高中数学常考二级结论及其应用
高中数学解题必备的50个二级结论
高中数学解题必备的50个二级结论高中数学是学习数学的一个重要阶段，其中涉及了许多重要的知识点和二级结论。
下面是描述高中数学解题必备的50个二级结论，分别介绍了代数、几何、概率与统计等方面的知识。
代数部分：1.二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，开口方向由二次项系数的正负决定。
2.一次函数与二次函数的交点：一次函数与二次函数的交点可以通过联立方程求解。
3.四则运算的性质：四则运算中有交换律、结合律和分配律。
4.指数与对数：指数与对数是互为反函数的关系，可以相互转化。
5.多项式的乘法和因式分解：多项式的乘法可以使用“分配律”和“乘法公式”进行，而因式分解则需要找到公因式或适用特定公式。
6.方程与不等式的解法：方程的解可以通过移项和变形等方法求解，而不等式的解需要通过区间判断和不等式性质来分析。
7.绝对值的性质：绝对值满足非负性和模长性，可以用来解决含绝对值的方程和不等式。
8.平方根与完全平方公式：平方根可以通过开根号求解，完全平方公式则可以将差平方形式转化为二次项的平方差形式。
9.分式的基本性质：分式有约分、通分、加减乘除等基本操作。
10.勾股定理与三角函数：勾股定理可以用来求解直角三角形的边长关系，三角函数则是用来描述角度与边长之间的关系。
几何部分：11.平行线和垂直线：平行线的判定通过线与线的夹角和线的斜率来判断，垂直线则是与平行线相反的概念。
12.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度，可以用来求解三角形的角度关系。
13.直角三角形的性质：直角三角形中的斜边是两腿上的高，可以应用勾股定理和正弦、余弦、正切等三角函数来求解。
14.同心圆的性质：同心圆是以同一个圆心的半径不同的多个圆，有一些特殊的性质，如与同心圆相切的直线相等。
15.圆的切线和切点：圆与切线的交点叫做切点，切线与半径的夹角是直角。
16.弧长与扇形面积：弧长可以通过弧度计算，扇形面积是弧长与半径乘积的一半。
17.直线与圆的位置关系：直线与圆可以相离、相切或相交，要注意判断交点个数和位置。
高中数学中二级结论的应用举例
结论1：在椭圆上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值（注：若椭圆焦点在y轴上时，即，则定值为）。
证明：设原点为O，A（），B（）是椭圆上的任意不同的两点，P（）是弦AB中点。
，由以上几式可得：。
可转化为，即。
结论2：双曲线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为定值（注：若双曲线为焦点在y轴上的形式，则定值为）。
证明：设原点为O，A（），B（）是双曲线上的任意两个不同的点，P（）是弦AB的中点。
由以上几式可得：。
可转化为，即。
结论3：抛物线上不与坐标轴平行的弦的斜率与该弦中点和坐标原点连线的斜率之积为（为弦中点的横坐标）。
证明：设原点为O，A（），B（）为上任意两个不同的点，P（）为弦AB中点。
可得：两边同除以（）得：即得：。
解决圆锥曲线中有关弦的斜率与中点坐标问题时，用“设而不求，代点作差”解题较麻烦，运用上述结论解题，简捷快速。
例1、求中心在原点O，一焦点为（0，），截直线所得弦的中点横坐标为的椭圆的方程。
解：设与椭圆交于A（），B（），AB中点为P（），。
P（）在上得，由上述结论知，而。
所以。
由题意知。
解得，故椭圆方程为。
例2、求与椭圆相交于A、B两点并且线段AB中点为（1，1）的直线方程。
解：设原点为O，A（），B（），AB中点坐标为P（1，1）。
由上述结论知，而，所以。
所求直线方程为。
例3、已知双曲线，求以A（2，1）为中点的弦的方程。
解：设原点为O，M（），N（），则所求直线斜率，，。
由结论知，而，所以。
所求直线方程为，即。
例4、双曲线中心在原点，且一个焦点为F（，0），直线与双曲线交于M、N两点，MN中点P的横坐标为，求双曲线方程。
解：设原点为O，因为一个焦点为F（，0），所以可设双曲线方程为（a>b，b>0）。
MN中点P在上，得。
的斜率为1，而，所以。
又因为，所以，。
则双曲线方程为。
例5、直线与抛物线交于A、B两点，AB中点横坐标为2，则k的值为（）A. －1B. 2C. －1或2D. 以上都不是解：设原点为O，AB中点为P（），则。
高中高考数学所有二级结论《[完整版]》
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高中高考数学所有二级结论《[完整版]》一、几何结论1、关于点1.1 同一直线上三点，若其中两点间距相等，则三点共线；1.2 直线平分线定理：若直线Ⅰ平分线段AB，则AM/MB=1；1.3 直线的垂直平分线定理：若直线Ⅰ对AB的垂直平分线，则M是A、B中点；1.4 同一直线出发点，夹萝卜角度相等，终足点也在同一直线上；1.5 同一直线上三点，至少有2点共线；1.6 若任意一点位于AB的延长线上，则距AB同侧的距离相等；2、关于直线2.1 齐次直线：若直线上所有点满足y=ax+b，则直线称为齐次直线；2.2 相交线定理：若两条直线相交，则它们的夹角一定是锐角；2.3 相等的夹角可以定位：若两条直线的夹角为有限尺寸夹角，则它们可以定位；2.4 两平行线定理：若两条直线平行，则它们过同一直线上的任意一点都相等；2.5 同一实轴向非相交点所在直线定理：由两条实轴向非相交的直线，所形成的不规则四边形，相较相邻的两边的夹角度数之和为180°；3、关于三角形3.1 相等的边角定理：若两角的大小相等，则它们两理封闭的边也相等；3.2 对角线定理：若一个多边形的对角线相交，则其论线的和为360°；3.3 相等的三角形定理：若三角形的两边和它们之间的夹角相等，则三角形中的任何一点到另外两点的距离也相等；3.4 含有相同角的三角形定理：若两个三角形包含有相同大小的角，则其面积之比，与相应边的比值的平方成正比；3.5 三角形角度和定理：若三角形的三边的长度都不相等，那么它的三内角之和等于180°；3.6 斜边长度定理：若一个三角形的两边长度相等，那么它们所构成的内角一定是锐角；4、关于圆4.1 直径定理：若任意直线与圆相交，则此直线必经过圆心；4.2 垂足定理：若圆上存在一点，使得其到圆心的距离（即圆上点P到垂足M）尽可能的小，则M为圆上某一点P的垂足；4.3 