最新湖北省孝感市中考数学试卷汇总

2009年湖北省孝感市中考数学试卷
2009年湖北省孝感市中考数学试卷© 2012 菁优网
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1、（2009•孝感）﹣32的值是（）
A、6
B、﹣6
C、9
D、﹣9
2、（2009•孝感）小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（）
A、B、
C、D、
3、（2009•孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（）
A、15°
B、30°
C、45°
D、60°
4、（2009•孝感）一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（）
A、B、
C、D、
5、（2009•孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得
△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为（）
A、（，）
B、（，）
C、（，）
D、（，）
6、（2009•孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖），被遮盖的两个数据依次是（）
日期一二三四五方差平均气温
最低气温1℃﹣1℃2℃0℃■■1℃
A、3℃，2
B、3℃，
C、2℃，2
D、2℃，
7、（2009•孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）
A、仅小明对
B、仅小亮对
C、两人都对
D、两人都不对
8、（2009•孝感）关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是（）
A、a＞﹣1
B、a＞﹣1且a≠0
C、a＜﹣1
D、a＜﹣1且a≠﹣2
9、（2009•孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）
A、4cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
10、（2009•孝感）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
11、（2009•孝感）如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（）
A、78
B、72
C、54
D、48
12、（2009•孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于A n，B n 两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是（）
A、B、
C、D、
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13、（2009•孝感）如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P （3，4），则sinα=_________．
14、（2009•孝感）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=_________．
15、（2009•孝感）若|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=_________．
16、（2009•孝感）对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2）⊕（p，q）=（5，0），则p=_________，q=_________．
17、（2009•孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是
_________．
18、（2009•孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，﹣2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=_________时，AC+BC的值最小．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19、（2009•孝感）已知：x=+1，y=﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
20、（2009•孝感）三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童_________（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则，为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）
21、（2009•孝感）某班6名同学组成了一个“帮助他人，快乐自己”的体验小组．他们约定一学期每人至少参加一次公益活动．学期结束后，他们参加公益活动的统计图如图．
（1）这个体验小组一学期参加公益活动的人均次数是_________次；
（2）从这6名同学中任选两名同学（不考虑先后顺序），他们参加公益活动的次数恰好相等的概率是多少？
22、（2009•孝感）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．
23、（2009•孝感）已知抛物线y=x2+kx﹣k2（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值．
24、（2009•孝感）5月份，某品牌衬衣正式上市销售．5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0．设该品牌衬衣的日销量为p （件），销售日期为n（日），p与n之间的关系如图所示．
（1）写出p关于n的函数关系式p=_________（注明n的取值范围）；
（2）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？
（3）该品牌衬衣本月共销售了_________件．
25、（2009•孝感）如图，点P是双曲线（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1=_________（用含k1、k2的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（﹣4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S2=S△PEF﹣S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1、（2009•孝感）﹣32的值是（）
A、6
B、﹣6
C、9
D、﹣9
考点：有理数的乘方。

分析：﹣32表示32的相反数．
解答：解：﹣32=﹣3×3=﹣9．
故选D．
点评：此题的关键是注意符号的位置，﹣32表示32的相反数，底数是3，不要与（﹣3）2相混淆．2、（2009•孝感）小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（）
A、B、
C、D、
考点：平行投影。

分析：平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
解答：解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．故选A．
点评：太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行．
3、（2009•孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（）
A、15°
B、30°
C、45°
D、60°
考点：三角形的外接圆与外心。

分析：连接OA，由圆周角定理，易求得∠COA的度数，在等腰△OAC中，已知顶角∠COA的度数，即可求出底角∠CAO的度数．
解答：解：连接OC，
由圆周角定理，得∠AOC=2∠B=120°，
△OAC中，OA=OC，
∴∠CAO=∠ACO=30°．
故选B．
点评：此题综合考查了圆周角定理和三角形的内角和定理．
4、（2009•孝感）一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（）
A、B、
C、D、
考点：概率公式。

专题：应用题。

分析：让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
解答：解：一共是60秒，绿的是25秒，所以绿灯的概率是．
故选C．
点评：本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5、（2009•孝感）如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转90°得
△A′OB′．已知∠AOB=30°，∠B=90°，AB=1，则B′点的坐标为（）
A、（，）
B、（，）
C、（，）
D、（，）
考点：坐标与图形变化-旋转；锐角三角函数的定义。

