第4章线性代数问题的计算机求解
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲课程编号：课程类别：学分数：学时数：适用专业：应修基础课程：一、本课程的地位和作用《线性代数》在高等学校的教学计划中是一门必修的基础理论课，是计算机专业的重要基础课之一，它是以讨论有限维空间线性理论为主，具有较强的抽象性与逻辑性，特别是在计算机日益普及的今天，使求解大型线性方程组成为可能，因此本课程所介绍的方法，广泛地应用与各个学科。
所以该课程的地位与作用也更为重要。
通过该课程的学习，使学生掌握该课程的理论与方法，可以培养和提高学生的抽象思维能力、创新能力和解决实际问题的能力，并为为后续课程的学习及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
二、本课程的教学目标通过该课程的学习，要求学生把握线性代数的基本内容。
如：行列式、矩阵、线性方程组、线性空间等。
把握线性代数的体系结构。
从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维。
并且要求学生掌握线性代数的基本计算方法，较好地理解线性代数这门课的抽象理论,具有严谨逻辑推理能力,空间想象能力,运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
三、课程内容和基本要求按教学顺序提出课程各部分教学内容，并具体到知识点，用“*”明确难点内容，用“Δ”明确重点。
“*”或“Δ”一律写在课程内容的前面。
“*”与“Δ”可以并用，表明此内容既是重点又是难点。
在各部分课程内容的前面，首先写明该部分内容须要了解、理解、熟练掌握、应用等层次的教学基本要求。
其格式为：第一章预备知识1、教学基本要求（1）了解集合与映射的基本概念及有理系数多项系的有理根的求法（2）理解数域的概念及排列与对换2、教学内容（1）集合与映射（2）数域（3）Δ排列与对换（4）*有理系数多项系的有理根第二章n阶行列式1、教学基本要求（1）了解全排列、行列式、代数余子式概念（2）理解n阶行列式的定义；（3）掌握行列式性质，会应用行列式的性质计算行列式；（4）理解行列式按行（列）展开定理并应用于行列式计算与证明；（5）掌握克莱姆法则。
线性代数在计算机科学中的应用
线性代数在计算机科学中的应用线性代数作为数学学科的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
在计算机科学中，线性代数也扮演着重要的角色。
本文将介绍线性代数在计算机科学中的应用，并分别以几个实际案例来说明其具体应用。
一、图像处理图像处理是计算机科学中一个重要的应用领域，而线性代数在图像处理中发挥着重要作用。
以图像的表示为例，一张彩色图像可以用一个矩阵来表示，其中每个元素代表相应像素点的颜色信息。
通过对这个矩阵进行线性变换，比如缩放、旋转和平移等操作，可以实现对图像的各种处理，例如尺寸变换、滤波和锐化等。
此外，线性代数的矩阵运算还可以用于图像的压缩和去噪等方面。
二、机器学习在机器学习领域，线性代数是必不可少的工具之一。
常见的机器学习算法，比如线性回归、逻辑回归和支持向量机等，都是基于线性代数的理论和方法。
例如，在线性回归中，可以通过构造一个线性方程组来求解最优的模型参数；在逻辑回归中，可以使用矩阵运算来计算样本的概率和损失函数。
此外，对于高维数据的处理，线性代数的矩阵运算可以有效地进行特征提取和降维等操作。
三、图论图论是计算机科学中研究图的性质和应用的一门学科，而线性代数提供了图论研究的基础工具。
以邻接矩阵为例，可以用一个矩阵来表示图的连接关系，其中矩阵的元素表示节点之间的边。
通过对邻接矩阵进行线性变换，可以实现对图的各种操作，比如最短路径的计算、连通性的判断和社交网络的分析等。
此外，线性代数的特征值和特征向量也可以应用于图的聚类和社团检测等问题。
四、密码学密码学是保护信息安全的一门学科，而线性代数在密码学中具有广泛的应用。
以加密算法为例，矩阵是常用的加密操作对象。
通过对明文和密钥进行矩阵运算，可以得到密文。
在解密过程中，再次对密文和密钥进行矩阵运算，即可还原为明文。
此外，线性代数的向量空间和矩阵空间也可以用于密码系统的设计和分析中。
综上所述，线性代数在计算机科学中具有广泛而重要的应用。
通过在图像处理、机器学习、图论和密码学等领域中的应用实例，展示了线性代数的实际应用能力。
线性代数求解方法和技巧
线性代数求解方法和技巧线性代数是数学中重要的一个分支，研究向量空间、线性变换和线性方程组等内容。
在实际问题中，我们常常需要用线性代数的方法来解决问题，因此掌握线性代数的求解方法和技巧对于理解和应用数学是非常重要的。
首先，我们讨论线性方程组的求解方法。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，其中每个方程的未知数的次数都为1。
对于n个未知数和m个方程的线性方程组，我们有以下几种常用的求解方法：1. 列主元消元法：这是最常用的线性方程组求解方法之一。
它的基本思想是通过行变换将线性方程组化为一个三角形式，进而求解得到方程组的解。
在进行行变换时，要选择合适的列主元，即选择主元元素绝对值最大的一列作为主元素。
2. 矩阵求逆法：对于一个可逆的n阶方阵A，我们可以通过求A的逆矩阵来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过高斯消元法将方程组化为三角形式，然后根据三角形式的矩阵求逆公式来求解x。
3. LU分解法：对于一个n阶非奇异矩阵A，我们可以将其分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
接着，我们可以通过LU分解来求解线性方程组Ax=b。
具体地，我们首先通过LU分解将方程组化为Lc=b和Ux=c两个方程组，然后依次求解这两个方程组得到x的值。
除了以上的求解方法，还有一些线性方程组的特殊情况和对应的求解方法：1. 齐次线性方程组：如果线性方程组右边的常数项都为0，即b=0，那么我们称为齐次线性方程组。
对于齐次线性方程组，其解空间是一个向量空间。
我们可以通过高斯消元法来求解齐次线性方程组，先将其化为三角形式，然后确定自由未知量的个数，最后确定解空间的基底。
2. 奇异线性方程组：如果线性方程组的系数矩阵A是奇异矩阵，即det(A)=0，那么我们称为奇异线性方程组。
对于奇异线性方程组，其解可能不存在，或者存在无穷多解。
我们可以通过计算矩阵A的秩来确定线性方程组的解的情况。
另外，在实际问题中，我们可能会遇到大规模的线性方程组，这时候求解方法和技巧还需要考虑到计算效率的问题。
线性代数与计算机的关系
线性代数与计算机的关系线性代数与计算机的关系————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈线性代数与计算机的关系线性代数是计算机专业的一门重要基础课程,同时又作为各高等院校和工科类专业的数学基础课程，它具有很强大的应用性和实用性。
线性代数是数学的一个分支，它主要处理线性关系问题，它的研究对象是向量、向量空间、线性变换和有限维的线性方程组，向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛应用于抽象代数和泛函分析中；用过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已经被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。
