相似三角形的判定讲义(供参考)
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
专题 相似三角形的判定(二)-讲义
相似三角形的判定(二)主讲教师：黄老师新知新讲思考：(1)在△ABC 和△'''A B C 中，''''''AB BC AC A B B C A C ==，求证△ABC ∽△'''A B C ． (2)类似的我们可以证明在△ABC 和△'''A B C 中，∠A =∠'A ，''''AB AC A B A C =， 则△ABC ∽△'''A B C ．判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 题一：根据下列条件，判断△ABC 与△'''A B C 是否相似，并说明理由：(1)∠A = 40°，AB =8cm ，AC =15cm ，∠'A = 40°，''A B =16cm ，''A C =30cm ；(2)AB =10cm ，BC =8cm ，AC =16cm ，''A B =16cm ，''B C =12.8cm ，''A C =25.6cm ．金题精讲题一：要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长应当是多少？你有几种答案？相似三角形的判定(二)讲义参考答案新知新讲题一：(1)△ABC 与△'''A B C 相似．理由如下： 中和△在△```C B A ABCC B A ABC A A C A ACB A AB '''︒='∠=∠=''=''∽△△4021(2)△ABC 与△'''A B C 相似．理由如下：中和△在△C B A ABC '''C B A ABC C A B A C B AC AB BC '''''''''=∽△△::::金题精讲题一：3．。
相似三角形的判定全课件
两个三角形如果一个对 应角和一组对应边成比 例，则这两个三角形相似。
两个三角形如果一组对 应边和一个对应角成比 例，则这两个三角形相似。
02
CATALOGUE
三角形相似的判定条件
角角角（AAA）判定条件
总结词
不满足相似三角形的判定条件
详细描述
AAA条件仅表明三个角度相等，但边长不一定成比例，因此不能判定三角形相似。
在解决实际问题中的应用
建筑设计
在建筑设计中，可以利用相似三 角形来计算建筑物的尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，可以利用相似三角 形来计算零件的尺寸和比例。
物理学
在物理学中，可以利用相似三角形 来解释和计算物理现象，如光学、 力学等。
04
CATALOGUE
三角形相似的证明方法
直接证明法
定义法
根据相似三角形的定义，证明两 个三角形三边对应成比例，且三 角对应相等，从而判定两个三角
题目2
两个等腰三角形，一个 底角为30°，另一个底 角为45°，如果一个三 角形的顶角为120°，另 一个三角形的顶角为 90°，则这两个三角形 是否相似？
进阶练习题
总结词
考察三角形相似的复杂判定方法和综合应用
题目1
两个等腰三角形，一个底角为45°，另一个底角为60°，如果一个三角形的顶角为90°，另 一个三角形的顶角为120°，则这两个三角形是否相似？
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比例称为相似比。
相似三角形的性质
相似三角形对应角相等， 对应边成比例，面积比等 于相似比的平方。
相似三角形的判定定理
角角判定定理
两个三角形如果两个对 应角相等，则这两个三
角形相似。
相似三角形的判定PPT课件
3.4.1 类似三角形判定的基本定理
复习导入
定义
全等三
角形
三角、三边对应相等
的两个三角形全等
类似三 三角对应相等, 三边对应
角形
成比例的两个三角形类似
判定方法
边
角
边
角
边
角
角
角
边
边
边
边
斜边与直角边
(直角三角形）
探究新知
如图，在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.
∴
=
=
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，
∠AOE=∠ACB，
当堂练习
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，OE∥CB，OF∥CD.试判
断四边形AEOF与四边形ABCD是否类似，并说明理由.
∵OF∥CD，∴△AFO∽△ADC，
∴
=
=
∠FAO=∠DAC，
DE至点F，使DE=EF. 求证：△CFE∽△ABC.
证明 ∵DE∥BC，点D为△ABC的边AB的中点，
∴AE=CE.
又∵DE=FE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CEF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴△CFE∽△ABC.
知识要点
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原
三角形类似．
求证：只要DE//BC，△ADE与△ABC始终类似.
证明：在△ADE与△ABC中，∠A=∠A.
