人教A版高中数学选修1-2 《数系的扩充与复数的引入》PPT
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人教高中数学选修1-2：3.1数系的扩充与复数的概念 课件（34张ppt）
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
自然数 集
实数
? 虚数
整数 集
有理数 集
复
数 集
自然数
整数
有理数
负整数
分数 无理数
实数 集
正整数
零
复数的分类：
复数z=a+bi (a,bR)
条件
数的类型
b=0
实数
a=b=0
实数0
b≠0
虚数
a=0且b≠0
纯虚数
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0)
等或不相等两关系，而不能比较大小
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
例2:已知 (x y)(x2y) i (2x5)(3x y) i
求实数 x与 y
解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组
x y 2x5 x 2y 3x y
解得:
x
y
3 2
转化
求方程组的解的问题
1、若x，y为实数，且
【问题1】在自然数集中方程 x 4 0 有解吗? 【问题2】在整数集中方程 x 4 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
【问题3】在整数集中方程 3x 2 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
有理数
整分 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
2．复数的概念
(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,
通常用字母 z 表示.
人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念.pptx
������2-5a-6 ≠ 0,
(3)当 z 为纯虚数时,则有
������2-7a+6 ������2-1
=
0,
∴������ ≠ -1 且������ ≠ 6,∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数. ������ = 6.
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
-
π 2
,
π 2
内 tan
π4=1,
故在 R 上由周期性知 θ=kπ+π4(k∈Z).
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题导学 当堂检测
一二
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
2.已知关于实数 x,y 的方程组
(2������-1) + i = ������-(3-������)i,① 有实 (2������ + ������������)-(4������-������ + ������)i = 9-8i②
,虚部
是
.
答案:3 -2
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
目标导航 预习引导
课前预习导学
KEQIANYUXIDAOXUE
课堂合作探索
KETANGHEZUOTANSUO
2.复数相等的充要条件
a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈R)相等的充要条件是 a=c 且 b=d.
预习交流 2
已知 a,b∈R,a+i=-1-bi,则 a=
复数 z=
实数(������ = 0),
虚数(������ ≠ 0)(当������ = 0 时为纯虚数)
人教A版高中数学选修1-2课件高二：第三章数系的扩充与复数的引入.pptx
题型 2 复数的运算
复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除，加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减，而乘法 类比多项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意 i2＝ －1.
[例 2] (11＋ －ii)4＋(－12＋ 23i)18＝(
)
A．2i
B．－1＋i
C．1＋i
D．2
[解析] ∵(11＋ －ii)2＝i2＝－1，(－12＋ 23i)3＝1， ∴(11＋ －ii)4＋(－12＋ 23i)18＝[(11＋ －ii)2]2＋[(－12＋ 23i)3]6＝2.
2．复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式 z＝a＋ bi(a，b∈R)，z 为纯虚数的条件为 a＝0 且 b≠0，注意虚数与 纯虚数的区别．
3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同 类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a2≥0 是在实数范围内的性质，在复数范围内 z2≥0 不 一定成立，|z|2≠z2.
[答案] D
题型 4 复数的模 熟记复数模的计算公式和复数的模与以原点为起点的向 量的模之间的关系，就能迅速求解有关复数模的问题．
[例 4] 已知复数 z＝cosθ＋isinθ(0≤θ≤2π)．当 θ 为何值 时，|1－i＋z|取得最值．并求出它的最值．
[解析] |1－i＋z|＝|cosθ＋isinθ＋1－i| ＝ cosθ＋12＋sinθ－12 ＝ 2cosθ－sinθ＋3＝ 2 2cosθ＋π4＋3， 当 θ＝74π时，|1－i＋z|max＝ 2＋1； 当 θ＝34π时，|1－i＋z|min＝ 2－1.
