第4章 整数规划与分配问题
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运筹学-整数规划与分配问题PPT
但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i
运筹学——.整数规划与分配问题
2.4 匈牙利法实例(2)
第二步：找出矩阵每列的最小元素，再分别从各列中减去。
必定满足：bij = aij–ui–vj
0 11 2 0 0
8 0 3 11 0
7 5 0 11 10 4 2 5 0 9 5 0 5 0
8 2 5 0 5 4 3 0 0 11 4 5
二、分配问题与匈牙利法
2.3 匈牙利法
分配问题可以用单纯形法或运输表求解。 库恩(W.W.Kuhn)于1955年提出了指派问题的解 法，他引用了匈牙利数学家康尼格(D.Kö nig)一 个关于矩阵中零元素的定理：系数矩阵中独立0 元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直 线数。这个解法称为匈牙利法。
二、分配问题与匈牙利法
2.2 分配问题实例(1)
例：有一份中文说明书，需要译成英、日、德、 俄四种文字。现有甲、乙、丙、丁四人，他们 将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间 如下，问应指派何人去完成工作，使所需总时 间最少? 人员
任务 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 甲 乙 丙 丁 7 8 11 9 2 15 13 4 10 4 14 15 9 14 16 13
一、整数规划的特点及作用
1.2 0-1整数规划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟 议中有7个位置（点）Ai供选择。规定
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。
如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利 润估计为ci元，但投资总额不能超过B元。 问：应如何选址，可使年利润为最大？
第一步：找出每 行的最小元素， 每行对应减去这 个元素。
Chapter04分配问题与整数规划.ppt
证明思路 只证明(II)的最优解也是(I)的最优解，将cij用dij表示，注 意约束条件的特点，利用定义即可，具体过程见黑板。 [注意实际操作中ui+vj的限制]
19.03.2019
8
一个说明性的例子(构造等价效率矩阵-书P111)
dij 甲 cij 甲 乙 A 3 4 B 5 2 dij 甲 乙
A 0 2 A 0 1
B 2 0 B 3 0
乙
定理4.3 (划线法求独立零元素集合，证明略) 在效率矩阵中，覆盖零元素的最少直线数等于位于不同行 不同列的0元素的最大个数。
19.03.2019 9
※匈牙利法求解分配问题-步骤1
Step1. 效率矩阵每行减去本行的最小元素，再从每列 减去本列的最小元素 ；
7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 (3.25,2.5)
例1. 一个整数线性规划求解 的例子 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值。 1 2
用凑整数的 枚举法是否 有效呢？
B 29 38 27 42 27
C 31 + 26 + 28 36 28
D 42 20 40 23 23
E 37 33 32 + 45 45
甲 乙 丙 丁 某人
+ 24
34
求解过程大家一起在黑板上完成
18
19.03.2019
整数规划 – 分枝定界法
整数线性规划的特点
① ②
可行解的集合是离散点，有限多个 x2 最优解未必在顶点达到
甲
2 15 13 4
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8
一个说明性的例子(构造等价效率矩阵-书P111)
dij 甲 cij 甲 乙 A 3 4 B 5 2 dij 甲 乙
A 0 2 A 0 1
B 2 0 B 3 0
乙
定理4.3 (划线法求独立零元素集合，证明略) 在效率矩阵中，覆盖零元素的最少直线数等于位于不同行 不同列的0元素的最大个数。
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※匈牙利法求解分配问题-步骤1
Step1. 效率矩阵每行减去本行的最小元素，再从每列 减去本列的最小元素 ；
7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 (3.25,2.5)
例1. 一个整数线性规划求解 的例子 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值。 1 2
用凑整数的 枚举法是否 有效呢？
B 29 38 27 42 27
C 31 + 26 + 28 36 28
D 42 20 40 23 23
E 37 33 32 + 45 45
甲 乙 丙 丁 某人
+ 24
34
求解过程大家一起在黑板上完成
18
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整数规划 – 分枝定界法
整数线性规划的特点
① ②
可行解的集合是离散点，有限多个 x2 最优解未必在顶点达到
甲
2 15 13 4
运筹第四章整数规划与分配问题
x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。
第四章 整数规划与分配问题(1)
一、整数规划的模型及特点
各位教师对各门课的准备时间
任务 人员
A 2 10
B 15 4
C 13 14
D 4 15
甲 乙
丙
丁
9
7
14
8
16
11
13
9
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
整数规划与线性规划的关系
整数规划包括整数线性规划和整数非线性
规划。
从数学模型上看整数线性规划似乎是线性 规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的 基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的 解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过 舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解， 有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。
3
x1
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可
行域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集，
如图所示。
整数规划与线性规划的关系
因此，可将集合内的整数点一一找出，其最
大目标函数的值为最优解，此法为完全枚举法。
如上例：其中（2，2）（3，1）点为最大值， Z=4。
目前，常用的求解整数规划的方法有：
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的模型
分配问题 分支定界法 割平面法 0－1 整数规划
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
一、整数规划的模型及特点
例3 设有4个教师，他们各有能力去教4门不同课程中的任一 门，但因为他们的经历和经验不同，所以每个教师同样准备教 某一课程平均每周所需备课时间不同，见下表。问应分配哪个 教师去担任哪门课程，以使所有4门课程总的备课时间为最少？
整数规划问题
整数规划问题的求解方法
分枝定界法branch and bound method 分枝定界法是一种隐枚举方法（implicit enumeration）或部分 枚举方法，是枚举方法基础上的改进，几乎所有的计算机计算都用 此算法。其关键是分支和定界。 例——
Max
s.t.
