《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间

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点集拓扑教学大纲

了解内容：拓扑空间中的序列及其收敛性；边界；
重点：拓扑空间
难点：基与子基、邻域基
第一节：度量空间与连续映射
内容1度量空间的俄概念、n维欧氏空间Rn、Hilbert空间H、离散度量空间；
内容2邻域、开集；
内容3度量空间映射的连续性。
第二节：拓扑空间与连续映射
内容1拓扑空间定义
内容2平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间；
分
配
教学内容：
第一章：集合论初步４（学时数）
掌握内容：集合的基本运算，映射及其性质。
理解内容：关系；可数集、不可数集、基数。
了解内容：选择公理。
重点：集合的基本运算，映射及其性质；
难点：基数；选择公理。
第一节：集合及其运算
内容1集合、集合之间的关系；
内容2集合的运算
第二节：映射
内容1关系、等价关系；
第二节：（有限）积空间
内容1积拓扑、拓扑积空间的概念；
内容2积空间的基、子基
内容3开映射；积空间到分空间投射的性质、积拓扑的性质。
第三节：商空间
内容1商拓扑及其性质；
内容2商映射及其性质；
内容3商空间。
第四章：连通性６（学时数）
掌握内容：连通空间；
理解内容：局部连通、道路连通；
了解内容：连通空间、局部连通、道路连通的关系；
内容3分离性公理的有限可积性。
第六节：可度量化空间
内容1、Urysohn嵌入定理；
内容2、Hilbert空间的可分性；
。
内容3、可分的度量化空间的等价空间第七章：紧致性 Nhomakorabea（学时数）
掌握内容：紧致空间和紧致空间的等价条件；紧致性与分离性的关系；
了解内容：可数紧致、列紧、序列紧，局部紧致空间，仿紧致空间及其之间的关系

点集拓扑学(教学课题大纲)

点集拓扑学（教学大纲）General Topology课程编码：学分： 3 课程类别：专业方向课计划学时：其中讲课：实验或实践：0 上机：0适用专业：数学与应用数学专业推荐教材：熊金城，《点集拓扑讲义》（第三版），高等教育出版社，2003。

参考书目：1. J.R.曼克勒斯，《拓扑学基本教程》，科学出版社，1987。

2. 尤承业，《基础拓扑学讲义》，北京大学出版社，2006。

课程的教学目的与任务拓扑学是研究图形在同胚映射下的不变性质（即拓扑性质）的一门数学分科，其基本思想和处理方法对近代数学产生了深刻的影响，它与近世代数、泛函分析一起被称作数学的“新三基”；它的中心任务是研究拓扑不变性质，对拓扑空间按照同胚分类。

通过本课程的学习，使学生掌握点集拓扑的一些基本概念、基本理论、基本方法，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性；培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、理论联系实际分析问题解决问题的能力，提高学生的数学素养，为进一步学习、研究现代数学打好基础。

课程的基本要求1、使学生了解公理集合论的初步知识并将度量空间中熟悉的知识推广到一般的拓扑空间中去。

比如连续映射的概念。

2、掌握由已知拓扑空间构造新的拓扑空间的若干方法。

比如子空间的概念，有限乘积空间。

3、掌握几种重要的拓扑性质：可数性、分离性、紧致性、连通性等。

各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：集合与映射建议学时：6[教学目的与要求] 了解朴素集合论和公理集合论的区别，了解选择函数与选择公理的内容；从关系的角度理解映射的概念。

[教学重点与难点] 选择公理及其等价形式。

[授课方法] 以课堂讲授为主，课堂讨论和课下自学为辅。

[授课内容]第一节集合论一、集合的基本运算二、公理集合论的相关内容第二节映射理论一、关系与映射的联系二、选择公理第二章：拓扑空间与连续映射建议学时：8[教学目的与要求]将连续函数的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间之间的连续映射；将开区间的主要特征抽象出来用以定义拓扑空间中的开集。

河北师大点集拓扑课件 3.1

(ii) 若A, B T|Y，即存在 A1, B1 T
使得 A A1 Y , B B1 Y
于是 A B ( A1 B1) Y
由于 A1 B1 T ，故 A B T|Y .
(iii) 若 T 1 是集族 T|Y 的一个子集族，
即对于每一个
A

T
，存在
1
A1
使得 A A1 Y. 因此
(2) 分别记 F 和 F 为X 和Y 的全体闭集构成的族，则 F F |Y .
(3) 分别记Uy和Uy为点 y 在 X 和 Y 中的邻域系，则 Uy Uy |Y .
证明: (1) 由子空间的定义显然；
(2) F|Y {X U | U T } |Y {(X U ) Y |U T } {Y U Y |U T } {Y U |U T } F
(3) 若 U U y ，则存在 V T 使得
y V U . 因此有 V1 T ，使
得 V V1 Y .令 U1 V1 U .
由于 y V1 U1, 从而U1 U y
且有U1 Y (V1 U ) Y V U U
这样有U U y |Y ，故 Uy Uy |Y
一个邻域 U ，使得 V U Y .
因为U (A {y}) ，V (A {y}) Y
从而 V (A {y}) (U (A {y})) Y U (A {y})

故 y dY ( A) . 因此 dY ( A) dX ( A) Y
(2) cY ( A) A dY ( A) A (dX ( A) Y ) (A dX (A)) ( A Y ) AY
n1
, xn1) Rn1 | xi2 1}

《点集拓扑》课件

点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用，如微分几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科，为其他学科提供了数学工具和语言，促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数学中的一些基本问题，如连续性、连通性、紧致性等，推动了数学理论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间，这些点集通过集合的并、交、补等运算形成。它是一个抽象的概念，不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念，它分为三种类型：强连通、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换（如移动、旋转、缩放等）相互到达。根据连通性的不同性质，可以分为强连通、弱连通和道路连通三种类型。强连通是指任意两点都相互可达；弱连通是指任意两点至少有一个可达；道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统，它具有一些重要的性质，如基的任意并仍属于基，基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用

《点集拓扑》课件

《点集拓扑》课件一、教学内容本节课的教学内容来自于教材《数学分析》的第十章第二节，主要内容包括点集拓扑的基本概念、拓扑空间的定义及其性质、以及一些常见的拓扑空间。

具体内容包括：1. 点集拓扑的基本概念：邻域、开集、闭集、连通性等。

2. 拓扑空间的定义及其性质：拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。

3. 常见的拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、范数空间等。

二、教学目标1. 理解点集拓扑的基本概念，能够熟练运用拓扑空间的概念描述集合的性质。

2. 掌握拓扑空间的定义及其性质，能够判断给定的集合是否构成拓扑空间。

3. 熟悉常见的拓扑空间，能够理解不同拓扑空间之间的联系和区别。

三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的定义及其性质，特别是连通性的理解。

2. 教学重点：点集拓扑的基本概念，以及常见拓扑空间的理解。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：教材《数学分析》、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如房间内的家具布局，引出点集拓扑的基本概念。

2. 点集拓扑的基本概念：介绍邻域、开集、闭集、连通性等概念，并通过图形和实例进行解释。

3. 拓扑空间的定义及其性质：引导学生理解拓扑空间的定义，并通过实例说明拓扑空间的特点。

4. 常见的拓扑空间：介绍欧几里得空间、度量空间、范数空间等常见的拓扑空间，并通过图形和实例进行解释。

5. 课堂练习：给出一些具体的例子，让学生判断是否构成拓扑空间，以及识别给定的集合的拓扑性质。

六、板书设计1. 点集拓扑的基本概念：邻域、开集、闭集、连通性。

2. 拓扑空间的定义及其性质：拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。

3. 常见的拓扑空间：欧几里得空间、度量空间、范数空间。

七、作业设计（1）集合R上的二元组（x,y）构成的集合。

（2）集合N上的自然数构成的集合。

答案：（1）构成拓扑空间，拓扑由所有形如（∞，a）∪（a，+∞）的开集构成。

《点集拓扑学》课件

映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆盖都有有限子覆盖，则称该空间是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在点集上的复值函数。点集拓扑学为理解波函数的性质和行为提供了重要的理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的形成和演化，需要用到点集拓扑的知识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。

河北师大点集拓扑第教案

河北师大点集拓扑第教案一、教学内容本节课选自《点集拓扑学》教材第三章，详细内容如下：1. 基本概念：拓扑、拓扑空间、开集、闭集、边界、内部和外部。

2. 拓扑性质：连续性、紧致性、连通性。

3. 拓扑空间中的基本定理：闭包、开覆盖、聚点、极限点。

二、教学目标1. 掌握拓扑空间的基本概念，了解开集、闭集、边界等概念。

2. 理解拓扑空间的性质，如连续性、紧致性、连通性。

3. 学会运用拓扑空间的基本定理，解决实际问题。

三、教学难点与重点1. 教学难点：拓扑空间的性质及其应用。

2. 教学重点：拓扑空间的基本概念、基本定理。

四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引导学生了解拓扑学在实际应用中的价值。

2. 例题讲解：讲解教材第三章相关例题，详细解释拓扑空间的概念、性质和基本定理。

3. 随堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。

4. 小组讨论：分组讨论课后习题，培养学生合作学习能力。

六、板书设计1. 拓扑空间基本概念开集、闭集、边界内部、外部2. 拓扑性质连续性、紧致性、连通性3. 拓扑空间基本定理闭包、开覆盖、聚点、极限点七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：一个集合是开集，当且仅当它的每一个点都是内部点。

（2）证明：一个集合是闭集，当且仅当它的每一个聚点都属于该集合。

（3）讨论：紧致性与连通性的关系。

2. 答案：见教材课后习题解答。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生对拓扑空间概念、性质和定理的掌握程度。

2. 拓展延伸：引导学生深入研究拓扑学在其他数学分支中的应用，如微积分、代数拓扑等，提高学生学术素养。

同时，鼓励学生参加相关竞赛和学术活动，提高自身能力。

重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定。

2. 教学过程中的实践情景引入、例题讲解、随堂练习和小组讨论。

3. 作业设计中的题目和答案。

4. 课后反思及拓展延伸。

详细补充和说明：一、教学难点与重点1. 拓扑空间基本概念的教学：通过生动的实例，解释开集、闭集、边界等概念，使学生能够直观地理解这些抽象概念。

3.2008拓扑学,第3章

产生拓扑。因此，研究积空间时，基是主要工具。多个拓扑空间情形，也是如此。
3.2.A 度量积空间
设 ( X1, ρ1), , ( X n , ρn ) 是 n 个度量空间。考虑积集合： X = X1 × × X n = {x = (x1, , xn ) : x1 ∈ X1,
由下式定义的 ρ : X × X → 是 X 中的一个度量：
(1) int X ( A) = intY ( A) ∩ int X (Y ), (2) ∂Y ( A) ⊂ ∂ X ( A) ∩Y ,
其中 int X , intY 分别表示在 X ,Y 中求集合的内部；∂ X , ∂Y 分别表示在 X ,Y 中求集合的边界。举例说明 (2) 中可能不成立相等关系。
U ∩ ( A −{y}) = (U ∩ Y ) ∩ ( A −{y}) ≠ ∅ 。
即 y ∈ dX ( A) 。又因 y ∈Y ，所以 y ∈ dX ( A) ∩Y 。再证（右 ⊂ 左）。 ∀ y ∈ dX ( A) ∩Y 。则 y ∈ dX ( A) ，且 y ∈Y 。任取 y 在 Y 中的邻域
(2) 任取 A, B ∈ T Y 。则存在 A1, B1 ∈ T ，使得 A = A1 ∩ Y , B = B1 ∩Y 。因此有 A1 ∩ B1 ∈ T ，及
A ∩ B = ( A1 ∩ Y ) ∩ (B1 ∩Y ) = ( A1 ∩ B1) ∩ Y ∈ T
。
Y
(3) 任取 Aγ ∈ T Y , γ ∈ Γ 。则存在 Aγ ∈ T ，使得 Aγ = Aγ ∩ Y 。因 ∪γ∈Γ Aγ ∈ T
4. 设拓扑空间 X 只含可数个点： X = {x1, x2 , } 。证明：存在一个连续的满射 f : → X ，其中是全体有理数集组成的实数空间的子空间。（提示：作无交分解：

