变力做功问题(2)(最新整理)

速直线运动！对于非匀变速运动： v0 vt t s 。 v
2
vt
我们可用 v-t 图像直观得来了解：如右图
v
Ⅰ Ⅱ
所示的Ⅰ线表示物体做匀速直线运动，Ⅱ线表
v0
示物体做加速度增加的变加速度运动。在 v-t 0
t t
图像中可以用“面积”表示位移。Ⅰ线与坐标轴围成的面积为一梯形。
SI
s
v0
vt 2
t
依次可写出每一个单元中力做的功：
W1 F1 s0 ，W2 F2 s0 ，W3 F3 s0 ， Wn Fn s0 整个过程的力 F 做的功为所有单元的位移 s0 内做功的总和：
W W1 W2 W3 Wn W F1 s0 F2 s0 F3 s0 Fn s0
10m/s2）
解：物体由 A 滑到 C 的过程中，根据牛顿第二定律：
N-mgcosθ= m v2
R
所以 N= mgcosθ+ m v2 由此可看出弹力 N 是个变力，而由
R
于摩擦力 f =μN=μ（mgcosθ+ m v2 ），摩擦力也是个变力，而此力
R
所做的功显然不能用公式 W=Fscosα来做，但我们用动能定理却很
s s0
分析：功的公式W Fs 一般适用于恒力做功，对于变力做功我们
可以采用微元法处理，我们把位移 s 平均分成 n 等分。设每一分为 s0。
可见 n 越大 s0 就越小。在每一个单元中，s0 越小，直角梯形就越接
近矩形，所以 s0 越小，则在一个单元中的力 F0 就可以看作常力。在 每一个单元的力做功可写成：W0 F0 s0 。
经历的时间都可以用该公式求解。 例 1：质量为 m 的车在平直公路上以恒定功率 P 从静止起动，已
知：在时间 t 内发生了位移 s，最终以速度 v 行驶，起动过程中的阻
力 f 恒定。求汽车牵引力对汽车所做的功。
分析：由 P Fv ，汽车起动过程，速度越来越快（ v 增大），则在
功率 P 不变时牵引力 F 就会变小，因此牵引力对汽车做的功属于变力 做功的问题，不可用公式W Fs 求解。而公式W Pt 则不管是否为恒 力做功都可以。
v02
1 2
mvt
v0 vt
v0
t
① ② ③
把②式代入③式得： W
1 2
F
t(vt
v0 )
F
v0
2
vt
t
④
对于④式中的 v0 vt t ，在匀变速运动中是平均速度 v 与位移 s 的
2
乘积,即 v0 vt t v t s 。 对于匀变速直线运动：W F s 。
2
这里就有一个矛盾，力 F 的大小在均匀变化时物体不可能做匀变
力所做的功为
Wf
=
1 2
mv
2
-mgR=-119/2J
所以摩擦
方法三：平均力求解（W Fs ）
对于力 F 的大小改变的首要条件是均匀改变，而力 F 的改变联系
F
的参量一般有两个，时间 t 和位移 s。
F0
讨论一、力 F 的大小随位移 s 均匀变化之，
我们用图像法讨论。作出 F-s 图像如右图。 0
解：由功率公式W Pt ，可以求解牵引力所做的功。
方法二：利用功能关系
功能关系解答问题的好处是不用关心中间的过程，只要找准初末
状态确定的能量值。中间过程所有力（变力或者恒力）对物体做的功
就等于做功过程初末状态的能量差。在例 1 中我们对汽车运用动能定
理：
解：设起动时为零时刻初态，动能为零；汽车到达最大速度时为
位移的乘积计算边里做的功。
例 3、用锤子把钉子钉入木块中，设每次打击时锤子对铁钉做
的功都相等，铁钉进入木块受的阻力跟钉入的深度成正比。如果钉子
第一次被钉入的深度为 4cm，则第二次打击后可再进入几 cm?
