分式的运算技巧精讲精练
分式运算的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式运算的常用技巧与方法举例1. 整体通分法例1．化简：21a a --a-1 分析 将后两项看作一个整体，则可以整体通分，简捷求解。
解：21a a --a-1=21a a --(a+1)= 21a a --(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a - 练习：计算112+-+a a a 2. 逐项通分法例2．计算1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b - 分析：注意到各分母的特征，联想乘法公式，适合采用逐项通分法 解：1a b --1a b +-222b a b +-3444b a b -=22()()a b a b a b +----222b a b +-3444b a b- =222b a b --222b a b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b+----3444b a b - =3444b a b --3444b a b -=0 练习：计算2111111x x x ++++- 3.先约分，后通分例3．计算：2262a a a a +++22444a a a -++ 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值计算 解：2262a a a a +++22444a a a -++=(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 练习：计算：343622322222+--+--+-+--x x x x x x x x x4. 裂项相消法例4 计算)3)(2(1)2)(1(111--+--+-x x x x x分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.解：原式=2131112111---+---+-x x x x x =31-x 练习：计算：.5. 整体代入法例5．已知1x +1y =5求2522x xy y x xy y-+++的值 解法1：∵1x +1y=5 ∴x y ≠0,.所以2522x xy y x xy y -+++=225112y x y x -+++=112()5112x y x y+-++=25552⨯-+=57 解法2：由1x +1y =5得，x y xy+=5, x+y=5xy ∴2522x xy y x xy y -+++=2()5()2x y xy x y xy +-++=25552xy xy xy xy ⨯-+=57xy xy =57练习：若11x y -=5，求3533x xy y x xy y +---的值． 6.运用公式变形法例6．已知a 2-5a+1=0，计算a 4+41a 解：由已知条件可得a ≠0,∴a+1a=5 ∴a 4+41a =(a 2+21a)2-2=[(a+1a )2-2]2-2=(52-2)2-2=527 练习：（1）已知x 2+3x+1=0，求x 2+21x 的值． 7. 设辅助参数法例7．已知b c a += a c b += a b c +，计算：()()()a b b c c a abc+++ 解：设b c a += a c b += a b c +=k ，则b+c=ak ；a+c=bk ；a+b=ck ； 把这3个等式相加得2(a+b+c)= (a+b+c)k若a+b+c=0，a+b= -c,则k= -1若a+b+c ≠0，则k=2()()()a b b c c a abc +++=ak bk ck abc⋅⋅=k 3 当k=-1时，原式= -1当k=2时，原式= 8练习：（1）已知实数x 、y 满足x:y=1:2，则=+-y x y x 3__________。
初中分式运算技巧及易错点解析
初中分式运算技巧及易错点解析一、技巧1.分式的化简：(1)将分式的分子和分母约分为最简形式，即分子和分母没有公共因数；(2)将整数、分数和小数互转；(3)利用公式简化表达式。
2.分式的加减法：(1)分子相同的分式相加或相减，只需将分数加或减即可，分母保持不变；(2)分母相同的分式相加或相减，只需将分子加或减即可，分母保持不变；(3)分母不同的分式相加或相减，需先找到它们的最小公倍数，将分式的分母都化为最小公倍数，然后进行加减。
注意：在化简和相加减时，要保持分式的基本性质不变。
3.分式的乘除法：(1)分式相乘时，将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母；(2)分式相除时，将除法转化为乘法，即将除号后面的分式倒过来，然后进行相乘。
二、易错点1.正确理解负指数：在分式运算中，遇到负指数时，经常容易出现错误。
一般来说，对于有理数a，a的负指数表示a的倒数，并且指数为负数时等于1除以a的指数为相反数的数。
例如，a⁻²=1/a²。
2.注意相乘前的化简：在进行分式的乘法运算时，往往需要对分式进行化简。
如果在相乘前没有对分式进行化简，很容易导致最后的结果错误。
3.加减运算时的通分问题：在分式的加减运算中，遇到分母不同的情况，需将分母化为相同的形式才能进行运算。
这就涉及到通分的问题。
如果没有正确进行通分，就会导致最后的结果错误。
4.除数不为零：在分式的除法运算中，被除数和除数都不能为零。
如果出现零作为除数的情况，就会导致运算结果不存在。
5.乘法和除法的顺序问题：在分式的运算中，乘法和除法具有相同的优先级，按照从左到右的顺序进行运算。
通过掌握以上的技巧和注意点，可以提高分式运算的准确性，并避免常见的错误。
在学习过程中，可以通过大量的练习来加深对分式运算的理解和掌握。
另外，要注重思考和交流，及时纠正错题，加强对分式运算的认识和应用能力。
八年级数学下册10.4分式的乘除分式的乘除技巧多素材苏科版
分式的乘除技巧多正确进行分式的乘除运算，除要掌握相关运算法则外，还应根据算式的特征，适当地运用一些方法技巧。
一、分子、分母都是单项式当分式的分子、分母都是单项式时，可按法则将分式的分子、分母分别直接相乘(除法先转化为乘法)后，再约分。
例1 计算：)2()43(82332y x y x y x -÷-⋅. 解析：把除法转化为乘法，分子、分母分别直接相乘后,再约分，但要注意符号。
原式=y x y x y x 23322438⋅⋅=4233448y x y x =y x y y x x y x 1241243232=⋅⋅。