点集拓扑第三章答案

第三章子空间，（有限）积空间，商空间3.1子空间1. 证明:(1) 实数空间R 同胚于任何一个开区间;(2) n 维欧氏空间nR 同胚于其中的任何一个开方体, 也同胚于其中的任何一个球形邻域.证明: (1) 设(),αβ是R 的非空开区间. 情形一: ,αβ为有限数. 令()()11:,,.h h x x xαβαβ→=+--R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚. 情形二:α=-∞, β∈R . 取(),c αβ∈. 令()()(),;:,,,.x x c h h x x c c c x x αβββββ≤⎧⎪→=--⎨-+<<⎪-⎩R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚.情形三: α∈R , β=+∞. 取(),c αβ∈. 令()(),;:,,,.c x c x c h h x xx x c ααβα-⎧+<≤⎪→=-⎨⎪>⎩R> 用数学分析的方法可验证是从(),αβ到R 的同胚. 情形四: (),αβ=R . 结论显然成立.(2) 设()1,i ii n αβ≤≤∏是nR 中的方体. 取从(),i i αβ到R 的同胚i h , 1i n ≤≤. 则11i n i n h h h h ≤≤=⨯⨯∏ 是从()1,i i i n αβ≤≤∏到n R 的同胚. (定理: :i i i f X Y →连续,1,,i n = ⇒1111:i n i i i n i n i n f f f f X Y ≤≤≤≤≤≤=⨯⨯→∏∏∏ 连续, 其中()()()()1111,,n n n n f f x x f x f x ⨯⨯= .)设()(){}2211,|n n i i i n K x x x c r ≤≤=∈-<∑ R 是n R 中的开球. 则()()()11112211:,,,,n n n n i i i n h K h x x x c x c r x c ≤≤→=--⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑ R是从K 到nR 的同胚.2. 如果Y 是拓扑空间X 的一个开(闭)子集, 则Y 作为X 的子空间时特别称为X 的开(闭)子空间. 证明:(1) 如果Y 是拓扑空间X 的一个开子空间, 则A Y ⊂是Y 中的一个开集当且仅当A 是X 中的一个开集;(2) 如果Y 是拓扑空间X 的一个闭子空间, 则A Y ⊂是Y 中的一个闭集当且仅当A 是X 中的一个闭集.证明: (1) 设Y 是拓扑空间X 的开子空间, 即Y 是X 的开子集. 若A Y ⊂是Y 的开子集, 由定理3.1.5, (1), 存在X 的开子集U 使得A U Y =⋂. 因为Y 也是X 的开子集, 故A 是X 的开子集. 反之, 若A Y ⊂是X 的开子集, 则A A Y =⋂是Y 的开集.(2) 设Y 是拓扑空间X 的闭子空间, 即Y 是X 的闭子集. 若A Y ⊂是Y 的闭子集, 由定理3.1.5, (2), 存在X 的闭子集F 使得A F Y =⋂. 因为Y 也是X 的闭子集, 故A 是X 的闭子集. 反之, 若A Y ⊂是X 的闭子集, 则A A Y =⋂是Y 的闭集.3. 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间, A Y ⊂. 证明:(1) int ()int ()int ()X Y X A A Y =⋂;(2) ()()Y X A A Y ∂⊂∂⋂, 并举例说明等式可以不成立.其中int X 和int Y 分别表示在拓扑空间X 和Y 中求集合的内部; X ∂和Y ∂分别表示在拓扑空间X 和Y 中求集合的边界.证明: (1) 设()int X a A ∈. 则存在X 的开集O 使得a O A Y ∈⊂⊂. 由于O O Y =⋂,O 是Y 的开集, 从而()i n t Y a A ∈. 由a O Y ∈⊂得()int X a Y ∈. 故int ()int ()Y X a A Y ∈⋂. 反之, 设int ()int ()Y X a A Y ∈⋂. 由int ()X a Y ∈, 存在X 的开集1O 使得1a O Y ∈⊂. 由int ()Y a A ∈, 存在X 的开集2O 使得2a O Y A∈⋂⊂. 令12O O O =⋂. 则O 为X 的开集且a O A ∈⊂, 即有i n t ()X a A ∈. 综上得int ()int ()int ()X Y X A A Y =⋂.(2) 设()Y b A ∈∂. 则b Y ∈. 假设()X b A ∉∂. 则存在b 在X 的开邻域O 使得O A ⊂或O X A ⊂-. 若O A ⊂, 则O Y ⋂是b 在Y 中的开邻域且O Y A ⋂⊂. 这与()Y b A ∈∂矛盾. 若O X A ⊂-, 则O Y ⋂是b 在Y 中的开邻域且O Y A ⋂⋂=∅. 亦与()Y b A ∈∂矛盾. 于是()X b A Y ∈∂⋂. 故()()Y X A A Y ∂⊂∂⋂.令{}1,2,3X =, 其上拓扑为{}{}{}{},1,2,3,1,2,3∅; {}1,2Y =; {}2A =. 可验证2()X A Y ∈∂⋂, 2()Y A ∉∂. ()()Y X A A Y ∂≠∂⋂.4. 设Y 是拓扑空间X 的一个子空间, y Y ∈.证明: (1) 如果S 是X 的一个子基, 则|Y S是Y 的一个子基;(2) 如果yW 是点y 在X 中的一个邻域子基, 则|y YW 是点y 在Y 中的一个邻域子基.证明: 设S 是X 的一个子基, 则12{|,1,2.}n i S S S S i n =⋂⋂∈= BS 为X的基, 则1212|{|,1,2,.}{|,|,1,2,.}Y n i n i i i Y S S S Y S i n T T T T S Y T i n =⋂⋂⋂⋂∈==⋂⋂=⋂∈= B S S为Y 的基, 所以|Y S 为Y 的子基.(2) 设yW是点y 在X 中的一个邻域子基, 则1212|{||,1,2,.}{||,1,2,.}y n i n i W W W Y W y i n W W W W y i n =⋂⋂⋂∈==⋂⋂∈= V WW为y Y ∈在Y 中的邻域基, 所以|y YW是点y 在Y 中的一个邻域子基.5. 设(,)X T和1(,)Y T 的两个拓扑空间,并且Y X ⊂.证明:(1) 如果1(,)Y T 是(,)X T的一个子空间, 则内射:i Y X →是一个连续映射;(2) 如果内射:i Y X →是一个连续映射, 则1|Y ⊃T T.因此我们说: 相对拓扑是使内射连续的最小的拓扑. 证明: 设U ∈T, 则11()i U U Y -=⋂∈T, 故内射:i Y X →是一个连续映射;(2) 对于任意的|Y V ∈T , 存在U ∈T, 使得V U Y =⋂, 因为:i Y X →是一个连续映射, 对于U ∈T, 11()i U U Y V -=⋂=∈T, 因此1|Y ⊃TT.6. 设X 和Y 是两个拓扑空间. 证明映射:f X Y →是一个连续映射当且仅当:()f X f X →是一个连续映射.(这两个映射为何使用同一个符号, 请参见正文中的有关说明.)证明: 设:f X Y →是一个连续映射, 因为()f X 为Y 的子空间, 设U 是()f X 的开集, 则存在Y 的开集B , 使得()U B f X =⋂.1111()(())()()f U f B f X f B X f B ----=⋂=⋂=是X的开集, 所以:()f X f X →是一个连续映射.反之, 设:()f X f X →是一个连续映射, 因为()f X 为Y 的子空间, 设V 是Y 的开集. ()V f X ⋂为()f X 的开集, 而11(())()f V f X f V --⋂=为X 中的开集, 所以:f X Y →是一个连续映射7. 设X 和Y 是两个拓扑空间, A 是X 中的一个子集. 证明: 如果映射:f X Y →连续, 则映射|:A f A Y →也连续.证明: 因为内设 :i A X →是一个连续映射, 映射:f X Y →连续, 所以|A f f i = 是一个连续映射.8. 设X 和Y 是两个拓扑空间, A 是X 中的一个子集. 证明:(1) 如果映射:f X Y →是一个同胚, 则映射|:()A f A f A →也是一个同胚; (2) 如果X 可嵌入Y , 则X 的任何一个子空间也可嵌入Y .证明: 因为映射:f X Y →是一个同胚, 则映射|:()A f A f A →是在上的一一映射, 由第6题知, 映射|:()A f A f A →连续. 下证1(|):()A f f A A -→连续, 设V 是A 的开集,则存在开集U X ⊂, 使得V U A =⋂, 则()1111((|))()|()()()()()()()A A f V f V f V f U A f U f A fU f A ----===⋂=⋂=⋂由于f 是连续映射, 因此 ()11()f U --是Y 中的开集, 11((|))()A f V --是()f A 的开集.(2) 是 (1)的直接推论.9. 在集合2R 中给定一个子集族{[,)[,)|,,,,,}a b c d a b c d a b c d =⨯∈<<R S .验证2R 有惟一的一个拓扑T 以S为它的一个子基. 令2{(,)|1}A x y x y =∈+=R .问A 作为拓扑空间2(,)R T的一个子空间时有什么特点? (提示:证明拓扑空间(,|)A A T是一个离散空间.)10. 证明: 如果X 是一个只含可数个点的拓扑空间, 则存在一个满的连续映射:f X →Q . 其中Q 是由所有有理数构成的实数空间R 的子空间.11. 回答一下问题并给出必要的证明: (1) 有限补空间何时可嵌入可数补空间? (2) 可数补空间何时可嵌入有限补空间?3.2 (有限）积空间1. 设(,)X ρ是一个度量空间, 证明映射:X X ρ⨯→R 是一个连续映射.证明: 任取R 得开子集V . ()1U V ρ-. 若U =∅, 则为X X ⨯的开子集. 设U ≠∅. 任取()12,x x U ∈. 则()12,r x x V ρ∈ . 取0ε>使得(),r r V εε-+⊂. 对任意()()()1212,,/2,/2y y B x B x εε∈⨯, 利用三角不等式可得()()()()()()()12112212121122,,,,,,,.x x x y x y y y x x x y x y ρρρρρρρ--≤≤++即有()12,r y y r ερε-<<+, ()12,y y V ρ∈. 这样()()12,/2,/2B x B x U εε⨯⊂,()12,x x 是U 的内点. U 是开集. 所以ρ连续.2. 设11(,)X ρ和22(,)X ρ是两个度量空间, 定义121212,:()()d d X X X X ⨯⨯⨯→R ,使得对于任何12(,)x x x =, 12(,)y y y =12X X ∈⨯,11112222111222(,)(,)(,);(,)max{(,),(,)}.d x y x y x y d x y x y x y ρρρρ=+=(1) 验证1d 和2d 都是12X X ⨯的度量;(2) 证明12X X ⨯的度量1d , 2d 和ρ是等价的度量, 其中ρ是积度量.证明: (1) 显然1d 和2d 都满足度量的条件(1), (2). 下面证明它们满足三角不等式. 设()()()12121212,,,,,x x x y y y z z z X X ===∈⨯.()()()()()()()()()()()()()()()111122211111122222211122211122211,,,,,,,,,,,,,.d x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y d x z d z y ρρρρρρρρρρ=+≤+++=+++=+()()(){}()()()(){}()(){}()(){}()()211122211111122222211122211122222,max ,,,max ,,,,,max ,,,max ,,,,,.d x y x y x y x z z y x z z y x z x z z y z y d x z d z y ρρρρρρρρρρ=≤++≤+=+故, 1d , 2d 是12X X ⨯的度量. 其次证明证明1d , 2d 和ρ等价.()()()22,,2,.d x y x y d x y ρ≤≤(1)设U 为()12,X X ρ⨯中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使(),B x U ρε⊂, 其中(),B x ρε表示度量空间()12,X X ρ⨯中x 的ε-邻域.由(1)右边不等式, ()2,/2d B x U ε⊂. 即见U 是()122,X X d ⨯中的开集.反之, 设U 是()122,X X d ⨯中的开集, 即对任意x U ∈, 存在0ε>, 使()2,d B x U ε⊂. 由(1)左边不等式, (),B x U ρε⊂. 即见U 是()12,X X ρ⨯中的开集.因此, ()122,X X d ⨯和()12,X X ρ⨯有相同的开集, 2d 和ρ等价. 又()()()1,,2,x y d x y x y ρρ≤≤(2)利用此不等式, 仿上可证()121,X X d ⨯和()12,X X ρ⨯有相同的开集. 从而1d 和ρ等价.图形略.3. 将习题2中的结论推广到n 个度量空间的积空间中去.设(,)i i X ρ为度量空间, 1,2,,i n = 定义:121212,:()()n n d d X X X X X X ⨯⨯⨯⨯⨯→ 使得对于任意的12(,,)n x x x x = 1212(,,)()n n y y y y X X X =∈⨯⨯ , 定义:11112222111222(,)(,)(,)max{(,),(,),(,)}n n n n n d x y x y x y d x y x y x y ρρρρρρ=++=则12,d d 是12n X X X ⨯⨯ 的度量, 12,,d d ρ是等价的度量.4. 设1X 和2X 是两个拓扑空间, 12X X ⨯是它们的积空间, 证明对于任何1A X ⊂和2B X ⊂有(1) A B A B ⨯=⨯; (2) ()oooA B A B ⨯=⨯;(3) ()(())(())A B A B A B ∂⨯=∂⨯⋃⨯∂.(注意, 尽管这里在三个不同的空间中求集合的闭包, 内部和边界使用的记号分别相同, 但并不至于发生混淆.)证明: 设12(,)x x x A B =∈⨯, 对于任意的开邻域12,,x x x U V U V ∈∈⨯∈U UU , 从而()()()()U V A B U A V B ⨯⋂⨯=⋂⨯⋂≠Φ即,,U A V B ⋂≠Φ⋂≠Φ 则12,,x A x B ∈∈ 故 12(,)x x x A B =∈⨯, A B A B ⨯⊂⨯. 反之, 设 12(,)x x x A B =∈⨯, 则12,x A x B ∈∈对于任意的开邻域xW ∈U, 存在12,x x U V ∈∈U U 使得W U=⨯, 由于,U A V B ⋂≠Φ⋂≠Φ, 则()()U A V B ⋂⨯⋂≠Φ 所以x A B ∈⨯, 故,A B A B ⨯⊂⨯ 因此.A B A B ⨯=⨯5. 设1X 和2X 是两个拓扑空间, 1A 和2A 分别是1X 和2X 的子空间, 证明12A A ⨯作为积空间的拓扑与12A A ⨯作为积空间12X X ⨯的子空间的拓扑两者相同.6. 设1X ,2X 和3X 都是拓扑空间, 证明: (1) 积空间12X X ⨯同胚于积空间21X X ⨯;(2) 积空间123()X X X ⨯⨯同胚于积空间123()X X X ⨯⨯; (3) 存在一个拓扑空间Y 使得积空间1X Y ⨯同胚于1X ;(4) 如果1X ≠∅并且积空间12X X ⨯同胚于积空间13X X ⨯, 则2X 同胚于3X . 7. 证明§3.1习题9中定义的拓扑空间2(,)R T 是两个实数下限拓扑空间l R (参见例2.6.1)的积空间.3.3 商空间1. 证明: 离散空间(平庸空间)的任何一个商空间都是离散空间(平庸空间).证明: 设X 离散, 即X 的任一子集为开集. 设R 是X 的任一等价关系. 任取/A X R ⊂. 则()1p A -为X 的开子集, A 为商空间/X R 中的开集. 由/A X R ⊂的任意性, /X R 为离散空间.设(),X T平庸, 即{},X =∅T. 设R 是X 的任一等价关系. 若A 是/X R 的非空真子集, 则()1pA -为X 的非空真子集, ()1p A -∉T, 从而RA ∉T. 所以{},/RX R =∅T. /X R 为平庸空间.2. 设X , Y 和Z 都是拓扑空间. 证明: 如果:f X Y →和:g Y Z →都是商映射, 则:g f X Z → 也是商映射.证明: 因为:f X Y →和:g Y Z →都是满射, 所以:g f X Z → 也是满射. 若W 是Z 的开子集, 由g f 的连续性, ()()1g f W - 是X 的开子集. 若WZ ⊂不是Z 的开子集,由:g Y Z →是商映射, ()1g W -不是Y 的开子集. 进而, 由:f X Y →是商映射,()()11f g W --不是X 的开子集, 即()()1g f W - 不是X 的开子集. 于是, W 是Z 的开子集当且仅当()()1g fW - 是X 的开子集. 所以,:g f X Z → 是商映射.3. 定义映射1:p S →R , 使得对于任何t ∈R 有1()(cos(2),sin(2))p t t t S ππ=∈. 证明p 是一个商映射. (提示:事实上p 是一个开映射.)证明. 令1S 的度量ρ为2R 上的通常度量诱导而来. 由于()()()()()()()()122212(),(cos 2cos 2sin 2sin 2)21cos 222|sin |2||,p x p y x y x y x y x y x y ρππππππππ=-+-=--=-≤-p 为连续映射. p 显然是满射. 由定理3.3.3, 为证p 是商映射, 只需验证p 是开映射.设U 为R 的开子集. 任取x U ∈. 存在01/2ε<<使得(),x x U εε-+⊂.()(),C p x x εε-+ . 对任意1w S C ∈-, 取y ∈R 满足()p y w =以及||1/x y ε≤-≤.则()()()(),2|sin |2sin p x p y x y ρππε=-≥.从而()()(),2s in B p x p U πε⊂, ()px 为()p U 的内点. 由x U ∈得任意性, ()p U 为1S 的开子集.4. 定义映射21:{(0,0)}p S -→R , 使得对于任何2(,){(0,0)}x y ∈-R 有1(,)p x y S =∈.证明p 是一个商映射.5. 设X 和Y 是两个拓扑空间,:f X Y →是一个商映射. 令2{(,)|()()}R x y X f x f y =∈=. 证明:(1) R 是X 中的一个等价关系; (2) Y 同胚于商空间/X R .6. 定义映射1:p I S →, 使得对于任何t I ∈有1()(cos(2),sin(2))p t t t S ππ=∈.其中, [0,1]I =. 证明:(1) p 是满的连续闭映射;(2) 例3.3.2中的商空间/I R 与1S 同胚.7. 举例说明商映射可以既不是开映射也不是闭映射.。

