最值问题的各种解法举例(含解答)-
求最值的10种方法竹菊书苑
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解析 y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2
＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.
令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2.
∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定 义域为[2，＋∞)．
∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，
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点评 解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区 间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易 了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函
数在闭区间[m ，n]上的最值：若函数f(x)在[m ，n]上单调
递增，则f(x)min＝f(m )，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m ，n] 上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m )；若函数f(x)在 [m ，n]上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的， 则可以采用分段函数求最值的方法处理．
【例8】 已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则 的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
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1－x≥0， 解析 由题意，得
x＋3≥0，
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六、导数法 设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内 可导，则f(x)在[a，b]上的最大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中的最大值 和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导 数法．
【例6】 函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3,0]上 的最大值、最小值分别是________．
对一道求最值题的五种解法
对一道求最值题的五种解法题目：已知， ,，求的最大值。
解法一：基本不等式法转化为关于的不等关系，通过解不等式进而求出分析：借助基本不等式可将条件中的的取值范围。
解：∵∴∵∴当且仅当时，等号成立∴∴∴当且仅当时，等号成立由可得或，当时，取最大值 .∴评注：基本不等式是高中求最值的基本方法之一，能够灵活的将与联系起来，是求解最值问题最优选择。
解法二：解三角形法分析：将题中所给条件放在三角形ABC中，利用余弦定理求出角C,然后利用正弦定理将边化为角，进而将问题转化为三角函数求最值问题。
解：在中，，，分别是内角A、B、C的对边，不妨设，则即在中，由余弦定理及可得∵∴∴ ,∴在中，由正弦定理可得即∴,∴∵∴∴∴∴当，即时，取最大值 .评注:本解法将所给条件巧妙的放在三角形中，利用正余弦定理，实现边角互化，将问题转化为三角函数求最值问题。
解法三：三角换元法分析：通过变形已知条件，根据变形的结构特征，引进三角代换，利用三角函数知识解决此题。
解：由可得设则∴∵∴即最大值为 .∴评注:通过变形，构造平方和关系，引入三角代换，利用三角函数知识解决问题。
解法四：判别式法分析：通过代数换元法，将问题转化为关于的一元二次方程有解来处理。
解：设，则，代入将可得整理可得∵关于的一元二次方程有解，∴即，解得，∴，∴的最大值为，即的最大值为.评注:通过换元法将问题转化成关于的一元二次方程，利用判别式△求解。
解法五：齐次消元法分析：由可知分子分母具有齐次结构，分子分母同除以，令，则，问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。
解：设 ,则，设，则当时.当时，有∴，即，解得且∴的最大值为∴的最大值为∴的最大值为.评注：通过对的等价转化，将问题转化为分式函数求值域，利用判别式法对分式函数求值域。
这道题可以使用多种求最值方法求解，关键在于能够根据题目特点做适当变形，巧妙地和所学知识及相应解题方法结合起来。
化难为易，找到解决问题的途径，需要平时学习中勤于思考，多加积累。
数学《最值问题》典型例题及答案
数学《最值问题》典型例题一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．2．如图，当四边形P ABN 的周长最小时，a = ．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA4．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．5．如图，直角梯形纸片ABCD，AD⊥AB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将△AEF 沿EF翻折，点A的落点记为P．当P落在直角梯形ABCD内部时，PD的最小值等于．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A 和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．数学《最值问题》典型例题答案一、解决几何最值问题的通常思路两点之间线段最短；直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段．