浙教版中考数学复习:圆的综合 (共45张PPT)

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• (2)由2FG=AC可知需证G为Rt△ACF斜边AC上的中点,因为EA=EC,OA=OC, 所以E、O都在AC的垂直平分线上即直线EO垂直平分AC,得证.
• 3)通过证明相似,把∠FGE转化到∠ECO,得到CE=3EF,设EF=x,则EA、EC、 CD、CF都能用x表示,在Rt△OAF里用勾股定理列方程求得x.四边形FECG面 积可由△ACE面积减去△AFG面积,又△AFG面积等于△AFC面积一半,即求 得答案.
解析:
• 解析:(1)证明:圆内接四边形ABCD,AD=BC,∴弧AD=弧BC,∴∠ABD=∠BDC,∴AB∥CD

(2)由(1)知,∠BCE=∠CBA=∠DAO

∵∠CBE=2∠ABD且∠AOD=2∠ABD,∴△ AODO∽△CBE

∴������������ = ������������ = ������������ ,∴ ������������ = ������������2 = 4

设⊙O的半径为r,∵ △OBC的周长为16,∴ CO=8-
r,∴ 8 − ������ 2 + 42 = ������2,解得r=5,CB=6

∴阴影部分面积=2������3������6×052

1 2
×
6
×
4
=
5������������ 36

12
圆的综合:
• (2018秋·海珠区期末)已知:如图,BC为⊙O的弦,点A为⊙O上ー个动点,△OBC 的周长为16.过C作CD∥AB交⊙O于D,BD与AC相交于点P,过点P作PQ∥AB交 于Q,设∠A的度数为 ������.
=
CB CB
=
1,

∵������������
=
2,
∴2
������������
+
2 ������������
=
1,

������������������������+∙������������������������=2.
圆的综合:
• (2019・哈尔滨一模)如图,在⊙O中,CD为⊙0的直径,点A为弧BC的中 点,AF⊥CD,垂足为F,射线AF交CB于点E.

②解:连接OB、OC,

∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°

∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形,

∵CD=CB,I是△BCD的内心,∴OC经过点I,

设OC与BD相交于点F,则CF=BC×sin30°=12BC,BF=BC∙cos30°= 23BC,

所以,BD=2BF=2× 23BC= 3BC,
• 所以,������������ = ������������ − ������������ = 1 ������������ − 2 3−3 ������������ = 2 − 3 BC,
2
2
• OI = OC − CI = BC − 2 − 3 BC = 3 − 1 BC,
• ∵⊙O的半径为3+ 3,∴BC=3+ 3,
3
解析:
• 【分析】(1)由弧AD=弧BC,根据同弧所对的圆周角相等得∠ABD=∠BDC得AB∥CD;

(2)由∠BCE=∠CBA=∠DAO得∠CBE=2∠ABD且∠AOD=2∠ABD;

从而得到△AOD∽△CBE,根据相似比得出结果;

(3)要证FH是⊙0的切线,只须证出DF⊥FH即可,作出辅助线是本题的关键.
• ∴ AE=3 2, AF=2 2, CF=4

∴ S四边形FECG=S△ACE-S△AFG=S△AFC 4−1×2 2×4=4 2
=12AE∙CF-14AF

CF=12
×
3

4
圆的综合:
• (2019·武汉模拟)如图,已知△BAC为圆O内接三角形,AB=AC,D为⊙O上一点, 连接CD、BD,BD与AC交于点E,且������������2 = ������������ ∙ ������������
解9���析���2 −:������2 = 2 2������
• ∵DF=2,∴直径CD=CF+DF= 2 2������ +2,∴ OC=OA= 2������+1,∴ OF=CF-
OC=2 2������-( 2������ +1)= 2������ -1
• ∵������������2 = ������������2 + ������������2,∴ 2������ + 1 2 = 2������ − 1 2 + 2������ 2,解得:������1 = 0(舎 去),������2 = 2
=
������������ ������������
,
������������ ������������
=
������������ ������������
,两
式子相

加可得 2
������������
+
2 ������������
=
1,即可得出 ������������∙������������
������������+������������
解析:

【解答】
①证明:因为������������2
=
������������
·
������������,∴������������
������������
=
������������ ������������
,

又∵AB=AC,∴∠BCE=∠ABC,

∴△BCE∽△ACB,∴∠CBD=∠A,

∵∠A=∠CDB,∴∠CDB=∠CBD.
• (1)如图(1),求证:EA=EC; • (2)如图(2),连接EO并延长交AC于点G,求证:2FG=AC; • (3)如图(3),在(2)的条件下,若sin∠FGE=13,DF=2,求四边形FECG的面积.
解析:
• 【分析】(1)要证EA=EC即需证∠EAC=∠ECA,∠EAC有互余的∠OCA,连接 OA得∠OAC=∠OCA,构造∠OAC的余角.由点A为弧BC中点和半径OA,根据 垂径定理推论,平分弧的直径(半径)垂直于弧所对的弦,故延长AO交BC于H有 ∠AHC=90°,∠OAC的余角即为∠ECA,根据等角的余角相等,得证.
解析:
• 【分析】(1)根据圆周角定理可得∠COB=2∠A=2������;
• ⊙O
(2)当∠ABC=90°时,可得点P与心O重合,根据△OBC的周长为16以及AB=8,可求得

的半径为5,可得出扇形COB的面积以及△OBC的面积,进而得出阴影部分面积;

(3)由CD∥AB∥PQ,可得△
BPQ∽△BDC,△CPQ∽△CAB,即������������������������
• (3)如图1,当PQ=2,������������������������+∙������������������������ 的值.
解析:
• 解析:(3)∵CD∥AB∥PQ,∴△BPQC∽△BDC,△CPQC∽△CAB,

∴������������
������������
=
������������ ������������
• ∴OI=( 3 -1)(3+ 3)=3 3 +3-3- 3 =2 3.