教材中是交替安排的，这样能加强学生的“形与数”结合的观 念，使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形，看到几何 图形就能联想到对应的复数．有利于学生深入理解复数概念， 开阔学生的思路，培养和提高用“数形结合”观点来处理问题 的能力．
高二数学,人教A版选修1-2, 3.1.1, 数系的扩充,和复数的概念课件
[解析]
时
m＝5或m＝－3 即 m≠－3
，
∴当 m＝5 时，z 是实数．
2 m －2m－15≠0 (2)当 m＋3≠0
时，
m≠5且m≠－3 即 m≠－3
∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
第三章
数系的扩充与复数的引入
m2－m－6＝0 (3)当m＋3≠0 m2－2m－15≠0 m＝3或m＝－2 即m≠－3 m≠5且m≠－3
是很必要的．
②对于复数z＝a＋bi (a，b∈R)，既要从整体的角度 去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角 度分解成两部分去认识它．这是解复数问题的重要思路之 一．
第三章
数系的扩充与复数的引入
[例3] 已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i， 求实数x，y的值． [解析] 因为 x，y 为实数，
第三章
数系的扩充与复数的引入
1．复数的概念及代数表示
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫 做虚数单位，满足i2＝ －1 . (2)表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)， 这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的 虚部 实部 与 ．
第三章
数系的扩充与复数的引入
所以 2x－1，y＋1，x－y，－x－y 均为实数．
2x－1＝x－y， 由复数相等的充要条件，知 y＋1＝－x－y， x＝3， 所以 y＝－2.
第三章
数系的扩充与复数的引入
[点评] 找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等
的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x，y的值．
[例1] 下列命题中，正确命题的个数是 ②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；
人教A版高中数学选修1-2课件3.1.1数系的扩充与复数的概念
高中数学课件
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第三章 数系的扩充与复数的引入
学科网
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题提出
1.数的概念产生和发展的历史进程：
N 正分数 Q＋ 正无理数 R＋ 零和负数 R
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复 数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
18
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些 性质在复数集中不成立，如x2≥0； 若x －y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中， 如果没有特殊说明，一般都在实数集内 解决问题.
＝0的充要条件是什么？ a＝b＝0
思考5：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）
当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集
与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.
13
思考6：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R） 当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时， z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之 间如何？
9
思考6：设a∈R，下列运算正确吗？
a+i= i+a
a ?i i ?a
a ?( i) = - ai
i 3 = i 2 ?i - i1ຫໍສະໝຸດ = =-ii i2 10
探究（二）：复数的有关概念
思考1：虚数单位i与实数进行四则运算， 可以形成哪种一般形式的数？
a＋bi（a，b∈R）
思考2：把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫 做复数，全体复数所成的集合叫做复数 集，记作C，那么复数集如何用描述法表 示？
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第三章 数系的扩充与复数的引入
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3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
问题提出
1.数的概念产生和发展的历史进程：
N 正分数 Q＋ 正无理数 R＋ 零和负数 R
数系每次扩充的基本原则： 第一，增加新元素； 第二，原有的运算性质仍然成立； 第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.
2.虚数单位i的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复 数集，它使得任何一个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.
18
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些 性质在复数集中不成立，如x2≥0； 若x －y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中， 如果没有特殊说明，一般都在实数集内 解决问题.
＝0的充要条件是什么？ a＝b＝0
思考5：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R）
当b＝0时，z为什么数？由此说明实数集
与复数集的关系如何？
当b＝0时z为实数. 实数集R是复数集C的真子集.
13
思考6：对于复数z＝a＋bi（a，b∈R） 当b≠0时，z叫做虚数，当a＝0且b≠0时， z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之 间如何？
9
思考6：设a∈R，下列运算正确吗？
a+i= i+a
a ?i i ?a
a ?( i) = - ai
i 3 = i 2 ?i - i1ຫໍສະໝຸດ = =-ii i2 10
探究（二）：复数的有关概念
思考1：虚数单位i与实数进行四则运算， 可以形成哪种一般形式的数？
a＋bi（a，b∈R）
思考2：把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫 做复数，全体复数所成的集合叫做复数 集，记作C，那么复数集如何用描述法表 示？
高二数学人教A版选修1-2课件：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
= 1, = 2.
