三阶行列式展开
高二数学三阶行列式2
二阶三阶行列式
a1 1 a1 2 a1n
A a21 a22 a2n
an1 an2 ann
2.10
1
a a τ j1 j2 jn 1 j1 2 j2
a nj n
j1 j2 jn
例3 计算上三角行列式
a11 a12
a1n
a22
a2n
ann
解 分析
展开式中项的通项是 α α 1 j1 2 j2 αnjn .
（2）每项中三个元素的行指标构成一个三级排列， 在式（2.6）中，行指标的排列都是标准排列1 2 3， 列指标构成的三阶排列各不相同，因此式（2.6） 中每项的一般形式为：
2.7
例如 a13a21a32 列标排列的逆序数为
312 1 1 2, 偶排列 正号
a11a23a32
列标排列的逆序数为
132 1 0 1, 奇排列 负号,
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1) ( j1 j2 j3 ) a1 j1 a2 j2 a3 j3 .
a31 a32 a33
三、n阶行列式的定义
定义1.4
由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
例如，排列2413经过2与3兑换后，就得 到排列3412；排列32415经过2与1兑换 后，就得到排列31425.
由计算逆序数可知，奇排列2413变成了 偶排列3412；而偶排列32415却变成了 奇排列31425.
定理1.1
任一排列经过一次对换后必改变其奇偶性.
证明 设排列为
a1al ab b1bm
其中不为零的项只有 α1 1α2 2 αnn .
a11 a12 a22
三阶行列式
教学内容【知识结构】 1、三阶行列式 ①对角线方式展开②按某一行(或列)展开法333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a+13a 32312221a a a a记 322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=；312112a a M =3323a a ， =12A 1221)1(M +-；312113a a M =3222a a ， 133113)1(M A +-= 。
称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。
则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++,2、用三阶行列式求三角形的面积：若ABC ∆三个顶点坐标分别为),(11y x 、),(22y x 、),(33y x ，则11223311121ABCx y S x y x y ∆= A 、B 、C 三点共线的充分必要条件为1122331101x y x y x y =【例题精讲】例1．方程131321111=x的解=x ____6_______.例2．方程020014211111=--x x的解为_________________．21=x ，5log 22=x例3. 关于x 的多项式xxxxx 22111---中含23,x x 项的系数分别是 -2和4 例4.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）21141183---； （2）a b cb c a c a b（3）222111a b c a b c ； （4）xy x y y x y x x yxy+++解：(1) -4 (2) 3333c b a abc --- (3) (a-b)(b-c)(c-a) (4) 3322y x --例5.设=-+----=31211142,410132213A A A D 则 0例6.按要求展开行列式：302213231D -=-； （1）按对角线展开；（2）按第一行展开；（3）按第一列展开；解：-40例7. 计算下列行列式：(1)2130;154-- (2)0011052112---;解：注意：这种三角型行列式的值等于其对角线上元素的乘积。
第26讲 二阶行列式与三阶行列式(讲义 练习)(解析版)
第26讲 二阶行列式与三阶行列式知识点概要1.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法： 设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）:当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a21b b 表示算式1221b a b a -，即21a a21b b 1221b a b a -=．从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。
记=D 21a a21b b ，=x D 21c c21b b ，=y D 21a a21c c ，则：①当=D 21a a21b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DD y D D x y x. ②当D =0时，0x y D D ==方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0≠x D 或0≠y D ，方程组（*）无解。
系数行列式1122a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。
2.三阶行列式（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开：②按某一行(或列)展开法：333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11a 33322322a a a a -12a 33312321a a a a +13a 32312221a a a a记322211a a M =3323a a ，111111)1(M A +-=，312112a a M =3323a a ，=12A 1221)1(M +-，312113a a M =3222a a ，133113)1(M A +-=称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j .则三阶行列式就可以写成D =333231232221131211a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++.这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
9.4三阶行列式(2)
2 , 3
(4)已知二次函数 f ( x)满足f (1) 0,
f (2) 3, f (3) 28, 求f x 的解析式.
