第4章 二阶非线性光学效应
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(4.1-22)
2
2
2
第4章 二阶非线性光学效应
由（4.1-19）式关系, 有
1 1 2 0, 2 41E1 n 1 n 4 1 1 2 0, 2 41E2 n 2 n 5 1 1 2 0, 2 63E3 n 3 n 6
(4.1-2)
第4章 二阶非线性光学效应
因此, 相应于频率为ω的极化强度分量表示式为
(1) ( 2) P ( , t ) 0 [ ( ) E eit c.c.] 2 0 [ ( ,0) E E0 eit c.c.] (1) ( 2) 0{[ ( ) 2 ( ,0) E0 ]E eit c.c.}
(4.2-4)
第4章 二阶非线性光学效应
4.3 三波混频及和频、 差频产生
4.3.1 三波混频的耦合方程组 由二阶非线性极化强度的一般表示式（1.2-36）式, 可以得到三波混频中任何一对光波所感应的非线性极 化强度复振幅为
xzy 0 0
0 xzy 0
0 xyz 0
0 0 zxy
0 0 zxy
KDP晶体的有效相对介电张量元素可表示为
(2 (2 ( )eff 2 )z Eo 2 )z Eoz
第4章 二阶非线性光学效应
写成矩阵的形式为
( r eff
第4章 二阶非线性光学效应
当直流电场为零, 且x、 y、 z轴分别平行于三个介 电主轴时, 有
1 1 1 2 , 2 0 2 n 1 E0 0 nx n 4 E0 0 1 1 1 2 , 2 0 2 n 2 E 0 0 n y n 5 E0 0 1 1 1 2 , 2 0 2 n 3 E 0 0 n z n 6 E0 0
第4章 二阶非线性光学效应
第4章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应
4.2 光整流效应
4.3 三波混频及和频、 差频产生
4.4 二次谐波产生 4.5 参量转换 4.6 参量放大与参量振荡 习题
第4章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应
线性电光效应也叫做普克尔（Pockler）效应。 当 没有反演中心的晶体受到直流电场或低频电场作用时, 其折射率发生与外加电场成线性关系的变化。 应当指 出的是, 这里所说的低频电场是与光频比较而言, 所以 微波频率也包括在内。
2
(4.2-2)
第4章 二阶非线性光学效应
根据上面的假定, 光波在KDP晶体中传播时, 其寻
常光分量有ax≠0, ay≠0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az≠0。 又根据KDP晶体χ(2)的空间对称性, 只有
( 2) ( , ) 中三个脚标都不相同的元素才不为零。
式中, x、 y、 z取晶轴方向, 它们的线性电光张量矩阵为
第4章 二阶非线性光学效应
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 41 0 0 41 0 0 41 0
(4.1-31)
因此, 外加直流电场E0后的折射率椭球方程为
x2 y2 z2 2 2 2 41( E0 x yz E0 y zx E0 z xy ) 1 2 n0 n0 n0
第4章 二阶非线性光学效应
线性电光效应是一种特殊的二阶非线性光学效应。
在这里, 作用于介质的两个电场， 一个是光电场, 另一 个是低频场或直流场, 在这两个电场的作用下产生了二
阶非线性极化。 现在假定作用于介质的直流场为E0、
光电场为E exp(-iωt)+c.c., 则根据极化强度的一般表示 式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有
(4.1-20)
第4章 二阶非线性光学效应
当外加直流电场E0=0时, KDP晶体的折射率椭球方 程为
x2 y2 z2 2 2 1 2 no no ne
晶体外加直流电场E0时, 折射率椭球方程应为
(4.1-21)
x y z 2 yz 2 zx 2 xy 2 2 2 2 2 1 2 n1 n2 n3 n4 n5 n6