案例探究
误区警示
易错辨析:对复数概念理解不透彻 当m为何实数时,复数2m2-5m-3+(2m2-m-1)i是纯虚数? 思路分析:
案例探究
误区警示
错解:令2m2-5m-3=0,解得m=3或m=
-1.
2
所以当m=3或m=
时,复-数12 2m2-5m-3+(2m2-m-1)i为纯虚数.
复数 z 实数(������ = 0), 虚数(������ ≠ 0)(当������ = 0 时为纯虚数)
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
4.判定含有参变量的复数是实数,虚数,纯虚数利用定义. 先看a,b的取值是a∈R,b∈R,还是a∈C,b∈C. 若a∈R,b∈R,则a为实部,b为虚部;若a∈C,b∈C,则还应进一步进行运算(在后面学习)求得z的实部、虚部. 再结合纯虚数应满足的两个条件,实部为0,虚部不为0进行进一步判断,特别是虚部不为0,易漏掉而出错.
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
目标导航
预习导引
学习 目标
重点 难点
1.会分析数系扩充的必要性及其过程. 2.能知道复数的基本概念及复数相等的充要条件. 3.能知道复数的表示法及有关概念.
重点:1.复数的分类和复数相等的充要条件. 2.复数的表示法及有关概念. 难点:与复数有关的相关概念及复数相等的充要条件的 应用.
.
答案:kπ+π4(k∈Z)
解析:由题意知,cos θ=sin θ,即tan θ=1,又在
π
ππ 内tan -=12, , 2
π 4
故在R上由周期性知θ=kπ+
(k∈Z).
高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念课件 新人教A版选修1-2
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6
►变式训练
1．有下列命题：
①若 a，b∈R，则 z＝a＋bi 为虚数；②若 b∈R，则 z＝bi 必为
纯虚数；③若 a∈R，则 z＝a 一定不是虚数；④两个虚数不能比较大
小．
栏
其中，正确命题的序号是(D)
目
链
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
接
复数的分类
m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i，
解析：由复数相等的概念，得方程组
x2＋y2－6＝0，
①
x－y－2＝0.②来自由②得 x＝y＋2，代入①，得 y2＋2y－1＝0.
解得 y1＝－1＋ 2，y2＝－1－ 2. 所以 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2. 即x1＝1＋ 2，或x2＝1－ 2，
y1＝－1＋ 2 y2＝－完1整－版p2p.t
栏 目 链 接
a2－5a－6≠0， a≠－1且a≠6， a2－1≠0， ⇒a≠±1， a2－7a＋6＝0 a＝1或a＝6.
则 a 不存在，∴z 不可能完为整版纯p虚pt 数．
栏 目 链 接
11
题型二 复数相等的充要条件
例 2 已知 x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数 x，y 的值．
分析：可根据 a＋bi＝0⇔a＝0 且 b＝0 来解．
目 链
略．②纯虚数要求实部为零的条件也易考虑不周．③本题“或”和 接
“且”等逻辑用语的使用会模糊，应重点分析．
完整版ppt
9
►变式训练
2．实数 a 为何值时，复数 z＝a2－a27－a＋1 6＋(a2－5a－6)i：
(1)是实数？
栏
目
(2)是虚数？
链
人教版数学 选修1-2 1 数系的扩充和复数的概念(共14张ppt)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
《数系的扩充和复数的概念》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第3.1.1课时)
部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：1.若z1,z2为实数时，则具有大小关系 2.如果z1,z2不都为实数时，z1和 z2只有相等或不相等的关系，不能比较大小。
例如：2 3i 与 1 i 不能比较大小
讲解人： 时间：2020.6.1
新知探究
实数集中大小关系的四条性质如下： 1. 对于任意实数a,b,a<b,a=b,b<a这三种情况又且只有一种成立; 2. 如果a<b,b<c,那么a<c; 3. 如果a<b,那么a+c<b+c; 4. 如果a<b,0<c,那么ac<bc.
