14微积分下(练习题)

南 京 财 经 大 学

2014 —2015 学年 二 学期

微积分（下） 课程练习题

1.本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。

2.考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。

3.不可以使用计算器。

一、填空题（共10小题，每题3分，共计30分）

二、计算题（共7小题，每题7分，共计49分）

三、应用题（共2小题，每题8分，共计16分）

四、证明题（共1小题，每题5分，共计5分）

一、填空题（共10小题，每题3分，共计30分）

答题要求：只写最简答案

1.已知二元函数y)(x, f z =在点（1，0）处的两个偏导数存在，且41

)0,1('=x f ，则=--+→h

h f h f h 2)0,51()0,31(lim 0 . 2．函数22221)

1arcsin(),(y

x y x y x f ----=的定义域是 .

3．=+-++-→2222)0,1(),()1-(39)1(lim y x y x y x .

4.设)0(2>=y y z x ，则全微分dz = .

5. 设函数⎰=342sin )(x

tdt t x f ，则=)('92

πf . 6. =⎰→3002arctan lim x tdt x x .

7．广义积分⎰+∞

+11

4p x dx 当非负常数p 满足条件 时收敛. 8.由曲线 x

y 2e =，轴 y ，21 =x 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积=V .

9．把 ()⎰⎰-1022,y

y dx y x f dy 交换积分次序 .

10.把 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+3090

222x dy y x f dx 化为极坐标形式 .

三、计算题（共7小题，每题7分，共计49分） 答题要求：把答题过程书写清楚，整洁

1. 设 )- ,(22

y x y x f z =,其中f 具有连续的二阶偏导数，求y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,. 2. 设 ) ,2(2

y x xy f z -=,其中f 具有连续的二阶偏导数，求y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,. 3.计算定积分⎰-210

221x dx x . 4.计算定积分⎰1-2

-42

1-x dx

x . 5.计算二重积分 ⎰⎰D

ydxdy x 2，其中D 由曲线2x y =及x y =2所围的区域.

6.计算二重积分 ⎰⎰D

dxdy x x sin ，其中D 由曲线2y x =及直线x y =所围的区域. 7.计算由曲线2x y =与直线032=--y x 所围成的平面图形的面积.

四、应用题（共 2 小题，每题 8 分，共计 16 分） 答题要求：把答题过程书写清楚，整洁

1.设区域D 由曲线2

2x y =，和2,1==x x 及0=y 所围成，试求（1）该平面图形的面积；（2）该平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.

2.某工厂生产的一种产品同时在两地的市场上销售，两地的需求函数分别为：114.062p q -=，2205.051p q -=，其中1p 和2p 分别为两地销售价格，1q 和2q 分别为两地销售量，总成本函数)(0520021q q C ++=，问厂家应如何确定两地的销售价格，才能使其获取最大的利润？最大利润是多少？

五、证明题（共1小题，每题5分，共计5分） 答题要求：把证明过程写清楚

1. 设)(u f 可微，)(22y x f x z -=

，证明：x

yz y z x x z y =∂∂+∂∂.