线性代数1-2

0
0
1
3 2 5 1 4
1
逆序数为3
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法
方法1 分别计算出排在1,2 , , n 1, n 前面比它大的数 码之和即分别算出 1,2 , , n 1, n 这 n个元素 的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数. 方法2 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数， 这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆 序数. 即t t t ... t ,
一、 n级排列、逆序、逆序数
概念的引入 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 引例 有重复数字的三位数？
解
百位
十位 个位
1 1 1 2 1 2 3
2 2 1 3
3
3
3种放法 2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6
种放法.
１．n级排列
定义: 由n个不同数码1,2,…,n组成的有序数组 i1 , i2 ...in 称为一个n级排列
思考题
x 1
已知 1. f x
1 1 x
2 1 1 1
1
x
3 2
1 1 2x
求 x 3 的系数.
解： 含 x 3 的项有两项,即
x 1 x 2 1 1 1 x 2x 2 1 1 1
t 1243
解
f x
1 3 1
1 a11a22a33a44 1
t
a11a22 a34 a43
若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1只能等于 4 ,
从而这个项为零， 同理可得 p2 3, p3 2, p4 1 即行列式中不为零的项为a14 a23 a32 a41 .
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
1
t 4321
1 2 3 4 24.
３．
设
D1
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n D2 a21b a22 a2 n b 2 n
an1b n1 an 2b n 2 ann 证明 D1 D2 .
当 k 为偶数时，排列为偶排列 当 k 为奇数时，排列为奇排列.


k
例3.当i=___，j=___时，1i25j4897为 奇排列．
132564897
t=0+0+1+0+0+2+0+0+2=5
162534897
t=0+0+1+1+2+2+0+0+2=8
在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动， 得另一新排列，这样的变换称为一个对换． 任一个排列经过一个对换后奇偶性改变
4、 一阶行列式 a a 不要与绝对值记号相混淆;
a1 p1 a2 p2 anpn 的符号为 1t . 5、
例1
试判断 a14a23a31a42a56a65 和 a32a43a14a51a25a66
是否都是六阶行列式中的项.
解
a14a23a31a42a56a65 下标的逆序数为
t 431265 0 1 2 2 0 1 6
2.逆序
定义: 在n级排列 i1 i 2 i t i s i n 中，若 i t i s ，则称这两个数组成一个逆序. 例如 排列32514 中
逆序wenku.baidu.com
3 2 5 1 4
逆序
逆序
3.逆序数
定义 一个n级排列 i1 , i2 ...in 中所有逆序的总数 称为此排列的逆序数. 记为: t (i1 , i2 ...in )或t 例如 排列32514 中，
0 a22 a2 n 0 0 ann
1
t 12n
a11a22 ann
a11a22 ann .
同理可得下三角行列式
a11 a 21 a n1
0 a 22 an 2
0 0 0 0 a n 3 a nn

a11a22 ann .
2
an 2 ann
简记作 det( aij ). 数 aij 称为行列式 det( aij ) 的元素． 其中 p1 p2 pn 为自然数 1， ，n 的一个排列， 2，
t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
n
证明
若记
第一式是显然的,下面证第二式.
i ai ,n i 1 , 则依行列式定义
1 2

a n1 a 2 , n 1 a1n
n
1t nn121 a1na2,n1 an1
1
n n 1 2
12 n .
证毕
例７证明上三角行列式
p1 p2 pn t p1 p2 pn
1
a1 p1 a2 p2 anpn
说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而 定义的; 2、 n 阶行列式是 n! 项的代数和; 3、 n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同 列 n 个元素的乘积;
a11
a12 a1n
a11a22 ann .
0 a22 a2 n
解
0 0 ann 展开式中项的一般形式是 a1 p1 a2 p2 anpn .
pn n, pn1 n 1, pn 3 n 3, p2 2, p1 1,
分析
所以不为零的项只有 a11a22 ann . a11 a12 a1n
p1 p2 pn
1
t p1 p2 pn
a1 p a2 p anp
1 2
n

