20100519_子群与群的陪集分解.
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证明见教科书。
重要子群的实例
证明子群（基本思路）
重要子群的证明
重要子群的证明（续）
命题 6 设 H,KG, 则 （1） HKG （2） HKGHKKH 证 （1）略.
（2）只证必要性 假若h(hH,hK), k(kK,kH)， 则 hkH，否则 k=h-1(hk)H,矛盾. 同理 hkK, 从而 hkHK。 但是 h,kHK, 与 HKG 矛盾。
xe’=x = xe e’=e xx’ = e’ =e = xx-1 x’=x-1
子群判定定理
定理 1 G 是群，H 是 G 的非空子集，则 HG a,bH, abH, b-1H
证：只证充分性. H 非空，存在 a 属于 H， 由条件 2，a-1 属于 H， 有条件 1，有 aa-1 属于 H, 即 e 属于 H.
子群格
偏序集的复习
定义7.19 设R为非空集合A上的关系.如果R是自反的、反对称 的和传递的, 则称R为A上的偏序关系, 记作.
定义7.22 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集, 记作 <A, >.
子群格
G 为群，S={H|HG},偏序集<S,>构成格，称为 G 的子群格。 Klein 四元群，Z12 的子群格.
Lagrange定理的应用
例 1 6 阶群必含 3 阶元. 证 若存在 a，|a|=6, 则 a2 为 3 阶元.
若没有 6 阶元. 如果没有 3 阶元，则 a2 = e, G 为 Abel 群，{a,b.ab.e}为子群，与 Lagrange 定理矛盾.
陪集性质的证明
(4) aHb Ha=Hb 证 必要性. aHb a=h’b b=h’-1a haHa ha=hh’bHb, hbHb hb=hh’-1aHa
(5) Ha=[a] 证 b[a] aRb ab-1R Ha=Hb bHa
正规子群及其判定
Lagrange定理的引理
引理 H 的左陪集和右陪集数相等 f: TS, f(Ha)=a-1H, T,S 分别为右和左陪集的集合 f 的良定义性： Ha=Hb ab-1H (a-1)-1b-1H a-1H=b-1H f(Ha)=f(Hb)
陪集的性质
G 为群，H 是 G 的子群，则 (1) He=H； (2) aHa； (3) HaH； (4) aHb Ha=Hb ab-1H (5) 在 G 上定义二元关系 R, aRbab-1H， 则 R 为等价关系，且[a]R=Ha (6) a,bG, HaHb= 或 Ha=Hb，Ha=G
说明：定义左陪集 aH={ah | hH} 性质类似：abH aH=bH a-1bH
子群的定义与性质
子群定义 子群判别定理 重要子群的实例
生成子群 中心 正规化子群 共轭子群 子群的交 子群格
子群定义
设 G 为群, H 是 G 的非空子集，若 H 关于 G 中运 算构成群，则称 H 为 G 的子群，记作 HG. 如果子群 H 是 G 的真子集，则称为真子群，记作 H<G. 说明：子群 H 就是 G 的子代数. 假若 H 的单位元为 e’, 且 x 在 H 中相对 e’的逆元 为 x’, 则
设<S, >是偏序集,如果 x,yS, {x,y}都有最小上界和最 大下界,则称S关于偏序作成一个格。
子群格（练习）
给定群<Z12, >, 计算下面的生成子群
<0> = {0} <4> = {0,4,8} <6> = ? <2> = ? <3> = ?
群的分解与陪集
陪集定义及其实例
实例 G={e,a,b,c}是Klein四元群, H={e,a}是G的 子群. 那么H的所有的右陪集是 He = {e, a} = H = Ha Hb = {b, c} = Hc
推论： (1) 群的元素的阶是群的阶的因子. 证明：构造子群<a>，|<a>| = |a|. (2) 素数阶群一定是循环群. 证明：|G| = p, p>1, 存在非单位元 a, |a| 的阶是 p 的因子，只能是 |a| = p. 故 G=<a>.
