卷积的快速算法++教程文件
04第四章：卷积的计算.ppt
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得 所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。 解 由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ， 的波形， 4.1- （ ； （ 3） 将 得到 f 2 (t − τ ) 的波形， 如图 4.1-2 d） 相乘， （4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2
卷积和计算方法
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
求y1与y2两个多项式的乘积，即y=y1×y2=(2+x-2x^2)×(1+2x-x^2),求出的结果为y=2+5x-2x^2-5x^3+2x^4。转化成卷积结果为y(n)=[2,5,-2,-5,2]，即多项式乘积结果的系数。
假设两个求卷积的序列为x(n)=[2,1,-2]和h(n)=[1,2，-1]，求二者的卷积y(n)=x(n)*h(n)。
其实卷积的计算步骤和多项式乘法的计算步骤是一样的，把上面两个求卷积的序列转化成多项式，即y1=2+x-2x^2,多项式的零阶、一阶、二阶系数分别为x(n)的x(0),x(1),x(2)，同y2=1+2x-x^2,多项式的零阶、一阶、二阶系数分别为h(n)的h(0),h(1),h(2).
python快速卷积算法
在Python中，NumPy库提供了一个快速的卷积算法，可以通过numpy.convolve 函数进行实现。
这个函数可以用于一维和二维卷积操作。
下面是一些基本的示例：一维卷积import numpy as np# 输入信号signal = np.array([1, 2, 1, 2, 1])# 卷积核kernel = np.array([1, 0, -1])# 进行卷积操作result = np.convolve(signal, kernel, mode='valid')print("原始信号:", signal)print("卷积核:", kernel)print("卷积结果:", result)二维卷积import numpy as npfrom scipy.signal import convolve2d# 输入图像image = np.array([[1, 2, 1],[0, 1, 0],[-1, 0, 1]])# 卷积核kernel = np.array([[1, 0, -1],[2, 0, -2],[1, 0, -1]])# 进行二维卷积操作result = convolve2d(image, kernel, mode='valid')print("原始图像:")print(image)print("卷积核:")print(kernel)print("卷积结果:")print(result)这些示例使用了NumPy库的convolve 函数进行一维卷积和convolve2d 函数进行二维卷积。
mode='valid' 表示使用有效卷积（不进行边界填充）。
如果你需要更多卷积的选项，可以查阅NumPy和SciPy的文档，这两个库提供了丰富的卷积和滤波操作。
winograd快速卷积算法_解释说明
winograd快速卷积算法解释说明1. 引言：1.1 概述：Winograd快速卷积算法是一种用于优化卷积计算的方法，通过利用Winograd变换及其特性，在减少乘法操作次数的同时加速了卷积运算过程，并提高了并行计算效率。
1.2 文章结构：本文将从以下几个方面对Winograd快速卷积算法进行详细说明和解释：引言、Winograd快速卷积算法的介绍、Winograd变换原理、Winograd卷积算法步骤、Winograd卷积算法的优点、Winograd卷积算法的应用领域以及结论部分。
1.3 目的：本文的目的是深入解析和讨论Winograd快速卷积算法，包括其原理、优势以及在不同领域中的应用。
通过详细阐述，读者可以更全面地了解这一算法，并认识到它在图像处理与计算机视觉领域、语音处理与自然语言处理领域以及神经网络加速与深度学习框架中的潜力和挑战。
最后，我们将总结该方法在现有技术背景下所取得的成就，并展望其未来的发展前景。
通过本文的阐述，读者将能够更好地理解和应用Winograd快速卷积算法。
2. Winograd快速卷积算法2.1 卷积算法简介卷积是一种常用的运算方法，在信号处理、图像处理和深度学习等领域中有广泛的应用。
传统的卷积运算需要进行大量的乘法操作，导致计算过程复杂且耗时。
因此，为了加快卷积计算速度和提高效率，Winograd快速卷积算法应运而生。