新知探究
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b = 0
A.-2+3i B.3-3i C.-3+3i D.3+3i
3、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（ -9 ）
4.已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R ，求 x, y
2x 1 y 1 (3 y)
x
5 2
y 4
人教版高中数学选修1-2
把这个新数i添加到实数集中去,得到一个 新数集,记作A,那么方程x2 +1 = 0在A中就有 解x = i了.
从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法 对加法满足分配律.
新知探究
依照以上设想
a i 我们把实数a与新引进的数i相加，结果记作： bi 把实数b与i相乘，结果记作：
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：1.若z1,z2为实数时，则具有大小关系 2.如果z1,z2不都为实数时，z1和 z2只有相等或不相等的关系，不能比较大小。
例如：2 3i 与 1 i 不能比较大小
讲解人： 时间：2020.6.1
新知探究
实数集中大小关系的四条性质如下： 1. 对于任意实数a,b,a<b,a=b,b<a这三种情况又且只有一种成立; 2. 如果a<b,b<c,那么a<c; 3. 如果a<b,那么a+c<b+c; 4. 如果a<b,0<c,那么ac<bc.
新知探究
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b = 0
A.-2+3i B.3-3i C.-3+3i D.3+3i
3、如果（2 x- y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（ -9 ）
4.已知 (2x 1) i y (3 y)i ，其中 x, y R ，求 x, y
2x 1 y 1 (3 y)
x
5 2
y 4
人教版高中数学选修1-2
把这个新数i添加到实数集中去,得到一个 新数集,记作A,那么方程x2 +1 = 0在A中就有 解x = i了.
从数集A出发,希望新引进的数i和实数之间 仍然能像实数系那样进行加法和乘法运算,并希 望加法和乘法都满足交换律、结合律,以及乘法 对加法满足分配律.
新知探究
依照以上设想
a i 我们把实数a与新引进的数i相加，结果记作： bi 把实数b与i相乘，结果记作：
人教A版高中数学选修1-2课件高二第3章《数系的扩充与复数的引入》：3.1.1数系的扩充
“将10分成两部分，使两者的乘积等于40.”
x2-10x+40=0 5 15,5 15
虚构的、想象的、“诡辩量”
虚数
虚数是“想”出来的. 1637年，法国数学
家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数”（“想 象中(imaginary)的数 ”）.
笛卡尔 (R.Descartes,)
人们开始记数时，最初没有“零”的概念， 在生产实践需要记数的东西越来越多，逐 渐产生了位值记数法，如我国古代筹算上 利用空格表示“零”。引入“0”是数的 概念的第二次扩展。
负数
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的
请你归纳一下： 数系是如何扩充的？
正分数 自然数
引入0
负数
无理数
有理数
实数
数学思想过程方法
服务与实用 统一性原则
构造法 结合法
自然数
• 自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
由于生产力的发展，在土地丈量、天文观测 、水利工程等方面的需要，正分数运应而 生。据史书记载，三千多年前埃及纸草卷 中已有关于正分数问题的记述。引进正分 数是数的概念的第一次扩充。
分数（有理数）
• 分数（有理数）是 “分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
欧拉 LeonhardEuler （1707-1783）
1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
高斯 JohannCarlFriedrichGauss
（1777—1855）
1801年高斯系统使用了i这个符号
使之通行于世
人教A版高中数学选修1-2课件：第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.1
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
(2)由于������������ = ������������ − ������������ , 而(3+2i)-(-2+2i)=5,即������������ 对应的复数是 5. (3)因为������������ = ������������=- ������������ = - ,-2 ,������������ = ������������= 所以������������ ·������������=- ,而|������������|= 所以
答案: 4-3i
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
混淆复数运算与实数运算致误 【典例】 已知复数z满足|z+1|=1,|z+i|=|z-i|,求复数z. 错解分析:本题常见错解:由|z+1|=1得z+1=±1,解得z=0或-2,又因 为|z+i|=|z-i|,所以得到z=0.这一结果是错误的,原因是混淆了复数运 算与实数运算. 解:设复数z=x+yi(x,y∈R),则由已知条件可得
变式训练3若复数z满足|z|-1-3i=z,则z=
.