自计算机产生以来，随着计算机的不断发展和进步，计算机语言也在进步，但是很多软件或编程的编写都离不开计算机算法，这时一种好的计算方法就会成为一个软件或编程的亮点。
以前，在计算机的计算算法中，对于一些复杂的计算总是要花很多步骤来完成，既麻烦又容易出错，并很浪费时间（比如在计算机上用算法求鸡兔同笼的问题，如果是用一般算法来求的话，我们会发现很吃力，但是引用的线性代数的矩阵理论就简单的多了），所以在计算效率方面提不上去的话，就会限制计算机的发展和进步。
而线性代数的引入就改变了这个问题，使得计算机的发展更加迅猛，到了今天计算机得到广泛应用的时候，计算机数据结构、算法、计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、经济学、网络技术、虚拟现实等技术无不是以线性代数为理论基础并组成其计算机算法中极其重要的一部分。
线性代数在计算机领域的应用与计算机的计算性能是成正比例的，同时，这一性能会随着计算机硬件的不断创新和发展而得到极大的提升。
线性代数的计算机应用在全球有很多的应用，例如Wassily Leontief教授把美国经济用500个变量的500个线性方程组描述,而后又把系统简化为42个变量的42个线性方程。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
线性代数第四版课后习题答案
线性代数第四版课后习题答案线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。
它在许多领域中都有广泛的应用，如物理学、计算机科学、经济学等。
而《线性代数第四版》是一本经典的教材，它深入浅出地介绍了线性代数的基本概念和理论，并提供了大量的习题供读者练习。
本文将为读者提供《线性代数第四版》课后习题的答案，以帮助读者更好地理解和掌握线性代数的知识。
第一章：线性方程组1.1 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：2x + 3y + z = 74x + 2y + 5z = 43x + 4y + 2z = 5解得x = 1，y = -1，z = 2。
1.2 习题答案：1. 解：设方程组的解为x，代入方程组得：x - 2y + 3z = 12x + y + z = 23x + 4y - 5z = -1解得x = 1，y = 0，z = 0。
第二章：矩阵代数2.1 习题答案：1. 解：设矩阵A为：3 45 6则A的转置矩阵为：1 3 52 4 62.2 习题答案：1. 解：设矩阵A为：1 23 4则A的逆矩阵为：-2 13/2 -1/2第三章：向量空间3.1 习题答案：1. 解：设向量v为：123则v的范数为sqrt(1^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(14)。
3.2 习题答案：1. 解：设向量v为：23则v的单位向量为v/||v||，即：1/sqrt(14)2/sqrt(14)3/sqrt(14)第四章：线性变换4.1 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量顺时针旋转90度的变换，即：T(x, y) = (y, -x)4.2 习题答案：1. 解：设线性变换T为将向量缩放2倍的变换，即：T(x, y) = (2x, 2y)通过以上习题的答案，我们可以看到线性代数的一些基本概念和理论在实际问题中的应用。
通过解答这些习题，读者可以更好地理解和掌握线性代数的知识，提高自己的解题能力和思维能力。
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例
利用Matlab进行线性代数问题求解的方法与案例引言线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。
而Matlab作为一种功能强大的数值计算软件，提供了各种实用的工具和函数，可以方便地解决线性代数问题。
本文将介绍一些常用的线性代数问题求解方法，并通过具体的案例来展示Matlab在实际应用中的效果。
一、线性方程组的求解线性方程组是线性代数中最基础的问题之一。
Matlab提供了多种求解线性方程组的函数，如“backslash”操作符（\）和“linsolve”函数等。
下面通过一个实例来说明Matlab的线性方程组求解功能。
案例：假设有以下线性方程组需要求解：2x + 3y - 4z = 53x - 2y + z = 8x + 5y - 3z = 7在Matlab中输入以下代码：A = [2 3 -4; 3 -2 1; 1 5 -3];b = [5; 8; 7];x = A\b;通过以上代码，我们可以得到线性方程组的解x=[1; -2; 3]。
这表明在满足以上方程组的条件下，x=1，y=-2，z=3。
可以看出，Matlab在求解线性方程组时，使用简单且高效。
二、矩阵的特征值和特征向量求解矩阵的特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念。
利用特征值和特征向量可以得到矩阵的许多性质和信息。
在Matlab中，我们可以通过“eig”函数来求解矩阵的特征值和特征向量。
案例：假设有一个2x2矩阵A，需要求解其特征值和特征向量。
在Matlab中输入以下代码：A = [2 3; 1 4];[V, D] = eig(A);通过以上代码，我们可以得到矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D。
具体结果如下：特征向量矩阵V = [0.8507 -0.5257; 0.5257 0.8507]特征值矩阵D = [1.5858 0; 0 4.4142]由结果可知，矩阵A的特征向量矩阵V和特征值矩阵D可以提供有关该矩阵的很多信息，如相关线性变换、对称性等。
《数学实验》课程教学大纲
3．线性方程组 的求解
4.随机数的生产和模拟
5．实验实例：循环比赛的名次和按年龄分组的种最优化问题实验
重点：学会一些常用函数的调用格式并学会自己动手编写函数
3. 《高等应用数学问题的MATLAB求解》.薛定宇,陈阳泉著.清华大学出版社,2004
4. 《MATLAB数学实验》.胡良剑,孙晓君编著.高等教育出版社，2006.6
执笔人：邓化宇
审核人：
院（系）负责人：
《数学实验》课程教学大纲
MathematicalExperiment
适用：本科四年制信息与计算科学专业(40学时左右)
一、课程的目的及任务
开设《数学实验》课的目的是在两周的时间里为学生介绍如何使用计算机的语言和方法去处理一些经典的数学问题，并提供一些实例以启发学生自己动手练习。进一步的提高要靠学生的兴趣和努力。
教学要点：
1．一元非线性方程数值求解
2．非线性方程组数值求解
3．方程符号求解
4．一元函数和多元函数无约束优化求解
5．线性规划
6．实验实例：购房贷款的利率和最短路问题
第五章 微分方程问题的计算机求解
重点：学会一些常用函数的调用格式并学会自己动手编写函数
教学要点：
