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笛卡尔爱心函数的故事
笛卡尔爱心函数的故事在数学史上，笛卡尔爱心函数是一种独特且美丽的数学函数，它以其特殊的形状和心灵之美而闻名。
这个函数的名字源自法国数学家笛卡尔，他在17世纪提出了这个函数，为我们展示了数学领域的无限魅力。
笛卡尔爱心函数的数学表达式为：(x^2 + y^2 - 1)^3 - x^2 *y^3 = 0。
当我们将这个函数的图形绘制在坐标系中时，它呈现出一个迷人的心形图案。
这个函数之所以被称为"爱心函数"，是因为它的图形形状与人们普遍认可的爱心符号非常相似。
这个函数的图案由两个对称的圆锥曲线组成，它们在一点处相交，并展现出一种优雅而连续的曲线。
这个曲线不仅美丽，而且具有一定的数学特征，因此吸引了无数数学爱好者的研究。
除了其美丽的形状，笛卡尔爱心函数还具有一些有趣的性质。
例如，它是一个奇函数，即满足f(-x) = -f(x)。
这意味着对于任意给定的点(x, y)在曲线上，点(-x, -y)也将在曲线上。
这种对称性使得爱心函数在数学探索和表达爱的主题时具有重要意义。
数学家们对笛卡尔爱心函数进行了广泛的研究，探索了它在数学和几何领域中的应用。
这个函数不仅是理论研究的对象，还被应用到生物学、物理学和工程学等领域中。
例如，在图像处理中，可以利用爱心函数生成漂亮而富有艺术感的图案。
在心理学中，爱心形状也被用作表达爱和情感的符号。
总之，笛卡尔爱心函数是数学界的一颗璀璨明珠，以其独特的形状和数学特性吸引了许多人的研究和探索。
它不仅展示了数学的美丽，还启发人们去发现并表达爱的本质。
无论是数学爱好者还是普通人，都可以通过欣赏和理解这个函数来领略数学的魅力和情感的力量。
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设图上一点(x,y)，由几何意义可以得到x²+y²=arc tan²(y/x)考虑到tan x与x³的相似性，可以有(x²+y²)³=(y/x)²考虑到图象的不对称性，我们将y²换成y³；考虑到tan x与x³的偏差随x 增大而增大，在角端乘以x⁴；然后画图发现有点太过饱满，于是在半径端减1……然后我很没脸地告诉大家，我知道人家大神是怎么弄出这么漂亮的一方程来的啦……也许下面这个才是真相：原作先选取了一个简洁的斜椭圆：x²+y²-xy=1接下来的一步我不说你们也能猜到……转化为x²+y²-1=|x|y消去绝对值符：x²+y²-1=x²y²此时我们损失了“x²+y²-1与y的符号相同”这一约束，考虑是否可以同乘该因子。
由于要消去“|x|”，我们考查这一转化对图形的影响：设前后图形某点服从{x'=ax,y'=by}的变化，那么(a²x²+b²y²-1)^(2k+m)=(by)^m*(abxy)^2k令a、b→1，有(x²+y²-1)^m=y^m故有|x|^m=((x²+y²-1)/y)^m=1观察x²+y²-xy=1的图形与x²+y²-y=1的图形，注意到两者仅在x∈[-1/2,1/2]有显著差异故m→0于是我们将m 确定为1，令k→+∞通过尝试，我们发现仅需取k=1 即可获得很好的效果和优美的方程。
至此，我们确定一个心形曲线的方程为(x²+y²-1)³=x²y³再次膜拜一下第一个做出这个无敌结果的大神：Siehe Beutel仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
心形函数由来
心形函数由来
心形函数，又称为Cardioid(心脏形)函数，它是平面上的一种极坐标
方程，定义为r=2a(1-cosθ)，其中a是常数，r和θ分别代表极坐标
系中点P到极点O的距离和OP与某条直线(通常为x轴)所成的角度。
当a=1时，心形函数呈现出经典的心形图案，这也是它得名的原因。
心形函数最早出现的历史可追溯到17世纪的法国数学家Pierre de Fermat。
他在1658年曾经写过一封信给另一位数学家Blaise Pascal，其中提到了心形线的公式。
不过，这种曲线直到十年后才被英国的数
学家John Wallis正式命名，并开始在数学领域中得到广泛的研究。
心形函数在几何学和数学中拥有广泛的应用，特别是在多项式的生成、曲线绘制和噪声函数等方面。
在数学教育中，心形函数也常常被用作
教学素材，帮助学生更直观地理解极坐标系和函数方程之间的联系。
除此之外，心形函数还在艺术和文化领域中受到了许多关注。
在情人
节或其他浪漫场合，心形图案通常被用作设计元素，代表爱的象征。
心形函数还被某些音乐家用于创作音符和旋律，使得音乐表现出一种
更浪漫的情感。
总的来说，心形函数已经成为了人们日常生活和文化艺术中不可或缺
的部分。
它的经典图案和多方面的应用使得它成为了数学和几何领域中的重要成果，同时也为人们带来了更多的欢乐与浪漫。
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微博上最近流传这这样一个段子：2 23 2 3老师说，把这个函数（x + y xy =0图像画给喜欢的人看。
（附图）作为一个专业人士我不得不说“这不是一个函数，好不好；这是一个方程，好不好”。
当然方程也有图像，但是这个方程图像是不是如上图就不得而知了。
作为一个专业人士（嘿嘿，见笑见笑！），我还是有必要对其验证一下的准备工作：1.笔，纸，几何画板，QQ截图2•整理方程（因为几何画板只能画函数图像，所以先得把方程整理成函数形式）4整理得y3.几何画板输入函数得到4.显然通过原方程得到的图像是一个“LOVE ”形状，但是一向追求完美的我们怎么能 容忍一个这么小，而且还是蓝色的心形呢。
绝对不能，我们得改造，改造，改造。
从而得到两个新的函数y 另附网络大神猜想这个方程大家很熟悉吧： (x2+y2-1)3=x2y3 (Siehe Beutel)Beutel 到底是谁我不知道，不过根据他的方程，我来瞎猜一下大神的设计路线首先屁股线、椭圆对称什么的弱爆了，一个难看，另一个绝对值符号又不好消，于是乎我们瞄准了等速螺线。
设图上一点(x,y)，由几何意义可以得到 x2+y2=arc tan 2(y/X)考虑到tan x 与x3的相似性，可以有(x■ r x 、 3 -4 r x \ 1 3V i 3丿 < 324 第一：要变红色，这个还是好办滴，换颜色第二：要变大(说把坐标轴放大的请出去) 观的前提下对原方程做了一点修改，以使图像更大。
2 \3-1，我们在不考虑函数复杂性，只考虑图像美 大叫三声：“方程变，变，变！ ” 小朋友们，快进来膜拜吧！ !!(x2+y2)3=(y/x)2考虑到图象的不对称性，我们将y2换成y3；考虑到tan x与x3的偏差随x增大而增大，在角端乘以x?;然后画图发现有点太过饱满，于是在半径端减1……然后我很没脸地告诉大家，我知道人家大神是怎么弄出这么漂亮的一方程来的啦……也许下面这个才是真相：原作先选取了一个简洁的斜椭圆：x2+y2-xy=1接下来的一步我不说你们也能猜到……转化为x2+y2-1=|x|y消去绝对值符：x2+y2-仁x2y2此时我们损失了“x+y2-1与y的符号相同”这一约束，考虑是否可以同乘该因子。
爱心公式曲线
爱心公式曲线爱心公式是一种数学函数图形，它的形状类似于爱心，因此得名。
它是由两条相交的弧线组成，一般情况下，我们可以通过数学方法来描述它的图形。
爱心公式是一种二次方程式，它描述了具有两个对称峰值的函数。
它的公式可以表达为：x^2+[(y-ax^2-b)^(1/2)]^2 = m * [(y-ax^2-b)^(1/2)]其中，a、b、m是常数，决定了爱心的形状和大小。
在这个公式中， x 和 y 分别代表所需绘制的 x 和 y 坐标位置。
爱心公式的图像可以用不同的方式来表示。
其中，最常用的方法是将图形表示为二维平面直角坐标系上的点集。
因此，如果我们要绘制一个爱心图案，我们必须确定一组（x，y）坐标点，并将它们连接成一个整体。
这个过程可以通过计算机程序来完成，例如通过使用turtle图形库和Python语言。
我们可以定义一个函数来按照爱心公式生成一系列点，并使用turtle库绘制它们。
以下是一些相应的参考内容：1. Python turtle库中的案例：此博客包含一个使用turtle库和Python语言绘制爱心图案的示例代码和解释。