2.2 Winograd变换原理Winograd变换是一种将输入信号与滤波器之间进行的线性变换，通过将输入信号和滤波器转化为更紧凑的表示形式来减少乘法操作次数。
这种变换可以大幅度地降低乘法操作的数量，从而提高了卷积计算的效率。
在Winograd变换中，输入信号和滤波器被转换为新的矩阵形式。
通过对这些矩阵进行简化和优化，可以实现基于小规模矩阵乘法运算来代替传统的大规模矩阵乘法。
这样做可以极大地减少计算量，并在保证精度不受损失情况下加速卷积运算。
2.3 Winograd卷积算法步骤Winograd卷积算法可以分为以下几个步骤：步骤1：输入信号和滤波器的预处理首先，将输入信号和滤波器通过Winograd变换进行预处理。
卷积的计算公式和步骤
卷积的计算公式和步骤
卷积是一种基本的数学运算，常用于信号处理和图像处理中。
其计算公式和步骤如下：
1. 定义输入信号：将输入信号表示为一个数字序列或矩阵。
2. 定义卷积核：选择一个卷积核（也称为滤波器或特征检测器），该卷积核是一个数字序列或矩阵。
3. 反转卷积核：对卷积核进行水平翻转和垂直翻转操作。
4. 平移卷积核：将反转后的卷积核从输入信号的左上角开始按照固定的步长进行平移。
5. 点乘求和操作：将卷积核和输入信号在重叠区域内进行点乘操作，并将结果求和。
6. 重复步骤4和步骤5：重复平移卷积核和点乘求和操作，直到卷积核覆盖完整个输入信号。
7. 输出结果：将点乘求和的结果按照平移的顺序组合在一起，得到输出信号。
卷积的计算可以用以下公式表示：
输出信号矩阵 = 输入信号矩阵 * 卷积核矩阵
其中，* 表示卷积操作。
卷积运算及算法实现共5页文档
《数字信号处理》课程设计报告卷积运算及算法实现专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：周杰学号：14082300925卷积运算及算法实现一、设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：换而言之，假设两个信号f1(t)和f2(t)，两者做卷积运算定义为f(t)d做一变量代换不难得出：f(t)d=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)*h(t)=*由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，如图1—2（a）所示。
1—2由于h(t)也为阶梯函数，所以其积分也能方便地求得，其值为阶梯函数图像下方的面积，记作为H(t),如图1—2(b)所示：冲击函数与其它函数的卷积有如下的关系：*f(t)=f(t-T),因此f(t)*h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3).即f(t)和(t)的卷积等于H(t)及其延时的线性组合，如图1-3所示：1—3从以上分析可以看到，两个阶梯函数的卷积等于其中一个函数的积分H(t)及其延迟H(t)的线性组合，组合系数对应于各个冲击函数的系数。
c fft 卷积算法
卷积算法在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算卷积的方法，它基于傅里叶变换的性质，将卷积运算转化为乘积运算和加法运算，从而大大降低了计算的复杂度。
一、卷积运算卷积运算是一种线性运算，它将两个函数重叠的部分进行积分，得到的结果是一个新的函数。
具体来说，给定两个函数f和g，定义它们的卷积为：(f*g)(t) = ∫(-∞ to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ其中，f和g的取值范围都是全体实数，t是卷积的变量。
卷积运算具有以下性质：交换律：fg = gf结合律：(fg)h = f(gh)恒等函数：f*δ(t) = f(t)，其中δ(t)是单位函数二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的方法。
在FFT中，卷积运算被转化为乘积运算和加法运算。
设f和g是长度为N的实数序列，它们的DFT分别为F和G，那么，根据卷积性质和傅里叶变换的性质，有：F(k) = FFT[f(n)] = ∑(0 to N-1) f(n) e^(-2πikn/N)G(k) = FFT[g(n)] = ∑(0 to N-1) g(n) e^(-2πikn/N)卷积运算的结果可以表示为：H(k) = F(k) * G(k) = ∑(0 to N-1) ∑(0 to N-1) f(n) g(m) e^(-2πik(n-m)/N)通过观察可以发现，H(k)可以通过两个路径计算得到：一条路径是直接计算F(k)和G(k)，然后将它们相乘得到H(k)；另一条路径是先计算出f(n)和g(m)的卷积，再对卷积结果进行DFT得到H(k)。
