线性代数1-2
线性代数经管类1-2
习题1-2解答1. 求下列排列的逆序数： ⑴ 4132；解：42110)4132(=+++=N 。
⑵ 2413；解：31200)2413(=+++=N 。
⑶ 36715284；解：1340423000)36715284(=+++++++=N 。
⑷ 3712456；解：71112200)3712456(=++++++=N 。
⑸ 13…24)12(-n …)2(n ；分析：逆序数的计算方法有两种，一般来讲用下述方法较多：=)(21n i i i N 1i 后面比1i 小的数的个数2i +后面比2i 小的数的个数+…1-+n i 后面比1-n i 小的数的个数。
其中)(21n i i i N 代表排列n i i i 21的逆序数，因此求排列的逆序数只要从第一个元素起依次用上述方法来计算即可。
解一：排列：1 3 5 … 12-n 2 4 6 … n 2↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 逆序：0 0 0 0 1-n 2-n 3-n 013[N ...24)12(-n (2))1(01)2()1()]2(-=++-+-=n n n n n 。
解二：对于1来讲，后面无比1小的数，对于3来讲，后面有1个数2比它小，对于5来讲，后面有2个数比它小，…，而对于)12(-n 来讲，后面有)1(-n 个数比它小，故13[N ...24)12(-n (2))1(13210)]2(-=-+++++=n n n n 。
⑹ 13…)22)(2)(12(--n n n …2。
解：13[N …)22)(2)(12(--n n n …)1(0)1()1(210]2-=++-+-++++=n n n n 。
2. 写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项。
分析：由行列式的定义知，43214321)1(i i i i la a a aD ∑-=，其中4321i i i i 是1，2，3，4的某个排列，本题中11=i ，32=i ，所以3i ，4i 分别为2，4，故4321i i i i 是为1324或1342。
1-2线性代数
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为 于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2） ）
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节 全排列及其逆序数
一、排列
定义 由自然数 2, , n 组成的不重复的每一 由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列 称为一个 阶排列 (简称排列 简称排列). 简称排列 都是4 例如 1234 和4312都是 阶排列 都是 阶排列, 24315是一个 阶排列 是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列 此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)
线性代数ch1-2
,
B
B11
B1r
As1 Asr
Bs1 Bsr
其中Aij与Bij的行数相同, 列数相同, 那么
A
B
A11
B11
A1r
B1r
.
As1 Bs1 Asr Bsr
2
设
A
A11
A1r
,
为
数,
那
末
As1 Asr
A
A11
A1r
.
As1 Asr
3 设A为m l矩阵, B为l n矩阵,分块成
（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘 不满足交换律,消去律.
（3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每 一个元素.
(4) 对角阵，对称阵都是方阵，方阵才有幂方。
思考题
设A与B为n阶方阵,问等式
A2 B2 A BA B
成立的充要条件是什么?
思考题解答
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
例3 设三阶矩阵A, B满足关系 :
o 1 2
A1BA 6A BA,且A
14
求B.