( 2)
(4.1-4)
这里的εμα是相对介电常数张量元素。 因此, 由于直流电
场的作用, 使频率为ω的相对介电常数张量产生了一个变 化量 ( ) :
( 2) 2 ( ,0) E0
第4章 二阶非线性光学效应
1. 折射率椭球几何法描述
在第三章, 我们利用折射率椭球详细地讨论了光波 在介质中的传播特性。 在主轴坐标系中的折射率椭球 表示式为
xx (2 2 xyz) Eoz 0
(2 2 xyz) Eoz
xx
0
0 0 zz
将(εr)eff代入（4.1-41）式, 得
xx (2) 2 xyz Eoz 0 n 2 0 0 0 n2 0
(2 2 xyz) Eoz
(4.1-7)
第4章 二阶非线性光学效应
1） KDP（KH2PO4）晶体中的线性电光效应
KDP晶体属于42m对称群, 其光轴取为z轴, 另外两 个对称轴为x轴和y轴。 根据表4.1-1, 它的线性电光张量 的非零元素只有γ41=γ52和γ63, 其矩阵形式为
0 0 0 0 0 0 0 0 0 41 0 0 0 41 0 0 63 0
(2 (2 (2 (2 (2 (2 xyz) xzy) zxy) zyx) yzx) yxz)
第4章 二阶非线性光学效应
假设外加直流电场的方向为z方向, 光波在xOy平面
内沿着x、 y轴的对角线方向传播, 因而有
k x k cos45 2 / 2 k y k sin 45 2 / 2
第4章 二阶非线性光学效应
4.2 光 整 流 效 应
若令光波电场的空间变化部分为
E E0ae
i
n
c
k r
(4.2-1)
式中, E0为光波电场的振幅, a为光振动方向的单位 矢量, k为光波传播方向的单位矢量, 则由于二次非线性 效应产生的直流极化强度为
P0 2 0
(2)
( , ) : EE 2 0 E0 ( 2 ) ( , ) : aa
P (1) (t ) 0 (1) (0) E0 0 [ ( ) Eeit c.c.] P ( 2 ) (t ) 0 ( 2 ) (0,0) : E0 E0 2 0 ( 2 ) ( , ) : EE
(4.1-1)
2 0 [ ( 2 ) ( ,0) : E E0e it c.c.] 0 [ ( 2 ) ( , ) : E E0e i 2t c.c.]
(4.2-3)
第4章 二阶非线性光学效应
这表示在z方向有一个恒定的极化强度分量P0z。 假
设光波的传播方向k与晶轴x之间的夹角为θ, 则有
x sin ,
将其代入（4.2-3）式, 便得
a y cos
(2 P0 z 2 0 E0 zxy) ( , ) sin 2 2
所以, E0≠0时, KDP晶体的折射率椭球方程为
x y x 2 2 2 41E0 x yz 2 41E0 y zx 2 63E0 x xy 1 2 no no ne
(4.1-23)
2
2
2
第4章 二阶非线性光学效应
x′
x 45 ° y′
45 °
O y
图 4.1-1 坐标变换关系
(4.1-3)
由此可见, 直流电场的作用使得介质对频率为ω的极化率 张量改变了 为 D=ε0E+PL+PNL=ε·E+PNL
(2) 2 ( ,0) E。 在这种情况下, 电位移矢量 0
第4章 二阶非线性光学效应
或用分量形式表示为
D 0 E P 0 ( 2 ( ,0) E0 ) E 0 ( )eff E
所以, 如对于寻常光和非常光分别按（4.2-2）式展开, 就可以得到它们的P0x和P0y分量皆为零, 但对P0z分量两 者不同: 非常光的P0z=0, 寻常光的P0z≠0。 对于寻常光 来说,
(2 (2 P0 z 2 0 E0 [ zxy) ( , )a x a y zyx) ( , )a x a y ] 2 (2 4 0 E0 zxy) ( , )a x a y 2
z,z ′
第4章 二阶非线性光学效应
2) 43m类晶体的线性电光效应（横向运用） 43m类晶体为立方晶系类, 属于这类晶系的晶体有
CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。
这类晶体未加电场时, 光学性质是各向同性的, 其 折射率椭球为旋转球面, 方程式为
x2+y2+z2=n20
(4.1-30)