由于DFT的计算复杂度为O(NlogN)，而直接计算卷积的复杂度为O(N^2)，因此采用FFT计算卷积可以大大降低计算的复杂度。
三、基于FFT的卷积算法流程基于FFT的卷积算法主要包括以下几个步骤：输入两个长度为N的实数序列f和g。
卷积的快速算法++
《数字信号处理》课程设计报告专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号： 14082300925一、 设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ 做一变量代换不难得出：f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t −τ)d τ=f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1 其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u （t-2）-u(t-3), h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即： f(t)*h(t)=df(t)dt*∫h (τ)dτ.t−∞由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数δ(t )及其延时的线性组合， 如图1—2（a ） 所示。
卷积的快速算法++教程文件
卷积的快速算法++教程⽂件《数字信号处理》课程设计报告专业：通信⼯程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号：14082300925⼀、设计⽬的卷积运算是⼀种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中⼀种常⽤的⼯具。
随着信号与系统理论的研究的深⼊及计算机技术发展，卷积运算被⼴泛地运⽤到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算⽤去解决问题，提⾼理论知识⽔平和动⼿能⼒，才是学习卷积运算的真正⽬的。
通过这次课程设计，⼀⽅⾯加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应⽤，另⼀⽅⾯体会到学校开这些⼤学课程的意义。
⼆、设计任务探寻⼀种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，⽂中主要通过阶梯函数卷积计算⽅法和斜体函数卷积计算⽅法对⽐来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常⽤到的运算。
其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换⽽⾔之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)d 做⼀变量代换不难得出：f(t) d =f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道⽤图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以⽤阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表⽰的函数，可以看做是⼀些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例⼦。
1—1其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本⽂提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（⼜称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)*h(t)=*由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，如图1—2（a）所⽰。
卷积公式_精品文档
卷积公式什么是卷积？卷积是信号处理中常用的一种运算方法，它能够通过将两个信号进行卷积操作，得到一个新的信号。
在深度学习中，卷积被广泛应用于图像处理和自然语言处理等领域。
卷积的数学定义在数学中，卷积操作可以通过以下公式描述：$$ (f * g)(t) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(\\tau)g(t-\\tau) d\\tau $$上述公式表示函数f和g的卷积在时刻t的取值为两者的乘积在时刻t的积分。
图像处理中的卷积在图像处理中，卷积通常通过一个滤波器（也称为卷积核或卷积矩阵）与输入图像进行卷积操作。