∵DE∥BC，
分析：根据类似三角形的定
义去证明，三角对应相等，
三边对应成比例。
相似三角形的性质与判定专题讲义.doc
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义学生姓名：年级：老师：上课日期：上课时间：上课次数：______年级第______单元课题______——————————————————————————————————[ 课前准备 ]课前检查：作业完成情况：优（）良（）中（）差（）复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ]一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A ．10cm 2B ．14cm 2C ．16cm 2D ．18cm 23．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=4，D 为AB 边上一点，且AD=2，E 为AC 边上一点（不与A 、C 重合），若△ADE 与△ABC 相似，则AE=（ ） A ．2B ．34 C ．3或43 D ．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC 的三条长分别为2cm ，5cm ，6cm ，现将要利用长度为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC 相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ） A ．10cm ，25cm ，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
讲义相似三角形的判定
龙文教育学科教师辅导讲义学生：教师：日期：课题相似三角形教学目标1、理解并掌握相似三角形的定义与判定2、会利用相似三角形解决实际问题重点、难点相似三角形的判定考点与考试要求三角形相似的判定考点一、探索两个三角形相似的类型（一）考点内容分解：1、“宝塔”型（“A字”）与“8字”型2、“交错”型与“双交错”型3、“母子”型（“双垂直”）1、典型特征：①与“平行线”互相依存，对应点在同一直线上；②平行线所分线段对应成比例。
2、典型特征：①对应点相互错开，对应线段相互错开；②一般是通过“两个角对应相等”或“两边对应成比例且夹角相等”来证明。
3、典型特征：①“母子”相似；②“双垂直”定理（“射影”定理）。
（二）典型例题精讲精练：、如图，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC例1分析：图形中相似形较多，不能盲目的取找，先对相似形分类，再寻找．例2分析:利用平行线，求证：例5．如图，已知：是的斜边上的高，为上任意一点，，垂足为求证：（三）针对练习：1．如图，H为ABCD中AD边上一点，且，AC和BH交于点K， 则（ ）A． B． C． D．2．已知：如图，在中，，，的延长线交BC的延长线于N，则的值是（ ）A． B． C． D．3．如图，已知：在中，，于，在上，若于。
求证：4．如图，D在BC上，且，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，求.考点二、探索相似中的证明技巧（一）考点内容分解：1、“乘积式”与“平方式”的证明；2、利用“中间比”进行转化；3、“倍分式”关系的证明。
二）典型例题精讲精练：例01．如图，已知：在中，，，是角平分线，求证：。
例02．如图，P是ABCD的对角线AC上的任一点，EF，MN是过点P 的两直线与ABCD的边分别交于E，F，M，N.求证：.例03．如图，已知：在中，，和是的高。
求证：例04 已知：如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D．求证： BC2＝2CD·AC．例05．已知，如图(1)，，，垂足分别为，，和相交于点，，垂足为，我们可以证明成立（不要求证例01说明：“平方式”证明的方法：①可以用相等的线段代替已知线段，从而创造出平方，②某线段是两个相似三角形的公共边，也可以创造出平方来.例02说明：本题充分利用平行四边形性质和“8字”型相似的特征，寻找中间比来构造相似。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的判定 课件
2．预备定理
平行于三角形一边的直线和其他 文字
两边(或两边的延长线)相交，所构 语言
成的三角形与原三角形相似 图形 语言
在△ABC 中，D，E 分别是 AB， 符号
AC 边上的点，且 DE∥BC，则 语言
△ADE∽△ABC
3.相似三角形的判定定理
(1)判定定理 1：两角对应相等，两三角形相似． (2)判定定理 2：两边对应成比例，且夹角相等，两三 角形相似． (3)判定定理 3：三边对应成比例，两三角形相似．
4．直角三角形相似的判定
(1)两直角三角形有一个锐角相等，两直角三角形相 似．
(2)两直角三角形的两直角边对应成比例，两直角三 角形相似．
(3)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 两直角三角形相似．
温馨提示 在证明直角三角形相似时，要特别注意直 角三角形这一隐含条件的利用．
类型 1 相似三角形的判定(互动探究)
类型 2 利用三角形相似证明比例式或等积式
[典例 2] 如图所示，EF 分别交 AB， AC 于点 F，E，交 BC 的延长线于点 D， AC⊥BC，且 AB·CD＝DE·AC.