解 : 设f x ax2 bx c, a 0x a b c 0 1 1 1 则 : 4a 2b c 3 D 4 2 1 20 9a 3b c 28 9 3 1
i j
一般用该元素的大写字母加相同的下标表示. b c1 2 1 1 例2 元素 a2 的代数余子式 A2 ( 1) b3 c3
2
4
0
例3.已知行列式 D 2 1 的代数余子式.
1 0 ，写出第一列元素 0 1
11
解：-2的代数余子式为 (1)
1 0 1 0 0 1 0 1
2的代数余子式为 (1)
21
4 0 4 0 0 1 0 1 4 0 4 0 1 0 1 0
1的代数余子式为 (1)
31
三、三阶行列式的展开
定理1：三阶行列式等于其任意列(或行)的所有元 素分别和它们的代数余子式的乘积的和.
四、应用举例
3
0 1 3 按第1列和第2行分别 1
第九章 矩阵和行列式初步
9.4.1 三阶行列式
9.4.2 三阶行列式
一、复习回顾
a1
（1）三阶行列式 a2
b1
c1 c2 对角线方则展开 c3
.
b2 b3
a3
a1 x b1 y c1 z d1 （2） 方程 a2 x b2 y c2 z d 2 有唯一解的条件是 D 0. a x b y c z d 3 3 3 3
（3） 已知 A x1 , y1 , B x2 , y2 , C x3 , y3 ,则 ABC的面积 为 .
3阶行列式展开公式[001]
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3阶行列式展开公式3阶行列式展开公式是线性代数中重要的概念之一，它可以用来求解包含了多个线性方程的问题。
行列式展开是将一个n阶行列式按照行或列展开成若干个n-1阶的行列式的运算过程。
下面，我们将详细介绍3阶行列式展开公式，并讨论它的意义和实际应用。
3阶行列式展开公式可以用于求解3个线性方程组的唯一解。
行列式展开是一种代数运算，它将一个3阶行列式按照其中一行（或一列）展开成若干个2阶行列式的和。
具体来说，3阶行列式展开公式为：D = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) +a13(a21a32 - a22a31)其中，D表示3阶行列式的值，a11、a12、a13为第1行的元素，a21、a22、a23为第2行的元素，a31、a32、a33为第3行的元素。
这个公式的意义在于，通过展开行列式，我们可以将原本较复杂的3阶问题，转化为多个2阶问题的求解。
这样一来，我们可以通过解决较简单的2阶问题，再通过求和的方式，得到整个3阶行列式的值。
这种分解求解方法，大大简化了计算的复杂度，并且可以避免直接求解3阶线性方程组时可能出现的误差。
在实际应用中，3阶行列式展开公式可以用于求解平面几何中的问题。
例如，当我们需要求解一个平面上的三个点构成的三角形的面积时，可以利用3阶行列式展开公式来计算。
通过将三个点的坐标表示为矩阵形式，然后利用展开公式求得行列式的值，再取其绝对值的一半，就可以得到三角形的面积。
这个方法简单直观，且容易计算，因此在数学和物理等领域得到了广泛的应用。
除了求解平面几何问题外，3阶行列式展开公式还可以用于解决线性方程组的问题。
当我们面临一个包含三个线性方程的问题时，可以将其转化为一个行列式的求解问题。
通过展开行列式并代入方程的系数，我们可以求解出未知数的值，从而得到线性方程组的解。
这种方法在工程、经济等实际问题中具有重要意义，可以帮助我们解决复杂的线性方程组求解问题。
三阶行列式公式
三阶行列式公式【实用版】目录1.三阶行列式的定义2.三阶行列式的展开式3.三阶行列式的性质4.三阶行列式的应用正文1.三阶行列式的定义三阶行列式是一个 3x3 矩阵所对应的行列式，即由三个 3x3 矩阵的元素组成，用一个竖线符号将矩阵分隔开。
三阶行列式的表示形式为：D = | a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |2.三阶行列式的展开式三阶行列式的展开式是将第一行的元素分别乘以与其对应的 2 阶子行列式，然后求和。