几何最值问题中的基本模型举例轴对称最值图形lPBANM lBAAPBl原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系特征A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值转化作其中一个定点关于定直线l的对称点先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点作其中一个定点关于定直线l的对称点折叠最值图形B'NMCAB原理两点之间线段最短特征在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值．转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值二、典型题型1．如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN 的周长的最小值为．【分析】作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN 的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．【解答】解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．∵PC关于OA对称，∴∠COP = 2∠AOP，OC=OP同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．∴△COD是等腰直角三角形．则CD=2OC=2×32=6．【题后思考】本题考查了对称的性质，正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．2．如图，当四边形P ABN的周长最小时，a= ．【分析】因为AB，PN的长度都是固定的，所以求出P A+NB的长度就行了．问题就是P A+NB什么时候最短．把B点向左平移2个单位到B′点；作B′关于x轴的对称点B″，连接AB″，交x轴于P，从而确定N点位置，此时P A+NB最短．设直线AB″的解析式为y=kx+b，待定系数法求直线解析式．即可求得a的值．【解答】解：将N点向左平移2单位与P重合，点B向左平移2单位到B′（2，﹣1），作B′关于x轴的对称点B″，根据作法知点B″（2，1），设直线AB″的解析式为y=kx+b，则123k bk b=+⎧⎨-=+⎩，解得k=4，b=﹣7．∴y=4x﹣7．当y=0时，x=74，即P（74，0），a=74．故答案填：74．【题后思考】考查关于X轴的对称点，两点之间线段最短等知识．3．如图，A 、B 两点在直线的两侧，点A 到直线的距离AM =4，点B 到直线的距离BN =1，且MN =4，P 为直线上的动点，|P A ﹣PB |的最大值为 ．D PB′N BMA【分析】作点B 于直线l 的对称点B ′，则PB =PB ′因而|P A ﹣PB |=|P A ﹣PB ′|，则当A ，B ′、P 在一条直线上时，|P A ﹣PB |的值最大．根据平行线分线段定理即可求得PN 和PM 的值然后根据勾股定理求得P A 、PB ′的值，进而求得|P A ﹣PB |的最大值．【解答】解：作点B 于直线l 的对称点B ′，连AB ′并延长交直线l 于P ． ∴ B ′N =BN =1，过D 点作B ′D ⊥AM ， 利用勾股定理求出AB ′=5 ∴| P A ﹣PB |的最大值=5．【题后思考】本题考查了作图﹣轴对称变换，勾股定理等，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．4．动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．【分析】本题关键在于找到两个极端，即BA ′取最大或最小值时，点P 或Q 的位置．经实验不难发现，分别求出点P 与B 重合时，BA ′取最大值3和当点Q 与D 重合时，BA ′的最小值1．所以可求点A ′在BC 边上移动的最大距离为2．【解答】解：当点P 与B 重合时，BA ′取最大值是3， 当点Q 与D 重合时（如图），由勾股定理得A ′C =4，此时BA ′取最小值为1． 则点A ′在BC 边上移动的最大距离为3﹣1=2． 故答案为：2【题后思考】本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．5．如图，直角梯形纸片ABCD ，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的落点记为P ．当P 落在直角梯形ABCD 内部时，PD 的最小值等于 ．【分析】如图，经分析、探究，只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小；根据勾股定理求出BD的长度，问题即可解决．【解答】解：如图，∵当点P落在梯形的内部时，∠P=∠A=90°，∴四边形PF AE是以EF为直径的圆内接四边形，∴只有当直径EF最大，且点A落在BD上时，PD最小，此时E与点B重合；由题意得：PE=AB=8，由勾股定理得：BD2=82+62=80，∴BD=45，∴PD=458 ．【题后思考】该命题以直角梯形为载体，以翻折变换为方法，以考查全等三角形的判定及其性质的应用为核心构造而成；解题的关键是抓住图形在运动过程中的某一瞬间，动中求静，以静制动．6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为．【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=AB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OD、OE、DE，∵∠MON=90°，AB=2∴OE=AE=12AB=1，∵BC=1，四边形ABCD是矩形，∴AD，∴DE2，根据三角形的三边关系，OD＜OE+DE，∴当OD过点E是最大，最大值为2+1．故答案为：2+1．【题后思考】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，勾股定理，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．7．如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是．【分析】设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=22x，CD′=22（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．