1．常系数微分方程的计算机求解析解
2．微分方程问题的数值解法
二、课程的特点、要求及本课程与其它课程的联系
数学是科学技术人才科学素质的的重要组成部分，随着高科技与与计算技术的发展和普及，数学的重要性日益突出。“高技术本质上是一种数学技术”这一观点已越来越多地为人们所认同。学习计算机使用和开发是启迪学生创新意识和创新思维、锻炼创新能力、培养高层次人才的一条重要途径；也是激发学习欲望、培养主动探索、努力进取学风和团结协作精神的有力措施。
计算机代数系统第4章线性代数
计算机代数系统第4章线性代数第四章线性代数1多项式多项式是代数学中最基本的对象之⼀, 它不但与⾼次⽅程的讨论有关, ⽽且是进⼀步学习代数以及其它数学分⽀的基础.1.1 多项式⽣成及类型测试在Maple 中, 多项式由名称、整数和其他Maple 值, 通过+、-、*和^等组合⽽成. 例如：> p1:=5*x^5+3*x^3+x+168;:= p1 + + + 5x 53x 3x 168这是⼀个整系数单变量多项式. 多元多项式和定义在其他数域上的多项式可以类似构造：> p2:=3*x*y^2*z^3+2*sqrt(-1)*x^2*y*z+2002;:= p2 + + 3x y 2z 32I x 2y z 2002由此可以看出, Maple 中多项式的⽣成与“赋值”命令相似.另外, 还可以通过函数randpoly ⽣成随机多项式, ⽣成⼀个关于vars 的随机多项式的格式如下：randpoly(vars, opts);其中, vars 表⽰变量或者变量列表或集合, opts 为可选项⽅程或者指定属性的名称. 如： > randpoly(x); ＃随机⽣成关于x 的5次(默认)多项式- + - - + + 42x 588x 476x 365x 225x 28> randpoly([x, y], terms=8); ＃随机⽣成关于[x, y]⼆元8项多项式- + + + + + + - 78x y 62x 311x 2y 88x 3y x y 330y 481x 4y 5x 2y 3> randpoly([x, sin(x), cos(x)]);- - + + - + 73()sin x ()cos x 91()sin x ()cos x 2x 3()cos x 5x 4()sin x 86x 2()cos x 343()sin x 4()cos x⽽要随机⽣成关于[x, y , z]的密集的、均匀的、度为2的多项式的命令为： > randpoly([x,y,z],dense,homogeneous,degree=2); - - - - + + 85x 255z x 37y x 35z 2⽤type 命令可以测试多项式的类型：> type(p1, polynom(integer, x)); #测试p1是否是⼀个关于x 的整系数多项式true> type(p2, polynom(complex, {x, y, z})); #测试p2是否是⼀个关于{x, y, z}的复系数多项式true1.2 提取多项式系数coeff 函数⽤来提取⼀元多项式的系数, ⽽多元多项式所有系数的提取⽤命令coeffs, 指定系数的提取⽤命令coftayl.(1) 提取多项式p 中x^n 的系数使⽤命令：coeff(p, x^n);或coeff(p, x, n); (2) 提取多项式p 中变量x 的所有系数并将相应的x 幂存于变量t 中：coeffs(p, x, ’t ’); (3) 返回expr 在x=a 处的Taylor 展式中(x-a)^k 的系数: coeftayl(expr, x=a, k); > p:=2*x^2+3*y^3*x-5*x+68;:= p + - + 2x 23y 3x 5x 68> coeff(p, x);- 3y 35> coeff(x^4-5*x^2-sin(a)*(x+1)^2, x^2);- - 5()sin a> s:=3*x^2*y^2+5*x*y;:= s + 3x 2y 25x y> coeffs(s);,53> coeffs(s, x, 't');,5y 3y2> t;,x x2> coeftayl(exp(x), x=0, 10);13628800> p:=3*(x+1)^3+sin(Pi/3)*x^2*y+x*y^3+x-6;:= p +3x 2y x y 3x 6> coeftayl(p, x=-1, 1);- + 13y y3> coeftayl(p, [x, y]=[0, 0], [1, 0]);10返回默认为降序排列的多元多项式的⾸项和末项系数分别使⽤命令lcoeff 、tcoeff ： > lcoeff(p, x);3> tcoeff(p, x);-31.3 多项式的约数和根1.3.1多项式的最⼤公约因式(gcd)/最⼩公倍因式(lcm)求多项式的最⼤公约因式/最⼩公倍因式的命令与求两个整数最⼤公约数/最⼩公倍数命令⼀样, 都是gcd/lcm. 命令格式分别为：gcd(p1, p2, 't', 's'); lcm(p1, p2, 't', 's');其中, 第3个参数t 赋值为余因⼦p1/gcd(p1, p2), 第4个参数s 赋值为余因⼦p2/gcd(p1, p2).> p1:=x^4+x^3+2*x^2+x+1;:= p1 + + + + x 4x 32x 2x 1> p2:=x^2+x+1;:= p2 + + x 2x 1> gcd(p1, p2, 't', 's');+ + x 2x 1> t, s;, + x 211> lcm(p1, p2);() + x 21()1.3.2多项式的平⽅根(psqrt)和第n 次⽅根(proot)求多项式p 的平⽅根, 若不是完全平⽅, 则返回_NOSQRT ：psqrt(p);求多项式p的n次⽅根, 若不是完全n次⽅, 则返回_NOROOT：proot(p, n);> p:=x^4+4*x^3+6*x^2+4*x+1;x44x36x24x1:=p + + + +> psqrt(p);x22x1+ +> proot(p, 4);+x1> proot(p, 8);_NOROOT1.3.3 多项式相除的余式(rem)/商式(quo)计算p1除以p2的余式, 将商式赋值给q的命令格式为：rem(p1, p2, x, 'q');计算p1除以p2的商式, 将余式赋值给r的命令格式为：quo(p1, p2, x, 'r');余式和商式满⾜：p1=p2*q+r, 其中degree(r, x)> rem(x^5+x^3+x, x+1, x, 'q');-3> q;x4x32x22x3- + - +> quo(x^3+x^2+x+1, x-1, x, 'r');x22x3+ +> r;41.4 多项式转换及整理1.4.1 将多项式转换成Horner形式将多项式poly转换成关于变量var的Horner形式或者嵌套形式的命令格式如下：convert(poly, horner, var); > convert(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1, horner, x);+x1x x x x++1()+1()+> convert(x^3*y^3+x^2*y^2+x*y+1, horner, [x, y]);+y2y3x x xy()++1()1.4.2 