旋转定理：把椭圆上的任意一点A旋转一定的角度，得到的椭圆上的点B，满足AB距离的平方等于AB分别到圆点的距离的积；二、代数结论1、关于一元二次方程1.1 一元二次方程的解：解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个解是：x1=(-b+√（b2-4ac）)/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）)/2a；1.2 求解实数解：若b2-4ac>0，那么它有实数解，若b2-4ac=0，那么它有重根，若b2-4ac<0，则无实数解；2、关于一元三次方程2.1 三次方程的解：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a ≠ 0）的三个实数解为：x1 = [-b + √（b2-3ac）]/3ax2 = [-b - √（b2-3ac）]/6a + i√3/6ax3 = [-b - √（b2-3ac）]/6a - i√3/6a；2.2 求解实数解：若b2-3ac>0，它有三个不同的实数解；若b2-3ac=0，它有重根；若b2-3ac<0，它有三个不同的实数解；3、关于系数代数方程3.1 二次代数方程：若一个二次代数方程ax2+bx+c=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-4ac）/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）/2a；3.2 三次代数方程：若一个三次代数方程ax3+bx2+cx+d=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-3ac）/3a，x2=(-b-√（b2-3ac）/6a + i√3/6a，x3=(-b-√（b2-3ac）/6a - i√3/6a；4、关于函数4.1 闭区间：函数定义域上下端点其值皆有效，叫闭区间；4.2 周期：当变量满足周期函数关系，即变量与函数之间存在正反循环吻合关系时，称其为“周期函数”；4.3 偶函数：若变量x在定义域内变换了一倍角度，f（x）应等于自己，叫作偶函数；4.4 奇函数：若变量x在定义域内变换了一倍定义域，而f（x）值改变了符号，叫作奇函数；5、关于初等函数5.1 线性函数的定义：当关系式为y=ax+b，a、b为有理常数，b≠0时，它称为“线性函数”；5.2 二次曲线的定义：当关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），a、b、c 为有理常数时，它称为“二次曲线”；5.3 对称性：定义域内一点同它的对称点在函数图像上所对应的点总是具有相同的函数值，称为函数具有“对称性”；5.4 反函数定义：当函数f（x）在它的定义域内是一一對應的，可以反求f（x）的值的函数，称为“反函数”；。
高中常用数学二级结论
高中常用数学二级结论高中常用数学二级结论涉及到很多方面，如三角函数、数列、平面几何等。
下面我将就其中一些结论进行详细阐述。
一、三角函数1.极角余弦定理对于任何一个三角形ABC，P点是其内部的一点，则有：cos PAC + cos PAB + cos PBC = 1 + cos ABC这个结论表明，对于任何一个三角形的内部一点P，它到三个角的余弦值之和等于常数1加上余弦值对应的角的和。
2.半角公式对于任意一个角A，在A/2的两遍，设AB，AC分别为A/2的角平分线，有：sin A/2 = √[1-cosA]/2cos A/2 = √[1+cosA]/2tan A/2 = sin A/(1+cosA)这个结论广泛应用于三角函数的计算中，可简化计算过程。
二、数列1. 常见数列的通项公式对于一些经常出现的数列，如等差数列、等比数列、斐波那契数列等，它们都有一个通项公式，来表示第n项的值。
等差数列公式：an = a1 + (n-1)d等比数列公式：an = a1 * q^(n-1)斐波那契数列公式：Fn = Fn-1 + Fn-2这些公式是高中数学里比较基础的知识，掌握它们可以方便我们在求解数列问题时，快速得出所需的值。
2. 递推数列的通项公式对于一些递推数列，其前一项或前几项的值与后一项或后几项的值有一定的联系，可以借助这些联系来求出通项公式。
如Fibonacci数列通项公式：Fn = [φ^n - (1-φ)^n]/√5，其中φ=(1+√5)/2，称为黄金分割数，是一个十分有趣的数学结论，其出现在音乐、美术、建筑等多个领域中。
三、平面几何1. 垂线分割线段对于平面上的一条线段AB，它的中垂线CD，将线段分成两部分，有：AC²- CD²= BC²- CD²这个结论可以应用于平面几何中的很多问题，如求线段的长度、判定三角形的性质等。
2. 等角平分线定理对于任意三角形ABC，AE是其内角BAC的平分线，则有：AB/AC = EB/EC这个结论表明，内角的平分线的性质与外接圆密切相关，在平面几何中有重要的应用。
数学常用二级结论高中
数学常用二级结论高中数学作为一门重要学科，在高中阶段有许多常用的二级结论。
这些结论常常作为基础知识，为高中生进一步学习数学打下坚实基础。
在本文中，将介绍一些高中数学中常用的二级结论。
1.勾股定理：勾股定理是三角形中最为经典的定理之一。
它指出：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
即a2+b2=c2。
这个定理在解决直角三角形问题时非常有用，也是许多数学问题的基础。
2.平行线性质：在平行线和交叉线构成的角对中，对应角相等、同位角相等、内错角相等等性质通常被用作证明和解题的基础。
平行线性质帮助我们理解平行线与交叉线之间的关系，是解决几何问题的关键。
3.圆的性质：高中数学中关于圆的性质也是常见的二级结论。
例如，圆的内角和定理指出：圆上的任意圆心角的角度和等于180度。
这个结论在解决圆相关问题时经常被用到，帮助我们理解圆的特性。
4.全等三角形：全等三角形之间的对应边和对应角相等。
这个结论可以帮助我们在解决三角形相似性问题时进行判定，进一步推导出各个角和边的关系。
5.三角函数关系：正弦、余弦、正切等三角函数的关系也是高中数学中常见的二级结论。
这些函数之间的关系帮助我们计算三角形内角的关系，解决各种三角函数问题。
6.立体几何结论：在立体几何中，例如平行六面体的性质、平面与立体的相交等问题也是高中数学中常见的二级结论。