您可以通过这个示例来理解如何用turtle库在Python中生成爱心图案。
2. 爱心公式的绘制方法：此博客介绍了用线性代数技术绘制爱心公式的方法。
作者利用矩阵变换来实现了爱心公式的绘制，同时讲解了矩阵变换的一些基本概念。
3. 爱心公式的生动讲解：这篇博客以生动的方式解释了爱心公式的概念和图像。
文章用具体的例子、图表和文字描述，将数学术语简单易懂地展示了出来。
4. 处理爱心公式中的方程式：这篇文章讨论了如何用常规方程式来编写爱心公式。
作者介绍了如何将爱心公式压缩成单一的方程式，从而更好地理解和分析爱心公式的数学性质和图像。
5. 快乐的爱心：这是一个有关爱心图案的网站，其中包含了许多可爱的爱心图案和相关的信息。
此网站介绍了构建爱心图案的方法和技巧，为生成自己的爱心图案提供了丰富的灵感和参考。
个心形函数范文
个心形函数范文心形函数是指在坐标平面上绘制出心形形状的函数。
下面列举了11个常见的心形函数，并对每个函数进行简要的说明。
1.单周期心形函数：y = sin(x)这是最简单的心形函数，由正弦函数生成。
根据正弦函数的性质，该函数在周期[0,2π]内绘制出一个完整的心形。
2.双周期心形函数：y = sin(x) + sin(2x)在这个函数中，我们将两个不同频率的正弦函数相加。
结果是一个具有更多曲线变化的心形，看起来更加丰满。
3.滑动心形函数：y = sin(x - π/2)这个函数中，我们通过对心形函数的相位进行平移，将其向后滑动π/2个单位。
结果是一个向下倾斜的心形。
4.缩放心形函数：y = sin(2x) / 2通过对单周期心形函数进行缩放，将x的值乘以2并将整个函数除以2，我们得到了一个更小的心形。
5.平方心形函数：y = (cos(x))^2这个函数将心形函数中的y值平方，消除了上升和下降的变化。
结果是一个具有更强烈的下降趋势的心形。
6.椭圆心形函数：(x^2+y^2-1)^3-x^2y^3=0这是一个参数方程表示的心形函数。
它结合了x和y的平方，得到一个椭圆般的心形形状。
7.布朗心形函数：(x^2+y^2-1)^3-x^2y^3-0.025*x-0.025*y=0这个函数是在椭圆心形函数的基础上增加了一些线性项。
结果是一个更为复杂的心形形状，类似于布朗运动的路径。
8.二叶玫瑰心形函数：x^2 + (y - 0.25 * sin(2πx))^2 - 0.5^2 = 0这个函数由x和y的平方项以及一项含有一个正弦函数的线性项组成。
结果是一个类似于玫瑰花的心形形状。
9.四叶玫瑰心形函数：x^2 + (y - 0.25 * sin(4πx))^2 - 0.5^2 = 0在这个函数中，正弦函数的频率是上一个函数的两倍。
结果是一个具有更多曲线变化的四叶玫瑰形状。
10.五叶螺旋心形函数：(x^2+y^2-a^2)^3-b^2*x^2*y^3=0这个函数是一个参数方程表示的心形函数。
简单的心形函数表达式
简单的心形函数表达式心形函数表达式是数学家们在研究心形曲线的过程中所发现的一种有趣的函数。
在数学中，心形曲线指的是一种闭合曲线，它是一种具有对称性和美感的形状，与心脏非常相似，因此被称为“心形曲线”。
在研究心形曲线时，数学家们发现了一些简单而优美的心形函数表达式，这些表达式不仅能够准确地描述心形曲线，而且还具有一些有趣的性质和应用。
本文将简要介绍三种常见的心形函数表达式，并介绍它们的特点和应用。
一、基本心形函数表达式最简单的心形函数表达式是：x = 16 sin^3 t y = 13 cos t - 5 cos 2t - 2 cos 3t - cos 4t其中，t 是一个参数， x 和 y 分别表示曲线上的点的横坐标和纵坐标。
这个函数表达式所描述的曲线非常漂亮且具有对称性。
我们可以通过在不同的参数值下绘制出这个曲线的图像，如下图所示：图1 基本心形函数表达式所表示的心形曲线这个心形曲线有许多有趣的性质。
例如，它是一个对称曲线，如果我们将它绕 x 轴旋转 180 度，那么它的形状不变。
同时，这个曲线也是一个封闭曲线，也就是说，它从一个点出发，绘制一圈后又回到起点。
另外，这个曲线还有一些有趣的应用。
例如，它被用作编码和解码数字的方法，因为它的形状可以用一个 14 位的二进制数来表达。
二、极坐标下的心形函数表达式除了直角坐标系下的心形函数表达式之外，我们还可以通过极坐标下的函数表达式来描述心形曲线。
一个常见的极坐标心形函数表达式是：r = a(1 - cos θ)其中，a 是一个常数，θ 是极角， r 是半径。
这个函数表达式所描述的曲线也是一个美丽的心形曲线，它具有对称性，在不同的极角下呈现出不同的形状，如下图所示：图2 极坐标下的心形函数表达式所表示的心形曲线这个心形曲线也有一些有趣的性质和应用。
例如，它是一种常见的绘画和装饰元素，可以用来设计海报、卡片和礼品包装等。
另外，它还可以被用来解题和研究物理定律，例如计算密度分布、动量和能量等。
心型函数的表达式
心型函数的表达式
心型函数是一种数学函数，也被称为“Valentine函数”，因为它的图像类似于一个心形。
其表达式为：
x+(y-|x|^(1/2))=1
其中，x和y分别代表平面直角坐标系中的横坐标和纵坐标，|x|表示x的绝对值。
通过变形和简化，我们可以将心型函数的表达式转化为其他形式，如极坐标形式：
r=1-sinθ
其中，r和θ分别代表极坐标系中的极径和极角。
这个公式显示了心型曲线的对称性和周期性。
此外，心型函数还可以用参数形式表示：
x=16sint
y=13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t)-cos(4t)
其中，参数t的范围为0到2π。
这种表示方法可以用来画心形曲线的图像，也可以用于描述心形运动的轨迹。
总之，心型函数的表达式有许多形式，它们让我们对这个有趣的数学对象有了更深入的理解。
- 1 -。
爱心公式曲线
爱心公式曲线爱心公式曲线是一种常见的数学曲线，具有浪漫和具象的特点。
它的形状像一个精致的爱心，通常被用来表示爱和友情。
这条曲线的方程式是一个参数方程，由两个函数x和y构成，其中x和y的值是由一个参数t决定的。
具体来说，这个曲线的方程式如下：x = 16 sin(t)^3y = 13 cos(t) - 5 cos(2t) - 2 cos(3t) - cos(4t)在上面的方程式中，sin和cos是正弦和余弦函数，t是一个实数。
这个方程式可以用来生成一个爱心的图形，具体来说，这个图形可以通过在一个平面坐标系中画出一系列的点来实现。
当我们改变参数t的值时，这些点就会被连接成一条完整的爱心曲线。
尽管爱心公式曲线看起来很简单，事实上它也具有很多有趣的特性。
首先，它是一个对称图形，它关于y轴和x轴都有对称性。
其次，它的形状可以由一个圆形削去两个相互重合的波浪形来实现。
这个图形的缺口处的两个端点处是一个钝角，这是因为在这里的曲率变化很大。
爱心公式曲线也是一条典型的极坐标曲线。
它用极角和极径来描述一个曲线上的点，极角表示该点与极轴的夹角，极径表示该点到极点的距离。
爱心公式曲线的参数方程可以通过对极坐标方程进行简单的转化得到，即：r = 16 sin^2(theta) cos(theta)在极坐标系中，这个公式描述的是一个将一个圆形部分削去的类似爱心的形状。
除了它的数学性质，爱心公式曲线也具有深层的情感含义。
它代表了爱和友情的力量，是人们经常用来表达温馨感情的图形之一。
因此，在生活中，有许多人使用这个曲线，将它作为图案绘制在生日卡片、情人节礼物上，以表达对亲友的祝福和爱意。
总之，爱心公式曲线是一个简单而又有趣的数学形式，它不仅是一条美丽的曲线，更是人们表达爱情和友情的重要形式之一。
对这条曲线的研究和探讨，不仅可以让人们更加了解数学的美妙之处，还可以增加人们对爱和情感的深刻认识。
爱心函数求导过程
爱心函数求导过程今天的文章是我去年11月份写的，当时没有更新。
今天我们再来回顾一下，爱心函数求导的过程。
我们先来看爱心函数的定义：爱心函数（又名心灵方程）是指有一个已知点的函数（这里不考虑零点）。
我们可以把这个定义理解为一个求导过程就行了，即：这个过程中会出现两个已知点 A和 B，在爱心函数中求导时一般先把这两点都计算出来然后再计算出爱心函数的结果。
因为有两个已知点 A和 B，所以我们就能求出两个已知点之间的关系了（也就是所谓的求导问题）。
