带电粒子的运动轨迹

10.3
故
n=10 次 粒子在每次穿过铝箔后其轨迹形成如图所示的一条“螺
旋线”图形
四 “拱桥”图形
例 4 如图所示,在 x 轴上方有垂直于 xy 平面的匀强磁场, 磁
感应强度为 B,在 x 轴下方有沿 y 轴负方向的匀强电场,场
强为 E，一质量为 m，电量为—q 的粒子从坐标原点 O 沿
着 y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达 x 轴时，它与
Ａ
2 R
2 R R
3 R
B
C
D
v
3v
3v
3v
解析 选Ｄ 过Ｍ，Ｎ两点分别做Ｏ’Ｍ⊥ＯＭ，Ｏ’Ｎ⊥ＯＮ．则粒 子运动轨道形成一“扇面“图形，如图所示，圆心角∠ＭＯ’Ｎ＝
６０＝
又由
mv
r=
=
R
=
3R
和
2m
T=
，得
3
Bq tan 300
Bq
2
T=
3R ，所以电子从 M 到 N 运动时间 t=
T= 3
不会碰板，时间 T= 2m =1×10-4s，即正巧在无电场时离子转 B1q
满一周。易知以后重复上述运动，故轨迹如图所示，形成
“葡萄串”图形
六 “字母 S”图形
例 6 如图所示，一个初速为 0 的带正电的粒子经过 M，N 两平
行板间电场加速后，从 N 板上的孔射出，当带电粒子到达 P 点
时，长方形 abcd 区域中出现大小不变，方向垂直于纸面且交替
O 点的距离为 L，求此时粒子射出时的速度和运动的总路
程（重力不记）
解析 画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥“图形。
由题知粒子轨道半径 R= L ，所以由牛顿定律知粒子运动 4
速率为
v=
BqR
=
BqL
对粒子进入电场后沿 y 轴负方向
m 4m
做减速运动的最大路程 y 由动能定理知： 1 mv2 =qEy，得 2
解析 带电粒子从 S 点出发，在两筒之间的电场力作用下加速， 沿径向穿出 a 而进入磁场区 在洛伦兹力作用下做圆周运动，粒子再回到 S 点的条件是能依 次沿径向穿过狭缝 d，c，b。在各狭缝中粒子在电场力作用下先 减速，在反向加速，然后从新进入磁场区，如图所示 设粒子进
入磁场区时的速度为 v，根据能量守恒有：qU = 1 mv2 设粒子 2
qB 2 L2
y=
所以粒子运动的总路程为 s= qB2 L2 1 L
32 mE
16mE 2
五“葡萄串”图形 例 5 如图（甲）所示，两块水平放置的平行金属板，板长 L=1.4m,板距 d=30cm。两板间有 B=1.25T,垂直于纸面向里的匀强磁场。在两板上加如图（乙）所示的脉冲电压。在 t=0 时， 质量 m=2×10-15kg，电量为 q=1×10-10C 的正离子，以速度为 4×103m/s 从两板中间水平射 入。试求：粒子在板间做什么运动？画出其轨迹。
带电粒子在磁场中的图形赏析
带电粒子在磁场中受到垂直于运动速度方向的洛仑兹力作用而做匀速圆周运动，由于所 受力及初始条件不同，带电粒子在匀强磁场中形成不同的图形。这些图形反映了有关带电粒 子在匀强磁场中运动时的不同特性，研究这些图形，可以直观的得到解题思路和方法，给人 以美的享受，美的启迪。现以例题形式解析在匀强磁场中几种常见的图形。 一．“扇面“图形 例 1 如图所示，在半径为 R 的圆范围内有匀强磁场，一个电子从Ｍ 点沿半径方向以ｖ射入，从Ｎ点射出，速度方向偏转了６０0 则电子 从Ｍ到Ｎ运动的时间是（ ）
图形.由图可知，粒子在 B1 中运动时间 t1=T1= 2m 粒子在 B2 B1q
中的运动时间为 t2= 1 T2= m 所以粒子运动的总时间 t= t1+ 2 B2q
t2= 2m + m = 2m 或 4m B1q B2 q B2q B1q
三． “螺旋线”图形 例 3 如图所示,水平放置的厚度均匀的铝箔,置于匀强磁场中,磁场 方向垂直于纸面向里,一带电粒子进入磁场后在磁场中做匀速圆 周运动,粒子每次穿过铝箔时损失的能量都相同,如图中两圆弧半 径 R=20cm, R=19cm,则该粒子总共能穿过铝箔的次数是多少?