Z = X1 + X2 14X1 + 9X2 ≤ 51 - 6X1 + 3X2 ≤ 1 X1 ， X2 ≥ 0 X1 ， X2 取整数
fi - ∑ fik xk ≤ 0 ……………………（4 式）
此即为所需切割方程。
16
整数规划 Integer Programming（IP）
割平面法cutting plane approach 构造切割方程的步骤： （1）切割方程 fi - ∑ fik xk ≤ 0 真正进行了切割，至少把非整数最优 解这一点切割掉了。 证明：（反证法）假设松驰问题的最优解 X* 未被切割掉，则由 fi - ∑ fik x*k ≤ 0， 又因为 x*k = 0，（因 x*k 为非基变量） 有 fi ≤ 0 ，这与 fi ＞ 0 矛盾。 （2）不会切割掉任何整数解，因为切割方程是由变量为整的条件 提出的。
18
求解步骤：
1、求解 LP 得到非整数最优解： X =（3/4，7/4，0，0），Max Z = 5/2 Cj CB I表 XB B –1 b 1 X1 1 X2 0 X3 0 X4
0
0 j 1
X3
X4 X1 X2
1
4 0 3/4 7/4
-1
3 1 1 0
1
1 1 0 1
1
0 0 -1/4 3/4
14
整数规划 Integer Programming（IP）
运筹学--第四章 整数规划与分配问题
一、整数线性规划问题的提出
引例：生产组织计划问题与选址问题 例4-1（生产组织计划问题）某工厂在一个计划期 内拟生产甲、乙两种大型设备。除了A、B两种部件 需要外部供应且供应受到严格限制之外，该厂有充 分的能力来加工制造这两种设备所需的其余零件， 并且所需原材料和能源也可满足供应。每种设备所 用部件数量和部件的供应限额以及设备的利润由表 3-1-1给出。问该厂在本计划期内如何安排甲、乙 设备的生产数量，才能获取最大利润？
例4-3某人有一背包可以装10公斤重、0.025m3的物
品。他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重 量、体积和价值如表4-3-1所示。问两种物品各装 多少件，所装物品的总价值最大？
表4-3-1 物品 甲 乙 重量 （公斤/每件） 1.2 0.8 体积 （m3/每件） 0.002 0.0025 价值 (元/每件) 4 3
应寻找仅检查可行的整数组合的一部分，就能定出 分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问
最优的整数解的方法。分支定界解法就是其中之一。
题。
–20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是 解整数线性规划的重要方法之一。
–由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在
它已是解整数规划的重要方法。
了。 但这常常是不行的，因为化整后不见得是可行解； 或虽是可行解，但不一定是最优解。 因此，对求最优整数解的问题，有必要另行研究。
例4-4 说明整数规划问题的求解不能直接在单纯形
法最优解的基础上四舍五入 求下述整数规划问题的最优解（P105）
max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值 1 2
运筹学(第4章 整数规划与分配问题)(1)
运筹学基础及应用 ( Operations Research )
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
主讲：杨启明
第4章 整数规划与分配问题1Fra bibliotek2 3
整数规划的特点及应用
分配问题与匈牙利法
分枝定界法 割平面法 解0-1规划问题的隐枚举法
4
5
4.1.1 整数规划的模型分类 纯整数规划模型 0-1整数规划模型 混合整数规划模型 4.1.2 实例 投资决策问题 背包问题 4.1.3 解整数线性规划的困难性 4.1.4 逻辑变量在建模中的作用
令
x11 x23 x32 1其余的xij=0
问题： 如何产生并寻找这组位于不同行不同列的零元素？
匈牙利数学家克尼格(Konig)
基础： 两个基本定理 如果从分配问题效率矩阵[aij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势), 从每一列分 别减去(或加上)一个常数vj(被称为该列的位势), 得到一个 新的效率矩阵[bij], 若其中bij=aij-ui-vj , 则[bij]的最优解等价 于[aij]的最优解 作用：
用图解法求出最优解为： x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解(最优解):如用舍 入取整法可得到4个点即(1， 3),(2，3),(1，4),(2，4)。显然， 它们都不可能是整数规划的最优 解。 按整数规划约束条件，其可行 解肯定在线性规划问题的可行域 内且为整数点。故整数规划问题 的可行解集是一个有限集，如右 图所示。其中(2,2),(3,1)点的目 标函数值最大，即为Z=4。
xij 1(i 1,, m) 第i人完成
m
x1j
x2j
xi1 xi2 xij xi m-1 xim