o
1 7
2
解
依题意，显然A可逆，且
2 1
2
1
2 1
2 1
2 1
2
1
2 1
2 1
2 1
2
, An
A当n为 奇 数 I当n为 偶 数
1 2
1
2 1
,
(2021年整理)线性代数1-2章精选练习题
线性代数1-2章精选练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（线性代数1-2章精选练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为线性代数1-2章精选练习题的全部内容。
第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 （ ）。
(A) 24315 (B ） 14325 (C ） 41523 （D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ )。
(A ）k (B ）k n - (C)k n -2! （D)k n n --2)1(3。
n 阶行列式的展开式中含1122a a 的项共有( )项。
（A ） 0 （B)2-n (C) )!2(-n （D) )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B)1- (C ） 1 (D ） 25. =0001100000100100（ ）。
(A) 0 （B ）1- （C ） 1 （D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ）。
（A) 0 (B)1- （C) 1 (D ） 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）.（A) 4 （B ） 4- （C ） 2 (D ） 2- 8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( )。
线性代数(文)习题答案1-2章
第一章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换一、 判断题（对的打√，错的打×）1.消元法求解线性方程组时只有系数参与运算，未知元并未进行运算。
（ × ）2.消元法求解线性方程组时也可以用初等列变换，因为初等列变换也不会改变方程组的解。
（ × ）3.一个矩阵的行阶梯形不唯一，但行最简形唯一。
（√ ）4.行最简形是矩阵经过初等变换能变到的最简单的形式。
（× ）5.矩阵与其行最简形和标准形等价。
（√ ）6.如果两个矩阵等价，它们一定是同型矩阵。
（ √ ）7.求解线性方程组时所用的变换只有三种。
（√ ）8.同一个矩阵的行阶梯形和行最简形的非零行的行数相同。
（ √ ）二、计算题1.将矩阵23137120243283023743--⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎪-⎝⎭化为行最简形矩阵和标准形。
1221314143213141232232231371202412024120242313701111328303283008891223743237430778111202401111000140014r r r r r r r r r r r r r r r r ↔-------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪---⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭--⎛⎫ ⎪- ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭132321202412004011110110300014000140000000000r r r r +---⎛⎫⎛⎫⎪⎪--- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1222(1)10202011030001400000r r r +⨯--⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪⎪⎝⎭-------行最简形3132515122310202100001000001103011030100000014000140001400000000000000c c c c c c c c -++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭543441000010000010000100000010001000000000000c c c c -↔⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭------标准形 2.用矩阵的初等变换解下列线性方程组。
新版线性代数1-2章练习和参考答案
1 四、设 a, b, c 是互异的实数，证明： a a3
1 b b3
1 c = 0 的充要条件是 a + b + c = 0 。 c3
8
院(系) , 一、填空： 1.方程组 ⎨
班, 姓名 练习 2.4 行列式的应用
学号
⎧7 x + 8 y = 6 的解 x = ⎩3x − 5 y = 11
, y=
解或有无穷解.
3
院(系) ,
班, 练习 1.4
姓名
学号
矩阵的标准形
一、填空： 1.设一个 m × n 线性方程组的系数矩阵为 A ，它等价于 ⎜
⎛ Er ⎝0
0⎞ ⎟ ；其增广矩阵为 0 ⎠ m×n
⎛E B ，它等价于 ⎜ k ⎝ 0
成
0⎞ . 那么方程组有解的充分必要条件可以用 r 和 k 描述 ⎟ 0 ⎠m×( n +1)
；
；
当 n = 2 时， D =
；当 n ≥ 3 时， D =
1 −2 5. 4 −8 0 1 6.设有 x 1 1 1 7. 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 0 1 x 1 0 1 1
1 1 2 3 = 4 9 8 27 x 1 0 1 0 1 = 1 1
；
1 x = 0 ,则 x = 1 0
三、不计算行列式的值，证明行列式
能被 18 整除.
6
院(系) , 一、填空：
班, 姓名 练习 2.3 行列式的计算
学号
2 0 0 0 1 −1 1. 0 −4 0 5 2 −3
4 2 = 0 8
−1 1 1 x −1 −1 x +1 −1 1 ；2. = −1 1 x −1 1 −1 1 x +1 −1 1 0 中，元素 x 的代数余子式是 0 1
线性代数1-2全排列及其逆序数1-3n阶行列式的定义1-4对换
例3 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 Dn n1 0 0 0 0 0 0 0 0 n
解 Dn 1 t a1,n1a2,n2 an1,1ann
1t 1 2 n 1 n 1t n!, tn 1n 2 21n
01 2L n 3 n 2 0
1234
例3 计算
0 D
4
2
1
0056
0008
解
1234Βιβλιοθήκη 0421D 00
5
6 a11a22a a 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 0 0
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
例4 证明对角行列式
1 2
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性 . 再证一般对换的情形 .
