三元线性回归方
三元线性模型公式
三元线性模型公式
线性回归方程公式：b=（x1y1+x2y2+…xnyn-nXY）/（x1+x2+…xn-nX）。
线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。
线性回归方程公式求法：
第一：用所给样本求出两个相关变量的（算术）平均值：
x_=（x1+x2+x3+…+xn）/n
y_=（y1+y2+y3+…+yn）/n
第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）
分子=（x1y1+x2y2+x3y3+…+xnyn）-nx_Y_
分母=（x1^2+x2^2+x3^2+…+xn^2）-n*x_^2
第三：计算b：b=分子/分母
用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解为
其中，且为观测值的样本方差。
线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线。
顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。
先求x，y的平均值X，Y
再用公式代入求解：b=（x1y1+x2y2+…xnyn-nXY）/
（x1+x2+…xn-nX）
后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX
求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程
（X为xi的平均数，Y为yi的平均数）。
三元线性回归方程
对于一个稳定生产的水泥厂家来说,其主要工艺条件,原、燃料状况,在某一较长的时间内,是基本稳定的。
在此前提条件下,出厂水泥28d抗压强度与熟料3d强度、混合材掺量、水泥3d强度之间,具有线性相关关系。
应用三元线性回归分析方法,可直接预报水泥28d强度。
现列举工作中的一个实例,说明此预报方法的操作步骤。
1 设立关系式水泥28d强度y与熟料3d强度x1、混合材(煤渣)掺量x2、水泥3d强度x3之间具有直接相关关系,其回归关系式为:y=a0+a1x1+a2x2+a3x3(1)其中:a0、a1、a2、a3为回归系数。
求得并验证了这些系数,就会使以后的预报来得十分方便。
2 选取样本选取某一段时间内的连续实际数据,剔除个别明显异常值后即为样本。
一般选取30组以上的数据为好,样本数据越多,回归分析结果越准确,见表1。
表1 样本数据3 参数计算4 求解回归系数依最小二乘法原理所得方程组及解:得:a1=0.597;a2=-0.282;a3=0.397;a0= 21.6805 整理检验将所求得的回归系数代入(1)式即得水泥28d强度预报值为:=21.680+0.597x1-0.282x2+0.397x3(1)检验其相关性r接近1,说明相关性良好。
(2)检验其精度剩余标准偏差S值较小,说明回归方程精度良好。
(3)检验其可靠性预报值与实测值y的比较见表2,其相对误差几乎全部落于±5%的范围内,说明可靠性良好。
表228d强度预报值与实测值的比较6 结语(1)出厂水泥28d抗压强度与熟料3d强度、混合材掺量、水泥3d强度之间具有三元线性相关关系。
(2)采用三元线性回归分析比一元或二元线性回归分析方法更能直接预报水泥28d强度。
(3)采用三元线性回归分析方法预报水泥28d强度,相对误差小,可靠性高。
(4)利用三元线性回归方程良好的可靠性、精度、相关程度,如果将混合材掺量视为因变量,则可很好地指导水泥粉磨配料。
此时方程式改写为:即:x2=3.546-2.120x1-1.408x3-76.879 式中:x2———需预测的混合材掺量;———期望的水泥28d强度;x1———已知的熟料3d强度;x3———期望的水泥3d强度。
《应用回归分析》部分课后习题答案-何晓群版
《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么？答：变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。
1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么？答：联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。
区别有 a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。
在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。
b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。
而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。
