高中数学 2.3.1 变量间的相互关系(一)、(二)学案 新人教A版必修3
人教版高中数学必修三(教案)2.3 变量之间的相关关系(4课时)
第一课时 2.3.1 变量之间的相关关系教学要求：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。
教学难点：变量之间相关关系的理解。
教学过程：一、新课准备：1.粮食产量与施肥量有关系吗？2. 提问：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。
教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（水滴石穿三人行必有我师等）二、讲授新课：1. 问题的提出1.请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。
（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。
）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。
数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。
但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。
（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。
但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。
）2．给出相关关系的概念1.相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。
当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。
相关关系是一种非确定性关系。
（分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系）2.例：商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关）3.小结：1.现实生活中相关关系的实例。
2.相关关系的概念。
三.巩固练习1.练习：教材P76 1，2题。
2.分析：人的身高和年龄是一对相关关系。
因为在某一个年龄上，人的身高在取值上带有一定的随机性，如受遗传.营养.体育锻炼.心理素质等因素的影响。
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案
高中数学23变量间的相关关系一二全册精品教案新人教A版必修3教案教案名称：高中数学23变量间的相关关系一、二全册精品教案教材版本：新人教A版必修3教学目标：1.掌握变量之间的相关关系的概念；2.理解相关系数的含义和计算方法；3.能够应用相关关系解决实际问题；4.培养学生分析和解决问题的能力。
教学重点：1.相关系数的计算方法；2.相关关系的实际应用。
教学难点：1.相关系数的计算和解释；2.相关关系在实际问题中的应用。
教学准备：1.教师准备板书工具，包括黑板、彩色粉笔等；2.教师准备教学用具，如教学课件、实验仪器等。
教学过程：第一课时：1.导入（5分钟）教师通过引入相关关系在日常生活中的例子，引起学生的思考和兴趣，如“你有没有觉得吃得越多睡得越香？”、“你觉得天气越热人们购买冷饮的数量会有什么变化？”等。
2.引入（10分钟）教师通过示意图和简单的计算，引导学生理解变量之间的相关关系，并介绍相关系数的定义和计算方法。
3.基础知识讲解（25分钟）3.1相关系数的含义和计算方法：教师通过示例和公式解释相关系数的含义和计算方法，让学生掌握相关系数的计算公式。
3.2相关系数的性质和意义：教师讲解相关系数的性质和意义，引导学生理解相关系数与变量之间的线性关系程度的关系。
4.练习（10分钟）教师布置一些相关系数的计算练习题，让学生进行个人或小组练习。
第二课时：5.复习（5分钟）回顾上节课学习的内容，教师提问学生相关系数的计算方法及其含义，并解答学生疑惑。
6.拓展（15分钟）6.1相关系数的解读：教师通过实例和图表解释如何解读相关系数的大小和正负号。
6.2相关系数的应用：教师介绍相关系数在实际问题中的应用，如市场调研、经济预测等。
7.实验（20分钟）教师组织学生进行相关系数实验，通过观察和数据统计，让学生进一步理解相关系数的计算方法和含义。
8.总结归纳（10分钟）教师引导学生总结相关系数的计算方法、含义和应用，并与学生一起完成相关关系的概念思维导图。
2019-2020学年数学新人教A版必修3学案：2.3.1 变量之间的相关关系
高一数学必修3导学案主备人: 备课时间: 备课组长:2.3.1变量之间的相关关系授课日期: 姓名: 班级:一、学习目标知识与技能：1、通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。
2、明确事物间的相互联系。
3、认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
过程与方法：通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法。
情感态度：通过对变量之间的相关关系研究的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识与现实世界的联系。
二、学习重难点重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。
难点：变量之间相关关系的理解。
三、学法指导认真阅读课本，独立完成学案，对学案中补充的概念，说明等要认真理解，加强记忆。
A:自主学习；B:合作探究；C：能力提升4、小班、重点班完成全部，平行班至少完成 A.B 类题。
平行班的A级学生完成80％以上B完成70％～80％C力争完成60％以上。
四、学习过程变量之间的相关关系问题1、在学校里，老师经常对学生这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。
”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（至少举出两个）问题3、什么叫相关关系？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系.问题4、变量与变量之间的关系有两种：一类是：确定性的函数关系;另一类是：带有随机性的变量间的相关关系。