专题：计算题。

分析：根据旋转的概念“旋转不改变图形的大小和形状”，即可解决问题．
解答：解：已知B′A′=BA=1，∠A′OB′=∠AOB=30°，OB′=OB=，
做B′C⊥x轴于点C，那么∠B′OC=60°，OC=OB′×cos60°=，B′C=OB′×sin60°=×=，
∴则B′点的坐标为（，）．
故选D．
点评：需注意旋转前后对应角的度数不变，对应线段的长度不变，再由三角函数的意义，计算可得答案．
6、（2009•孝感）某一段时间，小芳测得连续五天的日最低气温后，整理得出下表（有两个数据被遮盖），被遮盖的两个数据依次是（）
日期一二三四五方差平均气温
最低气温1℃﹣1℃2℃0℃■■1℃
A、3℃，2
B、3℃，
C、2℃，2
D、2℃，
考点：方差；二元一次方程组的应用；算术平均数。

专题：图表型。

分析：先由平均气温可计算出日期五的气温，然后可以计算出方差．
解答：解：设第五天的温度为X，则有：（1﹣1+2+0+X）÷5=1，解得，X=3℃，方差S2=[（1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（2﹣1）2+（﹣1）2+（3﹣1）2]÷5=2，
故选A．
点评：主要考查了平均数和方差的计算，熟记公式可以很容易解出此题．
7、（2009•孝感）如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）
A、仅小明对
B、仅小亮对
C、两人都对
D、两人都不对
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。

分析：若MN=EF，先构造出以MN与EF为斜边的直角三角形，然后证明两直角三角形全等，然后根据全等三角形的对应角相等，结合图象可以证明出EF与MN垂直；
若MN⊥EF，则MN=EF，分别把MN和EF平移，然后根据三角函数即可得出结论．
解答：解：①若MN=EF，则必有MN⊥EF，这句话是正确的．
如图，∵EF=MN，MH=EG，
∴△MHN≌△EGF，
∴∠EFG=∠MNH，
又∵∠EFG=∠ELM，
∴∠NMH+∠MNH=∠NMH+∠EFG=∠NMH+∠ELM=90°，
∴∠MOL=90°，
即MN⊥EF．
②若MN⊥EF，则MN=EF这句话是对的；
分别把MN和EF平移，如图，
∠AMN=∠AGD=∠BFE=∠DHC，
MN=GD=AD÷sin∠AGD，
EF=HC=CD÷sin∠DHC，
因此MN=EF．
故选C．
点评：解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，本题如图所示起到关键的作用，没有图形的限制，则第一种情况不一定正确．
8、（2009•孝感）关于x的方程=1的解是正数，则a的取值范围是（）
A、a＞﹣1
B、a＞﹣1且a≠0
C、a＜﹣1
D、a＜﹣1且a≠﹣2
考点：分式方程的解。

专题：计算题。

分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．解答：解：去分母得，2x+a=x﹣1
∴x=﹣1﹣a
∵方程的解是正数
∴﹣1﹣a＞0即a＜﹣1
又因为x﹣1≠0
∴a≠﹣2
则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2
故选D．
点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠﹣2，这是因为忽略了x﹣1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
9、（2009•孝感）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（）
A、4cm
B、6cm
C、8cm
D、10cm
考点：黄金分割。

专题：计算题。

分析：先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
解答：解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：，
解得：y≈8cm．
故选C．
点评：本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
10、（2009•孝感）将函数y=x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y=x2﹣3x+2的图象，则a的值为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
考点：二次函数图象与几何变换。

分析：把两个函数都化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，对比一下确定a的值．解答：解：y=x2+x=（x+）2﹣． y=x2﹣3x+2=（x﹣）2﹣．所以a==2．
故选B．
点评：此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
11、（2009•孝感）如图，把一个棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（）
A、78
B、72
C、54
D、48
考点：几何体的表面积。

专题：应用题。

分析：如图所示，一、棱长为3的正方体的每个面等分成9个小正方形，那么每个小正方形的边长是1，所以每个小正方面的面积是1；二、正方体的一个面有9个小正方形，挖空后，这个面的表面
积增加了4个小正方形，即：每个面有12个小正方形，6个面就是6×12=72个，那么几何体的表面积为72×1=72．
解答：解：如图所示，周边的六个挖空的正方体每个面增加4个正方形，则每个面的正方形个数为12个，则表面积为12×6×1=72．
故选B．
点评：本题关键要能够想象出物体表面积的变化情况，主要考查空间想象能力．
12、（2009•孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于A n，B n 两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2009B2009的值是（）
A、B、
C、D、
考点：抛物线与x轴的交点。