设排列为 a1 alab1 bmbc1 cn , 现来对换 a 与b.
a1 al a b1 bm b c1 cn
m 次相邻对换 a1 al ab b1 bmc1 cn
m 1 次相邻对换 a1 al b b1 bm a c1 cn
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列 nn 1n 2L 321
的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解
t 1 2 L (n 2) n 1
nn 1
,
2
当 n 4k,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
第一章 行列式
第三节 n 阶行列式的定义
一、概念的引入
1
a a t p1q1 p2q2
a pnqn
线性代数 第四章 (1-2节)
第四章线性方程组§1 消元法在实际问题中，我们经常要研究一个线性方程组的解，解线性方程组最常用的方法就是消元法，其步骤是逐步消除变元的系数，把原方程组化为等价的三角形方程组，再用回代过程解此等价的方程组，从而得出原方程组的解.例1 解线性方程组解 将第一个方程加到第二个方程，再将第一个方程乘以（-2）加到第三个方程得在上式中交换第二个和第三个方程，然后把第二个方程乘以-2加到第三个方程得再回代,得.分析上述例子，我们可以得出两个结论：（1） 我们对方程施行了三种变换：① 交换两个方程的位置；② 用一个不等于0的数乘某个方程；③ 用一个数乘某一个方程加到另一个方程上.我们把这三种变换叫作线性方程组的初等变换.由初等代数可知，以下定理成立.定理1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组.（2） 线性方程组有没有解,以及有些什么样的解完全决定于它的系数和常数项，因此我们在讨论线性方程组时，主要是研究它的系数和常数项.定义1 我们把线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵，把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵.设线性方程组则其系数矩阵是增广矩阵是显然，对一个方程组实行消元法求解，即对方程组实行了初等变换，相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换.而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵，这样，不但讨论起来比较方便，而且能够给予我们一种方法，利用一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.例2 解线性方程组解 增广矩阵是,交换矩阵第一行与第二行，再把第一行分别乘以和(-2)加到第二行和第三行，再把第二行乘以(-2)得,在中将第二行乘以2加到第三行得,相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组：回代得.§2 线性方程组有解判别定理上一节我们讨论了用消元法解方程组(4.1)这个方法在实际解线性方程组时比较方便，但是我们还有几个问题没有解决，就是方程组(4.1)在什么时候无解?在什么时候有解?有解时，又有多少解?这一节我们将对这些问题予以解答.首先，由第三章，我们有下述定理定理2 设A是一个m行n列矩阵，通过矩阵的初等变换能把A化为以下形式这里ｒ≥0，ｒ≤ｍ，ｒ≤ｎ.注：以上形式为特殊标准情况，不过，适当交换变元位置，一般可化为以上形式.由定理2，我们可以把线性方程组(4.1)的增广矩阵进行初等变换化为：（4.２）与(4.2)相应的线性方程组为：（4.3）由定理1知：方程组(4.1)与方程组(4.3)是同解方程组，要研究方程组(4.1)的解，就变为研究方程组(4.3)的解.① 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ中有一个不为0，方程组(4.3)无解，那么方程组(4.1)也无解.② 若ｄｒ＋１，ｄｒ＋２，…，ｄｍ全为0，则方程组(4.3)有解，那么方程组(4.1)也有解.对于情形①，表现为增广矩阵与系数矩阵的秩不相等，情形②表现为增广矩阵与系数矩阵的秩相等，由此我们可以得到如下定理.定理3 (线性方程组有解的判别定理)线性方程组（4.1）有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r.① 当r等于方程组所含未知量个数n时，方程组有惟一的解；② 当r＜ｎ时，方程组有无穷多解.线性方程组（4.1）无解的充分必要条件是：系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等.