对相关关系的理解应当注意以下几点：其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系，其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大.其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.A例1、下列关系中，带有随机性相关关系的是（1）正方形的边长与面积之间的关系；（2）水稻产量与施肥量之间的关系（3）人的身高与年龄之间的关系（4）降雪量与交通事故的发生率之间的关系A练习：下列两个变量之间为函数关系的是带有随机性相关关系的是①角度和它的余弦值；②单产为常数时，土地面积与粮食总产量；③正n边形的数和它的内角和；④某户所缴电费与电价间的关系；⑤圆的半径和它的面积．两个变量的线性相关B1、在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，根据上分析数据可得，大体上来看，2、散点图的概念：说明：a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系。
人教A版高中数学必修三变量之间的相关关系教案
2.3.1变量之间的相关关系教学目标：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
教学过程：案例分析:一般说来，一个人的身高越高，他的人就越大，相应地，他的右手一拃长就越长，因此，人的身高与右手一拃长之间存在着一定的关系。
为了对这个问题进行调查，我们收集了北京市某中学2003年高三年级96名学生的身高与右手一拃长的数据如下表。
（1）根据上表中的数据，制成散点图。
你能从散点图中发现身高与右手一拃长之间的近似关系吗？（2）如果近似成线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系。
（3）如果一个学生的身高是188cm，你能估计他的一拃大概有多长吗？解：根据上表中的数据，制成的散点图如下。
从散点图上可以发现，身高与右手一拃长之间的总体趋势是成一直线，也就是说，它们之间是线性相关的。
那么，怎样确定这条直线呢？同学1：选择能反映直线变化的两个点，例如（153，16），（191，23）二点确定一条直线。
同学2：在图中放上一根细绳，使得上面和下面点的个数相同或基本相同。
同学3：多取几组点对，确定几条直线方程。
再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。
同学4：我从左端点开始，取两条直线，如下图。
再取这两条直线的“中间位置”作一条直线。
同学5：我先求出相同身高同学右手一拃长的平均值，画出散点图，如下图，再画出近似的直线，使得在直线两侧的点数尽可能一样多。
1015202530150155160165170175180185190195同学6：我先将所有的点分成两部分，一部分是身高在170 cm 以下的，一部分是身高在170 cm 以上的；然后，每部分的点求一个“平均点”——身高的平均值作为平均身高、右手一拃的平均值作为平均右手一拃长，即（164，19），（177，21）；最后，将这两点连接成一条直线。
高中数学必修三《变量间的相互关系》优秀教学设计
教学过程：批活动一：创设情景，揭示课题问题：1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.活动二：指导探究，师生交流（一）：变量之间的相关关系思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？（1）商品销售收入与广告支出经费；（2）粮食产量与施肥量；（3）人体内的脂肪含量与年龄.思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.例 1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？1.圆的面积与圆的半径；2.粮食产量与施肥量的关系；3.商品销售收入与广告支出经费；4.正方体的棱长与体积之间的关系5.人的身高和体重；6.生活中我们常常听到这些说法：“吸烟有害健康”“名师出高徒”活动三：合作学习，探究新知学（18分钟）：散点图【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？思考2：以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.练习2. 今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( C )。
高中数学人教A版必修3《2.3.1变量间的相关关系》教案4
必修三 2.3.1 变量间的相关关系教学目标1、知识与技能（1）了解变量之间的相关关系。
（2）会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
（3）会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
（4）让学生了解产生变量之间的相关关系是由许多不确定的随机因素的影响。
2、过程与方法（1）通过复习变量之间的函数关系引出变量相关关系，有熟悉到生疏的过程便于学生理解。
（2）通过对变量之间的关系的学习让学生了解从总的变化趋势来看变量之间存在某种关系，但这种关系又不能用确定的函数关系精确表达出来，也让学生了解变量之间的不确定性关系是很普遍的，帮助学生树立科学的辨证唯物主义观点，感受自然的辩证法。
（3）通过对本课的学习，引导学生关注社会，关注生活，进一步学会观察、比较、归纳、分析等一般方法的运用。
3、情感、态度与价值观（1）通过引导学生观察生活中的例子，使学生由能直接找出变量之间的函数关系引出到无法直接找出变量之间的函数关系，即变量之间的相关关系，激发学生的求知欲。
（2）通过引导学生感受生活中实际问题转化为数学问题，学会查找资料，收取信息，学会用统计知识对实际问题进行数学分析。
教学重点1、变量之间的相关关系。
2、会区别变量之间的函数关系与变量相关关系。
3、会举例说明现实生活中变量之间的相关关系。
教学难点1、对变量之间的相关关系的理解。
2、变量之间的函数关系与变量相关关系的区别。
教辅手段教学过程一、情景设置问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y的关系如下表：从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为：问题2、甲、乙两地相距150千米，某人骑车从甲地到乙地，则他的速度v（千米/时）和时间t（小时）的函数大致图象是怎样的？问题3、小麦的产量y千克每亩与施肥量x千克每亩之间的关系如下表：从表里数据能得出小麦的产量y与施肥量x之间的函数关系式吗？提问学生以下三个问题。
问题1：因为是以均匀的速度注入桶里，所以注入的油量y与注入的时间t成正比例关系，由数据表格知，注入的油量y与注入的时间t之间的函数关系式为y=2t（t 0）（实际问题，因此自变量的取值范围应该有意义）问题2：路程一定，所以走完全程所用的时间t与速度v成反比例关系所以其函数图象是反例函数图象。
高中数学 2.3.1 变量之间的相关关系学案 新人教A版必修3
2.3.1 变量之间的相关关系学习目标：1．通过收集现实问题中两个有关联变量之间的数据认识变量间的相关关系。
