贝塞尔函数

xJ 'n x nJn x xJn1 x (3) xJ 'n x nJn x xJn1 x (4)
Jn1 x
Jn1 x
2n x
Jn
x
(5)
Jn1 x Jn1 x 2J 'n x (6)
1. 当n为正整数时，讨论Jn(x)的收敛范围
n为正整数时：
1 m
xnJn
x
]
xnJ
n1
x
(2)
xJ 'n x nJn x xJn1 x (3) xJ 'n x nJn x xJn1 x (4)
J n1
x
J n1
x
2n x
Jn
x
(5)
Jn1 x Jn1 x 2J 'n x (6)
(1) xJ2 xdx ?
解 由 xJ '1 x J1 x xJ2 x
Jn x m0 2n2m m ! n m
xn2m !
用级数的比值判别式（或称达朗贝尔判别法）
1 m1
2n2(m1) (m 1)! n m 1 !
1
lim
m
1m
4(m 1) n m 1
2n2m m!n m!
可以判定这个级数在整个数轴上收敛．
正
J n
x
m0
(2) xn1Jn axdx ?
t ax,
d dx
[
x
n
Jn
x]
x n J n1
x
(1)
xn1Jn
1 ax dx an2
t n1Jn t dt
1
an2
d dt
[t
n1J
n1
t
]dt
1 a
xn1Jn1 ax C
7. 证明y Jn (ax)满足 x2 y '' xy ' (a2x2 n2 ) y 0
令x r
记
y(
x)
F
r
x2
d2y dx 2
x
dy dx
x2 n2
yx 0
n 阶贝塞尔方程:
方程的一个特解（n 阶第一类贝塞尔函数）
Jn
x
1m
m0
1 2n2m
m!
n
1 m
1
xn2m
(n 0)
当 n 不为整数时, Jn x 和 Jn x 线性无关
所以方程的通解可以表示为：
y AJn x BJn x n 不为整数
Jn (t )满足以下Bessel方程
t 2Jn(t ) tJn (t ) (t 2 n2 )Jn(t ) 0
令 t ax, 即可
a2 x2Jn(ax) axJn (ax) (a2 x2 n2 )Jn(ax) 0
9.
证明y
x
1 2
J
3
(
x
)是以下方程的解
2
x2 y'' ( x2 2) y 0
1 4
1
x2
y
(x2
) x Jn( x)是以下方程的一个解 x2 y xy (1 x2 n2 ) y 0
y Jn( x) xJn ( x)
y Jn ( x) Jn ( x) xJn( x) x2 y xy (1 x2 n2 ) y
x2 2Jn ( x) xJn( x) x Jn( x) xJn ( x)
x
(1)'
2J0 x J1 x J3 x 4J1 x 由 J0 x J1 x，
2J0 x J0 x J3 x 4J0 x
即
J3 x 3J0 x 4J0 x 0
2n2m
1m m! n
m
1
xn2m
4.
d dx
J
0
ax
a
d
d (ax)
J
0
ax
aJ1
ax
5.
d dx
[ xJ1
ax
]
d
d (ax)
[axJ1
ax
]
axJ
0
ax
6. (1) xJ2 xdx ?
(2) xn1Jn axdx ?
d dx
[
x
n
J
n
x]
x n J n1
x
(1)
d dx
[
当 n 为整数时 Jn x 与 Jn x 是线性相关的。
Yn
x
lim
n
J
x
cos sin
J
x
n 为整数
（第二类贝塞尔函数）
通解可写为：
y CJn x DYn x
贝塞尔函数的递推公式
d dx
[xnJn
x]
x n J n1
x
(1)
d dx
[
xnJn
x
]
xnJ
n1
x
(2)
上面两式左边的导数求出来, 并经过化简,则得
已知：
x2J 3 ''
2
xJ 3 ' ( x2
2
9 4
)J
3 2
0
xJ 3
2
'
1
x( x 2
y)'
x(
1 2
3
x2
y
1
x2
y ')
1 2
1
x2 y
1
x2
y'
x2J 3
2
''
x
2
(
x
1 2
y)''
x
2
(
3 4
5
x2
y
3
x2
y '
1
x2
y '')
3 4
1
x2
y
1
x2
y '
3
x2
y ''
代入即得
3
x2
y ''
将 (1) 式乘 2 、求导，然后减去 (2) 式，得
2J0 x J1 x J3 x 4J1 x
J0 x J2 x 2J '1 x (1) J1 x J3 x 2J '2 x (2)
将 (1) 式乘 2 、求导，然后减去 (2) 式，得
2J
' 0
x
2J 2'
x
4J1"
(1 x2 n2 )xJn( x)
=x x2Jn( x) xJn ( x) ( x2 n2)Jn( x) 0
16 利用递推公式证明
J3 x 3J0 x 4J0 x 0
解：
Jn1 x Jn1 x 2J 'n x
分别令 n = 1, n = 2, 得
J0 x J2 x 2J '1 x (1) J1 x J3 x 2J '2 x (2)
贝塞尔函数
半径为 R 的薄圆盘上的热传导方程
u
t
a2
2u r 2
1 r
u r
1 r2
2u
2
,
u x, y , t0
u x2 y2 R2 0.
x2 y2 R2
u x, y,t V x, yT t
V r, F r ,
在求特征值问题时推导出常微分方程：
r2F "r r F 'r r2 n2 F r 0