在方程组有无穷多解的情况下，方程组有n-r个自由未知量，其解如下：其中是自由未知量，若给一组数就得到方程组的一组解例3 研究线性方程组解 写出增广矩阵对进行初等行变换可化为由此断定系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等，所以方程组无解.例4 在一次投料生产中，获得四种产品，每次测试总成本如下表:生产批次产品（公斤）总成本（元）ⅠⅡⅢⅣ12001001005029002500250200100705031004002013604400180160605500试求每种产品的单位成本.解 设Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品的单位成本分别为，由题意得方程组：化简，得写出增广矩阵对其进行初等行变换，化为由上面的矩阵可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，并且等于未知数的个数，所以方程组有唯一解：例5 解线性方程组解 这里的增广矩阵是对其进行初等行变换，化为由上式可看出系数矩阵与增广矩阵的秩相等，所以方程组有解，对应的方程组是把移到右边，作为自由未知量，得原方程组的一般解为给自由未知量一组固定值：，我们就得到方程组的一个解.事实上，在例5中，也可作为自由未知量.我们同样可考察.。
线性代数1和线性代数2
线性代数1和线性代数2
线性代数是数学领域中一种非常重要的分支，它是研究数学中各种解决问题的理论和方法，为科学研究和工程应用提供基础。
线性代数1和线性代数2是完成数学学习必备的两门线性代数课程，本文将对这两门课程进行介绍并对它们新学习者感兴趣的方面加以说明。
线性代数1是研究线性系统、向量空间、矩阵等一般形式的线性方程的概念的一门课程。
它的内容涉及到向量空间的定义和运算、矩阵的表示和求解、矩阵的特征值、行列式的求解、方程组的求解、线性变换等。
这门课程有助于学生对线性系统和线性变换有更加深刻和系统的认识。
线性代数2是深入研究线性可加性、线性无线性性能、线性函数的研究的一门课程。
它的内容涉及到矢量分析、线性函数的微积分、线性变换的基础知识、内积空间等，其中，最关键的是内积空间的理解和使用。
这门课程有助于学生掌握线性无线性性能，加深对线性变换的理解，能够更好地解决线性函数类型的问题。
线性代数1和线性代数2是数学中必修的两门课程，它们具有重要的实际意义和抽象理论价值，掌握它们可以帮助科学技术和工程实践中的解决问题。
在学习这两门课程时，除了学习本身的知识外，学习者还应该努力提高自己的数学思维能力，更好地分析解决复杂的问题。
总之，线性代数1和线性代数2是受到学习者的普遍重视的两门重要的数学课程，在研究科学和工程技术的解决问题时，其概念和方
法都是必不可少的。
如果想要更好地学习和掌握这两门课程，学习者除了学习本身的知识外，还需要在解决复杂问题时灵活运用所学知识，从而提高自己的数学思维能力。
线性代数_1-2行列式按行列展开
ai 1 j 1 ai 1 n ai 1 j 1 ai 1 n anj 1 0 ann 0
1
再把D的第j 列依次与第j+1 列，第j+2 列, …, 第n 列对调
a11 D 1
n i
a1 j 1
a1 j 1 ai 1 j 1 anj 1 0
a ( n 1)b 1 1 1 a (n 1)b b ab
1 1
b a b b b ab
b b b b a b b a b
0
ab
a (n 1)b(a b)n1 .
0
计算
x1 x1 x1 x1 y
x2 x2 x2
x n 1
xn y xn xn xn
D
x n 1 y x n 1 x n 1
x2 y
例
x a1
a1 x
a2 a2
a3 an a3 an
解
D n 1 a1 a 2 x a 3 a n . a1 a 2 a 3 a 4 x
0 4 1 4 0
5 1
2 5
3
1 2
0 2 3 1 2 0 4 1 4 0 2 3 5
2 10 0 0 3 1
2
3
1
2 5 4 1 4 2 3 5
r2 2r1
r3 r1
7 2 10 2 6 6 6
7 2 6
20 42 12 1080.
a1n
a1 j ai 1 j ai 1 j anj
线性代数 1-2 第1章2讲-行列式的基本概念(2)
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
01 n 阶行列式是由n!项组成的，结果是一个数.
02 定义式的右边每一项都是 n 个元素的乘积（称为一个乘积项）,这 n 个元素是
由行列式的不同行、不同列的元素构成的.
某一乘积项符号的确定：先把该项的 n个元素按行标排成标准顺序，然后由
03
列标所成排列的逆序数来决定这一项的符号.