求证：AE·CE＝DE·EF. 证明：因为 AB·CD＝DE·AC， 所以DABE＝CADC.
又因为 AC⊥BC， 所以∠ACB＝∠DCE＝90°. 所以△ACB∽△DCE，所以∠A＝∠D. 又因为∠AEF＝∠DEC， 所以△AEF∽△DEC， 所以DAEE＝ECFE.所以 AE·CE＝DE·EF.
相似三角形的判定
1．相似三角形的定义 (1)定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形 叫做相似三角形． (2)相似比(相似系数)：相似三角形对应边的比值． (3)记法：两个三角形相似，用符号“∽”表示．例 如△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′．
相似三角形的判断 课件
证明比例式ac ＝db 或ba＝ac ，再根据比例的基本性质推出乘积式
或平方式．
方法感悟 1．在相似三角形的判定方法中，应用最多的是判定定理 1， 因为它的条件最容易寻求，实际证明当中，要特别注意两个 三角形的公共角，判定定理 2 则常见于连续两次证明相似时， 在第二次使用此定理的情况较多．
2．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件 的利用．
【解析】 因为 PE∥BC，所以∠C＝∠PED. 又因为∠C＝∠A， 所以∠A＝∠PED. 又∠P＝∠P， 所以△PDE∽△PEA，则PPDE＝PPAE，
即 PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故 PE＝ 6.
【答案】 6
考点二 直角三角形相似的判定 例2 如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，顶点 D、C 分别 在 AM、BN 上运动(点 D 不与 A 重合、点 C 不与 B 重合)，E 是 AB 边上的动点(点 E 不与 A、B 重合)，在运动过程中始终 保持 DE⊥EC.
求证：△ADE∽△BEC.
【证明】 因为 DE⊥EC，所以∠DEC＝90°. 所以∠AED＋∠BEC＝90°. 又因为∠A＝∠B＝90°， 所以∠AED＋∠ADE＝90°. 所以∠BEC＝∠ADE，所以△ADE∽△BEC. 【名师点评】 (1)在证明直角三角形相似时，要特别注意直 角这一隐含条件的应用．
(3)判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三
条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角
形相似，简述为：_三__边_____对应成比例，两三角形相似．
3．直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐__角___对应相等，那么 它们相似； ②如果两个直角三角形的两条直角边对__应__成__比__例__，那么它们 相似．
相似三角形的性质与判定讲义
ABC D E相似三角形的性质和判定（讲义）一、 知识点睛1. 相似三角形的性质：______________、_______________．2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 3. 相似三角形的判定：① __________________________________________； ② __________________________________________； ③ __________________________________________．二、 精讲精练1. 两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是40°,60°，那么另一个三角形的最大内角是 ， 最小内角是 ．2. 若△ABC ∽△DEF ，AB =6cm ，BC =4cm ，AC =9cm ，且△DEF 的最短边为8cm ，则最长边为（ ） A ．16cm B ．18cm C ．4.5cmD ．13cm3. 如图，△ADE ∽△ABC ，AD =3BD ,S △ABC =48，则S △ADE = ．第3题图 第4题图4. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ,AB =AC =3，BC =4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF = ． 5. 如图，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④AC 2=AD ·AB ．其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B′FB EA第5题图BCDA6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4cm ，3cm ，5cm .现有两根钢条，一根长60cm ，另一根长180cm ，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有_____种不同的做法.（焊接用料忽略不计）8. 如图，AB ∥DE ，若AB :DE =1:2，AC =2，BC =3，则CE = ，CD = ．第8题 第9题9. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB = ．10. 如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，∠1=∠B ，若AE =EC =4，BC =10，AB =12，则△ADE 和△ACB 的周长之比为 ．CBAE DCBAEBCD A1ED CBA11. 如图，△PMN 是等边三角形，∠APB =120°．