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology课程性质：数学与应用数学专业必修课学时数：36教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版.主要参考书：《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版.《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版.《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版.《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主所属院系：数学学院数学与应用数学系课程基础：《数学分析》、《实变函数论》一、课程简介拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始.泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间.X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚.要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空间不具有，则此二空间不同胚.一般拓扑学中常见的拓扑不变性有连通性、道路连通性、紧性、列紧性、分离性等.在历史上F.豪斯多夫提出了分离空间；弗雷歇看出了紧性与列紧性有密切关系；帕维尔·萨穆伊洛维奇·乌雷松对紧空间进行了系统研究，且在拓扑空间可否变量化的问题上作出了贡献；1937年H.嘉当引进了“滤子”的概念，能进一步刻画一致收敛，使收敛的更本质的属性揭示了出来；维数的问题是E.嘉当在研究皮亚诺曲线（一种可填满整个正方形的“曲线”）时提出的，1912年H.庞加莱给出定义，由乌雷松等人加以改进.二、教学目的点集拓扑近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科.该课程从点集拓扑学的发展简史出发，深入浅出地阐述了点集拓扑学的基本理论、基本问题和基本方法.内容包括：点集拓扑基础、拓扑空间与连续映射、子空间、积空间、商空间及有关可数性的公理等.其中各部分主题鲜明，逻辑性强，通过对各部分内容由浅入深的讲解，使学生透彻地理解基本概念，努力将每个知识点与中学数学的知识及已经学过的大学其它数学课程(例如实变函数论)联系起来，便于学生比较理解，增加对知识背景的认识.三、教学要求本课程研究点集拓扑学的基本理论和基本方法。

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点集拓扑学教案为开设数学专业本科自学考试及宁德师专数学系数学教育专业“点集拓扑”课程,按熊金城《点集拓扑讲义》(第三版,北京:高等教育出版社,2003)第一至七章编写的教案。