xx
0
E x ( ) 0 E y ( ) zz k z k z n 2 E z ( ) 0
(4.1-42)
0 E x ( ) 0 E y ( ) n 2 E z ( )
x y z 2 2 1 2 nx y x z x
2
2
2
第4章 二阶非线性光学效应
由上面的讨论已知, 由于直流电场E0的存在, 引起
了介电常数张量的变化, 也就引起了折射率椭球方程的 系数1/n2x、 1/n2y、 1/n2z发生变化。 因此, 在有直流电 场存在时, 应将折射率椭球方程写成如下一般的形式:
1 2 1 2 1 2 2 x 2 y 2 z n 1 n 2 n 3 1 1 1 2 2 yz 2 2 zx 2 2 xy 1 n 4 n 5 n 6
(4.1-6)
(4.1-32)
第4章 二阶非线性光学效应
2. 麦克斯韦方程解析法描述 如前所述, 线性电光效应是一种二阶非线性光学效 应, 由于直流电场的作用, 使介质对频率为ω光波的相对 介电常数张量变为
( 2) ( )eff 2 E0
(4.1-40)
将变化后的介电常数张量代入描述晶体光学性质的基本 方程（3.1-9）式, 得
第4章 二阶非线性光学效应
2） 43m类晶体的电光效应（横向运用） 43m类晶体的二阶非线性极化率张量的形式为
0 0 0 0 0 0 0 0 0
xyz 0 0
xzy 0 0
0 xzy 0
0 xyz 0
0 0 zxy
0 0 zxy
这里的二阶非线性极化率张量元素有如下的对称性:
n2 D [ E k (k E )] eff E (4.1-41) 2 0 c
第4章 二阶非线性光学效应
1） KDP晶体的线性电光效应 假定外加直流电场平行于光轴（z轴）, 并且根据 42m类晶体的二阶极化率张量形式
0 0 0 0 0 0 0 0 0
xyz 0 0
式中, k表示光波传播方向的单位矢量, 所以有效相对
介电张量为
( r )eff
r ( 2) 2 xyz E0 z 0
2 E0 z
( 2) xyz
r
0
0 0 r
第4章 二阶非线性光学效应
z 本征矢E2 O y 本征矢E1 k
x
图 4.1-2 4 43m晶体横向运用时的本征矢示意
2
2
2
第4章 二阶非线性光学效应
由（4.1-19）式关系, 有
1 1 2 0, 2 41E1 n 1 n 4 1 1 2 0, 2 41E2 n 2 n 5 1 1 2 0, 2 63E3 n 3 n 6
(4.1-2)
第4章 二阶非线性光学效应
因此, 相应于频率为ω的极化强度分量表示式为
(1) ( 2) P ( , t ) 0 [ ( ) E eit c.c.] 2 0 [ ( ,0) E E0 eit c.c.] (1) ( 2) 0{[ ( ) 2 ( ,0) E0 ]E eit c.c.}
(4.2-4)
第4章 二阶非线性光学效应
4.3 三波混频及和频、 差频产生
4.3.1 三波混频的耦合方程组 由二阶非线性极化强度的一般表示式（1.2-36）式, 可以得到三波混频中任何一对光波所感应的非线性极 化强度复振幅为
xzy 0 0
0 xzy 0
0 xyz 0
0 0 zxy
0 0 zxy
KDP晶体的有效相对介电张量元素可表示为
(2 (2 ( )eff 2 )z Eo 2 )z Eoz
第4章 二阶非线性光学效应
写成矩阵的形式为
( r eff
第4章 二阶非线性光学效应
当直流电场为零, 且x、 y、 z轴分别平行于三个介 电主轴时, 有
1 1 1 2 , 2 0 2 n 1 E0 0 nx n 4 E0 0 1 1 1 2 , 2 0 2 n 2 E 0 0 n y n 5 E0 0 1 1 1 2 , 2 0 2 n 3 E 0 0 n z n 6 E0 0
第4章 二阶非线性光学效应
第4章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应
4.2 光整流效应
4.3 三波混频及和频、 差频产生
4.4 二次谐波产生 4.5 参量转换 4.6 参量放大与参量振荡 习题
第4章 二阶非线性光学效应
4.1 线性电光效应