p1 p2 pn
1
t p1 p2 pn
a1 p a2 p anp b
1 2 n
1 2 n p1 p2 pn
由于 所以
p1 p2 pn 1 2 n,
是否都是四阶行列式中的项，符号是正，是负？
a D4 a1 a2 a3
abcd
不是
da1b2c3
是
t (4123 ) 0 1 1 1 3
负号
例３ 解
用行列式定义计算对角行列式 分析
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
展开式中项的一般形式是
a1 p1 a2 p2 a3 p3 a4 p4
对应于
1t a11a22a33a44 x 3 ,
1
t 1243
a11a22 a34 a43 2 x 3
故 x 3 的系数为 1.
1 2 3 4
２．
D
0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8
?
解：
D
1 2 3 4 0 4 2 1 0 0 5 6 0 0 0 8 a11a 22 a 33 a44 1 4 5 8 160.
例４
用行列式定义计算行列式
0 0 D 0 0
a12 0 0 0
t
0 a23 0 0 a53
0 0 a34 0 a54
0 0 0 a45 a55
a51 a52
(1) a12a23a34a45a51
a12a23a34a45a51
t (23451 ) 0 0 0 0 4 4
t 0 1 0 3 1 5.
例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇 偶性.
1 217986354
解:
2 1 7 9 8 6 3 5 4
0 10 0 1 3 4 4 5
t 0 1 0 0 1 3 4 4 5
18
此排列为偶排列.
2 nn 1n 2321 n2 2 0 1
解
n n 1 n 2 3 2 1 n 1



nn 1 t 1 2 3 (n 2) n 1 2 , 当 n 4k ,4k 1 时为偶排列；
当 n 4k 2,4k 3 时为奇排列. （３） 123…(n-1)n 标准排列
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列．
列标偶排列 列标奇排列
a11 a12 a13
正号
负号,
a21 a22 a23 ( 1) a1 p1 a2 p2 a3 p3 .
t
a31 a32 a33
２、n阶行列式的定义
定义
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( 1)t a1 p1 a2 p2 anpn . a11 记作 D a21 a n1 a12 a22 a1n a2 n
i1 ik1k2 ks 1 jks in i1 ik1k2 jks 1ks in
i1 ijk1k2 ks in
i1 jk1k2 ks i in
共经2s+1次相邻对换
对n级排列共有n !种不同的排法， 其中奇排列、偶排列各占一半
二、n阶行列式的定义
1t p p p a1 p a2 p anp b1 2 n p p p D2
例５
用行列式定义计算行列式
0
a12
a13
0
0 a35 0 0
a21 a22 a23 a24 a25 D a31 a32 0 0
0
a33 a34 0 0 a53
a42 a43 a52
例６
证明对角行列式
1 2

12 n ;
n
1
n n 1 2
2

1
12 n .
证
由行列式定义有
a11 a12 a1n D1 a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
a11 a12b 1 a1nb1 n D2 a21b a22 a2 n b 2 n an1b n1 an 2b n 2 ann

证明： 对i (1)
1
ij in i1 ji in
设i1 ij in的逆序数为t ,
若i j , 则i1 ji in的逆序数为t 1 若i j , 则i1 ji in的逆序数为t 1
经对换后奇偶性改变
(2)i1 ik1k2 ks j in i1 jk1k2 ksi in
1 2 n
4.排列的奇偶性
逆序数为偶数或零的排列称为偶排列. 逆序数为奇数的排列称为奇排列;
例1 解:
求排列32514的逆序数.
在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数 为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 0 1 0 3 1 于是排列32514的逆序数为
t 0
4 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k





0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k 21 k 1k 1 k k2, 2
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t 452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
例２ 试判断
abcd
b b1 b2 b3 c c1 c2 c3
和
da1b2c3
d d1 d2 d4
１．概念的引入
a11 D a 21 a 31 a12 a 22 a 32 a13 a 23 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13 a 22 a 31 a11a 23 a 32 a12 a 21a 33
说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． 行标 １２３ 标准排列 １２３ ２３１ ３１２ 偶排列 ３２１ １３２ ２１３ 奇排列 （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． 列标