切比雪夫不等式的意义、内涵

切比雪夫不等式的意义、内涵

摘要：切比雪夫不等式是研究素数分布的重要理论成果。它准确描述了素数定理应用领域

的边界极限。正确理解，准确诠释切比雪夫不等式的内涵，才能在论证相关数论命题时，把切比雪夫不等式作为可靠的论据使用。

关键词：不等式，极限不等式，邻域常数c；

一，概念、符号、定义

1，a=0,92129；

2，【连续合数段】的中值元素N；N≥9；

3，π(N)：不超过N的素数个数。

4，素数定理：π(N)~N

ln N

；

5，极限不等式：在自变量趋于无穷时成立的不等式。

6，邻域：在一个【连续合数段】中，若中值元素为N，称N±∆N为邻域。

7，邻域常数c：切比雪夫不等式中，随自变量变化的一个附加参数。

二，切比雪夫不等式的意义

1，切比雪夫不等式是极限不等式：

a≤lim

N→∞π(N)

N

ln N

≤

6

5

a

2，一般的，任意给定【连续合数段】的中值元素N，在N的邻域N±∆N内，存在【邻域常数】c≥0，使得

(a−c)

N±∆N

ln(N±∆N)

≤π(N±∆N)≤(1.2a+c)

N±∆N

ln(N±∆N)

3，存在极限

lim

N→∞

(a−c)=a

lim

N→∞

(1.2a+c)=1.2a

lim

N→∞

c=0

三，实验确定【连续合数段】的中值N之邻域内，对应的邻域常数c 1，根据

(a−c)

N±∆N

ln(N±∆N)

≤π(N±∆N)≤(1.2a+c)

N±∆N

ln(N±∆N)

（1）取【连续合数段】的中值元素N=26的邻域时，可得实验数据

π(26)≥(a−c)

26 ln26

c>26a

ln26−π(26)

26

ln26

=a−

9

7.98012

=0.92129−1.12780=−0.20651π(26)≤(1.2a+c)

26

ln26

c>π(26)−

26(1.2a)

ln26

26

ln26

=

9

7.98012

−1.2a=1.12780−1.105548=0.02225

推知：取【连续合数段】的中值元素N=26时，有邻域常数

c=0.0223>0.02225

即有

0.899038

N±∆N

ln(N±∆N)

≤π(N±∆N)≤1.1278

N±∆N

ln(N±∆N)

（2）取【连续合数段】的中值元素N=120时，得到实验数据

π(120)≥(a−c)

120 ln120

c>120a

ln120−π(120)

120

ln120

=a−

30

25.0653

=0.92129−1.19687=−0.275583π(120)≤(1.2a+c)

120

ln120

c>π(120)−

120(1.2a)

ln120

120

ln120

=

30

25.0653

−1.2a=1.19687−1.105548=0.091325

可知：取【连续合数段】的中值元素N=120时，有邻域常数（峰值）

c=0.09133>0.091325

即有

0.82996N±∆N

≤π(N±∆N)≤1.197

N±∆N

（3）取【连续合数段】的中值元素N=1

2

(1328+1360)=1344时，可取邻域常数

c=0.058>π(1344)

1344

ln1344−1.2a=217

186.57842

−1,105548=0.057502

（4）【连续合数段】中值元素的邻域常数满足0≤c≤0.9133

在区间(8,120]上，邻域常数c呈现锯齿状单调递增；在N=120的邻域内达到峰值

c=0.091325

在区间[120,∞)上，邻域常数c呈现锯齿状单调递减；直至

lim

N→∞

c=0

2，根据切比雪夫不等式的意义，当【连续合数段】的中值元素N>1344时，应有

(a−0,058)

N

ln N

≤π(N)≤(1.2a+0.058)

N

ln N

四，切比雪夫不等式的一个重要推衍与应用（1），根据N>1344时，存在不等式

0.86329[N

ln N ]≤π(N)≤1.16355[

N

ln N

]

立即得到

0.74527[

N

ln N

]2≤[π(N)]2≤1.3538[

N

ln N

]2

（2），根据哈代-李特伍德按照“圆法”得到的，偶数【1+1表法】渐近式：

r2(N)~1.3202 [N

(ln N)2]∏

p−1

p−2 2

按照（1）的结论，当取偶数N>1344时，即可推出

0.9839 [N

(ln N)2]∏

p−1

p−2

2

≤r2(N)≤1.7873 [

N

(ln N)2

]∏

p−1

p−2

2

（3），根据双筛数学模型及欧拉常数得到的，偶数【1+1表法】渐近式：

r2(N)~1.6648 [1−

2

(ln N)2

]2 [

N

(ln N)2

]∏

p−1

p−2

2

按照（1）的结论，当取偶数N>1344时，即可推出

1.2407 [1−

2

(ln N)2

]2 [

N

(ln N)2

]∏

p−1

p−2

2

≤r2(N)≤

2,2538 [1−

2

(ln N)2

]2 [

N

(ln N)2

]∏

p−1

p−2

2

参考资料：

1 初等数论：潘承洞，潘承彪著1997.6 月北京大学出版社

2 组合数学：屈婉玲著1997.9 月北京大学出版社

3 王元论哥德巴赫猜想李文林著1999.9 月山东大学出版社

4 数学与猜想G.玻利维亚2001.7 月科学出版社

5 数论导引哈代著2008.10 月人民邮电出版社

6 华罗庚文集2010.5 月科学出版社

7 代数数论冯克勤著2000.7 月科学出版社

8 表偶数为两个奇素数之和的表法【个数】渐近式，2021，3月，百度文库