解析: 设 z=x+yi(x,y∈R),依题意有 ������ 2 + ������ 2 -1-3i=x+yi, ������ = 4, ������ 2 + ������ 2 -1 = ������, 于是 解得 于是 z=4-3i. ������ = 3 , -3 = ������,
首页 探究一 探究二 探究三 思维辨析
解:(1)(2-i)+(-3+5i)+(4+3i)=(2-3+4)+(-1+5+3)i=3+7i; (2)4-(5+12i)-i=(4-5)+(-12-1)i=-1-13i; (3)法一:设z=x+yi(x,y∈R),因为z-(-3+5i)=-2+6i, 所以(x+yi)-(-3+5i)=-2+6i, 即(x+3)+(y-5)i=-2+6i, ������ + 3 = -2, ������ = -5, 因此 解得 ������ = 11, ������-5 = 6, 于是z=-5+11i. 法二:由z-(-3+5i)=-2+6i可得z=-2+6i+(-3+5i), 所以z=(-2-3)+(6+5)i=-5+11i.
高中数学人教A版选修1-2课件：3.1.1数系的扩充和复数的概念
由复数相等的条件得
x02
kx0
2
0
2x0 k 0
x0
2,
k 2 2,
或
x0
2,
k 2 2
∴方程的实根为x 2或 x 2 ，相应的k值为 2 2 或 2 2 ．
巩固4. 解：
巩固5. 解：
巩固6. 解：
课后作业
选修2-2 XXX七中 3.1.1 数系的扩充与复数的引入
数
系
的
扩
无理数 实数
充
分数 有理数
负整数 整数
自然数
减
加
实数
除
乘方
开方 乘
解方程 x2 ？1, x
平方等于-1的数用符号i来表示。
的i
引 入
（1）i 2 1
（2）可以和实数一起进行的四
则运算,原有的加法乘法运算律
仍成立
复 数
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
的 z a b i (a R,b R)
解：设 y bi(b R且b 0)，则
(2x 1) i bi (3 bi)i
即 (2x 1) i b (b 3)i
由复数相等的条件得
2x 1 b 1 b 3
b 4
x
3 2
x
3 2
,
y
4i.
练习2.
m取何实数时，复数
z
m2 m m3
6
(m2
2m
15)i
是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
概
实部 虚部 虚数
念
单位
复数全体组成的集合叫复数集，
记作：C
数
系 的 复数
b 0 实数
《数系的扩充和复数的概念》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第3.1.1课时)
当b=0,此时复数a+bi就是一个实数 也就是，实数集是复数集的一个真子集
当且仅当a b 0时,它是实数0; 当b 0时,叫做虚数; 当a 0且b 0时,叫做纯虚数.
新知探究
这样，复数 z a bi 可以分类如下 :
复数
z
实数 虚数
b b
0 0
,
当a
0时为纯虚数
.
复数集, 实数集, 虚数集, 纯虚数集之间的关系, 可用图 示表示.
新知探究
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：1.若z1,z2为实数时，则具有大小关系 2.如果z1,z2不都为实数时，z1和 z2只有相等或不相等的关系，不能比较大小。
例如：2 3i 与 1 i 不能比较大小
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
纯虚数集
新知探究
例：下列复数是虚数吗？并指出实部和虚部分别是多少？
3 2i
，1 2
3i ，
31i 2
， 0.2i
它们都是虚数
纯虚数
新知探究
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.
巩固练习
1. 复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，
m∈R，则z为纯虚数的充要条件是m为( D )
A.2或5 B.5 C.2或-5
D.-5
当且仅当a b 0时,它是实数0; 当b 0时,叫做虚数; 当a 0且b 0时,叫做纯虚数.