然后我们可以在爱心函数中找一个已知点 A （一般选在[0,1]）与[1,1]之间，求出它的导数。
然后再计算出该导数所对应的函数值就可以了。
1.已知点 A与 B的函数关系（1）首先我们要证明的是，[0,1]和[1,1]之间有一个函数 f （x），我们知道在任意时刻0都有一个不为零的常数 c。
（2）我们现在知道 a和 b分别是函数 f （x）和 f （x+ h）的实部和虚部。
其中 c是实部的取值范围。
（3）我们还知道x0在[0,1]与[1,2]之间有一个常数 f （x），并且x0在[0,1]之间存在一个常数 c。
（4）因此当 d=1时它也是一个函数 f （x+ h）。
当然也可以证明当 d=1时 b、 c、 a和 b都不为零。
在上述过程中我们假设 a和 b同时也是实部x的实部和虚部。
在这样的情况下就可以得到已知点 a与 b之间的函数关系，即 b= a, a∈ X′，此时如果我们把[0]换成[1]或者[2]就可以得到已知点 A与 B之间的函数关系。
需要注意的是这时我们并不能把这个已知点换成其他的一个点来表示它，而是换成别的一个已知点来表示它！例如 a、 c、 d就换成 b、 e、 f这四个点来代指 A与 B！；再例如 d=0。
我们就可以得到： a∈ X′， b∈ X′和 c∈ X′这三个点代指 AB与 BC！由于现在只有一个已知点 A，所以我们假设在任意时刻 B也是同样的情况下它就是在 AB与 BC 之间存在一个常数 c了。
函数图像变换(平移、对称)PPT课件
函数图象的变换
例3. 设f(x)= x2 2x 求函数y=|f(x)|、y=f(|x|)
的解 析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
提示语
·为方便使用本课件，可在课后 下载使用PowerPoint软件进行修 改调整
For the convenience of using this courseware, you can download it after class and use PowerPoint software to modify and adjust it
函 数 图 象 de 变 换
函数图象的变换
复习：函数 y (x 1)2 1和 y (x 1)2 2 的图象分别是由 y x 2的图
象经过如何变化得到的？
y y=(x-1)2+1
y=x2
平
y=(x+1)2-2
移
变
o1
x
换
解：（1）将y=x2的图象沿x轴向右平移一个单位，再沿y轴方向向上平 移一个单位得y=(x-1)2+1的图象。
x
的解析式及其定义域，并分别作出它们的图象。
y
y
y
y=f(x)
y=f(-x) y=f(x)
y=f(x)
对称变换
o1 x
y=-f(x)
o1 x
o1 x
y=-f(-x)
横坐标不变 纵坐标取相反数
横坐标取相反数 纵坐标不变
横坐标、纵坐标 同时取相反数
平面直角坐标系中爱心的解析式
平面直角坐标系中爱心的解析式
在平面直角坐标系中，爱心的形状可以通过以下解析式来表示: x = 4 - 2(y - 1)2
其中，x 表示爱心的横坐标，y 表示爱心的纵坐标，1 和 4 是爱心的顶点坐标，这个解析式可以表示出爱心的形状，它的特点是爱心的横坐标和纵坐标都是关于顶点坐标对称的。
爱心的形状可以看作是由许多小的矩形拼接而成的，而这些小矩形的横坐标和纵坐标都是通过解析式 x = 4 - 2(y - 1)2 计算得到的。
这样，我们就可以通过绘制这些小矩形来得到一个爱心的形状。
拓展:
爱心是一个具有深刻含义的图案，它在艺术、文化、宗教等领域都有广泛的应用。
在数学中，爱心也是一个经典的问题，它涉及到几何学、微积分学等多个学科。
在几何学中，爱心可以被看作是一个二次曲线，它的参数方程为:x = 4 - 2(y - 1)2。
这条参数方程可以表示出爱心的形状，它的特点是爱心的横坐标和纵坐标都是关于顶点坐标对称的。
在微积分学中，爱心也可以被看作是一个函数的图像，它的函数方程为:f(x) = 4 - 2(y - 1)2。
这个函数方程可以表示出爱心的形状，它的特点是爱心的横坐标和纵坐标都是关于顶点坐标对称的。
广东省惠州市2024-2025学年高三上学期第二次调研考试 数学 含解析
惠州市2025届高三第二次调研考试试题数学全卷满分150分，时间120分钟．2024.10注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上．2．作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效．3非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分l已知集合A={�2�x<5}，集合B={xl x2-4x<O}，则A^B=( ）A.(o,s)B.[2,4) c.(4,5) o.(-00,O)u[2,+oo)2已知复数z满足z2+l = 0,则lz+ll=( )A.3B.2C.l D．五3已知等差数列{a,,}前9项的和为27，如＝8，则a.oo= ()A.100B.99C.98 0.974在正方体ABCD-'4iB1Cp1中，棱BC,A戊的中点分别为E,F，则直线E F与平面ABBA所成角的正弦值为（）石 B. 森2石 D. 痀5已知向凳a,b满足：a=(✓3,1)，叫＝石，（兹－b ）·6=3，则向豐6在向榄五上的投影向榄为（）A胃气）B[竿i)C［告）叶亨订6已知函数f(x)=log2厅－2ax),aeR,则“a:s;O"是“函数f(x)在(1，七吩上单调递增＂的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知“水滴＂的表面是一个由圆锥的侧面和部分球面（常称为“球冠”)所围成的几何体如图所示，将“水滴＂的轴截面看成由线段AB,AC 和优弧BC所围成的平面图形，其中点B,C 所在直线与水平面平行，AB和AC与圆弧相切已知“水滴＂的“竖直高度”与“水平宽度”(“水平宽度”指的是平行千水4平面的直线截轴截面所得线段的长度的最大值）的比值为－，则sin乙BAC=<A3416 24A.-B .- C.—D .—55252538在统计某学校所有选择理科和文科的学生数据中，发现理科生多千文科生，女生多千男生，则关千本次学生样本的数据中，结论一定成立的是（）A理科男生多千文科女生B文科女生多千文科男生C理科女生多干文科男生D理科女生多于理科男生二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关千每天出现的次品的件数的一组样本数据：3,4, 3, 1,5, 3, 2,5, 1, 3则关千这组数据的结论正确的是（）A极经是4B众数小千平均数c ．方差是2D数据的第80百分位数为4.510函数f (x) =A sin (cvx+ <p)(A> O,a> > 0树<§）的部分图象如图所示，现将f(x )的图象向左平移巴6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(2亡7兀X12兀A.<p =－一6B.(i)=2c ．函数）1= xf (x ＋王）是奇函数12 D.g (x )=2c os （2x -¾)II 如图，心形曲线L:x 2+(y -|入扩＝1与Y 轴交于A ,B 两点，点P 是L 上的一个动点，则（）ypXBA点［孚叩11(-1,1.）均在L 上B.IO月的最大值和最小值之和为3C 点P 的纵坐标的最大值为J5D.I PAl+IPB 怍2石三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在（x+1)5的二项展开式中，各项的系数和为13椭圆于fi =l (a >b>O )的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是R 、F2，若I A F.I ,I F.Fzl,IF.