C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。
而回归分析不仅可以揭示变量x对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。
1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么？答：ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。
1.4 线性回归模型的基本假设是什么？答：线性回归模型的基本假设有：1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。
2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2…. Cov(εi,εj)=｛σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。
4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么？在回归变量设置时应注意哪些问题？答：理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。
我国财政税收收入的影响因素及实证分析_刁其田
一、研究背景１９９６年我国财政税收收入为６９０９．８２亿元，到２０１０年增加到７３２１０．７９亿元，这十五年来财政税收收入绝对增加额为６６３００．９７亿元。
税收是国家为实现其职能，凭借政治权利，参与的一部分社会产品和国民收入的分配与再分配所进行的一系列经济活动，它作为财政收入的重要组成部分，在国民经济发展中扮演着不可或缺的角色。
经济决定税收，税收又反作用于经济。
要实现经济的持续发展，必须要求与经济紧密关联的税收符合其发展的要求。
因此，我们需要对影响税收的各个因素加以分析。
二、计量分析（一）多元线性回归模型的构建１．为了构建模型，首先对所有的变量进行定义和分析被解释变量：财政税收收入解释变量：影响财政税收收入的因素比较多，由于某些因素缺乏相应的数据、或者没有确定的评价标准，故根据影响因素的大小，资料的可获得性和可比性以及预测模型要求等因素，在这里我们只选择以下三个解释变量：国内生产总值、国家财政支出、进出口总额。
２．数据的选取本文选取１９９６年到２０１０年的数据为样本，以此来分析我国的财政税收收入。
在计量方法的运用方面选择回归分析方法进行分析，分析软件采取Ｅｖｉｅｗｓ３．１软件，数据主要来自《中国统计年鉴数据库》。
３．模型的建立在对被解释变量和解释变量进行描述和分析后，为了便于研究，分别对Ｙ、Ｘ１、Ｘ２、Ｘ３取对数进行分析。
故建立以下三元线性回归模型：（二）模型参数估计运用Ｅｖｉｅｗｓ软件，用最小二乘估计法（ＯＬＳ）对上述理论模型进行估计，得回归结果如表１，估计模型及相应数据如下：表１回归结果ＬＮＹ＝－２．５２３４０８＋０．２６８５２８＊ＬＮｘ１＋０．６１３２１７＊ＬＮｘ２＋０．１６７７８８＊ＬＮｘ３ＳＥ０．３７３９０６０．０９５５８２０．０６０４０００．０４１９０２ｔ－６．７４８７７２２．８０９３９０１０．１５２６６４．００４３０３＝０．９９９３４３＝０．９９９１６４Ｆ－ｓｔａｔｉｓｔｉｃ＝５５７５．２２８（三）模型检验１．经济意义检验模型估计结果说明，在假定其它变量不变的情况下，当年国内生产总值每增长１亿元，税收收入就会增长０．２６８５２８亿元；在假定其它变量不变的情况下，当财政支出每增长１亿元，税收收入就会增长０．６１３２１７亿元；在假定其它变量不变的情况下，当年进出口总额每增长１亿美元，税收收入就会增长０．１６７７８８亿元。
(整理)回归分析貌似没传完
回归分析课后作业第二章2.14 为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y(万元)和广告费用x（万元），数据见表2.1，要求用手工计算：（1）画散点图(2.1)；图(2.1)（2） x与y之间是否大致呈线性关系？从（1）中看出x 与y 没有线性关系。
（3） 用最小二乘估计求出回归方程；令回归方程为x y ∧∧-=10ββ,则可知道()()∑∑==∧--=512511i ii iixxy x xβ，代入数据易得71=∧β，110-=-=∧∧x y ββ，从而得到回归方程为x y 71+-=。
（4） 求回归标准误差∧σ；我们知道回归标准差0553.6)(2112=--=∑=∧∧ni i i y y n σ。
（5） 给出∧∧10ββ和置信度为%95的区间估计；因为我们知道()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∑∧22200)(1,~σββx x x n N i ，可以算出3333.40var 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧β，所以我们知道∧0β置信度为%95的区间估计为（∧0β-⎪⎭⎫ ⎝⎛∧02/var βαt ，∧0β-⎪⎭⎫ ⎝⎛∧02/var βαt ），所以∧0β的得到区间为]211.19,211.21[-（注意这里的2σ估计时用其有偏估计值）。