【解答】解：设AC=x，BC=4﹣x，∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，∴CD=22x，CD′=22（4﹣x），∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，∴∠DCE=90°，∴DE2=CD2+CE2=12x2+12（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，∵根据二次函数的最值，∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．故答案为：2．【题后思考】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．8．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK 的最小值为．【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，∴点P′到CD的距离为2×33，∴PK+QK3．故答案为：3．【题后思考】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．9．如图所示，正方形ABCD的边长为1，点P为边BC上的任意一点（可与B、C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别为B′、C′、D′，则BB′+CC′+DD′的取值范围是．【分析】首先连接AC，DP．由正方形ABCD的边长为1，即可得：S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，继而可得12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，又由1≤AP≤2，即可求得答案．【解答】解：连接AC，DP．∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，∴AB=CD，S正方形ABCD=1，∵S△ADP=12S正方形ABCD=12，S△ABP+S△ACP=S△ABC=12S正方形ABCD=12，∴S△ADP+S△A BP+S△ACP=1，∴12AP•BB′+12AP•CC′+12AP•DD′=12AP•（BB′+CC′+DD′）=1，则BB′+CC′+DD′=2 AP，∵1≤AP≤2，∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值2．∴2≤BB′+CC′+DD′≤2．故答案为：2≤BB′+CC′+DD′≤2．【题后思考】此题考查了正方形的性质、面积及等积变换问题．此题难度较大，解题的关键是连接AC，DP，根据题意得到S△ADP+S△ABP+S△ACP=1，继而得到BB′+CC′+DD′=2 AP．10．如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【分析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D重合时PE+PF的最小值，进而求出即可．【解答】解：由题意可得出：当P与D重合时，E点在AD上，F在BD上，此时PE+PF最小，连接BD，∵菱形ABCD中，∠A=60°，∴AB=AD，则△ABD是等边三角形，∴BD=AB=AD=3，∵⊙A、⊙B的半径分别为2和1，∴PE=1，DF=2，∴PE+PF的最小值是3．故答案为：3．【题后思考】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．。
小学奥数趣味学习《最值问题》典型例题及解答
小学奥数趣味学习《最值问题》典型例题及解答在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”“费用最省”“面积最大”“损耗最小”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都归结为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为最值问题。
数量关系：一般是求最大值或最小值。
解题思路和方法：枚举法，综合法，分析法，公式法，图表法例题1：七个小朋友共折纸花100朵，每个小朋友折的朵数都不相同，其中折的最多的小朋友折了18朵，则折的最少的小朋友至少折了多少朵？解：1、要想最少的尽可能少，那么其他人就要尽可能多。
2、因为求折的最少的小朋友至少折了多少朵，那么其他六位小朋友应折的尽可能多，折的朵数应分别为18、17、16、15、14、13，则折的最少的小朋友至少折了100-18-17-16-15-14-13=7（朵）。
例题2：有22根长都是1厘米的小棒，乐乐用这些小棒围成长方形，围成的长方形面积最大是多少平方厘米，最小是多少方厘米？解：1、题目已知的是周长求面积，可以利用列表的方法解决。
2、周长是22厘米，则长与宽的和是22÷2=11（厘米），我们将可能的情况列表呈现出来。
3、所以围成的长方形面积最大是30平方厘米，最小是10平方厘米。
例题3：有一个73人的旅游团，其中男47人，女26人，住到一个旅馆里。
旅馆里有可住11人，7人，4人的三种房间，经过服务员的安排，这个旅游团的男、女分别住在不同的房间里，而且每个房间都按原定人数住满了旅游团的成员。
服务员最少用了多少个房间？解：1、要使房间用的少，则尽量先用11人间，但是也要考虑每个房间都要住满和性别差异，所以男女分开计算。
2、因为3×11+7×2=47（人），所以男的住了3个11人的房间，2个7人的房间。
又因为11×2+4=26（人），所以女的住了2个11人的房间，1个4人的房间，则服务员最少用了3+2+2+1=8（个）房间。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
初中数学常见8种最值问题