二、分子或分母是多项式当分式的分子或分母是多项式时，一般先把多项式分解因式，再将分式的分子、分母分别相乘（除法先转化为乘法）,然后约分化简.例2 计算：222224434abb ab a ab b a +-÷-. 解析:除法转化为乘法,并将分子、分母中的多项式分解因式，然后相乘、约分.原式=22)2(3)2)(2(b a ab ab b a b a -⋅-+=22)2(3)2)(2(b a ab ab b a b a -⋅-+=)2(3)2(b a b a b -+. 三、不同分式的分子、分母可以约分在进行分式的乘除运算时，不一定先把分式的分子、分母乘到一块后再约分，当分式的分子、分母都写成积的形式后，可以先“跨”分式约分,再相乘，这样比较简便。
例3 计算：y x xy yxy x y x x y xy x y x -÷+-+⋅++-22232222。
解析：原式=xy y x y x y x x y x y x -⋅-+⋅+-222)()()(=)(111y x y x y x y x +=⋅⋅+。
四、除式是整式当除式是整式时,应把整式看作分母是1的“分式”，求其倒数后，再相乘。
例4 计算:x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(44622. 解析:把(x+3)看作13+x ，则除以（x+3）就是乘以31+x . 原式=)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x 。
初中数学知识点精讲精析 分式的运算
第2节 分式的运算要点精讲1 分式的乘除法则()(1),2(0)f u f u f u f v f v u g v g v g v g u g u⋅⋅⨯=÷=⋅=≠⋅⋅ 分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子.分母，然后约去分子.分母的公因式。
分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。
2．正整数指数幂运算法则（1）m n m n a a a +⋅=（m.n 都是正整数）；（2）()m n mn a a =（m.n 都是正整数） （3）()n n na b a b ⋅=， （4）mm n n a a a -=（m.n 都是正整数，a ≠0） (5) ()nn n a a b b =（m.n 都是正整数，b ≠0）3.分式加减法：同分母：f h f h g g g±±=，分母不变，分子相加减。
4.异分母:先通分，化为同分母的分子然后相加减。
典型例题【例1】写出等式中未知的分子或分母：；【答案】=所以未知的分母是b【解析】左边分子a 2-ab=a(a-b)，而右边分子是a-b ，所以需将左式的分子和分母同除以a 。
【例2】写出等式中未知的分子或分母：【答案】2ab即为所求的分母【解析】∵a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）∴()22a b a b ab b a++⋅=⋅（比较分子，发现分子.分母同乘以a）=()2a b ab a+⋅⋅，2ab即为所求的分母。
分式运算技巧知识点总结
分式运算技巧知识点总结分式运算是数学中一种常见的运算形式，它包括分数的加减、乘除等操作。
在分式运算中，掌握一些技巧可以帮助我们更加快速、准确地计算。
本文将对分式运算的一些常用技巧进行总结，并给出相应的例子加以说明。
一、分数的加减运算技巧1. 寻找相同的分母：在进行分数的加减运算时，首先要寻找相同的分母。
若分母不同，则需要通过通分的方法将分母转化为相同的数。
例子1：计算1/2 + 1/3。
解析：由于1/2和1/3的分母不同，我们需要找到它们的最小公倍数，即6。
将两个分数的分子和分母都乘以适当的数进行通分：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 合并同类项：在找到相同的分母后，可以将分子进行合并，然后再进行计算。
例子2：计算2/5 + 3/5。
解析：由于2/5和3/5的分母相同，直接将分子相加即可：2/5 + 3/5 = (2 + 3)/5 = 5/5 = 13. 化简分数：在进行分数的加减运算时，可以先将分数化简，再进行计算。
这样可以简化计算过程，得到更简洁的结果。
例子3：计算3/10 + 2/5。
解析：先对3/10进行化简，即可以将分子和分母都除以最大公约数2得到1/5：3/10 + 2/5 = 1/5 + 2/5 = (1 + 2)/5 = 3/5二、分数的乘除运算技巧1. 分数的乘法：将分数的分子相乘，分母相乘即可。
例子4：计算2/3 × 4/5。
解析：将分子相乘得到2 × 4 = 8，分母相乘得到3 × 5 = 15，所以结果为8/15。
2. 分数的除法：将除数的分子乘以被除数的倒数，即可进行分数的除法运算。
例子5：计算2/3 ÷ 4/5。
解析：将除数2/3的分子乘以被除数4/5的倒数5/4，即2/3 × 5/4，根据分数的乘法规则可得到结果10/12，化简得到5/6。
三、其他分式运算技巧1. 分数的幂运算：对分式进行幂运算时，可以将分子和分母分别进行幂运算。
分式运算中的常用技巧与方法
分式运算中的常用技巧与方法分式是数学中常见且重要的运算形式，它可以表示两个数之间的比例关系或者一个数与一个无穷小量之间的关系。
分式的运算需要注意一些技巧和方法，下面我将详细介绍一些常用的技巧和方法。
1.分式的化简：分式的化简是指将一个复杂的分式转化为一个更简单的分式，通常可以通过约分或者通分来达到目的。
- 约分：如果分式的分子和分母有一个公因子，可以将这个公因子约掉。
例如，$\frac{8}{12}$可以约分为$\frac{2}{3}$。
- 通分：如果分式的分母不同，可以通过求最小公倍数来将分母变为相同的数。
例如，$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$可以通分为$\frac{5}{15}$和$\frac{6}{15}$。
2.分式的加减：分式的加减运算需要将分母变为相同，然后对分子进行相应的加减操作。
- 通分：对于两个分母不同的分式，需要找到它们的最小公倍数，然后将分母变为最小公倍数，再对分子进行加减操作。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$可以通分为$\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$。
- 减法的变形：对于分式的减法运算，可以改写为加法的形式，即将减号变为加号，然后将第二个分式的分子取反。
例如，$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$可以写为$\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{-1}{3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$。
3.分式的乘法：分式的乘法是将两个分式的分子相乘，分母相乘得到结果。