同理我们知道()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∧2211,~x x N i σββ，可以算出667.3var 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∧β，所以可得∧1β置信度为%95的区间估计为()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∧∧∧∧12/112/1var 3,var 3ββββααt t ，所以可得到∧1β的区间估计为]094.13,906.0[。
（6） 计算x 与y 的决定系数。
因为()8167.022212122==-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∑∑==∧yyxxxy ni ini i LL L yyy y SSTSSRr 。
（7） 对回归方程作方差分析；（8） 做回归系数1β显著性的检验；我们用t 检验做回归系数1β的显著性。
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2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[
计量经济学_三元线性回归模型案例分析
选择“国内生产总值（GDP）”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表；选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表。
由于税制改革难以量化，而且1985年以后财税体制改革对税收增长影响不是很大，可暂不考虑。
所以解释变量设定为可观测“国内生产总值（GDP）”、“财政支出”、“商品零售物价指数”一，数理经济学方程Y = C(1) + C(2)*XY i=β0+β2X2+β3X3+β4X4二，计量经济学方程设定线性回归模型为：Y i=β0+β2X2+β3X3+β4X4+μ三，数据收集从《国家统计局》获取以下数据：年份财政收入（亿元）Y 国内生产总值(亿元）X2财政支出（亿元）X3商品零售价格指数（%)X41978 519.28 3624.1 1122.09 100.7 1979 537.82 4038.2 1281.79 102 1980 571.7 4517.8 1228.83 106 1981 629.89 4862.4 1138.41 102.4 1982 700.02 5294.7 1229.98 101.9 1983 775.59 5934.5 1409.52 101.5 1984 947.35 7171 1701.02 102.8 1985 2040.79 8964.4 2004.25 108.8 1986 2090.73 10202.2 2204.91 106 1987 2140.36 11962.5 2262.18 107.3 1988 2390.47 14928.3 2491.21 118.5 1989 2727.4 16909.2 2823.78 117.81990 2821.86 18547.9 3083.59 102.1 1991 2990.17 21617.8 3386.62 102.9 1992 3296.91 26638.1 3742.2 105.4 1993 4255.3 34636.4 4642.3 113.2 1994 5126.88 46759.4 5792.62 121.7 1995 6038.04 58478.1 6823.72 114.8 1996 6909.82 67884.6 7937.55 106.1 1997 8234.04 74462.6 9233.56 100.8 1998 9262.8 78345.2 10798.18 97.4 1999 10682.58 82067.5 13187.67 97 2000 12581.51 89468.1 15886.5 98.5 2001 15301.38 97314.8 18902.58 99.2 2002 17636.45 104790.6 22053.15 98.7四，参数估计利用eviews软件可以得到Y关于X2的散点图：可以看出Y和X2成线性相关关系Y关于X3的散点图：可以看出Y和X3成线性相关关系Y关于X1的散点图：Dependent Variable: YMethod: Least SquaresDate: 01/09/10 Time: 13:16Sample: 1978 2002Included observations: 25Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -2582.755 