将级数转换成多项式形式将级数(series)转换成多项式(polynom)事实上就是忽略函数的级数展开式中的余项,其命令格式为：convert(series, polynom);> s:=series(sin(x), x, 10);:= s - + - + + x 16x 31120x 515040x 71362880x 9()O x 10> type(s, polynom);false> p:=convert(s, polynom);:= p - + - + x 16x 31120x 515040x 71362880x 9> type(p, polynom);true1.4.3 将级数转换成有理多项式(有理函数)将级数series(laurent 级数或Chebyshev 类型级数)转换成有理多项式(有理函数)ratpoly 的命令格式为：convert(series, ratpoly);> series(exp(x^2), x, 15);+ + + + + + + + 1x 212x 416x 6124x 81120x 101720x 1215040x 14()O x 15> convert(%, ratpoly);+ 1120x 6110x 412x 21-+ -+ 1120x 6110x 412x 211.4.4合并多项式系数(合并同类项)将多项式具有相同次幂的项的系数合并在⼀起(包括正的、负的或者分数次幂), 即合并同类项(称为多项式的典范形式), ⽤命令collect:collect(p, x);collect(p, x, form, func); collect(p, x, func);其中x 是表⽰单变量x 或多变量x1, x2, …, xn 的⼀个列表或集合. > collect(a*ln(x)-ln(x)*x-x, ln(x));- () - a x ()ln x x> collect(x*(x+1)+y*(x+1), x);;+ + x 2() + 1y x y> collect(x*(x+1)+y*(x+1), y);++x1y()x1+x()> p := x*y+a*x*y+y*x^2-a*y*x^2+x+a*x:collect( p, [x, y], recursive );()1a y1a x+()-1a y x2()> collect( p, [y, x], recursive );1a x2()+1a x y()+1a x-+()+()> collect( p, {x, y}, distributed );+1a x y()-1a y x21a x()++ +()其中的参数recureive为递归式的，⽽distributed为分布式的。
线性代数在计算机科学中的应用
线性代数在计算机科学中的应用线性代数是数学中的一个重要分支，被广泛应用于计算机科学领域。
在计算机科学中，线性代数被用来描述向量以及它们之间的关系，因此成为了计算机图形学、机器学习、数据科学等领域的基础。
一、计算机图形学中的应用计算机图形学主要涉及图像的生成、处理和展示。
图像可以看作是二维或三维空间中经过采样的数据点，而这些数据点通过向量来描述。
因此，线性代数的概念被广泛应用于计算机图形学中。
例如，计算机图形学中常用的仿射变换就是通过矩阵的乘法来实现的。
利用矩阵乘法的特性，我们可以通过对向量的线性变换来实现平移、旋转、缩放等仿射变换操作。
此外，在计算机图形学中，还需要用到其他的矩阵计算，例如求逆矩阵、矩阵分解、特征值分解等。
二、机器学习中的应用机器学习是一个与数据和统计学密切相关的领域，它涉及数据挖掘和预测分析等任务。
在机器学习中，线性代数的概念起到了重要的作用。
例如，在线性回归中，我们需要对一组输入数据进行预测。
这些输入数据可以看作是向量，而我们需要通过将这些向量与一组权重向量相乘来得到预测结果。
这个过程可以用矩阵乘法来实现，因此我们需要理解向量之间的线性关系和矩阵运算的性质，才能更好地理解机器学习算法。
在支持向量机等机器学习算法中，矩阵的特征值分解也被广泛应用。
特征向量可以提供数据的主成分信息，从而帮助我们发现数据中最显著的特征，进而应用于分类和聚类等任务。
三、数据科学中的应用数据科学是一个与数据处理和分析密切相关的领域，它涉及数据的操作、可视化和分析等任务。
在数据科学中，线性代数的概念起到了重要的作用。
例如，在数据处理过程中，我们可能需要将数据转换为另一种形式，比如将多维数据降维为二维数据。
这个过程可以通过特征值分解来实现。
在数据分析中，我们也需要对矩阵进行操作，例如求解矩阵的行列式、求解矩阵的逆矩阵等。
除此之外，在大数据环境下，矩阵的分解和矩阵的乘法也被广泛应用。
例如，矩阵分解可以用于推荐系统中的用户-项目矩阵分解。
浙江大学数学建模第四章基于线性代数与差分方程方法的模型
2.移位密码体制
移位密码采用移位法进行加密，明文中的字母重新排列，本 身不变，只是位置改变了。 另一种移位 法采用将字母表中的字母平移若干位的方法来构造 早在4000多年前，古希腊人就用一种名 叫“天书”的器械 密文字母表，传说这类方法是由古罗马皇帝凯撒最早使用的， 来加密消息。该密码器械是用一条窄长的草纸缠绕在一个 故这种密文字母表被称为凯撒字母表。例如，如用将字母表向 直径确定的圆筒上，明文逐行横写在纸带上，当取下纸带 右平移3位的方法来构造密文字母表，可 得： 时，字母的次序就被打乱了，消息得以隐蔽。收方阅读消 明文字母表： ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 息时，要将纸带重新绕在直径与原来相同的圆筒上，才能 密文字母表： DEFGHIJKLMNOPQRTSUVWXYZABC 看到正确的消息。在这里圆筒的直径起到了密钥的作用。 “WKDQN BRX” 因此 “THANK YOU” 以上两种移位较易被人破译，为打破字母表中原有的顺序还可 采用所谓路线加密法，即把明文字母表按某种既定的顺序安排 在一个矩阵中，然后用另一种顺序选出矩阵中的字母来产生密 文表。
§4.2 密码的设计，解码与破译
密码的设计和使用至少可从追溯到四千多年前的埃及 ,巴 比伦、罗马和希腊，历史极为久远 。古代隐藏信息的方法 主要有两大类： 其一为隐藏信息载体，采用隐写术 等； 其二为变换信息载体，使之无法为一般人所理解 。
《现代控制理论》第三版课件_第1-2章
a1n (t ) a2 n (t ) ann (t ) b1r (t ) b2 r (t ) bnr (t )
系统矩阵
控制矩阵
c11 (t ) c12 (t ) c (t ) c (t ) 22 21 C (t ) = c (t ) c (t ) m1 m2
输出向量
a11 (t ) a12 (t ) a (t ) a (t ) 22 A(t ) = 21 a (t ) a (t ) n1 n2 b11 (t ) b12 (t ) b (t ) b (t ) 22 B (t ) = 21 b (t ) b (t ) n1 n2
3、分形系统仿真 Mandelbrot图
第一章 绪论
1.1 几个基本概念
控制系统（control system）：为了达到预期的 目标而设计出来的系统，它由相互关联的部件组 合而成。 自动控制 (automatic control)：指在无人直接参 与的情况下，通过一定的控制手段，使被控对象 自动地按照预定的规律进行。 状态空间 (state space)
用状态变量描述系统运动的方程式称为 状态方程。