2 阶子行列式是指从 3x3 矩阵中选取 2 行和 1 列所组成的 2x2 矩阵的行列式。
三阶行列式的展开式为：D = a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) + a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)3.三阶行列式的性质三阶行列式具有以下性质：(1) 行列式的值与它的转置行列式相等，即 D = det(A") = a22 * a33- a23 * a32 - a12 * a31 + a13 * a31 - a11 * a23 + a13 * a21。
(2) 三阶行列式的值等于它任意两行的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
(3) 三阶行列式的值等于它任意两列的乘积之和，再乘以 -1，即 D = -a11 * (a22 * a33 - a23 * a32) - a12 * (a21 * a33 - a23 * a31) - a13 * (a21 * a32 - a22 * a31)。
4.三阶行列式的应用三阶行列式在数学和物理学中有广泛应用，例如求解线性方程组、计算矩阵的逆和行列式为 0 时判断矩阵是否可逆等。
三阶行列式下三角计算
好闺蜜的同学录留言.山海可以阻隔彼此,却阻隔不了我的思念,距离可以拉开你我,却拉不开真挚的情谊,时间可以淡忘过去,却忘不了永远的朋友.下面有YJBYS小编整理的好闺蜜的同学录留言，欢迎阅读!1、认识你是我的欢乐，离开你是我的痛苦，好闺蜜的同学录留言。
对于即将的离别，支持着我的是对于重逢的期盼。
2、你终于要走了，但你把花的形象留了下来，你把花的芬芳留了下来，你把我们共同浇灌的希望也留了下来。
今后只要我想起你，我的岁月就会永远地鲜艳，永远地芳菲。
3、你的身影是帆，我的目光是河流，多少次想挽留你，终于不能够。
我知道人世间难得的是友情，但更宝贵的却是自由。
4、面对着岁月摆下的筵席，我们相互微笑殷勤地劝酒，仿佛所有没说的爱恋与不舍，都收藏在语句的背后。
因为我们都已明白，此去再也没有比手中这一杯更醇更美的酒了。
5、你留给我的，是美丽的记忆。
你使是怀念少年时的纯真和友谊。
当我捧起记忆中的佳酿想请你喝时，却先醉了自己。
6、你有涌泉一样的智慧和一双辛勤的手，学友，学友，不管你身在何处，幸运与快乐时刻陪伴着你!7、生活已经向我们敞开了胸襟，朋友，让我们勇敢地迎上前去，去尽情地体验它无边无际的壮阔，无穷无尽的幽深吧!8、是否还记得校园里那条彩色卵石铺成的小路两旁有缤纷的鲜花花镶边，还有翠绿的柳丝飘拂。
多少个早晨，多少个傍晚，我俩在这路上漫步……它和友情一起，留在我的记忆里，也烙在你的印象中。
9、同窗六年，你把友谊的种子撒在我心灵上。
我将默默地把它带走，精心浇灌、栽培，让它来日开出芳馨的鲜花。
10、同学啊，让往日夕暮中那些甜蜜的低语，都埋在心底，化作美丽的记忆吧!11、像蜂蝶飞过花丛，像清泉流经山谷，在记忆的心屏中，学生时代的生活，恰似流光溢彩的画页，也似一阕跳跃着欢快音符的乐章。
12、小鸟在枝头吱吱喳喳，多像我们当年的窃窃私语，和那一串串格格的笑声……13、有人说：“人人都可以成为自己的幸运的建筑师。
”愿我们在走向生活的道路上，用自己的双手建造幸运的大厦。
2-1_二阶_三阶行列式的性质
例0.4：计算下列行列式： （1） （2）
（3）
解：（1）
( 3) r1 r 2
解：（2）
( r 2 r 3) r1
c1 c2 c1 c3
注：此题的做法，对所有行(列)和相等的行列式均适用.
解：（3）
c1 c2 c1 c3
本讲小结
1、转置不变（行列等价） 2、行(列)加法拆项法则 3、行(列)倍乘 4、对换取反 5、倍加不变 6、行列展开公式 行(列)初等变换，产生尽量多的0元素. 初等变换，是行列式 计算中最常用的方法.