新知探究
这样，复数 z a bi 可以分类如下 :
复数
z
实数 虚数
b b
0 0
,
当a
0时为纯虚数
.
复数集, 实数集, 虚数集, 纯虚数集之间的关系, 可用图 示表示.
新知探究
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注意：1.若z1,z2为实数时，则具有大小关系 2.如果z1,z2不都为实数时，z1和 z2只有相等或不相等的关系，不能比较大小。
例如：2 3i 与 1 i 不能比较大小
讲解人：XXX 时间：2020.6.1
纯虚数集
新知探究
例：下列复数是虚数吗？并指出实部和虚部分别是多少？
3 2i
，1 2
3i ，
31i 2
， 0.2i
它们都是虚数
纯虚数
新知探究
解 （1）当m -1 = 0,即m = 1时,复数z是实数; （2）当m -1≠ 0,即m ≠1时,复数z是虚数; （3）当m +1
例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.
巩固练习
1. 复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，
m∈R，则z为纯虚数的充要条件是m为( D )
A.2或5 B.5 C.2或-5
D.-5
人教A版高中数学选修1-2课件：3.1《数系的扩充和复数的概念》1(新选修1—2)
虚部分别是 2, 3 ,
1 2
并且其中只有 0.2i 是纯虚数 .
显然,实数集R是复数集 C的真子集,即R C.
虚数集 复数集 纯虚数集
这样,复数 z a bi 可以 分类如下 :
复数 z 实数 b 0,
实数集
图3.1 1
虚数 b 0, 当a 0时为纯虚数.
Euler 最早引用的 虚数单位i是瑞士数学家欧拉
它取自imaginary (想象的 , 假想的 )一词的词头 .
在复数集C a bi | a, b R 中任取两个数 a bi, c dia, b, c, d R , 我们规定: a bi与c di相等的充要条件是 a c且b d.
a i可以看作是 a 1i, bi可以看作是 0 bi, a可以 看是a 0 i, i可以看作 0 1i.
我们把集合C a bi | a, b R 中的数,即形如 a bia, b R 的数叫做 复数(complex number ), 其中i叫做 虚数单位 (imaginary unit ).全体复数 所成的集合C叫做 复数集 (set of complex nu mbers ).
2
依照这种思想 , 我们来研究把实数系进 一步扩充 的问题.
为了解决 x 2. 1 0这样的方程在实数系中 无解 的问题, 我们设想引入一个新数 i, 使i是方程 x 2 1 0的根,即使 i i 1.把这个新数 i添加到实数集 中去, 得到一个新数集 , 记作 A,那么方程 x 1 0 在A中就有解 x i了 我们从数集 A出发, 希望新引进的数 i和实数之间 仍然能象实数系那样进 行加法和乘法运算 , 并希 望加法和乘法都满足交 换律、结合律 ,以及乘法 对加法满足分配律 .