940.6119 -2.745825 0.0121X2 0.022067 0.005577 3.956633 0.0007X3 0.702104 0.033236 21.12474 0.0000X4 23.98506 8.738296 2.744821 0.0121R-squared 0.997430 Mean dependent var 4848.366Adjusted R-squared 0.997063 S.D. dependent var 4870.971S.E. of regression 263.9591 Akaike info criterion 14.13511Sum squared resid 1463163. Schwarz criterion 14.33013Log likelihood -172.6889 F-statistic 2717.254Durbin-Watson stat 0.948521 Prob(F-statistic) 0.000000模型估计的结果为：Y i=-2582.755+0.022067X2+0.702104X3+23.98506X4(940.6119) (0.0056) (0.0332) (8.7383)t={-2.7458} {3.9567} {21.1247} {2.7449}R2=0.997 R2=0.997 F=2717.254 df=21五，相关检验1.经济意义检验模型估计结果说明，在假定其他变量不变的情况下，当年GDP 每增长1亿元，税收收入就会增长0.02207亿元；在假定其他变量不变的情况下，当年财政支出每增长1亿元，税收收入就会增长0.7021亿元；在假定其他变量不变的情况下，当零售商品物价指数上涨一个百分点，税收收入就会增长23.985亿元。
表3三元线性回归方程的方差分析90页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
ห้องสมุดไป่ตู้
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
表3三元线性回归方程的方差分析
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
三元回归
应用FX-4000P 计算器进行三元回归分析的方法姚永兰1，门海元2(1.原平市绿委，山西 原平 034100；2.山西省林业调查规划院，山西 太原 0.0012)摘要:文中根据FX-4000P 计算器的编程原理，编制了林业上常用三元回归方程的通解 程序。
输出方程参数，相关系数及方差分析表，并通过实例操作系统地叙述了计算的 全过程。
关鍵词: 计算器 三元回归分析 1.概述三元回归分析方法是林业生产和科研中分析处理变量之间相互关系的数学方法，在研究变量之间相互关系时，常按照既定的目标选择变量，收集数据。
建立合乎实际的回归方程。
并对回归方程的显著性进行检验。
而用回归分析的方法找到的变量之间的关系式，并不是确定性的，而是近似性的。
通常称为经验公式，找出的这个函数称为回归函数。
因此，研究回归关系的主要之点，是要确定回归函数。
在林业生产中常会遇到这样的关系，林木的材积与胸径、树高和形数有关；造林的成活率与水分、温度和光照有关；林木的结实量与光照、气候和降水量有关。
研究这一类型的问题，就可以使用三元回归的方式来解决。
本文求解的三元回归方程有：1. Y=B 0+B 1X 1+B 2X 2+B 3X 32.D=B 0+B 1 (1/A)+B 2(1/A)2+B 3(1/A)3或者P V = B 0+B 1 (1/D)+B 2(1/D)2+B 3(1/D)33.Y=B 0+B 1X+B 2X 2+B 3X 32.基本原理设自变量为X 1，X 2，X 3，因变量为Y ，样本数为N 。
L 11=)(21121∑∑-X XNL 22=22122)(∑∑-X XNL 33=23123)(∑∑-X XNL 12=∑∑∑-))((21121X X X X NL 13=∑∑∑-))((31131X X X XNL 23=∑∑∑-))((32132X X X XNL 1Y =∑∑∑-))((111Y X YX NL 2Y =∑∑∑-))((212Y X Y XNL 3Y =∑∑∑-))((313Y X YX NL YY =212)(∑∑-Y YN用最小二乘法整理得正规方程组： L 11B 1+L 12B 2+L 13B 3=L 1Y (1) L 21B 1+L 22B 2+L 23B 3=L 2Y (2) L 31B 1+L 32B 2+L 33B 3=L 3Y (3) 用高斯消元法解方程组得参数：B 1、B 2 、B 3。
计量经济学3元线性回归模型