专题：规律型。

分析：本题就是将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和．
解答：解：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x2﹣x+，y=x2﹣x+，y=x2﹣x+，…；分别解得x1=1，x2=，x3=，x4=，x5=，x6=，…；
∴A1B1=1﹣，A2B2=﹣，A3B3=﹣，…，A2009B2009=﹣；
∴A1B1+A2B2+…+A2009B2009=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
故选D．
点评：此题是一道开放题，需要先代入几个特殊值，找出规律，然后解答．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13、（2009•孝感）如图，角α的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一点P （3，4），则sinα=．
考点：锐角三角函数的定义；勾股定理。

分析：已知点P的坐标，就是已知直角三角形的两直角边的长，根据勾股定理就可以求出OP的长．根据三角函数的定义求解．
解答：解：OA上有一点P（3，4），则p到x轴距离为4，|op|=5，
则sina=．
点评：本题考查正弦的定义．
14、（2009•孝感）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，则m=﹣3．
考点：解一元一次不等式组。

分析：易得m+2＞m﹣1．那么不等式组的解集为x＞m+2，根据所给的解集即可判断m的取值．解答：解：根据“同大取大”确定x的范围x＞m+2，∵解集是x＞﹣1，∴m+2=﹣1，m=﹣3．
点评：求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．15、（2009•孝感）若|m﹣n|=n﹣m，且|m|=4，|n|=3，则（m+n）2=49或1．
考点：有理数的乘方；绝对值。

分析：根据已知条件，结合绝对值的性质得到m，n的值，再根据乘方的意义进行计算．
解答：解：∵|m﹣n|=n﹣m，∴m﹣n≤0，即m≤n．
又|m|=4，|n|=3，
∴m=﹣4，n=3或m=﹣4，n=﹣3．
∴当m=﹣4，n=3时，（m+n）2=（﹣1）2=1；
当m=﹣4，n=﹣3时，（m+n）2=（﹣7）2=49．
点评：绝对值具有非负性，绝对值是正数的数有两个，且互为相反数．
16、（2009•孝感）对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）．定义运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc）．若（1，2）⊕（p，q）=（5，0），则p=1，q=﹣2．
考点：有理数的混合运算。

专题：新定义。

分析：首先根据运算“⊕”：（a，b）⊕（c，d）=（ac﹣bd，ad+bc），可知（1，2）⊕（p，q）=（p﹣2q，q+2p），再由规定：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d），得出p﹣2q=5，
q+2p=0，解关于p、q的二元一次方程组，即可得出结果．
解答：解：根据题意可知（1，2）⊕（p，q）=（p﹣2q，q+2p）=（5，0），
∴p﹣2q=5，q+2p=0，
解得p=1，q=﹣2．
答案：1，﹣2．
点评：此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．
解题关键是对号入座不要找错对应关系．
17、（2009•孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是144．
考点：相似三角形的判定与性质。

专题：几何综合题。

分析：根据平行可得出三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，设其中一边为一求知数，然后计算出最大的三角形与最小的三角形的相似比，从而求面积比．
解答：解：过M作BC平行线交AB、AC于D、E，过M作AC平行线交AB、BC于F、H，过M 做AB平行线交AC、BC于I、G，
因为△1、△2的面积比为4：9，△1、△3的面积比为4：49，
所以它们边长比为2：3：7，
又因为四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
所以DM=BG，EM=CH，
设DM为2x，
所以BC=（BG+GH+CH）=12x，
所以BC：DM=6：1，
S△ABC：S△FDM=36：1，
所以S△ABC=4×36=144．
故答案为：144．
点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
18、（2009•孝感）在平面直角坐标系中，有A（3，﹣2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=时，AC+BC的值最小．
考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形变化-对称。

专题：计算题。

分析：先做出点A关于x=1的对称点A′，再连接A'B，求出直线A'B的函数解析式，再把x=1代入即可得．
解答：解：作点A关于x=1的对称点A'（﹣1，﹣2），连接A'B交x=1于C，可求出直线A'B的函数解析式为y=，把C的坐标（1，n）代入解析式可得，n=﹣．
点评：此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19、（2009•孝感）已知：x=+1，y=﹣1，求下列各式的值．
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
考点：二次根式的化简求值；整式的加减—化简求值。