当n 4k或n 4k 1时，n(n 1) 为偶数； 2
当n 4k 2或n 4k 3时，n(n 1) 为奇数. 2
6
n阶行列式
结论（3）
a11 a12 a22
a1n a2n a11a22 ann
ann
上三角行列式 对角线下方的元素全为零
解
D 中可能不为 0 的项只有 (1)N a11a22 ann ，
此项的符号为 (1)N (1)0 1 ，
所以 D a11a22 ann .
7
n阶行列式
结论（4） 结论（5）
a11 a21 a22
a11a22 ann
an1 an2
ann
a2 ( n 1)
a1n
a2n
n ( n 1)
(1) 2 a a 1n 2(n1)
an1
a a n(n1)
nn
下三角行列式 对角线上方的元素全为零
线性代数（慕课版）
第一章 行列式
第二讲 行列式的基本概念(2)
主讲教师 |
本讲内容
01 排列及其逆序数 02 二阶、三阶行列式
03 n阶行列式
n阶行列式
定义 用 n2个数aij i, j 1, 2, , n 排列成的一个 n 行 n 列的记号
线性代数1-2
所以
Dn 1
n1 n 2
2
n!.
思考题
分别用两种方法求排列16352487的逆序数.
思考题解答
解 用方法1
1 6 3 5 2 4 8 7
N 0 31 21 01 0 8
用方法2 由前向后求每个数的逆序数.
N 0 0 1 1 3 2 0 1 8.
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;
5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;
4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;
3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
N 32541 0 1 0 3 1 5.
第二节 n 阶行列式
一、排列与逆序
二、n 阶行列式的定义 三、对换
一、排列与逆序
定义1 由自然数 1,2,, n 组成的不重复的每一种有 确定次序的排列, 称为一个 n 级排列（或排列）. 例: 1234和 4213 都是4级排列, 54123和 35142 都是5级排列. 注: n 级排列的总的个数:
2 当 k 为偶数时，排列为偶排列，
k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
二、n 阶行列式的定义
观察三阶行列式
a11 D a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
解
Dn 1 a1,n1a2 ,n2 an1,1ann
线性代数 1_2
A I
1 0 0
3
3I
0 0 0 3I
0 1 3 I 0
3
设f(x)=amxm+ am-1xm-1+ ∙∙∙+a0，A是一个方阵，定义 f(A)=amAm+ am-1Am-1+ ∙∙∙+a0I 称之为矩阵A的多项式.
华东理工大学数学系
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性质2 若矩阵A可逆，且AB=I，则必有BA=I . 证明： 由于A可逆，即AA－1=A－1A=I， 又AB=I， 于是有
BA I(BA) ( A
A
1
A )( B A )
1
1
( AB )A A
IA I .
说明： (1) 如果矩阵A可逆，且AB=I，则A－1=B , B－1=A
当n是偶数时，则
A
n
A
2
n 2
I
n 2
I.
当n是奇数时，则
A
n
A
n 1
A IA A .
华东理工大学数学系
求An 或A的高次幂的常用方法：
(1) 若A为一个列矩阵与行矩阵的乘积，则由矩阵乘 法的结合律，进而可得
A
n
k
n 1
A.
(2) 计算A的低次幂，由此归纳出An的表达式，并 用数学归纳法证明.
(2) 如果矩阵A可逆，且BA=I，则AB=I , A－1=B , B－1=A
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性质3 若矩阵A可逆，则A－1可逆，且(A－1)－1=A . 性质4 若矩阵A可逆，数 0 , 则 A 可逆，且
A
1
线性代数1-2
al a bb1
bm
对换 a 与 b
a1
al b ab1
bm
除a,b外，其它元素的逆序数不改变. 逆序数加1或减1，奇偶性改变.
2)
一般情形
对换a与b
a1 al a b1 bm b b c1 cn
a1 al ab1 bm bc1 cn
a1
al bb1
bm ac1
cn ,
m 次相邻对换 a 1
若将t 个偶排列的前两个数对换, 则这t 个偶排列 全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有 t s . 故必有 s t .