等式右端
■
性质 两行 (列) 互换，3阶行列式的值变号. (只给出行列式的前 2行变换的情形，其他情形类似). =
证明：把等式左端的行列式按第 3 行展开再利用性质3可得 = + + = 等式右端 ■
类似的，我们可以证明下面的性质： 性质 ：若 3 阶行列式某行 (列) 各个元素分成两个数的和，则该行 列式可关于该行 (列) 拆开成两个行列式之和，拆开时其他行 (列) 均 保持不变. 性质 ：行列式的某一行 (列) 的公因式 可以提到行列式的外面. 特 别的，若行列式有一行 (列) 为零，则行列式的值为0. 性质 ：把一行 (列) 的倍数加到另一行 (列) 上，行列式的值不变.
性质4 二阶行列式中某行(列)有公因子 时， 可以提出公因式外， 即 = 证明： = ( = ( ) ) = -( )
■
性质5 二阶行列式中某一行(列)加上另一行(列)的 倍时，其值 不变， 即 =
证明： = = =
=(
)
(
)
■
三阶行列式的展开公式
下面考察 3 阶行列式，由定义可得
= = ( )
3阶行列式展开公式
3阶行列式展开公式行列式是线性代数中的重要概念，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
而3阶行列式展开公式则是解决3阶行列式计算问题的重要方法之一。
本文将为大家详细介绍3阶行列式展开公式，包括其定义、计算方法以及实际应用等内容。
首先，我们来了解一下什么是3阶行列式。
行列式是由元素排列成的矩形阵列，其中每个元素都位于不同的行和列上。
而3阶行列式就是由3行3列的元素组成的行列式。
在3阶行列式中，行列式的元素可以用a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32和a33等符号表示。
接下来，我们来介绍3阶行列式展开公式的定义。
3阶行列式展开公式是指将3阶行列式的计算转化为多个2阶行列式的计算，并通过一定的运算规律进行求解。
具体而言，我们可以根据3阶行列式的展开公式将其分解为三个2阶行列式的和，而每个2阶行列式又可以进一步分解为两个1阶行列式的差，最终得到一个包含1阶行列式的算式。
通过计算这些1阶行列式的差，即可得到3阶行列式的值。
然后，我们来看一下3阶行列式展开公式的计算方法。
根据定义，3阶行列式展开公式可以写成以下形式：D = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) +a13(a21a32 - a22a31)其中，D表示3阶行列式的值。
通过按照上式的计算规则，我们可以先计算每个包含2阶行列式的差，然后再计算这些2阶行列式中包含的1阶行列式的差，最后将这些差相加即可得到3阶行列式的值。
最后，我们来了解一下3阶行列式展开公式在实际应用中的意义。
3阶行列式展开公式是求解线性方程组的重要工具，可以用于解决多个未知数的线性方程组问题。
此外，在统计学、物理学等领域中，3阶行列式展开公式也被广泛应用于计算和分析模型。
总结起来，3阶行列式展开公式是一种求解3阶行列式的重要方法，通过将3阶行列式分解为多个2阶行列式的计算，再进一步分解为包含1阶行列式的差来求解，可以有效地简化计算过程。
1-6 行列式按行(列)展开
§6 行列式按行（列）展开对于三阶行列式来说，容易验证：333231232221131211a a a a a a a a a 3332232211a a a aa =3331232112a a a a a -2331222113a a a aa + 这样，三阶行列式的计算就归结为二阶行列式的计算。
我们现在要利用行列式的性质来证明：n （1>）阶行列式的计算总可以归结为较低阶的行列式的计算。
我们将要得到的结论，不但能进一步简化行列式的计算，而且也具有重要的理论地位。
首先引入余子式和代数余子式的概念。
定义 在n 阶行列式中，将元素ij a 所在的第i 行与第j 列划去后，余下的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记作ij M . 若记ij ji ij M A +-=)1(，则称ij A 为元素ij a 的代数余子式。
例如，在三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 中，元素23a 的余子式和代数余子式分别为 3231121123a a a a M =23233223)1(M M A -=-=+引理 一个n 阶行列式，若其中第i 行所有元素除ij a 外都是零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式ij A 的乘积，即ij ij A a D =证明 先证ij a 位于第1行第1列的情形，此时nnn n na a a a a a a D2122221110=1111M a =又由于11111111)1(M M A =-=+，于是1111A a D =.下证一般情形，此时nnnj n ijnj a a a a a a a D1111100= 为了利用前面的结果，将D 的行列作如下调换：先将D 的第i 行依次与第1-i 行、第2-i 行、…、第1行对调，这样，ij a 就调到原来j a 1的位置上，调换的次数为1-i ；再将第j 列依次与第1-j 列、第2-j 列、…、第1列对调，这样，ij a 就调到原来11a 的位置上，调换的次数为1-j . 总之，经过2-+j i 次调换，将ij a 调到左上角所得到的新行列式D D j i 21)1(-+-=，而元素ij a 在1D 中的余子式仍然是ij a 在D 中的余子式ij M . 由于ij a 位于1D 的左上角，于是利用前面的结果，应有ij ij M a D =1所以ij ij ij ij j i j i A a M a D D =-=-=++)1()1(1定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =）或nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 （n j ,,2,1 =）证明 由行列式的性质5可得nnn n in i i na a a a a a a a a D212111211000000+++++++++=nn n n i n a a a a a a a2111121100=nnn n i na a a a a a a2121121100+nnn n in n a a a a a a a211121100++ 于是由定理1得in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =）同样可按列证明得nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 （n j ,,2,1 =）定理3称为行列式按行按列展开法则，利用这一法则并结合行列式的性质，可以简化行列式的计算。