2．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
知识要点：阅读教材P84—P87内容一．相关关系：1.两个变量间除了函数关系外，还有相关关系。
2.相关关系：从总的变化趋势来看，变量间存在某种关系，但这种关系又不能用函数关系精确表达。
3.相关关系产生的原因：许多不确定的随机因素的影响。
4.需要通过样本来寻找变量间的相关关系。
二．散点图：1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，变量间就有函数关系，就用该函数来描述变量间的关系；2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量间就有相关关系；3.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量间就有关系，这条直线叫做；4.正相关关系，散点图的特征是：点散布在；5.负相关关系，散点图的特征是：点散布在。
典型例题：1.举出三个现实生活中存在的相关关系的例子。
2.利用人体内的脂肪含量与年龄的关系的数据及散点图体会二者间的相关关系。
年龄23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪9.5 17.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6当堂检测1.下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系（）A．角度和它的余弦值 B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数之和 D．人的年龄与身高2.下列两个变量中具有相关关系的是（）A．正方体的体积与边长B．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C．人的身高与体重D．人的身高与视力3.吸烟是否一定会引起健康问题？“健康问题不一定由吸烟引起，所以可以吸烟”对吗？4.经统计，某村庄附近栖息的天鹅多，该村庄的婴儿出生率就高，天鹅少，婴儿出生率就低，结论：天鹅能带来孩子。
这个结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学人教A版必修3《2.3.1变量间的相关关系》教案1
课型：新授课年月日
教
学
目
标
知识与技能:
1.了解线性回Βιβλιοθήκη 的意义，了解最小二乘法思想；2.会求回归直线方程。
过程与方法:
经历描述两个变量的相关关系的过程，了解最小二乘法的思想。
情感、态度与价值观:
学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程
教学重点
用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程
教学难点
用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程
教学方法
讨论法
教学过程：
批注
活动一：创设情景，揭示课题（5分钟）
问题：
1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系. 2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？3.这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.活动二：步入新知，师生交流（20分钟）
练习2.今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(C)
A.y=log2xB.y=2xC.y=(x2－1)/2 D.y=2x－2
问题提出
1.两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？
人教A版高中数学必修三变量之间的相关关系教案(2)
变量间的相关关系的教学设计本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。
学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。
学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。
与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。
教学设计与实践：[教学目标]：1、明确事物间的相互联系。
认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。
2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。
3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。
会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。
[教学用具]：学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯[教学实践情况]：一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ）然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。
”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。
根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。
（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。
）教师总结如下：物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。
数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。
但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）：（影响你的物理成绩的关系图）因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。
但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。
如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。
人教A版高中数学必修3：2.3.1 变量之间的相关关系(2)
•在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程.