x = A(t ) x(t ) + B(t )u (t ) y = C (t ) x(t ) + D(t )u (t )
x1 (t ) x (t ) x(t ) = 2 状态向量 x (t ) n y1 (t ) y (t ) y= 2 y (t ) m u1 (t ) u (t ) u (t ) = 2 控制向量 u (t ) r
现代控制理论
Modern Control Theory
理解线性代数与计算机算法的关系
理解线性代数与计算机算法的关系线性代数是数学的一个重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质。
而计算机算法则是计算机科学的核心内容，它是解决问题的一系列有序步骤的描述。
虽然线性代数和计算机算法看似是两个完全不同的领域，但实际上它们之间存在着紧密的联系。
本文将探讨线性代数与计算机算法之间的关系，以及它们在实际应用中的作用。
首先，线性代数为计算机算法提供了重要的数学工具。
在计算机科学中，许多问题可以用向量和矩阵的形式来描述。
例如，图像处理中的图像可以看作是一个二维矩阵，而文本处理中的词向量可以看作是一个多维向量。
线性代数中的向量和矩阵运算可以帮助我们对这些数据进行处理和分析。
通过矩阵乘法、向量加法等运算，我们可以实现图像的旋转、缩放等变换，也可以实现文本的相似度计算等操作。
因此，掌握线性代数的知识可以帮助我们更好地理解和应用计算机算法。
其次，线性代数提供了计算机算法设计的重要思想。
线性代数中的许多概念和定理可以用于设计和分析计算机算法。
例如，线性代数中的线性方程组可以通过高斯消元法来求解，这一方法在计算机科学中被广泛应用于解决线性方程组和矩阵求逆等问题。
此外，线性代数中的特征值和特征向量也在计算机科学中发挥了重要作用。
通过计算矩阵的特征值和特征向量，我们可以实现图像压缩、聚类分析等算法。
因此，理解线性代数的思想和方法可以帮助我们更好地设计和分析计算机算法。
再次，线性代数与计算机算法的结合在实际应用中具有广泛的应用。
线性代数的概念和方法被广泛应用于计算机图形学、机器学习、信号处理等领域。
在计算机图形学中，我们可以利用线性代数的知识来实现三维模型的变换和渲染。
在机器学习中，线性代数的方法可以帮助我们理解和实现线性回归、主成分分析等算法。
在信号处理中，线性代数的技术可以帮助我们对音频、图像等信号进行处理和分析。
因此，掌握线性代数的知识可以帮助我们更好地应用计算机算法解决实际问题。
总之，线性代数与计算机算法之间存在着密切的联系。
计算机 计算中 线性代数精度
线性代数机算中的速度和精度问题在用笔算时，通常都用整数矩阵来演示和做题，几乎不涉及误差，也就没有精度问题。
至于矩阵计算速度的低下，即使在二、三阶的低价矩阵中，就已暴露无遗，但那从来不是纯粹进行理论探讨的数学家所关心的内容，甚至很怕读者触及这个敏感问题，这是用笔算解矩阵方程的根本弱点。
承认这个弱点必然导致计算机的引入和课程的改造。
线性代数进入应用领域，特别是使用计算机后，速度和精度两个现实问题就不可避免地摆在我们面前。
此外，还有一个计算稳定性（或可靠性）的问题。
一． 精度问题1．双精度浮点数的表示方法及其精度要理解科学计算中的精度问题，必须首先建立一个概念：计算机对数的表述和运算都是有误差的。
对于MATLAB 而言，它用二进制双精度浮点格式来表达一个数。
按照IEEE 标准，表达一个数需要8个字节，也就是64个二进制位。
双精度浮点数η用下式表示E S M 2)1(⋅⋅-=η其中M 是一个小于一大于1/2的二进制分数，称为尾数，占用52个二进制位表示；12/1<<M而指数E 是一个带符号的二进制整数。
占11个二进制位，总共可表示2048个整数，即可以表示从-1023到+1024的数集，它决定了数的动态范围。
数的正负号反映在S 上，它只占一位。
总计1+52+11=64位。
浮点数的量化步长可以代表它的相对精度。
它是由M 的位数决定的。
52位二进制数的量化步长是2 –52=2.2204×10 –16。
该数的动态范围则取决于指数部分。
因为2 –1023≈10 –307及2 +1024≈10+308。
所以MATLAB 中数的动态范围为2.2251×10 -308～1.7977×10+308。
在MA TLAB 命令窗中，键入eps, realmin, realmax ，系统就会给出上面的几个数。
在做浮点运算时，除非出现大数相减，相对误差可以基本不变。
由于多次运算造成误差的积累，MA TLAB 中的大部分运算结果的误差比eps 要大一些。
如何利用线性代数解决图像处理和计算机视觉问题
如何利用线性代数解决图像处理和计算机视觉问题线性代数是一门数学学科，它研究向量空间和线性映射的性质。
在图像处理和计算机视觉领域，线性代数被广泛应用于解决各种问题。
本文将探讨如何利用线性代数解决图像处理和计算机视觉问题。
一、图像处理中的线性代数应用图像处理是对图像进行数字化处理的过程，其中涉及到图像的表示、变换、增强等操作。
线性代数在图像处理中有着重要的作用。
1. 图像的表示图像通常用矩阵表示，其中每个元素代表图像的像素值。
通过线性代数的矩阵运算，可以对图像进行各种操作，如图像的缩放、旋转、平移等。
2. 图像的滤波滤波是图像处理中常用的操作，可以用来去除图像中的噪声或增强感兴趣的特征。
滤波操作可以通过矩阵乘法实现，其中滤波器通常表示为一个矩阵。
通过将滤波器与图像的像素矩阵进行卷积运算，可以得到滤波后的图像。
3. 图像的压缩图像压缩是将图像数据表示为更紧凑的形式，以减少存储空间或传输带宽。
线性代数中的奇异值分解（SVD）可以用于图像的压缩。
通过对图像矩阵进行奇异值分解，可以得到图像的主要特征向量和奇异值，从而实现图像的压缩。
二、计算机视觉中的线性代数应用计算机视觉是研究如何使计算机能够“看”的一门学科，它涉及到图像和视频的理解、分析和识别。
线性代数在计算机视觉中也有广泛的应用。
1. 特征提取计算机视觉中经常需要从图像中提取特征，以便进行图像的分类、目标检测等任务。
线性代数中的特征值和特征向量可以用于图像的特征提取。
通过计算图像矩阵的特征值和特征向量，可以得到描述图像特征的向量。
2. 目标识别目标识别是计算机视觉中的一个重要任务，它涉及到从图像中识别出特定的目标。
线性代数中的矩阵运算可以用于目标识别中的模式匹配。
通过计算图像矩阵与目标模板矩阵的相似度，可以判断图像中是否存在目标。
3. 三维重建三维重建是计算机视觉中的一个重要任务，它涉及到从多个图像中恢复出场景的三维结构。
线性代数中的矩阵运算可以用于三维重建中的相机标定和三角测量。
计算机方法线性方程组的解法
高斯-塞德尔迭代格式
k k x1k 1 0.1x 2 0.2 x 3 0.72 k 1 k 1 k x 0 . 1 x 0 . 2 x 0.83 2 1 3 k 1 k 1 k 1 x 0 . 2 x 0 . 2 x 0.84 1 2 3
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 求解线性方程组 Ax b 的求解方法，其中
A R nn
， x, b R n 。
* x* ( x1* , x2 , * T , xn )
… … …
…
( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) xn 1 ( a n1 x1 an 2 x2 an 3 x3 a nn 1 x n 1 bn ) a nn