这些结论帮助我们理解和分析三维立体图形之间的关系，解决空间几何问题。
总结来说，高中数学中的常用二级结论是数学学习中的基础，对于建立数学知识体系、提高解题能力至关重要。
通过熟练掌握和运用这些二级结论，可以更好地理解和应用数学知识，为未来的学习和发展奠定坚实基础。
希望同学们能够认真学习这些结论，灵活运用于解题中，提高数学学习的效率和水平。
1。
高中数学常用二级结论汇总
高中数学常用二级结论汇总1.数列相关的二级结论：(1)等差数列的常用二级结论：-等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2；-等差数列通项公式：an = a1 + (n - 1)d；-等差数列前n项和与末项的关系：Sn = (a1 + an) * n / 2 = an * n - (n - 1) * d / 2(2)等比数列的常用二级结论：-等比数列的前n项和公式：Sn=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中q≠1；-等比数列前n项和与末项的关系：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。
2.几何相关的二级结论：(1)平行线与三角形的二级结论：-平行线分割三角形的比线段互等；-平行线分割三角形的比面积互等；-平行线分割三角形的比任意两条边互等。
(2)相似三角形的二级结论：-三角形内部的直线与角平分线的交点分割三角形的比线段互等；-三角形内部的直线与角平分线的交点分割三角形的比面积互等。
(3)圆的二级结论：-圆心角的度数等于其所对弧的度数；-同弧所对的圆心角相等；-两圆相交弧的度数等于相对的圆心角的度数。
3.解析几何相关的二级结论：(1)直线的方程二级结论：-斜率相等的两条直线平行；-两直线相交于一点的充要条件是斜率不相等。
(2)圆的方程二级结论：-到圆心距离等于半径的点在所述圆上；-圆心到直线的距离等于半径的相交点所对的弦的中点到圆心的距离。
(3)抛物线的二级结论：-在对称轴上等距离的两点与焦点和顶点的距离相等；-抛物线的顶点坐标为(h,k)，则焦点的坐标为(h,k+p)，其中p为焦距。
4.概率与统计相关的二级结论：(1)事件的二级结论：-随机事件A的对立事件记为A'，则P(A')=1-P(A)；-若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)。
(2)条件概率的二级结论：-若事件B发生的条件下，事件A发生的概率为P(A，B)，则P(A，B)=P(A∩B)/P(B)；(3)独立事件的二级结论：-若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)*P(B)。
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高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩1+≥x e x、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx①过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n )25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为S 和S′ ，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k(2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意①ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A③232sin 2sin 2sin ≤++C B A④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++C B A⑪32tan 2tan 2tan≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角①ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么①OAC ,①BAC ,①OAB 三角的余弦关系为：cos①OAC=cos①BAC ·cos①OAB (①BAC 和①OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a b a38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+个人车位租赁合同范本 出租方（甲方）：xxx 身份证号：xxxxxxxxx承租方（乙方）：xxx 身份证号：xxxxxxxxx甲、乙双方经充分协商，现将甲方位于xxxxxxxxx 私家车位租给乙方作为车辆（车牌号：xxxxx ）停放使用，并签订如下车位租赁合同条款，甲、乙双方共同遵守和执行。
常考二级结论及其应用（含答案）班主任说，这是高考数学必会内容
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今天整理的这份常考二级结论及其应用含答案把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家
常考二级结论及其应用（含答案）班主任说，这是高考数学必会内容
今天整理的这份《常考二级结论及其应用（含答案）》把高考试题中经常出现而且教材上有所体现的部分二级结论呈现给大家
部分结论对学生的解题有很好的指导作用,同时对演算结果有精准的验证作用，以便同学们在解答高考题时做到准确、快捷
高中数学解题必备的50个二级结论
高中数学解题必备的50个二级结论高中数学是数学的一个重要阶段，涉及到各种数学概念、定理和方法。
在高中数学中，我们常常会遇到一些常用的二级结论，这些结论在解题时经常会起到关键的作用。
下面是高中数学解题必备的50个二级结论：1.直线与平面的交点个数：直线与平面交于一点、无交点、交于无穷远点。
2.平面与平面的交线情况：平面与平面相交于一条直线、平行、重合。
3.两直线夹角为锐角或钝角，其对应的两对平行线夹角也为锐角或钝角。
4.两相交直线的一对对应角互补，则两相交直线平行。
5.两相交直线的一对对应角互补，则这两条直线必不互相垂直。