Lagrange定理应用 （练习）
证明6阶群中必含有3阶元
Fra Baidu bibliotek第十章
群与环
上一节的复习
半群 独异点 群
二元运算 +可结合 +可结合
(封闭)
+单位元
+可结合 +单位元 + aS, 有a-1S
V=<S, o> V=<S, o> V=<S, o, e> G
关于群性质的证明题 （复习）
证明元素的阶相等或求元素的阶的方法 证|x|=|y|： 令|x|=r, |y|=s, 验证(x)s=e r|s , 验证(y)r=e s|r 求|x|： 找到 xn =e, 分析 n 的因子.
H 在 G 中的指数[G:H]： H 在 G 中的右（或者左）陪集数
Lagrange定理及其推论
lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 证明：令 G 的不同的陪集为 Ha1,Ha2,…,Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+…+|Har| = |H|r = |H| [G:H] 说明：适用于有限群，逆不一定为真.
证明群的一些基本性质的方法 工具---幂运算规则、结合律、消去律、群方程的解
子代数（复习）
定义 1 设 V=<A,o1,o2,…,or>是代数系统，B 是 A 的非空子集. 若 B 对于 V 中的所有运算封闭（含 0 元运算在内），则 称 V’=<B,o1,o2,…,or>为 V 的子代数，若 BA,子代数 V’称为 V 的真子代数.
平凡子代数：V 是 V 的平凡子代数.除此之外，若 V=<A,o1,o2,…,or>的代数常数集合为 K，且 K 对 V 上所 有的运算封闭，那么<K,o1,o2,…,or>也为 V 的平凡的子 代数.
说明：如果公理是二元运算的性质，子代数与原有代数系统 是同种的；子代数一定存在（至少存在平凡子代数）
子群判定定理（续）
定理 2 G 是群，H 是 G 的非空子集，则 HG a,bH, ab-1H
证 充分性. H bH bH bb-1H eH a, aH ea-1H a-1H a,b, a,bH a,b-1H a(b-1)-1H abH
定理 3 G 是群，H 是 G 的有限非空子集，则 HG a,bH, abH
重要子群的实例
证明子群（基本思路）
重要子群的证明
重要子群的证明（续）
命题 6 设 H,KG, 则 （1） HKG （2） HKGHKKH 证 （1）略.
（2）只证必要性 假若h(hH,hK), k(kK,kH)， 则 hkH，否则 k=h-1(hk)H,矛盾. 同理 hkK, 从而 hkHK。 但是 h,kHK, 与 HKG 矛盾。
xe’=x = xe e’=e xx’ = e’ =e = xx-1 x’=x-1
子群判定定理
定理 1 G 是群，H 是 G 的非空子集，则 HG a,bH, abH, b-1H
证：只证充分性. H 非空，存在 a 属于 H， 由条件 2，a-1 属于 H， 有条件 1，有 aa-1 属于 H, 即 e 属于 H.
子群格
偏序集的复习
定义7.19 设R为非空集合A上的关系.如果R是自反的、反对称 的和传递的, 则称R为A上的偏序关系, 记作.
定义7.22 集合A和A上的偏序关系一起叫做偏序集, 记作 <A, >.
子群格
G 为群，S={H|HG},偏序集<S,>构成格，称为 G 的子群格。 Klein 四元群，Z12 的子群格.
Lagrange定理的应用
例 1 6 阶群必含 3 阶元. 证 若存在 a，|a|=6, 则 a2 为 3 阶元.
若没有 6 阶元. 如果没有 3 阶元，则 a2 = e, G 为 Abel 群，{a,b.ab.e}为子群，与 Lagrange 定理矛盾.
