计数原理与排列组合课件资料讲解
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2024版新教材高考数学总复习：第一节计数原理与排列组合课件
第一节
计数原理与排列组合
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其
意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组
合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案
5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共
选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为
30
________．
解析：分以下2种情况：
(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有31 42 种不同的选法．
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有32 41 种不同的选法．
(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不
相同的．( √ )
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人
各1本，则不同的送法种数是(
)
A．12
B．24
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.
∴共有3＋6＋1＝10个，故选C.
(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效
据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．
计数原理与排列组合
必备知识·夯实双基
关键能力·题型突破
【课标标准】 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其
意义.2.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组
合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
必备知识·夯实双基
知识梳理
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案
5．(易错)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共
选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为
30
________．
解析：分以下2种情况：
(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有31 42 种不同的选法．
(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有32 41 种不同的选法．
(2)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不
相同的．( √ )
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × )
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ )
2．(教材改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人
各1本，则不同的送法种数是(
)
A．12
B．24
①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；
②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；
③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222.
∴共有3＋6＋1＝10个，故选C.
(2)[2023·河南安阳模拟]为推动就业与培养有机联动、人才供需有效
据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63＝216种．
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列
答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A������������ = (���������-������!���)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元 素的一个全排列. A������������ =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
������(������-1)! (������-������)!
=
������! (������-������)!
=
A������������ ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A������������--11
=
(������-1)! [(������-1)-(������-1)]!
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
高三数学《101计数原理与排列组合》课件
2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序”
和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题
[ 例 1]
四个同学称体重，记年龄为 n(n ＝ 17,18,19,20)
的同学体重为 f(n)( 单位： kg) ．若 f(n)∈{56,57,58,59,60,61} ，
且满足 f(17)<f(18)≤f(19)<f(20) ，则这四位同学的所有可能
10.1 计数原理与排列组合
知识归纳
1．分类计数原理
完成一件事，有两类不同方案，在第1类方案中有m种不 同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件 事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步计数原理 完成一件事，需要分成两个步骤，做第一步有m种不同的方 法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m×n种不同的方法．
所以区分一种分法是分类还是分步就看这种分法中的一 ．．．．．．． 种方法能否完成这件事情． ．．．．．．．．．．．．
3．排列
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排
成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．所有排 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A表示． (1)当m<n时的排列称为选排列，排列数
形．
①有 4 个不同体重，共 C4 6种． ②有 3 个不同体重，共 C3 6种．
3 ∴共有 C4 ＋ C 6 6＝ 35 种．
答案：D
若直线方程ax＋by＝0中的 a、b可以从 0,1,2,3,5这五个 数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线一 共有________条． 解析：分两类：第一类，a、b均不为零，a、b的取值
体重有 A．15种 C．30种 ( ) B．20种 D．35种
高考数学一轮复习 10.1计数原理、排列与组合课件
1-1 有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的
排法?
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
解析 (1)解法一:元素分析法.先排甲有6种,再排其余人有 A 种88 ,故共有6·
A
8 8
=241
920(种)排法.
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13
解法二:位置分析法.中间和两端有 A
列, A
n=n·(n-1)·(n-2)·…·3·2·1=n!.于是排列数公式写成阶乘形式为
n
=A
m n
( n n,规!m )定! 0!=1.
4.组合
(1)定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同
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4
元素中取出m个元素的一个组合.
(2)组合数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用 C表mn 示.
(3)计算公式:
C
=m
n
A
m
n=
A
m m
n(=n1). 由(于n0!m=1,1所) 以 =n1! .
m(m1)1 m !( n m ) !
C
0 n
5.组合数的性质
(1) C
m=
n
C
;n(2m )
n
=C
m+
n1
C
.m n
C m 1 n
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列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
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3
(2)排列数定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用 表A mn 示.
