点到平面的距离的七种求法
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例（2005年福建高考题）如图1，直二面角E ABD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE，F 为CE 上的点，且BF平面ACE.(Ⅰ)求证：AE 平面BCE ；(Ⅱ)求二面角E ACB的大小；(Ⅲ)求点D 到平面ACE 的距离.FEDCBA图1(Ⅰ)、(Ⅱ)解略，(Ⅲ)解如下：一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图2,A,,l , l AM,则AM.AM 为点A 到平面的距离.图2解：如图3，过点A 作AG EC ，连结CG DG,，则平面ADG ∥平面BCE ，∵平面BCE 平面ACE ，∴平面ADG 平面ACE ，作,AG DH垂足为H ，则DH平面ACE.∴DH 是点D 到平面ACE 的距离. 在ADG Rt 中，.332622AGDG AD DHABCDEFGH图3二、平行线法如图4,l A ,l ∥,B 为l 上任意一点, AM,BN,则BN AM.点A到平面的距离转化为平行于平面的直线l 到平面的距离，再转化为直线l上任意一点B 到平面的距离.图4解：如图5，过点D 作DMAE ，连结CM ，则DM ∥平面ACE ，点D 到平面ACE 的距离转化为直线DM 到平面ACE 的距离，再转化为点M 到平面ACE 的距离.作,CE MN垂足为N ，∵平面CEM 平面ACE ，∴MN平面ACE ，∴MN 是点M 到平面ACE 的距离. 在CEM Rt 中，.332622CECMEM MNN MABCDEF图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7, O l，l BA,, AM ,BN,若t BOAO ,则BN t AM .点A 到平面的距离转化为求直线l 上的点B 到平面的距离.图6图7解：如图8，BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面Q ACE，∵BQ DQ，∴点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ∵平面BCE平面ACE ，BF平面ACE ，∴BF 是点B 到平面ACE 的距离. 在BCE Rt 中，.332622CEBE BC BFQ ABCDEF图8四、线面角法如图9，OP 为平面的一条斜线，OP A ，l OA，OP 与所成的角为，A 到平面的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有sin l d.经过OP 与垂直的平面与相交，交线与OP 所成的锐角就是OP 与所成的角，这里并不强求要作出A 在上的射影B ，连结OB 得.图9解：如图10，∵BF 平面ACE ，∴平面BDF平面ACE ，BQF 为DQ 与平面A C E 所成的角为,则点D 到平面A C E 的距离sinDQ d.由(Ⅱ)知二面角E ACB的正弦值为36，得36sin.∴D 到平面ACE 的距离332362d.QFEDCBA图10五、二面角法如图11，l ，、所成二面角的大小为，A ，l AB ，a AB ，点A 到平面的距离d AO ，则有sin a d .也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB 的二面角的平面角.图11解：如图12，∵平面ACD 平面ACEAC ，DQ平面ACD ，AC DQ，设二面角E ACD的大小为，则点D 到平面ACE 的距离sinDQ d.由(Ⅱ)知二面角E ACB 的正弦值为36，得36sin.∴D 到平面ACE 的距离332362d.ABCDEFQ图12六、体积法解：如图13，过点E 作AB EO 交AB 于点O ,1OE.∵二面角E ABD为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACDEACEDV V ∴.3131EO ShSACDACEAE 平面BCE ，∴EC AE . ∴.3326221122212121EC AE EO DC AD h∴点D 到平面ACE 的距离为.332OF EDCBA图13七、向量法解：如图14，以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O，AE 平面BCE ，BE 平面BCE ，∴BE AE，在AB O AB AEB Rt 为中,2,的中点，∴1OE,∴).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(C E A ).2,2,0(),0,1,1(ACAE设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x n ，则.022,0,0,0z y y x nAC n AE 即。
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度。
特殊的，当点在平面内时，该点到平面的距离为0。
计算一点到平面的距离，通常可通过向量法或测量法求得。
点到平面距离怎么求
一般方法：
确定一个点的射影（如垂足）位置的方法（分情况）①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角平分线上；③若一条直线与一个角的两边夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角平分线上；④两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上；⑤若三棱锥的侧棱相等或侧棱与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；⑥若三棱锥顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心（或旁心）；
⑦若三棱锥的侧棱相互垂直或各组对棱相互垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
空间几何向量法之点到平面的距离