•回归直线的方程称为回归方程.
•对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够 求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、 清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回 归方程对总体进行估计.
下列四组变量，哪些具有线性相关的关系？
线
性
相
关
关
系
图1
图2
图3
图4
观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体脂肪 含量具有什么相关关系？
观察散点图的大致趋势，人的年龄与人体 脂肪含量具有什么相关关系？
一般地，对于某个人来说，她的体内 脂肪不一定随年龄的增长而增加或减少。 但是如果把很多个体放在一起，这时就 可能表现出一定的规律。大体上来看， 随年龄的增加，人体中脂肪的百分比也 在增加。
（3）三角形三边长与三角形面积的关系
函数是研究两个变量之间的依存关系 的一种数量形式.
对于两个变量，如果当一个变量的取 值一定时，另一个变量的取值被惟一确 定，则这两个变量之间的关系就是一个 函数关系.
函数关系是一种确定性关系
对比得出的异同点： 不同点： ①一种是确定性关系（函数关系）；另一种是 一种非确定性关系。 ②函数关系是一种因果关系，而另一种不一定 是因果关系，也可能是伴随关系。
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
脂肪含量
思考：一组样本数据的平均数是样本数据的 中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？ 它一定是散点图中的点吗？
脂肪含量
40
35
30
25
20
15 10
(x, y)
5
0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
高中数学优质教学设计4：2.3.1变量之间的相关关系 教案
2.3.1变量间的相关关系一、内容与解析变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容,本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。
为以后更好地研究选修2-3第三章3.2节回归分析思想的应用奠定基础。
二、教学目标及解析1.通过实例了解变量之间的相互关系，明确事物间是相互联系的，认识现实生活中变量间存在的非确定性的相关关系，体会研究此类问题在现实生活中的重要性。
2.会作散点图，并由此对变量间的正相关或负相关作出直观的判断。
3.通过探究用不同估算方法描述两个变量线性相关关系的过程，学会用数量来描述现实关系。
三、问题诊断分析在本节课的教学中,学生可能遇到的问题是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。
四、教学过程问题1.有些教师常说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题。
”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，你如何认识它们之间存在的关系呢？总结：物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到较多的数学知识和数学方法，数学成绩的好坏影响着物理成绩的高低，即一个人的物理成绩确实与数学成绩有一定的关系。
但除此之外，还存在其他影响物理成绩的因素，如学习物理的兴趣，用在物理学习上的时间等，如下图所示：数学成绩物理成学习兴趣学习时间其他因素因此不能通过一个人的数学成绩来确定他的物理成绩，两个变量之间是一种不确定性的关系，产生这种关系的原因是受到许多不确定的随机因素的影响。
问题2.举实例说明两个变量间的相互关系。
1.商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
商品销售收入与广告支出经费有着密切的联系，但商品销售收入不仅与广告支出多少有关，还与商品质量、居民收入等因素有关。
2.粮食产品与施肥之间的关系。
在一定范围内，施肥量越大，粮食产量就越高。
但施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素的影响。
人教A版高中数学必修3：2.3.1 变量之间的相关关系
( x1, y1 )
yi yi
n
Q (yi yˆi )2 i1
( x2, y2 )
x
( y1 bx1 a)2 ( y2 bx2 a)2 ( yn bxn a)
根据有关数学原理分析，当
n
n
y
(xi x)( yi y)
xi
nx y
回归直线
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直 线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关 关系，这条直线就叫做回归直线。
这条回归直线的方程，简称为回归方程。
脂肪含量
四、如何具体的求出这个回归方程呢？ 方案：采用测量的方法：先画一条直线，测量 出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个 使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜 率和截距，就得到回归方程。
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
观察散点图的大致趋势， 两个变量的散点图中 点的分布的位置是从左下角到右上角的区域， 我们称这种相关关系为正相关。
思考3：如果两个变量成负相关，从整体上看这两 个变量的变化趋势如何？
散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域.