按行(或列)展开三阶行列式
思考：我们把 a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1b2c3 a2b3c1 a3b1c2 a3b2c1 a2b1c3 a1b3c2
做如下变形：
= a1(b2c3 b3c2 ) a2(b3c1 b1c3 ) a3(b1c2 b2c1 )
a1 b1 c1
= a2 b2 c2 a1(b2c3 b3c2 ) a2(b3c1 b1c3 )
a3
b2 b2
c2 c2
b3
a2 a2
c2 c2
c3
a2 a2
b2 b2
=0
1. 一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列) 相同，那么这个行列式等于零．
2. 如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素 与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应 相乘，那么它们的乘积之和为零.
3 5 1
1、 在三阶行列式 2 3 6 中，元素6的余子式是
a1
b2 b3
c2 c3
b1
a2 a3
c2 c3
c1
a2 a3
b2 b3
1. 余子式
一般地，把三阶行列式中某个元素所在的行和列 划去，将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行 列式叫该元素的余子式.
如
a1 a2 a3
b1 b2 b3
= c1
c2 c3
a1
b2 b3
c2 c3
a2
b1 b3
c1 c3
0 nm
（1）0 cos x sin y
(2) n 0 n
0 sin x cos y
m l 0
1 x2 y2
解：（1）0
cos x
cos x sin y
sin y
3阶行列式展开公式
3阶行列式展开公式【原创版】目录1.3 阶行列式的概念2.3 阶行列式展开公式的推导3.3 阶行列式展开公式的应用正文一、3 阶行列式的概念行列式是数学中的一个重要概念，主要用于解决线性方程组等问题。
3 阶行列式指的是一个 3x3 的矩阵，即包含 3 行 3 列的元素，这些元素按照一定规则组合后所得的值。
例如：| a11 a12 a13 || a21 a22 a23 || a31 a32 a33 |二、3 阶行列式展开公式的推导3 阶行列式展开公式是指将一个 3 阶行列式按照一定规则展开后得到的表达式。
为了方便记忆和计算，我们可以通过拉普拉斯展开式来推导3 阶行列式的展开公式。
拉普拉斯展开式是一种通用的行列式展开方法，即：D = a11 * C11 - a12 * C12 + a13 * C13= a21 * C21 - a22 * C22 + a23 * C23= a31 * C31 - a32 * C32 + a33 * C33其中，D 代表 3 阶行列式，aij 代表矩阵的元素，Cij 代表代数余子式，即去掉第 i 行和第 j 列后的 2 阶行列式的值。
三、3 阶行列式展开公式的应用3 阶行列式展开公式在实际应用中具有重要意义，它可以帮助我们快速计算行列式的值，从而解决线性方程组等问题。
例如，在计算如下 3 阶行列式的值时，我们可以直接应用展开公式：D =| 1 2 3 || 4 5 6 || 7 8 9 |按照拉普拉斯展开式，我们可以得到：D = (1 * C11 - 2 * C12 + 3 * C13) - (4 * C21 - 5 * C22 + 6 * C23) + (7 * C31 - 8 * C32 + 9 * C33)通过计算代数余子式，我们可以得到行列式的值。
三阶行列式展开
9.4（2）三阶行列式按一行(或一列)展开一、教学内容分析三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．二、教学目标设计⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．三、教学重点及难点三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定． 四、教学过程设计一、情景引入【实验探究1】(1)将下列行列式按对角线展开：2233b c b c =_______________ 2233a b a b =_______________ 2233a c a c =_______________1133b c b c =_______________1122b c b c =_______________111222333a b c a b c a b c =_______________ (2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？[说明](1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式111222333a b c a b c a b c 与相应的二阶行列式间的关系．(2)将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+等等．二、学习新课１．知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式111222333a b c a b c a b c 表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+111221111222123333322333a b c b c b c b c a b c a a a b c a c b c a b c =-+ 111221111222123333322333a b c a c a c a c a b c b b b a c a c a c a b c =-+-等等． 