的方程 3 B.初中数学常见8种最值问题最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.一. 配方法例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）可取得的最小值为.解：原式 由此可知，当时，有最小值 .二. 设参数法例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数满足 .则 的最大值为.解：设 ，易知,由，得从而，.由此可知，是关于 t 的两个实根.于是，有,解得.故的最大值为 2.例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）若，则可取得的最小值为（ ）A. C.D. 6取得最小值 .故选（B ）.解：设 ，则从而可知，当时，解：由 得解得由是非负实数，得 , 解得又 ，故， 三. 选主元法例 4. （2004 年全国初中数学竞赛） 实数满足.则 z 的最大值是.解：由 得.代入 消去 y 并整理成以为主元的二次方程，由 x 为实数，则判别式 . 即 ，整理得 解得 .所以，z 的最大值是 .四. 夹逼法例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）是非负实数，并且满足.设，记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则.五. 构造方程法例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）.于是，因此.已知矩形 A 的边长为 a 和 b ，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之比与面积之比都等于 k ，试求 k 的最小值.解：设矩形 B 的边长为 x 和 y ，由题设可得 .从而x 和y 可以看作是关于t 的一元二次方程 的两个实数 根，则 ,因为 ，所以 ，解得,所以 k 的最小值是.六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）已知为整数，且.若，则的最大值为.解：由得，代入得.而由和可知的整数.所以，当时，取得最大值，为.七. 借助几何图形法例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）函数的最小值是.解：显然，若，则.因而，当取最小值时，必然有. 如图1，作线段AB=4，，且AC=1，BD=2.对于AB 上的任一点O，令OA=x，则.那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.图 1设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，.作 EF//AB 与DB 的延长线交于 F.在中，易知，所以，.因此，函数的最小值为5.八. 比较法例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两队承包天完成，需付180000 元；由乙、丙两队承包天完成，需付150000 元；由甲、丙两队承包天完成，需付160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？解：设甲、乙、丙单独承包各需天完成，则解得又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付元，则解得于是，由甲队单独承包，费用是（元）；由乙队单独承包，费用是（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，乙队承包费用最少.。
2020年中考数学必考考点专题33最值问题含解析
专题33 最值问题在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要为以下几种： 1.二次函数的最值公式二次函数y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。
y ac b a min =-442；②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。
y ac b amax =-442。
2.一次函数的增减性一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。
3. 判别式法根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得∆≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。
4.构造函数法“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质在实数范围内，显然有a b k k 22++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。
6. 零点区间讨论法用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
8. “夹逼法”求最值在解某些数学问题时，通过转化、变形和估计，将有关的量限制在某一数值范围内，再通过解不等式获取问题的答案，这一方法称为“夹逼法”。
专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题1】（经典题）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为．【答案】﹣4．【解析】题中所给的解析式为顶点式，可直接得到顶点坐标，从而得出解答．二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），所以最小值为﹣4．【例题2】（2018江西）如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是．【答案】．【解析】根据中位线定理得到MN的最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．如图，∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN=BC，∴当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，连接BO并延长交⊙O于点C′，连接AC′，∵BC′是⊙O的直径，∴∠BAC′=90°．∵∠ACB=45°，AB=5，∴∠AC′B=45°，∴BC′===5，∴MN最大=．【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求P点坐标及最大面积的值；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问AQ＋QC是否存在最小值?