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A、
B、
C、
D、
2、（2017年课标全国Ⅰ）设有下面四个命题：
P1：若复数z满足
，则
P2：若复数z满足
，则
P3：若复数
，满足
、则
P4：若复数 其中 其中，，，，
，则
其中的真命题是（ ）z
10/16/2020
虚数是奇妙的人类精神的寄托， 它好像是存在与不存在之间的一种两栖动物。
——莱布尼兹
10/16/2020
• a —实部
－
b—
虚部
10/16/2020
三、复数的分类
虚数集 复 数 实数集
纯虚数集 集
实数(b0)
复数z=a+bi 虚数(b0)非 纯纯 虚虚 数数 (a(a0，0， bb0)0)
10/16/2020
数
系
的
虚数 ？复数
扩
无数 实数
充
分数 有理数
负整数
整数
自然数
10/16/2020
,
▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那
59.所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道;所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 39.不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑谁都有，但成功只配得上勇敢的行动派。 91.生命就是一个一直在支出时间的过程，等时间支完了，生命也就走到了尽头。 47.如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。 48.泪水和汗水的化学成分相似，但前者只能为你换来同情，后者却可以为你赢得成功。 98.不要乱说话。话说出去之前你还是话的主人，话说出去之后你就成了话的奴隶。 6.真正的快乐来源于宽容和帮助。 27.时间是化解证明表白一切的最好良方。有些东西往往越辩解越扯不清，就让时间去解决吧。 91.你热爱生命吗？那幺别浪费时间，由于时间是组成生命的材料。 1.向你的美好的希冀和追求撒开网吧，九百九十九次落空了，还有一千次呢。 13.时间多反而容易使人懒散，缺乏动力，效率低。 34.这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 54.如果你盼望明天，那必须先脚踏现实;如果你希望辉煌，那么你须脚不停步。 76.人生就是场经营，有人经营感情，有人经营利益，有人经营幸福，而有人经营阴谋。 51.努力向上的开拓，才使弯曲的竹鞭化作了笔直的毛竹。 90.你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 11.如果你是野花，没人欣赏，你也要芬芳；如果你是小草，即使践踏，你也要成长。
• 复数乘法可按与多项式相乘类似的办法进
行，而不必记忆公式，注意
；
• 复数的除法大家可以类比根式的除法，先 把两个复数相除写成分数形式，然后把分 子分母都乘以分母的共轭复数，使分母“ 实数化”，最后化简。
10/16/2020
1、已知i为虚数， ，若关于x的方程 有实根，则m的取值为（ ）（讨论探究）
数系的扩充与复数的引入（复习）
• 人教A版选修1-2第三章
*
意大利米兰
*
数学家卡尔丹
*
思考？
此方程在实数集中有解吗？
数学家欧拉
10/16/2020
虚数单位 i • 规定
*
• 2i,
新形式的数
• 3+2i, 3－2i
•
，4＋0i,
10/16/2020
复数的代数表示形式
• z = a + bi（a,b都是实数）
(
么我们就说这两个复数相等.即
a (ab ,b,c ,di cR ) di ba
c d
10/16/2020
, •,,ii
诊断性练习一
1、说出下列复数的实部与虚部
牛刀小试
2、指出下列各数哪些是实数？哪些是虚数？哪些 又是纯虚数？ 0
10/16/2020
,3 •,,ii
诊断性练习一
3、判断对错
①
的实部是2，虚部是
A、
B、
C、
D、
其中，，，，
10/16/2020
1、已知i为虚数， ，若关于x的方程 有实根，则m的取值为（ ）（讨论探究）
A、
B、
C、
解
：此方程有实根，所以
D、 即
10/16/2020
数系扩充 复数引数数入系
复数的数数概系念
复数代数形 式四数则数系运算
10/16/2020
1、已知i为虚数， ，若关于x的方程 有实根，则m的取值为（ ）（讨论探究）
的
一个根，求实数 的值。
探究：你能否求出方程的另一个根，它与 是怎样的关系？
10/16/2020
复数的四则运算 巩固练习：计算
（1）
（2）
（3）
（4）
10/16/2020
例2、已知
，求 及
则
10/16/2020
于是
10/16/2020
复数代数形式的四则运算应注意
• 复数代数形式的加减法，形式上与多项式 加减法类似；
10/16/2020
例1 已知 是关于x的方程
的
一个根，求实数 的值。
10/16/2020
例1 已知 是关于x的方程 求实数 的值。
的一个根，
分析：利用方程根的定义及复数相等的充要条件。
解：由根的定义，将
代入方程，得到
整理得到 由复数相等的充要条件得 解得
，
10/16/2020
例1 已知 是关于x的方程
②复数集就是虚数集（ 错 )
( 错)
4、对于复数
，它在复平面内对应点的坐
标是（3，-4），这个点在第（ 四 ）象限，对应的
向量 =（ 3，-4 ），它的模
=5，
的共轭复数
（ 3+4i ）
10/16/2020
5、复数 A、 C、
的积是实数的充要条件是（ A ）
B、
D、
6、已知
（7 ）
，则实数 （ 1 ）