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1第2课时排列的综合应用课件新人教A版选修2
(2)法一(间接法) 7 人任意排列，有 A77种排法，甲、 乙两人相邻的排法有 A22×A66种，故甲、乙两人不相邻的 排法有 A77－A22×A66＝3 600(种)．
法二(插空法) 将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法．故排法共有 A55×A26＝3 600(种)．
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标] 1.进一步理解排列的概念(重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难 点)．
1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)．
解析：先对 8 个人全排列，有 A88种情形，其中甲、
乙的顺序有两种情形，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占 一半，则甲、乙顺序一定的情形有12A88种，所以男生甲和
12A88 1 女生乙顺序固定的概率为 P＝ A88 ＝2.
答案：12
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止 重复与遗漏．
2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选 择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有 时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和 分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步” 的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各 类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能 不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性， 也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于 画树状图．
法二(插空法) 将其余 5 人全排列，有 A55种排法，5 人之间及两端共有 6 个位置，任选 2 个排甲、乙两人，有 A26种排法．故排法共有 A55×A26＝3 600(种)．
1.2 排列与组合 1.2.1 排列
第 2 课时 排列的综合应用
[学习目标] 1.进一步理解排列的概念(重点)． 2. 掌握解有限制条件的排列应用题的一些常用方法，并能运 用排列的相关知识解一些简单的排列应用题(重点、难 点)．
1．解简单的排列应用题的基本思路
2．解排列问题的基本方法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的 要求，再考虑一般元素(又称为元素分析法)；或以位置为 考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又 称位置分析法)．
解析：先对 8 个人全排列，有 A88种情形，其中甲、
乙的顺序有两种情形，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占 一半，则甲、乙顺序一定的情形有12A88种，所以男生甲和
12A88 1 女生乙顺序固定的概率为 P＝ A88 ＝2.
答案：12
1．注意排列的有序性，分清全排列与选排列，防止 重复与遗漏．
2．对有限制条件的位置或元素应先排列，并适当选 择直接法或间接法．
3．同一问题，有时从位置分析法入手较为方便，有 时从元素分析法入手较为方便，应注意灵活运用．
4．要通过解答排列应用题，深化对分步计数原理和 分类计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步” 的意识，并在具体操作中确保两点：一是分类要使得各 类的并集等于全集，任意两类的交集为空集，这样才能 不重不漏；二是分步要使得各步具有连续性、独立性， 也要保证“不重不漏”．在分类与分步的过程中，要善于 画树状图．
高考讲计数原理与排列组合课件理
课件理2023-11-05contents •引言•计数原理•排列组合的应用•计数原理与排列组合的关系•高考真题解析•总结与展望•参考文献与致谢目录01引言理解计数原理和排列组合的基本概念和应用掌握计数原理和排列组合的解题方法提高解决实际问题的能力课程目标课程大纲第一章：计数原理理解计数原理的概念和意义掌握计数原理的解题方法练习计数原理的例题和习题第二章：排列组合理解排列和组合的概念和意义掌握排列和组合的解题方法练习排列和组合的例题和习题第三章：应用题解法掌握应用题的解题思路和方法通过例题和习题提高解决应用题的能力第四章：综合练习课程大纲通过综合练习，提高解决实际问题的能力对重点和难点进行归纳和总结课程大纲02计数原理定义分类加法计数原理是指，在处理复杂的问题时，将问题分成若干个互不相同的子问题，分别解决子问题，最后将各个子问题的解合并，得到原问题的解。
实例比如，一个学校有三种课程，每种课程有不同的老师和教材，学生可以选择其中一种课程，也可以选择两种或三种课程。
那么，学生选择不同课程的组合数就是分类加法计数原理的应用。
分类加法计数原理分步乘法计数原理是指，在处理复杂的问题时，将问题分成若干个相同的步骤，每个步骤都可以独立完成，最后将各个步骤的解相乘，得到原问题的解。
定义比如，一个班级要组织一次文艺晚会，需要准备节目、布置会场、安排座位等。
如果每个节目都需要排练，那么，所有节目的排练次数之和就是分步乘法计数原理的应用。
实例分步乘法计数原理定义排列是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的定义与区别区别排列需要考虑元素的顺序，而组合只考虑元素的组合方式。
实例比如，从5个人中选择3个人去旅游，那么这3个人的选择方式有3种，分别是排列3个人、组合3个人和随机选择3个人。
其中排列需要考虑3个人的顺序，而组合只考虑3个人的组合方式。
超实用高考数学重难点专题复习：专题十 计数原理 第一讲 计数原理与排列、组合(精讲课件)
典型例题
1.《周髀算经》是中国最古老的天文学､数学著作，公元 3 世纪初中国数学家赵爽创
制了“勾股圆方图”(如图)，用以证明其中记载的勾股定理.现提供 4 种不同颜色给如
图中 5 个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色
的方法种数为( C )
A.36
B.48
C.72
D.96
考点1：计数原理
核心知识整合
1.分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法， 在第 2 类方案中有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法.