线性电光效应也叫做普克尔（Pockler）效应。 当 没有反演中心的晶体受到直流电场或低频电场作用时, 其折射率发生与外加电场成线性关系的变化。 应当指 出的是, 这里所说的低频电场是与光频比较而言, 所以 微波频率也包括在内。
2
(4.2-2)
第4章 二阶非线性光学效应
根据上面的假定, 光波在KDP晶体中传播时, 其寻
常光分量有ax≠0, ay≠0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az≠0。 又根据KDP晶体χ(2)的空间对称性, 只有
( 2) ( , ) 中三个脚标都不相同的元素才不为零。
式中, x、 y、 z取晶轴方向, 它们的线性电光张量矩阵为
第4章 二阶非线性光学效应
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 41 0 0 41 0 0 41 0
(4.1-31)
因此, 外加直流电场E0后的折射率椭球方程为
x2 y2 z2 2 2 2 41( E0 x yz E0 y zx E0 z xy ) 1 2 n0 n0 n0
第4章 二阶非线性光学效应
线性电光效应是一种特殊的二阶非线性光学效应。
在这里, 作用于介质的两个电场， 一个是光电场, 另一 个是低频场或直流场, 在这两个电场的作用下产生了二
阶非线性极化。 现在假定作用于介质的直流场为E0、
光电场为E exp(-iωt)+c.c., 则根据极化强度的一般表示 式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有
(4.1-20)
第4章 二阶非线性光学效应
当外加直流电场E0=0时, KDP晶体的折射率椭球方 程为
x2 y2 z2 2 2 1 2 no no ne
晶体外加直流电场E0时, 折射率椭球方程应为
(4.1-21)
x y z 2 yz 2 zx 2 xy 2 2 2 2 2 1 2 n1 n2 n3 n4 n5 n6
( 2)
(4.1-4)
这里的εμα是相对介电常数张量元素。 因此, 由于直流电
场的作用, 使频率为ω的相对介电常数张量产生了一个变 化量 ( ) :
( 2) 2 ( ,0) E0
第4章 二阶非线性光学效应
1. 折射率椭球几何法描述
在第三章, 我们利用折射率椭球详细地讨论了光波 在介质中的传播特性。 在主轴坐标系中的折射率椭球 表示式为
xx (2 2 xyz) Eoz 0
(2 2 xyz) Eoz
xx
0
0 0 zz
将(εr)eff代入（4.1-41）式, 得
xx (2) 2 xyz Eoz 0 n 2 0 0 0 n2 0
(2 2 xyz) Eoz
(4.1-7)
第4章 二阶非线性光学效应
1） KDP（KH2PO4）晶体中的线性电光效应
KDP晶体属于42m对称群, 其光轴取为z轴, 另外两 个对称轴为x轴和y轴。 根据表4.1-1, 它的线性电光张量 的非零元素只有γ41=γ52和γ63, 其矩阵形式为
0 0 0 0 0 0 0 0 0 41 0 0 0 41 0 0 63 0
(2 (2 (2 (2 (2 (2 xyz) xzy) zxy) zyx) yzx) yxz)
第4章 二阶非线性光学效应
假设外加直流电场的方向为z方向, 光波在xOy平面
内沿着x、 y轴的对角线方向传播, 因而有
k x k cos45 2 / 2 k y k sin 45 2 / 2
第4章 二阶非线性光学效应
4.2 光 整 流 效 应
若令光波电场的空间变化部分为
E E0ae
i
n
c
k r
(4.2-1)
式中, E0为光波电场的振幅, a为光振动方向的单位 矢量, k为光波传播方向的单位矢量, 则由于二次非线性 效应产生的直流极化强度为
P0 2 0
(2)
( , ) : EE 2 0 E0 ( 2 ) ( , ) : aa
P (1) (t ) 0 (1) (0) E0 0 [ ( ) Eeit c.c.] P ( 2 ) (t ) 0 ( 2 ) (0,0) : E0 E0 2 0 ( 2 ) ( , ) : EE
(4.1-1)
2 0 [ ( 2 ) ( ,0) : E E0e it c.c.] 0 [ ( 2 ) ( , ) : E E0e i 2t c.c.]