6.锐角两边垂直平分线之交点在锐角内部。
7.直线垂直平分线与直线相交，则相交点到直线的两个端点的距离相等。
8.平行线两边的夹角相等。
9.平行线与一直线的交角相等。
10.两直线平行，那么它们的垂直平分线也平行。
11.两平行线之间的距离是不变的。
12.两垂直平分线的交点为原线段的中点。
13.锐角两边垂直平分线的交点到顶点的连线为高。
14.在一个等腰三角形中，底边上的高和底边中点的连线垂直，且互相垂直平分。
15.在一个等腰三角形中，底边上的高和与底边垂直的平分线互相垂直。
16.一个三角形内部的任意一条直线与三角形边平行或垂直，则这条直线分割出的小三角形与原始三角形的形状相似。
17.利用辅助线，可以将一个图形分割为几个形状相似的图形，从而简化计算。
18.在一个等腰三角形中，底边上的中线和高互相垂直。
19.在一个等腰三角形中，底边上的中线和与底边平行的高互相垂直。
20.两个互补角，它们的正弦值、余弦值、正切值互为相反数。
21.两个互补角，它们的正弦值、余弦值、正切值互为倒数。
22.在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
23. sinA是锐角，那么cosA就是钝角。
24.在一个三角形中，两个角的和等于第三个角的补角。
25.任意一个角的余弦的绝对值小于等于1。
26.钝角的正弦的绝对值小于等于1。
高中数学常用二级结论
高中数学常用二级结论在高中数学的学习中，掌握一些常用的二级结论，往往能够帮助我们在解题时节省时间，提高效率。
下面就为大家介绍一些常见且实用的高中数学二级结论。
一、函数部分1、若函数＼（f(x)＼）的图像关于直线＼（x ＝ a\）对称，则＼（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼）；反之，若＼（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），则函数＼（f(x)＼）的图像关于直线＼（x ＝ a\）对称。
这个结论在解决函数对称性问题时非常有用，例如判断函数的对称轴或者根据对称性来简化函数表达式。
2、若函数＼（f(x)＼）是偶函数，则＼（f(x) ＝ f(x)＼）；若函数＼（f(x)＼）是奇函数，则＼（f(x) ＝ f(x)＼）。
利用奇偶性可以简化函数的运算和分析函数的性质。
3、对于函数＼（f(x) ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ＼neq 0\）），当＼（a ＞ 0\）时，函数在＼（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得最小值；当＼（a ＜ 0\）时，函数在＼（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）处取得最大值。
这有助于快速找到二次函数的最值点。
二、三角函数部分1、在三角形＼（ABC\）中，＼（A ＋ B ＋ C ＝＼pi\），则＼（sin(A ＋ B) ＝ sinC\），＼（cos(A ＋ B) ＝ cosC\）。
这对于在三角形中求解三角函数值很有帮助。
2、＼（sin^2\alpha ＋ cos^2\alpha ＝ 1\），＼（tan\alpha ＝＼frac{sin\alpha}｛cos\alpha}＼）（＼（cos\alpha ＼neq 0\））。
这是三角函数中最基本的恒等式，许多问题的解决都基于此。
3、＼（sin(2k\pi ＋＼alpha) ＝ sin\alpha\），＼（cos(2k\pi ＋＼alpha) ＝ cos\alpha\）（＼（k ＼in Z\））。
周期性是三角函数的重要性质之一，这个结论可以帮助我们快速化简一些复杂的三角函数表达式。
高中数学二级结论(经典实用)
高中数学二级结论（经典实用）1、余弦定理：在任何三角形中，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
2、正弦定理：在任何三角形中，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为该三角形的外接圆半径。
3、勾股定理：对于任意直角三角形，斜边的平方等于两条直角边平方和。
4、解二元一次方程组：当方程组$ax+by=c$，$dx+ey=f$的系数矩阵的行列式不为零时，解得$x=\frac{ce-bf}{ae-bd}$，$y=\frac{af-cd}{ae-bd}$。
5、解二次方程：对于方程$ax^2+bx+c=0$，当$\Delta=b^2-4ac>0$时，有两个不同实根$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$；当$\Delta=0$时，有一个实根$x=-\frac{b}{2a}$；当$\Delta<0$时，有两个虚根$x_1=\frac{-b+\sqrt{-\Delta}}{2a}i$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{-\Delta}}{2a}i$。
6、二次函数的解析式：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$，其中$\Delta=b^2-4ac$；当$a>0$时，开口向上，当$a<0$时，开口向下。
7、解一元高次方程：对于方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$，如果存在有理根$p/q$，则必有$p\mid a_0$，$q\mid a_n$，且$p,q$互质。
常考二级结论及其应用(含答案)
0,
1],使得f(
f(
证:
x0)=x0 .
f(
若曲线 y =s
变式 1 设函数 f(
x )= ex +x -a (
a ∈ R,
x0 ,
e为自然对数的底数).
i
nx 上存在 点(
).
y0)使得 f(
f(
y0))=y0 ,则 a 的取值范围是(
1]
C
.[
1,
1+e]
D
.[
e-1 ,
e+1]
A.[
y =l
(
x0 ,
x0))与(
x0),
x0)分别在函数 y =f(
x )与反函数 y =f-1(
x )的图像上 .
f(
f(
!5
1
设点 P 在曲线y = ex 上,点 Q 在曲线y =l
n(
2x )上,则 |PQ | 的最小值为(
2
).
