初二数学专题训练：一线三等角模型及应用A班 (答案与解析)

一线三等角模型及其应用A 班

（时间：60分钟 满分：100分）

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【知识点睛】

“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等或相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧． 一、“一线三等角”的基本构图：

二、“一线三等角”的基本性质：

1.如果123∠=∠=∠，那么D CBE ∠=∠，ABD E ∠=∠.

2.如果图中ABD ∆与CEB ∆中有一组对应边相等，则有ABD CEB ∆≅∆. 三、“一线三等角”的基本应用：

对于八年级而言，“一线三等角”主要应用于导角证三角形的全等，最常见的是直角型“一线三等角”，其次是60︒角和45︒角及一般的角. 四、“一线三等角”的用法：

若一线三等角都具备则直接应用；若一线三等角不完全具备，则需要构造出一线三等角. 五、“一线三等角”的三大模块

（1）直角型“一线三等角”——“三垂直”

直角型“一线三等角”又称“三垂直”或“K ”形图，是“一线三等角”问题中最为常见的一种.认识“三垂直”模型：直线绕直角顶点旋转，由外到内，由一般到特殊.

（2）等边三角形中的“一线三等角” （3）等腰直角三角形中的“一线三等角”

3

2

1132

C

E

B D

D

C

B

E

l

l

1、（16分）如图，ABC ∆中，AB AC =，D 、

E 、

F 分别为AB 、BC 、AC 上的点，且BD CE =，DEF B ∠=∠． （1）求证：BDE CEF ∠=∠；

（2）当60A ∠=︒时，求证：DEF ∆为等边三角形．

【解答】证明：

（1）DEC ∠是BDE ∆的一个外角， B BDE DEF CEF ∴∠+∠=∠+∠，

DEF B ∠=∠， BDE CEF ∴∠=∠；

（2）由（1）可知BDE CEF ∠=∠， AB AC =，60A ∠=︒ 60B C ∴∠=∠=︒， 60DEF ∴∠=︒，

在BDE ∆和CEF ∆中 B C

BD CE

BDE CEF ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

()BDE CEF ASA ∴∆≅∆，

DE EF ∴=， DEF ∴∆为等边三角形

2、（18分）探究：如图①，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD m ⊥于点D ，CE m ⊥于点E ，求证：ABD CAE ∆≅∆．

应用：如图②，在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC ∠=∠=∠，求证：DE BD CE =+．

【解答】证明：（1）BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， 90BDA CEA ∴∠=∠=︒， 90BAC ∠=︒

90BAD CAE ∴∠+∠=︒， 90BAD ABD ∠+∠=︒， CAE ABD ∴∠=∠，

在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ()ADB CEA AAS ∴∆≅∆；

（2）设BDA BAC α∠=∠=，

180DBA BAD BAD CAE α∴∠+∠=∠+∠=︒−， CAE ABD ∴∠=∠，

在ADB ∆和CEA ∆中 ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

， ()ADB CEA AAS ∴∆≅∆，

AE BD ∴=，AD CE =， DE AE AD BD CE ∴=+=+．

3、（20分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD =，22ABC C α∠=∠=，点E 在AD 上，点F 在DC 上.

（1）如图1，若45α=︒，BDC ∠的度数为 ；

（2）如图2，当45α=︒，90BEF ∠=︒时，求证：EB EF =；

（3）如图3，若30α=︒，则当BEF ∠= 时，使得EB EF =成立？请直接写出结果）

【解答】（1） 解：

45α=︒，22ABC C α∠=∠=，

290ABC α∴∠==︒，45C ∠=︒， //AD BC ，AD AB =，

1

452

ADB DBC ABD ABC ∴∠=∠=∠=

∠=︒， 180454590BDC ∴∠=︒−︒−︒=︒，

故答案为：90︒． （2）证明：

连接BD ，作//EM AB 交BD 于M ，

90ABC ∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒，//AD BC ， 90A ∴∠=︒，

45EMD EDM ∴∠=∠=︒，90DEM A ∠=∠=︒

EMD ∴∆是等腰直角三角形， DE EM ∴=，

90DEM BEF ∠=∠=︒，

90MEB DEF MEF ∴∠=∠=︒−∠， 45EMD EDM ∠=∠=︒，90BDC ∠=︒， 135EMB EDF ∴∠=∠=︒，

∴在EMB ∆和EDF ∆中

MEB DEF EM ED

EMB EDF ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

()EMB EDF ASA ∴∆≅∆，

EB EF ∴=．

（3）解：当120BEF ∠=︒时，EB EF =成立， 理由是：连接BD ，作//EM AB 交BD 于M ，

30α=︒，

30C ∴∠=︒，260ABC C ∠=∠=︒， //AD BC ，

120A ∴∠=︒，18030150EDF ∠=︒−︒=︒， //EM AB ，

120DEM A BEF ∴∠=∠=︒=∠， 120MEB DEF MEF ∴∠=∠=︒−∠， 30EMD ABD ADB ∠=∠=∠=︒，

18030150EMB EDF ∴∠=︒−︒=︒=∠，EM ED =，

∴在EMB ∆和EDF ∆中

MEB DEF EM ED

EMB EDF ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

()EMB EDF ASA ∴∆≅∆，

EB EF ∴=，

故答案为：120︒．