2.分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法， 做第 2 步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N m n 种不同的方法.
常用的数学思想方法有：
（1）函数思想方法： 根据问题的特点构建函数将所要研究的问题，转化为对构建函数的思想如定
义域、值域、单调、奇偶、周期、最值、对称、范围和图像的交点个数等的研 究；
（2）方程思想方法： 通过列方程（组）建立问题中的已知数和未知数的关系，通过解方程（组）
实现化未知为已知，从而实现解决问题的目的； （3）数形结合的思想：
解析
③若用
3
种颜色完成涂色，颜色有
C
3 5
种选法，需要
2，4
同色
且 3，5 同色，或者 1，4 同色且 3，5 同色，或者 1，3 同色且 2，4 同色，
故有 C35 3 A33 180 种.
所以不同的着色方法共有120 480 180 780 种. 故选：B.
核心知识整合
考点2：排列与排列数
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有 所收获，才能举一反三。
计数原理与排列组合课件
计数原理与排列组合
一。复习回顾 1、知识结构
排列 基
本
原 理 组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
2。分类记数原理，分步记数原理
分类记数原理
分步记数原理
原理 区别
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法，……，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
(3)前后排问题，直排法.
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？
(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
一。复习回顾 1、知识结构
排列 基
本
原 理 组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
2。分类记数原理，分步记数原理
分类记数原理
分步记数原理
原理 区别
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法，……，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
(3)前后排问题，直排法.
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？
(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
人教B版选择性必修第二册第3章两个计数原理以及排列组合的知识点和题型课件共35张PPT
解题关键：
用基本计数原理处理综合性问题一般原则是先分类后分步
跟踪训练
（2022 春•湖北期中）如图，现在用 4 种不同的颜色对某市的 4 个区
县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，
则不同的着色方法有
种．
解：由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给①着色，有 4 种结果， 再给②着色，有 3 种结果， 再给③着色有 2 种结果， 最后给④着色，有 2 种结果， 根据分步计数原理知共有 4×3×2×2＝48 种结果， 故答案为：48．
相关知识点1
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在 第一类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方 法
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步 有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法
题型一 分类加法计数原理
方法规律总结
解决涂色问题， 可以按照颜色的种类分类， 也可以按照不同的区域分布完成
相关知识点2
排列的定义
组合的定义
按照一定的顺 序排成一列
合成一组
题型一 特殊元素（位置）优先法
例（2022 春•秀峰区校级期中）从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 _________（用数字作答）．
解：全体站成一排，男生不能站在一起，有 ＝1440 种方法
方法规律总结
当要求某些对象不相邻时，一般采用插空法：
第一步，先将不相邻的对象剔除在外，将其余对象排列好 第二步，将不相邻的对象按顺序插入替他对象之间及两端不同的 空隙中
用基本计数原理处理综合性问题一般原则是先分类后分步
跟踪训练
（2022 春•湖北期中）如图，现在用 4 种不同的颜色对某市的 4 个区
县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，
则不同的着色方法有
种．
解：由题意知本题是一个分步计数问题， 需要先给①着色，有 4 种结果， 再给②着色，有 3 种结果， 再给③着色有 2 种结果， 最后给④着色，有 2 种结果， 根据分步计数原理知共有 4×3×2×2＝48 种结果， 故答案为：48．
相关知识点1
分类加法计数原理
完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在 第一类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方 法
分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步 有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法
题型一 分类加法计数原理
方法规律总结
解决涂色问题， 可以按照颜色的种类分类， 也可以按照不同的区域分布完成
相关知识点2
排列的定义
组合的定义
按照一定的顺 序排成一列
合成一组
题型一 特殊元素（位置）优先法
例（2022 春•秀峰区校级期中）从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 _________（用数字作答）．
解：全体站成一排，男生不能站在一起，有 ＝1440 种方法
方法规律总结
当要求某些对象不相邻时，一般采用插空法：