滤波器是一个小的矩阵，可以对图像进行特定的操作，例如边缘检测、模糊等。
卷积操作可以通过以下公式表示：$$ I'(x, y) = (I * K)(x, y) = \\sum_{i=-a}^{a}\\sum_{j=-b}^{b} I(x-i, y-j)K(i, j) $$上述公式表示输入图像I与滤波器K的卷积结果为在图像上按照滤波器的大小进行滑动，并将滑动窗口中的图像与滤波器对应元素相乘后求和得到的结果。
卷积的作用卷积在图像处理中有多种作用，包括边缘检测、特征提取和图像增强等。
边缘检测卷积可以通过使用适当的滤波器来检测图像中的边缘。
常用的边缘检测滤波器有Sobel、Prewitt和Laplacian等。
特征提取卷积在深度学习中广泛应用于特征提取。
通过使用不同的滤波器，卷积可以提取图像中的不同特征，例如纹理、形状和颜色等。
图像增强卷积还可以用于图像增强，通过应用特定的滤波器可以使图像变得更加清晰或者更加模糊。
卷积的应用场景卷积在深度学习中被广泛应用于图像处理、自然语言处理等领域。
在图像处理中，卷积可以用于图像分类、目标检测和图像生成等任务。
通过使用卷积神经网络（CNN），可以自动学习图像中的特征，从而实现图像分类和目标检测等任务。
在自然语言处理中，卷积可以用于文本分类和情感分析等任务。
卷积计算图解法ppt课件
m
4
y(n) x(m)h(n m) m0
04 h(n-m)
4
4
1 anm an am
m0
m0
m
n-6 0
46 n
an 1 a(14) an4 a1n
1 a1
1 a
6
x(m)
(4)在6<n≤n) x(m)h(n m)
h(n-m)
mn6
n
4
1 anm an am
m 0 6 10 n-6 n
mn6
mn6
an
a (n6) a (41) 1 a1
an4 a7 1 a
7
综合以上结果，y(n)可归纳如下：
0,
n0
1 a1n , 1a
0n4
1
计算卷积时，一般要分几个区间分别加以 考虑，下面举例说明。
例 已知x(n)和h(n)分别为：
x(n)
1, 0,
0n4 其它
an , 0 n 6
和 h(n)
0,
其它
a为常数，且1<a，试求x(n)和h(n)的卷积。
2
解 参看图，分段考虑如下：
x(m)
n 04
h(m)
4
x(m)
(2)在0≤n≤4区间上
m 04
h(n-m)
m
n-6 0 n 4
n
n
y(n) x(m)h(n m) 1 anm
m0
m0
an
n
a m a n 1 a (n1)
1 a1n
m0
1 a1
1 a 5
计算卷积的方法
详细描述了系统传递函数的计算过程，包括系统传递 函数的定义、系统函数的表示、系统传递函数的计算 步骤以及计算实例。
详细描述
系统传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模 型，可以通过系统的输入输出关系来计算。具体来说， 假设有一个线性时不变系统，其输入为x(t)，输出为y(t)， 系统的传递函数可以通过以下步骤得到：首先根据系统 的输入输出关系列出微分方程，然后通过拉普拉斯变换 求解微分方程，得到传递函数H(s)。
04
卷积的特性
时移性
总结词
卷积的结果可以通过将其中一个信号进 行时间平移来获得。
VS
详细描述
卷积运算具有时移性，即当一个信号在时 间上平移时，其与另一个信号的卷积结果 也会相应地发生平移。这种特性在信号处 理和控制系统等领域中非常重要，因为它 允许我们通过改变输入信号的时间位置来 控制输出信号的时间响应。
滤波器
滤波器
卷积在信号处理中常常用于实现滤波器功能。通过设计特定 的滤波器系数（相当于冲激响应），可以对输入信号进行滤 波处理，提取出需要的信号成分或者抑制不需要的噪声干扰 。
IIR滤波器和FIR滤波器
在数字信号处理中，滤波器可以分为无限冲激响应（IIR）滤波 器和有限冲激响应（FIR）滤波器。IIR滤波器具有反馈结构，可 以实现对信号的递归处理；而FIR滤波器没有反馈结构，只能实 现线性相位响应。
计算卷积的方法
• 卷积的定义 • 卷积的物理意义 • 计算卷积的方法 • 卷积的特性 • 卷积的计算实例
01
卷积的定义
数学定义
数学上，卷积是一种二元运算，表示为 *。 对于两个函数 f 和 g，它们的卷积定义为
(f * g)[n] = sum_{k=-infty}^{+infty} f[k] g[n-k])
三分钟学会“卷积”
反褶：一般多项式都是按x的降幂排列，这里将其中一个多项式的各项按x的升幂的多项式每次向右平移一个项。
)n7?Ba s9C Y0X2Zgr2H0相乘：垂直对齐的项分别相乘。中国通信人博客:O)jwd.RG x
我们先来看一个多项式乘法：
o i4?%^4U2q%hL1FQ0
(x+1)(x2+3x+5)= (x3+3x2+5x)+( x2+3x+5)=x3+4x2+8x+5 ，这个乘法运算我相信大家都会，下面我们换一种计算方式：中国通信人博客W!jJPqu