- 化简：如果乘法运算结果可以进行约分，则进行约分。
例如，$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4.分式的除法：分式的除法是将两个分式交叉相乘，即将第一个分式的分子乘以第二个分式的分母，第一个分式的分母乘以第二个分式的分子。
分式的运算技巧讲义
分式的运算技巧讲义分式是由两个整式相除而得到的结果，一般形式为$\frac{a}{b}$，其中$a$和$b$都是整式，且$b$不为零。
分式的运算技巧包括分式的加减法、乘法、除法和化简。
一、加减法：当分母相同时，可以直接将分子相加或相减，分母保持不变。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=\frac{1}{1}=1$当分母不同但存在公因式时，可以先化简再运算。
例如：$\frac{2}{4}+\frac{3}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{2}{2}=1$当分母不同且无公因式时，需要通分后再计算。
例如：$\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12} $二、乘法：将两个分式相乘时，只需要将分子相乘得到新的分子，分母相乘得到新的分母。
例如：$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}=\frac{8}{15}$三、除法：将一个分式除以另一个分式时，可以将两个分式的倒数相乘。
例如：$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}}=\frac{2}{3} \cdot\frac{5}{4}=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$四、化简：当分式的分子和分母均存在公因式时，可以将分子和分母同时除以最大公因式，化简分式。
例如：$\frac{8}{12}=\frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 3}=\frac{2}{3}$另外，对于复杂的分式运算，可以利用因式分解等技巧进行化简。
以下是一些常用的因式分解技巧：1.提取公因式：当分子或分母中的各项均存在公因式时，可以将这些公因式提取出来，化简分式。
例如：$\frac{2x+4}{4x+8}=\frac{2(x+2)}{4(x+2)}=\frac{1}{2}$2.分子或分母的因式分解：当分子或分母中的整个式子能够因式分解时，可以进行因式分解后再化简。
分式运算中的技巧与方法
分式运算中的技巧与方法通分一、整体通分法 将后两项看作一个整体,则可以整体通分，简捷求解例1．化简：21a a -—a —1=21a a --(a+1)= 21a a -—(1)(1)1a a a -+-=22(1)1a a a ---=11a -二、逐项通分法1a b --1a b +—222b a b +—3444b a b -=22()()a b a b a b +---—222b a b +-3444b a b -=222ba b -—222ba b +-3444b a b -=2222442()2()b a b b a b a b +---—3444b a b -=3444b a b -—3444b a b -=04214121111a a a a ++++++- = =8-18a分组计算技巧21-a +12+a —12-a -21+a =(21-a —21+a )+(12+a —12-a ）=442-a +142--a =)1)(4(1222--a a=++-++-++++34x x 123x x 112x x 112222x x =三、先约分,后通分 分析：分子、分母先分解因式，约分后再通分求值2262a a a a +++22444a a a -++ =(6)(2)a a a a +++2(2)(2)(2)a a a +-+=62a a +++22a a -+=242a a ++=2 2312+++x x x +4222--x x x =)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21+x +2+x x =21++x x1132322-++---a aa a a a a ==122-a a2222222222222)()()()()()(b a c c b a a c b b a c c b a a c b -+--+-+--+-+-- = =1四、化简：分子≥分母次数，先化简233322+-+-x x x x -657522+-+-x x x x —3412+-x x =231)23(22+-++-x x x x —651)65(22+-++-x x x x -3412+-x x=1+2312+-x x —1-6512+-x x -3412+-x x=)2)(1(1--x x -)3)(2(1--x x -)3)(1(1--x x =)3)(2)(1(----x x x x裂项相消技巧 利用111)1(1+-=+n n n n )(1m n n +=m 1（n 1—m 1）)1(1+x x +)3)(1(2++x x +)6)(3(3++x x =（x 1-11+x ）+22(11+x —31+x ）+33(31+x —61+x =)6(6+x x30111209112716512222+++++++++++x x x x x x x x ==12842++x x=+++++++--)3)(2(1)2)(1(1)1(1)1(1x x x x x x x x。
八年级数学下册16.2分式的运算分式运算技巧点点通素材新人教版