解：力 F 与深度 s 成正比，而在本例中位移就是深度，力 F 与
位移 s 满足正比关系，故每次锤子打击铁钉时所做的功可以用公式
变力做功问题
吴云坤 玉溪市第一中学，云南 玉溪，653100
[内容摘要]：变力做功问题是个难点，如果力不是一个恒定的常量，在计算力所 做功的时候就不能直接用功的计算式，本文利用功率、功能关系、平均力三个方 面求解变力做功的问题，通过实例讲解总结变力功的几种方法。 [内容摘要]：变力 做功 位移 能量 图像
；
而Ⅱ线与坐标轴围成的面积与梯形面积不相同（图中 S SI ，若 力 F 随时间逐渐减小，物体做加速度逐渐减小的变加速度运动，则
S SI ）， 力 F 的 大 小 随 时 间 t 做 均 匀 变 化 变 力 F 做 功 ： W F v0 vt t F s 。
2
所以当力 F 的大小随时间 t 做均匀变化时，求力 F 对物体做功不
能用平均力与位移的乘积来计算。
力对物体做功问题的求解，是高中阶段的一个学习主线，对这一
部分知识的学习是为进一步认识功能关系，建立能量守恒思想打基
础。这里讨论了力对物体做功的部分情况，它也是高中阶段常用的解
答力对物体做功问题的主要方法，通过讨论大家可以加深对做功问题
的理解认识。而“微元法”、“动能定理”、“图像法”、“动量定理”求
方便的将之求出。
根据动能定理有：mgR+Wf
=
1 2
mv
2
-0
可得物体从 A 滑到 C 的过
程中，摩擦力所做的功为：Wf
=
1 2
mv 2
-mgR=
1 2
1 92
1×10×10=-
119/2J
当然此题也可以用功能关系做，根据功能关系，物体克服摩擦力
所做的功等于物体减少的机械能。-Wf =mgR-
1 mv 2 2
W= Fs cos 来计算。第一次打击时锤子对钉子做的功 W1= F1 s1，第二
次 做 的 功 W2= F2
(s2-
s1)， 设
F=ks,有 ：
Hale Waihona Puke BaiduF1
= 0 ks1
2
F2
=
ks1
2
ks2
根据题意 W1 = W2，解得：s2= 2 s1，Δs= s2- s1=( 2 -1) s1=2( 2 -1)cm。
解力对物体做功方法的应用，能帮助我们渗透物理思想，体会物理学
中的知识联系，为建立物理学系统性打下重要基础。
[参考文献]： 1 花洪平.高中物理解题重要方法:微元法[J].2009（27）. 2 徐鹏.怎样求解变力做功[J].数理化学习(初中版).2009(04). 3 邢彦君，邢星.变力做功的计算[J].物理教师.2009（01）. [作者简介]： 吴云坤，男，云南省江川县人，学士，工作单位：云南省玉溪市第一中学高中物 理组，邮编：653100。
末态，动能为 EK
1 2
mv
2
。由动能定理有：
W总
E K
列等式：W总
WF
Wf
1 mv2 2
变为：WF
1 mv 2 2
Wf
得：WF
1 mv 2 2
f
s
例题 2、如图所示，一个质量为 1kg 的物体从 A 点沿半径为 10
m 的粗糙半球内表面由静止开始下滑，到达最低点 C 时的速度为
9m/s，求物体从 A 到 C 的过程中，摩擦力所做的功是多少？（g 取
讨论二：如果力 F 的大小随时间 t 做均匀
F
变化，作 F-t 图像如图所示，设物体的质量为 m，
在变力 F 的作用下物体的速度从 v0 变到 vt。
0
由动能定理： W
EK
1 2
mvt2
1 2
mv02
由动量定理： F t p mvt mv0 mvt v0
由①变形得：W
1m 2
vt2
W F1 F2 F3 Fn s0
由于 s 是均匀分割的，所以 F 的变化是按等差数列变化。由等差
数列的前 n 项和公式有：
W
nF1
2
Fn
s0
F1
Fn 2
ns0
由三角形可知 F1 Fn 为中位线，相当于变力的平均值 F ，ns0 为整
2
个过程的中位线，所以：W F s0
当力的大小随着位移均匀变化时，变力做功可以用力的平均值与
初高中物理教材中关于力对物体做功的基本定义式为：W Fs 。 或者W Fs cos （式中θ表示力与位移之间的夹角）。在没有学习微 积分之前我们只能用于解答恒力做功的问题。可是在实际问题中变力 做功的问题经常遇到，这里给出三种求解变力做功的方法：
方法一：利用功率求解（W Pt ） 功率公式W Pt 中没有要求恒力条件，所以只要给出功率与过程