求证：AM ·PB =PN ·AP ．21BNMAP12. 如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ， ∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于点F ，ME 交BD 于点G ．求证：△AMF ∽△BGM ．GFMEDC BA13. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：ADk A'D'=.D'DC'B'A'C BA14.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止运动,设运动时间为t秒．当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．【参考答案】一、知识点睛1.相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比；对应面积的比等于相似比的平方．3.相似三角形的判定：④两组角对应相等的两个三角形相似；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑥三边对应成比例的两个三角形相似．二、精讲精练1.80°；40°2. B3.274.127或25. C6. A7. 38.4；69. 410.1:311.证明略（提示：通过∠A=∠2，∠AMP=∠PNB=120°，证明△AMP∽△PNB）12.证明略（提示：通过∠A=∠B，∠AFM=∠BMG，证明△AMF∽△BGM）13.证明略（提示：证明△ABD∽△A′B′D′）14.当△DBE∽△ABC时，t=125；当△DBE∽△CBA时，t=32 11．相似三角形的性质和判定（随堂测试）1. 将两个等腰直角三角形摆成如图所示的样子，所有的点都在同一平面内． （1）求证：△ABE ∽△DAE ； （2）求证：△DCA ∽△DAE ； （3）求证：△ABE ∽△DCA .2. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ．求证：E 是AC 的中点．【参考答案】1. 证明略【提示：（1）（2）利用两组角对应相等来判定相似；由（1）（2）的结论推出对应角相等来证明（3）】2. 证明略（提示:证明△ADE ∽△ABC ）EDBAABDCEF G相似三角形的性质和判定（作业）1. 在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x =______，y =______，m =______，n =______．（2） （1）m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x2. 将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF ，AB =AC =4，BC =5，若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则CF =______．第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个 条件：①∠ACP =∠B ；②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△APC 和△ACB 相似的是________． 4. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．B PCAB′CF EA5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，13AD BC =，若OA =1，OD =32，则OB =______，OC =______．6. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．ED CBA7. 如图，在Rt △ABC 中，AB =3cm ，AC =6cm ．动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时动点N 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．MCBA O D AB C【参考答案】1.32；152；70；602.259或523.①②③4. B5.92；36.证明略（提示：证明△ADC∽△CEB）7.当△MAN∽△BAC时，t=32；当△MAN∽△CAB时，t=12 5。
《相似三角形的应用》 讲义
《相似三角形的应用》讲义一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的两个三角形。
相似三角形具有以下重要性质：1、对应角相等：如果两个三角形相似，那么它们的对应角大小相等。
2、对应边成比例：相似三角形的对应边长度之比相等。
3、周长比等于相似比：两个相似三角形的周长之比等于它们的相似比。
4、面积比等于相似比的平方：相似三角形的面积之比等于相似比的平方。
二、相似三角形的判定方法1、两角对应相等的两个三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边对应成比例的两个三角形相似。
三、相似三角形在实际生活中的应用1、测量高度在测量一些无法直接测量高度的物体时，如大树、高楼等，可以利用相似三角形的原理。
例如，要测量一棵大树的高度，可以在与大树底部水平的位置，立一根已知长度的标杆，然后测量标杆的影子长度和大树的影子长度。
由于太阳光线是平行的，所以标杆和大树与各自影子构成的三角形相似。
设标杆长度为 a，标杆影子长度为 b，大树影子长度为 c，大树高度为 h，则根据相似三角形的性质可得：a/b ＝ h/c，从而可以计算出大树的高度 h ＝ ac/b。