中国通信人博客,C*b%F"x M&ww
中国通信人博客Sr7W$m2ka W)a5PWU0hkJ
求和：相乘的各结果相加。
3e ?,PPKN[)e1S0
中国通信人博客vP!@zB [&\S
这就是“卷积”的四个运算步骤，反褶、平移、相乘、求和。中国通信人博客"mC;B6G;Jgk2Ia;s
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《数字信号处理》课程设计报告专业：通信工程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号：14082300925一、 设计目的卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。
随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。
了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。
通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。
二、设计任务探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。
三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常用到的运算。
其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换而言之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)d 做一变量代换不难得出：f(t) d =f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。
2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。
1—1其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。
根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)*h(t)=*由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，如图1—2（a）所示。
1—2由于h(t)也为阶梯函数，所以其积分也能方便地求得，其值为阶梯函数图像下方的面积，记作为H(t),如图1—2(b)所示：冲击函数与其它函数的卷积有如下的关系：*f(t)=f(t-T),因此f(t)*h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3).即f(t)和(t)的卷积等于H(t)及其延时的线性组合，如图1-3所示：1—3从以上分析可以看到，两个阶梯函数的卷积等于其中一个函数的积分H(t)及其延迟H(t)的线性组合，组合系数对应于各个冲击函数的系数。
对于任意函数的卷积，可以先将他们的用矩形脉冲函数来逼近只要时间间隔足够小就能达到足够的逼近精度。
逼近所得到的函数即为阶梯函数，然后又采用上述方法即可得到任意两个函数的卷积。
假设要计算任意两个函数的卷积:y(t)=x(t)*h(t)其中x(t),h(t)可谓无限长，分别如图1—4（a）,(b)所示。
现将x(t)和h(t)在0到t的区间用宽度为的矩形脉冲来近似的代替（显然越小，逼近的精度越高，每一个矩形脉冲的高度分别等于该脉冲前沿的函数值。
也就是说，用阶梯形曲线xn (t)近似地代替x(t)的曲线，用hn(t)近似的代替h(t)(如图1—4)。
每一个矩形脉冲可用阶跃函数鄙视如下表2—1,2—2.表达式又可以写成如下形式：x(t)= 1—2h(t)= 1—3对式（2）求微分有：x(t)= 1--4设t=k对式求积分有： 1—5令H(t)=则和如图 —所示：1—5 x(t),h(t)的微积分1—6 x(t),h(t)的卷积过程由y(t)=x(t)*h(t)=x’*H(t)得到Y(k)= 1—6由图1—6(a)可以看出如果计算从t=0至t=k的N点的x(t)和h(t)的卷积，需要H(t)和x’(t)对应的个点分别相乘，由于H(t)和x’(t)也为N点序列，所以共需要N2次乘法，属于有效乘法，因为按照卷积定义直接计算也是N2次乘法。
3，什么是斜梯函数？所谓斜梯函数，表现为一条折线的形式，用诸如at+b形式的段组合在一起表示的函数。
图3—1给出了输入函数为斜梯函数的例子。