运筹学基础及应用第4章-整数规划与分配问题
整数规划的特点及应用
解：对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能，因此 分别用0和1表示，令xj表示第j个项目的决策选择，记为：
j投 资 1 对 项 目 xj ( j 1,2,..., n) j不 投 资 0 对 项 目
投资问题可以表示为：
max z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 s .t x 3 x4 1 x5 x6 x7 2 ） x j 0或者1 （j 1, 2, L n
B1 B2 B3 B4 年生产能力
A1
A2 A3 A4 年需求量
2
8 7 4 350
9
3 6 5 400
3
5 1 2 300
4
7 2 5 150
400
600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
0-1型整数线性规划：决策变量只能取值0或1的整数线性 规划。
整数规划的特点及应用
整数规划的典型例子
例4.1 工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要 再建一家工厂。相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地 有B1,B2,B3,B4四个。各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各 需求地的单位物资运费cij，见下表：
例4.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x 2 14x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0且 为 整 数 1 2
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问 题）。
[经济学]整数规划
![[经济学]整数规划](https://img.taocdn.com/s3/m/3b47ddfe360cba1aa811da67.png)
第23页
数学模型
cij：第i人做第j事的费用
1 若指派第i人做第j事
i，j＝1,...,n
xij＝
总费用：cij xij
i 1 j 1
0 若指派第i人不做第j 事 n n
每件事必有且只有一个人去做
每个人必做且只做一件事
x
n
x
j 1
i 1 n
ij
1 j＝1,...,n
ij
1 i＝1,...,n
步骤1： 把各行元素分别减去本行元素的最小值； 然后在此基础上再把每列元素减去本列中 的最小值。
min 4
4 7 6 6 6 8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
0 7 0 6 0 6 0 0 6 min 0
可行解是松弛问题的可行解 最优值不会优于其松弛问题的最优值
第16页
解的特点
第17页
解的特点
第18页
注
释
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整 数解 • 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
第19页
第四章 整数规划与分配问题
• 整数规划的特点及作用 • 分配问题与匈牙利法 • 分枝定界法与割平面法 • 应用案例
松弛问 题
x j中部分或全部取整数
第 4页
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划： 物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划： 投资组合问题
x j只能取值0或1
第 5页
人员安排问题
运筹学基础及应用_(第四章_整数规划与分配问题)
号与7号必须同时开采；
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
（d） 8
（e）1号、
4号、6号、9号开采时不能超过两个，试表示上
述约束条件。
Next
基础教研室
（a）当x8=1 当x8=0 ∴ x8 x6
x6=1，x6≠0 x6=1，x6=0
（b）当x5 =1 当x5 =0 ∴ x5 + x3 1
x3=0， x3 ≠1 x3=0， x3 =1
基础教研室
【例1】求下述整数规划的最优解
Max z= 3x1 + 2x2 st . 2x1 + 3x2 14 x1 + 0.5x2 4.5 x10，x20，且为整数
基础教研室
x2 x1+0.5x2=4.5
4
(3.25, 2.5) 2 2x1+3x2=14
2
4
6
x1
3x1+2x2=6
二、整数规划的求解方法
1 －选择电网供应 设 y1 0 －不选择电网供应
10 d j x j f (1 y1 ) M j 1 10 0.3d j x j p (1 y2 ) M j 1 y1 y2 1 y1 , y2 0或1
基础教研室
【例3】投资决策问题 某公司准备1000万元资金在10个地点中选择若干个建立 工厂（工厂名称用地点名来命名），有关数据如下：