2、测量距离在测量一些无法直接到达的距离时，也可以运用相似三角形。
比如，要测量一条河流的宽度，在河的一侧选择一个点 A，然后在对岸选择一个能够直接到达 A 点的点 B，接着在河的这一侧再选一点 C，使得AC 垂直于河岸。
测量 AC 和 BC 的长度，以及角 BAC 的大小。
因为三角形 ABC 和三角形 ABD（D 为过点 C 作与 AB 平行的线与对岸的交点）相似，所以可以通过相似三角形的性质计算出河流的宽度 BD。
3、计算角度在一些几何问题中，通过相似三角形可以计算出某些角度的大小。
例如，在一个复杂的图形中，如果能够找出相似三角形，根据已知角的大小和相似三角形对应角相等的性质，就可以求出其他角的度数。
4、地图比例尺地图上的比例尺也是基于相似三角形的原理。
相似三角形的性质与判定讲义)讲解学习
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的判定课件优秀课件
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定条件
02
01
03
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。
相似比与相似度
相似比
相似三角形的对应边之间的比值称为 相似比。
相似度
用来衡量两个三角形相似的程度，通常 用相似比来表示。相似度越高，两个三 角形越相似。
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感谢聆听
构建相似三角形，利用比例关 系求解线段长度。
应用勾股定理和相似三角形的 性质，求解直角三角形中的线 段长度。
求解角度问题
利用相似三角形的对应角相等，通过已知角度求解未 知角度。
通过构建相似三角形，利用角度之间的和、差、倍、 半关系求解角度问题。
结合三角形的内角和性质，利用相似三角形求解复杂 的角度问题。
直角三角形相似判定
对于两个直角三角形，如果它们的一个锐角相等，则这两个三角形相似。这是因为直角三角 形的锐角决定了其余两个角的大小，因此一个锐角相等就意味着三个角都相等。
等腰三角形相似判定
对于两个等腰三角形，如果它们的顶角相等，则这两个三角形相似。这是因为等腰三角形的 顶角决定了其余两个底角的大小，因此顶角相等就意味着三个角都相等。
求解面积问题
利用相似三角形的面积比等于 相似比的平方，通过已知面积 求解未知面积。
通过构建相似三角形，利用面 积之间的比例关系求解面积问 题。
结合其他几何知识，如平行四 边形的面积公式等，利用相似 三角形求解复杂的面积问题。
04
相似三角形在代数问题中应用
利用相似三角形性质解方程
通过相似三角形的对 应边成比例，将几何 问题转化为代数方程。
相似三角形的判定及证明技巧课件讲义.doc
相似三角形（三）知识点（一）：相似三角形的证明技巧1.相似三角形的基本图形2.相似三角形判定定理（3条）3.相似三角形的具体解题方法1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE•AB=AC•AF.（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
C2.过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．(1)等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．(2)等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
相似三角形的定义、判定及性质(讲义及答案)
相似三角形的定义、判定及性质（讲义）➢ 课前预习一、回顾下列知识，再将各选项填到对应横线上：A ．能够完全重合的两个图形称为全等图形B ．全等图形的形状和大小都相同C ．全等三角形的对应边相等，对应角相等D ．三边分别相等的两个三角形全等，简写为“SSS ”E ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写为“ASA ”F ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“AAS ”G ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写为“SAS ”➢ 知识点睛1. 相似三角形：定义：_________、__________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应线段的比等于相似比．E FDC B A符号表示 三边成比例 △ABC ∽△______2. 相似三角形的判定：AB BC CADE EF FD ==①________________________________________________；②________________________________________________；③________________________________________________；④_______________________________________________________________________________________．3.相似三角形的性质：①由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例；②相似三角形___________，_______________，___________都等于相似比；③相似三角形的周长比等于_______，面积比等于_________．➢ 精讲精练1. 如图，△ABC ∽△ADE ，连接BD ．（1）若AB =9，AE =4，AD =AC ，BC =8，则AD ，DE 的长分别是多少？△ABC 与△ADE 的相似比是多少？