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？事实上，以111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+为例，先将展开式111222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---变形为：111222123132312213231321333()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =-+-+-，然后分别提取公因式，可以得到111222123321322312332333()()()a b c a b c a b c b c b a c a c c a b a b a b c =-+-+- 再利用实验中已有的展开式22233233b c b c b c b c -= ① 22233233a c a c a c a c -=② 22233233a b a b a b a b -=③从而很容易就得到结果了．其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素1a ，1b ，1c 的余子式．．．，添上相应的符号(正号省略)，如22133b c A b c =22133a c B a c =-22133a b C a b =，1A 、1B 、1C 分别叫做元素1a ，1b ，1c 的代数余子式．．．．．．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：111222222222111333333333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验探究２．【实验探究2】请学生结合刚才确定a，1b，1c的余子式和代数余子式的方法，1完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法．【工作1】【工作2】总结代数余子式的确定方法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿[说明](1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i 行，第j 列)有关，其代数余子式的正负号是“(1)i j +-”．一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)．２．例题解析例题1.按要求计算行列式：302213231-- (1)按第一行展开； (2)按第一列展开．[说明](1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．例题2.计算：(1)111b c a c a b a b c ef df d ed ef-+- (2)222222222333333b c a c a b a b c b c a c a b -+〖参考答案〗(1)0 (2)0[说明](1)设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思维能力；二，为后续知识的学习做准备；(2)由例题2(2)计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行(或一列)的元素与另一行(或一列)的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或(三阶行列式)有两行(或两列)相同，那么这个行列式等于零．３．问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则，为什么这节课还要学习按一行(或按一列)展开呢？你觉得这有什么意义吗？[说明]一个三阶行列式按一行(或按一列)展开后就转化为二阶行列式的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常用的方法．只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式(哪怕是n阶行列式)最后都可以转化为二阶行列式的运算．三、巩固练习教材第99页，练习9.4（2）．四、课堂小结(1)余子式、代数余子式的概念；(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．五、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．。
三阶行列式按行（列）展开教学案例
三阶行列式按行（列）展开教学案例
阮瑾怡
【期刊名称】《数学教学》
【年(卷),期】2005(000)002
【摘要】通读高中二年级第一学期数学课本(上海教育出版社)全书，可以发现书中第九章只是简单介绍了二阶、三阶行列式的概念，展开法则及二元、三元线性方程组解的讨论．在其后各章，行列式只是作为一种特殊的记号出现，全书对行列式的性质并未作深入的讨论与研究．从书中内容的安排，
【总页数】3页(P11-13)
【作者】阮瑾怡
【作者单位】上海市卢湾高级中学，200023
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.三角形面积与三阶行列式的关系 [J], 魏明志
2.基于行(列)展开的行列式性质证明 [J], 赵伟舟;杨萍
3.行列式按行按列展开式的证明 [J], 张小红
4.行列式按行（列）展开法则及其推论的新证法 [J], 吴有炜;李玉英
5.浅谈"线性代数"学习中学生创新与应用能力的培养
——以行列式的按行(列)展开法则为例 [J], 万前红;郑立景
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三阶行列式展开法则
三阶行列式展开法则
三阶行列式展开法则是数学中一种求解三阶行列式的方法。