由于各个工厂之间有配套和协作关系，因此必须满足条件： 1、 建工厂1就必须同时建工厂2； 2、 若建工厂2就不允许建工厂3； 3、 工厂4和工厂5至少建一个； 4、 工厂6，7，8恰好建2个； 5、 工厂8，9，10最多建2个； 6、 建工厂4或者建工厂6，就不能建工厂8，反过来也一样； 7、 条件2，3，5最多满足2个。 问选择哪几个地点建厂最有利？ Next
运筹学 第4章 整数规划与分配问题
匈牙利法思路：若能在 [Cij] 中找出 n 个位于
不同行不同列的0元素(称为独立0元素)，则
令解矩阵[xij]中对应这n个独立0元素的元素
取值为 1 ，其他元素取值为 0 ，则它对应目
标函数zb=0是最小的。这就是以[Cij]为系数
矩阵分配问题的最优解，也得原问题的最
优解。
定理1 若从分配问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别减去 (或加上)一个常数ui(称为该行的位势)，从每一列分别减去 (或加上)一个常数vj(称为该列的位势)，得到一个新效率矩阵 [bij]，若其中bij=cij-ui-vj，则[bij]的最优解等价于[cij]的最优解
第1步：找出效率矩阵每行的最小元素，并分别从每行
中减去。
第2步：再找出矩阵每列的最小元素，并分别从各列中 减去。
2 10 9 7 2 15 4 14 8 4 13 14 16 11 11 4 15 13 9 4
0 8 7 5 11 0 10 4 0 3 5 0 0 11 9 5
表明m个约束条件中有(m-k)个的右端项为( bi+M )，不起约 束作用，因而，只有k个约束条件起作用。 ② 约束条件的右端项可能是r个值b1 , b2 ,, br 中的某一个 即： 定义：
n
aij x j b1 或b2或或br
j 1
1 假定约束右端项为 bi yi 否则 0
现用下例来说明： max z=40x1+90x2 9x1+7x2≤56 7x1+20x2≤70 x1，x2≥0 x1，x2整数 ① ② ③ ④ ⑤
解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B,①～④(见图5-2)， 得最优解x1=4.81，x2=1.82，z0=356
运筹学第四章--整数规划和分配问题(新)aPPT课件
-
1
整数线性规划的一般形式: n max(或min)z cj xj j 1
n
aij xj ( 或 ）bi (i 1,2,...m)
j 1
xj 0( j 1,2,...n),且部分或全部取整数
例1.求下述整数规划问题的最优解
max z 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5
先不考虑整数解的限制，用单纯形法求 解其松弛问题，如果求得的解恰好是整数解， 则得整数规划最优解，停止计算。否则，将 松弛问题分解为两个子问题（也称后继问 题），每个子问题都是在原松弛问题的基础 上增加一个变量取整数的约束条件，这样就 缩小了原来的可行域，然后用单纯形法求解， 直至得到最终结果。
-
21
-
23
例.用分枝定界法求下述数整规划问题的最优
maxz 3x1 2x2
2x1 3x2 14 x1 0.5x2 4.5 x1, x2 0,且均取整数值
-
24
-
25
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26
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27
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28
-
29
第四节 割平面法 一、割平面法的基本思想
先不考虑整数条件，用单纯形法求解其 松弛问题，若得整数解，即得整数规划最优 解。否则，增加线性约束条件（称为割平面 方程），将原问题的可行域切割掉一部分， 被切割掉的都是非整数解，再用单纯形法求 解新的线性规划问题，依次进行下去，直到 使问题的最优解恰好在可行域的某个具有整 数坐标的顶点上得到。
0.5 + 0.4 x4 + 0.4 x5≥ 1
-
35
2. 借助单纯形表法
对求解整数规划问题的松弛问题（LP问题）得到
最优单纯形表，设xi=bi 是最优解中取分数值（分数 部分最大）的基变量，则有
第4章 整数规划与分配问题 管理运筹学 重庆三峡学院
某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、质量、可获得的利 润以及托运所受到的限制如表所示。问怎样安排托运计划，可使利润最 大？
货物
甲 乙 托运 限制
每箱体积 (m3) 3 8
40
每箱质量 (50kg)
4 3
24
每箱利润 (百元)
5 6
设 x1,x2表示两种货物装载数量(整 数)，依题意有如下数学模型：
0-1规划的数学模型为：
max(min)z CX
AX ≥ (,≤)b
s.t.
X
取0或1
4.2.2 隐枚举法简介
管理运筹学 第4章 整数规划与分配问题
1.化成标准形式 (1)目标函数:min ,cj>0。目标若 max,目标系数改变符号,变为
min; (2)若cj<0,令yj=1-xj使其变正; (3)目标函数中,变量按目标系数 从小到大排列,约束条件中也跟 着相应改变.