写成矩阵形式： x( k 1) D1 ( Lx( k 1) Ux( k ) ) D1b
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
x1 0.1 x2 0.2 x3 0.72 x2 0.1 x1 0.2 x3 0.83 x 0.2 x 0.2 x 0.84 1 2 3
据此建立迭代公式：
(k ) (k ) x1(k +1) =0.1x2 +0.2x3 +0.72 (k +1) (k ) (k ) x2 =0.1x1 +0.2x3 +0.83 (k +1) (k ) (k ) x =0.2 x +0.2 x 1 2 +0.84 3
线性代数理论及其在计算机图形学中的应用
线性代数理论及其在计算机图形学中的应用一、线性代数理论基础线性代数是解决向量、矩阵和线性方程组等问题的数学学科。
在计算机图形学中，线性代数被广泛用于建模、动画、计算机视觉和图像处理等领域。
线性代数中的一些基本概念如下：1. 向量：向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用一个有序数组表示，例如[x, y, z]。
向量可以进行加法、减法和数乘操作，并且可以计算向量的模长、点积、叉积等。
2. 矩阵：矩阵是一个由数或符号排成的矩阵，其中每个数称为元素。
矩阵可以用于表示线性变换，例如旋转、缩放和平移。
矩阵可以进行加法、减法和数乘操作，并且可以使用行列式、逆矩阵等计算方法。
3. 线性方程组：线性方程组是一组由线性方程构成的方程组，其中未知数的次数均为1。
线性方程组可以使用矩阵和向量表示，并使用高斯消元法、LU分解等方法求解。
二、计算机图形学中的应用线性代数被广泛应用于计算机图形学中，以下是一些常见的应用：1. 坐标系统：计算机图形学中的坐标系统通常使用三维笛卡尔坐标系。
向量和矩阵可以用于描述点、方向和位移之间的关系。
例如，一个点在坐标系中的位置可以表示为一个三维向量。
2. 变换：变换是计算机图形学中的常见操作，例如旋转、缩放和平移。
变换可以使用矩阵表示，并进行矩阵乘法计算。
例如，将一个点绕某个轴旋转可以使用旋转矩阵计算。
3. 投影：投影是将三维场景映射到二维屏幕上的过程。
投影矩阵可以使用矩阵表示，并使用透视投影或正交投影方法实现。
4. 图像处理：图像可以看作是由像素值组成的矩阵。
线性代数可以用于图像的平滑、增强、缩放、旋转等操作。
例如，使用卷积核对图像进行滤波操作可以看作是使用矩阵乘法进行计算。
三、结论线性代数是计算机图形学和计算机视觉领域中的重要学科。
它被广泛应用于建模、变换、投影和图像处理等方面。
本文介绍了线性代数中的一些基本概念和计算机图形学中的应用。
深入学习线性代数理论可以帮助我们更好地理解和应用计算机图形学中的相关算法和技术。
线性代数问题的计算机求解
（3）矩阵的秩 求取矩阵A的秩： r=rank（A） 用默认的精度求数值秩 r=rank（A，usilon）给定精度求数值秩 （4）矩阵范数 函数调用格式： N=norm（A） N=norm（A，选项）选项可以为1，2等
（特征多项式
Matlab提供了求取矩阵多项式系数的函数 poly（），该函数调用格式为： C=poly（A） 返回的C为一个向量，其各个分量为矩阵A 的降幂排列的特征多项式系数。 注：如果A为符号矩阵，该函数仍然适用，但得 出的不是系数向量，而是多项式的数学表达式本 身。 例：A=sym(A); poly(A)
Fourier逆变换：
f=ifourier（Fun） 采用默认变量进行反变换 f=ifourier（Fun，u，v）将u的函数换成v的函数
Fourier正弦变换和余弦变换 F=maple(‘fouriersin’,f, t,w) 求正弦变换 F=maple(‘fouriercos’,f, t,w) 求余弦变换 f=maple(‘invfouriersin’,F, w,t) 求反正弦变换 f=maple(‘invfouriersin’,F, w,t) 求反余弦变换
矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是 将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三 角矩阵U的乘积。Matlab中给出了基于主元素的
的矩阵LU分解函数lu（），该函数调用格式为： [L, U]=lu(A) lu分解，A=LU [L, U，P]=lu(A) P为置换阵 A=P^LU (2) 对称矩阵的三角分解—Cholesky分解 如果A为对称阵，利用对称矩阵的特点则可以用 LU分解的方法对之进行分解，这样可以将原来矩阵 T A分解成A= D D Matlab提供了chol（）函数来求取矩阵的 Cholesky分解矩阵D，其结果为一个下三角矩阵， 调用格式为： D=chol（A）
线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法关键词：线性代数方程组；高斯消元法；列主元消元法；三角分解法；杜立特尔分解法；迭代法；雅可比迭代法；高斯-赛德尔迭代法1引言目前，解线性代数方程组在计算机上常用的的方法大致把它分为两类：“直接法”与“迭代法”.在线性代数中曾指出阶线性代数方程组有唯一的解，并且可以用克拉默法则求方程组的解，初次看来问题已经解决，但从使用效果看并不是这样的.因为求阶线性代数方程组，如果用克拉默法则，需要计算个阶行列式，每个阶行列式为项之和，每项又是个元素的乘积，所以计算中仅乘法次数就高达次，当较大时，它的计算量是非常惊人的.因为现在所碰到的很多问题都需要很大的计算量，故需要好用的算法来求解.先来回顾一下回代过程和迭代过程.(1)是一个三角形方程组，当有唯一解时，可以用反推的方式求解，也就是先从第个方程解得， (2)然后代入第个方程，可得到， (3)如此继续下去，假设已得到，， , ,代进第个方程即得的计算， (4)上述求解的过程叫做回代过程.定义1[1] (向量的范数) 若向量的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对，总是有.那么上向量的范数（或模）就是 .下面给几个最常遇到的向量范数.向量的“1”范数：(5)向量的“2”范数：(6)向量的范数：(7)例1设求 , , .解由式（5）,（6）及（7）知.定义2若矩阵的某个实值函数满足1.是非负的，即且的充要条件是 ;2.是齐次的，即 ;3.三角不等式，即对总有;1.矩阵的乘法不等式，即对总有，那么称为上矩阵的范数（或模）.表 1是矩阵几个常用算子范数的定义与算式.表 1范数名称记号定义计算公式“1”范数（又名列模）“2”范数（又名谱模）“”范数（又名行模）的极限就是方程组的解向量，这时候在给定允许的误差内，只要适当的大,就可以作为方程组在满足精度要求条件下的近似解.这种求近似解的方法就是解线性方程组的一类基本的迭代解法，其中称为迭代矩阵，公式（9）称迭代公式（或迭代过程）,由迭代公式得到的序列叫做迭代序列.如果迭代的序列是收敛的，则称为迭代法收敛；如果迭代的序列是不收敛，则称它是迭代法发散.定理3设 .如果约化主元素，则可以利用高斯消元的方法把方程组约化成三角形方程组来求解，其计算公式如下：（1）消元计算：对依次计算（2）回代计算：3用高斯消元法与列主元消元法解线性代数方程组（重点）！