纠成等比数列，则此椭圆的离心率e=.14若关千X的方程ln(ax4)＝[二了有实根，则a江护的最小值为四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本题满分13分）已知函数f(x)=�X 2一x-2ln x(l)求曲线y=f(x)在点(l,f(1)）处的切线方程：(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的晟小值16（木题满分15分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA J_底面ABCD,AB II CD,AD=CD=l.乙BAD=120'，乙ACB=90°.D C(l)求证：BC上平面PAC:(2)若PA＝石，求平面PCD与平面PCA夹角的余弦值l7 （本题满分15分）已知双曲线C:x2-y2=l及直线l:y＝虹－1(])若l与C有两个不同的交点，求实数K的取值范围：(2)若l与C交千A,B两点，O是坐标原点，且t:.OAB的面积为J5，求实数K的值18（本题满分17分）记t:,.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a<b<c且tanA,tanB, t anC均为整数(I)求tanA,tanB, t anC的值，(2)设AC的中点为D,求乙CDB的余弦值19（本题满分17分）若数列{a,,}(1 s n s k, n E N*, k EN*）满足a,，叶0,1}，则称数列{a,,｝为K项0-1数列，由所有k项0-1数列组成集合M ks4)时，a,,=0,求数列{(-l)飞，｝的所有(])若伈｝是12项0-1数列，当且仅当n=3p(p E N*,p项的和；(2)从梊合M人．中仔意取出两个数列｛动，｛丸｝，记X=区|a,－b/|i=I＠求随机变量X的分布列，并证明：E(X)＞一：k2＠若用某软件产生k(k2'.:2)项0-1数列，记事件A =“第一次产生数字1"'B=“第二次产生数字l"'且0<P(A ) <1,0<P (B) <l若P(BIA)<P(B区），比较P(Al B)与P(AI B )的大小惠州市2025届高三第二次调研考试试题高三数学参考答案与评分细则一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号2345 678答案BDc BAADcl 【解析】因为B ={xl O < x <4}，所以A nB={xl 2�x<4}故选：B 2【解析】因为z 2+l=O,即z 2= -1,所以z ＝土，所以卜＋11=11士11=f言75了＝J5故选：D.的公妇为d，由已知得：｛9a, +36d =273【解析】设等劳数列{a ,,}，解得a,= -1, cl = 1,a, +9d =8所以a 100=a , + 99d = -1 + 99 = 98故选：C.4【解析】连接FB ，在正方体ABCD -f\B ,C 1D 1中，BC..l 平面A BB A ，棱BC 的中点为E,则BE..l 平面A BB I A ，而BFc 平面A BB A ，故BE..l BF,则乙EFB 即为迎线EF 与平面A BB I A 所成角，设正方体棱长为2,则BE=l,BF=.JB I F 2+B阻＝j了I ＝心，BE1✓6则EF =✓BF 2+BE 2＝拆，故sin乙E FB =－－＝－－＝一－故选：BEF拆6A lni ,DI L ,“K ,＇,'…,'} ，夕,j A5【解析】由例＝石，（2ii-b)·b =3,得2li·b -lbi 2=2li·b -2=3,即a 6=－525由已知得la:1=2,所以向摄6在向量a上的投影向量为彗向＝＼卢＝｀石，l)＝厂产，i)故选：A .as l6【解析】若函数f(x)在（l，切）上单调递增，则｛，解得a5-，Il-2a之02所以“a�O"是＂函数f(x)在(1.冲~)上单调递增”的充分不必要条件．故选：A7【解析】设优弧BC 所在圆的圆心为O,半径为R,连接OA ,OB ,OC 易知“水滴＂的＂竖直商度”为OA +R, OA +R 45 “水平宽度”为2R,由题意知＝一，解得OA=－R 因为AB 与圆弧相切千点B ,2R 3 3OB R 3 所以B 在Rt 心ABO 中，sin乙BAO =—=—=－冗OA 5 :::...R5，又乙BAO e l 0，一，（』4所以COS乙BAO=.Jl-sm 汔BAO ＝一，由对称性知，5乙BAO ＝乙CA O,则乙BAC=2乙BAO,3 4 24所以sin 乙BAC=2sin 乙BAOcos 乙BA0=2x-=-x-=—故选：D.5 5 258【解析】根据已知条件设理科女生有x 1人，理科男生有X 2人：文科女生有）'1人，文科男生有）5人；根据题意可知：X 1 + X 2 > Y i + Y 2'X i +Y i > X 2 + Y 2'根据同向不等式可加的性质有：X 1 + X 2 + X 1 + Y 1 > Y 1 + Y 2 + X 2 + Y 2'即X 1> Y 2，所以理科女生多千文科男生，C正确其他选项没有足够证据论证故选：C .二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．题号I 9 I 10 I 11全部正确选项I A D I ABO I ACD9【解析】数据从小到大排列为：1,1, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 5对千A,该组数据的极差为5-1=4,故A正确：对于B,众数为3,平均数为lx2+2+3x4+4+5x210=3,两者相等，故B错误；对干C,方差为而伈－3)2x2+(2-3)2xl+(3-3)2x4+(4-3)2xl+(S-3)2x2] = 1.8,故C错误，对千D,10x80%=8,这组数据的第80百分位数为第8个数和第9个数的平均数4.5,故D正确故选：AD.10【解析】由图像可知：f(x)ma x = 2, A= 2:又f(0)=2s叩＝－l,故sinrp＝一L，又lrp|＜巴，所以rp＝－巴，所以A项正确，2 2 6已知f（气＝2sin（五0－勹＝0,由五点作图法可知：卫坛－巴＝亢，解得：OJ=2'所以B项正l2 12 6 l2 6确；故f(x) =2sin（三）则xj.（咕）＝2xsin2x设h(x)=xf.（咕）＝2xsin2x则h(-x)= 2(-x)sin(-2x) =2.xsin2x= h(x)，所以函数y=.-1;小号）是偶函数，故C项错误g(x)=f(x十艺）＝2s i n[2(x+：)－去］＝2s i n(2x＋艺）＝2c o s[�-(2x＋艺）］=2cos甘－2x)=2cos（三），所以D项正确故选：ABD.五II【解析】A选项，经验算，点(—,0和(-1,1)的坐标满足曲线L的方程x2 +(y-lxl)2 =L所以` o)和(-l,l）均在L上故2A项：确B 选项，I OP l ＝心三了，因为曲线L:x江(y-I 入扩＝l 关千Y 轴对称，当x 以0时，x 2 +(y-x)2 =l,设x=cos0, y-x= s in0,0e[－豆］，2 2.l+co s20 所以IOPl 2=.,\,:2+y 2=cos 20+(cos0+sin0)2 =l+�+sin20 23 1 3森l =-＋sin20+－cos20=－＋—sin (20 + rp ),其中tanrp ＝一，2 22 22 所以OP l min =[工石－�,10P 1m ax =[工石＋12 2 2 2 2 2，所以10月的最大值和最小值之和为石，故B项错误；C 选项，因为曲线L:x 2+(y -l x 忙＝1关千Y 轴对称，当x习0时，x 2+(y-x)2 =I ,则(y-x)2 =1-.,\,，2，所以y =x 土』7了因求，占P 的纵坐标的最大值，故取y =x+.[i':了，2又y 2=(x ＋石二了）＝1+2x../I 二了＝1+2[x.了7平1+.,\,;2+(l －入＂2)=2（当且仅当x 2＝上时等号2成立），所以y�.,fi ，故C项正确；x -D 选项，IPA I +I P B� 2✓3等价千点P 在椭圆上－＋—＝1内（包含椭圆），由B 项可知，即满足：322(cos0+sin0)2 +3cos 20 � 6,即2(l+sin20)+3(1+cos20)�6，整理得：23 4sin20 + 3cos20 � 5,即5sin(20+/3）�5'其中其中tan/3＝－，即sin(20+/3）�l 恒成立，则故D4项正确故选：A BD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.32五5314.e i12.【解析】当x =l 时，二项式展升式各项的系数和为25=32故答案为：3213【解析】由题意知I Mi l =a-c,I F;Fz l =2c,IF;科＝c+a,且三者成等比数列，则IFiFi l 2= IAF;I .I F;BIl石石即4c 2= (c-a )(c +a )= c 2 -a 2,所以e 2=－，所以e =—故答案为：—－55514【解析】设方程ln （釭＋勹＝k的实根为X。