计量经济学作业物二 王阳 2008017241一、创立工作文件 create u 31二、输入数据 data GDP K L P三、数据转换GENR GDP1=GDP/P*100四、生成时间变量T ：GENR T=@TREND(2003)五、建立三元线性回归模型1LS GDP1 C T K1L()()()()110.47960.468917.2698 2.9625ˆ14285.977.0371 1.98640.3483Y T K L --=++--220.9676,0.9639,268.3779R R F === 11GDP Y =分析：T 值系数符号小于0不符合经济意义，2R =0.9639有很高的拟合度F 0.05(3,27)=2.96<268.3779落入拒绝域原假设不成立，所以F 检验高度显著。
说明资本K1就业人数L 时间变量T 联合起来对国内生产总值影响显著，T 0.05（27）=2.052小于2.9625和17.2698,说明K1 ，L 对GDP1的影响是显著的，但其他变量的t 值通不过t 检验。
因此调整该三元线性回归模型，剔除t 值最小变量时间序列T ，再建立二元线性回归模型。
六、建立二元线性回归模型2 LS GDP1 C K1 L()()()211.464919.3605 2.9732ˆ321.0325 2.00820.3361Y K L -=++-220.96720.9650413.9922R R F ===，，21GDP Y =分析：回归系数的符号和数值合理，模型可决系数很高；F 0.05(3,27)=2.96<413.9922落入拒绝域，说明就业人数L 和资本K 对GDP 的总影响是显著的，T 0.05（27）=2.052L 和K 均能通过t 检验，表明其各自对GDP 的影响均是显著的。
七、建立非线性回归模型3GENR LNGDP1=log(GDP1) GENR LNL=log(L) GENR LNK1=log(K1) 建立回归模型 LS LNGDP1 C LNL LNK1()()()30.9482 3.128016.4652ˆ10.25620.17670.9576LNY LNL LNK -=+--220.97230.9703490.6044R R F ===，，31GDP Y =分析：资本与劳动的回归系数都在0到1之间符合经济意义，，而且拟合优度较模型2还略有提高，解释变量都通过了显著性检验，模型中各解释变量依然显著。
医学统计学：多元线性回归分析
Multivariate linear regression
变量之间的关系:
从变量间相互关系的复杂程度来看，可以分为以下几种： 1. 一个变量的变化仅仅直接与另一个变量的变化有关：
X
Y
一个因变量与一个自变量之间的直接依存关系，其对应的 模型是一元回归模型。
变量之间的关系:
2. 一个变量的变化直接与另一组变量的变化有关：
0.129311
0.033109 0.011826
0.003826 0.005819
A1 0.048027 0.018260 0.010326 0.001528 0.000085
0.054068 0.003826 0.001528 0.003649 0.001507
0.109308 0.005819 0.000085 0.001507 0.014655
回归方程中包含的
平方和（变异）
自变量
SS回归
SS剩余
① X1 , X2 , X3 , X4 ② X2 , X3 , X4 ③ X1 , X3 , X4 ④ X1 , X2 , , X4 ⑤ X1 , X2 , X3
133.7107 133.0978 121.7480 113.6472 105.9168
t 检验法与方差分析法完全等价，
公式为： t
bi
SEbi
，
n m1
式中 bi 是偏回归系数的估计值， SE(bi ) 是 bi 的标准误。
SE(bi ) Cii MS剩余 ，其中 Cii 是系数矩阵 A 的逆矩阵中对角线上的元素。
n
x1
A
x2
x3
x4
系数矩阵A
x1 x12 x2 x1 x3 x1 x4 x1
多元线性回归课件
线性关系
自变量与因变量之间存在线性 关系。
无异方差性
误差项的方差在所有观测值中 保持恒定。
无异常值
数据集中没有异常值。
02
多元线性回归的参 数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种数学优化技术，其 基本思想是寻找一个函数，使得该函 数与已知数据点的总误差（或总偏差 ）的平方和最小。
最小二乘法通过构建残差平方和பைடு நூலகம்数 学模型，并对其求最小值来估计参数 ，这种方法具有简单、直观和易于计 算的特点。
在多元线性回归中，最小二乘法的目 标是找到最佳参数值，使得实际观测 值与通过模型预测的值之间的残差平 方和最小。
参数的估计值与估计量的性质
参数的估计值是通过最小二乘法 或其他优化算法从样本数据中得
多元线性回归课件
目录
CONTENTS
• 多元线性回归概述 • 多元线性回归的参数估计 • 多元线性回归的评估与诊断 • 多元线性回归的进阶应用 • 多元线性回归的软件实现 • 多元线性回归的案例分析
01
多元线性回归概述
定义与模型
定义
多元线性回归是一种统计学方法，用于 研究多个自变量与因变量之间的线性关 系。