空间几何向量法之点到平面的距离1、要求一个点到平面的距离,可以分为三个步骤:(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量; (2) 求出该平面的法向量;(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,这就就是该店到平面的距离。
例子:点A 到面α的距离AB n d n•=u u u u r r r(注:AB 为点A 的斜向量,n →就是α面的法向量,点B 就是面α内任意一点。
)2、求立体几何体积(向量法) 体积公式:1、柱体体积公式:.V S h =2、椎体体积公式:1.3V S h =3、球体体积公式:343V R π=课后练习题例题:在三棱锥B —ACD 中,平面ABD ⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=300,求点D 到平面ABC 的距离。
要求平面α外一点P 到平面α的距离,可以在平面α内任取一点A,则点P 到平面α的距离即为d=||PA =⋅建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,21-),B(21213,0,-),C(0,,023),D()0,0,21∴)0,,(2321=,),0,(2123=,)0,,(2321-=设=(x,y,z)为平面α的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0023212123y x AC n z x∴x z x y 3,33-=-= ,可取)3,1,3(-=n代入d =得,1339132323==+d ,即点D 到平面ABC 的距离就是1339。
1、 已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)就是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离、解:设),,(z y x n =就是平面ABC 的一个法向量,则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于就是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r =1749=171749、2、已知四边形ABCD 就是边长为4的正方形,E 、F 分别就是AB 与AD 的中点,GC ⊥平面ABCD,且GC=2,求点B 到平面EFG 的距离、解:建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz,则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0),∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0)、设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =,则由0n GE =g 及0n GF =g ,得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒x=y z 3y⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于就是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=、 3、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求点C 1到平面A 1BD 的距离。
点到平面距离的若干求解方法
点到平面距离的若干求法1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''= AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E ' A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D '' AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
点到平面的距离公式高等数学
点到平面的距离公式高等数学点到平面的距离公式是高等数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍点到平面的距离公式的定义、推导过程和应用，并深入探讨其背后的数学原理和几何意义。
一、点到平面的距离公式的定义点到平面的距离公式是指，给定一个点P和一个平面Π，求点P 到平面Π的距离d。
这个距离可以看作是点P到平面Π上最近点的距离。
点到平面的距离公式可以用下面的公式表示：d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a + b + c)其中，(x0, y0, z0)是平面上的一个点，a、b、c是平面的法向量的三个分量，d是平面的截距。
二、点到平面的距离公式的推导过程点到平面的距离公式的推导过程比较复杂，需要使用向量的知识和线性代数的基本概念。
下面我们来简单介绍一下推导的过程。
首先，我们可以将点P到平面Π的距离d看作是点P到平面Π上的某个点Q的距离。
因此，我们需要求出平面Π上的点Q，然后再计算点P到点Q的距离。
为了求出平面Π上的点Q，我们可以使用平面的法向量a、b、c。
假设点Q的坐标为(x, y, z)，那么点Q到平面Π的距离为：d = |ax + by + cz + d| / √(a + b + c)为了使d最小，我们需要让点Q到点P的向量和平面的法向量垂直，即：(PQ)·(a, b, c) = 0其中，(PQ)表示向量PQ的点乘积。
将向量PQ表示为(x-x0, y-y0, z-z0)，并代入上式，我们可以得到：a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0将这个式子化简一下，得到：ax + by + cz + d = 0这个式子就是平面Π的方程。
因此，平面Π上的点Q的坐标为： x = x0 - (ad + bx0 + cy0 + dz0) / (a + b + c)y = y0 - (bd + ay0 + cz0 + dz0) / (a + b + c)z = z0 - (cd + az0 + by0 + dz0) / (a + b + c) 将这个点代入点P到点Q的距离公式中，我们就可以得到点到平面的距离公式。