爱心函数图像的解析式
爱心函数图像的解析式爱心函数是一种特殊的函数图像，它以两个相同大小的圆组成，形状像一个爱心。
在这个函数图像中，可以描述两个圆的半径、圆心以及它们之间的距离。
下面是关于爱心函数的详细解析式。
首先，我们可以将一个圆的圆心设置在原点(0,0)，半径设为r，并且可以将另一个圆的圆心设置在(x,y)，半径设为R。
这里的x和y可以是任意实数。
接下来，我们需要描述圆之间的距离。
通常，将两个圆心的距离设置为d，d必须大于两个半径的和r+R。
这使得两个圆不会相交。
现在，我们可以利用三角函数来描述爱心函数的图像。
可以使用正弦函数和平方根函数来将两个圆的方程结合在一起。
左半部分的爱心可以由以下方程描述：x = r * [sqrt(cos^2(t)) * cos(t) + sin^2(t)^(3/2) /(sqrt(cos^2(t)) * cos(t)^2 + sin^2(t)^(3/2)] - ay = R * [sqrt(cos^2(t)) * cos(t) + sin^2(t)^(3/2) /(sqrt(cos^2(t)) * cos(t)^2 + sin^2(t)^(3/2)] * sin(t)其中t为参数，范围从0到π。
右半部分的爱心可以由以下方程描述：x = r * [sqrt(cos^2(t)) * cos(t) - sin^2(t)^(3/2) /(sqrt(cos^2(t)) * cos(t)^2 + sin^2(t)^(3/2)] + ay = R * [sqrt(cos^2(t)) * cos(t) - sin^2(t)^(3/2) /(sqrt(cos^2(t)) * cos(t)^2 + sin^2(t)^(3/2)] * sin(t)同样，参数t范围从0到π。
在这些方程中，cos(t)表示t的余弦值，sin(t)表示t的正弦值。
sqrt表示平方根运算。
此外，a是两个圆的圆心的x坐标之差的一半，即a=(x-r)/2总结起来，爱心函数的解析式可表示为：x = r * [sqrt(cos^2(t)) * cos(t) + sin^2(t)^(3/2) /(sqrt(cos^2(t)) * cos(t)^2 + sin^2(t)^(3/2)] ± ay = R * [sqrt(cos^2(t)) * cos(t) + sin^2(t)^(3/2) /(sqrt(cos^2(t)) * cos(t)^2 + sin^2(t)^(3/2)] * sin(t)其中，t的范围从0到π，a=(x-r)/2这就是爱心函数的解析式，它能够描述爱心函数的图像。
2024-2025学年上海市松江区高三上学期期中数学质量调研测试试卷(含解析)
考生注意1.答卷前，考生务必将学校、姓名、班级、准考证号在答题纸上填写正确.2.请考生须在答题纸上作答，答案写在试卷上一律不给分.3.答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果２０２４－２０２５学年上海市松江区高三上学期期中数学质量调研测试试卷.1. 已知集合{1,2},{,3}A B a ==，若{1}A B Ç=，则A B =U _______.【答案】{}1,2,3【解析】【分析】根据{1}A B Ç=求得a ，由此求得A B U .【详解】由于{1}A B Ç=，所以1a =，所以{}1,2,3A B =U .故答案为：{}1,2,32. 函数4cos 23y x =+的最小正周期为____________．【答案】π【解析】【分析】根据三角函数周期公式即可得到答案.【详解】直接根据余弦函数周期公式得2ππ2T ==，故答案为：π.3. 不等式113x >的解集是____________.【答案】()0,3【解析】【分析】根据分式不等式结合二次不等式运算求解即可.【详解】113x >，可得30x x-<，等价于()30x x -<，解得03x <<，所以113x >的解集是(0,3).故答案为：(0,3).4. 已知tan 2a =，则()()πsin 2cos 2cos πa a a æö---ç÷èø=+______.【答案】6【解析】【分析】由诱导公式化简即可得出答案.【详解】()()πsin 2cos sin 2sin 3sin 23tan 6cos πcos cos a a a a a a a a aæö---ç÷--èø====+-.故答案为：6.5. 若幂函数()25ay a a x =--的图像关于y 轴对称，则实数a =______．【答案】2-【解析】【分析】根据幂函数的概念和性质计算即可【详解】由幂函数可得251a a --=，解得3a =或2a =-，又因为函数图像关于y 轴对称，则a 为偶数，所以2a =-．故答案为：2-6. 已知点()1,3A ，()4,1B -，则向量AB uuu r 的单位向量为______.【答案】34,55æö-ç÷èø【解析】【分析】首先求出AB uuu r ，AB uuu r ，即可求出向量AB uuu r 单位向量.【详解】因为()1,3A ，()4,1B -，所以()()()4,11,33,4AB =--=-uuu r ，所以5AB ==uuu r ，所以向量AB uuu r 的单位向量为()1343,4,555AB AB æö=-=-ç÷èøuuu r uuu r .的故答案为：34,55æö-ç÷èø7. 已知函数()(](]lg ,0,228,2,5x x x f x x ìÎï=í-Îïî，则函数()y f x =的零点是______.【答案】1,3【解析】【分析】将问题转化为02lg 0x x <£ìí=î，或25280x x <£ìí-=î，求解即可.【详解】令()0f x =，则02lg 0x x <£ìí=î，或25280x x <£ìí-=î，解得1x =，或3x =，则函数()y f x =的零点是1,3.故答案为：1,3.8. 在ABC V 中，角,,A B C 对应边为,,a b c ，其中4b =.若120A C +=o ，且2a c =，则c 边长为______.【解析】【分析】利用正弦定理以及三角恒等变换的知识求得c .【详解】依题意，2a c =，由正弦定理得sin 2sin A C =，即()sin 1202sin C C -=o，1sin 2sin ,tan 2C C C C +==，由于0120C <<o o ，所以30C =o ，则90,60A B ==o o ，由正弦定理得sin sin c b C B =，sin sin b C c B ===.9. 已知函数()()()()1f x x x a x b =+++为奇函数，则函数()y f x =在[]0,2x Î上的最小值为______.【答案】【解析】【分析】令()0f x =，求出所对应的方程的解，再根据奇函数的对称性得到函数解析式，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值.【详解】令()0f x =，即()()()10x x a x b +++=，解得11x =-，2x a =-，3x b =-，因为函数()()()()1f x x x a x b =+++为奇函数，则函数图象关于原点对称，又()()110f f =--=，即a -、b -中必有一个为1，则另一个为0，所以()()()311f x x x x x x =+-=-，则()()()()33f x x x x x f x -=-+=--=-，符合题意；则()2313f x x x x æ¢=-=+ççè，所以当0x <<时()0f x ¢<2x <<时()0f x ¢>，所以()f x 在æççè上单调递减，在2ö÷÷ø上单调递增，又f =()y f x =在[]0,2x Î上的最小值为故答案为：10. 