(4.2-3)
第4章 二阶非线性光学效应
这表示在z方向有一个恒定的极化强度分量P0z。 假
设光波的传播方向k与晶轴x之间的夹角为θ, 则有
x sin ,
将其代入（4.2-3）式, 便得
a y cos
(2 P0 z 2 0 E0 zxy) ( , ) sin 2 2
所以, E0≠0时, KDP晶体的折射率椭球方程为
x y x 2 2 2 41E0 x yz 2 41E0 y zx 2 63E0 x xy 1 2 no no ne
(4.1-23)
2
2
2
第4章 二阶非线性光学效应
x′
x 45 ° y′
45 °
O y
图 4.1-1 坐标变换关系
(4.1-3)
由此可见, 直流电场的作用使得介质对频率为ω的极化率 张量改变了 为 D=ε0E+PL+PNL=ε·E+PNL
(2) 2 ( ,0) E。 在这种情况下, 电位移矢量 0
第4章 二阶非线性光学效应
或用分量形式表示为
D 0 E P 0 ( 2 ( ,0) E0 ) E 0 ( )eff E
所以, 如对于寻常光和非常光分别按（4.2-2）式展开, 就可以得到它们的P0x和P0y分量皆为零, 但对P0z分量两 者不同: 非常光的P0z=0, 寻常光的P0z≠0。 对于寻常光 来说,
(2 (2 P0 z 2 0 E0 [ zxy) ( , )a x a y zyx) ( , )a x a y ] 2 (2 4 0 E0 zxy) ( , )a x a y 2
z,z ′
第4章 二阶非线性光学效应
2) 43m类晶体的线性电光效应（横向运用） 43m类晶体为立方晶系类, 属于这类晶系的晶体有
CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。
这类晶体未加电场时, 光学性质是各向同性的, 其 折射率椭球为旋转球面, 方程式为
x2+y2+z2=n20
(4.1-30)
xx
0
E x ( ) 0 E y ( ) zz k z k z n 2 E z ( ) 0
(4.1-42)
0 E x ( ) 0 E y ( ) n 2 E z ( )
x y z 2 2 1 2 nx y x z x
2
2
2
第4章 二阶非线性光学效应
由上面的讨论已知, 由于直流电场E0的存在, 引起
了介电常数张量的变化, 也就引起了折射率椭球方程的 系数1/n2x、 1/n2y、 1/n2z发生变化。 因此, 在有直流电 场存在时, 应将折射率椭球方程写成如下一般的形式:
1 2 1 2 1 2 2 x 2 y 2 z n 1 n 2 n 3 1 1 1 2 2 yz 2 2 zx 2 2 xy 1 n 4 n 5 n 6
(4.1-6)
(4.1-32)
第4章 二阶非线性光学效应
2. 麦克斯韦方程解析法描述 如前所述, 线性电光效应是一种二阶非线性光学效 应, 由于直流电场的作用, 使介质对频率为ω光波的相对 介电常数张量变为
( 2) ( )eff 2 E0
(4.1-40)
将变化后的介电常数张量代入描述晶体光学性质的基本 方程（3.1-9）式, 得
第4章 二阶非线性光学效应
2） 43m类晶体的电光效应（横向运用） 43m类晶体的二阶非线性极化率张量的形式为
0 0 0 0 0 0 0 0 0
xyz 0 0
xzy 0 0
0 xzy 0
0 xyz 0
0 0 zxy
0 0 zxy
这里的二阶非线性极化率张量元素有如下的对称性:
n2 D [ E k (k E )] eff E (4.1-41) 2 0 c
第4章 二阶非线性光学效应
1） KDP晶体的线性电光效应 假定外加直流电场平行于光轴（z轴）, 并且根据 42m类晶体的二阶极化率张量形式
0 0 0 0 0 0 0 0 0
xyz 0 0
式中, k表示光波传播方向的单位矢量, 所以有效相对
介电张量为
( r )eff
r ( 2) 2 xyz E0 z 0
2 E0 z
( 2) xyz
r
0
0 0 r
第4章 二阶非线性光学效应
z 本征矢E2 O y 本征矢E1 k
x
图 4.1-2 4 43m晶体横向运用时的本征矢示意