若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式即可求出a、b、c的值（当然用两根式做更方便）；（2）先证四边形AMBD为矩形，再证该矩形有一组邻边相等，即可证明该四边形为正方形；（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．再由S△PBC＝S△PBE＋S△CPE，转化为PE•OB＝×3×(－m2＋3m)，最后将二次函数化为顶点式即可锁定S△PBC的最大值与点P坐标；（4）解决本问按两步走：一找（如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ＋QC＝211(3)2t t++-，取CQ的中点G，以点Q为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ＋QC＝⊙Q的直径最小）、二求（由 AQ＝QC，解关于t的方程即可）．【解题过程】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过点A(1，0)，B(3，0)两点，∴令抛物线解析为y＝a(x－1)(x－3)．∵该抛物线过点C(0，3)，∴3＝a×(0－1)×(0－3)，解得a＝1．∴抛物线的解析式为y＝(x－1)(x－3)，即y＝x2－4x＋3．∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点D的坐标为(2，－1)．综上，所求抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3，顶点坐标为(2，－1)．（2）如答图1，连接AD、BD，易知DA＝DB．∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠MBA＝45°．∵D(2，－1)，A(3，0)，∴∠DBA＝45°．∴∠DBM＝90°．同理，∠DAM＝90°．又∵AM⊥BC，∴四边形ADBM为矩形．又∵DA＝DB，∴四边形ADBM为正方形．（3）如答图2，过点P作PF⊥AB于点F，交BC于点E，令P(m，m2－4m＋3)，易知直线BC的解析式为y＝－x＋3，则E(m，－m＋3)，PE＝(－m＋3)－(m2－4m＋3)＝－m2＋3m．∵S△PBC＝S△PBE＋S△CPE ＝PE•BF ＋PE•OF ＝PE•OB ＝×3×(－m2＋3m) ＝－ (m －)2＋，∴当m ＝时，S△PBC 有最大值为，此时P点的坐标为(，－)．（4）如答图3，设OQ＝t，则CQ＝3－t，AQ ＋QC＝211(3)2t t++-，取CQ的中点G，以点Q 为圆心，QG的长为半径作⊙Q，则当⊙Q过点A时，AQ ＋QC＝⊙Q的直径最小，此时，，解得t＝－1，于是AQ＋QC的最小值为3－t＝3－(－1)＝4－．1.（2018河南）要使代数式有意义，则x的（）A.最大值为B.最小值为C.最大值为D.最大值为【答案】A.【解析】要使代数式有意义，必须使2-3x≥0，即x≤，所以x的最大值为。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
最值问题的各种解法举例（含解答）-
最值问题的各种解法举例（含解答）-最值问题解法举例代数或函数的最值问题是中学数学比较常见的问题，解决这类问题，难度较大，灵活性强，下面举例说明几种方法。
一、配方法例1 当 x=___时，且y=____时，代数式582222-+---y x y x 的最大值为________。
二、判别式法例2 当x 变化时，分式1215632++++x x x x 的最小值是__________。
解：设y=1215632++++x x x x ，变形得关于x 的一元二次方程。
X 为实数，因此，△≥0，所以（y －4）(y －6)≤0得4≤y ≤6。
三、均值不等式法例3 若a 、b 、c 、d 是乘积为1的四个正数，则代数式cd bd bc ad ab d c b a ++++++++2222的最小值是_________。
解：∵abcd=1，∴cd=21,1≥+=+∴abab cd ab ab . 同理22≥+≥+bc ad bd ac .4)1(2,222222≥+∴+≥+++ab ab cd ab d c b a102222≥++++++++cd bd bc ad ab d c b a .四、分解因式法例4 若a 、b 、c 、d 是四个不相等的自然数，且abcd=1998，则a +b +c +d 的最大值是_______。
解：∵1998=1×4×7×71=1×2×14×71=1×2×7×142∴a 、b 、c 、d 的值分别为1，4，7，71或1，2，14，71或1，2，7，142.由此可求得a +b +c +d 的最大值是152.五、分类讨论法例5 当61≤+x 时，函数12+-=x x x y 的最大值是_________。
解：∵61≤+x ∴57≤≤-x当50≤≤x 时，22)1(12-=+-=x x x y 此时y 的最大值为16。
函数最值问题的几种常见方法
最值问题的几种常见解法一、配方法例１：当01≤≤-x 时，求函数x x y 4322⋅-=+的最大值和最小值． 解析：34)322(32+--=xy ，当01≤≤-x 时，1221≤≤x ．显然由二次函数的性质可得1min =y ，34max=y ． 二、判别式法 形如22221121c x b x a c x b x a y ++++=(1a 、2a 不同时为0),将其转化为关于x 的二次函数0),(=y x F ，通过方程有实根，判别式0≥∆，从而求出函数的值域或参数的值. 例：在20π≤≤x 条件下，求2)sin 1()sin 1(sin x x x y +-=的最大值． 解析：设x t sin =，因0(∈x ，)2π，故 10≤≤t ，则2)1()1(t t t y +-= 即 0)12()1(2=+-++y t y t y因为 10≤≤t ，故01≠+y ，于是0)1(4)12(2≥+--=∆y y y 即 81≤y 将81=y 代入方程得 0[31∈=t ，]1，所以81max =y 注意：因0≥∆仅为方程0)12()1(2=+-++y t y t y 有实根0[∈t ，]1的必要条件，因此，必须将81=y 代入方程中检验，看等号是否可取． 三、换元法(一)局部换元法 例：已知20≤≤a ,求函数))(cos (sin a x a x y ++=的最值．