已知函数()28f x x x m =-++，()π2sin 23g x x æö=+ç÷èø.对任意0π0,4x éùÎêúëû，存在1x ，[]21,3x Î-，使得()()()102f x g x f x ££，则实数m 的取值范围是______.【答案】[]13,10-【解析】【分析】根据()f x 和()g x 的值域以及恒成立、存在性等知识求得m 的取值范围.【详解】由π04x ££，则ππ5π2336x £+£，所以()[]π2sin 21,23g x æö=+Îç÷èø.又28()x x m f x -+=+的开口向下，对称轴为4x =，所以()f x 在区间[]1,3-上单调递增，()()19,315f m f m -=-=+，所以()[]9,15f x m m Î-+，由于任意0π0,4x éùÎêúëû，存在12,[1,3]x x Î-，使得102()()()f x g x f x ££，所以91152m m -£ìí+³î，解得1310m -££，所以m 的取值范围是[]13,10-.故答案为：[]13,10-.11. 在平面直角坐标系xOy 中，单位圆上三点,,A B C 满足：A 点坐标为()1,0并且AB BC =，OB uuu r 在OA uuu r 上的投影向量为1,04æöç÷èø，则OA OC ×=uuu r uuu r ______.【答案】78-【解析】【分析】根据题意可画出示意图，易知OB uuu r 与OA uuu r 的夹角的余弦值1cos 4q =，结合二倍角公式可求得OA uuu r 与OC uuu r 夹角的余弦值为78-，再根据向量数量积的定义即可得78OA OC =×-uur uuu r .【详解】根据题意可知如下图所示：过点B 作x 轴的垂线交x 轴于一点1B ，由OB uuu r 在OA uuu r 上的投影向量为1,04æöç÷èø可得11,04B æöç÷èø，且1OA OB OC ===uuu r uuu r uuu r ，设OB uuu r 与OA uuu r 的夹角为AOB q Ð=，所以11cos 4OB OB q ==，又因为AB BC =，所以2AOC q Ð=，由二倍角公式可得27cos 2cos 18AOC q Ð=-=-；所以7cos 8OA OC OA OC AOC ×=×Ð=-uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：78-.12. 设函数()()312288a x x f x a x --=Î+R ，若函数()45y f x =+的零点为4，则使得()2816630f t -+³成立的整数t 的个数为______.【答案】10【解析】【分析】先由函数零点求出9a =，判断此时函数()f x 的单调性，将所求不等式化为()263168f t -³-，根据单调性，得到241606t -££，进而可根据题中条件，求出结果.【详解】因为函数4()5y f x =+的零点为4，所以5(4)4f =-，又31228()8a x x f x x --=+，所以8165(4)124a f --==-，所以9a =，所以311222989()88x x f x x x x --==-++，[)0,x Î+¥因为98y x =+在[)0,x Î+¥上单调递减，12y x =在[)0,x Î+¥上单调递增；所以()f x 在[)0,¥+上单调递减，且63(64)8f =-；由()2816630f t -+³得()263168f t -³-，即()216(64)f t f -³，所以241606t -££，故44,t éùéÎ--Èëûë，又t ÎZ ，故8,7,,4t =±±±L ，故整数t 的个数为10.故答案为：10.【点睛】思路点睛：根据函数单调性解不等式时，一般需要根据所给函数的解析式，先判断函数单调性，再将所求式子变形整理，利用函数单调性，即可求解.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设a 、b 、c 是实数，则“a b >”是“22ac bc >”的( ).A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，利用充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】a b >，当0c =时，22ac bc >不成立，即充分性不成立；当22ac bc >时，20c >，a b \>，即必要性成立.故选：B.14. 函数|1||2|y x x =++-的最小值及取得最小值时x 的值分别是A. 1，[1,2]x Î- B. 3，0 C. 3，[1,2]x Î- D. 2，[]1,2x Î【答案】C【解析】【分析】利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应x 的值.详解】依题意12123y x x x x =++-³++-=，当且仅当()()120x x +-³，即12x -££时等号成立，故选C.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题.15. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）【A. yB. y =C. y =D. y =【答案】C【解析】【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可.【详解】A选项：1|1x y ==>，故A 错误；B 选项：记()f x =()()f x f x -=-=-，故()f x 为奇函数，不符合题意，故B 错误；C 选项：记()h x =()()h x h x -=，故y =当0x ³时，y ==，此函数()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减，且()()()00,11,20h h h ===，故C 正确；D 选项：记()g x =()()g x g x -=¹-，故()g x 既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D 错误.故选：C.16. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数sin y A t w =，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x xx =+，则下列结论正确的个数有（ ）在①()f x 图象关于直线πx =对称；②()f x 在ππ,44éù-êúëû上是增函数；③()f x；④若()()122716f x f x =-，则12min 2π3x x -=．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】对于①，通过计算(2)f x p -与()f x 的关系进行判断，对于②，利用导数判断，对于③，利用导数求其最值，对于④，由题意可知()()12,f x f x 分别为函数的最大值和最小值，再根据函数的周期性可求得结果.【详解】①因为()()()()112πsin 2πsin 22πsin sin 222f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以()f x 的图象不关于直线πx =对称，错误；②()()()2cos cos 22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x x x ¢=+=+-=-+，当ππ,44x éùÎ-êúëû时，cos x ³，则()0f x ¢>，所以()f x 在ππ,44éù-êúëû上是增函数，正确；③因为sin y x =的周期为2p ，1sin 22y x =的周期为p ，所以()1sin sin 22f x x x =+的周期为2p ，不妨取一个周期[]0,2p 上求其最值，令()0f x ¢=得1cos 2x =或cos 1x =-，当0,3x p æöÎç÷èø或5,23x p p æöÎç÷èø时，1cos 12x <<，此时()0f x ¢>，所以()f x 在0,3p æöç÷èø和5,23p p æöç÷èø上递增，当5,33x p p æöÎç÷èø时，11cos 2x -£<，此时()0f x ¢£，但不恒为零，所以()f x 在5,33p p æöç÷èø上递减，又()()502π33f f f f p p æöæö>=>ç÷ç÷èøèø，所以max π12()sin sin 3323f x f p p æö==+=ç÷èø，min 5π5110()sin sin 3323f x f p p æö==+=ç÷èø确；的④若()()122716f x f x æ=-=ççè，不妨取()1f x =，()2f x =因为π23f m p æö+=ç÷èø，5π23f n p æö+=ç÷èø，,m n ÎZ ，所以12min 2π3x x -=，正确．