自考生授课30学时,专科生授课45学时。

教学内容与进度安排如下。

章节自考生授课主要内容时数1朴素集合论22.1-2.3度量空间、拓扑空间、连续映射、邻域42.4-2.7闭集闭包、内部、边界、基、序列43子空间、积空间、商空间34连通、连通分支、局部连通、道路连通35第一、二可数性、可分性、Lindelöf性36.1-6.4各种分离性公理T0-T436.5-6.6分离公理的运算保持、Urysohn度量化定理27.1-7.3紧致性、分离性及R n中的紧致子集37.4-7.5各种紧致性、度量空间中的紧致性27.6局部紧致空间、仿紧致空间1章节专科生授课主要内容时数备注拓扑学的起源1一朴素集合论5习题课时11.1集合、映射与关系21.2无限集、选择公理2二拓扑空间与连续映射14习题课时22.1度量空间与连续映射3不讲附录2.2拓扑空间与连续映射22.3邻域与邻域系1不讲定理2.3.32.4导集、闭集、闭包3不讲例2.4.4,定理2.4.8 2.5内部、边界12.6基与子基1部分证明定理 2.6.3,邻域基及相关内容在5.1中介绍2.7拓扑空间中的序列1三子空间、有限积空间、商空间5习题课时13.1子空间 1.5嵌入在6.6中介绍3.2积空间 1.53.3商空间1例3.3.3起不讲四连通性6习题课时14.1连通空间24.2连通性的某些简单应用14.3连通分支0.54.4局部连通空间14.5道路连通空间0.5道路连通分支不讲五有关可数性的公理5习题课时15.1第一与第二可数性公理25.2可分空间1定理5.2.1不讲5.3Lindelöf空间1六分离性公理8习题课时26.1T0、T1、Hausdorff空间 1.56.2正则、正规、T3、T4空间1例6.2.2讲部分6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理0.5不讲定理6.3.1,6.3.4的证明6.4完全正则空间,Tychonoff空间16.5分离性公理与子空间、积空间和商空间16.6可度量化空间1定理6.6.1讲部分七紧致性10习题课时3(含总复习)7.1紧致性 2.5定理7.1.6讲部分7.2紧致性与分离性公理0.5引理7.3.2用分析中的结论7.3n维欧氏空间R n中的紧致子集0.57.4几种紧致性以及其间的关系 1.57.5度量空间中的紧致性17.6局部紧致空间,仿紧致空间1定理7.6.8不讲第一章朴素集合论点集拓扑学(Point-set Topology)现称一般拓扑学(General Topology),它的起源与出发点都是集合论.作为基本的点集拓扑学知识,所需的只是一些朴素集合论的预备知识.本章介绍本书中要用到的一些集合论内容,主要涉及集合及集族的运算、等价关系、映射、可数集、选择公理等.作为一教材,讲义对各部分内容均有较系统的论述,作为授课,我们只强调一些基本内容,而对已有过了解的知识不提或少提.记号:Z,Z+,R,Q分别表示整数集,正整数集,实数集和有理数集.一.集合的运算幂集P(X),交∩、并∪、差－(补,余CA,A').运算律:De Morgan律:(1)A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)(2)A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)利用集合的包含关系证明(1).类似可定义任意有限个集的交或并,如记A i.A1∪A2∪…∪A n=(A1∪…∪A n-1)∪A n=∪i≤n A i=∪ni=1规定0个集之并是∅,不用0个集之交.二.关系R是集合X的一个关系,即R⊂X×X,(x,y)∈R记为xRy,称x与y是R相关的.R称为自反的,若∀x∈X,xRx;R称为对称的,若xRy,则yRx;R称为传递的,若xRy,yRz,则xRz.等价关系:自反、对称、传递的关系.如, Δ(X)={(x, x)|x∈X},恒同关系,它是等价关系;{(x,y)|x,y∈R,x<y},小于关系,它是传递的,但不是对称的、不是自反的.设R是X上等价关系,∀x∈X,x的R等价类或等价类[x]R或[x]为{y∈X|xRy},[x]R的元称为[x]R的代表元;商集X/R={[x]R|x∈X}.定理1.4.1设R是非空集合X的等价关系,则(1)∀x∈X,x∈[x]R;(2)∀x,y∈X,或者[x]R=[y]R,或者[x]R∩[y]R=∅.证(2).设z∈[x]R∩[y]R,则zRx,zRy,于是[x]R⊂[y]R且[y]R⊂[x]R,于是[x]R=[y]R.三.映射函数f: X→Y. ∀A⊂X,f(A)={f(x)|x∈A}像;∀B⊂Y,f-1(B)={x∈X|f(x)∈B}原像.满射、单射、一一映射(双射)、可逆映射、常值映射、恒同映射i X、限制f|A、扩张、内射i X|A: A→X.X i={(x1,…,x n)|x i∈X i,i≤n}到第i个坐标集集合X i,i≤n,笛卡儿积X1×X2×…×X n= Пi≤n X i=Пni=1X i的投射p i:X→X i定义为p(x)=x i,其中x=(x1,…,x n).对等价关系R,集合X到商集X/R的自然投射p:X→X/R定义为p(x)=[x]R.四.集族数列{x n}={x n}n∈Z+,有标集族{Aγ}γ∈Γ,指标集Γ,与{Aγ|γ∈Γ}不同,可记有标集族A={A}A∈A;类似地,定义其并∪γ∈ΓAγ(或∪A)、交∩γ∈ΓAγ(或∩A),不定义0个集的交.与有限集族有相同的运算律,如De Morgan律A-(∪γ∈ΓAγ)=∩γ∈Γ(A-Aγ),A-(∩γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γ(A-Aγ).映射对应的集族性质:f(∪γ∈ΓAγ)=∪γ∈Γf(Aγ),f(∩γ∈ΓAγ)⊂∩γ∈Γf(Aγ),f-1(∪γ∈ΓBγ)=∪γ∈Γf-1(Bγ),f-1(∩γ∈ΓBγ)=∩γ∈Γf-1(Bγ).五.无限集通过一一映射来确定两集合的个数的多少.有限集(∅或与某{1,2,…,n}有一一映射),无限集,可数集(∅或存在X到Z+的单射),不可数集.易验证:有限集是可数集,可数集的子集是可数集,可数集的映像是可数集.定理1.7.3X是可数集⇔X是Z+的映像.由此,Q是可数集,两可数集的笛卡儿积集是可数集,可数个可数集之并集是可数集.定理1.7.8R是不可数集.利用Cantor对角线法证明开区间(0,1)中的实数不可数.直观上,集合A中元素的个数称为该集合的基数,记为card A,或|A|.|Z+|=ℵ0,|R|=ℵ.若存在从集合A到集合B的单射,则定义|A|≤|B|.连续统假设:不存在基数α,使得ℵ0<α<ℵ.选择公理:若A是由非空集构成的集族,则∀A∈A,可取定ε(A)∈A.由选择公理可证明,若α,β是基数,则下述三式中有且仅有一成立:α<β,α=β,α>β.第二章拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.§2.1度量空间与连续映射在R 上,|x-y|表示点x 与y 之间的距离.绝对值是一非负函数,具有三条重要性质.定义2.1.1设X 是一集合,ρ:X ⨯X →R .如果ρ满足正定性、对称性和三角不等式,则称ρ是X 的一个度量.(X,ρ)称为度量空间,ρ(x,y)表示两点x,y 之间的距离.例2.1.1实数空间R .ρ(x,y)=|x-y|,R 的通常度量.例2.1.2n 维欧氏空间R n =R ⨯R ⨯…⨯R .对于x ∈R n,记x=(x i ).定义ρ(x,y)=∑=n1i 2i i )y -(x ,R n 的通常度量,n 维欧氏空间.R 2称为欧氏平面或平面.例2.1.3Hilbert 空间H .H ={x=(x 1,x 2,…)|x i ∈R ,i ∈Z +;∑∞=1i 2ix <∞}.定义ρ(x,y)=∑∞=1i 2i i )y -(x ,则度量空间(H ,ρ)称为Hilbert 空间.例2.1.4离散度量空间.度量空间(X,ρ)称为离散的,若∀x ∈X,∃δx >0,使得不存在X 中的点y ≠x,满足ρ(x,y)<δx .如对集合X,按如下方式定义ρ:X ⨯X →R 是X 上的离散度量:⎩⎨⎧≠==y.x 1,y,x 0,y)(x,ρ定义2.1.2设(X,ρ)是度量空间.B(x,ε)={y ∈X |ρ(x,y)<ε}称为以x 为心,ε为半径的球形邻域,或ε邻域,或球形邻域.对(R ,|.|),B(x,ε)=(x-ε,x+ε).定理2.1.1度量空间(X,ρ)的球形邻域具有性质:(1)∀x ∈X,ε>0,x ∈B(x,ε);(2)∀x ∈X,ε1,ε2>0,∃ε>0,使B(x,ε)⊂B(x,ε1)∩B(x,ε2);(3)若y ∈B(x,ε),∃δ>0使B(y,δ)⊂B(x,ε).证(2)0<ε<min{ε1,ε2};(3)δ=ε-ρ(x,y),则B(y,δ)⊂B(x,ε).定义2.1.3X的子集A称为(X,ρ)的开集,若∀a∈A,∃ε>0,使B(a,ε)⊂A.每一球形邻域是开集.例2.1.5R中的开区间是开集.∀x∈(a,b),让ε=min{x-a,b-x},则B(x,ε)⊂(a,b).同样可证,无限开区也是开集.闭区间[a,b]不是开集.定理2.1.2度量空间的开集具有以下性质:(1)X,∅是开集;(2)两开集的交是开集;(3)任意开集族之并是开集.证(1)由定理2.1.1(1);(2),(3)由定理2.1.1(2).定义2.1.4设X是度量空间,x∈X,U⊂X.U称为x的邻域,若∃开集V,使x∈V⊂U.定理2.1.3U是X中点x的邻域⇔∃ε>0,使B(x,ε)⊂U.定义2.1.5设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,称f在x0连续,若∀f(x0)的球形邻域B(f(x0),ε)(∀ε>0),∃x0的球形邻域B(x0,δ)(∃δ>0),使f(B(x0,δ))⊂B(f(x0),ε)(当ρX(x,x0)<δ时,ρY(y,f(x0))<ε).称f在X连续,若f在X的每一点连续.定理2.1.4设X,Y是两度量空间.f:X→Y, x0∈X,那么(1)f在x0连续⇔若U是f(x0)的邻域,则f–1(U)是x0的邻域;(2)f在X连续⇔若U是Y的开集,则f–1(U)是X的开集.证(1)利用定义2.1.5,2.1.4.(2)“⇒”f–1(U)是每一点的邻域.“⇐”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.§2.2拓扑空间与连续映射定义2.2.1设T是集合X的子集族,若T满足:(1)X,∅∈T;(2)∀A,B∈T⇒A∩B∈T;(3)∀T1⊂T,∪T1∈T;称T是X的一个拓扑.(X,T)是拓扑空间,T的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义2.2.2(X,ρ)度量空间.Tρ由X的所有开集构成的族.(X,Tρ)称为由度量ρ诱导出的拓扑空间.简称Tρ为度量拓扑.度量空间⇒拓扑空间.例2.2.1平庸拓扑T={X,∅}.平庸空间.例2.2.2离散拓扑T=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.∪∅}.例2.2.4有限补拓扑T={U⊂X|U'是X的有限子集}{验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)∀A,B⊂X,讨论A∩B时分两种情形,一是A,B中有一是∅,二是A,B都不是∅.(3)设T1⊂T,不妨设∃∅≠A0∈T1,利用De Morgan律.有限补空间.∪∅}.例2.2.5可数补拓扑T={U⊂X|U'是X的可数子集}{定义2.2.3可度量化空间.离散空间是可度量化空间.多于一点的平庸空间不是可度量化空间.度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之一.本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解.定义2.2.4X,Y是两拓扑空间.f:X→Y.称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理2.2.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义2.2.5f:X→Y称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及f-1均连续.定义2.2.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理2.2.2(2.2.3)恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚⇒f-1同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间→度量空间→拓扑空间;点距离→度量→开集.§2.3邻域定义2.3.1设(X,T)是拓扑空间.x∈X,U⊂X称为x的邻域,如果存在V∈T使x∈V⊂U;若U 是开的,U称为x的开邻域.定理2.3.1设U⊂X.U是X的开集⇔U是它的每一点的邻域.证由定义得“⇒”;利用开集之并为开得“⇐”.x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为U x.定理2.3.2U x的性质:(1)X∈U x;∀U∈U x,x∈U;(2)U,V∈U x⇒U∩V∈U x;(3)U∈U x且U⊂V⇒V∈U x;(4)U∈U x⇒∃V∈U x使V⊂U且∀y∈V,V∈U y.证由定义2.3.1得(1);由开集的交是开集得(2);由定义2.3.1得(3);取V为满足x∈V⊂U的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集,从U x(∀x∈X)具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发,定义T={U⊂X|∀x∈U,U∈U x},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是U x.详见定理2.3.3.定义2.3.2(点连续)映射f:X→Y称为在点x∈X连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证(定理 2.3.4),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.定义2.2.4与定义2.3.2所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理2.3.5设f:X→Y. 则f连续⇔f在每一x∈X连续.证“⇒”若U是f(x)的邻域,∃开集V使f(x)∈V⊂U,x∈f-1(V)⊂f-1(U).“⇐”若U是Y的开集,∀x∈f-1(U),U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.