1-l
n2)
C.
1+l
n2
D.2(
1+l
n2)
A.1-l
n2
B.2(
x )]在 D 上是增函数;若f(
x )与g(
x )的单调性相反,则y =f[
x )]在 D 上是减
g(
g(
函数,即“同增异减”.
特别地,若f(
x )是 定义域 D 上的单调函数,且方程f[
x )]=x 在D 上有解为
f(
x0 ,则 f(
x0)=x0 .
!7
对于定义域为[
0,
1]的连续函数 f(
x ),如果同时满足以下 3 个条件:
高中数学常用二级结论大全
高中数学常用二级结论大全引言：在高中数学学习中，掌握一些常用的二级结论是非常重要的。
这些二级结论能够帮助我们更好地理解和应用各种数学概念，解决问题。
本文将总结和介绍高中数学常用的二级结论，帮助同学们更好地掌握数学知识。
一、三角形相关结论1. 角平分线定理：三角形内角的平分线上的点与对边上的延长线相交，并且与三角形对应的外角相等。
证明：先证明角平分线上的点与对边上的延长线相交，可通过投影定理证明。
假设有一个角A的平分线与对边上的延长线BC相交于点D。
由于AD是角A的平分线，所以∠DAB = ∠DAC，同时由于点D 在角A的平分线上，所以∠DAB = ∠DAC = ∠DCA。
再利用三角形内角和为180°可得∠BAC + ∠ACD = 180°，即角A与角ACD的外角相等，得证。
2. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。
证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C。
构造辅助线AD，使得∠DAB = ∠DAC，由于角DAB与角DAC是等角，所以∠BAD = ∠CAD。
同理可证得∠ACB = ∠ABC。
由于∠BAD +∠DAC + ∠ACB = 180°，可得∠A + ∠B + ∠C = 180°，得证。
二、平行四边形相关结论1. 对角线平分定理：平行四边形的对角线互相平分。
证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
由于ABCD是平行四边形，所以∠ABC = ∠BCD，同时由于AO和CO是直线，所以∠OAB = ∠OCA。
同理可证得∠OBA = ∠ODA。
根据夹角余弦定理，可得AO = CO，BO = DO。
因此，对角线互相平分，得证。
2. 平行四边形性质：平行四边形的对边相等且对角线互相平分。
证明：设平行四边形ABCD的对边AB和CD相等，对角线AC和BD互相平分。
由于ABCD是平行四边形，所以AB ∥ CD，AC ∥ BD。
高中数学常用二级结论大全
高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论1. 立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为是简单n 面体的体积，S 表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC 的内切圆半径为4. 斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.6. 函数ʃ(x)具有对称轴x= a,x=b(a≠b),则ʃ(x) 为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e'≥x+1,e^>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标9. 已知三角形三边x,y,z, 求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如√27, √28, √29):,二、圆锥曲线相关结论10. 若圆的直径端点A(x₁,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为 ( x - x ) ( x - x₂) + (y-y)(y-y₂)=0.11. 椭区的面积S 为S =πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 .推论：①过圆( x -a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,y 。
)的切线方程为 ( x o-a)(x-a)+(y 。
-b)(y-b)=r²;②过椭圆) 上任意一点P(xo,y 。
)的切线方程为③过双曲) 上任意一点P(x₀,y。
) 的切线方程为 1.14. 任意满足ax"+by"=r 的二元方程，过曲线上一点(x₂,y₁) 的切线方程为ax₁x"¹+by₂y"-1=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.①过圆 x ² +y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x₀,o) 的切点弦方程②过椭圆O) 外一点P(xo,y 。
高中数学常用二级结论
引言概述：高中数学是学生学习数学的重要阶段，掌握一些常用的二级结论对于解决数学问题起到积极的推动作用。
本文将详细介绍高中数学常用的二级结论，包括平方差公式、平方和公式、正弦定理、余弦定理以及勾股定理。
通过学习和理解这些结论，学生可以更加灵活地应用于数学问题的解决中，并提高数学思维能力。
正文内容：1.平方差公式：1.1平方差公式的基本形式：(ab)^2=a^22ab+b^21.2平方差公式的应用举例：常用于化简和展开式子，求解特殊等式等。
2.平方和公式：2.1平方和公式的基本形式：(a+b)^2=a^2+2ab+b^22.2平方和公式的应用举例：常用于求两数之和的平方，证明等式等。
3.正弦定理：3.1正弦定理的基本形式：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R为三角形外接圆的半径）3.2正弦定理的应用举例：常用于求解三角形的边长和角度，计算三角形的面积等。
4.余弦定理：4.1余弦定理的基本形式：c^2=a^2+b^22abcosC4.2余弦定理的应用举例：常用于求解三角形的边长和角度，判断三角形的形状等。
5.勾股定理：5.1勾股定理的基本形式：c^2=a^2+b^25.2勾股定理的应用举例：常用于判断三角形是否为直角三角形，求解直角三角形的边长等。