3.1 高斯消元法解方程组用高斯消元的方法求线性代数方程组的解的整个计算过程可分为两个环节，也就是利用按照次序消去未知数的方法，把原来的方程组转化成跟它同解的三角形方程组（这个转化的过程叫消元过程），再通过回代过程求三角形方程组的解，最终得到原来方程组的解.其中按照方程的顺进行消元的高斯消元法，又叫顺序消元法.3.2列主元消元法解方程组列主元消元法实际上是一种行交换的消元法，它跟顺序消元法比较而言，主要特点是在进行第次消元前，不管的值是否等于零，都在子块的第一列中选择一个元，使，并将中的第行元与第行元互相变换（相当于交换同解方程组中的第个方程），然后再进行消元计算得到结果.注：列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法[1]，但它计算简单，相对比全主元素法它的工作的量大大减少，并且从计算经验和理论分析都可以表明，它与全主元素法同样拥有很好的值稳定性，列主元素法是求解中小型浓密型方程组的最好的方法之一.4用三角分解法解线性代数方程组4.1 矩阵的三角分解定义4把一个阶矩阵分解成两个三角矩阵相乘的形式称为矩阵的三角分解.常见的矩阵三角分解是其中是下三角形的矩阵,是上三角形的矩阵.定理5[1]（矩阵三角分解基本定理）设 .若的顺序主子式，那么存在唯一的杜利特尔分解其中是单位下三角形矩阵，为非奇异的上三角形矩阵.如果是单位下三角形的矩阵，是上三角形的矩阵，那么把这种分解法称为杜利特尔分解法，其中杜利特尔分解法是这种三角分解的一种特例，下面主要介绍利用杜利特尔分解法来求方程组的解.4.2 用杜利特尔分解法解线性代数方程组用杜利特尔分解法解方程组的步骤可以把它归纳为（1）实现分解，也就是1.按算式（11）（12）依次计算的第一行元与的第一列元；1.对按算式（13）（14）依次计算的第行元与的第列元.（2）求解三角形方程组，即按算式依次计算 .（3）求解三角形方程组，即按算式依次计算.利用杜利特尔分解法解方程组与高斯消元法是相似的，它重要的优点是：在利用分解，解有相同的系数矩阵的方程组时,用杜利特尔分解法非常方便，只用两个式子就可以得到方程组的解.5用迭代法解线性代数方程组用迭代法求方程组的解，需要考虑迭代过程的收敛性，在下面的讨论中，都假设方程组的系数矩阵的对角阵是不为零的.5.1 用雅可比迭代法解方程组对于一般线性方程组，如果从第个方程解出，就可以把它转化成等价的方程组. （15）从而可以得到对应的迭代公式（16）这就是解一般方程组的分量形式的雅可比(Jacobi)迭代公式.如果把它改成（17）并把系数矩阵表示成（18）其中则可以看出式的左右两端分别是向量和的第个分量，故因为可逆，所以于是就可以得到是雅可比迭代的公式.其中（称为雅可比迭代矩阵）， .5.2 用高斯-赛德尔迭代法解方程组高斯-赛德尔迭代法也是常用的迭代法，设线性代数方程组为，则高斯-赛德尔迭代法的迭代公式为（19）其中迭代法（19）就称为高斯-赛德尔迭代法.通过雅可比迭代法类似的途径，就可以得到矩阵的表达式其中（称为高斯-赛德尔迭代矩阵）， .高斯-赛德尔迭代法与雅可比迭代法都有算式简单、容易在计算机上实现等优点，但是用计算机来计算时，雅可比迭代法需要两组工作单元用来寄存与的量，而高斯赛-德尔迭代法只需一组工作单元存放或的分量.对于给定的线性方程组，用这两种方法求解可能都收敛或者都不收敛，也可能一个收敛另一个不收敛，两种方法的收敛速度也不一样.5.3 迭代法的收敛条件与误差分析定义6[1]矩阵全部的特征值的模的最大值，叫做矩阵的谱半径，记作 ,即.定理7[1]对任意初始向量迭代过程收敛的充要条件是；当时，越小，那么其收敛的速度是越快的.由定理7可知，用雅可比迭代法求解时，其迭代的过程是收敛的，而用高斯-赛德尔迭代法来求解,其迭代的过程是发散的.在不同条件下，收敛的速度是不同的，对同一矩阵，一种方法是收敛的，一种方法发散.第 7 页。
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6
4.1.1.3 对角元素矩阵
2021年3月3日7时14分
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【例4-2】
2021年3月3日7时14分
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生成三对角矩阵:
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4.1.1.4 Hankel 矩阵
2021年3月3日7时14分
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第4 章 线性代数问题的计算机求解
现代设计与分析研究所 王雷
2021年3月3日7时14分
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1
主要内容
4.1特殊矩阵的输入 4.2矩阵基本分析 4.3矩阵方程的计算机求解 本章要点简介
2021年3月3日7时14分
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2
4.1 特殊矩阵的输入
数值矩阵的输入 符号矩阵的输入
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
16
【例4-6】用数值法和解析法求下式
63
S= 2i 1 2 4 8 262 263 i0
i=1:63; s=sum(2.^i) S=vpa(sum(sym(2.^i)),20)
2021年3月3日7时14分
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17
4.2 矩阵基本分析
2021年3月3日7时14分
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38
【例4-16】
2021年3月3日7时14分
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39
4.2.3 矩阵的特征值问题
4.2.3.1 一般矩阵的特征值与特征向量
2021年3月3日7时14分
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40
【例4-17】
>>norm(A*v-v*d)
2021年3月3日7时14分
2021年3月3日7时14分
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21
4.2.1.3 矩阵的秩
2021年3月3日7时14分
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22
【例4-9】
2021年3月3日7时14分
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23
【例4-10】
2021年3月3日7时14分
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24
4.2.1.4 矩阵范数
2021年3பைடு நூலகம்3日7时14分