分式运算技巧点点通分式运算是令同学们比较头痛的一种运算，因此如何巧妙地进行分式运算便成了同学们最关心的事情，下面归纳了几种常见的运算技巧，希望对同学们的学习有所帮助．一、巧用乘法公式例1 计算2211a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭． 分析：本题符合平方差公式（a +b ）（a -b ）=a 2-b 2的特征，可应用平方差公式进行计算． 解：原式1111a a a a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++-+-+ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭ 242a a a b a b==++． 二、巧用分解因式例2 计算2222222222x xy y x xy y x y xy x y xy-+++--+． 分析：本题每个分式的分子、分母都是多项式，故可先因式分解，约去公因式，然后进行计算．解：原式22()()x y xy x y -=- x y x y xy xy-+=- 22y xy x -==-．2x y x y x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 1x y +与括号里的项相乘，则会使计算简便． 解：原式111()22x y x y x x y x x y+=-++++ 11122x x=-+ =1．四、巧设k 值例4 已知234x y z ==，求2222323x y z xy yz xz-+++的值． 分析：本题与比例有关，可以通过设中间量来达到化简求值的目的．解：设234x y z k ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ． 所以原式222(2)2(3)3(4)(2)(3)2(3)(4)3(2)(4)k k k k k k k k k -+=++ 223454k k = 1727=． 五、巧用整体思想 例5 已知113a b -=，求2322a ab b a ab b +---的值． 分析：将已知条件变形可得a -b =-3ab ，然后代入原式即可．解：∵113a b-=，∴3a b ab -=-． 代入2322a ab b a ab b +---，得 原式2()3()2a b ab a b ab-+=-- 6332ab ab ab ab-+=-- 35=． 总之，在进行分式的运算时，我们需要根据题目的具体情况，找出分式的特点，采用巧妙灵活的方法进行求解，最后达到事半功倍的效果．牛刀小试：1．化简2211()a b a b a b ⎛⎫-- ⎪+-⎝⎭． 2．已知2231x x x =-+，求2421x x x -+的值． 3．已知1b c c a a b a b c +++===，求()()()abc a b b c c a +++的值． 参考答案：1．-2b；2437．（提示：可将231xx x-+变形为1213xx=-+，得172xx+=，进而求解）；3．1．。
初中数学知识点精讲精析 分式的运算知识讲解
16．2分式的运算要点精讲16．2．1分式的乘除讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算 2)(b a =⋅b a ba =b b a a ⋅⋅=22b a ，3)(ba =⋅b a ⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅=33b a ，…… 顺其自然地推导可得： n b a )(=⋅b ⋅⋅⋅⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n b a ，即n ba )(=n nb a . （n 为正整数） 归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．用式子表示为：db c a d c b a ⋅⋅=⋅ 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：c bd a c d b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷典型例题例1.计算(1))4(3)98(23232b x b a xy y x ab -÷-⋅ =xb b a xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅ (先把除法统一成乘法运算) =xb b a xy y x ab 349823232⋅⋅ （判断运算的符号） =32916ax b （约分到最简分式） (2) x x x x xx x --+⋅+÷+--3)2)(3()3(444622 n 个 n 个n 个 n 个=x x x x x x x --+⋅+⋅+--3)2)(3(31444622 (先把除法统一成乘法运算) =x x x x x x --+⋅+⋅--3)2)(3(31)2()3(22 (分子、分母中的多项式分解因式) =)3()2)(3(31)2()3(22---+⋅+⋅--x x x x x x =22--x 例2、（2009，西宁）请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简该分式．21a - ， 2a a - ， 221a a -+。
初二数学上册：分式运算6大技巧+例题
初二数学上册：分式运算6大技巧+例题
分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。
但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。
一、分段分步法
例1、计算：
分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。
解：原式
二、分裂整数法
例2、计算：
分析：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
解：原式
三、拆项法
例3、计算：
分析：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式
，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。
在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
解：原式
四、活用乘法公式
例4、计算：
分析：在本题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式还原，就可连续使用平方差公式，分式运算中若恰当使用乘法公式，可使计算简便。
解：当且时，
原式
五、巧选运算顺序
例5、计算：
分析：此题若按两数和（差）的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦，一般两个分式的和（差）的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。
解：原式
六、见繁化简
例6、计算：
分析：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
解：原式。
分式的运算及题型讲解
§17.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则：〔1〕乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
〔意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘〕。