解析 （1）粒子在 M，N 板间加速时由动能定理得到达 P 点时的速度：qU = 1 mv2 即： 2
v=
2qU
=
2 2001.0104 m/s=2×103m/s
方向水平向右。此时 P 点出现垂直于纸面
m
向外的磁场，所以粒子由于受到洛伦兹力做圆周运动的周期为：T= 2m = ×10-3s=2t Bq 2
×
v
2 2
2 3R
=
3R 估选 D。
v
3v
二 “心脏”图形 例 2 如图所示,以 ab 为分界面的两个匀强磁场,方向均垂直于纸 面向里,其磁感应强度 B1=2B2,现有一质量为 m,带电量为+q 的粒 子,从 O 点沿图示方向以速度 v 进入 B1 中,经过时间 t=
粒子重新回到 O 点(重力不计) 解析 粒子重新回到 O 点时其运动轨道如图所示,形成一”心脏”
在洛伦兹力作用下做圆周运动的半径为 R，由洛伦兹力公式和牛
顿定律得：m v 2 =qvB 粒子从 a 到 d 必须经过 3 圆周，所以半
R
4
径 R 必定等于筒的外半径 r0，即 R= r0，由以上各式解得：U= qr0 2 B 2 2m
解析 在第一个 10-4s 内，电场,磁场同时存在，离子受电场力，洛仑兹力分别为 F 电=qE=
qU 5 ×10-7N,方向由左手定则知向上，粒子做匀速直线运动。位移 s=vt=0.4m. 第二个 10-4s d
内，只有磁场，离子做匀速圆周运动，r= mv0 =6.4×10-2m d ,
Bq
4
Bq
Bq 2Bq Bq
例 8 如图两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均 匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a，b，c 和 d，外筒的外半径 为 r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线的匀强磁场， 磁感应强度 B，在两极间加上电压，使两圆筒之间的区域内有 沿半径向外的电场。一质量为 m，带电量为+q 的粒子，从紧 靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发，初速为 0。如果该粒子经过 一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S，则两电极之间的电 压 U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）
解析 由 R= mv 及 EK= 1 mv2 得:：EK= q 2 B 2 R 2 所以每次动
Bq
2
2m
能损失： EK= EK1- EK2= q 2 B 2 R12 — q 2 B 2 R2 2 所以粒子总共能
2m
2m
穿过铝箔的次数：
E1 EK
=
R12 R12 R2 2
0.2 2
=
0.22 0.12
知粒子在 x 轴上方做圆周运动的轨道半径
Bq
r1= mv0 ，在 x 轴下方做圆周运动的轨道半径 r2= mv0 所以 r1=2
BqBiblioteka Baidu
2Bq
r2，现作出带电粒子的运动的轨迹如图所示，形成“心连心”图形
所以粒子第四次经过 x 轴的位置和时间分别为：x=2r1= 2mv 0 ，t=T1+T2= 2m + 2m = 3m
七 “心连心”图形 例 7 如图所示，一理想磁场以 x 轴为界上，下方磁场的磁感应强度 是上方磁感应强度 B 的两倍，今有一质量为 m，带电量为+q 的粒子， 从原点 O 沿 y 轴正方向以速度 v0 射入磁场中，求此粒子从开始进入 磁场到第四次通过 x 轴的位置和时间（忽略重力）
mv
解 析 由 r=
即粒子运动半周磁场方向改变，此时粒子速度方向变为水平向右，故粒子又 在 PQ 右边做匀速圆周运动，以后重复下去，粒子做匀速圆周运动的轨道半
mv
径 r=
=0.5m 所以粒子做半圆周运动个数为 n=
s
=
3.0m
=3 所以带
Bq
2r 2 0.5m
电粒子能与中性粒子相遇。 （2）依（1）知带电粒子的轨迹如图所示，形成“葡萄串”图形
变化的匀强磁场，磁感应强度
B=0.4T,每经过
t=
×10-3s，磁场
4
方向变化一次，粒子到达 P 点时出现的磁场方向指向纸外，在 Q
处有一静止的中性粒子，PQ 距离 s=3.0m，带电粒子的比荷是 1.0
×104C/kg,不计重力。求：（1）加速电压为 200V 时带电粒子能
否与中性粒子碰撞？（2）画出它的轨迹