2021届高考数学立体几何专题：点到平面的距离(学生版)
立体几何专题点到平面的距离定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。
作用：（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成的角；（3）求二面角；方法一：直接法，根据题意得到平面α外一点P 在平面α内的射影O ，建立三角形，解出PO 的长度。
【题型一】根据已知条件直接找出点P 在平面α内的射影。
如：①正棱锥的顶点在底面内的射影是底面正多边形的中心；②侧棱长相等的棱锥的顶点在底面内的射影是底面多边形的外心；③三棱锥P ﹣ABC 的三侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的垂心；【典例】在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=AC ，AB ⊥BC ，求PB 与底面ABC 所成角的大小.【题型二】利用平面与平面垂直的性质定理，找出点P 在平面α内的射影。
【典例1】（2011重庆文）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC=AD=2，BC=CD=1.（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角的正切值。
【典例2】（2012年天津文）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=32，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；（II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
ABCPABCPD ABCD【题型三】根据已知条件，证明PO ⊥α.【典例1】（2016全国Ⅱ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=45，OD′=22，求五棱锥D′﹣ABCFE 的体积【典例2】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，AE =A 1E ，AB =3，BE ⊥EC 1．（1）求BC 1与平面EB 1C 1所成角的正弦值；（2）求四棱锥11E BB C C -的体积．方法二：平行线转移法若直线l ∥α，则直线l 上任意一点到平面α的距离相等。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式引言在三维空间中，我们经常会遇到计算点到平面的距离的问题。
这个问题在计算几何、图形学和物理学等领域都有重要的应用。
本文将介绍点到平面的距离公式及其推导过程，并给出常见的应用场景。
点到平面的距离公式推导在三维空间中，平面可以用一个点和与其垂直的法向量来表示。
假设平面上的一个点为P(x1, y1, z1)，平面的法向量为N(n1, n2, n3)，我们要计算点P与平面之间的距离。
首先，我们可以在平面上选取一点A(x, y, z)，它到平面的距离与点P到平面的距离相等。
我们可以通过向量运算得到点A和点P之间的向量PA：PA = P - A = (x1 - x, y1 - y, z1 - z)由于向量PA与平面的法向量N垂直，根据向量的点积运算，我们可以得到：PA · N = 0即：(x1 - x, y1 - y, z1 - z) · (n1, n2, n3) = 0展开上式得到：(n1 * (x1 - x)) + (n2 * (y1 - y)) + (n3 * (z1 - z)) = 0进一步整理得到：n1 * x1 + n2 * y1 + n3 * z1 = n1 * x + n2 * y + n3 * z这个方程描述了平面上任意一点A的坐标满足的条件。
点P到平面的距离可以定义为点P到平面上任意一点A的距离，即：d = |PA|将向量PA代入上式并展开得到：d = |(x1 - x, y1 - y, z1 - z)|根据向量的模运算的定义，可以得到：d = sqrt((x1 - x)^2 + (y1 - y)^2 + (z1 - z)^2)这就是点到平面的距离公式。
应用场景点到平面的距离公式在三维几何计算中有广泛的应用。
以下列举了一些常见的应用场景。
1. 三维坐标系中的点投影在三维坐标系中，我们经常需要计算一个点在某个平面上的投影。
通过点到平面的距离公式，我们可以计算出距离最近的平面上的点，从而得到点在该平面上的投影坐标。
(完整版)点面距离的求解
例1：如图：在四面体P-ABC中，
PC⊥平面ABC， AB=BC=CA=PC=a，
求B到面PAC的距离。
A
M C
分析：由PC⊥平面ABC，PC 面PAC可得，
面ABC⊥面PAC，又面ABC过点B，面ABC∩
面PAC=AC，所以过B作BM⊥AC于M，即可
得BM⊥面PAC。而三角形ABC为等边三角形
故
面的一条斜线。BC = AB cos AB,CB = AB cos AB, n
r
uuur r uuur r uuur AB • n AB • n = AB uuur r = r
n B
AB n
n
uuur r
AB • n
∴点B到平面的距离为 r
n
CA
uuur
r
(实质是 BA在法向量 n 方向上的正投影的数量绝对值)
POC，过C作CH⊥PO于H，则
A
C
CH⊥面PAB，后在等腰△POC中 计算出CH即可。
O B
《点面距离》
7
1
例5如图，正三棱锥P-ABC 中，侧棱长为6，底面边长为4， 求C面PAB 的距离。
P
分析：△PAB全等于△PAC，
过C作CE⊥PA于E，连BE则
BE⊥PA，所以PA⊥面BCE，
又面PAB故面BCE⊥面PAB，
后在 Rt △ A1D1E 中进行计算
即可。
《点面距离》
4
1
延伸·拓展
【5. 解如题图回所顾示】，解已答知求AB距C离D是的矩问形题，，A注B意=a距，离AD之=间b，的P相A 互 ⊥平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点. 转求化：，(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离.
