的大小为 .6．已知三点O （0，0），A （1，0），P （x ，y ）且设0,1≠≥y x .（1）如果选取一点Q ，使四边形OAPQ 成为一平行四边形，则Q 的坐标是___________；（2）如果还要求AP 的中垂线通过Q 点，则x ，y 的关系是____________；（3）再进一步要求四边形OAPQ 是菱形，则x =___________时.7. 有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝与水速成_______角的方向行驶.8. 一架飞机从A 地按北偏西300的方向飞行300km 后到达B 地，然后向C 地飞行.已知C 地在A 地北偏东600的方向处，且A 、C 两地相距300km ，求飞机从B 地向C 地飞行的方向及B 、C 两地的距离.9.已知两点),(11y x A ，),(22y x B ，试用向量的方法证明以线段AB 为直径的圆的方程为0))(())((2121=--+--y y y y x x x x .10.已知向量−→−OA 、−→−OB 、−→−OC 满足−→−OA +−→−OB +−→−OC =0，||−→−OA =||−→−OB =1||=−→−OC ，求证：ABC ∆是正三角形.第二章 平面向量参考答案2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.D2.A3.D4.A5.B6.B7.c ∥b8.不共线9.3 10.菱形2.2 平面向量的线性运算2.2.1 向量的加法运算及其几何意义1.C2.D3.D4.B5.C6.2 km/h7.4 km/h8.， 2 km/h9. 7 km/h ，3 km/h2.2.2 向量的减法运算及其几何意义1.B2.C3.D4.B5.-f -e f 06.2 km/h7.a 与b 的方向相反且都不为零向量8.m -n 9.a 与b 反向 10.b +d -a -c2.2.3 向量数乘运算及其几何意义1.D2.C3.D4.B5.D6.B7.D8.A9.C2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1 平面向量基本定理 1.B 2.B 3.C 4.A 5.C 6.2455+a b 7.2 8. 34 9. AO =OC =21a ，BO =21BD =21b ，∴AB =AO +OB =AO -BO =21a -21b ， BC =BO +OC =OC +BO =21a +21b 。