§2.4导集、闭集、闭包定义2.4.1设A⊂X.x称为A的聚点(凝聚点,极限点),如果x的每一邻域U中有A中异于x 的点,即U∩(A-{x})≠∅.A的全体聚点之集称为A的导集,记为d(A).x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U∩(A-{x})=∅,即U∩A⊂{x}.例2.4.1X是离散空间.若A⊂X,则d(A)=∅.∀x∈X,取U={x},则U∩A⊂{x},所以x∉d(A).例 2.4.2X是平庸空间,A⊂X.若A=∅,则d(A)=∅;若|A|=1,则d(A)=X-A;若|A|>1,则d(A)=X.对于x∈X,若U是x的邻域,则U=X,于是U∩(A-{x})≠∅⇔A-{x}≠∅⇔A⊄{x},由此,易计算d(A).定理2.4.1A,B⊂X,则(1)d(∅)=∅;(2)A⊂B⇒d(A)⊂d(B);∪∪;(3)d(A B)=d(A)d(B)(4)d(d(A))⊂A d(A).∪证由定义2.4.1得(1)和(2).∪分别存在x的邻域U,V使得关于(3).由(2)得d(A)∪d(B)⊂d(A B)∪.设x∉d(A)d(B),∪)⊂{x}.U∩A⊂{x},V∩B⊂{x},令D=U∩V,则D∩(A B∪存在x的邻域U,使得U∩A⊂{x},取x的开邻域V⊂U,则V∩A=∅,关于(4).设x∉A d(A),∀y∈V,V∩(A-{y})=∅,y∉d(A),V∩d(A)=∅,x∉d(d(A)).定义2.4.2A⊂X称为X的闭集,如果d(A)⊂A.定理2.4.2A闭⇔A'开.证“⇒”∀x∈A',由于d(A)⊂A,存在x的邻域U使U∩A=∅,于是U⊂A'.“⇐”∀x∈A',A'∩A=∅, x∉d(A),所以d(A)⊂A.例2.4.3R的闭区间是闭集.∪+∞)开集.(a,b)不是闭集,因为a是聚点.[a,b]'=(-∞,a)(b,定理2.4.3记F是空间X的全部闭集族,则(1)X,∅∈F;(2)A,B∈F⇒A B∪∈F;(3)∅≠H⊂F⇒∩H∈H H∈F.证利用De Morgan定律及拓扑的定义.F={U'|U∈T}.直接验证可得(1)、(2).(3)令U={H'∣H∈H}.则∪H∈H H'∈T,从而∩H∈H H=∩H∈H H''=(∪H∈H H')'∈F.Cantor集(例2.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.∪称为A的闭包,记为A,A-或c(A).定义2.4.3A d(A)定理2.4.5对A,B⊂X,有(1)∅-=∅;(2)A⊂A-;(3)(A∪B)-=A-∪B-;(4)(A-)-=A-.∪∪∪∪∪∪A-∪B-.证(3)(A∪B)-=A B d(A B)=A d(A)B d(B)=(4)(A-)-=(A∪d(A))-=A-∪d(A)-=A d(A)d(d(∪∪A))=A-.上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上,记此运算为c(A),定义T={U⊂X|c(U')=U'},则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一c(A)=A-,详见定理2.4.8.关于闭包的几个相关结果:(1)x∈A-⇔对x的任一邻域有U∩A≠∅.(定义2.4.3后)(2)d(A)=(A-{x})-.(3)A闭⇔d(A)⊂A⇔A=A-.(定理2.4.4)(4)A-是闭集.(定理2.4.6)(5)A-是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理2.4.7:设F是包含A的所有闭集之交,则A⊂F⊂A-,A-⊂F,所以F=A-.)定义2.4.5(X,ρ)是度量空间.对非空的A⊂X,x∈X,定义ρ(x,A)=inf{ρ(x,y)|y∈A}.定理2.4.9对度量空间(X,ρ)的非空子集A,(1)x∈A-⇔ρ(x,A)=0;(2)x∈d(A)⇔ρ(x,A-{x})=0.证ρ(x,A)=0⇔∀ε>0,∃y∈A,ρ(x,y)<ε⇔B(x,ε)∩A≠∅⇔∀U∈U x, U∩A≠∅⇔x∈A-.定理2.4.10设f:X→Y,则下述等价(1)f连续;(2)若B闭于Y,则f-1(B)闭于X;(3)∀A⊂X,f(A-)⊂f(A)-.证(1)⇒(2)B是Y的闭集,B'是Y的开集,f-1(B')=f-1(B)'是X的开集,f-1(B)是X的闭集.(2)⇒(3)f(A)⊂f(A)-,A⊂f-1(f(A)-),A-⊂f-1(f(A)-),f(A-)⊂f(A)-.(3)⇒(1)设U是Y的开集,U'是Y的闭集且f(f-1(U')-)⊂f(f-1(U'))-⊂U'-=U',f-1(U')-⊂f-1(U'), f-1(U')=f-1(U)'是闭,f-1(U)是开.§2.5内部、边界定义2.5.1若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A︒.定理2.5.1对A⊂X,A︒=A'-',A-=A'︒'.证x∈A︒,由于A∩A'=∅,于是x∉A'-,从而x∈A'-'.反之,x∈A'-',x∉A'-,∃x的邻域V∩A'=∅, V⊂A,x∈A︒.因此,A︒=A'-'.从而A'︒=A''-'=A-',A︒-=A'︒'.定理2.5.3对A,B⊂X,有(1)X︒=X;(2)A︒⊂A;(3)(A∩B)︒=A︒∩B︒;(4)A︒︒=A︒.证(1)、(2)是显然的.(A∩B)︒=(A'∪B')-'=A'-'∩B'-'=A︒∩B︒.而A︒︒=A'-''-'=A'-'=A︒.关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域⇔x∈A︒.(2)A︒是开集.(定理2.5.4)(3)A是开集⇔A=A︒.(定理2.5.2)(4)A︒是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理2.5.5)证(2)A︒=A'-'是开集.(3)A开⇔A'闭⇔A'=A'-⇔A=A'-'=A︒.(4)设O是含于A内的所有开集之并,A︒⊂O⊂A,O⊂A︒,所以O=A︒.定义2.5.2x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A'中的点.A的边界点之集称为边界,记为∂A.定理2.5.6对A⊂X,有(1)∂A=A-∩A'-=∂(A');(2)A-=A︒∪∂A;(3)A︒=A--∂A.∪︒-)=A-.∪'-)=A-∩(A︒A∪-)∩(A︒A∪-∩A'-)=(A︒A证(2)A︒∪∂A=A︒(A(3)A--∂A=A--(A-∩A'-)=A--A'-=A-∩A'-'=A︒.§2.6基与子基度量空间→球形邻域→开集→拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.定义2.6.1设T是空间X的拓扑,B⊂T,如果T中每一元是B中某子集族之并,称B是X的基.所有单点集的族是离散空间的基.定理2.6.2设B⊂T.B为X的基⇔∀x∈X及x的邻域U x,∃V x∈B使x∈V x⊂U x.证“⇒”∃开集W x使得x∈W x⊂U x,∃B1⊂B使得W x=∪B1,∃V x∈B1⊂B使x∈V x⊂U x.“⇐”设U∈T,∀x∈U,∃V x∈B使x∈V x⊂U,从而{V x|x∈U}⊂B且U=∪x∈U V x.在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理2.6.1).所有开区间的族是R的基.定理2.6.3拓扑空间X的基B满足:(i)∪B=X;(ii)∀B1,B2∈B,x∈B1∩B2,∃B3∈B使x∈B3⊂B1∩B2.反之,若集合X的子集族B满足(1)、(2),定义T={∪B1|B1⊂B},则T是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证T是X的拓扑.(1)∅=∪∅.(2)先设B1,B2∈B,∀x∈B1∩B2,∃W x∈B使x∈W x⊂B1∩B2,于是B1∩B2=∪{W x|x∈B1∩B2}∈T.如果A1,A2∈T,设A1=∪B1,A2=∪B2,则A1∩A2=∪{B1∩B2| B1∈B1,B2∈B2}∈T.(3)设T1⊂T,∀A∈T1,∃B A⊂B,使得A=∪B A,那么∪T1=∪(∪{B A|A∈T1}).较强于(ii)且易于验证的条件是(ii')∀B1,B2∈B,B1∩B2∈B.例2.6.1实数下限拓扑空间.令B={[a,b)|a,b∈R,a<b},则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为R l.开区间是R l中的开集,因为(a,b)=∪i∈Z+[a+1/i,b).定义2.6.2设(X,T)是拓扑空间,S⊂T.若S的元之所有有限交构成的族是T的基,则称S是T的子基.S的元之有限交构成的族{S1∩S2∩…∩S n S∣i∈S,i≤n∈Z+}.显然,空间X的基是子基.∪-∞,b)b∣∈R}是R的子基.∣∈R}{(例2.6.2S={(a,+∞)a对照定理2.6.3,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓扑的充要条件是∪S=X.(定理2.6.4)映射的连续性可用基、子基来刻画或验证.定理2.6.5设X,Y是两拓扑空间,f:X→Y,下述等价:(1)f连续;(2)Y基B,使得B中每一元的原像在X中开;(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在X中开.证(3)⇒(2)设B是S的元之所有有限交构成的族,则B满足(2).(2)⇒(1)设U在Y中开,则U=∪B1,于是f-1(U)=∪{f-1(B)|B∈B1}在X中开.类似地,可定义点的邻域基与邻域子基的概念,同时用它们来验证映射的连续性等.在第五章中定义第一可数性时再介绍这些概念.§2.7拓扑空间中的序列可以与R中一样地定义序列、常值序列、子序列,见定义2.7.1,2.7.3.定义2.7.2X中序列x i→x.极限,收敛序列.平庸空间中任意序列收敛于空间中的任一点.数学分析中的一些收敛性质还是保留的,如常值序列收敛,收敛序列的子序列也收敛.(定理2.7.1)定理2.7.2A-{x}中序列x i→x⇒x∈d(A).证∀x的邻域U,U∩(A-{x})≠∅,所以x∈d(A).定理2.7.3f在x0连续且x i→x0⇒f(x i)→f(x0).证设U是f(x0)的邻域,则f-1(U)是x0的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈f-1(U),从而f(x i)∈U.上述两定理的逆命题均不成立.例2.7.1设X是不可数集赋予可数补拓扑,则(1)在X中x i→x⇔∃n∈Z+,当i>n时有x i=x;(2)若A是X的不可数子集,则d(A)=X.证(1)的必要性.令D={x i|x i≠x,i∈Z+},则D'是x的邻域,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈D',即x i=x.证(2)∀x的邻域U,A-{x}⊄U'(可数集),所以U∩(A-{x})≠∅,x∈d(A).定理2.7.2的逆命题不真.如例2.7.1,取定x0∈X,让A=X-{x0},则x0∈d(A),但A中没有序列收敛于x0.定理2.7.3的逆命题不真.取X是实数集赋予可数补拓扑,让i:X→R是恒等映射,若在X中x i→x,则在R中f(x i)→f(x),但i在x不连续,因为x在R的开邻域(x-1,x+1)的原像i-1((x-1, x+1))=(x-1,x+1)在X中不是开的.定理2.7.4设{x i}是度量空间(X,ρ)中的序列,则x i→x⇔ρ(x i,x)→0.证x i→x⇔∀x的邻域U,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈U⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有x i∈B(x,ε)⇔∀ε>0,∃n∈Z+,当i>n时有ρ(x i,x)<ε⇔ρ(x i,x)→0.第三章子空间、积空间、商空间介绍三种从原有的拓扑空间或拓扑空间族构造新空间的经典方法,引入遗传性、可积性、可商性等概念,这些是研究拓扑性质的基本构架.§3.1子空间对于空间X的子集族A及Y⊂X,A在Y上的限制A|Y={A∩Y|A∈A}.(定义3.1.2)引理3.1.2设Y是空间(X,T)的子集,则T|Y是Y上的拓扑.证按拓扑的三个条件逐一验证.如,设T1⊂T|Y,∀A∈T1,∃B A∈T,使得A=B A∩Y,于是∪T1=∪{B A∩Y|A∈T1}=(∪{B A|A∈T1})∩Y∈T|Y.定义3.1.3对Y⊂X,(Y,T|Y)称为(X,T)的子空间,T|Y称为相对拓扑.“子空间”=“子集”+“相对拓扑”.易验证,若Z是Y的子空间,且Y是X的子空间,则Z是X的子空间.(定理3.1.4)定理3.1.5(3.1.7)设Y是X的子空间,y∈Y,则(1)若T,T*分别为X,Y的拓扑,则T*=T|Y;(2)若F,F*分别为X,Y的全体闭集族,则F*=F|Y;(3)若U y,U y*分别为y在X,Y中的邻域系,则U y*=U y|Y;(4)若B是X的基,则B|Y是Y的基.证(2)F*∈F*⇔Y-F*∈T|Y⇔Y-F*=U∩Y,U∈T⇔F*=(X-U)∩Y,U∈T⇔F*∈T|Y.(4)∀U开于Y,∃X的开集V,使得U=V∩Y,∃B1⊂B,满足V=∪B1,则U=∪(B1|Y).在R的子空间(0,+∞)中(0,1]是闭集.定理3.1.6设Y是X的子空间,A⊂Y,则(1)d Y(A)=d X(A)∩Y;(2)c Y(A)=c X(A)∩Y.证(1)y∈d Y(A),∀y在X中的邻域U,U∩(A-{y})⊃(U∩Y)∩(A-{y})≠∅,所以y∈d X(A)∩Y.反之,设y∈d X(A)∩Y,∀y在Y中的邻域V,∃y在X中的邻域U使V=U∩Y,于是V∩(A-{y})=(U∩(A-{y}))∩Y=U∩(A-{y})≠∅,所以y∈d Y(A).∪X(A)∩Y)=(A d∪c X(A)∩Y.∪X(A))∩(A Y)=∪Y(A)=A(d(2)c Y(A)=A d§3.2有限积空间就平面的球形邻域B d(x,ε)而言,我们知道球形邻域内含有方形邻域,方形邻域内含有球形邻域.从基的角度而言,形如B1(x1,ε1)⨯B2(x2,ε2)的集合就是平面拓扑的基了.对于两个拓扑空间X,Y,在笛卡儿积集X⨯Y中可考虑形如U⨯V的集合之全体,其中U,V分别是X,Y的开集.对于有限个空间X1,X2,…,X n,可考虑形如U1⨯U2⨯…⨯U n的集合.定理3.2.2设(X i,T i)(i≤n)是n个拓扑空间,则X=X1⨯X2⨯…⨯X n有唯一的拓扑,以X的子集族B={U1⨯U2⨯…⨯U n|U i∈T i,i≤n}为它的一个基.证验证B满足定理2.6.3的条件(i),(ii').(1)X=X1⨯X2⨯…⨯X n∈B,∪B=X;(2)若U1⨯U2⨯…⨯U n, V1⨯V2⨯…⨯V n∈B,则(U1⨯U2⨯…⨯U n)∩(V1⨯V2⨯…⨯V n)=(U1∩V1)⨯…⨯(U n∩V n)∈B.