用式子表示：bd ac d c b a =•〔2〕除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。
用式子表示： 2、应用法则时要注意：〔1〕分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；〔2〕当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；〔3〕分式乘除法的结果要化简到最简的形式。
二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。
用式子表示：〔其中n 为正整数，a ≠0〕2、注意事项：〔1〕乘方时，一定要把分式加上括号；〔2〕在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有bcad c d b a d c b a =•=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛多项式时应先因式分解，再约分；〔3〕最后结果要化到最简。
三、分式的加减法〔一〕同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示：2、注意事项：〔1〕“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；〔2〕分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。
〔二〕异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。
用式子表示：bd bc ad bdbc bd ad d c b a ±=±=±。
2、注意事项：〔1〕在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。
〔2〕若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。
分式的运算掌握分式的四则运算方法
分式的运算掌握分式的四则运算方法分式是数学中的一个重要概念，它在实际生活中具有广泛的应用。
掌握分式的四则运算方法是学习和应用分式的基础。
本文将介绍分式的四则运算方法，并提供一些例题进行讲解。
1. 加法运算分式的加法运算可以通过分母的通分来实现。
具体步骤如下：- 首先，将两个分式的分母化为相同的公分母。
- 然后，将两个分式的分子相加得到分式的新分子。
- 最后，将得到的新分子与公分母组合，即得到最简分式。
例题1：计算 1/2 + 1/3解：首先，找到两个分式的公分母，分别为6。
然后，将分子相加得到新分子1+2=3。
最后，得到最简分式3/6，可以进一步化简为1/2。
2. 减法运算分式的减法运算也可以通过分母的通分来实现。
具体步骤如下：- 首先，将两个分式的分母化为相同的公分母。
- 然后，将两个分式的分子相减得到分式的新分子。
- 最后，将得到的新分子与公分母组合，即得到最简分式。
例题2：计算 3/4 - 1/5解：首先，找到两个分式的公分母，分别为20。
然后，将分子相减得到新分子15-4=11。
最后，得到最简分式 11/20。
3. 乘法运算分式的乘法运算可以通过分式的分子和分母的相乘得到结果的分子和分母。
具体步骤如下：- 将两个分式的分子相乘得到新分子。
- 将两个分式的分母相乘得到新分母。
- 最后，将得到的新分子与新分母组合，即得到最简分式。
例题3：计算 2/3 * 1/4解：将分子相乘得到新分子2*1=2。
将分母相乘得到新分母3*4=12。
最后，得到最简分式 2/12，可以进一步化简为 1/6。
4. 除法运算分式的除法运算可以通过将除法转化为乘法来实现。
具体步骤如下：- 将除号改为乘号。
- 将第二个分式取倒数，即将分子与分母互换位置。
- 将乘法运算进行简化，得到最简分式。
例题4：计算 3/4 ÷ 1/5解：将除号改为乘号，得到 3/4 * 5/1。
将第二个分式取倒数，得到3/4 * 5/1 = 3/4 * 5/1 = 15/4。
分式运算典型例题精解
分式性质及运算【基础精讲】 一、分式的概念1、正确理解分式的概念： 【例1】有理式（1）x 1； （2）2x ； （3）y x xy +2； （4）33yx -；（5）11－x ；（6）π1中，属于整式的有： ；属于分式的有： 。
. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如，当x 为 时，分式()()()322-++x x x 有意义． 错解：3≠x 时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。
例如 当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式11－x x +无意义．当x 时，分式112－x x -值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。
但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是（ ）．A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a ba b a b-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+- 【例4】 如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a ba + D ．b -（2）化简2244xy y x x --+的结果（）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x -（3）化简62962-+-x x x 的结果是（）A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11---x x x，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略． （4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。
百色市中考数学《第4课时：分式》精讲精练