存活比例
量、居民收入等因素有关。
2〉粮食产量与施肥量之间的关系。
• 在一定范围内，施肥量越大，粮食产 量就越高。但是，施肥量并不是决定粮食 产量的唯一因素，因为粮食产量还要受到 土壤质量、降雨量、田间管理水平等因素 的影响。
3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关系。
高中数学 2.3.1 变量之间的相关关系课件 新人教A版必修3
探索研究，构建新知
探究一：在学校里，老师对学生经常 这样说“如果你的数学成绩好，那么 你的物理学习就不会有多大问题。”
你相信吗？
问探题索探 研究，构建新知
数学成绩
物理成绩
学习兴趣 学习时间
其他因素
探索研究，构建新知
函数关系
匀速直线运动中时间和路程的关系
数学成绩和物理成绩
相关关系
从总的变化趋势看变量之间存在某种关系，但这种 关系不能用函数关系精确的表达出来。即自变量一定 时，因变量带有一定的随机性。
根据上述数据，你认为人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？
（其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.）
问探题索探 研究，构建新知
思考：为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们 需要对数据进行分析，作图可以对两个变量之间的关系有一个直 观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标 系中描出样本数据对应的图形吗？
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问探题索探 研究，构建新知
思考： 如何利用散点图判断两个变量的关系呢？
收入
脂肪含量
数学成绩
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2019/8/29
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【高中教育】高中数学 2.3 变量间的相关关系导学案 新人教A版必修3.doc
《2.3变量间的相关关系》【学习目标】1．了解相关关系、线性相关、回归直线、最小二乘法的定义．2．会作散点图，并能利用散点图和定义判断两个变量之间是否具有相关关系．3．会求回归直线方程，并能用回归直线方程解决有关问题．【学习重点】变量间的相关性与回归直线方程课前预习案【知识链接】问题1：在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢?请同学们如实填写下表（在空格中打“√”）:问题2：某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿的出生率低，于是，他就得出一个结论：天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗？如何证明这个结论的可靠性？【知识梳理】1．相关关系(1)定义：如果两个变量中一个变量的取值一定时，另一个变量的取值带有一定的______性，那么这两个变量之间的关系，叫做相关关系．(2)两类特殊的相关关系：如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为正相关，如果散点图中点的分布是从______角到______角的区域，那么这两个变量的相关关系称为负相关． 2．线性相关(1)定义：如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条______附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做__________． (2)最小二乘法：求线性回归直线方程y ^ ＝b ^x ＋a ^时，使得样本数据的点到它的______________最小的方法叫做最小二乘法，其中a ^，b ^的值由以下公式给出：⎩⎨⎧b ^＝∑n i ＝1xi －xyi －y ∑n i ＝1 xi －x 2＝∑n i ＝1xiyi －n x y∑ni ＝1x2i －n x 2，a ^＝ ，其中，b ^是回归方程的____________，a ^是回归方程在y 轴上的______．小结：线性回归分析涉及大量的计算，形成操作上的一个难点，可以利用计算机非常方便地作散点图、回归直线，并能求出回归直线方程．因此在学习过程中，要重视信息技术的应用． 自主小测1、下列图形中具有相关关系的两个变量是( )2、某单位为了解用电量y(千瓦时)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^中b ^≈－2，则a ^ ≈__________. 课 上 导 学 案 教师点拨1：两个变量间的关系分为三类：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，这种关系就是相关关系，例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；再一类是不相关，即两个变量间没有任何关系．教师点拨2：①相关关系与函数关系的异同 相同点：两者均是指两个变量的关系．不同点：函数关系是一种确定的关系．如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系；相关关系是一种非确定的关系．如一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系． 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系．②线性回归直线方程的性质 (1)回归直线过样本数据的中心．所谓样本数据的中心，对于单变量样本数据而言，平均数是样本数据的中心；对于以(xn ，yn)为样本数据而言，(x ，y )为样本点的中心，根据最小二乘法原理，回归直线一定过样本点的中心． (2)回归直线的单调性与样本数据的相关性．如果样本数据对应的点具有线性相关关系，从回归直线方程来看，当系数b ＞0时，直线单调递增，此时这两个变量正相关；当b ＜0时，直线单调递减，此时这两个变量负相关． 【例题讲解】【例题1】 设对变量x ，y 有如下观察的数据：(1)画出散点图．(2)判断变量x ，y 是否具有相关关系？如果具有相关关系，那么是正相关还是负相关？【例题2】 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^ ＝b ^x＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【例题3】下列变量之间的关系属于相关关系的是( )A．