定义3.2.2以定理3.2.2中B为基生成X1⨯X2⨯…⨯X n上的唯一拓扑,称为拓扑T1,T2,…,T n的积拓扑.(X,T)称为(X1,T1),…,(X n,T n)的(有限)积空间.定理3.2.4设X=X1⨯X2⨯…⨯X n是积空间,B i是X i的基,则B*={B1⨯B2⨯…⨯B n|B i∈B i,i≤n}是积拓扑T的基.证利用定理2.6.2.设x ∈U ∈T ,∃U i ∈T i 使x ∈U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U,∃B i ∈B i 使x i ∈B i ⊂U i ,那么x ∈B 1⨯B 2⨯…⨯B n ⊂U 1⨯U 2⨯…⨯U n ⊂U.例3.2.1形如(a 1,b 1)⨯(a 2,b 2)⨯…⨯(a n ,b n )的集合构成 n 的基.设(X 1,ρ1),(X 2,ρ2)是两个度量空间.令ρ(x,y)=22222211)y ,x ()y ,x (ρρ+,则ρ是X 1⨯X 2上的度量,导出X 上的度量拓扑T .对于n 个度量空间之积可类似地定义.(定义3.2.1)定理3.2.1度量空间的有限积:积拓扑与度量拓扑一致.验证n=2的情形.易验证B 1(x 1,ε/2)⨯B 2(x 2,ε/2)⊂B(x,ε)⊂B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε),于是每一B(x,ε)是积拓扑的开集,且每一B 1(x 1,ε)⨯B 2(x 2,ε)是度量拓扑的开集,所以导出相同的拓扑.定理3.2.5有限积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 以S ={p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}为子基,其中T i 是X i 的拓扑,p i :X →X i 是投射.仅证n=2的情形.p -11(U 1)=U 1⨯X 2,p -12(U 2)=X 1⨯U 2,所以p -11(U 1)∩p -12(U 2)=U 1⨯U 2∈B .定义3.2.3f:X →Y 称为开(闭)映射,若U 开(闭)于X,则f(U)开(闭)于Y .定理3.2.6p i :X →X i 是满、连续、开映射,未必是闭映射.由于p -1i (U i )=X 1⨯X 2⨯…⨯U i ⨯…⨯X n ,所以p i 连续.由于p i (U 1⨯U 2⨯…⨯U n )=U i ,所以p i 是开的.但是p 1:R 2→R 不是闭的.定理3.2.7设映射f:Y →X,其中X 是积空间X 1⨯X 2⨯…⨯X n .则f 连续⇔∀i ≤n,p i ◦f:Y →X i 连续.证充分性.对X 的子基S ={p -1i (U i )|i ≤n,U i ∈T i },f -1(p -1i (U i ))=(p i ◦f)-1(U i )开于Y .多元函数连续当且仅当它的每一分量连续.定理3.2.8积拓扑是使每一投射都连续的最小拓扑.即设T 是积空间X=X 1⨯X 2⨯…⨯X n 的积拓扑,若集合X 的拓扑T *满足:每一投射p i :(X,T *)→X i 连续,则T ⊂T *.证由于{p -1i (U i )|U i ∈T i ,i ≤n}⊂T *,所以T ⊂T *.§3.3商空间回忆,商集X/R,及自然投射p:X →X/R 定义为p(x)=[x]R .问题:设X 是拓扑空间,要在X/R 上定义拓扑,使p 连续的最大的拓扑.讨论更一般的情形,设(X,T )是拓扑空间且f:X →Y 是满射.赋予集合Y 什么拓扑,使f 连续的最大的拓扑.若f连续,且U是Y的开集,则f-1(U)是X的开集.让T1={U⊂Y|f-1(U)∈T},易验证T1是Y上的拓扑.定义3.3.1(3.3.2)称T1是Y的相对于满射f而言的商拓扑,f:(X,T)→(Y,T1)称为商映射.这时,U在Y中开⇔f-1(U)在X中开;F在Y中闭⇔f-1(F)在X中闭.定理3.3.1商拓扑是使f连续的最大拓扑.证设f:(X,T)→(Y,T1)是商映射.显然,f是连续的.如果T2是Y的拓扑使f:(X,T)→(Y,T2)连续,则∀U∈T2,f-1(U)∈T,于是U∈T1,即T2⊂T1,所以T1是使f连续的最大拓扑.定理3.3.2设f:X→Y是商映射.对于空间Z,映射g:Y→Z连续⇔映射g◦f:X→Z连续.证设g◦f:X→Z连续,∀W开于Z,(g◦f)-1(W)=f-1(g-1(W))开于X,由于f是商映射,所以g-1(W)开于Y,故g连续.定理3.3.3连续,满开(闭)映射⇒商映射.证设f:(X,T X)→(Y,T Y)是连续的满开(闭)映射,T1是Y的相对于f而言的商拓扑,要证T Y= T1.由定理3.3.1,T Y⊂T1.反之,∀V∈T1,f-1(V)∈T X.对于开映射的情形,V=f(f–1(V))∈T Y;对于闭映射的情形,V=Y-f(X-f–1(V))∈T Y,所以总有T1⊂T Y.定义3.3.3设R是空间(X,T)的等价关系,由自然投射p:X→X/R确定了X/R的商拓扑T R,称(X/R,T R)为商空间,这时p:X→X/R是商映射.例3.3.1在R中定义等价关系~:∀x,y∈R,x~y⇔或者x,y∈Q,或者x,y∉Q.商空间R/~是由两点组成的平庸空间.由于Q在R中既是开集,也不是闭集,所以单点集[Q]在R/~中既不是开集,也不是闭集.习惯上,把R/~说成是在R中将所有有理点和所有无理点分别粘合为一点所得到的商空间.例3.3.2在[0,1]上定义等价关系~:∀x,y∈[0,1],x~y⇔或者x=y,或者{x,y}={0,1}.[0,1]/~是在[0,1]中粘合0,1两点所得到的商空间,这商空间同胚于单位圆周S1.第四章连通性本章起的四章介绍4类重要的拓扑不变性质.本章讨论连通性、道路连通性、局部连通性及其在实分析中的一些简单的应用.§4.1连通空间在拓扑中怎样定义连通,分隔区间(0,1),(1,2)的关系与(0,1),[1,2)的关系不同,虽然他们都不相交,但相连的程度不一样.定义4.1.1设A,B⊂X,若A∩B-=A-∩B=∅,则称A,B是隔离的.区间(0,1)与(1,2)隔离,但区间(0,1)与[1,2)不隔离.几个基本事实:(1)两不交的开集是隔离的;(2)两不交的闭集是隔离的;(3)隔离子集的子集是隔离的.定义4.1.2X称为不连通的,若X中有非空的隔离子集A,B使X=A∪B,即X可表为两非空隔离集之并.否则X称为连通的.包含多于一个点的离散空间不连通,平庸空间是连通的.定理4.1.1对空间X,下述等价:(1)X是不连通的;(2)X可表为两非空不交闭集之并;(3)X可表为两非空不交开集之并;(4)X存在既开又闭的非空真子集.证(1)⇒(2)设隔离集A,B之并是X,B-=B-∩(A∪B)=(B-∩A)∪(B-∩B)=B.同理,A也是闭的.(2)⇒(3)设X是两非空不交闭集A,B之并,则X是两非空不交开集A',B'之并.(3)⇒(4)设X是两非空不交开集A,B之并,则A,B都是X的既开又闭的非空真子集.(4)⇒(1)若A是X的开闭集,则A,X-A隔离.例4.1.1Q不是R的连通子空间,因为Q=(Q∩(-∞,π))∪(Q∩(π,+∞)).定理4.1.2R是连通的.证若R不连通,则R是两非空不交Array闭集A,B之并.取定a∈A,b∈B,不妨设a<b.令A*=[a,b]∩A,B=[a,b]∩B,则A*,B*是R两非空不交闭集且[a,b]=A*∪B*.让c=supA*.因A*是闭的,c∈A*,c<b,(c,b]⊂B*.因B*是闭的,c∈B*,从而A*∩B*≠∅,矛盾.定义4.1.3若X的子空间Y是连通的,则称Y为连通子集,否则,称为不连通子集.定理4.1.3设A,B⊂Y⊂X,则A,B是Y的隔离集⇔A,B是X的隔离集.证c Y(A)∩B=c X(A)∩Y∩B=c X(A)∩B;同理,c Y(B)∩A=c X(B)∩A.定理4.1.4设Y是X的连通子集.如果X有隔离子集A,B,使Y⊂A∪B,则Y⊂A或Y⊂B.证A∩Y,B∩Y是Y的隔离集,所以A∩Y=∅,或B∩Y=∅,于是Y⊂B或Y⊂A.定理4.1.5若Y是X的连通子集且Y⊂Z⊂Y-,则Z是连通的.证若Z不连通,∃X的非空隔离集A,B使Z=A∪B⊃Y,于是Y⊂A或Y⊂B,不妨设Y⊂A,那么Z⊂Y-⊂A-,于是B=Z∩B=∅,矛盾.定理4.1.6设{Yγ}γ∈Γ是空间X的连通子集族.如果∩γ∈ΓYγ≠∅,则∪γ∈ΓYγ连通.证若∪γ∈ΓYγ是X中隔离集A,B之并,取定x∈∩γ∈ΓYγ,不妨设x∈A,则∀γ∈Γ,Yγ⊂A,所以∪γ∈ΓYγ⊂A,于是B=∅.定理4.1.7设Y⊂X.若∀x,y∈Y,∃X的连通子集Y xy使x,y∈Y xy⊂Y,则Y连通.证设Y≠∅.取定a∈Y,则Y=∪y∈Y Y ay且a∈∩y∈Y Y ay,所以Y连通.定理4.1.8(连续映射保持)设f:X→Y连续.若X连通,则f(X)连通.证若f(X)不连通,则f(X)含有非空的开闭真子集A.由于f:X→f(X)连续,于是f-1(A)是X的非空开闭真子集.连续映射保持性⇒可商性⇒拓扑不变性.有限可积性.对于拓扑性质P,要证有限可积性,因为X1⨯X2⨯…⨯X n同胚于(X1⨯…⨯X n-1)⨯X n,所以只须证:若X,Y具性质P,则X⨯Y具有性质P.定理4.1.9(有限可积性)设X1,X2,…,X n连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n连通.证仅证若X,Y连通,则X⨯Y连通.取定(a, Array b)∈X⨯Y.∀(x,y)∈X⨯Y,令S xy=(X⨯{y})∪({a}⨯Y),由于X⨯{y}同胚于X,{a}⨯Y同胚于Y,所以X⨯{y},{a}⨯Y都连通且(a,y)∈(X⨯{y})∩({a}⨯Y),由定理4.1.6,S xy连通且(x,y)∈S xy,再由定理 4.1.7,X⨯Y=∪{S xy|(x,y)∈X⨯Y}连通.§4.2连通性的应用利用R连通性的证明(定理4.1.2)知,区间都是连通的.区间有9类：无限区间5类：(-∞,+∞),(a,+∞),[a,+∞),(-∞,a),(-∞,a].有限区间4类：(a,b),[a,b),(a,b],[a,b].定理4.2.1设E⊂R,则E连通⇔E是区间.证若E不是区间,∃a<c<b,使a,b∈E但c∉E.令A=(-∞,c)∩E,B=(c,+∞)∩E,则E是不交的非空开集A,B之并.定理4.2.2设X连通,f:X→R连续,则f(X)是R的一个区间.注∀x,y∈X,如果t介于f(x)与f(y)之间,则∃z∈X,使f(z)=t.事实上,不妨设f(x)≤t≤f(y),则t∈[f(x),f(y)]⊂f(X),所以∃z∈X,使f(z)=t.定理4.2.3(介值定理)设f:[a,b]→R连续,若r介于f(a)与f(b)之间,则∃z∈[a,b]使f(z)=r.定理4.2.4(不动点定理)设f:[0,1]→[0,1]连续,则∃z∈[0,1]使f(z)=z.证不妨设0<f(0),f(1)<1.定义F:[0,1]→R使F(x)=x-f(x),则F连续且F(0)<0<F(1),∃z∈[0,1]使得F(z)=0,即f(z)=z.定义f:R→R2为f(t)=(cos2πt,sin2πt),则f连续且f(R)=S1,于是S1是连通的.对x=(x1,x2)∈S1, -x=(-x1,-x2)∈S1称为x的对径点,映射r:S1→S1定义为r(x)=-x称为对径映射,则r连续.定理4.2.5(Borsuk-Ulam定理)设f:S1→R连续,则∃x∈S1,使得f(x)=f(-x).证定义F:S1→R为F(x)=f(x)-f(-x),则F连续.若∃a∈S1,使得f(a)≠f(-a),则F(a)⋅F(-a)<0,由定理4.2.2,∃z∈S1,使得F(z)=0,即f(z)=f(-z).定理4.2.6R n-{0}连通,其中n>1,0=(0,0,⋯,0)∈R n.证只证n=2的情形.令A=[0,+∞)⨯R-{0},B=(-∞,0]⨯R-{0},则A∪B=R2-{0},A∩B≠∅.由于(0,+∞)⨯R⊂A⊂c((0,+∞)⨯R),所以A连通.同理,B连通,从而A∪B连通.定理4.2.7R2与R不同胚.证若∃同胚f:R2→R,令g=f|R2-{0}:R2-{0}→R,则g连续,从而g(R2-{0})=R-{f(0)}连通,矛盾.§4.3连通分支将不连通集分解为一些“最大”连通子集(“连通分支”)之并.定义4.3.1x,y∈X称为连通的,若∃X的连通子集同时含x,y,记为x~y.点的连通关系~是等价关系：(1)x~x;(2)x~y⇒y~x;(3)x~y,y~z⇒x~z.定义4.3.2空间X关于点的连通关系的每一等价类称为X的一个连通分支.x~y⇔x,y属于X的同一连通分支.X是X的全体连通分支的互不相交并.定理4.3.1设C是空间X的连通分支,则(1)若Y是X的连通子集且Y∩C≠∅,则Y⊂C;(2)C是连通的闭集.证(1)取定x∈Y∩C,∀y∈Y,则x~y,所以y∈C.(2)取定c∈C.∀x∈C,∃X的连通集Y x∍c,x,由于Y x∩C≠∅,Y x⊂C,于是C=∪{Y x|x∈C}且c∈∩{Y x|x∈C},所以C是连通的.从而C-连通且C-∩C≠∅,于是C-⊂C,故C闭.以上说明：连通分支是最大的连通子集.连通分支可以不是开集.Q的连通分支都是单点集,不是Q的开子集.∀x,y∈Q,由定理4.2.1,不存在Q的连通子集同时含有x,y,所以Q的连通分支都是单点集.§4.4局部连通空间例4.4.1(拓扑学家的正弦曲线)令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]},T={0}⨯[-1,1],S1=S∪T,则S-=S1,于是S,S1连通.在S1中,S中点与T中点的“较小的”邻域表现出不同的连通性.定义4.4.1设x∈X.若x的每一邻域U中都含有x的某一连通的邻域V,称X在x是局部连通的.空间X称为局部连通的,若X在每一点是局部连通的.S1是连通,非局部连通的.多于一点的离散空间是局部连通,非连通的.定理4.4.1对空间X,下述等价:(1)X是局部连通;(2)X的任一开集的任一连通分支是开集;(3)X有一个基,每一元是连通的.证(1)⇒(2)设C是X的开集U的连通分支.∀x∈C,∃x的连通的邻域V⊂U,于是V∩C≠∅, V⊂C,所以C是x的邻域,故C开.(2)⇒(3)令B={C⊂X|C是X的开集U的连通分支},则B是X的基.(3)⇒(1)设U是x的邻域,∃开集V使x∈V⊂U,∃连通开集C使x∈C⊂V⊂U,所以X局部连通.定理4.4.2设f:X→Y是连续开映射.若X局部连通,则f(X)局部连通.证∀y∈f(X),及y在f(X)中的邻域U,取x∈f-1(y),则f-1(U)是x的邻域,∃X的连通开集V使x∈V⊂f-1(U),于是y=f(x)∈f(V)⊂U.定理4.4.3局部连通性是有限可积性,即设X1,X2,…,X n局部连通,则X1⨯X2⨯…⨯X n局部连通.证仅证若X1,X2局部连通,则X1⨯X2局部连通.设B1,B2分别是X1,X2的由连通开集组成的基,则{B1⨯B2|B1∈B1,B2∈B2}是X1⨯X2的由连通开集组成的基(定理3.2.4).。