第4课时分式百色中考命题规律与预测近五年中考考情中考预测年份考查点题型题号分值预计将很可能在选择、填空题中考查分式的有关概念及运算，也会在解答题中考查分式的化简求值，与“解方程与不等式”轮流考查.分式的化简求值：整体代入求值解答题20 6分分式有意义的条件填空题139分分式的化简求值：整体代入求值解答题20未单独考查分式的化简选择题11 3分最简公分母选择题89分分式的化简求值：给定值求值解答题20百色中考考题感知与试做分式的有关概念1.（·百色中考）若分式1x－2有意义，则x的取值范围是x≠2Ｗ.2.（·百色中考）下列三个分式12x2，5x－14（m－n），3x的最简公分母是（ D ）A.4（m－n）xB.2（m－n）x2C.14x2（m－n）D.4（m－n）x2分式的化简求值3.（·百色中考）已知a2＝19，求2a＋1－2aa2－1－118的值.解：∵a2＝19，∴2a＋1－2aa2－1－118＝2（a－1）－2aa2－1－118＝－2a2－1－118＝－219－1－118＝－16.核心考点解读分式的有关概念1.分式：形如AB（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫分式，其中A叫分子，B叫分母.2.（1）分式AB无意义时，B ＝0 ；（2）分式AB有意义时，B ≠0；（3）分式AB的值为零时，A ＝0 且B ≠0；（4）分式AB的值为正时，A，B 同号，即{A>0，B＞0或{A<0，B ＜0；（5）分式A B 的值为负时，A ，B 异号 ，即{A>0，B ＜ 0或{A<0，B ＞ 0. 3.最简分式：分子与分母只有公因式 1 的分式. 4.有理式：整式和分式统称为有理式. 分式的基本性质5.分式的基本性质：a·m b·m ＝ a b ，a÷m b÷m ＝ a b（a ，b 是整式，且m ≠0）. 6.通分的关键是确定几个分式的 最简公分母 ，约分的关键是确定分式的分子、分母的 最大公因式 .分式的运算7.分式的运算法则（1）分式的加减：b a ±c a ＝ b±c a， b a ±d c ＝ bc±ad acＷ. （2）分式的乘除：b a ·d c ＝ bd ac ，b a ÷d c ＝ bc adＷ. （3）分式的乘方：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b n ＝（ab －1）n ＝ a n b n Ｗ. 8.分式的混合运算：在分式的混合运算中，应先算乘方，再算乘除，最后进行加减运算，遇到括号，先算括号里面的.分式运算的结果要化成整式或最简分式.【方法点拨】1.分式化简的一般步骤：（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；（2）除法转化为乘法；（3）分子、分母能因式分解的先分解因式；（4）约分；（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母；②分子合并同类项；（6）得出代数式.2.分式化简求值是在分式化简的基础上，代入数字求代数式的值.特别强调：不要把分式的化简与解分式方程的变形弄混淆，不能将分母去掉.1.（·武汉中考）若分式5x ＋2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是（ D ） A.x ＞－2 B.x ＜－2C.x ＝－2D.x ≠－22.（·百色中考适应性演练）若分式x －1x ＋1的值等于0，则x ＝ （ D ） A.±1 B.－1 C.0 D.13.（·百色中考）化简2x x 2＋2x －x －6x 2－4的结果为（ C ） A.1x 2－4 B.1x 2＋2x C.1x －2 D.x －6x －24.（·贵港中考）若分式2x ＋1的值不存在，则x 的值为 －1 Ｗ.5.（·百色中考）先化简，再求值：2a －2b a 2－2ab ＋b 2＋1a －b ，其中a ＝2－1，b ＝ 2.解：原式＝2（a －b ）（a －b ）2＋1a －b＝2a －b ＋1a －b ＝3a －b. 当a ＝2－1，b ＝2时，原式＝32－1－2＝－3.典题精讲精练分式的有关概念例1 若分式x ＋12－x有意义，则x 满足的条件是（ C ） A.x ≠－1 B.x ≠－2C.x ≠2D.x ≠－1且x≠2【解析】根据分式有意义即分母不等于0，列不等式求解即可.由题意，得2－x≠0，解得x≠2.【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零.分式的运算与求值例2 （·百色中考）已知a ＝b ＋2 018，求代数式2a －b ·a 2－b 2a 2＋2ab ＋b 2÷1a 2－b2的值. 【解析】先根据分式的乘除法则把原式进行化简，再把a ＝b ＋2 018变形整体代入进行计算即可.【解答】解：原式＝2a －b ·（a －b ）（a ＋b ）（a ＋b ）2·（a －b ）（a ＋b ）＝2（a －b ）.∵a ＝b ＋2 018，∴a －b ＝2 018，∴原式＝2×2 018＝4 036. ,1.（·宁波中考）要使分式1x －1有意义，x 的取值应满足 x≠1 Ｗ.2.（·桂林中考）若分式x 2－4x ＋2的值为0，则x 的值为（ C ） A.－2 B.0 C.2 D.±23.下列分式中，最简分式是（ C ）A.x 2＋xy x 2＋2xy ＋y 2 B.2x ＋8x 2－16C.x 2＋1x 2－1D.x 2－9x 2＋6x ＋94.（·百色中考）当a ＝2 014时，求a 2＋2a a －1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a －1的值. 解：原式＝a （a ＋2）a －1÷a 2a －1＝a （a ＋2）a －1·a －1a 2 ＝a ＋2a . 当a ＝2 014时，原式＝2 0162 014＝1 0081 007. 5.（·眉山中考）先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－2x －2＝0. 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－1x （x ＋1）－x 2－2x x （x ＋1）÷x （2x －1）（x ＋1）2＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2. ∵x 2－2x －2＝0， ∴x 2＝2x ＋2＝2（x ＋1），则原式＝x ＋12（x ＋1）＝12.请完成精练本第5页作业。
人教版2023中考数学专题复习：分式方程精讲精练
