扁铲侧胀试验求解初始水平应力和静止侧压力系数_唐世栋

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用 Mindlin 解推导 K0 计算公式
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试验机理分析
扁铲侧胀试验利用静力或动力把扁铲探头贯入土 中。到达试验深度后，利用气压使扁铲侧面的圆形钢 膜向外扩张以测得压力与变形间的关系。从扁铲试验 过程看，原位土体经历了探头贯入时挤压产生的 7.5 mm（铲头厚度的一半）水平向位移（称第一变形过 程） 和试验中由膜片膨胀引起的 1.1 mm 水平位移 （称
2( h + r sin θ )h ⎡ (2h + r sin θ ) 2 + (r cos θ ) 2 ⎤ ⎣ ⎦
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图 2 土体受挤压过程力学分析 Fig. 2 Mechanical analysis on extrusion of soil
图 2 中，扁铲板面与 yoz 平面重合，膜片中心点位 于地表以下 h 处（即扁铲试验深度） ，J 为弹性半无限 体中任意一点。由扁铲结构尺寸可知：m = 94 mm、n
∆pdydz ⎧3 − 4 µ 1 2 zh 4(1 − µ )(1 − 2 µ )⎫ + + 3 + ⎨ ⎬ 。(3) 16 πG (1 − µ ) ⎩ R1 R2 R2 R2 + h + z ⎭
式中 G 为土的剪切模量； µ 为泊松比；R1 为微集中 力 dQ 至圆膜中心点 M 的距离， R1 = y 2 + ( z − h) 2 ； R2 为与 dQ 作用点关于 y 轴的对称点至 M 的距离， R2 = y 2 + (h + z ) 2 。
Abstract: According to the stress-strain characteristics of soil in flat dilatometer tests, the relationship between the test results and two indexes (shear modulus and the Poisson’s ratio) of the soil was derived based on the Mindlin’s solution in the elastic theory. Then, the theoretical formula of the in-situ initial horizontal stress σh0 and the lateral earth pressure coefficient at rest K0 were derived. Compared with the practical data of subway projects in Shanghai, the analytic results were satisfactory. Key words: flat dilatometer test (DMT); in-situ horizontal stress; lateral earth pressure coefficient at rest; Mindlin’s solution
摘
要：根据扁铲侧胀试验全过程中土体应力应变特点，以弹性理论中的 Mindlin 解为基础导出试验结果与土体剪切模
量和泊松比之间的关系，进而得到原位土体初始水平应力 σ h 0 的理论计算式及静止侧压力系数 K0 的表达式。用上海地 区地铁工程的实际资料进行对比分析，结果令人满意。 关键词：扁铲侧胀试验；原位水平应力；静止侧压力系数；Mindlin 解 中图分类号：TU413 文献标识码：A 文章编号：1000–4548(2006)12–2144–05 作者简介：唐世栋(1952– )，男，博士，副教授，从事岩土工程教学和研究工作。
(1 − µ )(1 − 2 µ )⎫ ∆p ⋅ a ⋅ (3 − 4 µ ) ⎬ dr ≈ h 8G (1 − µ ) ⎭
。
(5)
事实上，上述简化产生的误差非常小。经对不同 深度进行验算，式（5）与（4）的最大误差不到 1%， 且随着试验深度的增大误差逐渐减小。将膜片中心点 位移 SM = 1.1 mm 和 a = 30 mm 代入式（5）得 G (1 − µ ) = 3.41∆p 。 (3 − 4 µ )
0
引
言
在岩土工程设计中， 静止侧压力系数 K0 是一个非 常重要的参数，一般通过室内土工试验求得。但取样 过程中的扰动和室内试验对土体原始应力状态的影 响， 使所测得的 K0 值无法真实反映现场土体的原位应 力特点。因此，如何通过原位测试技术快速、简便、 真实地获取实际工程场地初始水平应力信息是岩土工 程界的难题之一。扁铲侧胀试验（DMT）是 Marchtti 发明的、国内也在开发应用的一种原位测试手段[1-3]。 扁平状测头压入时对土体的扰动性较小，且每 20 cm 可进行一次测试。它可使土体水平向受力，并测得对 应于不同水平位移时的反力大小，为通过现场原位试 验有效获得静止侧压力系数提供了可能。
第二变形过程） ， 土体的初始应力状态发生了变化。 原 位土体的初始水平应力为 σ h 0 ，在第一和第二变形过 程后土体对探头的反力分别为 p0 和 p1 （ p0 和 p1 可由 试验直接测得） 。则在第一变形过程后有 p0 = σ h 0 + ∆σ h ， (1) 或者表示为 σ h 0 = p0 − ∆σ h ， (2) 式中， ∆σ h 为第一变形过程引起的土体水平向附加应 力。由式（2）可知，如能求得第一变形过程产生的 ∆ σ h ，即可获得原位土体初始水平应力 σ h 0 。
4(1 − µ )(1 − 2µ )⎫ ⎬ dydz R2 + h − s + z ⎭
，
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土
工
程
学
报
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式中，R1 =
y 2 + ( z − h + s ) 2 ，R2 =
y 2 + ( z + h − s)2 。
角点处 f (0,0) = A ⋅