故选：C ．三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. 已知2=r a ，4b =r ，a r 与b r 的夹角为q .（1）若//a b r r ，求×r r a b ；（2）若a b ^r r ，且()()1216ta b t a b éù+×--£ëûr r r r ，求实数t 的取值范围.【答案】（1）8-或8.（2）[]3,4-【解析】【分析】（1）若//a b r r ，则a r 与b r 的夹角为πq =或0q =，再由数量积的定义求解即可；（2）由a b ^r r 可得0a b ×=r r ，化简()()1216ta b t a b éù+×--£ëûr r r r 可得2120t t --£，解不等式即可得出答案.【小问1详解】若//a b r r ，则a r 与b r 的夹角为πq =或0q =，所以cos 8a b a b q ×=××=-r r r r 或8.【小问2详解】若a b ^r r ，则0a b ×=r r，()()()()222121241324432ta b t a b t t a b t t t t éù+×--=--=--=--ëûr r r r r r ，所以()()1216ta b t a b éù+×--£ëûr r r r 可得：2443216t t --£，所以2120t t --£，解得：34t -££.实数t 的取值范围为[]3,4-.18. 已知函数()22cos cos 213f x x x p æö=+--ç÷èø.（1）求函数()y f x =在[]0,π上的单调减区间；（2）若函数()y f x =在区间[]0,m 上有且只有两个极大值点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π7π,1212éùêúëû （2）13π25π,1212æùçúèû【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的取值范围，依题意可得5ππ9π2232m <+£，解得即可.【小问1详解】因为()22cos cos 213f x x x p æö=+--ç÷èøππcos 2cos 2cos sin 2sin 33x x x =++31πcos 222sin 22223x x x x x öæö==+=+÷ç÷÷èøø，由[]0,πx Î，则ππ7π2,333x éù+Îêúëû，令ππ3π2232x £+£，解得π7π1212x ££，所以函数()y f x =在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212éùêúëû；【小问2详解】由[]0,x m Î，则πππ2,2333x m éù+Î+êúëû，因为函数()y f x =在区间[]0,m 上有且只有两个极大值点，所以5ππ9π2232m <+£，解得13π25π1212m <£，即实数m 的取值范围13π25π,1212æùçúèû.19. 在经济学中，函数()f x 的边际函数()(1)()Mf x f x f x =+-，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x 台（*1,N x x ³Î）这种设备的收入函数为()221640R x x x=++（单位千万元），其成本函数为()4010C x x x=+（单位千万元）．（以下问题请注意定义域）（1）求收入函数()R x 的最小值；（2）求成本函数()C x 的边际函数()MC x 的最大值；（3）求生产x 台光刻机的这种设备的的利润()z x 的最小值．【答案】（1）48（千万元）（2）869（3）7（千万元）【解析】【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即得；（2）求出边际函数()MC x 的解析式，然后利用函数的单调性求解最值；（3）求出利润函数()z x 的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值．【小问1详解】∵()221640R x x x=++，*110,N x x ££Î．∴()4048R x ³=，当且仅当2216x x =即2x =时等号成立．∴当2x =时，min ()48R x =（千万元）；【小问2详解】()(1)()MC x C x C x =+-，*19,N x x ££Î()()()404040101101011MC x x x x x x x=++--=-++，*19,N x x ££Î，由函数单调性知，()MC x 在*19,N x x ££Î时单调递增，故当9x =时，()max 4086101099MC x =-=´；【小问3详解】由()()()22216404440101032z x R x C x x x x x x x x x æöæöæö=-=++-+=+-++ç÷ç÷ç÷èøèøèø，则()2457z x x x æö=+-+ç÷èø，*19,N x x ££Î．记4()t x x x =+，则该函数在[1,2]上递减，在[2,9]上递增，且85(1)5,(9)9t t ==，故85[4,]9t Î，于是当45t x x=+=时，()z x 取得最小值.由2540x x -+=，解得4x =或1x =，故当4x =或1x =时，min ()7z x =（千万元）．20. 在ABC V 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，满足()sin sin B A A C-+=（1）求B 的大小；（2）（i ）已知4b =，若D 在AC 上，且BD AC ^，求BD 的最大值；（ii ）延长BC 至点M ，使得2BC CM =uuu r uuuu r .若π4CAM Ð=求BAC Ð的大小.【答案】（1）π4B =（2）（i ）BD 的最大值为2+；（ii ）π12BAC Ð=或5π12【解析】【分析】（1）由)sin sin(C A B =+，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得cos B =，可得B 的大小；（2）（i ）由三角形的面积公式得到BD =，再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可；（ii ）设BC x =，BAC q Ð=，在ABC V 和ACM △中，由正弦定理表示边角关系，化简求BAC Ð的大小.【小问1详解】在ABC V 中，πA B C ++=，所以)sin sin(C A B =+．因为()sin sin B A A C -=，所以()()sin sin B A A A B -+=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A A B A B A-=+2cos sin A B A =．因为(0,π)A Î，所以sin 0A ¹，cos B =．因为0πB <<，所以π4B =．