陪集性质的证明
(4) aHb Ha=Hb 证 必要性. aHb a=h’b b=h’-1a haHa ha=hh’bHb, hbHb hb=hh’-1aHa
(5) Ha=[a] 证 b[a] aRb ab-1R Ha=Hb bHa
正规子群及其判定
Lagrange定理的引理
引理 H 的左陪集和右陪集数相等 f: TS, f(Ha)=a-1H, T,S 分别为右和左陪集的集合 f 的良定义性： Ha=Hb ab-1H (a-1)-1b-1H a-1H=b-1H f(Ha)=f(Hb)
陪集的性质
G 为群，H 是 G 的子群，则 (1) He=H； (2) aHa； (3) HaH； (4) aHb Ha=Hb ab-1H (5) 在 G 上定义二元关系 R, aRbab-1H， 则 R 为等价关系，且[a]R=Ha (6) a,bG, HaHb= 或 Ha=Hb，Ha=G
说明：定义左陪集 aH={ah | hH} 性质类似：abH aH=bH a-1bH
子群的定义与性质
子群定义 子群判别定理 重要子群的实例
生成子群 中心 正规化子群 共轭子群 子群的交 子群格
子群定义
设 G 为群, H 是 G 的非空子集，若 H 关于 G 中运 算构成群，则称 H 为 G 的子群，记作 HG. 如果子群 H 是 G 的真子集，则称为真子群，记作 H<G. 说明：子群 H 就是 G 的子代数. 假若 H 的单位元为 e’, 且 x 在 H 中相对 e’的逆元 为 x’, 则
设<S, >是偏序集,如果 x,yS, {x,y}都有最小上界和最 大下界,则称S关于偏序作成一个格。
子群格（练习）
给定群<Z12, >, 计算下面的生成子群
<0> = {0} <4> = {0,4,8} <6> = ? <2> = ? <3> = ?
群的分解与陪集
陪集定义及其实例
实例 G={e,a,b,c}是Klein四元群, H={e,a}是G的 子群. 那么H的所有的右陪集是 He = {e, a} = H = Ha Hb = {b, c} = Hc
推论： (1) 群的元素的阶是群的阶的因子. 证明：构造子群<a>，|<a>| = |a|. (2) 素数阶群一定是循环群. 证明：|G| = p, p>1, 存在非单位元 a, |a| 的阶是 p 的因子，只能是 |a| = p. 故 G=<a>.
Lagrange定理应用 （练习）
证明6阶群中必含有3阶元
Fra Baidu bibliotek第十章
群与环
上一节的复习
半群 独异点 群
二元运算 +可结合 +可结合
(封闭)
+单位元
+可结合 +单位元 + aS, 有a-1S
V=<S, o> V=<S, o> V=<S, o, e> G
关于群性质的证明题 （复习）
证明元素的阶相等或求元素的阶的方法 证|x|=|y|： 令|x|=r, |y|=s, 验证(x)s=e r|s , 验证(y)r=e s|r 求|x|： 找到 xn =e, 分析 n 的因子.
H 在 G 中的指数[G:H]： H 在 G 中的右（或者左）陪集数
Lagrange定理及其推论
lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 证明：令 G 的不同的陪集为 Ha1,Ha2,…,Har, |G| = |Ha1|+|Ha2|+…+|Har| = |H|r = |H| [G:H] 说明：适用于有限群，逆不一定为真.
证明群的一些基本性质的方法 工具---幂运算规则、结合律、消去律、群方程的解
子代数（复习）
定义 1 设 V=<A,o1,o2,…,or>是代数系统，B 是 A 的非空子集. 若 B 对于 V 中的所有运算封闭（含 0 元运算在内），则 称 V’=<B,o1,o2,…,or>为 V 的子代数，若 BA,子代数 V’称为 V 的真子代数.
平凡子代数：V 是 V 的平凡子代数.除此之外，若 V=<A,o1,o2,…,or>的代数常数集合为 K，且 K 对 V 上所 有的运算封闭，那么<K,o1,o2,…,or>也为 V 的平凡的子 代数.
说明：如果公理是二元运算的性质，子代数与原有代数系统 是同种的；子代数一定存在（至少存在平凡子代数）
子群判定定理（续）
定理 2 G 是群，H 是 G 的非空子集，则 HG a,bH, ab-1H
证 充分性. H bH bH bb-1H eH a, aH ea-1H a-1H a,b, a,bH a,b-1H a(b-1)-1H abH
定理 3 G 是群，H 是 G 的有限非空子集，则 HG a,bH, abH