总结：通过学习高中数学中常用的二级结论，我们可以更加灵活地应用于解决数学问题。
平方差公式和平方和公式可以帮助我们化简和展开式子，求解特殊等式；正弦定理和余弦定理可以帮助我们求解三角形的边长和角度，计算面积；勾股定理可以帮助我们判断三角形的形状和求解直角三角形的边长。
掌握这些二级结论对于提高数学思维能力和解决实际问题都有着积极的影响。
因此，在学习高中数学的过程中，我们应该充分理解和巩固这些常用的二级结论，为进一步的学习和应用打下坚实的基础。
高中数学常用二级结论
高中数学常用二级结论高中数学中，有许多常用的二级结论，它们在解题过程中起到了非常重要的作用。
下面将介绍几个常用的二级结论，并对其进行拓展。
1. 勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足勾股定理中的条件，即$a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形一定是直角三角形。
这个结论非常实用，可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。
2. 相等角的余角相等：如果两个角的余角相等，即$angle A$和$angle B$的余角分别为$angle C$和$angle D$，那么$angle A=angle B$。
这个结论可以应用于证明两个角相等的问题。
3. 平行线的夹角关系：如果两条平行线被一条横切线所交，那么所得到的对应角、内错角和同旁内角都相等。
这个结论可以应用于证明平行线的性质和解决一些平行线的几何问题。
4. 同位角的性质：如果两条直线被一条横切线所交，那么所得到的同位角互为补角。
这个结论可以应用于证明同位角的性质和解决一些同位角的几何问题。
5. 三角形内角和定理：任意一个三角形的内角和等于180度，即$angle A + angle B + angle C = 180°$。
这个结论可以应用于解决三角形的内角和问题。
除了上述提到的常用二级结论以外，还有许多其他重要的二级结论，如向量的平行性质、圆的性质等。
在解题过程中，熟练掌握这些二级结论可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。
总之，高中数学常用的二级结论在解题过程中起到了重要的作用，它们帮助我们更好地理解和运用数学知识，提高数学解题的效率和准确性。
因此，我们应该努力掌握这些二级结论，并灵活运用它们解决各类数学问题。
高中数学常用二级结论
高中数学常用二级结论在高中数学中，常常会遇到一些二级结论，这些结论是在数学理论与实际问题中的重要工具。
它们可以帮助我们简化数学问题的分析与求解过程，并且常常有着广泛的应用。
本文将介绍几个常用的高中数学二级结论。
一、角的平分线定理角的平分线定理是高中数学中常见的二级结论之一。
该结论指出，如果一条直线将一个角平分，那么它将把角所在的平面分成两个相等的部分。
也就是说，如果一条直线L将角AOC平分，那么∠BOC = ∠AOC = ∠AOB。
二、正弦定理正弦定理也是高中数学中常用的二级结论之一。
该定理适用于任意三角形，它描述了三角形的边与角之间的关系。
设三角形ABC的三边分别为a、b、c，对应的角为∠A、∠B、∠C，根据正弦定理有以下公式：a/sin∠A = b/sin∠B = c/sin∠C正弦定理在解决三角形的相关问题时具有重要作用，可以通过已知角或边求解未知角或边。
三、余弦定理余弦定理也是高中数学中常用的二级结论之一。
与正弦定理类似，余弦定理适用于任意三角形，它描述了三角形的边与角之间的关系。
设三角形ABC的三边分别为a、b、c，对应的角为∠A、∠B、∠C，根据余弦定理有以下公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos∠C余弦定理在解决三角形的相关问题时也具有重要作用，可以通过已知角或边求解未知角或边。
四、直角三角形三边关系直角三角形是三角形中特殊的一类，其中一个角为90度。
在直角三角形中，有一些二级结论可以简化三角形问题的求解。
其中最常用的是勾股定理，它描述了直角三角形的斜边与两直角边的关系。
设直角三角形ABC的斜边为c，两直角边分别为a、b，根据勾股定理有以下公式：c^2 = a^2 + b^2勾股定理在解决直角三角形问题时非常有用，可以通过已知两边求解第三边的长度，或通过已知两边求解三角形的内角。
五、平行线之间的角关系高中数学中常常涉及到平行线之间的角关系。
其中一些常用的二级结论包括同位角、内错角和同旁内角的性质。
完整版)高中数学常用二级结论大全
完整版)高中数学常用二级结论大全高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论在数学研究中，基础常用结论是我们必须要掌握的。
以下是几个常用的基础结论：1.两个不等式相加，其左边的和大于右边的和。
2.两个不等式相乘，其左边的积大于右边的积。
3.两个相等的式子同时加上或减去一个相同的式子，仍然相等。
二、圆锥曲线相关结论圆锥曲线是高中数学中的重要内容，以下是一些常用的结论：1.椭圆的离心率小于1，双曲线的离心率大于1，抛物线的离心率等于1.2.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上；双曲线的长轴在x轴上，短轴在y轴上；抛物线的对称轴在x轴上或y轴上。
3.椭圆的焦点到中心的距离为c，半轴长为a和b，满足c²=a²-b²；双曲线的焦点到中心的距离为c，半轴长为a和b，满足c²=a²+b²；抛物线的焦点到顶点的距离为p，满足p=1/4a。
三、与角相关结论角是数学中的重要概念，以下是一些与角相关的结论：1.两条互相垂直的直线的斜率之积为-1.2.一条直线与过原点的直线的夹角等于该直线的斜率。
3.余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]；正弦函数和余切函数的定义域为实数集，值域为[-1,1]；正切函数的定义域为实数集，值域为R。
四、数列相关结论数列是数学中的重要内容，以下是一些常用的数列结论：1.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d；等比数列的通项公式为an=a1q^(n-1)。
