正弦函数、余弦函数的性质(一)

3 y1
2
4
原函数值域[ 3 ，1] . 24
另解：
由已知得，y 2(sin x 3) 7 2 7 ，
sin x 3
sin x 3
1 sin x 1
ymin
2
7 1
3
3 2
，ymax
2 7 1 . 13 4
函数值域 [ 3 ，1] . 24
例5 求下列函数的最大值，并求出最大值时x的集合：
(2) 令 z 2x，x R，则 y sin z，z R
Q sin(z 2 ) sin z sin(2x 2 ) sin 2x 即 sin 2( x ) sin 2x，x R
y sin 2x 的周期是 ；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
26
解：令 z 1 x ，x R，则 y 2sin z，z R
（2）y lgsin x.
解：函数要有意义，x 需满足： sin x 0
即 2k x 2k 1 ，k Z .
又 0 sin x 1 lgsin x 0 .
∴定义域为 2k，2k 1 (k Z )，
值域为 (，0] . 注意：求值域应注意用到 1 sin x 1 或 1 cos x 1
①从几何角度：观察正弦曲线，我们会发现，它在
…… x∈[－2π,0)、 x∈[0,2π)、x∈[2π,4π)、……， x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
②从代数式角度：由诱导公式一知 sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)， cos(2kπ+x)=cosx (k∈Z).
y y sin x，xR
1
θ
4
7 2
3
5 2
2
3 2
2
x0
-
2
3 2
1
2
5
3
2
y yycsionsxx，，xxR R .
1
θ
4
7 2
3
5 2
2
3 2
2
x0
-
2
3 2
2 5 3 2
1
7 4 x
2
7 4 x
2
2. 正弦函数和余弦函数的周期性 ①从几何角度：观察正弦曲线，我们会发现，它在
……[－4π, －2π)、[－2π,0)、[0,2π)、[2π,4π) ……
Acos(x 2 ) Acos(x )
即
Asin[(x
2
)
]
Asin(x
)
及
Acos[(x
2
)
]
Acos(x
)
T 2 .
例1. 求下列函数的周期：
(1) y 3cosx ，x R ；(2) y sin 2x ，x R ；
(3)
y
2
sin(12
x
6
)
，x
R
.
解2： 由周期公式：T 2 ，得
即对于函数 y=sinx， y=cosx，自变量每增加（k>0）
或减少(k<0)一个定值2kπ(k∈Z),函数值就重复出现.
从这两个方面说明正弦函数和余弦函数具有周期性.
周期函数的概念：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
26
Q 2sin(z 2 ) 2sin z
2sin(1 x 2 ) 2sin(1 x )
26
26
即
2sin[1 ( x 4 )
]
2 sin( 1
x
)
2
6
26
y 2sin(1 x ) 的周期是 4 .
26
一般地，函数 y Asin(x )，x R
及函数
y Acos(x )，x R
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y cos x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
观察正弦曲线与余弦曲线，可以得出以下结论： 1. 正弦函数和余弦函数的定义域、值域
y=sinx和y=cosx的定义域都是 ____R______. y=sinx和y=cosx的值域都是 __[－__1_，__1_]__.
？ (其中 A， ， 为常数，且 A 0， 0) 的周期是
解：令 z x ，x R ，
则 y Asin z ，z R ，及 y Acos z ，z R
Asin(z 2 ) Asin z及 Acos(z 2 ) Acos z Asin(x 2 ) Asin(x ) 及
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
(2) y (sin2 x cos2 x)(sin2 x cos2 x)
(cos2 x sin2 x) cos 2x
函数周期为 T 2 ；
2
(3) y | sin x |；
解：Q y sin x 的周期是 2 ，
y | sin x | 的周期是 2 .
2
y
y sin x , x R
[2k
2
3
，2k
2
3
](k
Z)
由图象得
不等式解集为：
x
[2k
2
3
，2k
2
3
]
(k Z)
(2)
sin(x
4
)
1 2
.
解：
5
6
y
由图象得
1 2
6
2k
6
x
4
5
6
2k
(k Z)
o
x
即
5
12
2k
x
13
12
2k
(k Z)
不等式解集为：
即
[512
2k
，13
12
2k ]
(k Z)
例3. 求下列函数的定义域、值域：
由定义有：正弦函数、余弦函数都是周期函数， 2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期.
对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存 在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最 小正周期. 正弦函数、余弦函数最小正周期是 2π.