该法则是基于拉格朗日平衡律与拉格朗日恒等式，采用列式展开扩展的方法，逐个求解每一行或每一列的元素相乘之积得出行列式的值。
（1）将三阶行列式A的每一行或者每一列进行展开，即：
A=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33；
（2）假定行列式A中一行（或一列）的元素以aij 命名，则A=ai1×ai2×ai3
−ai2×ai3×ai4−ai1×ai3×ai5−ai1×ai2×ai6；
（3）根据拉格朗日平衡律与拉格朗日恒等式可以得出：
A=
a11×a22×a33−a11×a22×a34−a11×a23×a32+a11×a23×a34+a12×a21×a33−a12×a21×a34−a12×a23×a31+a12×a23×a34+a13×a21×a32−a13×a21×a34−a13×a22×a31+a1 3×a22×a34
（4）展开后的表达式的所有元素相乘之积即可得出三阶行列式A的值。
使用三阶行列式展开法求解三阶行列式的过程非常繁琐，不仅需要考虑行列式每行或每列的每个元素，还要记住每次展开扩展后离开的元素，容易出现考虑不全而求解出错的情况，因此，这种方法一般不用于求解行列式，而是用于证明拉格朗日恒等式或计算行列式的值。
三阶行列式
解： 2 3 4
5 2 1 12 40 3 8 4 45 82 1 2 3
2. 已知∆ABC的三个顶点的坐标为A(1,2)、 B(3,4)、C(2,1)，求∆ABC的面积。
1 21
解：S AB C
1 2
3
4 1
2 1 1
1 | 4 3 4 8 1 6 | 2
=10
例1：用对角线法则展开下列行列式：
3 0 2 （1） 2 1 3
2 3 1
01 0 （2）1 1 a 1
1 1 1a
ab c (3) 0 d e
00 f
3 0 2
解：（1） 2 1 3
2 3 1
= 311+23(2) +(2)30 (2)1(2) 333 120
=40
01 0 （2）1 1 a 1
二阶行列式的元素在其展开式中出现了 一 次， 而且每个元素出现的次数是 一样 的．
1. 三阶行列式定义
a1 b1 c1
九个元素排成三行三列： a2 b2 c2
a3 b3 c3
a1b2c3 a3b1c2 a2b3c1 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3
三阶行列式的展开式，每一项有三个元素相乘， 相乘的三个元素在行列式中位于不同行不同列， 每个元素在其展开式中均出现两次。
a h1 d b1 ge1
注意：本题答案不唯一。
例3. 如图，在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标 分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)，求△ABC的面积．
解：分别作AA、BB、CC垂直于 x轴，垂足为A、B、C。
S△ABC= S梯形AACC+S梯形CCBB= S梯形AABB
=
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9.4 （2）三阶行列式 按一行（或一列）展开一、教学内容分析三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的 内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法， 这个 法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的 研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究 三阶行列式按一行（或一列）展开法则.二、教学目标设计⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的 符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数 学的一般方法；⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂 问题简单化的数学思想. 三、 教学重点及难点三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、 教学过程设计一、情景引入【实验探究1】（1）将下列行列式按对角线展开：（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式［说明］b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 292 b 2 33 b 3b i C i b 3 C 3a ib i a 2 b 2 93 b 3C i C 2C 3a i a2a 3b ic ib 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗?b 3 C 3a 3b s C 3(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 a i b i C,a ?b ? C ?a 3b 3 C 3请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？a i bl C i开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b© a s b ?® a z b© a i b s C ?变形为:与相应的二阶行列式间的关系.阶行列式 (2)将二阶行列式a i a ? a 3b i b ? b 3 C iC ? C 3a ib i C i表示成几个含有二阶行列式运算的 式子，结果可能不唯一，可以有a 2 b 2 C 2a ia 3b 3 C 3b ? C ?b3C3b ia2 a3C 2 C3C i a ? b ?a3b3等等.二、学习新课1.