函数的连续性与间断点学习培训教材

f1 0 lim 3 x 2 x 1 0
则 x 1是跳跃间断点，属于第一类间断点。
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例7
讨论函数
f(x)lim1x2n x n1x2n
的连续性，若有间断点
判断其类型。
0,
解 limx2n 1,
n
,
x 1 x 1, x 1
1,
lim1 x2n n1 x2n
0,
1,
x 1 x 1, x 1
f1 0 lim x 1 f1 x 1 0
f1 0 li m x 1 f1 x 1 0
函数在 x 1处既不左连续，也不右连续。 x 1是跳跃间断点。
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例2 函数
y f ( x) 12x,,
x 1, x 1.
lim f(x)lim x1,而 f (1) 1 .
x 1
x 1
2
改变函数的定义，令 f(1) 1
则该函数在 x 1 成为连续。
x 1也称为该函数的可去间断点。
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y
。
.
O
x
y
。
.
O
x
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例3 函数
x 1,
设函数 f ( x) 在点 x 0 的某去心邻域内有定义。 若函数 f ( x)
有下列情形之一：
（1）在 x 0 没有定义；
（2）虽在
x
0
有定义，但 lim xx0
f (x)不存在；
（3）虽在
x
0
有定义，且 lim xx0
f (x)存在，但 x l im x0 f(x)f(x0);
则函数 f ( x) 在点 x 0 不连续，而点 x 0 称为函数 f ( x) 的不连续点
lim x 1 x1 x 2
2
x 1是可去间断点，属于第一类间断点。
补充定义： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x1时y， 2. 则该函数在 x 1点连续。
lxi m 2 x2x23x120lxi m 2 x2x23x12
x2是无穷间断点，属于第二类间断点。
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2 y x, x k ,x kk 0 , 1 , 2 ,
x,
f
( x)
0,
x,
x,
x 1 x 1
0, x,
x 1
0,
x ,
x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1
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f 1 0 li m x 1 f 1 x 1 0
f 1 0 lix m 1 f 1 x 1 0
函数在 x1处既不左连续，也不右连续。 x1是跳跃间断点。
或间断点。
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函数间断点的几种常见类型：
例1
函数 y x 2 1 在点 x 1 x 1
y
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
lim x21lim (x1)2 x 1 x1 x 1
２ ．。
若补充定义： 令x1时 y 2,
则该函数在x 1处连续。
O１
x
所以，x 1称为该函数的可去间断点。
1y
x2 1 ,
x 1, x 2;
x2 3x 2
2y x , x k, x k ,
tanx
2
3y cos2 1 , x 0;
x
4y
x 1, 3 x,
x 1, x 1,
x 1.
k 0,1,2,;
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解 1y x21 ,
x23x2
x1,x2
x2 1 lim x1 x2 3x2
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 0, x 0, x 0.
lim f(x)li(m x1 ) 1
x 0
x 0
lim f(x)li(m x1 ) 1
x 0
x 0
所以 lim f (x)不存在。x0称为 x0
该函数的跳跃间断点。
y
１。
O。•
x
－１
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例4 正切函数 ytanx在 x 处没有定义，
xk tanx
2
补充2定义：当 xk时y， 0.则函数在该点连续。
2
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3yco2s1,
x
x0
当x 0时，函数在 -1 到 +1 之间变动无限多次，所以 x0
是振荡间断点，属于第二类间断点。
4y 3 x x 1,,
x1, x1,
x1
f1 0 lim x 1 0 x 1 0
2
所以 x 是函数 ytanx的间断点。 2
y
l i mtanx
x
2
所以，称 x 为函数 ytanx
2
O
2
2
的无穷间断点。
3 2
x
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例6 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那 一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
cosxx 1
2
2
2
ysix n (x)six n 2si n x.
2
又因为当0 时，sin
0 y si x n x ) (sx i n 2 s ix n 2 x x 22
当 x0 时，由夹逼准则得 y0.
这就证明了 ysinx 在 (,) 内连续。
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二. 函数的间断点
连续函数的图形是一条连续不间断的曲线。
如函数 y six ,n yx 3 1 ,y ln x是连续函数。
但 ytanx, y 1 不是连续函数。 x
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证明：函数 ysinx 是连续函数。
证： 设x( , ), 当 x有增量 x 时，则
ysix n (x)sixn 2sin xcoxs(x)
第七节 函数的连续性与间断点
函数的连续 性与间断点
函数的 连续性
函数的 间断点
左连续 左连续 第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点 其它间断点
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在区间上每一点都连续的函数，叫做该区间上的连续函数， 或者说函数在该区间上连续。
ta xn
2
当 k 0 时，
lim x limx coxs1 x0 tan x x0sinx
所以
x 0是可去间断点，属于第一类间断点
补充定义：当 x0时y， 1. 则函数在该点连续。
当 k 0时，
lim x xk tanx
则 xk是无穷间断点。
lim x 0 所以 x k 是可去间断点。属于第一类