圆的周长和它的半径之间的关系B．价格不变的条件下，商品销售额与销售量之间的关系C．家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势D．正方形面积和它的边长之间的关系【当堂检测】1．已知x，y的取值如下表：从散点图可以看出y与x线性相关，且回归方程为y＝0.95x＋a，则a＝( ) A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．02．某考察团对全国10个城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有相关关系，回归方程为y＝0.66x＋1.562.若某城市居民人均工资为9 000元，则其居民人均消费水平为__________千元．3．某商店统计了最近6个月某商品的进价x 与售价y(单位：元)的对应数据如下：则x ＝________，y ＝________，621ii x=∑＝__________，61i ii x y=∑＝__________，回归直线方程为__________．4．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y(万元)有如下的统计资料：若由资料知y 对x 成线性相关关系．试求： (1)线性回归方程y ＝bx a +的回归系数b 与a ； (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【问题与收获】基础知识答案：1．(1)随机 (2)左下 右上 左上 右下 2．(1)直线 回归直线 (2)距离的平方和 y －b ^x 斜率 截距 自主小测答案：1、 C A 项中显然任给一个x 都有唯一确定的y 和它对应，是一种函数关系；B 项也是一种函数关系；C 项中从散点图可以看出所有点看上去都在某条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关关系；D 项中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的． 2、60 x ＝18＋13＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋644＝40，则a ^＝y －b ^x ≈40＋2×10＝60. 例题答案：【例题1】 解：(1)画出散点图．(2)具有相关关系．根据散点图，左下角到右上角的区域，变量x 的值由小变大时，另一个变量y 的值也由小变大，所以它们具有正相关关系． 【例题2】 解：(1)散点图，如图所示．(2)由题意，得∑4i ＝1xiyi ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x2i ＝32＋42＋52＋62＝86，则b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^ ＝0.7x ＋0.35.(3)根据线性回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35，故消耗能源减少了90－70.35＝19.65(吨)．【例题3】 正解：因选项A ，B ，D 中的两个变量间都有唯一确定的关系，因而它们都是函数关系；而选项C 中家庭收入会对消费支出产生一定的影响，但高收入未必有高消费，因而选项C 中的关系才是相关关系．故选C ．当堂检测答案：1．B 线性回归方程一定经过样本取值的平均数点(x ，y )，由取值表可计算x ＝01344+++＝2，y ＝2.2 4.3 4.8 6.74+++＝92，知回归方程为y ＝0.95x ＋a ，又经过点(2，92)，代入得a ＝2.6.2．7.502 当x ＝9千元时，y ＝0.66×9＋1.562＝7.502.3．6.5 8 327 396 y ＝1.14x ＋0.59 根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得，x ＝6.5，y ＝8，621ii x=∑＝327，61i ii x y=∑＝396，回归直线方程为y ＝1.14x ＋0.59.。
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甘肃省金昌市第一中学2014高中数学2.3.1 变量间的相互关系（一）、（二）学案新人教A版必修3
1. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量，如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.
2. 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？
3. 这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系，有必要从理论上作些探讨，如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计，将有着非常重要的现实意义.
知识探究（一）：变量之间的相关关系
思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系，想一想这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？
（1）商品销售收入与广告支出经费；
（2）粮食产量与施肥量；
（3）人体内的脂肪含量与年龄.
思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？
你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？
思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系的含义如何？
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
思考4：函数关系与相关关系之间的区别与联系.
1.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系；相关关系是一种非确定性关系.
2.函数关系是一种因果关系而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
3. 函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定条件下可以互相转化.