注意: 1. T 必须是非零常数 ；
2. f(x+T)=f(x) 必须对定义域内的每一个x值都成立.
即x∈[2kπ,2(k+1)π)(k∈Z)上的图象是完全相同的. 即自变量每相差2π，图象就“周而复始”重复出现. （这一特性从正弦线、余弦线的变化规律中也可以看出）
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
3
2
2
-1 y cos x , x R
2 5 3 x
2
2. 正弦函数和余弦函数的周期性
2k
2
x
k
4
(k Z )时，
y 取得最大值 ymax 1 .
∴函数的最大值为1，取最大值时的x集合为
x
x
k
4
，k
Z
（3）y a sin x b .
解：① 若 a 0，则当sin x 1时，
函数取得最大值 ymax a b .
此时
x x 2k
2
，k
Z
.
② 若 a 0，则 y b，此时函数为常数函数，函数无最大值．
1.4.2 正弦函数、余弦函数 的性质（一）
“周而复始”的变化规律：
一、复习： y=sinx、y=cosx的图象
3
5 2
2
3 2
y
1
2
0
-1
y csions x , x R
2
3 2
2 5 3 x
2
y
y sin x , x R
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
（1）y 3sin x ； （2）y lgsin x.
解：（1）函数要有意义，x 需满足：
3sin x 0 sin x 0
2k 1 x 2k ，k Z .
又 1 sin x 0， 0 3sin x 3 即 0 y 3 .
∴定义域为 2k 1，2k (k Z )，
值域为 [0， 3] .
2
3
)
sin
x
成立
2
3
不是
y
sin x 的周期 .
例1. 求下列函数的周期：
(1) y 3cos x，x R；(2) y sin 2x，x R；
(3) y 2sin( 1 x )，x R .
解：
(1)Q
26
3cos( x 2 ) 3cos x , ( x R)
y 3cos x 的周期是 2 ；
问：等式 sin( 2 ) sin 是否成立？
63
6
如果这个等式成立，能 否说 2 是正弦函数
3
y sin x ，x R 的一个周期？为什么？
答：
sin(6
2
3
)
sin
5
6
sin(
6
)
sin
6
等式
sin(6
2
3
)
sin
6
成立
这个等式虽然成立，但不是对定义域 R内的每
一个值都使等式
sin(x
1
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
例2. 解不等式：(1) 1 2cos x 0 ； 解： (1) 1 2cos x 0 cos x 1
2
(2) sin(x ) 1 .
42
由图象得
2
3
另解： 2 3
1 2
y
M
1 2
o
2 3
2
2k
2
3
x
2
3
2k
3
(k Z) 不等式解集是
（1）y cos x 1，xR . （2）y sin 2x，xR .
（3）y a sin x b .
解：（1）当cos x 1，即 x 2k (k Z ) 时，
y 取得最大值 ymax 2 .
∴函数的最大值为2，取最大值时的x集合为 x x 2k，k Z
(2)
当sin 2x
1，即 2x
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲线
y cos x , x R
3
5 2
2
3 2
2
0
-1
2
3 2
2 5 3 x
2
下面我们研究正弦函数、余弦函数的主要性质．
阅读教材第34页~37页（奇偶性之前）
回答问题：
1. 何为周期函数？ 2.如何求y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的周期？
有界性的条件．
例4 求函数 y 2sin x 1 的值域.
sin x 3
解：由已知得 (2 y)sin x 3 y 1
y 2， sin x 3 y 1
2 y 1 sin x 1 | 3 y 1 | 1 | 3 y 1 | | 2 y |
2 y
即 (3 y 1)2 (2 y)2 (4 y 1)(2 y 3) 0
(1) 函数周期为 T 2 2 ；
1
(2) 函数周期为 T 2 ；
2
(3)
函数周期为
T
2
1
4
.
2
变式: 求下列函数的周期： (1) y 1 2sin( 3x)；
6
(2) y sin4 x cos4 x ；(3) y | sin x | .
解：(1) y 1 2sin(3x ) 函数周期为 T 2 .
③
若
a
0， 则当sin
x
．
1
时，
函数取得最大值 ymax a b .
此时 x x 2k ，k Z . 2
注意：对于含参数的最大值或最小值问题，要对sinx或cosx的系数 进行讨论．
思考：此例若改为求最小值，结果如何？
课后作业
1.教材第46页 习题1.4 1~5 2.完成教辅练习册第9页1.4.2 3.预习教材第42页~45页