决定系数（R^2）
衡量模型解释变量变异程度的指标，值越接近1表示模型拟合度越好。
调整决定系数（Adjusted R^2）
考虑了模型中自变量的增加，对R^2进行调整后的拟合度指标。
均方误差（MSE）
衡量模型预测误差大小的指标，值越小表示模型预测精度越高。
变量的显著性检验
t检验
通过t统计量检验自变量对因变量 的影响是否显著，值越大表明该 变量越重要。
用于判断自变量之间是否存在多重共线性的指标，值小于阈值时可能存在多重共线性问 题。
线性回归计算方法及公式
一般地，设某事件D发生（D＝1）的概 率P依赖于多个自变量（x1,x2, …,xp)，且
P（D＝1）＝e Bo+B1X1+…+BpXp /(1+e Bo+B1X1+…+BpXp ) 或
Logit(P) ＝ Bo+B1X1+…+Bp X p 则称该事件发生的概率与变量间关系符合多元 Logistic回归或对数优势线性回归。
• 多元线性回归方程的评价
评价回归方程的优劣、好坏可用确定系 数R2和剩余标准差Sy,x1,2..p 。 Sy,x1,2. p ＝SQRT（SS误差／n-p-1） 如用于预测，重要的是组外回代结果。
回归方程中自变量的选择
• 多元线性回归方程中并非自变量越多越 好，原因是自变量越多剩余标准差可能 变大；同时也增加收集资料的难度。故 需寻求“最佳”回归方程，逐步回归分 析是寻求“较佳”回归方程的一种方法。
即
Q＝ (yi －ŷi) 2
= (yi － b0－b1x1i－b2x2i－…－bp xp i) 2 对b0、b1…、bp分别求偏导数，今偏导数为零 可获得P＋1个正规方程，求解正规方程可得待 估参数值。
回归方程和偏回归系数的假设检验
回归方程的假设检验： 建立回归方程后，须分析应变量Y与这p个自 变量之间是否确有线性回归关系，可用F分析。 H0： B1＝B2＝….=Bp=0 H1： H0不正确 ＝0.05 F ＝ MS回归 / MS误差 MS回归 ＝SS回归／p SS回归 = bjLjy ( j =1,2….,P) MS误差 ＝SS误差／(n-p-1) SS误差为残差平方和
内 容 安 排
多元线性回归模型与参数估计
• 设有自变量x1,x2,…,xp和因变量Y以及一份由n个个体构 成的随机样本(x1i,x2i,…,xpi,,，Yi），且有如下关系：
表3三元线性回归方程的方差分析共90页文档
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
表3三元线性回归方程的方差分析ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16、自己选择的路、跪着也要把它走 完。 17、一般情况下)不想三年以后的事， 只想现 在的事 。现在 有成就 ，以后 才能更 辉煌。
18、敢于向黑暗宣战的人，心里必须 充满光 明。 19、学习的关键--重复。
20、懦弱的人只会裹足不前，莽撞的 人只能 引为烧 身，只 有真正 勇敢的 人才能 所向披 靡。
《多元线性回归模型》课件
参数估计Biblioteka 最小二乘法使用最小二乘法估计模型中的 回归系数。
最大似然估计
通过最大似然估计法求解模型 参数。
岭回归
使用岭回归克服多重共线性问 题。
模型评估
R方值
通过R方值评估模型对数据的拟合程度。
调整R方值
调整R方值可纠正样本容量对R方的偏倚。
残差分析
通过残差分析评估模型的合理性和拟合优度。
解释变量
通过系数解释每个自变量对因变量的影响，了解它们在模型中的作用和重要性。
实例分析
1
数据收集
搜集相关数据，准备进行多元线性回归分析。
2
模型构建
使用收集到的数据建立多元线性回归模型。
3
结果解读
对模型结果进行解读和分析，并给出相关结论。
变量选择
相关性分析
通过相关性分析选择与因变量相关性强的自变量。
逐步回归
逐步回归法能帮助我们选择最佳的自变量组合。
变量筛选
借助统计指标和领域知识选择适当的自变量。
模型假设
1 线性关系
假设因变量与自变量之间存在线性关系。
2 多元正态分布
3 无多重共线性
假设因变量及自变量服从多元正态分布。
假设自变量之间不存在高度相关性。
《多元线性回归模型》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将讲解多元线性回归模型的重要概念和应用。通过 丰富的实例和清晰的解释，帮助你深入了解这一统计分析方法。
多元线性回归模型的概述
我们将介绍多元线性回归模型的基本概念、原理和用途。了解什么是多元线 性回归，以及如何利用它来分析和预测多个自变量对因变量的影响。
第三多元线性回归模型演示文稿
致相同，应选择解释变量较少的一个。
(18) 模型的结构稳定性要强，超样本特性要好。
(19) 世界是变化的，应该随时间的推移及时修改模型。
第二十六页，共31页。
案例1：中国国债发行额模型（file:b1c4）
