线性代数行列式计算方法总结

0 0
a1 b 0 0 a2 b
0
0
0
0
0 an b n1
பைடு நூலகம்
=
(a1 b)(a2 b)
(an
b)(1
n i 1
b) ai b
例6 计算n阶行列式 a a 1 0 0 1 a a 1 0
00 0 00 0
01 Dn
a a 1
00 0
递推法
00 0 0 00 0 0
1 a a 1 01 a
0 0
0
00
an
=
a1a2
an (a0
n i 1
bici ai
)
例3 计算n阶行列式 x a
a
ax
a
加法
aa
x
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第一
行，提出公因子，再化为上三角行列式。
xa ax
a r1 ri x (n 1)a x (n 1)a
a
a
x
i 1,2,...,n
所以
D= 2
a 1
a 1 a
a2=
a
1,
D1
a,
D2
D1
(a
1)2
Dn Dn1 (a 1)n2 (D2 D1) (a 1)n
即
Dn Dn1 (a 1)n
从而 Dn Dn1 (a 1)n Dn2 (a 1)n1 (a 1)n a (a 1)2 (a 1)n1 (a 1)n
解：按第一行展开，得
等号两端减 ，得
这是一D个n 关 于Dn1 aD的n递1推D公Dn式n1，反a(复aD使n1用1)D递n推(2公a式(，a1得)D1，)n(D2n,1 Dn2 ) Dn1
Dn Dn1
Dn因为Dn1 (a 1)2 (Dn2 Dn3 ) (a 1)n2 (D2 D1)
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
0
2
0
21 8
1 4
0 4
r2 r4
0 0
2 8
46 0
=2
44 0
1 8
2 3 r3 8r2 4 4 r4 19r2
0 19 3 6
0 19 3 6 0 19 3 6
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
20
0
1 0
2 12
3 20
012 101 210 Dn
n 2 n 1 n3 n2 n4 n3
逐行相减法
n2 n3 n4
01
n 1 n 2 n 3
10
将第n-1行的（-1）倍加至第n行，第n-2行的（-1）倍加至第n-1行，…，第1行的（-1）
倍加至第2行，有
01 2 1 1 1 1 1 1 Dn
11 1 11 1
n-2 n 1 1 1 1 1
1 1 1 1
将第n列分别加到前边的第 1,2，…，n-1列.
n 1 n n 1 0 2 2 0 0 2
=
2n 3 n 1 2 1 2 1
000
000
=
2 1 0 1
(-1)n1(n 1)2n2
例5
计算n阶行列式 a1 b b
b
b a2 b
b
Dn b b a3
, b ai , i 1, , n.
x (n 1)a a
aa
x
a
a
x
11
x (n 1)a a x
aa
11
x (n 1)a 0 x a
00
1 a ri ar1
i 2,...,n
x
1
0 x (n 1)a(x a)n1
xa
例4 计算nDn阶 行aij 列式aij i j (i,,其j 中1,2, ,n)
解：由题意得
加边法
b
bb
b an
解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列（行）展开后，等于原行列式
1b b
b
1b
b
b
0 a1 b
b
ri r1 1 a1 b
0
0
Dn 0 b a2
b 1 i2, ,n1
0
a2 b
b
0
0b
b an
1 0
0 an b n1
n
1
b
i1 ai b
b
b
b
c1
ai
1
bci1
c ... c b ... b 简记为 t1
， 这里的A,B必须为方阵。
tk
t1
tt
而
AO =A B
CB
O Am (1)mn A B Bn C
b11 ... b1t ... ... bt1 ... btt
n1 总结：当行列式元素排列很有规律且维数(a与n1有)2关2是(aa可以1考)n虑1 递 a推法
a=2
a2
例7 求下列行列式的值 分块三角形法
1 200 0 3 400 0 D1= 2 2 1 5 3 410 2 5 6 8 4 14
21 5
1 2
1 D1
2 ，D2 1
0
34
5
C 3
4
8 4 14
56
解所：以D不，= 妨原DC1令行列DO式2 可=化D1 D2 = 12
为
规律总结：当遇到如下形式的行列式时，
a11 ... a1k
... ...
0
a11 ... a1k
ak1 ... akk
...
...
c11 ... c11 b11 ... b1t
ak1 ... akk
... ... ... ...
a0 b1 b2
bn
例2 计算下c1列a1 行0 列式0
Dn1 c2 0 a2
0 , ai 0,i 1, 2, , n
箭形
解：将第i+1（i=1,2,…,n）列的
a0
n i 1
bi ci ai
cn 0 0
倍c加i 到第1列，得 ai
b1 b2
an
bn
上三角行列 式
0
Dn1
0
a1 0 0 a2
线代学习小组第4组
例1 计算四阶行列式
5 2 3 5
D=
2 1
5 0
1 3
2 5
2 3 5 4
解 利用行列式的性质，将 D 化为上三角行列式.
5 2
D=
1 2
2 5 0 3
3 1 3 5
5
1
2 5
r1
2r2
2 1
4
2
8 5 0 3
1 1 3 5
1 2 5
r2 r3
2r1 r1
4 r4 _ 2r1
r4
3r3
2
0 0
1 0
2 12
3 =8 0
20 0
1 0
2 3
3 5
r3
r4
0 0 41 63
00 5 3 00 5 3
1 8 1 1 1 8 1 1
1 8 1 1
80
0
1 0
2 2
3 2
=16
0 0
1 0
2 1
3 1
r4
5r3
16
0 0
1 0
2 1
3 1
=128
005 3 005 3
000 8