【小问2详解】（i ）由三角形面积公式可得11sin 22S ac B b BD ==×，即BD =，在ABC V 中由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即2216a c =+-，所以(22162a c ac =+³-，所以ac，此时2BD ===+，当且仅当a c ===时取等号；（ii ）设BC x =，BAC q Ð=，则2CM x =．由（1）知π4B =，又π4CAM Ð=，所以在ABM V 中，π2AMC q Ð=-．在ABC V 中，由正弦定理得sin sin BC AC BAC B =Ð，即πsin sin 4x AC q =①．在ACM △中，由正弦定理得sin sin CM AC CAM M =Ð，即2ππsin sin 42x AC q =æö-ç÷èø②．①÷=12sin cos 2q q =，所以1sin 22q =．因为3π0,4q æöÎç÷èø，3π20,2q æöÎç÷èø，所以π26q =或5π6，故π12q =或5π12．【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把BD表示，再结合基本不等式求解.21. 已知函数()y f x =定义域为D ，导函数为()y f x ¢=，若对任意的x D Î，均有()()f x f x ¢<，则称函数()y f x =为D 上的“M 一类函数”.（1）试判断()sin f x x x =+是否为其定义域上的“M 一类函数”，并说明理由；（2）若函数()1a g x a x=+-，()1,πx Î为其定义域上的“M 一类函数”，求实数a 的取值范围；（3）已知函数()sin 2h x x ax a =++-，π0,2x éùÎêúëû为其定义域上的“M 一类函数”，求实数a 的最大整数值.【答案】（1）()sin f x x x =+不是为其定义域上的“M 一类函数”；（2）1,3¥æù-çúèû（3）a 的最大整数值为0.【解析】【分析】（1）根据定义，取反例即可判断；（2）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，转变为函数最值问题可解；（3）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，利用导数求解可得.【小问1详解】函数()sin f x x x =+不是其定义域上的“M 一类函数”.理由如下：()sin f x x x =+的定义域为(),1cos f x x =+¢R ，存在π3x =，的使得πππ13133322f f æöæö=>=+=ç÷ç÷èøèø¢，故()sin f x x =不是其定义域上的“M 一类函数”【小问2详解】()1a g x a x =+-，所以()2a g x x¢=-.若函数()()11a a x a g x a x x+-=+-=在()1,πx Î上为“M 一类函数”，则()21a a xa x x+-<-在()1,πx Î上恒成立，即()210a x ax a -++<在()1,πx Î上恒成立，即()221a x x x ++<在()1,πx Î上恒成立，因为22131024x x x æö++=++>ç÷èø，所以221x a x x <++在()1,πx Î上恒成立.令222211*********x y x x x x x ===++æö++++ç÷èø，因为()1,πx Î，11,1πx æöÎç÷èø，所以当1x =时，221x y x x =++的最小值为13，所以13a £，所以实数a 的取值范围为1,3¥æù-çúèû.【小问3详解】()cos h x x a =¢+，依题意有sin 2cos x ax a x a ++-<+对任意的π0,2éùÎêúëûx 恒成立，即2cos sin ax x x <+-对任意的π0,2éùÎêúëûx 恒成立，当0x =时，03a ×<，即a ÎR ；当π0,2x æùÎçúèû时，2cos sin x x a x+-<，令()2cos sin x x p x x +-=，则()()2sin cos sin cos 2x x x x x p x x-++--=¢，令()()sin cos sin cos 2q x x x x x x =-++--，则()()sin cos q x x x x =-¢，易知π0,4x æùÎçúèû时，()ππ0;,42q x x æ¢ù£Îçúèû时，()0q x ¢>，即()q x 在π0,4æùçúèû上是减函数，在ππ,42æùçúèû上是增函数，而()πππ030,20,10422q q q æöæö=-<=-<=--<ç÷ç÷èøèø，即π0,2x æùÎçúèû时，()0q x <，于是()0p x ¢<，则()p x 在π0,2x æùÎçúèû上是减函数，故()min π22πp x p æö==ç÷èø，从而2πa <.综上，满足条件的实数a 的取值范围是2πa <，于是a 的最大整数值为0.【点睛】思路点睛：本题实质上属于恒成立问题，常用参变分离法，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数求最值即可求解.。
函数图像
0
S
B
C
( A)
A
t1
t2 t
例7、已知函数f ( x) ( x 1) | x 1 |，若关于x的方程 f ( x) x m有3个不同解，则实数m的范围是________.
解 ：f ( x) ( x 1) | x 1 |
x 2 1,( x 1)
1
（1）( 1 )2x1 2;
1x
(2) y 2 2 ;
2
横 坐 标 变 为 原 来 的1 倍
所 有 点 向 右 平 移1个 单 位
(1) y 2 x 2 y 22x 2
y
2( x 1 )
22
( 1 )2x1
所有点 向上 平 移2个 单位
t1
t2 t
B
C
(D)
A
t1
t2 t
解 : 从A地 到B地 ， 甲 用 时 间t甲
S 2v1
S 2v 2
S(v1 v2 ) 2v1 v 2
乙
用
时
间t乙满
足
：t乙 2
(v1
v2 )
S
t乙
(v1
S
v2 )
t甲
t乙
S(v1 v2 ) 2v1 v 2
(v1
S v2)
(v1 v2 )2 S 2v1v2 (v1 v2 )
y
1 1
1 o
1
g( x)
x
y x
o
( A)
y
y
y
x o
x o
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微博上最近流传这这样一个段子：
老师说，把这个函数()3
222310x y x y +--=图像画给喜欢的人看。
（附图）
作为一个专业人士我不得不说“这不是一个函数，好不好；这是一个方程，好不好”。
当然方程也有图像，但是这个方程图像是不是如上图就不得而知了。
作为一个专业人士（嘿嘿，见笑见笑！），我还是有必要对其验证一下的
准备工作：1.笔，纸，几何画板，QQ 截图
2.整理方程（因为几何画板只能画函数图像，所以先得把方程整理成函数形式）
整理得2
423344
2x x x y ±-+=
3.几何画板输入函数得到
4.显然通过原方程得到的图像是一个“LOVE ”形状，但是一向追求完美的我们怎么能
容忍一个这么小，而且还是蓝色的心形呢。
绝对不能，我们得改造，改造，改造。
！
第一：要变红色，这个还是好办滴，换颜色
第二：要变大（说把坐标轴放大的请出去），我们在不考虑函数复杂性，只考虑图像美观的前提下对原方程做了一点修改，以使图像更大。
大叫三声：“方程变，变，变！”
3
2223103333x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 从而得到两个新的函数24233443332
3x x x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫±-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=
几何画板得图像
哇哈哈哈哈。
！！！
小朋友们，快进来膜拜吧！！！
另附网络大神猜想
这个方程大家很熟悉吧：
(x²+y²-1)³=x²y³ (Siehe Beutel)
Beutel 到底是谁我不知道，不过根据他的方程，我来瞎猜一下大神的设计路线……
首先屁股线、椭圆对称什么的弱爆了，一个难看，另一个绝对值符号又不好消，于是乎我们。