首先分析中国国债发行额序列的特征。1980年国债发行额是 43.01亿元（占GDP的1%），2001年国债发行额是4604亿元 （占GDP的4.8%）。以当年价格计算，21年间（1980-2001） 增长了106倍。平均年增长率是24.9%。
第二十九页，共31页。
R2 = 0.9986, DW=2.12, T =21, (1980-2000)
案例1：中国国债发行额模型（file:b1c4）
预测2001年的国债发行额（DEBTt，亿元）。DEBT2001 = 4608.71
预测误差是 = 4608.71 460=40.001 4604
，亿元）模型如下：
DEBTt = 0 +1 GDPt +2 DEFt +3 REPAYt + ut
第二十八页，共31页。
案例1：中国国债发行额模型（file:b1c4）
DEBTt = 4.38 +0.34 GDPt +1.00 DEFt +0.88 REPAYt + uˆ
(0.2) (2.1)
(26.6) (17.2)
(S.D.2 (10 1) SSE) / S.D.2 (10 1) / 7
2
(19.57892 9 403.1813) / 19.57892 9 / 7
2
26.45
第十三页，共31页。
3多元线性回归
由 βˆ=(XX)-1Xy可得因变量向量
y(y1,y2, ,yn)的回归值
y ˆ= X β ˆ= X ( X X )- 1 X y = H y(3.21)
注意：要求( X X ) 1必须存在，应有np1
20
(3.21)式中的 H=X(XX)-1X称为帽子矩阵， 它是n阶对称阵，同时还是幂等阵，即 H= H2
(Constant) -205.552 116.964
-1.757 0.096
-451.285
40.181
X1
-1.495
22.887
-0.013 -0.065 0.949
-49.578
46.588
X2
2.649
18.592
0.023 0.142 0.888
-36.411
41.709
X3
3.291
2.467
B -0.584 0.032 0.187 -0.026 -0.022
Std. Error 0.957 0.010 0.083 0.084 0.016
Beta
t -0.610 0.722 3.282 0.328 2.258 -0.061 -0.307 -0.149 -1.324
a. Dependent Variable: 不良贷款
12.374
X7
4.162
5.077
0.446 0.820 0.423
-6.504
14.828
X8
-15.436
10.829
-0.521 -1.425 0.171
-38.187
7.315
X9
17.373
8.368
1.040 2.076 0.052
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对于一个稳定生产的水泥厂家来说,其主要工艺条件,原、燃料状况,在某一较长的时间内,是基本稳定的。
在此前提条件下,出厂水泥28d抗压强度与熟料3d强度、混合材掺量、水泥3d强度之间,具有线性相关关系。
应用三元线性回归分析方法,可直接预报水泥28d强度。
现列举工作中的一个实例,说明此预报方法的操作步骤。
1 设立关系式
水泥28d强度y与熟料3d强度x1、混合材(煤渣)掺量x2、水泥3d强度x3之间具有直接相关关系,其回归关系式为:
y=a0+a1x1+a2x2+a3x3
(1)
其中:a0、a1、a2、a3为回归系数。
求得并验证了这些系数,就会使以后的预报来得十分方便。
2 选取样本
选取某一段时间内的连续实际数据,剔除个别明显异常值后即为样本。
一般选取30组以上的数据为好,样本数据越多,回归分析结果越准确,见表1。
表1 样本数据
3 参数计算
4 求解回归系数
依最小二乘法原理所得方程组
及解:
得:a1=0.597;a2=-0.282;a3=0.397;a0= 21.680
5 整理检验
将所求得的回归系数代入(1)式即得水泥28d强度预报值为:
=21.680+0.597x 1-0.282x2+0.397x3
(1)检验其相关性
r接近1,说明相关性良好。
(2)检验其精度
剩余标准偏差
S值较小,说明回归方程精度良好。
(3)检验其可靠性
预报值与实测值y的比较见表2,其相对误差几乎全部落于±5%的范围内,说明可靠性良好。
表228d强度预报值与实测值的比
较
6 结语
(1)出厂水泥28d抗压强度与熟料
3d强度、混合材掺量、水泥3d强度之间具有三元线性相关关系。
(2)采用三元线性回归分析比一元或二元线性回归分析方法更能直接预报水泥28d强度。
(3)采用三元线性回归分析方法预报水泥28d强度,相对误差小,可靠性高。
(4)利用三元线性回归方程良好的可靠性、精度、相关程度,如果将混合材掺量视为因变量,则可很好地指导水泥粉磨配料。
此时方程式改写为:
即:x 2=3.546-2.120x1-1.408x3-76.879 式中:x2———需预测的混合材掺量;
———期望的水泥28d强度;
x1———已知的熟料3d强度;
x3———期望的水泥3d强度。