1函数的定义域(精)

要考虑字母的范围.
基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常 考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的 定义域和值域都有必然的联系.
方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且 它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义 域优先意识.
求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或
, 函数值的集合 叫函数的值域.
（2）基本初等函数的值域
①y=kx+b(k≠0)的值域是R .
②y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是:当a＞0时,值域为
当a<0时，值域为
4ac b2 ， 4a
4ac b2 4a ,
；
.
③ y k (k 0) 的值域是 ｛y│y∈R且y≠0｝ . x ④y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞) . ⑤y=logax(a＞0且a≠1)的值域是 R .
设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的
定
义域.
1 1 （1）y =f(3x)； (2) y f ( x ) f ( x ); 3 3 （3）
1 y f ( ); x
（4）y=f(x+a)+f(x-a). 【思维启迪】简单复合函数的定义域要用整体代换的思想
1 列出x满足的条件，再通过解不等式（组）解出 x的范围.
3 m 2 故由二次函数图象可知 . m 3 3 0 2 2 3
3 25 f ( ) , 又f (0) 4, 2 4
解得
2
m 3.
题型一
求函数的定义域
求下列函数的定义域 （1）y (2) y
3
( x 1)0 x x
;
1 x2 3
x 1或x 0, x 0.
∴函数的定义域为｛x│x≥1｝∪｛0｝
2.（2007·北京理，2）函数f(x)=3x(0＜x≤2)的反函数的定
义域为
A.（0,+∞） C.（0，1） 解析 B.（1，9］ D.［9，+∞）
（D）
∵0＜x≤2,∴1＜3x≤9,∴f(x)的值域为(1,9］,
时，一定注意等号是否成立，必要时注明“=”成立的条件.
1.求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特 别注意定义域对值域的制约作用. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调 性在确定函数最值过程中的作用.特别要重视实际问题的最 值的求法. 2.对于定义域、值域的应用问题，首先要用“定义域优先” 的原 则，同时结合不等式的性质.
(2)由题意可得
故函数的定义域为 x
x 1 0 x 1 即 , x 1 0, x 1
2 x 3 0 x 3 , 解得 . 2 5 x 0 5 x 5
5 x 5且x 3 .
列出不等式组
1 2 x , 3 3
1 1 1 2 , . y f ( x ) f ( x ) 故 的定义域为 3 3 3 3
0 x a 1 a x 1 a , （4）由条件得 讨论： 0 x a 1 a x 1 a
（2）若含有根式结构的函数（如（2）），通常用换元法，
若能确定其单调性可采用单调性法.通常用单调性法求值域， 常见的有y=ax+b+ dx e (a、b、d、e均为常数，且ad≠0)
的，看a与d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用
换元法求值域.
题型四
根据定义域、值域求参数的取值
1 2 x x a 的定义域和值域均 2
5 x2 ;
(3) y x 1· x 1. 【思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零；
开偶次方根，被开方数大于等于零.
解
x 1 即 . 故函数的定义域为｛x│x＜0且x≠-1｝. x 0
x 1 0 (1)由题意得 x x 0,
x 1 化简得 x x ,
（12分）若函数 f ( x)
为［1,b］(b>1),求a、b的值.
【思维启迪】求出f(x)在［1,b］上的值域，根据值域已 知的条件构建方程即可解. 解
f ( x) 1 1 ( x 1) 2 a . 2 2
1 1 2
2分
∴其对称轴为x=1,即［1，b］为f(x)的单调递增区间.4分
f ( x) min f (1) a
①6分
②8分
1 f ( x) max f (b) b 2 b a b 2
由①②解得
3 a , 2 b 3.
12分
探究拓展
本题主要考查一元二次函数的定义域和值域问题，
主要体现了配方法求函数的值域.由于含有字母，在分析时，
而x
2
1 3 3 x 1 ( x )2 , 2 4 4
0
1 4 , 1 y 1,值域为 1 ， 2 1. x x 1 3 3 3
方法二 （判别式法） 由
x2 x y 2 , 得( y 1) x 2 (1 y) x y 0. x x 1
∵y=1时，x∈ ，∴y≠1. 又∵x∈R,∴必须△=（1-y）2-4y(y-1)≥0.
1 y 1. 3
1 1. ∵y≠1,∴函数的值域为 3，
（2）方法一（单调性法）
定义域
1 x x , 2
函数y=x, y 1 2x 均在
， 4， 5.若函数y=x2-3x-4的定义域为［0，m］，值域为 4
25

则m的取值范围是
A. ( ,3) C.
（B ）
B. ， 3 3 2
3 D. 3 ， 2
0， 3
3 2
解析 f ( x) x 2 3x 4 ( x 3 )2 25 2 4,
解
所以-3<x<2且x≠1.
2 x 0 x 2 (1)由 12 x x 2 0, 得 3 x 4, x 1 x 1 0