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
点到平面距离公式的七种推导方法探讨
点到平面距离公式的七种推导方法探讨
《点到平面距离公式的七种推导方法探讨》
点到平面距离公式是几何学中的重要概念，它的推导有七种方法。
第一种方法是几何解法，利用点到直线距离的推导，可以求出点到平面的距离。
第二种方法是利用向量解法，可以用一个向量表示点P到平面的距离，从而求出点到平面的距离。
第三种方法是极坐标解法，可以利用极坐标的概念，将点P到平面的距离表示出来，从而求出点到平面的距离。
第四种方法是利用分段函数解法，可以将点P到平面的距离表示成一个分段函数，从而求出点到平面的距离。
第五种方法是利用复数解法，可以将点P到平面的距离表示成一个复数，从而求出点到平面的距离。
第六种方法是利用微分解法，可以利用微分的方法，将点P到平面的距离表示出来，从而求出点到平面的距离。
第七种方法是利用数学分析解法，可以利用数学分析的方法，将点P到平面的距离表示出来，从而求出点到平面的距离。
以上就是点到平面距离公式的七种推导方法，它们都有各自的优势，可以根据不同的情况选择不同的推导方法来求出点到平面的距离。
点到平面的距离
1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P
A
练习：
1已知线段AB不在平面内，A、B两点到平面 的距离分别是1和3，那么线段AB的中点到 平面的距离是 2或１。
B M A
B'
M'
A'
2.如图，AB是⊙O的 直径，PA⊥平面⊙O， C为圆周上一点，若 AB＝5，AC＝2，求 B到平面PAC的距离。
（1）求GF与面ABCD所成角的余弦值。
例1、边长为4的正方形ABCD外有一点G， GC ⊥平面ABCD，G到平面ABCD的距离为 2。E、F分别为AB、AD中点。
（2）求二面角G-EF-C的余弦值
H
例1、边长为4的正方形ABCD外有一点G， GC ⊥平面ABCD，G到平面ABCD的距离为 2。E、F分别为AB、AD中点。
（3）求点O到平面EFG的距离
例1、边长为4的正方形ABCD外有一点G， GC ⊥平面ABCD，G到平面ABCD的距离为 2。E、F分别为AB、AD中点。
（3）求点O到平面EFG的距离
3.如图，已知D为△ABC外一点，DA、DB、 DC两两垂直，且DA＝DB＝DC＝3，求D 点到平面ABC的距离。
例1、边长为4的正方形ABCD外有一点G， GC ⊥平面ABCD，G到平面ABCD的距离为 2。E、F分别为AB、AD中点。
（1）求GF与面ABCD所成角的余弦值。
（2）求二面角G-EF-C的余弦值
（3）求点O到
平面EFG的距离
例1、边长为4的正方形ABCD外有一点G， GC ⊥平面ABCD，G到平面ABCD的距离为 2。E、F分别为AB、AD中点。
D
C'