为便于积分，将对于 yoz 坐标下的积分转化为在 ξƠη 局部坐标下的积分，ξ 轴过点 O'与 y 轴平行，η 轴过 O'点且与 z 轴重合，此时 q (ξ ,η ) ⎧ ⎪ 3 − 4µ SO′ = ∫∫ + ⎨ 2 2 µ 16 π (1 ) G − ξ η + D ⎪ ⎩ 1 2(h − s + η )(h − s ) + + 3 2 2 (2h − 2 s + η ) + ξ ⎡ (2h − 2 s + η ) 2 + ξ 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎫ 4(1 − µ )(1 − 2µ ) ⎪ ⎬ dξ dη 。 (9) 2 2 (2h − 2s + η ) + ξ + 2h − 2s + η ⎪ ⎭ 考虑到 s、ξ、η 相较于试验深度 h 都很小，因此， 式（9）又可简化为（简化过程类似于膜片膨胀过程的 简化分析） ： n m q(ξ ,η ) ⎧ 3 ⎪ 3 − 4µ SO ′ ≈ ∫ ∫ + + ⎨ 2 0 0 16 πG (1 − µ ) 2 ⎪ ⎩ ξ + η 4h (1 − µ )(1 − 2 µ )⎫ ⎬ dξ d η h ⎭ n m q(ξ ,η ) 3 − 4µ ≈∫ ∫ { }dξ dη 。 (10) 0 0 16 πG (1 − µ ) ξ 2 +η2 式（10）给出了土体上的作用分布荷载与所产生 的角点位移之间的积分关系式。 为求解出函数 q (ξ, η)， 假设矩形板面上平均应力为 qm，则有
(7)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
式中，修正系数 F(ID)=2.6 / ID。在 ID<2.6 时，F（ID） 恒大于 1，且随着 ID 的减小而增大。 2.2 水平向附加应力 ∆σ h 的推导 设扁铲压入时土体受挤压过程 （即第一变形过程） 为一拟弹性变形过程，建立 Mindlin 解分析坐标系如 图 2 所示。
图 1 膜片膨胀受力计算简图 Fig. 1 Stress diagram for the swelling of diaphragm
Solution to initial horizontal stress and lateral earth pressure coefficient at rest by flat dilatometer tests
TANG Shi-dong，Lü Jian-chun，FU Zong
(Department of Geotechnical Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)
第一、第二变形过程是在现场对同一点土体进行 试验时的前后两个变形阶段。以下根据弹性力学中的 Mindlin 解[4]，先从第二变形过程反算土体的变形参 数，修正后用于第一变形过程，以算出水平向附加应 力 ∆σ h ；再由式（2）算出原位初始水平应力 σ h 0 ，并 进一步得到 K0 的计算公式。 2.1 由膜片膨胀过程反算半无限体弹性变形常数
2
。
(4)
为便于分析，取图 2 中 O'点给出其位移表达式[4]：
考虑到试验深度 h 要远远大于圆膜的半径 a，则 上式可简化成为 2π a ∆p ⎧3 − 4 µ 1 1 SM ≈ .∫ dθ ∫ r ⋅ ⎨ + + + 0 16 πG (1 − µ ) 0 2 h 4h ⎩ r
q ( y, z ) ⎧3 − 4 µ 1 2 z (h − s ) + + + SO′ = ∫∫ ⎨ 3 16 πG (1 − µ ) ⎩ R1 R2 R2 D
要求得在整个圆域上均布荷载 ∆p 作用时 M 点的 位移 SM，还需将 dSM 在圆域 D 上积分。为便于求解， 可将对于 yoz 平面的直角坐标积分转化为以圆心 M 为 极点的极坐标积分，则 S M = ∫∫ dS M D ∆p ⋅ r d r d θ 1 ⎧3 − 4 µ ＝∫∫ + + ⎨ 16 π G (1 − µ ) r ⎩ (2h + r sin θ ) 2 + (r cos θ ) 2 D
α = 500 ⋅ A ，可解得 α = 1.418 × 107 ， β
─────── 收稿日期：2005–12–06
第 12 期
唐世栋，等. 扁铲侧胀试验求解初始水平应力和静止侧压力系数
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在第二变形过程中，膜片膨胀时土体受到半径 a ＝30 mm（膜片半径）的圆形均布荷载作用，荷载的 大小 ∆p = p1 − p0 ，引起中心点位移 SM = 1.1 mm。为 便于应用 Mindlin 解进行分析，以图 1 所示 yoz 平面 坐标系表示（按右手坐标系规则，x 轴过原点垂直纸 面向外） 。图中，膜片平面与 yoz 平面重合，中心点坐 标为（0，h） ，h 即扁铲试验的试验深度，均布荷载 ∆p 作用在圆膜面上，方向垂直纸面向外（即 x 轴正向） 。 取圆形面积上任意一点 J（y，z） ，则该点所在微元面 积上的集中力 dQ = ∆pdydz。根据 Mindlin 解，在该微 集中力 dQ 的作用下，圆形中心点 M 处沿 x 轴正向将 产生位移 dS M =
(6)
但式（6）在砂性土中的适用性似乎不强。在上海 地区，砂性土的材料指数 ID 值的下限为 2.6[5]，考虑 到试验过程中土体第一变形阶段与第二变形阶段有所 不同，故对式（6）作如下修正后再用于第一变形阶段 的推导中，即 G (1 − µ ) = 3.41 ⋅ F ( I D ) ⋅ ∆p 3 − 4µ ，
第 28 卷 2006 年
第 12 期 12 月
岩
土
工
程
学
报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.28 No.12 Dec., 2006
扁铲侧胀试验求解初始水平应力和静止侧压力系数
唐世栋，吕建春，傅 纵
(同济大学地下建筑与工程系，上海 200092 )
= 160 mm、s =110 mm、t = 50 mm、板面所在区域 D = {0≤y≤m，h-s≤z≤h+t}。设扁铲压入时其矩形板面
上的反力分布函数为 q (y， z)， 矩形面上任意一点的位 移均是在 q (y，z)的作用下产生的，位移值为 7.5 mm。
+ 3
4(1 − µ )(1 − 2 µ ) (2h + r sin θ ) + (r cos θ ) + 2h + r sin θ