矩阵基本概念与性质 逆矩阵 矩阵的特征值问题
2021年3月3日7时14分
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18
4.2.1 矩阵基本概念与性质
4.2.1.1 行列式
2021年3月3日7时14分
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19
【例4-7】
2021年3月3日7时14分
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20
4.2.1.2 矩阵的迹
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2021年3月3日7时14分
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46
非齐次方程组的解为：
x xˆ x0
求该方程的一个特解：
x0 pinv( A) * B
2021年3月3日7时14分
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47
【例4-19】
2021年3月3日7时14分
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48
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
41
4.3 线性方程组的计算机求解
线性代数方程：
2021年3月3日7时14分
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42
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
43
【例4-18】
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
44
对应齐次方程组的解为：
2021年3月3日7时14分
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2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
54
函数名 rank() norm() poly() Inv() pinv() eig() null
函数功能 求矩阵的秩，支持符号运算 求矩阵的各种范数，不支持符号运算 求矩阵的特征多项式 矩阵求逆，支持符号运算 求矩阵的广义逆 求取矩阵的特征值、特性向量 矩阵的化零或基础解系计算，支持符号运算
10
【例4-3】
2021年3月3日7时14分
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11
4.1.1.5 Hilbert矩阵
2021年3月3日7时14分
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12
4.1.1.6 Vandermonde 矩阵
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
13
【例4-4】
2021年3月3日7时14分
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
3
4.1.1 数值矩阵的输入
4.1.1.1 零矩阵、幺矩阵及单位矩阵
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
4
【例4-1】
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
5
4.1.1.2 随机元素矩阵
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
29
【例4-12】
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
30
【例4-13】
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
31
4.2.2 逆矩阵与广义逆矩阵
4.2.2.1 矩阵的逆矩阵
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
32
【例4-14】
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
33
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
34
2021年3月3日7时14分
MATLAB语言与应用
35
【例4-15】
2021年3月3日7时14分
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36
4.2.2.2 矩阵的广义逆
2021年3月3日7时14分
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矩阵M为矩阵A的广义逆矩阵的条件：
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14
4.1.1.7 魔方矩阵
A=magic(m)
矩阵A中任意行或任意列中元素之和， 以及两条对角线上的元素之和都相等。
A=magic(4) sum(A), sum(A’), sum(diag(A))
2021年3月3日7时14分
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4.1.2 符号矩阵的输入
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2021年3月3日7时14分
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若rank（A）< rank（C）：
2021年3月3日7时14分
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【例4-20】
2021年3月3日7时14分
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本章要点简介
函数一览表
2021年3月3日7时14分
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矩阵的范数定义：
2021年3月3日7时14分
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2021年3月3日7时14分
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【例4-11】
2021年3月3日7时14分
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4.2.1.5 特征多项式
2021年3月3日7时14分
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