例1 在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？
①正方形边长与面积之间的关系；
②作文水平与课外阅读量之间的关系；
③人的身高与年龄之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系.
练习1.已知下列变量，它们之间的关系是函数关系的有①，是相关关系的有②③.
①已知二次函数y=ax2+bx+c，其中a、c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式△=b2－4ac;
②光照时间和果树亩产量；
③每亩施用肥料量和粮食产量.
知识探究（二）：散点图
【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量的样本平均数.
思考1：观察上表中的数据，大体上看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？思考2：以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗？
思考3：上图叫做散点图，你能描述一下散点图的含义吗？
在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个变量的一组数据图形，称为散点图.
思考4：观察散点图的大致趋势，人的年龄的与人体脂肪含量具有什么相关关系？思考5：在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相关，那么这两个变量的变化趋势如何？
思考6：如果两个变量成负相关，从整体上看这两个变量的变化趋势如何？其散点图有什么特点？
一个变量随另一个变量的变大而变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域思考7：你能列举一些生活中的变量成正相关或负相关的实例吗?
例2 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房屋的面积的数据：
画出数据对应的散点图，并指出销售价格与房屋面积这两个变量是正相关还是负相关.
练习2. 今有一组试验数据如下表所示：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( C )
A. y=log2x
B. y=2x
C. y=(x2－1)2
D. y=2x－2
问题提出
1. 两个变量之间的相关关系的含义如何？成正相关和负相关的两个相关变量的散点图分别有什么特点？
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系.
正相关的散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，负相关的散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域
2. 观察人体的脂肪含量百分比和年龄的样本数据的散点图，这两个相关变量成正相关.我们需要进一步考虑的问题是，当人的年龄增加时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加呢？对此，我们从理论上作些研究.
知识探究（三）：回归直线
思考1：一组样本数据的平均数是样本数据的中心，那么散点图中样本点的中心如何确定？它一定是散点图中的点吗？
思考2：在各种各样的散点图中，有些散点图中的点是杂乱分布的，有些散点图中的点的分布有一定的规律性，年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中的点的分布有什么特点？
这些点大致分布在一条直线附近.
思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？思考4：在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？借助计算机怎样画出回归直线？
知识探究（四）：回归方程
在直角坐标系中，任何一条直线都有相应的方程，回归直线的方程称为回归方程.对一组具有线性相关关系的样本数据，如果能够求出它的回归方程，那么我们就可以比较具体、清楚地了解两个相关变量的内在联系，并根据回归方程对总体进行估计. 思考1：回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？
整体上最接近
思考2：对于求回归直线方程，你有哪些想法？
思考3：对一组具有线性相关关系的样本数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，设其回归方程为可以用哪些数量关系来刻画各样本点与回归直线的接近程度？
思考4：为了从整体上反映n个样本数据与回归直线的接近程度，你认为选用哪个数量关系来刻画比较合适？
时，总体偏差为最小，这样就得到了回归方程，这种求回归方程的方法叫做最小二乘法.回归方程中，a，b的几何意义分别是什么？
思考6：利用计算器或计算机可求得年龄和人体脂肪含量的样本数据的回归方程为，由此我们可以根据一个人个年龄预测其体内脂肪含量的百分比的回归值.若某人37岁，则其体内脂肪含量的百分比约为多少？
20.9%
练习 3.F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性
同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值：3×2．5+4×3+5×4+6×4．5=66.5)
解：（1）如图
（2）由对照数据，计算得：
;
所求的回归方程为
(3) , 吨,
预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低 (吨)
课堂小结
1.求样本数据的线性回归方程，可按下列步骤进行：
第一步，计算平均数
第二步，求和
第三步，计算
第四步，写出回归方程
2. 回归方程被样本数据惟一确定，各样本点大致分布在回归直线附近.对同一个总体，不同的样本数据对应不同的回归直线，所以回归直线也具有随机性.
3. 对于任意一组样本数据，利用上述公式都可以求得“回归方程”，如果这组数据不具有线性相关关系，即不存在回归直线，那么所得的“回归方程”是没有实际意义的.因此，对一组样本数据，应先作散点图，在具有线性相关关系的前提下再求回归方程. 课后作业
作业：
反思：。