本节小结
1. n元排列 2. 逆序 3. 逆序数 4. 奇偶排列 5. 对换 结论1 任一排列经过一次对换奇偶性改变. 结论2 全部n元排列中,奇偶排列各占一半.
t 18
例2 讨论排列 n n 1 n 2 解
nn 1n 2321
n1 n2
321的奇偶性.
t n 1 n 2 2 1 n n 1 , 2 当n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当n 4k 2,4k 3 时为奇排列.
例3 选择i和j,使1i25j4869成为奇排列、偶排列.
1
4.对换
n元排列中, 任意对调两个元素的位置,其余元素 不动,这种变换叫做对换．
奇 偶
25143
偶
25413
奇
这些排列的
奇偶性呢？
2 1 6 排列经过一次对换必改变奇偶性. 证明 1) 特殊情形：相邻对换 设排列为 a1
2.逆序
n元排列中,若较大的元素排在较小的元素 前面，称为一个逆序. 比如 3 2 5 1 4
3.逆序数
排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
[数学]线性代数1-2-习题课
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n
ai
a2
x
an
i1
n
x ai
a2
a3
x
i1
h
31
提取第一列的公因子，得
1 a1 a2 an
1 x a2 an
n
Dn1 (x ai) 1
a2
x an.
i1
1 a2 a3 x
将1第 列(的 a1)倍加2 到 列第 ，1将 列第 的 (a２ )倍加3 到 列 第 ， ,将1第 列(的 an)倍加到 后一列，得
h
20
解 设D5中第 1,2,3,4,5行的元素a分 1p1,a别 2p2, 为 a3p3,a4p4,a5p5,那么， D5中 由第 1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
p12,3;
p1,2,3,4,5; 2
p31,2,3,4,5;
p2,3; 4
p52,3.
因为p1, p2, p3, p4, p5在上述可能取的,代
一个5元排列也不能组成，
故D5 0.
h
21
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准顺序 排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每 一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法．
注意
如果一n个 阶行列式中等于素 零比 的元
n2n还多，则此行列于 式零 必 .(为等什么 ?)
h
22
例３
设
a11 a12 a1n
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
h
6
５、n阶行列式的定义
a11 a12 a1n
Da 21a 2 2 a 2n p1p2pn1ta1p1a2p2anpn
an1 an2 ann
线性代数第一章笔记1-2-1
a a 1 ⋯ a l a b b1 ⋯ b m
a 1 ⋯ a l b a b1 ⋯ b m a
a1 ⋯ala b1 ⋯bm b c1 ⋯cn a a1 ⋯al b b1 ⋯bm a c1 ⋯cn a
定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换， 定理2.1 一个排列中的任意两个元素对换，排 列改变奇偶性． 列改变奇偶性． 证明 设排列为
t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5.
计算下列排列的逆序数， 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性. 偶性
(1) 217986354
解
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t = 5 + 4 + 4+ 3+1+ 0+ 0+1+ 0
= 18
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
第二节 n 阶行列式的定义(I) 阶行列式的定义(I)
一、全排列及其逆序数
引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 三个数字， 、 、 三个数字 有重复数字的三位数？ 有重复数字的三位数？ 解
百位 十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3 3
3种放法 种放法 2种放法 种放法 1种放法 种放法
用 P 表示 n表示. 由引例 P3 = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6. 同理
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ⋯ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!.
排列的逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, 我们规定各元素之间有一个标准次序 n 个 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 标准次序. 不同的自然数，规定由小到大为标准次序 定义 在一个排列 (i1 i 2 ⋯ i t ⋯ i s ⋯ i n ) 中，若数 it > i s 则称这两个数组成一个逆序 则称这两个数组成一个逆序.
线性代数第一章1-2行列式的性质
思考题
解 答解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成
1 1 A11+A12+ · · · +A1n 1 1 1 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 n
a12 ai 2
a1 n ain
a11 ai 1
a12 a1 n ai 2 ain ai 2 ain an 2 ann
相同
k kai 2 kain ai 1 an 2 ann a
0.
n1
性质1.2.4: 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和,
t
故结论成立.
