三阶行列式展开

9.4 （2）三阶行列式 按一行（或一列）展开

一、教学内容分析

三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的 内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法， 这个 法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的 研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究 三阶行列式按一行（或一列）展开法则.

二、教学目标设计

⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念；

⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的 符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数 学的一般方法；

⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂 问题简单化的数学思想. 三、 教学重点及难点

三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、 教学过程设计

一、情景引入

【实验探究1】

（1）将下列行列式按对角线展开：

（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式

［说明］

b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 2

92 b 2 33 b 3

b i C i b 3 C 3

a i

b i a 2 b 2 93 b 3

C i C 2

C 3

a i a

2

a 3

b i

c i

b 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗?

b 3 C 3

a 3

b s C 3

(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 a i b i C,

a ?

b ? C ?

a 3

b 3 C 3

请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式

的？

a i bl C i

开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b© a s b ?® a z b© a i b s C ?变形为:

与相应的二阶行列式间的关系.

阶行列式 (2)将二阶行列式

a i a ? a 3

b i b ? b 3 C i

C ? C 3

a i

b i C i

表示成几个含有二阶行列式运算的 式子，结果可能不唯一，可以有a 2 b 2 C 2

a i

a 3

b 3 C 3

b ? C ?

b

3

C

3

b i

a

2 a

3

C 2 C

3

C i a ? b ?

a

3

b

3

等等.

二、学习新课

1.知识解析

在刚才的实验中，将三阶行列式 阶行列式运算的式子，主要有:

a i a 2 a 3

b i C i

b ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3

a

i

a ? a 3

a

i a

2 a

3

a i a ? a 3

b

i C

i b ?

C ? b 3 C 3 b

i

C

i b ? C ?

b 3 C 3 b i C i

b ? C ? b 3 C 3

b ? C ? b i a ? C ?

a ?

b ?

a i

b 3 C 3 a 3 C 3 C i

a 3

b 3

b ? C ? bl C i

b i C i

a i

b 3 C 3

a

?

a

3

C 3

a

3

b ? C ? a ? C ?

a i C i

a i C i

b ?

b 3

a 3 C 3

a

3

C

3

a ? C ?

等等. 事实上，以

ai

a

2

a 3

bl b 2 b 3 C i C ? C 3

a i

b ?

b

3

C

2 C 3

bl

a

2 a

3

C

2 C

3

C i

a ?

b ?

a

3

b

3

为例，先将展

b

象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开.类似的， 我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开. 从上述研究，我们不难 发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个 元素的代数余子式.不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可 以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符 号的确定.为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成实验 探究2.

【实验探究2]

请学生结合刚才确定a i , b i , C i 的余子式和代数余子式的方法， 完成下表，并试着研究某个元素的代数余子式的确定方法. 【工作11 填写下表:

a , bl C i a 2

b 2 C 2 a 3 b a C 3

(a i b 2C 3 a i b 3C 2)©be a z be) ©dG a s b zG ),然后分别提取

公因式，可以得到 a , b i C i

a ：

b 2 C 2 a 3 b 3 C 3

a i 饷3

b 3C 2) h (a 3C 2 a 2C 3) C i (a 2b 3 a s b ?)

再利用实验中已有的展开式 d C 2

d C 3 a 2 a 3

a 2

a

3

b 2C 3 b 3C 2 a 2C 3

azd a 3b 2 C

2

C 3 b 2

b 3

从而很容易就得到结果了.

其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素 a i , b i , C,的余子式，

添上相应的符号（正号省略），如

b 2 C 2 b

3

C

3

B 1

a

2

q

a

3 C

3

a 2

b 2 a 3 b 3

A 、

B i 、

C i 分别叫做元素a ,, bl , C ,的代数余子式.于是三阶行列式可 以表示

为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：

a i h G a 2

b 2 C 2

a 3

b 3 C e

a i

b 2 C 2 a C 3

a ： C 2

a

3

C

3

C i

a 2

b 2

a 3 t h