（2）若∠DBA =30°，∠ADB =110°，则∠CAE 是多少度？EDCBA2. 如图，线段AD ，BC 相交于点O ，连接AB ，CD ，其中BO =2AO ，AD =3.5，OC 54=，且△AOB ∽△COD ，则△AOB 与△COD 的相似比为______；若AB 52=，则OC :CD :DO =________．O CBDADCABO第2题图 第3题图3. 如图，线段AB ，CD 相交于点O ，连接AC ，BD ．给出下列条件，写出对应的相似三角形并写出对应的证明过程． （1）若∠A =∠D ，则_______∽______； （2）若∠A =∠B ，则_______∽______；（3）若OA OCOD OB=，则______∽______； （4）若AC ∥BD ，则______∽______．4. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上．给出下列条件：①∠AED =∠B ；②∠ADE =∠C ；③∠ADE =∠B ；④AD AC AE AB =；⑤AD AEAB AC=．其中能判断△ABC ∽△AED 的有_______________（填序号）．5. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）CBAA．B． C．D．6. 如图，△ABC 中，∠A =78°，AB=4，AC =6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似．．．的是（ ）A．B．BCC．D．7.A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对EDCBA A BC78°F ECA B D8. 如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，连接AD ，点G 在线段AD 上，GE ∥BD ，且交AB 于点E ，GF ∥AC ，且交CD 于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．AB AG AE AD = B ．DF DG CF AD =C ．FG EG AC BD = D ．AE CF BE DF=G FE D CBA9. 如图，线段AE ，BD 相交于点C ，连接AB ，DE ，其中AB :DE =1:2，AC =2，BC =3．若AB ∥DE ，则CE =________，CD =________；若∠A =∠D ，则CE =_______，CD =_______．E DCBAEDC BA10. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB =_______．EBCDAAD第10题图 第11题图11. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，其中2AD BD DC =⋅，则∠BAC =______；当AD :DC =1:2，AD =4时，BC =_______．12. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 上一点，点D 是边BC 上一点（不与B ，C 重合）．若∠EDF =∠B ，BE =2，BD =3，BC =6，则FC 的长为______________．FE D CBA13. 如图，点M ，N 在线段AB 上，△PMN 是等边三角形．（1）若AM ·BN =PN ·PM ，求∠APB 的度数． （2）若∠APB =120°，求证：△AMP ∽△PNB ．21NMP B A14. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD =CD ，CE ⊥AB 于E ．（1）求证：△ABD ∽△CBE ．（2）若BE =1，EC =2，则AB 长是多少？E DBA15. 如图，l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3和l 6相交于点B ，E ，C ，F ．若BC =2，则EF 的长是________．F ECB A l 6l 5l 4l 2l 3l 116. 如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BDAD的值为（ ） A ．1B．2C1 D1ABCD E【参考答案】➢课前预习一、A；DEFG；B；C➢知识点睛1.对应角相等；对应边成比例；DEF2.①两角对应相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似3.①对应高的比；对应角平分线的比；对应中线的比．②相似比；相似比的平方➢精讲精练1.（1）AD=6；DE=163；相似比为32；（2）∠CAE是40°2.45；2:5:43.（1）△AOC；△DOB；（2）△AOC；△BOD；（3）△AOC；△DOB；（4）△AOC；△BOD4.①②④5. C6. C7. C8. D9.4；6；6；410.411.90°；1012.9 213.（1）∠APB=120°；（2）证明略．14.（1）证明略；（2）AB长为52．15.516.C。
相似三角形的判定 课件
如图 1－3－1，已知AADB＝DBCE＝AACE，求证：△ ABD∽△ACE.
图 1AACE，得 AABC＝AADE，则要 证明△ABD∽△ACE，只需证明∠DAB＝∠EAC 即可．
【自主解答】 因为AADB ＝DBCE＝AACE，所以△ABC∽△ ADE.
定理名 称 判定
定理 1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
两个三角形相似.
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两 三角形相似.