思考: P26 第三题
性质1.2.5: 把行列式的某一列(行)的各元素乘以 同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去, 行列式 不变. a11 a1i a1 j a1n 例如 a21 a2i a2 j a2n k an1 ani anj ann a11 (a1i ka1 j ) a1 j a1n a21 (a2i ka2 j ) a2 j a2n an1 (ani kanj ) anj ann
n
ij ij
其中
D 当i j 1 当 i j . a ki Akj D ij 0 当 i j . ij k 1 0 当 i j
1 2 3 n 1 2 0 0 设 n 阶行列式 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n 求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ · · · +A1n .
故
D D .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质1.2.2 互换行列式的两行(列),行列式变号. 证明: 由行列式
线性代数1和线性代数2
线性代数1和线性代数2
线性代数是数学的一个主要部分，它涉及到几何和代数的交叉，以及研究线形空间和矩阵的关系。
线性代数的学习不仅能帮助学生掌握基础的数学知识，而且能够更好地理解二维和三维空间中的几何结构，给学生们带来更多的应用知识。
线性代数1主要涉及到向量空间、线性变换、矩阵变换、行列式、特征值和特征向量以及线性方程。
线性代数2涉及到复数空间、复数矩阵、平面空间、内积空间以及秩和空间的可线性化的部分。
线性代数1是线性代数入门阶段，它专注于基本矩阵和向量空间的概念，以及特征值和特征向量的求解。
学习者需要熟练掌握变换矩阵、行列式、线性方程以及几何解释等技能，以及矩阵运算法则及其相关概念。
线性代数2是在进行线性复数作业前所必需的知识，主要涉及复数空间、复数矩阵、平面空间、内积空间、秩以及空间可线性化的知识，学习者需要掌握复数的知识、熟练的掌握内积的技能、理解矩阵的几何意义、以及可线性化的技能。
学习线性代数时，需要培养学生的空间能力，以及在一定的范围内解决一切问题的技巧。
为此，学习者应该深入理解线性代数中的基本概念，并积极地掌握相关技术，以运用线性代数解决实际问题。
通过学习线性代数，我们可以站在数学的高度，更好地理解和分析复杂的问题，有效地解决实际问题，为健康、快乐的生活创造更多可能性。
线性代数1-2
思考题：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因 而是偶排列.
计算排列的逆序数的方法
设 p1p2 … pn 是 1, 2, …, n 这 n 个自然数的任一排列，并 规定由小到大为标准次序. 先看有多少个比 p1大的数排在 p1前面，记为 t1 ； 再看有多少个比 p2大的数排在 p2前面，记为 t2 ； …… 最后看有多少个比 pn大的数排在 pn前面，记为 tn ；
2. 若排列的x1x2…xn逆序数为I，求排列xn xn-1…x1 的逆序数.
答 案
继续
1. (1)9
(2)1 3 (2n 1) n2
2. ( xn xn1
x1 )
n(n 1) I . 2
详解
10
思考练习（排列的逆序数详解）
方法1 在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s<t), 则它们必在排列x1x2…xn或xnxn-1…x1中构成逆序， 且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列
发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：
若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)
若(1)中jk不构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：
例6
( 31)
(42)
(43)
342114231243 1234
5 2 1 0
结论： ①对换改变排列的奇偶性. ②任意一个n级排列与标准排列12…n都可以经过一
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t 0
4 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k
0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k 21 k 1k 1 k k2, 2
p1 p2 pn t p1 p2 pn
1
a1 p1 a2 p2 anpn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
a11
a12 a1n
a11a22 ann .
0 a22 a2 n
解
0 0 ann 展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
分析
所以不为零的项只有 a11a22 ann . a11 a12 a1n
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解:
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321 n2 2 0 1
对应于
1t a11a22a33a44 x 3 ,
1
t 1243
a11a22 a34 a43 2 x 3
故 x 3 的系数为 1.