∵ ∠AFG+∠OFG=90°,∴∠CEG=∠OFG

∵ ∠COE=∠GOF,∴△ COE∽△GOF,∴∠OCE=∠OGF

∴sin∠OCE=sin∠OGF=13,∴sin∠OCE=������������������������
=
1 3
• 设EF=x,则AE=CE=3x∴AF=AE-EF=3xーx=2x,CF= ������������2 − ������������2 =
解析:
• 解析:(1)证明:连接OA并延长,交BC于点H

∵点A为弧BC的中点,∴AH⊥BC,∴∠AHC=90°

∴ ∠CAO+∠ACH=90°

∵AF⊥CD,∴ ∠AFC=90°,∴ ∠CAF+∠ACO=90°

∵ OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∴∠CAF=∠ACH

∴ EA=EC

(2)证明:连接OA∵ EA=EC,OA=OC,
2
圆的综合:
• (2018秋・东莞市期末)如图1,圆内接四边形ABCD,AD=BC,AB是⊙O的直径 • (1)求证:AB∥CD; • (2)如图2,连接OD,作∠CBE=2∠ABD,BE交DC的延长线于点E,若AB=6,AD=2,求CE的长; • (3)如图3,延长OB使得BH=OB,DF是⊙O的直径,连接FH,若BD=FH,求证:FH是⊙O的切线.
,
������������ ������������
=
������������ ������������
,

������������ ������������
+
������������ ������������
=
������������ ������������
+
������������ ������������
解析:
• 设△BCD内切圆的半径为r,则S△BCD=12BD·CF= 12(BD+CD+BC)·r,
• 即12 ∙
3 ∙BC∙ 12BC= 12(
3
BC+BC+BC)·r,解得������
=
3 2(2+
3)
������������
=2
3−3 2
������������,即IF=
2
3−3 2
������������
的值.
解析:
• 解析:(1)∵∠A的度数为������,∴∠COB=2∠A=2������

(2)当∠ABC=90°时,AC为⊙O的直径,

∵ CD∥AB,∴∠DCB=180°-90°=90°,∴BD为⊙O的直
径,∴P与圆心O重合,

∵ PQ∥AB交于Q,∴OQ⊥BC,∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱCQ=BQ,

∵ AB=8,∴OQ=12 AB=4,

∴直线EO垂直平分AC,∴ AG=CG

∵ ∠AFC=90°,∴ FG=12AC即2FG=AC
解析:
• 解析:(3)连接OA,∵EG⊥AC,∴∠CGE=90°,∴∠ECG+∠CEG=90°

∵ FGニ12AC=AG,∴∠AFG=∠FAG

∵ ∠ECG=∠FAG=∠AFG,∴∠AFG+∠CEG=90°

又∵DF是⊙O的直径,∴ FH是⊙O的切线.
圆的综合:
• (2018秋·海珠区期末)已知:如图,BC为⊙O的弦,点A为⊙O上ー个动点,△OBC的周长为16.过C作 CD∥AB交⊙O于D,BD与AC相交于点P,过点P作PQ∥AB交于Q,设∠A的度数为 ������.
• (1)如图1,求∠COB的度数(用含������的式子表示); • (2)如图2,若∠ABC=90°时,AB=8,求阴影部分面积(用含������的式子表示);
������������ ������������ ������������
������������ 3

(3)作FM⊥AH于M,∵ ∠ADB=∠AFB=∠DAF=90°,∴四边形AFBD是矩形,

∴ FH=BD=AF,∴ AM=HM, OM=BM

∴ OF=BF=OD,∴ ∠FOH=60°,∠OHF=30°,∠DFH=90°
• ①求证:∠CDB=∠CBD; • ②若∠D=30°,且⊙O的半径为3+ 3,I为△BCD内心,求OI的长.
解析:

【分析】
①先求出������������
������������
=
������������������������,然后求出△BCE和△ACB相似,根据相似三角形对应角相等可得

∠A=∠CBE,再根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB,然后
圆的综合
考情分析:
• 圆作为各地区中考中最特殊的板块,重要性已经无法比 拟.不仅仅长期作为中档题中的最难题存在,而且在高区分度的 选择题、填空题中频繁出现,更为重要的是,从2015年开始,中 考经过调整之后,圆一直作为压轴题的核心,是学生获得高分的 拦路虎.
• 圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理,圆周角定理及其 推论,圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系;切线的判 定,切线的性质,切线长定理,弧长及扇形面积的计算,求阴影 部分的面积等.对圆的考查在中考中以客观题为主,考查题型多 样,关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查, 切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查;

求出∠CDB=∠CBD;

②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出

∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及

三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是
• 解.
三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=DC-CI计算即可得
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