最值问题的各种解法举例(含解答)-

最值问题解法举例

代数或函数的最值问题是中学数学比较常见的问题，解决这类问题，难度较大，灵活性强，下面举例说明几种方法。

一、配方法

例1 当 x=___时，且y=____时，代数式582222-+---y x y x 的最大值为________。

二、判别式法

例2 当x 变化时，分式12

15632++++x x x x 的最小值是__________。 解：设y=12

15632++++x x x x ，变形得关于x 的一元二次方程。X 为实数，因此，△≥0，所以（y －4）(y －6)≤0得4≤y ≤6。

三、均值不等式法

例3 若a 、b 、c 、d 是乘积为1的四个正数，则代数式

cd bd bc ad ab d c b a ++++++++2222的最小值是_________。

解：∵abcd=1，∴cd=21,1≥+=+∴ab

ab cd ab ab . 同理22≥+≥+bc ad bd ac . 4)1(2,222222≥+∴+≥+++ab ab cd ab d c b a

102222≥++++++++cd bd bc ad ab d c b a .

四、分解因式法

例4 若a 、b 、c 、d 是四个不相等的自然数，且abcd=1998，则a +b +c +d 的最大值

是_______。

解：∵1998=1×4×7×71=1×2×14×71=1×2×7×142∴a 、b 、c 、d 的值分别为1，

4，7，71或1，2，14，71或1，2，7，142.由此可求得a +b +c +d 的最大值是152.

五、分类讨论法

例5 当61≤+x 时，函数12+-=x x x y 的最大值是_________。

解：∵61≤+x ∴57≤≤-x

当50≤≤x 时，22)1(12-=+-=x x x y 此时y 的最大值为16。

当07 x ≤-时，2)1(1222++-=+--=x x x y 此时y 的最大值为2。

六、减元法

例6 若实数x 、y 满足条件,022=-+x y 则522++-x x y 的最大值是_______。 解：由条件可知7525222222+-=++--=++-∴-=x x x x x x y x y . 当x=0时最大值为7.

七、利用“主元法” 求最值

所谓“主元法”即对于含有多个字母的代数式或函数，可先取其中一个变量作为主变量，而其余的变量看作常量，这种求最值的方法，即为主元法。

例7 若a 、c 、d 为整数，b 是正整数且满足a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，则a+b+c+d 的

最大值是______。

解：注意到b 取值范围的特殊性，选b 作主元∵a+b=c ，c+d=a ∴d=－b ，c=d-b=-2b ，a=c+d=-3b ∴a+b+c+d=-5b ∵b 的最小值是1，∴a+b+c+d 的最大值为－5。

八、利用几何中两点之间线段最短求最值

例8 求函数842222+-+++=x x x x y 的最小值是______。

九、利用完全平方式的非负性质求最值

例9 求函数2221

3x x y +=的最小值。

解：根据a 2＋b 2≥2ab 来解决

十、利用函数的性质求最值

例10A市和B市各有机床12台和6台，现运往C市10台，D市8台，若从A市运一台到C市、D市各需要4万元和8万元，从B市运一台到C市、D市各需要3万元和5万元。

（1）设B市运往C市x台，求总费用y关于x的函数关系式。

（2）若总费用不超过90万元，问共有多少种调动方式？

（3）求总费用最低的调运方法，最低费用是多少万元？

例12．某市20位下岗职工近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：

请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多。