分式方程精讲精练学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________知识点精讲1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．4.分式方程的应用(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．针对训练一、单选题1．下列方程中是分式方程的是（ ）A ．212x x -=B ．223x x =-C ．122x =-D ．312x π+=2．分式方程61222x x x -=---的解是（ ） A ．3x =- B ．2x =- C ．0x = D ．3x =3．关于x 的分式方程2m x x +--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2B ．m ≠﹣2C ．m ＝2D ．m ≠2 4．若关于x 的方程221m x x =+无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．4 D ．0或45．已知关于x 的分式方程3121m x +=-的解为非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．4m ≥- B ．4m ≥-且3m ≠- C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠- 6．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件才能按时交货，则x 应满足的方程为（ ）A ．72072054848x =-+B ．72072054848x -=+C ．72072054848x -=-D ．72072054848x -=- 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x 天，则可列出正确的方程为( )A ．900900231x x =⨯+-B ．900900231x x =⨯-+C ．900900213x x =⨯-+D ．900900213x x =⨯+- 8．某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x =-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量D ．篮球的数量 9．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x 米，根据题意可列方程（ ）A ．1.482.413x x -=-B ．1.482.413x x +=+C ．1.4282.4213x x -=-D ．1.4282.4213x x +=+ 10．若关于x 的不等式组52111322x a x x +≤⎧⎪⎨⎛⎫-<+ ⎪⎪⎝⎭⎩有且仅有四个整数解，关于y 的分式方程26121ay y y -=+--有整数解，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）A ．2B ．5C ．10D ．12二、填空题11．解分式方程2101x x -=+去分母时，方程两边同乘的最简公分母是______． 12．分式方程522x x=+的解为_______． 13．若关于x 的分式方程25k x x =+的解为10x =-，则k =_______． 14．代数式32x +与代数式21x -的值相等，则x ＝______． 15．设m ，n 为实数，定义如下一种新运算：39n m n m =-☆，若关于x 的方程()(12)1a x x x =+☆☆无解，则a 的值是______．16．若关于x 的分式方程2122224x m x x x ++=-+-的解大于1，则m 的取值范围是____________． 17．对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝11a b-，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____． 18．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______． 19．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ．若甲、乙两船在静水中的速度相同，则可求得两船在静水中的速度为___________km /h ．20．开学之际，学校需采购部分课桌，现有A ，B 两个商家供货，A 商家每张课桌的售价比B 商家优惠20元，若该校花费1500元在A 商家购买课桌的数量与花费2500元在B 商家购买课桌的数量一样多，设A 商家每张课桌的售价为x 元，则可列方程为________．三、解答题21．解下列方程：(1)2131x x=+-(2)11222xx x-=---(3)2134412142xx x x+=--+-22．为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？23．我县教育局新建了一栋办公楼，需要内装修，甲工程队单独施工需要80天完工，由甲乙两工程队同时施工，那么16天完成了总工程的13 25．(1)如果乙工程队单独施工，则需要多少天完成？(2)如果甲工程队单独施工一天的工钱是5000元，乙工程队单独施工一天的工钱是8100元，为了节约工钱，应选用哪个工程队单独施工比较划算？24．某商场用5000元购进了一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批同进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按照每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件，商场按标价的6折进行了清仓处理并全部售完．求：(1)商场两次共购进了多少件服装？(2)两笔生意中商场共盈利多少元？25．小明的爸爸出差回家后，小明发现爸爸的通信大数据行程卡上显示爸爸去过西安、成都、重庆．已知西安到成都的路程为770公里，比西安到重庆的路程少230公里，小明爸爸驾车从西安到重庆的平均车速和西安到成都的平均车速比为8:7，从西安到重庆的时间比从西安到成都的时间多1.5 小时．(1)求小明爸爸从西安到重庆的平均车速；(2)从西安到成都时，若小明的爸爸比之前到达的时间至少要提前1小时，则平均车速应满足什么条件？26．金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元．①分别求出这两款车的每千米行驶费用．②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用=年行驶费用+年其它费用）。
高一数学分式与根式的运算精讲精练
x( 2 1) y( 3 2 2 ) = 4 2
(3)
x3
1 x3
(x
1 )(x2 x
x
1 x
1 x2
)
(2
5)(18 1) 34
5﹒
5.利用乘法公式﹐因式分解下列各式﹕(1)x6 y6﹒(2)9x4 5x2 1﹒ 【解答】(1)x6 y6 (x3)2 (y3)2 (x3 y3)(x3 y3) (x y)(x y)(x2 xy y2)(x2 xy y2)﹒