知识解析在刚才的实验中，将三阶行列式 阶行列式运算的式子，主要有:a i a 2 a 3b i C ib ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3aia ? a 3ai a2 a3a i a ? a 3bi Ci b ?C ? b 3 C 3 biCi b ? C ?b 3 C 3 b i C ib ? C ? b 3 C 3b ? C ? b i a ? C ?a ?b ?a ib 3 C 3 a 3 C 3 C ia 3b 3b ? C ? bl C ib i C ia ib 3 C 3a?a3C 3a3b ? C ? a ? C ?a i C ia i C ib ?b 3a 3 C 3a3C3a ? C ?等等. 事实上，以aia2a 3bl b 2 b 3 C i C ? C 3a ib ?b3C2 C 3bla2 a3C2 C3C ia ?b ?a3b3为例，先将展b象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开.类似的， 我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开. 从上述研究，我们不难 发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个 元素的代数余子式.不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可 以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符 号的确定.为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验 探究2.【实验探究2]请学生结合刚才确定a i , b i , C i 的余子式和代数余子式的方法， 完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法. 【工作11 填写下表:a , bl C i a 2b 2 C 2 a 3 b a C 3(a i b 2C 3 a i b 3C 2)©be a z be) ©dG a s b zG ),然后分别提取公因式，可以得到 a , b i C ia ：b 2 C 2 a 3 b 3 C 3a i 饷3b 3C 2) h (a 3C 2 a 2C 3) C i (a 2b 3 a s b ?)再利用实验中已有的展开式 d C 2d C 3 a 2 a 3a 2a3b 2C 3 b 3C 2 a 2C 3azd a 3b 2 C2C 3 b 2b 3从而很容易就得到结果了.其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素 a i , b i , C,的余子式，添上相应的符号（正号省略），如b 2 C 2 b3C3B 1a2qa3 C3a 2b 2 a 3 b 3A 、B i 、C i 分别叫做元素a ,, bl , C ,的代数余子式.于是三阶行列式可 以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：a i h G a 2b 2 C 2a 3b 3 C ea ib 2 C 2 a C 3a ： C 2a3C3C ia 2b 2a 3 t h【工作21总结代数余子式的确定方法:［说明］(1)以上实验主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结.(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第i行，第j列)有关，其代数余子式的正负号是“ (1) j”.一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和.其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符2 .例题解析例题1.按要求计算行列式:（1） 按第一行展开; （2） 按第一列展开.［说明］（1） 一个三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开，其中，最 关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式 （尤 其是其符号）；（2） 当一个三阶行列式的某一行（或某一列）元素中，0的个数较 （或该列），这样计算往往比较方便.例题2.计算: (1)［说明］（1） 设计这样一组例题主要有两个目的：一，考查学生的逆向思 维能力；二，为后续知识的学习做准备；（2） 由例题2（2）计算结果，我们可以发现：如果将三阶行列式的某一行（或一列）的元素与另一行（或一列） 的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和为零；如果一个二阶行列式或（三阶行列式）有两行（或两列）相同，那么 这个行列式等于零.3 .问题拓展思考：我们上节课已经学习了三阶行列式展开的对角线法则， 为 什么这节课还要学习按一行（或按一列）展开呢？你觉得这有什么意 义吗？ ［说明］一个三阶行列式按一行（或按一列）展开后就转化为二阶行列式 的运算，这种将复杂问题转化为简单问题的思想方法是数学研究中常 用的方法.多，我们往往将行列式按照该行 b2b 3 K 参考答案〗 ⑵a 2 qC 3 (1)0b 2a 2 a 3C 2a2b2b 3(2)0只要学生能领悟到这一点，马上就可以意识到任何一个行列式（哪怕是n阶行列式）最后都可以转化为二阶行列式的运算.三、巩固练习教材第99页，练习9.4 （2）.四、课堂小结（1）余子式、代数余子式的概念；（2）三阶行列式按一行（或一列）展开方法.五、作业布置根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减.五、教学设计说明本节课的教学内容是三阶行列式按一行（或一列）展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法.单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要.我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法.。