第一步，先将不相邻的对象剔除在外，将其余对象排列好 第二步，将不相邻的对象按顺序插入替他对象之间及两端不同的 空隙中
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解法一（分步法）如题图分四个步骤来完成涂色这件 事需分为四步，第一步涂A区有5种涂法；第二步涂B有4 种方法；第三步涂C有3种方法；第四步涂D有3种方法(还 可以使用涂A的颜色)，根据分步计数原理共有 5×4×3×3＝180种涂色方法．
解法二（分类法）：20完1成1高涂色考的导方法航分为两类，第一类：
排 有序 排列 分类或分步 直接法
列 组
不易解
合
间接法
问
题
无序 组合 分类或分步
不易解 直接法
题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比 赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．
解个a2，元答a素：3，与(1a)a4（5有，捆aA6绑44，不法a同7），排先a8法排将，列a1根，一据排a2分，，步a有3计，A 55数a种4四原排个理法元知，素满再看足排成条a1件，一
的排列数为
A
5 5
A
4 4
＝2 880.
(2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四个元素排成一排，
有a8间A 隔44 种及排两法端；的再五将个元位素置a1中，的a2，四a个3，，a有4插A 入54种由排a法5，，a6根，据a7，分
计数原理与排列组合
一。复习回顾 1、知识结构
排列 基
本
原 理 组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
2。分类记数原理，分步记数原理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分类记数原理
分步记数原理
原理 区别
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法，……，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
(4)前排有 A
4 8
种排法，后排有A
4 4
种排法，由分步计数原
理知共有A
4 8
A
4 4
＝8！种排法．
方法总结 （1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这
几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排 列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。
（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共
有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排
好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素
的全排列，应有A 55种排法，由分步计数的原理,有 种不同排法．
＝720
(2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间
及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条
(3)前后排问题，直排法.
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？
(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 ) n!
m n(n 1)n (2) (nm 1)
n n!
m !
(nm)!
nm!m!
4。解排列组合问题基本思路
题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不
相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法．
由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
方法总结：
对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
步计数原理知：满足条件的排列数为
A
4 4
A
4 5
＝2 880.
(3)先排a5，a6，a7，a8，×
×
×
×；共有
A
4 4
种排
法 ； 然 后 排 a1 ， a2 ， a3 ， a4 □×□×□×□×中的□共有2
排 A
在 ×□×□×□×□ 或
4 4
种排法；；根据分步计
数原理共有
A
4 4
×2 A
4 4
＝1
152种排法．
获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).
方法小节： 解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要 注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不 能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
二、题型与方基法础知识梳理
题型3 涂色问题
【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？
件的排法共有
＝1 440种不同排法．
(3)甲、乙2人先排好，有 种排法，再从余下5人中选3人
排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视
解法二（分类法）：20完1成1高涂色考的导方法航分为两类，第一类：
排 有序 排列 分类或分步 直接法
列 组
不易解
合
间接法
问
题
无序 组合 分类或分步
不易解 直接法
题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比 赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？ 解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．
解个a2，元答a素：3，与(1a)a4（5有，捆aA6绑44，不法a同7），排先a8法排将，列a1根，一据排a2分，，步a有3计，A 55数a种4四原排个理法元知，素满再看足排成条a1件，一
的排列数为
A
5 5
A
4 4
＝2 880.