4.1.3 图解法
管理运筹学 第4章 整数规划与分配问题 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
（1）建立直角坐标系， 图示约束条件，确定 可行域。
（2）图示目标函数一 根基线，按目标要求 平行移动，直到与可 行域相交。
（3）求出交点坐标与 目标值。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
max z 5x1 6x2
生产过程的种类
甲 乙 丙
固定投资(元)
1 000 2 000 3 000
生产成本(元/千克)
5 4 3
最大日产量(千克)
2 000 3 000 4 000
4.2.4 0-1变量在数学建模中的应用
管理运筹学 第4章 整数规划与分配问题
解 设：
生产 固定投资 生产成本 过程 (元) (元/千克)
第04章 整数规划与分配问题-运筹学
13
丁
7
8
11
9
解：设Xij表示第i人从事第j项工作，且 1 分配第i个人去完成第j项任务
X i j 0 不分配第i个人去完成第j项任务
因此，该问题的数学模型为
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第 16页
第4章 整数规划与分配问题
MinZ=3X11+14X12+10X13+5X14+10X21+4X22+12X23+10X24
X 11 X 12 X 13 X 14 1
X 21
X 22
X 23
X 24
1 表示第i人被指派完成一项工作
X 31 X 32 X 33 X 34 1
X 41 X 42 X 43 X 44 1
Xij=0或1(i,j=1,2,3,4)
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第4章 整数规划与分配问题
约束条件：投资额限制条件 6x1+4x2+2x3+4x4+5x515
项目A、C、E之间必须且只需选择一项：x1+x3+x5=1 项目B、D之间必须且只需选择一项：x2+x4=1
项目C的实施要以项目D的实施为前提条件： x3 x4
归纳起来，其数学模型为： max z 10 x1 8 x2 7 x3 6 x4 9 x5
项目 A B C D E
所需投资额（万元） 6 4 2 4 5
期望收益（万元） 10 8 7 6 9
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第4章 整数规划与分配问题
解：决策变量：设
0
x j 1
表示项目 j不被选中 表示项目 j被选中
( j 1,2,3,4,5)
运筹学 第四章 整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题
冯大光制作
(4)
沈阳农业大学
第四章 整数规划与分配问题
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第二节 分配问题与匈牙利法
在实际中经常会遇到这样的问题，有n 项不同 的任务，需要n 个人分别完成其中的一项，但由 于任务的性质和各人的专长不同，因此各人去 完成不同的任务的效率（或花费的时间或费用） 也就不同。于是产生了一个问题，应指派哪个 人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率 最高（或所需时间最少），这类问题称为指派 问题或分配问题。
种下料方式可以得到各种零件的毛坯数以及每种
零件的需要量，如表所示。问怎样安排下料方式， 使得即满足需要，所用的原材料又最少？
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第四章 整数规划与分配问题
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设：xj 表示用Bj (j=1.2…n) 种方式下料根数模型：
x1 … xn
零件 方 个数 式 零件
A1 b1 Am am1 amn bm
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逻辑变量的应用
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(3)两组条件满足其中一组
若 x1 4，则 x2 1 ；否则（即 x1 4 时） 2 3 x
列的零元素，则只要令这些零元素位置的 xij 1 ，其 n n 余的 xij 0 ，则 z aij xij 就是问题的最优解．
i 1 j 1
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第四章 整数规划与分配问题
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如效率 矩阵为
整数规划与分配问题
第四章 整数规划与分配问题§4.1整数规划的特点及作用用单纯形法求解线性规划的结果往往得到分数或小数解。
但在很多实际问题中，全部或部分变量的取值必须是整数，如人或者机器设备不可分割。
此外还有一些问题，如要不要在某地建设工厂，可选用一个逻辑变量x ，令1x =表示在该地建厂，0x =表示不在该地建厂，逻辑变量也只允许取整数值的一类变量。
在一个整数规划中要求全部变量取整数值的，称纯整数线性规划或纯整数规划；只要求一部分变量取整数值的，称为混合整数（线性）规划；在纯整数规划问题中，若所有变量只允许取0，1两个值，则称其为0-1规划。
有人认为，对整数规划问题的求解可以先不考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时可用四舍五入或凑整数寻找最优解，其实这种方法是不可行的，原因有以下两点：一、用凑整的方法计算量很大，而况还不一定能找到最优解。
如某线性规划问题的最优解为()()12 4.6 5.5x x =，用凑整数的方法时需比较与12,x x 的上述数值最接近的四种组合：(4,5),(5,5),(4,6),(5,6)如果问题中有10个变量，就要比较1021024=个整数解组合，而且最优解还不一定在这些组合中。
二、放松约束也无法求出其最优解例12121212max 322314.0.5 4.5,0,z x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩整数如果不考虑整数约束，称为上述线性规划问题的松弛问题，松弛问题的最优解为：123.25, 2.5x x ==取整以后123,2x x ==是可行解，但1212123,3;4,2;4,3x x x x x x ======都不是可行解，而123,2x x ==对应的目标函数值123213z x x =+=却不是最优解，然而最优解是12124,1,max 3214x x z x x ===+=。
直接对松弛问题进行求解都无法求得整数规划问题的最优解，这就需要对整数线性规划问题有特殊的求解方法。
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2015年4月11日星期六
0, 第i名未进入正式队 设 : xi 1, 第i名进入正式队
max z 193x1 191x2 187 x3 186 x4 180 x5 185 x6