解析：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++= 令t x x =+cos sin则 22≤≤-t 且21cos sin 2-=t x x ，于是]1)[(2122-++=a a t y 当2=t 时，2122max ++=a a y ；当a t -=时，)1(212min -=a y ． 注意：若函数含有x x cos sin 和x x cos sin +，可考虑用换元法解．(二)三角代换法(有时也称参数方程法)例1：已知x 、y R ∈，4122≤+≤y x ．求22y xy x u ++=的最值．解析：设θcos t x =，θsin t y =，(t 为参数)因 4122≤+≤y x ，故 412≤≤t )2sin 211()sin sin cos (cos 2222θθθθθ+=++=∴t t u 故当42=t 且12sin =θ时，6max =u ；当12=t 且12sin -=θ时，21max =u ． 例2：实数x 、y 适合：545422=+-y xy x ，设22y x S +=，则max 1S +min 1S =____ 解析：令αcos S x =，αsin S y =，则5sin cos 54=-ααS Sααα2sin 2545cos sin 545-=-=S 当12sin =α时，3102545max =-=y ；当12sin -=α时，13102545min =+=y ． 所以 58101310311min max =+=+S S ．四、三角函数有界法①对于R x ∈，总有1|sin |≤x ，1|cos |≤x②形如：a b tan ),sin(cos sin 22=++=+=ϕϕ其中kx b a kx b kx a y 例：求函数x x y 2cos 22sin -=的最值． 解析：1)42sin(212cos 2sin cos 22sin 2--=--=-=πx x x x x y 因为 1|)42sin(|≤-πx ，故 当1)42sin(=-πx 时，12max -=y ；当1)42sin(-=-πx 时，12min --=y ．五、单调性法(一)利用若干次“≥”(或“≤”)求函数的最值例：求函数xx y cos 1sin 1+=在0(，)2π内的最小值． 解析：222sin 22cos sin 2cos sin cos sin cos 1sin 1≥=≥+=+=x x x x x x x x x y 当4π=x 时，x x cos sin =，12sin =x ．上式中的两个 “≥”中的等号同时成立，所以22≥y 是 “精确的”不等式．因而 22min =y另：此题还可用换元x x t cos sin +=以及函数单调性来判断(二)形如xb a x y +=的函数的最值 (1) 0>a ，0>b 时，函数在-∞(，ab -］内递增，在ab -[，)0内递减， 在0(，ab ］内递减，在ab [，)∞+内递增．(2) 0<a ，0<b 时，函数在-∞(，ab -］内递减，在ab -[，)0内递增， 在0(，ab ］内递增，在ab [，)∞+内递减．(3) 0<a ，0>b 时，函数在-∞(，)0内递减，在0(，)∞+内递减．(4) 0>a ，0<b 时，函数在-∞(，)0内递增，在0(，)∞+内递增． 例：求函数xx x y sin 1cos sin 22+-=的最大值． 解析：y )1sin 2()1(sin 1sin 2)1(sin 1sin 1sin 2sin 22+-++=+-+=+-+=x x x x x x x 令t x =+1sin ，则20≤<t ，函数tt y 2-+=在0(，)∞+内递增．所以在0(，]2内也是递增的．当2=t ，即1sin =x 时，1max =y ．六、数形结合法有些代数和三角问题，若能借助几何背景和几何直观而求其最值，常能受到直观明快，化难为易的功效．例24：求函数6cos 31sin 4--=x x y 的最值． 解析：将函数式变形为)2(cos 3)41(sin 4--=x x y ，只需求函数2cos 41sin --=x x u 的最值．把u 看成两点2(A ，)41，x B (cos ，)sin x 连线的斜率，(B 即为单位圆上的点)， 则当直线AB 为单位圆的切线时，其斜率为最大或最小．设过A 点的单位圆的切线方程为)2(41-=-x k y ，即 0241=-+-k y kx ． 则圆心到切线的距离为11|241|2=+-k k ，解得：431=k ，1252-=k ．从而函数 最大值为14334max =⨯=y ；最小值为95)125(34min -=-⨯=y ． 七、利用二次函数的性质例25：设0>x ，0≥y 且212=+y x ，求当x 、y 为何值时，)148(log 231++=y xy u 取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值． 解析：由212=+y x ，得y x 221-= )1412(log ]14)221(8[log 231231++-=++-=∴y y y y y u 由0>x ，0≥y 且212=+y x 可得410<≤y ，从而34141212≤++-≤y y (当0=y 时左边取“=”号，61=y 时右边取“＝”号)，由对数函数的图象及其性质，即 当61=x 、61=y 时，)34(log 31min =u ；当21=x 、0=y 时，0max =u ．。
中考数学《最值问题》及参考答案
中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。
高中数学 立几中的最值问题四则解题思路大全
立几中的最值问题四则1. 用配方法求距离的最值例1. 如图1，正方形ABCD、ABEF边长都是1，且平面ABCD、ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM BN a a==<<()02。
试求当a为何值时，MN 的值最小。
图1分析：此题的解题关键是想用含a的代数式表示距离，再用配方法求最值。
解：过M作MH AB⊥，垂足为H，连结NH，如图1所示。
在正方形ABCD中，AB CB⊥，所以BC MH//，因为平面AC⊥平面AE，所以MH⊥平面AE，即MH NH⊥。
因为CM BN a AB CB BE=====,1，所以AC BF==2即AM a=-2，MH AH a BH a==-=12222,，由余弦定理求得NH a=22。