(2)(插空法）先排a5，a6，a7，a8四个元素排成一排，
有a8间A 隔44 种及排两法端；的再五将个元位素置a1中，的a2，四a个3，，a有4插A 入54种由排a法5，，a6根，据a7，分
计数原理与排列组合
一。复习回顾 1、知识结构
排列 基
本
原 理 组合
排列数公式 应 用 问
组合数公式 题
2。分类记数原理，分步记数原理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分类记数原理
分步记数原理
原理 区别
完成一件事可以有n类
完成一件事需要分成n个
办法，在第一类中有m1种不 步骤，第一步有m1种不同的 同的方法，在第二类中有m2 方法，第二步有m2种不同的 种不同的方法，……，在第 方法，……，第n步有mn种 n类办法中有mn种不同的方 不同的方法，那么完成这件 法，那么完成这件事共N= 事共N=m1×m2×……×mn
(4)前排有 A
4 8
种排法，后排有A
4 4
种排法，由分步计数原
理知共有A
4 8
A
4 4
＝8！种排法．
方法总结 （1）若某些元素必须相邻，常用捆绑法，即先把这
几个相邻元素捆在一起看成一个元素，再与其他元素全排 列，最后再考虑这几个相邻元素的顺序。
（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。
m1+m2+……+mn有种不同的方 有种不同的方法。
法。
分类记数原理针对的是
分步记数原理针对的是
“分类”问题，其中各种方 “分步”问题，各步方法相
法相互独立，用其中任何一 互依存，只有各步都完成才
种方法都可完成这件事。 能完成这件事。
3。排列与组合
排列
组合
定义
从n个不同元素中，任取 从n个不同的元素中， m(m≤n)个不同元素按照 任取m（m≤n）个不 一定顺序排成一列，叫 同的元素并成一组， 做从n个不同元素中取出 叫做从n个不同的元素 m个不同元素的一个排列。中取出m个不同的元
解答：(1)3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共
有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排
好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素
的全排列，应有A 55种排法，由分步计数的原理,有 种不同排法．
＝720
(2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间
及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条
(3)前后排问题，直排法.
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不 同的排法？
(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不 同的排法？
(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排 法？(3个女生身高互不相等)
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 ) n!
m n(n 1)n (2) (nm 1)
n n!
m !
(nm)!
nm!m!
4。解排列组合问题基本思路
题型4 排列中的“相邻”、“不相邻问题” 【例4】 a1，a2，…，a8共八个元素，分别计算满足下列 条件的排列数． (1)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素排在一 起； (2)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻； (3)八个元素排成一排，且a1，a2，a3，a4四个元素互不相 邻，并且a5，a6，a7，a8也互不相邻； (4)排成前后两排每排四个元素．
四个区域涂四种不同的颜色共有 ＝120种涂法； 第二类：四个区域涂三种不同的颜色，由于A、D不
相邻只能是A、D两区域颜色一样，将A、D看做一个区 域，共 ＝60种涂法．
由分类计数原理知共有涂法120＋60＝180(种)．
方法总结：
对涂色问题，有两种解法，法1是逐区图示法，注意不 相邻可同色.
法2根据用色多少分类法.
步计数原理知：满足条件的排列数为
A
4 4
A
4 5
＝2 880.
(3)先排a5，a6，a7，a8，×
×
×
×；共有
A
4 4
种排
法 ； 然 后 排 a1 ， a2 ， a3 ， a4 □×□×□×□×中的□共有2
排 A
在 ×□×□×□×□ 或
4 4
种排法；；根据分步计
数原理共有
A
4 4
×2 A
4 4
＝1
152种排法．
获得冠军的可能情况有5×5×5×5＝54(种).
方法小节： 解决“允许重复排列问题”常用“住店法”，要 注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不 能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的 元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。
二、题型与方基法础知识梳理
题型3 涂色问题
【例3】如图，用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每个区 域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同， 求有多少种不同的涂色方法？
件的排法共有
＝1 440种不同排法．
(3)甲、乙2人先排好，有 种排法，再从余下5人中选3人
排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视