s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 (1) x5 x6 ≥1 (2) x2 x5 ≤1 (3)
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
第4章 整数规划与分配问题
重庆三峡学院 关文忠 /guanwenzhong
教学目标与要求
【教学目标】 通过本章学习，了解求解整数规划“分枝定界法”的其中思路，掌握 0-1变量在数学建模中的应用；熟练掌握“匈牙利法”，至少掌握一 种软件求得整数规划及分配问题的最优解。 【知识结构】
管理运筹学课件
2015年4月11日星期六
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
2015年4月11日星期六
管理运筹学课件
导入案例——集装箱托运计划
某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、质量、可获得的 利润以及托运所受到的限制如表4-1所示。问怎样安排托运计划，可 使利润最大？
货物 甲 乙 每箱体积/米3 3 8 每箱质量/50千克 4 3 每箱利润/百元 5 6
托运限制
2015年4月11日星期六
(1) (2) (3) (4) (5)
管理运筹学课件
4.1.1 整数规划的基本概念
整数规划（integer programming，IP）是指一 类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学 规划。 在整数规划中，依决策变量的取值不同，又可进 一步划分： 如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划 （Pure Integer Programming，PIP）； 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划（Mixed Integer Programming，MIP）； 变量取二进制的整数规划则称为0-1规划（Binary Integer Programming，BIP）。
x1 x2≤1 (4)
身高/厘米 193 191 187 186 180 185
位置 中锋 中锋 前锋 前锋 后卫 后卫
x2 x6≤ 1 x4 x6 ≤ 1
x1~6 0或1
(5)
管理运筹学课件
案例4-2 选址问题
某公司在城市东、西、 南三区拟建立门市部。 计划有7个位置(点) Aj(j=1,…,7)可供选择。 规定： 在东区，由A1,A2,A3 三个点至多选两个； 在西区，由 A4,A5 两 个点至少选一个；在 南区，由A6,A7 两个 点至少选一个。设各 位置建点的成本与预 计利润见表，若建点 总成本控制在100万 元以内，试问应该选 取哪几个点可使年利 润为最大？。
1, 第 i街道设消防站 设 : xi 0, 第i街道不设消防站
2015年4月11日星期六
约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
2015年4月11日星期六
例 max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x 4 x2 x3 4 (2) s.t. 1 x + x2 3 (3) 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
改变c j 符号,变为 min min w 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 x 4 x2 x3 4 s.t. 1 x + x2 3 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
x1 1 x1 1 x2 令 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 x3 3x1 5 min w x2 x1 0 x3 x1 0 2 x2 1 解得 x3 x1 2 x2 4 x2 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 , x3 0或1 x1, x2
max(min) z CX AX ≥ (,≤)b s.t. X 取0或1
2015年4月11日星期六 管理运筹学课件
4.2.2 隐枚举法简介
1.化成标准形式 (1)目标函数:min ,cj>0 (2)目标若max,目标系数 改变符号,变为min; (2)若cj<0,令yj=1-xj使其 变正; (3)目标函数中,变量按目 标系数从小到大排列,约 束条件中也跟着相应改 变. 2.令标准化后的0-1问题 所有变量为0,若满足约束, 即为最优,否则转下步. 3.按目标函数中排列顺序 依次令各变量分别取1或 0,进行枚举.
变量取整的 LP 整数规划
整 数 规 划 与 分 配 问 题
变量取 0-1 的 LP 0-1 变量用法：添加特殊约束的 LP 数学模型 应用
分配问题数学模型
计算机求解
匈牙利法
2015年4月11日星期六
管理运筹学课件
本章主要内容
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1 整数规划 4.1.1 整数规划的概念 4.1.2 分枝定界法的基本思路* 4.2 0-1规划 4.2.1 0-1规划的概念 4.2.2 0-1规划的隐枚举法简介* 4.2.4 0-1变量在数学建模中的用途 案例4-1 球队队员筛选 案例4-2 选址问题 案例4-3 集合覆盖问题 4.3 分配问题 4.3.1 分配问题数学模型 4.3.2 分配问题的解题方法——匈牙利法 案例4-4 任务分派 本章小结
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 (1) 解7 (2,4),z=34 4 x 3 x ≤ 24 (2) 1 2 解5 (8/3,4),z=37.33 x1 , x2 ≥ 0 解4 (3,3),z=33 x , x 取整数 1 2
②
解2 (3,31/8) 解1 (72/23,88/23)
管理运筹学课件
案例4-3 集合覆盖问题
某区有6个街道。这个区必须确定在什么地 方修建消防站。在保证至少有一个消防站 在每个街道的15min行驶时间内的情况下， 这个区希望修建的消防站最少。各街道间 行驶时间如表
目标 : 消防站数目最少 max z x1 x2 x3 x4 x5 x6
2015年4月11日星期六
地点
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
建点成本
估计利润
20 20 25 24 22 24 23
30 30 35 34 38 40 45
1 设 : xi 0
i = 1， 2， ， 7 当Ai 未被选中，
当Ai 被选中，
数学模型为：
max z 30 x1 30 x2 35 x3 34 x4 38 x5 40 x6 45 x7 20 x1 20 x2 25 x3 24 x4 22 x5 24 x6 23x7 ≤ 100 ≤ 2 (东区) x1 x2 x3 s.t. x4 + x5 ≥ 1 (西区) x6 + x7 ≥ 1 (南区) xi 0 或 1