(5)（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x3＋（a＋b＋c）x2＋（ab＋bc＋ca）x＋abc。
※ a3 b3 c3 3abc a b c a2 b2 c2 ab bc ca
1 2
a
b
c
a
b2
b
c2
c
a2
※ a4 a2b2 b4 a2 ab b2 a2 ab b2
77 7
77 11
(
11 7 )2 11 7
77 7
77 11
11
2
77 4
7
(
1 7
1 11
1 2
)
77
18 4
113 154
77
9 2
１８
9.设 x, yQ 且 x 3 2 2 y 17 12 2 18 8 2 ﹐则(x, y) = ____________﹒
【解答】原式 x( 2 1) y( 9 8 ) = 16 2
11 7
【解答】(1)
1 3
1 27
1 48
1 3
1 27
1 48
1 1 1 3 33 43
3 3
3 9
3 12
(13
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内容 基本要求
略高要求
较高要求
分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义
的条件
能确定使分式的值为零的条件
分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单
的变型
能用分式的性质进行通分和约分
分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则
会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题
一、比例的性质：
⑴ 比例的基本性质：
a c
ad bc b d
=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b
c d a c d c
b d b a d b
c a ⎧=⎪⎪
⎪=⇒=⎨⎪
⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项
⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d
b d a c
=⇒=
⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kd
b d b d
±±=⇒=
（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a
b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
二、基本运算
分式的乘法：a c a c
b d b d
⋅⋅=⋅
分式的除法：a c a d a d
b d b
c b c ⋅÷=⨯=⋅
乘方：()n n
n n
n a a a
a a a
a a
b b b
b b b
b b ⋅=⋅
=⋅个
个
n 个
＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：
⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)
分式的运算技巧
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1
n n a a
-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，
a b a b
c c c
+±=
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
一、分式的换元化简
【例1】 化简：222233223322
23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-
二、利用乘法公式或因式分解法化简
【例2】 计算：22
1111
[]()()()a b a b a b a b
-÷-+-+-
【例3】 计算：
三、分式的递推通分
【例4】 计算：37
224488
11248x x x a x a x a x a x x a ---+
-+++-
【例5】 化简：代数式3
2411241111
x x x x x x +++
-+++.
【例6】 计算：2482
112482111111n
n
x x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)
【例7】 已知24816
124816
()11111f x x x x x x =++++
+++++，求(2)f . 例题
四、分式的裂项
【例8】 化简：111
.....(1)(1)(2)(99)(100)
x x x x x x +++
+++++.
【例9】 化简：2222211111
3256712920
x x x x x x x x x x ++++
+++++++++
【例10】 设n 为正整数，求证：1111...1335(21)(21)2
n n +++<⋅⋅-+.
【例11】 化简：[]111
1
()()(2)(2)(3)
(1)()
x x m x m x m x m x m x n m x nm +++
+
++++++-+
【例12】 （5级）若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111
...(1)(1)(2007)(2007)
xy x y x y +++
++++的值．
【例13】 化简：()()()()()()
a b b c c a
c a c b b a a c b c b a ---++
------
【例14】 化简：
222222
b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a
---++---
--+--+--+---.
【例15】 化简：222()()()()()()
a bc
b a
c c ab
a b a c b c b a c a c b ---++++++++.
【例16】 化简：222
222a b c b c a c a b
a a
b a
c bc b ab bc ac c ac bc ab
------++--+--+--+.
五、分式配对
【例17】 已知：1ax by cz ===，求
444444
111111
111111a b c x y z +++++
++++++的值.
【例18】 有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ．
求代数式
1010
1010012
111
1
1111n
a a a a ++++
++++的值．。