2.等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)；等比数列的前n项和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
3.斐波那契数列的通项公式为an=1/√5[((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n]。
五、三角形与三角函数相关结论三角形和三角函数是高中数学中的重要内容，以下是一些常用的结论：1.三角形的内角和为180°。
2.正弦定理：a/sin A=b/sin B=c/sin C；余弦定理：a²=b²+c²-2bc cos A。
高中数学常用二级结论
高中数学常用二级结论在高中数学的学习中，掌握一些常用的二级结论可以大大提高解题的效率和准确性。
下面就为大家整理和介绍一些在解题中经常能用到的二级结论。
一、函数相关1、若函数\（f(x)＼）的定义域为\（a,b\），且\（f(x)＼）在\（a,c\）和\（c,b\）上均单调递增（减），则\（f(x)＼）在\（a,b\）上不一定单调递增（减），但如果\（f(x)＼）在\（a,c\）和\（c,b\）上均单调递增（减）且\（f(x)＼）在\（x ＝ c\）处连续，则\（f(x)＼）在\（a,b\）上单调递增（减）。
2、对于函数\（f(x)＼），若\（f(a ＋ x) ＝ f(b x)＼），则函数\（f(x)＼）的图象关于直线\（x ＝＼frac{a ＋ b}｛2}＼）对称。
3、函数\（y ＝ f(x)＼）的图象与直线\（x ＝ a\），＼（x ＝ b\）及\（x\）轴所围成的曲边梯形的面积为\（S ＝＼int_{a}＾｛b} ｜f(x)｜dx\）。
4、若函数\（f(x)＼）为奇函数，且\（f(0)＼）有定义，则\（f(0) ＝0\）。
二、数列相关1、在等差数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）中，若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\）（＼（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q ＼in N^＼）），则\（a_{m} ＋ a_{n} ＝ a_{p} ＋ a_{q}＼）；特别地，若\（m ＋ n ＝ 2p\），则\（a_{m} ＋ a_{n} ＝ 2a_{p}＼）。
2、在等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）中，若\（m ＋ n ＝ p ＋ q\）（＼（m\），＼（n\），＼（p\），＼（q ＼in N^＼）），则\（a_{m} ＼cdot a_{n} ＝ a_{p} ＼cdot a_{q}＼）；特别地，若\（m ＋ n ＝ 2p\），则\（a_{m} ＼cdot a_{n} ＝ a_{p}＾｛2}＼）。
3、若数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的前\（n\）项和为\（S_{n}＼），且\（S_{n} ＝ An^｛2} ＋ Bn ＋ C\）（＼（A\neq 0\）），则当\（C ＝0\）时，数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）为等差数列；当\（C ＼neq 0\）时，数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）从第二项起为等差数列。
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{ } 例 1 设集合A = (x,y)x42 +y162 =1 ,B ={(x,y)|y=3x },则A ∩B 的子集的个数是( ).
A.4
B.3
C .2
D.1
变 式1 已知集合A ={x|x2 -3x +2=0,x ∈ R} ,B ={x|0<x <5,x ∈ N} ,则满足条件A
⊆ C ⫋ B 的集合C 的个数为( ).
B.min[f(m ),f(m
+1)]>
1 4
C.min[f(m ),f(m
+1)]=
1 4
D.min[f(m ),f(m
+1)]≥
1 4
{ 变 式3
设
max{f(x),g(x)}=
定义在
R
上 的 函 数 f(x )满 足 f(x )=
log2(1-x)(x ≤0) f(x -1)-f(x -2)(x
> 0),则 f(2017)=
( ).
A.-1
B.0
C.1
D.2
变式2
已
知
定
义
在
R
上
的
函
数f(x
)满
足f
æ èçx
+
3 2
ö
÷
ø
=
-f(x
),且f(-2)=f(-1)=
-1,f(0)=
(4)若f(x)=f(x +a)+f(x -a)
①
则f(x +a)=f(x +2a)+f(x)
②
① + ② 得,f(x)+f(x +a)=f(x +a)+f(x -a)+f(x +2a)+f(x),
即f(x -a)+f(x +2a)=0,f(x +2a)=-f(x -a),所以f(x +6a)=f[(x +4a)+2a]=
例4
设函数f(x)= (x
+1)(x -4)+tanx x2 -4
的最大值为
M
,最 小 值 为
m ,则
M
+m
=
.
变式1
已 知 函 数 f(x )=ln(
1+9x2
-3x
)
+1,则
f(lg2)+f
æ1 èçlg2
ö
÷
ø
=
(
).
A. -1
B.0
C.1
D.2
变式2 对于函数f(x)=asinx +bx +c(其中a,b ∈ R,c ∈ Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和
A.∃x ∈ R,1 2ax2 -bx ≥ 1 2ax20 -bx0
B.∃x ∈ R,1 2ax2 -bx ≤ 1 2ax20 -bx0
C.∀x ∈ R,1 2ax2 -bx ≥ 1 2ax20 -bx0
D.∀x ∈ R,1 2ax2 -bx ≤ 1 2ax20 -bx0
变式1 若函数f(x)= (1-x2)(x2 +ax +b)的 图 像 关 于 直 线 x =-2 对 称,则 f(x)的 最 大 值
-f[(x +4a)-a]=-f(x +3a)= -f[(x +a)+2a]=f[(x +a)-a]=f(x).
故f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =6a.