4.引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得 的 对应线段成比例 ，那么这条直线平行于三角形的 第三边．
5．直角三角形相似的判定 (1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角 形． (2)定理 1：如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等， 那么它们相似． (3)定理 2：如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成 比例，那么它们相似． (4)定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边 和一条直角边 对应成比例，那么这两 个直角三角形相似．
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
相似三角形复习讲义
相似三角形复习讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形对应边的比叫做相似比。
需要注意的是，全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
比如在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果角 A ＝角 A'，角 B ＝角 B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，AB ／ A'B' ＝ AC ／ A'C'，且角 A ＝角 A'，则这两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
若三角形 ABC 和三角形 A'B'C'的三条边对应成比例，即 AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／ A'C'，那么它们相似。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们对应的角大小是相同的。
2、相似三角形的对应边成比例。
相似比等于对应边的比值，且这个比值是固定的。
3、相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。
例如，三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，AD 和 A'D'分别是它们的高，那么 AD ／ A'D'等于相似比。
4、相似三角形的周长比等于相似比。
假设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，那么它们的周长比也是 k。
5、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
若相似比为 m，那么面积比就是 m²。
四、常见的相似三角形模型1、“A”字型在这种模型中，有一条平行线与三角形的两边相交，形成两个相似三角形。
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相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。
（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。
二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。
（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。
变式练习：1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A 、有一个角是40°两个等腰三角形B 、两个等腰直角三角形C 、有一个角为100°的两个等腰三角形D 、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求AD 的长。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）A 、∠AED=∠B B 、∠ADE=∠C C 、AB AC AE AD = D 、ACAE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP 。
例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）变式练习：1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）A 、△ABC 与△A ＇B ＇C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1D 、AB 与A ＇C ＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。
（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作直线EF 交AB 于点F 。
当EF 与CE 满足什么条件时，△AEF 与△DCE 相似？并说明理由。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）A 、AC AB AB AD = B 、BD AD BC AE = C 、AB AE BC DE =D 、ABAD BC DE =第1题 第2题 第3题2、如图，∠ABD=∠C ，AB=5，AD=3.5，则AC= 。
3、如图，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。
求证：FD ²=FG ·FE.反馈练习 基础夯实1、如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ）A 、23B 、67C 、625 D 、2 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°,BD 平分∠ABC ，则下列结论：①△ABC ∽△BCD ；②AB ：BC=BC ：CD ；③BC ²=AC ·CD ；④AD ：DC=AB ：BC ，其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如下图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）A 、∠ABD=∠ACB B 、∠ADB=∠ABC C 、AB ²=AD ·AC D 、BCAB AB AD 5、如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC ²=AD ·AB ，则（ ）A 、△ADC ∽△ACB B 、△BDC ∽△BCA C 、△ADC ∽△CDBD 、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）A 、∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ＇=60°,A ＇B ＇=3cm ，A ＇C ＇=10cmB 、∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°,DE=2cm ，DF=3cmC 、∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cmD 、∠A=∠A ＇，且AB ·A ＇C ＇=AC ·A ＇B ＇7、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1,BD=4，那么AB= 。
8、如图，在□ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形 。
第7题 第8题 第9题 第10题 第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 。
10、如图，在△ABC 中，D 是ABA 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ACB 相似，应添加的条件是 。
（写出一个即可）11、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 。
①∠A+∠B=90°；②AB ²=AC ²+BC ²；③BDCD AB AC =；④CD ²=AD ·BD 。
12、如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似。
13、如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AB=DE=5，BC=4。
（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求AD 的长。
14、如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BDCD CD AD =。
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小。
15、如图，矩形ABCD为台球桌面，AD=260cm，AB=130cm。
球目前在点E的位置，AE=60cm，如果小丁瞄准BC 边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D的位置。
（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长。
16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。
能力提升17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（）A、b²=acB、b²=ceC、be=acD、bd=ae第17题 第18题 第19题18、如图，在钝角三角形ABC 中，AB=6cm ，AC=12cm ，动点D 从点A 出发到点B 为止，动点E 从点C 出发到点A 止，点D 运动的速度为1cm /s ，点E 运动的速度为2cm /s 。
如果两点同时运动，那么当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）A 、3秒或4.8秒B 、3秒C 、4.5秒D 、4.5秒或4.8秒19、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ）A 、43B 、54C 、65D 、76 20、如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°,OB=2OA ，点A 在反比例函数x y 1=的图像上，若点B 在反比例函数xk y =的图像上，则k 的值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、-2 D 、2第20题 第21题 第22题21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B （0，2），如果点C 在x 轴上（点C 与点A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得以点B 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似。
22、已知，如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上延长线上，且OE=OB ，连接DE 。
求证：（1）DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：△CED ∽△DEB 。
23、如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B 。
（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=36，AF=34，求AE 的长。
24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”；（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。
请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。
已知：如图， 。
求证：R t △ABC ∽R t △A ＇B ＇C ＇。
25、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。
（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。
思维拓展26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。
（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P。
①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a cm(a>3)。
动点M、N同时从点B出发，分别沿运动，速度是1cm/s。
过点M作直线垂直于AB，分别交AN、CD于点P、Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。