分析：观察可知：（1）式是完全平方和公式，（2）是平方差公式．先转化，再代入计算即可．解答：解：（1）当x=+1，y=﹣1时，
原式=（x+y）2=（+1+﹣1）2=12；
（2）当x=+1，y=﹣1时，
原式=（x+y）（x﹣y）=（+1+﹣1）（+1﹣+1）=4．
点评：先化简变化算式，然后再代入数值，所以第一步先观察，而不是直接代入数值．
20、（2009•孝感）三个牧童A、B、C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图2：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图3：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．请回答：
（1）牧童B的划分方案中，牧童C（填A、B或C）在有情况时所需走的最大距离较远；（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则，为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）
考点：矩形的性质；勾股定理。

专题：应用题；方案型。

分析：（1）易得A，B的距离相等，设正方形的边长为1，他们到最远处的距离为这个直角三角形斜边的一半，根据勾股定理进行计算可得C的距离最大；
（2）分别计算A，C的面积比较它们是否相等作出判断．
解答：解：（1）C；
（2）牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．
理由如下：如图，在正方形DEFG中，四边形HENM、MNFP、DHPG都是矩形，且HN=NP=HG．HE=PF，∠E=∠F=90°，
∴Rt△HEN≌Rt△PFN，
∴EN=NF，S
=S矩形MNFP．
矩形HENM
取正方形边长为2，设HD=x，则HE=2﹣x．
在Rt△HEN和Rt△DHG中．
由HN=HG得：EH2+EN2=DH2+DG2．
即：（2﹣x）2+12=x2+22．
解得：．
∴．
∴S
=S矩形MNFP=，S矩形DHPG=．
矩形HENM
∴S
≠S矩形DHPG．
矩形HENM
∴牧童C的划分方案不符合他们商量的划分原则．
点评：根据满足的条件找到线段之间的关系，然后根据勾股定理以及面积公式进行计算．
21、（2009•孝感）某班6名同学组成了一个“帮助他人，快乐自己”的体验小组．他们约定一学期每人至少参加一次公益活动．学期结束后，他们参加公益活动的统计图如图．
（1）这个体验小组一学期参加公益活动的人均次数是3次；
（2）从这6名同学中任选两名同学（不考虑先后顺序），他们参加公益活动的次数恰好相等的概率是多少？
考点：概率公式；条形统计图。

专题：图表型。

分析：根据概率求法，找准两点：
①、全部情况的总数；
②、符合条件的情况数目．
二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：（1）参加这些活动所需人数为1+3×3+2×4=18人，每人参加的次数为=3（次）；（2）设这6名同学中只参加1次公益活动的是A，参加了三次公益活动的是B1、B2、B3，参加了四次公益活动的是C1、C2，
从中任选两名同学，有AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、B1B2、B1B3、B1C1、B1C2、B2B3、B2C1、
B2C2、B3C1、B3C2、C1C2共15种情况．（6分）
参加公益活动次数相等的有B1B2、B1B3、B2B3、C1C2共4种情况，（8分）
所求概率．（10分）
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
22、（2009•孝感）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．
考点：切线的判定。

专题：计算题；证明题。

分析：（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OB，求证∠OBP=90°即可；
（2）连接OP，交AB于点D，求半径时，可以证明△APO∽△DPA，还可证明△PAO∽△ABC，在Rt△OAP中利用勾股定理．
解答：证明：（1）连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO=∠PBO．（2分）
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．（4分）
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线，（5分）
说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB．
（2）解：连接OP，交AB于点D，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，（7分）
∴∠PAO=∠PDA=90°．
又∵∠APO=∠DPA，
∴△APO∽△DPA，
∴，
∴AP2=PO•DP．
又∵OD=BC=，
∴PO（PO﹣OD）=AP2，
即：PO2﹣PO=，
解得PO=2，（9分）
在Rt△APO中，，即⊙O的半径为1．（10分）
说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质，及勾股定理的运用．
23、（2009•孝感）已知抛物线y=x2+kx﹣k2（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴交于M、N两点，若这两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值．
考点：二次函数综合题。