【点集拓扑学】§3.1 子空间

引理3.1.2 是拓扑空间（的一个子集．引理3.1.2 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．则集的一个拓扑．族 T |Y 是Y的一个拓扑．定义3.1.3 设Y是拓扑空间（X，T）的一个子集．Y的拓扑 T |Y 称为（相对于X的拓扑T而言的）相对拓扑；拓扑空间（Y，T |Y ）称为拓扑空间的一个（拓扑）子空间．
定理3.1.1 定理
是度量空间X的一个度量子空设Y是度量空间的一个度量子空是度量空间
的子集U是中的一个开集当且仅当存间．则Y的子集是Y中的一个开集当且仅当存的子集在一个X中的开集使得在一个中的开集V使得＝V∩Y．中的开集使得U＝．定义3.1.2 设A是一个集族，Y是一个集合．集族{A∩Y|A∈A}称为集族A在集合Y上的限制，记作 A |Y .
定义3.1.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．映射f称为一个嵌入，如果它是一个单射，并且是从 X到它的象集f(X)的一个同胚．如果存在一个嵌入 f: X→Y，我们说拓扑空间X可嵌入拓扑空间Y．本节关键:掌握拓扑空间中的子集(这里称为子空间) 的开集、闭集、闭包、导集”长”得什么模样．作业: 作业: P95 1.2.5.7.
y
和
~ y
为点y 为点y在X和Y中的邻域系
，则
~ y
= y |Y ．
定理3.1.6 是拓扑空间X的一个子空间，定理3.1.6 设Y是拓扑空间X的一个子空间，A是Y的一个子集．一个子集．则（1）A在y中的导集是A在X中的导集与Y的交；中的导集是A 中的导集与Y的交；（2）A在Y中的闭包是A在X中的闭包与Y的交．中的闭包是A 中的闭包与Y的交．定理3.1.7 是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．定理3.1.7 设Y是拓扑空间X的一个子空间，y∈Y．则是拓扑空间X的一个基，（1）如果 β 是拓扑空间X的一个基，则 β |Y 是子空间Y的一个基；空间Y的一个基；是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，（2）如果 ψ y 是点y在拓扑空间X中的一个邻域基，是点y在子空间Y中的一个邻域基．则 ψ y |Y 是点y在子空间Y中的一个邻域基．

点集拓扑

第三章子空间，（有限）积空间和商空间
教学目的
介绍用已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种方法，使得拓扑空间中的一个给定
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陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
的子集，有限个拓扑空间的笛卡儿积或一个拓扑空间中的商集都可以作为独立的拓扑对象进行考察。
主要内容
第一节子空间第二节（有限）积空间第三节商空间系
3．题型与举例
深圳大学数学与计算科学学院
200× -200× 学年课程点集拓扑年级第× 学期期末考试Ａ卷姓名成绩
一、判断题（每小题 2 分，共 20 分）（（（（（）1. 仿紧空间是度量空间。）2. 局部道路连通空间不一定是道路连通空间。）3. 度量空间 X 紧致的充要条件是 X 上的任意一个连续函数都是有界的。）4. 可分空间一定满足 C2 公理。）5. 紧度量空间的每一个开覆盖都有 Lebesgue 数。
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陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
三、课时分配及其它
（一）课时分配
课程总教学时数为 54 学时，安排在第学期，每周 3 学时，上课 18 周。具体分配如下：第一章集合论初步第二章拓扑空间与连续映射第三章子空间，（有限）积空间和商空间第四章连通性第五章有关可数性的公里第六章分离性公里第七章紧致性 8 学时 10 学时 4 学时 8 学时 6 学时 8 学时 10 学时
陈冬梅：《点集拓扑》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称
点集拓扑
课程类别
综合选修
教材名称
点集拓扑

2024年河北师大点集拓扑第三章教案

2024年河北师大点集拓扑第三章教案一、教学内容二、教学目标1. 理解并掌握拓扑空间的基本概念及其性质，为后续学习打下基础。

2. 学会判断函数的极限与连续性，培养严谨的逻辑思维能力。

3. 掌握子空间拓扑的构造方法，并能应用于实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：函数的极限与连续性，连通性的判定。

教学重点：拓扑空间的基本概念，子空间拓扑的构造方法。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件，板擦，粉笔。

2. 学具：教材，笔记本，铅笔。

五、教学过程1. 导入：通过实际生活中的例子，如公交站点的分布，引入拓扑空间的概念。

2. 基本概念：讲解拓扑空间的基本概念，通过例题进行解释。

3. 极限与连续：介绍函数的极限与连续性，配合随堂练习巩固知识点。

4. 子空间拓扑：讲解子空间拓扑的构造方法，并给出实际例子。

5. 连通性：介绍连通性的定义，分类和判定方法，结合例题进行分析。

六、板书设计1. 拓扑空间的基本概念2. 极限与连续3. 子空间拓扑4. 连通性七、作业设计1. 作业题目：（1）证明：若集合A是拓扑空间X的子空间，则A的子集B 也是X的子空间。

（3）证明：若X是连通的，且A是X的子集，则A也是连通的。

答案：（1）证明：略。

（2）在离散拓扑下，f(x) = |x|是连续的；在欧几里得拓扑下，f(x) = |x|在x=0处不连续；在有序拓扑下，f(x) = |x|是连续的。

（3）证明：略。

八、课后反思及拓展延伸本节课通过引入实际生活中的例子，让学生更好地理解拓扑空间的概念。

在教学过程中，注意培养学生的逻辑思维能力，提高解题技巧。

课后，鼓励学生进行拓展延伸，如研究其他类型的拓扑空间，探讨连通性的应用等。

同时，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。

重点和难点解析1. 教学目标中关于理解并掌握拓扑空间的基本概念及其性质。

2. 教学难点中提到的函数的极限与连续性，连通性的判定。

3. 教学过程中的导入环节，实际例子与拓扑空间概念的衔接。

《点集拓扑学》第3章 §3.3商空间

§3.3商空间本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了．定义3.3.1 设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族．是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑．容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中F Y是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集．定理3.3.1 且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则（1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射；（2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑．证明（1）根据定义自明．（2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明．定义3.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑．根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性．定理3.3.2 设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z 连续当且仅当映射gof:X→Z连续．证明由于商映射f连续，故当g连续时g f连续．另一方面，设g f连续，若W∈，则．然而所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续．为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义．定义3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3 设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑．证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．反之，如果V∈，则，由于f是一个开的满射，所以，因此．从而,．综上所述，我们证明了Y的拓扑便是商拓扑．当f是闭映射的情形时，证明是类似的．定义3.3.4 设（X，T）对是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系．商集X/R的（相对于自然的投射p：X→X/R而言的）商拓扑称为X／R的（相对于等价关系R而言的）商拓扑，拓扑空间（X/R，）称为拓扑空间（X，T）的（相对于等价关系R而言的）商空间．如果X是一个拓扑空间，R是X中的一个等价关系，若无另外的说明，我们总认为商集X/R的拓扑是商拓扑，也就是说将商集X/R认作拓扑空间时，指的就是商空间．因此投射p:X→X／R是一个商映射．通过在一个拓扑空间中给定等价关系的办法来得到商空间是构造新的拓扑空间的一个重要手法．下面给出若干例子．例3.3.1 在实数空间R中给定一个等价关系={（x，y）∈|或者x，y∈Q；或者x，y Q}所得到的商空间R/实际上便是由两个点构成的平庸空间．（请读者自行验证．）然而，明确地写出上面那个等价关系有时是很麻烦的，我们经常采用一种较为通俗的简便说法，将这个商空间R/说成是“在实数空间中将所有有理点和所有无理点分别粘合（或等同）为一点所得到的商空间”．例3.3.2 在单位闭区间I＝[0,1]，中给定一个等价关系～={（x，y）∈|或着x＝y，或者{x，y}={0,1}}，我们便得到了一个商空间［0，1］/～．由于与例3.3.l中同样的理由，习惯上也将这个商空间说成是“在单位闭区间I中粘合两个端点所得到的商空间”．事实上（参见习题6），这个商空间与单位圆周同胚．类似地我们还可以构造出许多为读者熟悉或不熟悉的拓扑空间．例如在单位正方形中将它的一对竖直的对边上的每一对具有相同的第二个坐标的点（0，x）和（1，x）粘合，得到的商空间将同胚于一截“管子”，而将它的一对竖直的对边上的每一对点（0，x）和（1，1-x）粘合得到的商空间通常叫做Mobius带．数学中许多重要的对象如环面，Klein 瓶，射影平面和射影空间等也都可以作为商空间而给出，我们在此不做进一步的介绍．作业:P109 1．2．5．本章总结：本章的学习重点是§3.1．难点也是它．也就是说,今后若遇到有关X空间的子集的各种概念时,指的都是子空间的各种概念,概念中涉及到的开集、闭集、导集、闭包等均指的是子空间的开集、闭集、导集、闭包，它们与X空间的开集、闭集、导集、闭包不相同（见引理3.1.2,定理3.1.5,3.1.6)．一定要记住这一点．本章的§3.2与§3.3是作为应理解的知识,理解就行．。