3—1其中f(t)=t[u(t)-u(t-1)+u(t-1)+(0.5t+0.5)[u(t-1)-u(t-2)]+(-1.5t+4.5)[u(t-2)-u(t-3),h(t)=3t[u(t)-u(t-1)+(-t+4)[u(t-1)-u(t-2)]+(-2t+6)[u(t-2)-u(t-3)] 根据卷积的性质，上述f(t)和h(t)的卷积等于f(t)的二次导数与h(t)的二重积分的卷积【1】，即：由于f(t)为斜梯函数，因此其导数变为阶梯函数u(t)及其延时的线性组合，=u(t)-0.5u(t-1)-2u(t-2),如图3—2(a)所示。
3—2由于h(t)也为斜梯函数，所以其积分也能方便的求得，其值为折现函数图象下方的面积，记作为h(-1)(t),如图3—2(b)所示。
此时已经与阶梯函数卷积计算方法类似了，只是对于h(-1)(t)其为一二次曲线，继续求积分比较困难，实际应用中其可以用折现计算，从而引入一定的误差，这也是采用次逼近所付出的代价。
接下来对f(t)和h(-1)(t)再次进行微分与积分处理，则f’’(t)变为冲击脉冲序列，如图3—3(a)所示，h(-2)(t)用对应折线下的买年纪也可算得对应如图3—3(b)所示。
3—3斜梯函数的二次微积分假设要计算任意函数的卷积：y(t)=x(t)*h(t)其中x(t),h(t)可谓无限长，分别如图3—4（a）,(b)所示。
3—4 连续时间函数对上述x(t)和h(t),用宽度为的梯形脉冲函数逼近，x(t)和h(t)就转化为斜梯函数，顾客用折现函数及其延时的线性组合表示，如图3—4(a),(b)中虚线所示。
x(t)=t+c1][u(t-m)-u(t-(m+1) 2—2h(t)=t+c1][u(t-n)-u(t-(n+1) 2—3此处c1,c2为常数，由于球x(t)和h(t)的微积分时，与此常数无关，所以此处可不必求出。
对式子2—2，求微分有：x’(t)=t+c1][u(t-m)-u(t-(m+1) 2—4 设t=k对 —式求积分有：2—5 则 x’(t)和h’(t)如图2—5(a),(b)所示:3—5 斜梯函数的一次微分与积分X’’(t)= 2—6 H(-2)(t)=2[2(n-1)h(0)+ 2—7 式2—6,2—7如下图3—6所示。
3—6 斜梯函数的二次额积分令H(k=h(-2)(t),2—7 x(t)和h(t)的卷机过程由 y(t)=x(t)*h(t)=x’’(t)*H(t)得Y(k)=. 2—8由图2—7 可以清楚的看出如果计算从0到k的也为N点序列，所以共需要N2次乘法，属于有效算法。
四、设计过程假设有有一DSP系统，如果激励信号的的波形如图4—1所示，定义的时间区间是(t0,,t)，表示从t到t之前的任意时刻。
对于任意输入信号的作用，可以看成是一系列具有相同宽度的矩形脉冲用近似表示e().把时间区间(t0,,t)分成相等的几段，每段宽度为，即t1-t=t2-t1=tk+1-tk=…=.因此e()可以用图中的阶梯曲线来近似表示，即可以看成是一系列的矩形脉冲的合成。
这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单位脉冲函数，即P)和P)来表示。
因此可以用上述矩形脉冲表示e(即e(0)P(-)+e(t1)P(-1)+ e(t2)P(-2)+…e(tk )P(-k)+…e(tn-1)P(-n-1)2--9输入信号P)后，其响应为h)对每一延迟的矩形脉冲P),在时刻t观察到的相应的响应应为h(t-tk),e(tk )P(-k)的响应应该为e(tk)h(-k),所以2—9式的输出信号应该为： r t- t k)为了保证e()的阶梯矩形近似更接近真实e()，令t到t区间的脉冲数不断增加。
当t→时，→，每个单位矩形脉冲变成冲击函数，h变成了冲击函数h，e变成了原来的激励e()，响应r则变成了对应原激励的响应,同时上式的求和也变成了积分，tk变成了连续变量，则变成了,于是有 r(t)=其中t0为任意激励施加的时刻，t为待求响应对应的时刻。
特别的，当t=0时，有r(t)= 2—10式子1—10所示的积分就是卷积的积分。
因此，只要知道系统的冲击响应，对于任意的激励信号e(t)的作用，都可根据卷积的积分求出响应。
对于更为复杂的二阶系统，运用这种方法更能看出其优势，由于计算过程大致类似，我们应用MATLAB自带的命令计算结果绘制于4—2图中精品文档4—2 三种算法的比较当采样精度为0.5时，他们的结果相当接近，精度得到了保证。
当进一步提高采样率，结果更加精确了，已经能够满足实际需求。
五、收获与体会通过此次的课程设计，加深了我们对卷积的理解，也了解到了更多的卷积算法，也锻炼了我们查询资料，从所获取的资料中提取有用的知识的能力。
课程设计中的实验验证过程，写得有点草率，但是事出有因，以后我会吧验证过程写得更详尽，到位。
总而言之，收获颇多，做课程设计是一种运用学过的知识的过程，应当多做。
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