所以MN MH NH=+22=-+=-+=-+<<()()()()12222212212022222a aa aa a当a =22时，MN =22，即M 、N 分别移到AC 、BF 的中点时，MN 的值最小，最小值为222. 结合实际找最值位置例2. 在一张硬纸上，抠去一个半径为3的圆洞，然后把此洞套在一个底面边长为4，高为6的正三棱锥A —BCD 上，并使纸面与锥面平行，则能穿过这张纸面的棱锥的高的最大值是________。
图2解：如图2所示，假设硬纸上的圆洞刚好卡在B'C'D'处。
设正三棱锥A BCD -的顶点A 在平面BCD 上的射影为A'，在平面B'C'D'上的射影为O 。
连结BA'、B'O 并延长分别交CD 、C'D'于E 、E'点，则平面B C D '''//平面BCD ， 所以B E BE B C BC''''=， B E B O BE BA ''''==3232，， 即B O BA B C BC''''=。
圆中最值问题10种求法
圆中最值的十种求法在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：一、利用对称求最值1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°在Rt△ODE中 cos30°=即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2即PA+PC的最小值为2.二、利用垂线段最短求最值2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q,则PQ长度的最小值为 .[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。
解:连接PA、QA因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2即PQ=又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。
所以PA的最小值为2所以PQ的最小值=三、利用两点之间线段最短求最值3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )A．B．2 C．3 D．3［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3在Rt△PAD中，AD=，故选C。
巧求最值问题八种方法
如何求“最值”问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、 利用配方求最值例1：若x,y 是实数，则19993322+--+-y x y xy x 的最小值是 。
分析:由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原式=1990)96(21)96(21)2(212222++-++-++-y y x x y xy x =1990)3(21)3(21)(21222+-+-+-y x y x 显然有 (x-y)2≥0, (x-3)2≥0, (y-3)2≥0,所以 当x-y=0,x-3=0,y-3=0时 ,得x=y=3时, 代数式的值最小，最小是1990； 例2，设x 为实数，求y=312-+-xx x 的最小值。
分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的x 取值相同。
由于y=121122--+++-x x x x =1)1()1(22--+-xx x ,要求y 的最小值，必须有x-1=0,且01=-x x ，解得x=1,于是当x=1时，y=312-+-xx x 的最小值是-1。
二、 利用重要不等式求最值例3：若xy=1,那么代数式44411y x +的最小值是 。
分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最小值，可考虑用不等式的性质来解此题，44411y x +=2222222)(121·1·2)21()1(xy y x y x =≥+=1 所以：44411y x +的最小值是1 三、 构造方程求最值例4：已知实数a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4.求a 、b 、c 中的最大者的最小值. 分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与系数的关系，构造方程来解。
最值问题的几种解法
最值问题的几种解法常见类型和方法介绍如下:一、 构造函数法最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解决往往离不开函数。
【例1】已知：ｘ、ｙ、ｚ为实数，且满足⎩⎨⎧=+-=-+3262z y x z y x那么ｘ2＋ｙ2＋ｚ2的最小值是多少？解：设ｗ＝ｘ2＋ｙ2＋ｚ2由已知：⎩⎨⎧-=-=x y xz 54 代入ｗ中得：ｗ＝３ｘ２－18ｘ＋41＝3（ｘ－3）2＋14故当ｘ＝3时，ｗ取最小值14。
二、构造三角形法【例4】函数106422+-++=x x x y 的最小值为A ．102+B ．113+C ．23D ．62 解：答案选Ｃ 分析：将原函数式化为22221)3(2+-++=x x y 可见ｙ可以看作是两个直角三角形的斜边的和，于是构造Rt △OAM, Rt △BCM,使OA=2,OM=x,BC=1,BM=3-x （如图），则∣ＡＭ∣＝222+x ，∣ＣＭ∣＝221)3(+-x Aｙ＝∣ＡＭ∣＋∣ＣＭ∣≥∣ＡＣ∣所以，当ＡＭＣ三点共线时，有x x -=312得ｘ＝2时ｙ最小＝23构造二次方程法：【例３】已知ｘ、ｙ为实数，且满足ｘ＋ｙ＋ｍ＝5，ｘｙ＋ｙｍ＋ｍｘ＝3，求实数ｍ的最大值。
解：由条件等式得：ｘ＋ｙ＝5－ｍ，ｘ·ｙ＝3－ｍ（ｘ＋ｙ）＝3－ｍ（５－ｍ）＝ｍ2－5ｍ＋3∴ｘ、ｙ是方程ｚ2－（5－ｍ）ｚ＋（ｍ2－5ｍ＋3）＝0的两个实数根，∴△＝〔－（5－ｍ）〕2－4（ｍ2－5ｍ＋3）≥0， 即3ｍ2－10ｍ－13≤0 解得：－1≤ｍ≤313∴ｍ的最大值是313 二、构造方差法【例４】已知：正实数ａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ满足等式ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝8和ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＋ｅ2＝16，求实数ｅ的最大值。