解3 (4,8/3)
(2,9/2),z=34.5 ①
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x1
5x1+6x2=30
解6 (4,2),z=32
(2) (3) (4) (6) (5)(1) 对“解 再对“解 剪枝：上述有三个区域的整数解分别为“解 先对“解 对“解 1” 5” 分枝定界：选取 3” 2” 分枝定界：“解 分枝定界：“解 x1 5” 2” 3” 进行分枝定界：在原模型的基础上， 的坐标 的坐标为 的坐标 (8/3,4) ， (3,31/8) 为非整数，添加 ， 4”X=(3,3) 为非整数，添加 ，分别添加 ，z=33 x2≤2 x2≤3 x1≤2 ；， 解 绘制直角坐标系，图示约束条件，图示目标函数一根基线 分别添加 x2≥4 （ “解 x2 x1≥3 6”X=(4,2) ，优化结果 ≥3 为非可行域），优化结果为 x1≤3,x1≥4 ，z=32 “解 。优化结果 ；“解 4”，X=(3,3) 7”X=(2,4) “解 ，X=(2,17/4) X=(9/2,2) z=33 2” ， ， z=34 ，为可行解；“解 X=(3,31/8) ， 。相比较，目标值最大 ，再添加 z=34.5 ， ；再添加 z=38.25 x2=4 5” 和 ， ； x1 x2=5 。 (z=30) ，使其平行移动，求得非整数最优解。该解的坐标为 “解34 X=(8/3,4) =4,x1 求得整数解 的为 3” ≥5 ，。解得整数解 ，对应的最优方案 ， X=(4,8/3) z=37.33 (2,4) ，目标值 ， ，为非可行解。 z=36 X=(4,2) 34 ，均为非整数（非可行解）。 。 ；整数解 ，z=32(0,5) 和非整数解 ，目标值 X=(21/4,1) 30，取(2,4) ，目标值 。如图 (72/23,88/23) ，不在网格线的交叉点上，非整数解（非可行解）。 z=31.25 “解 7”。 ；整数解目标值大于非整数解，取(4,2)，得“解6”。 演示：利用WinQSB,ExcelORM+规划求解,ExcelORM+Lingo求例4.1
0, 第i名未进入正式队 设 : xi 1, 第i名进入正式队
max z 193x1 191x2 187 x3 186 x4 180 x5 185 x6
s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 3 (1) x5 x6 ≥1 (2) x2 x5 ≤1 (3)
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
第4章 整数规划与分配问题
重庆三峡学院 关文忠 /guanwenzhong
教学目标与要求
【教学目标】 通过本章学习，了解求解整数规划“分枝定界法”的其中思路，掌握 0-1变量在数学建模中的应用；熟练掌握“匈牙利法”，至少掌握一 种软件求得整数规划及分配问题的最优解。 【知识结构】
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4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
2015年4月11日星期六
管理运筹学课件
导入案例——集装箱托运计划
某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，每箱的体积、质量、可获得的 利润以及托运所受到的限制如表4-1所示。问怎样安排托运计划，可 使利润最大？
货物 甲 乙 每箱体积/米3 3 8 每箱质量/50千克 4 3 每箱利润/百元 5 6
托运限制
2015年4月11日星期六
(1) (2) (3) (4) (5)
管理运筹学课件
4.1.1 整数规划的基本概念
整数规划（integer programming，IP）是指一 类要求问题中的全部或一部分变量为整数的数学 规划。 在整数规划中，依决策变量的取值不同，又可进 一步划分： 如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划 （Pure Integer Programming，PIP）； 如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数 规划（Mixed Integer Programming，MIP）； 变量取二进制的整数规划则称为0-1规划（Binary Integer Programming，BIP）。
x1 x2≤1 (4)
身高/厘米 193 191 187 186 180 185
位置 中锋 中锋 前锋 前锋 后卫 后卫
x2 x6≤ 1 x4 x6 ≤ 1
x1~6 0或1
(5)
管理运筹学课件
案例4-2 选址问题
某公司在城市东、西、 南三区拟建立门市部。 计划有7个位置(点) Aj(j=1,…,7)可供选择。 规定： 在东区，由A1,A2,A3 三个点至多选两个； 在西区，由 A4,A5 两 个点至少选一个；在 南区，由A6,A7 两个 点至少选一个。设各 位置建点的成本与预 计利润见表，若建点 总成本控制在100万 元以内，试问应该选 取哪几个点可使年利 润为最大？。
1, 第 i街道设消防站 设 : xi 0, 第i街道不设消防站
2015年4月11日星期六
约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
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例 max z 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 (1) x 4 x2 x3 4 (2) s.t. 1 x + x2 3 (3) 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
改变c j 符号,变为 min min w 3 x1 x2 x3 x1 2 x2 x3 2 x 4 x2 x3 4 s.t. 1 x + x2 3 1 x1 , x2 , x3 0 或 1
x1 1 x1 1 x2 令 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 x3 3x1 5 min w x2 x1 0 x3 x1 0 2 x2 1 解得 x3 x1 2 x2 4 x2 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 , x3 0或1 x1, x2
max(min) z CX AX ≥ (,≤)b s.t. X 取0或1
2015年4月11日星期六 管理运筹学课件
4.2.2 隐枚举法简介
1.化成标准形式 (1)目标函数:min ,cj>0 (2)目标若max,目标系数 改变符号,变为min; (2)若cj<0,令yj=1-xj使其 变正; (3)目标函数中,变量按目 标系数从小到大排列,约 束条件中也跟着相应改 变. 2.令标准化后的0-1问题 所有变量为0,若满足约束, 即为最优,否则转下步. 3.按目标函数中排列顺序 依次令各变量分别取1或 0,进行枚举.