例6
已知
函数
f(x)满
足 :f(5)=
1 4
,4f(x)f(y)=f(x
+y)+f(x
-y)(x,y
∈
R),
则f(2015)=
.
{ 变式1
(2)如果f(x +a)=f(1x)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a; (3)如果f(x +a)+f(x)=c(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =2a; (4)如果f(x)=f(x +a)+f(x -a)(a ≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期 T =6a. 证 明 :(1),(2),(3)略 .
高中数学常 考 二 级 结 论 及 其 应 用
纵观中学数学教材,基本上 是 由 题 组 成 的 (除 了 部 分 概 念 的 介 绍),而 高 考 试 题 大 部 分 都 源 于 教 材 .编 教 材 离 不 开 题 ,授 课 离 不 开 题 ,学 数 学 离 不 开 题 ,考 试 更 离 不 开 题 .实 际 上 高 考 试 题 大 都 是 通 过 对教材例题和习题加工、改造、引申、推 广 而 成 的,不 仅 如 此,试 题 的 表 现 方 式 和 语 言 表 达 也 尽 可 能 与 教材保持一致,使考生有一种似曾相识的感觉,所以我们要仔细琢磨,把教 材 上 的 题 研 究 到 位.结 合 高 考 真 题 ,最 终 我 们 独 创 了 “题 型 + 模 型 ”的 全 新 教 学 法 ,本 篇 将 把 高 考 试 题 中 经 常 出 现 而 且 教 材 上 有 所 体 现 的 部 分 二 级 结 论 呈 现 给 大 家 ,部 分 结 论 对 学 生 的 解 题 有 很 好 的 指 导 作 用 ,同 时 对 演 算 结 果 有 精 准 的 验 证 作 用 ,以 便 同 学 们 在 解 答 高 考 题 时 做 到 准 确 、快 捷 .
上 为 减 函 数 ,在
éëêê-2ba,+
∞
ö
÷
ø
上为增函数,
且
在
x
=
-2ba
处
取
得最
小
值
为f
æ bö èç-2aø÷
=4ac4a-b2
,无
最
大值
;
(2)当a
< 0 时 ,f(x )在
æ èç-
∞ ,-2ba ùûúú
上 为 增 函 数 ,在
éëêê-2ba,+
∞
ö
÷
ø
上为减函数,
且
在
x
=
-2ba
是
.
{ 变 式2
定义
min[f(x),g(x)]=
f(x),f(x)≤ g(x),f(x)>
gg((xx)).若
函
数f(x)=x2+tx
+s的
图
像
经过
两
点
(x1,0),(x2,0),且存在整数 m ,使得 m <x1 <x2 < m +1成立,则( ).
A.min[f(m ),f(m
+1)]<
1 4
A.mn
B.m +n
C.n -m
D.m -n
变式2 写出下列命题的否定.
(1)命题p ∨q:A =0或 B =0; (2)命题p ∧q:A =0且 B =0.
结论三
奇函数的最值性质:已知函数f(x)是定义在区间 D 上的奇函数,则对任意的x ∈ D ,都有f(x)+ f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在定义域Df 上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈Df , 则 f(0)=0. 证明:因为f(x)为奇函数,所以 ∀x ∈ D ,-x ∈ D ,且f(-x)=-f(x),即f(x)+f(-x)=0.
例 3 设全集U = {a,b,c,d},集合 A = {a,b},B = {b,c,d},则 (∁UA ) ∪ (∁UB ) =
.
变式1 已知全集U =A ∪ B 中 有 m 个 元 素,(∁UA ) ∪ (∁UB ) 中 有n 个 元 素.若 A ∩ B 非 空,则 A ∩ B 的元素个数为( ).
结论一
1.子集、交集、并集、补集之间的一个关系式:A ⊆B⇔A ∩B = A⇔A ∪B= B⇔A ∩ ∁IB= ∅⇔∁IA ∪ B =I,其中I 为全集. (1)当 A =B 时,显然成立; (2)当 A ⫋ B 时,Venn图如图2-1所示,结论正确.
图 2-1
2.子集个数的问题:若一个集合 A 含 有n(n ∈ N* )个 元 素,则 集 合 A 的 子 集 有 2n 个,非 空 子 集 有 2n -1个.真子集有2n -1个,非空真子集有2n -2个. 理解:A 的子集有2n 个,从每个元素的取舍来理解,例如每个元素都有两种选 择,则n 个 元 素 共 有 2n 种选择.该结论需要掌握并会灵活应用.
{ } A. 1,15
{ } B.
1 ,1 23
{ } C. 0,1,1 5
{ } D. 0,1 2,1 3
临门一脚(含密押三套卷)(理科版)
结论二
交 、并 、补 (且 、或 、非 )之 间 的 关 系 (德 · 摩 根 定 律 ). (1)集合形式:∁I(A ∩ B)= (∁IA ) ∪ (∁IB ) ,∁I(A ∪ B)= (∁IA ) ∩ (∁IB ) ; (2)命题形式:������(p ∧q)=(������p)∨ (������q),������(p ∨q)=(������p)∧ (������q).
变式1 设函数f(x)= ex +x -a (a ∈ R,e为自然对数的底数).若曲线y =sinx 上存在 点(x0, y0)使得f(f(y0))=y0,则a 的取值范围是( ).
A.[1,e]
B.[e-1,1]
C.[1,1+e]
D.[e-1,e+1]
变 式2 若函数y=loga(x2 -ax +1)(a >0且a ≠1)在(1,2)上为增函数,则实数a 的取值范围是
例5