(3)要使函数有意义，必须有
∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞） 探究拓展 求函数的定义域，实质上是解不等式（组）的过 程，具体来说，求函数定义域的步骤为：
①列出使函数有意义的x适合的不等式（组）；
②解这个不等式（组）； ③把不等式（组）的解表示为集合或区间的形式作为函数的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义域.
题型二
抽象函数的定义域
1 1 1 1 ， 上递增，故 y 1 2 . 2 2 2 2
1 ∴函数的值域为 ， . 2
方法二 （换元法） 令 1 2x t , 则t≥0
1 t2 . ，且 x 2
1 1 y (t 1) 2 1 (t 0), 2 2
1 y , . 2
ex 1 1 y （3）由 y x 得， ex . e 1 1 y ∵ex＞0,即 1 y 0, 解得-1<y<1. 1 y
∴函数的值域为｛y│-1<y<1｝。
探究拓展 （1）若函数为分式结构（如（1）），且分母有 未知数的平方，则常考虑分离常数法，或采用判别式法.
③一次函数、二次函数的定义域为 R .
④y=ax,y=sinx,y=cosx,定义域均为 R ⑤y=tanx,定义域为 .
x x R 且 k

2
, k z.
.
⑥函数f(x)=x0的定义域为 ｛x│x∈R且x≠0｝. 2.函数的值域
(1)在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫 函数值
4.函数 y x 1 的值域是
x
1 1 A. ， 2 2
1 B. 0 , 2
（B ）
C.
0,1
y
D. 0,
1 1 1 1 2 1 ( ) x2 x x 2 4

解析
1 1 x 1, 0 1, 0 y . x 2
题型三
求函数的值域
求下列函数的值域：
（1）
x2 x y 2 ; x x 1
（2） y x 1 2x ;
ex 1 （3） y x . e 1
【思维启迪】（1）是分式型可考虑分离常数，配方法或者 判别式法.（2）是无理函数型，可考虑换元法或者单调性 法.（3）可结合反函数求解. 解（1）方法一 （配方法） 1 y 1 2 , x x 1
§ 2.2
函数的定义域、值域
要点梳理
1.函数的定义域
(1)函数的定义域是指 使函数有意义的自变量的取值范围 .
（2）求定义域的步骤是： ①写出使函数式有意义的不等式（组）； ②解不等式组； ③写出函数定义域.（注意用区间或集合的形式写出）
（3）常见基本初等函数的定义域：
①分式函数中分母不等于零. ②偶尔根式函数、被开方式大于或等于0.
不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意 对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际 问题有意义. 2.函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化
范围.利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域.
3. 函数的值域与最值有密切关系，某些连续函数可借助函数
的最值求值域，利用配方法、判别式法、基本不等式求值域
⑥y=sinx,y=cosx的值域是［-1,1］ .
⑦y=tanx的值域是 R .
基础自测 1.(2008·全国Ⅰ理，1)函数 为
y x( x 1) x
B.｛x│x≥1｝
D. ｛x│0≤x≤1｝
的定义域 （ C）
A.｛x│x≥0｝
C.｛x│x≥1｝∪｛0｝ 解析 要使函数有意义，需
x( x 1) 0, 解得 x 0,
a 1 a, ①当 1 a 1 a,
即0a

1 时，定义域为［a,1-a］; 2
a a, ②当 a 1 a,
即
1 a 0 时，定义域为［-a,1+a］ 2
综上所述：当 0 a 1 时，定义域为［a,1-a］;
1 a 0 时，定义域为［-a,1+a］. 2 探究拓展 对于抽象函数的定义域问题,要注意如下两点：
∴f(x)的反函数的定义域为（1，9］.
3.若函数f(x)=loga(x+1)(a＞0且a≠1)的定义域和值域都是
［0，1］，则a等于 （D） 1 2 A. B. 2 C. D.2 3 2 解析 ∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,又∵0≤loga(x+1)≤1,故 a＞1,且loga2=1, ∴a=2.
解（1）0≤3x≤1,故 0， .
y=f(3x)的定义域为
3
0 x , 3 1
（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞）
1 1 f ( x ) 与 f ( x ) 定义域的交集. （3）由条件，y的定义域是 3 3
1 2 1 0 x 1 x 3 3 3 0 x 1 1 1 x 4 3 3 3
2
当
（1）f［g(x)］的定义域为［a,b］指的是x的取值范围为
［a,b］，而不是g(x)的范围为［a,b］，如：f(3x-1)的定
义域为［1，2］，指的是f(3x-1)中的x的范围是1≤x≤2.
(2)若f(x)=g(x)+h(x),则f(x)的定义域为g(x)的定义域和 h(x)的定义域的交集.
1.求下列函数的定义域： （1
12 x x 2 x2 0 y ( 5 x 4 ) ; （2） lg(4 x 3) y lg( 2 x) ( x 1)0 ;
2 y 25 x lg cos x; （3）
x x y lg( a k · 2 )(a 0). （4）