1 2 3 4
２．
D
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
?
解：
D
1 2 3 4 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8 a11a 22 a 33 a44 1 4 5 8 160.
0 a22 a2 n 0 0 ann
1
t 12n
a11a22 ann
a11a22 ann .
同理可得下三角行列式
a11 a 21 a n1
0 a 22 an 2
0 0 0 0 a n 3 a nn
a11a22 ann .
p1 p2 pn
1
t p1 p2 pn
a1 p a2 p anp
1 2
n
p1 p2 pn
1
t p1 p2 pn
a1 p a2 p anp b
1 2 n
1 2 n p1 p2 pn
由于 所以
p1 p2 pn 1 2 n,
2.逆序
定义: 在n级排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若 i t i s ，则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中
逆序
3 2 5 1 4
逆序
逆序
3.逆序数
定义 一个n级排列 i1 , i2 ...in 中所有逆序的总数 称为此排列的逆序数. 记为: t (i1 , i2 ...in )或t 例如 排列32514 中，
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1t . 5、
例1
试判断 a14a23a31a42a56a65 和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项.
解
a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
n
证明
若记
第一式是显然的,下面证第二式.
i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2
a n1 a 2 , n 1 a1n
n
1t nn121 a1na2,n1 an1
1
n n 1 2
12 n .
证毕
例７证明上三角行列式
当 k 为偶数时，排列为偶排列 当 k 为奇数时，排列为奇排列.
k
例3.当i=___，j=___时，1i25j4897为 奇排列．
132564897
t=0+0+1+0+0+2+0+0+2=5
162534897
t=0+0+1+1+2+2+0+0+2=8
在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动， 得另一新排列，这样的变换称为一个对换． 任一个排列经过一个对换后奇偶性改变
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
列标偶排列 列标奇排列
a11 a12 a13
正号
负号,
a21 a22 a23 ( 1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 .
t
a31 a32 a33
２、n阶行列式的定义
定义
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn . a11 记作 D a21 a n1 a12 a22 a1n a2 n
1t p p p a1 p a2 p anp b1 2 n p p p D2
解
n n 1 n 2 3 2 1 n 1
nn 1 t 1 2 3 (n 2) n 1 2 , 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列. （３） 123…(n-1)n 标准排列
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只能等于 4 ,
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1 即行列式中不为零的项为a14 a23 a32 a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
2
an 2 ann
简记作 det( aij ). 数 aij 称为行列式 det( aij ) 的元素． 其中 p1 p2 pn 为自然数 1， ，n 的一个排列， 2，
t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
证
由行列式定义有
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n D2 a21b a22 a2 n b 2 n an1b n1 an 2b n 2 ann
一、 n级排列、逆序、逆序数
概念的引入 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 引例 有重复数字的三位数？
解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
１．n级排列
定义: 由n个不同数码1,2,…,n组成的有序数组 i1 , i2 ...in 称为一个n级排列
３．
设
D1
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n D2 a21b a22 a2 n b 2 n
an1b n1 an 2b n 2 ann 证明 D1 D2 .
１．概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13 a 22 a 31 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． 行标 １２３ 标准排列 １２３ ２３１ ３１２ 偶排列 ３２１ １３２ ２１３ 奇排列 （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． 列标
i1 ik1k2 ks 1 jks in i1 ik1k2 jks 1ks in
i1 ijk1k2 ks in
i1 jk1k2 ks i in
共经2s+1次相邻对换
对n级排列共有n !种不同的排法， 其中奇排列、偶排列各占一半
二、n阶行列式的定义
思考题
x 1
已知 1. f x
1 1 x
2 1 1 1
1
x
3 2
1 1 2x
求 x 3 的系数.
解： 含 x 3 的项有两项,即
x 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 1 1 1
t 1243
解
f x
1 3 1
1 a11a22a33a44 1
t
a11a22 a34 a43
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例２ 试判断
abcd
b b1 b2 b3 c c1 c2 c3
和
da1b2c3
d d1 d2 d4
1 2 n