点集拓扑知识点.doc

点集拓扑知识点【篇一：点集拓扑知识点】第二章拓扑空间 2.1 拓扑空间的概念 2.1.1 拓扑定义2.1.1 的一子集族。

如果t 满足：上的离散拓扑；典型拓扑：余有限拓扑、余可数拓扑、有心拓扑、去心拓扑定义2.1.2 的子空间拓扑或相对拓扑：母空间的开集交上y 即可。

定义2.1.3 ) 是拓扑空间，是x 上的等价关系，等价类的集合为叫商空间。

下面证明上拓扑。

(1)由于拓扑t 对有限交封闭有，，类似地，由拓扑t 对任意并封闭上拓扑。

定理 2.1.1 ；（2）有限并封闭；（3）任意交封闭。

定理 2.1.2 作为子空间的闭集族。

2.1.2 领域系定义2.1.5 的开领域。

定义 2.1.6 是拓扑空间，如果 a内存在x 的领域。

注解：由拓扑定义中，有限交封闭和任意闭封闭，有限开领域(或领域)交集仍为开领域(或领域)，任意开领域(或领域)并集仍为开领域(或领域)。

注解：不同的度量可能诱导相同的拓扑；如前面的度量是不同度量，但诱导出相同拓扑。

定义2.1.9 上的拓扑，如果存在x 上的一个度量d，使得 d 的诱导拓扑是可度量化的拓扑。

注解：集合x 上的每个度量可诱导拓扑，但每一拓扑不一定由度量诱导。

例：离散拓扑是可度量化的拓扑，由离散度量诱导，因为单点集是开球；有限拓扑可度量化该拓扑为离散拓扑。

即非离散有限拓扑不可度量化； 2.2 拓扑基和子基 2.2.1 拓扑基在欧式空间中，开球时最简单的开集，而且任何开集可由开球作并运算得到，但在非度量诱导的拓扑空间中没有球的概念，为了弥补这一缺陷，引进拓扑基。

定义2.2.1 的一个拓扑基，而拓扑基的成员叫基开集。

注解：显然t是自己的一个基；如果 b 例：离散拓扑空间，所有单点集构成拓扑基；由度量诱导的拓扑空间，所有开球构成拓扑基，实际上，以有理数为半径的球族也是拓扑基。

给定一集合，下面介绍一种判别它是否是拓扑基的方法：定理2.2.1不是拓扑基。

其实，假设 b 是拓扑不能由 b 中某些成员之并，或者说它不满足上述定理的条件。

点集拓扑学课件

点集拓扑学合肥工业大学数学学院预备知识1.点集拓扑的定义《点集拓扑学》课程是一门现代数学基础课程，属数学与应用数学专业的理论课。

是数学与应用数学专业的主干课。

点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。

它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。

这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。

它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。

通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

2.点集拓扑的起源点集拓扑学产生于19世纪。

G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果。

1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始。

3.一些参考书籍（1）《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版（2）《基础拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，1997年11月第一版（3）《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2011年2月第一版第一章集合论初步在这一章中我们介绍有关集合论的一些基本知识．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”，这对大部分读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著。

1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体。

例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “所有整数的集合”等等．集合也常称为集。

集合（即通常所谓的“集体”）是由它的元素（即通常所谓的“个体”）构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；所有整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作φ。

从《点集拓扑讲义》的一个证明谈子空间的理解与运用

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９２２点集拓扑讲义的一个证明谈子空间的理解与运用从«点集拓扑讲义»的一个证明谈子空间的理解与运用Һ郑㊀言㊀(国防科技大学文理学院ꎬ湖南㊀长沙㊀４１００００)㊀㊀ʌ摘要ɔ本文从«点集拓扑讲义»的一个定理证明出发ꎬ分析了其中出现的一些问题ꎬ由此阐述了涉及子空间的概念和定理的理解与应用问题ꎬ强调缜密严谨的数学思维对学生的数学素养的重要性.ʌ关键词ɔ点集拓扑学ꎻ子空间ꎻ局部连通性ꎻ连通分支子空间是点集拓扑学中的重要概念ꎬ它既可以拓展拓扑学的研究范围ꎬ也可以帮助我们建立不同拓扑空间之间的联系ꎬ而且很多重要的概念ꎬ比如ꎬ连通子集㊁紧致子集等都是通过它来定义的ꎬ所以掌握好这一概念对后续的学习十分关键.笔者在十余年的教学实践中发现ꎬ虽然子空间的定义和相关性质在内容上比较简单ꎬ但是这并不代表它可以很容易地灵活运用.本文就以熊金成所著的«点集拓扑讲义(第四版)»为例ꎬ探讨其中一个定理证明的理解问题.兹附原书定理和证明如下:定理４.４.１㊀((１)⇒(２))设Ｘ是一个局部连通空间ꎬＸ的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集.证明㊀设Ｃ是Ｘ的一个开集Ｕ的一个连通分支.如果ｘɪＣꎬ由于Ｕ是ｘ的一个邻域ꎬ所以ｘ有一个连通邻域Ｖ包含于Ｕ.又由于ＶɘＣ包含着点ｘ所以不是空集ꎬ根据定理４.３.１可见Ｖ⊂Ｃ.因此ꎬＣ是点ｘ的一个邻域.这证明Ｃ是属于它的任何一个点ｘ的邻域ꎬ因此ꎬＣ是一个开集.其中ꎬ所引用的定理４.３.１是指:定理４.３.１㊀(１)如果Ｙ是Ｘ的一个连通子集ꎬ并且ＹɘＣʂ∅ꎬ则Ｙ⊂Ｃ.定理４.４.１的证明虽然篇幅不长ꎬ但是其中也存在一些问题 ꎬ或者说出现了跳步 .笔者在教授这一节的时候ꎬ发现很多学生都看不出其中的问题ꎬ哪怕是在笔者指出后ꎬ依然不解其意ꎬ所以证明细节就很有探讨的必要了.其实该证明过程有两个问题:１.因为Ｘ是一个局部连通空间ꎬ所以Ｖ是ｘ在Ｘ内的连通邻域ꎬ而Ｃ是Ｕ的连通分支.如果用定理４.３.１ꎬ那么应该是在子空间Ｕ内应用ꎬ需要Ｖ是ｘ在Ｕ内的连通邻域.所以这里的问题是:Ｖ是ｘ在Ｘ内的连通邻域是否一定有Ｖ是ｘ在Ｕ内的连通邻域?２.当在子空间Ｕ内应用定理４.３.１后ꎬ得到Ｃ是点ｘ的一个邻域ꎬ那么这个Ｃ也应该是点ｘ在子空间Ｕ内的邻域ꎬ而我们需要的结论是Ｃ是点ｘ在Ｘ内的邻域.所以与问题１类似ꎬ这里的问题是:Ｃ是点ｘ在子空间Ｕ的邻域是否一定有Ｃ是点ｘ在Ｘ内的邻域?这两个问题其实属于一类问题ꎬ就是当所探讨的问题涉及拓扑空间及其子空间时要特别注意一些定理的应用范畴.一定要因地制宜 ꎬ即如果在某个框架下应用定理ꎬ那么所得到的结论也只适用于这一框架.所以上面所出现的问题都属于失位 ꎬ而解决的途径就是归位 .先解决问题２:因为Ｃ是点ｘ在子空间Ｕ的邻域ꎬ所以存在子空间Ｕ内的开集Ｗ使得ｘɪＷ⊂Ｃ.由于Ｕ是Ｘ的一个开集ꎬ所以Ｗ也是空间Ｘ的开集.因此ꎬｘɪＷ⊂Ｃ也说明Ｃ是点ｘ在Ｘ内的邻域.再解决问题１:因为Ｖ是ｘ在Ｘ内的邻域ꎬ所以存在空间Ｘ内的开集Ｗ~使得ｘɪＷ~⊂Ｖ.注意到Ｖ⊂Ｕ而Ｕ又是Ｘ的开集ꎬ所以Ｗ~包含在开子空间Ｕ内ꎬ也是子空间Ｕ的开集.因此ꎬ又由ｘɪＷ~⊂Ｖ知此时Ｖ还是ｘ在Ｕ内的邻域.最后ꎬ如果Ｖ是空间Ｘ内的连通子集ꎬ是否一定有Ｖ子空间Ｕ内的连通子集?这个一般情况下当然是不一定成立ꎬ但是此时情形比较特殊ꎬ因为Ｕ是空间Ｘ的开集.如果我们假设Ｖ是子空间Ｕ内的不连通子集ꎬ则在子空间Ｕ内存在两个非空无交开集Ｖ１和Ｖ２ꎬ使得Ｖ＝Ｖ１ɣＶ２.特别地ꎬ因为Ｕ是空间Ｘ的开集ꎬ所以Ｖ１和Ｖ２还是空间Ｘ的开集ꎬ但这就会由Ｖ＝Ｖ１ɣＶ２得出Ｖ是空间Ｘ内的不连通子集ꎬ与假设矛盾.综合以上事实ꎬ问题１得到了完满解决.在上面问题的解决过程中ꎬ我们可以看到当涉及子空间的概念出现在问题中时ꎬ必须十分小心.一定要仔细甄别各个概念所适用的范围ꎬ区分其是在大空间里还是在子空间里适用.应用定理也是这样ꎬ找到它的适用范围ꎬ结论也只适用于这一范围.在讨论此类问题时也有捷径 :如果子空间是开子空间ꎬ那么开集就可以不加区分地使用ꎻ类似地ꎬ如果子空间是闭子空间ꎬ那么闭集㊁闭包也可以不加区分地使用.点集拓扑学是一门高度抽象又严密的数学学科ꎬ虽然它隶属于几何大类ꎬ但是其内容与分析学十分相近ꎬ而研究手法又接近于代数学ꎬ知识体系庞大复杂ꎬ环环相扣ꎬ层层推进.如果在学习过程中疏忽了一些知识ꎬ就可能在将来出现短板ꎬ会对一些知识点似懂非懂ꎬ甚至会掌握地似是而非.不积跬步ꎬ无以至千里.笔者希望通过对这个定理的探讨ꎬ使广大师生认识到数学学习的严肃性ꎬ一定要在起步阶段夯实基础ꎬ才能在将来游刃有余.我们可以通过点集拓扑学的研讨提高学生的数学素养ꎬ培养他们形成缜密严谨的数学思维.ʌ参考文献ɔ[１]ＭｕｒｒａｙＥｉｓｅｎｂｅｒｇ.Ｔｏｐｏｌｏｇｙ[Ｊ].ＮｅｗＹｏｒｋ:ＨｏｌｔꎬＲｉｎｅｈａｒｔａｎｄＷｉｎｓｔｏｎꎬＩｎｃꎬ１９７４.[２]ＪａｍｅｓＲ.Ｍｕｎｋｒｅｓ.拓扑学[Ｍ].熊金城ꎬ吕杰ꎬ谭枫ꎬ译.北京:机械工业出版社ꎬ２００６.[３]熊金城.点集拓扑讲义[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ１９９８.[４]张德学.一般拓扑学基础[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０１２.。