解：∵ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ＝8∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝8－ｅ∵ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＋ｅ2＝16，∴ａ2＋ｂ2＋ｃ2＋ｄ2＝16－ｅ2而由ａ、ｂ、ｃ、ｄ组成的一组数据的方差∵ 方差Ｓ2≥0，∴04)8(1622≥---e e ∴64－4ｅ2－64＋16ｅ－ｅ2≥0∴5ｅ2－16ｅ≤0∴0≤ｅ≤516∴ｅ的最大值是516 三、巧取倒数法5】已知：ｘ＞0，求xx x x 44211+-++的最大值。
求函数最值常用的方法及经典例题讲解[整理]
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求函数最值常用的方法及经典例题讲解知识点：一、函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．二、求函数最大（小）值常用的方法．案例分析：例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-类型一、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。
例 1、求函数1,[1,2]y xx=∈的值域A、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀：1、求函数21yx=-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．2()5522++=x x x f类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)例： 求函数3456x y x +=+值域。
实战训练场：1) 求函数213-+=x x y 的值域；2) 函数.11的值域是xxy +-=类型三、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况例1、求函数y =的值域。
例2、求函数的值域。
类型四、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一(二次函数）（02≠++=a c bx ax y ]44(0);44[022ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时)。
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最值问题解法举例
代数或函数的最值问题是中学数学比较常见的问题，解决这类问题，难度较大，灵活性强，下面举例说明几种方法。
一、配方法
例1 当 x=___时，且y=____时，代数式582222-+---y x y x 的最大值为________。
二、判别式法
例2 当x 变化时，分式12
15632++++x x x x 的最小值是__________。
解：设y=12
15632++++x x x x ，变形得关于x 的一元二次方程。
X 为实数，因此，△≥0，所以（y －4）(y －6)≤0得4≤y ≤6。
三、均值不等式法
例3 若a 、b 、c 、d 是乘积为1的四个正数，则代数式
cd bd bc ad ab d c b a ++++++++2222的最小值是_________。
解：∵abcd=1，∴cd=21,1≥+=+∴ab
ab cd ab ab . 同理22≥+≥+bc ad bd ac . 4)1(2,222222≥+∴+≥+++ab ab cd ab d c b a
102222≥++++++++cd bd bc ad ab d c b a .
四、分解因式法
例4 若a 、b 、c 、d 是四个不相等的自然数，且abcd=1998，则a +b +c +d 的最大值
是_______。
解：∵1998=1×4×7×71=1×2×14×71=1×2×7×142∴a 、b 、c 、d 的值分别为1，
4，7，71或1，2，14，71或1，2，7，142.由此可求得a +b +c +d 的最大值是152.
五、分类讨论法
例5 当61≤+x 时，函数12+-=x x x y 的最大值是_________。
解：∵61≤+x ∴57≤≤-x
当50≤≤x 时，22)1(12-=+-=x x x y 此时y 的最大值为16。
当07 x ≤-时，2)1(1222++-=+--=x x x y 此时y 的最大值为2。
六、减元法
例6 若实数x 、y 满足条件,022=-+x y 则522++-x x y 的最大值是_______。
解：由条件可知7525222222+-=++--=++-∴-=x x x x x x y x y . 当x=0时最大值为7.
七、利用“主元法” 求最值
所谓“主元法”即对于含有多个字母的代数式或函数，可先取其中一个变量作为主变量，而其余的变量看作常量，这种求最值的方法，即为主元法。
例7 若a 、c 、d 为整数，b 是正整数且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，则a+b+c+d 的
最大值是______。
解：注意到b 取值范围的特殊性，选b 作主元∵a+b=c ，c+d=a ∴d=－b ，c=d-b=-2b ，a=c+d=-3b ∴a+b+c+d=-5b ∵b 的最小值是1，∴a+b+c+d 的最大值为－5。
八、利用几何中两点之间线段最短求最值
例8 求函数842222+-+++=x x x x y 的最小值是______。
九、利用完全平方式的非负性质求最值
例9 求函数2221
3x x y +=的最小值。
解：根据a 2＋b 2≥2ab 来解决
十、利用函数的性质求最值
例10A市和B市各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台，若从A市运一台到C市、D市各需要4万元和8万元，从B市运一台到C市、D市各需要3万元和5万元。
（1）设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式。
（2）若总费用不超过90万元，问共有多少种调动方式？
（3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？
例12．某市20位下岗职工近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。