变量取整的 LP 整数规划
整 数 规 划 与 分 配 问 题
变量取 0-1 的 LP 0-1 变量用法：添加特殊约束的 LP 数学模型 应用
分配问题数学模型
计算机求解
匈牙利法
2015年4月11日星期六
管理运筹学课件
本章主要内容
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1 整数规划 4.1.1 整数规划的概念 4.1.2 分枝定界法的基本思路* 4.2 0-1规划 4.2.1 0-1规划的概念 4.2.2 0-1规划的隐枚举法简介* 4.2.4 0-1变量在数学建模中的用途 案例4-1 球队队员筛选 案例4-2 选址问题 案例4-3 集合覆盖问题 4.3 分配问题 4.3.1 分配问题数学模型 4.3.2 分配问题的解题方法——匈牙利法 案例4-4 任务分派 本章小结
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 (1) 解7 (2,4),z=34 4 x 3 x ≤ 24 (2) 1 2 解5 (8/3,4),z=37.33 x1 , x2 ≥ 0 解4 (3,3),z=33 x , x 取整数 1 2
②
解2 (3,31/8) 解1 (72/23,88/23)
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案例4-3 集合覆盖问题
某区有6个街道。这个区必须确定在什么地 方修建消防站。在保证至少有一个消防站 在每个街道的15min行驶时间内的情况下， 这个区希望修建的消防站最少。各街道间 行驶时间如表
目标 : 消防站数目最少 max z x1 x2 x3 x4 x5 x6
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地点
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
建点成本
估计利润
20 20 25 24 22 24 23
30 30 35 34 38 40 45
1 设 : xi 0
i = 1， 2， ， 7 当Ai 未被选中，
当Ai 被选中，
数学模型为：
max z 30 x1 30 x2 35 x3 34 x4 38 x5 40 x6 45 x7 20 x1 20 x2 25 x3 24 x4 22 x5 24 x6 23x7 ≤ 100 ≤ 2 (东区) x1 x2 x3 s.t. x4 + x5 ≥ 1 (西区) x6 + x7 ≥ 1 (南区) xi 0 或 1
解3 (4,8/3)
(2,9/2),z=34.5 ①
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x1
5x1+6x2=30
解6 (4,2),z=32
(2) (3) (4) (6) (5)(1) 对“解 再对“解 剪枝：上述有三个区域的整数解分别为“解 先对“解 对“解 1” 5” 分枝定界：选取 3” 2” 分枝定界：“解 分枝定界：“解 x1 5” 2” 3” 进行分枝定界：在原模型的基础上， 的坐标 的坐标为 的坐标 (8/3,4) ， (3,31/8) 为非整数，添加 ， 4”X=(3,3) 为非整数，添加 ，分别添加 ，z=33 x2≤2 x2≤3 x1≤2 ；， 解 绘制直角坐标系，图示约束条件，图示目标函数一根基线 分别添加 x2≥4 （ “解 x2 x1≥3 6”X=(4,2) ，优化结果 ≥3 为非可行域），优化结果为 x1≤3,x1≥4 ，z=32 “解 。优化结果 ；“解 4”，X=(3,3) 7”X=(2,4) “解 ，X=(2,17/4) X=(9/2,2) z=33 2” ， ， z=34 ，为可行解；“解 X=(3,31/8) ， 。相比较，目标值最大 ，再添加 z=34.5 ， ；再添加 z=38.25 x2=4 5” 和 ， ； x1 x2=5 。 (z=30) ，使其平行移动，求得非整数最优解。该解的坐标为 “解34 X=(8/3,4) =4,x1 求得整数解 的为 3” ≥5 ，。解得整数解 ，对应的最优方案 ， X=(4,8/3) z=37.33 (2,4) ，目标值 ， ，为非可行解。 z=36 X=(4,2) 34 ，均为非整数（非可行解）。 。 ；整数解 ，z=32(0,5) 和非整数解 ，目标值 X=(21/4,1) 30，取(2,4) ，目标值 。如图 (72/23,88/23) ，不在网格线的交叉点上，非整数解（非可行解）。 z=31.25 “解 7”。 ；整数解目标值大于非整数解，取(4,2)，得“解6”。 演示：利用WinQSB,ExcelORM+规划求解,ExcelORM+Lingo求例4.1