专题：代数综合题。

分析：（1）可让y=0，然后证所得的一元二次方程满足△＞0即可．
（2）根据（1）的一元二次方程可求出方程的两个根，也就是M、N两点的横坐标，根据给出的条件，可得出M点横坐标的绝对值要大于N的横坐标的绝对值，因此可据此确定M、N两点的坐标，即可得出OM，ON的长，然后代入给出的等量关系中，即可求出k的值．
解答：解：（1）△=k2﹣4×1+（﹣k2）=4k2
∵k＞0，
∴△=4k2＞0．
∴此抛物线与x轴总有两个交点．
（2）方程x2+kx﹣k2=0的解是：
x=k或x=﹣k．
∵，
∴OM＞ON．
∵k＞0，
∴M（﹣k，0），N（k，0），
∴OM=k，ON=k．
∴，
解得k=2．
点评：本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数的y值为0时就可转化成一元二次方程．
24、（2009•孝感）5月份，某品牌衬衣正式上市销售．5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0．设该品牌衬衣的日销量为p （件），销售日期为n（日），p与n之间的关系如图所示．
（1）写出p关于n的函数关系式p=（注明n的取值范围）；
（2）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌衬衣本月在市面的流行期是多少天？
（3）该品牌衬衣本月共销售了4335件．
考点：一次函数的应用；分段函数。

专题：阅读型；图表型。

分析：（1）因为5月1日的销售量为10件，5月2日的销售量为35件，以后每天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，至此，每天的销售量比前一天少15件，直到5月31日销售量为0，所以
（2）分1≤n≤12时和12＜n≤31两种情况列出不等式，分别求出n的取值范围即可；
（3）以12日为界，前后是两个等差数列当1≤n≤12时，首项a1=10，末项a12=285，项数 k1=12 所以和 s1=（10+285）×=1770 当 12＜n≤31时，首项a13=270，末项a31=0，项数 k2=19 所以和
s1=270×=2565，再求出其和即可．
解答：解：此题的关键是销售量转折点日期的确定设5月x日是最后一天销售量增加的日期据题意，
有10+25（x﹣1）=15（31﹣x，解得 x=12，
因此（1）10+25（n﹣1），1≤n≤12；
p=15（31﹣n），12＜n≤31．
故；
（2）当1≤n≤12时，若 10+25（n﹣1）＞150解得 n＞，
考虑实际日期，应从7日起算，此段时间流行期为12﹣7+1=6天，
当12＜n≤31时，15（31﹣n）＞150，解得 n＜21，
故此段流行期为20﹣12=8天因此，本月流行期为 6+8=14天；
（3）以12日为界，前后是两个等差数列
当1≤n≤12时，首项a1=10，末项a12=285，项数 k1=12
所以和 s1=（10+285）×=1770 当 12＜n≤31时，
首项a13=270，末项a31=0，项数 k2=19 所以和 s1=270×=2565，
所以本月共销售了1770+2565=4335件．
点评：本题需仔细观察图象，利用分段函数解决问题．
25、（2009•孝感）如图，点P是双曲线（k1＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k2＜|k1|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S1=k2﹣k1（用含k1、k2的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（﹣4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S2=S△PEF﹣S△OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
考点：反比例函数综合题。

专题：压轴题；动点型。

分析：（1）由反比例函数的图形和性质可知：四边形OAPB面积为K1，△OAE与△OBF面积之和为K2，可求四边形PEOF的面积；
（2）①根据题意，易写点A、B、E、F坐标，可求线段PA、PE、PB、PF的长，发现PA：
PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依据相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，从而得出EF与AB的位置关系．
②如果过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由S△EFQ=S△PEF，可得出S2的表达式，然后根据自变量的取值范围得出结果．
解答：解：（1）四边形PEOF的面积S1=四边形PAOB的面积+三角形OAE的面积+三角形OBF的面积=|k1|+k2=k2﹣k1；（3分）
（2）①EF∥AB．（4分）
证明：如图，由题意可得A（﹣4，0），B（0，3），，，∴PA=3，PE=，PB=4，PF=
∴，
∴（6分）
又∵∠APB=∠EPF
∴△APB∽△EPF
∴∠PAB=∠PEF
∴EF∥AB；（7分）
②S2没有最小值，理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q，
由上知M（0，），N（，0），Q（，）（8分）
而S△EFQ=S△PEF
∴S2=S△PEF﹣S△OEF=S△EFQ﹣S△OEF=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN
=
=
=（10分）
当k2＞﹣6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12，（11分）
∴0＜S2＜24，S2没有最小值．（12分）
说明：（a）证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．
方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；
方法二：利用tan∠PAB=tan∠PEF来证明AB∥EF；
方法三：连接AF、BE，利用S△AEF=S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．
（b）求S2的值时，还可进行如下变形：
S2=S△PEF﹣S△OEF=S△PEF﹣（S四边形PEOF﹣S△PEF）=2S△PEF﹣S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．点评：此题难度较大，主要考查了反比例函数、二次函数的图象性质及相似三角形判定．同学们要熟练掌握相似三角形的判定方法．。