人教新课标版数学高一-数学(人教A)必修1教案 用二分法求方程的近似解

3.1.2用二分法求方程的近似解（教学设计）

教学目标：

知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．

过程与方法：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．

情感、态度、价值观：体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．

教学重点：

重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．

一、复习回顾，新课引入：

高次多项式方程公式解的探索史料

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数)(x f y =的零点（即0)(=x f 的根），对于)(x f 为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．

在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，但对于高于4次的函数，类似的努力却一直没有成功，到了十九世纪，根据阿贝尔（Abel ）和伽罗瓦（Galois ）的研究，人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，亦即，不存在用四则运算及根号表示的一般的公式解．同时，即使对于3次和4次的代数方程，其公式解的表示也相当复杂，一般来讲并不适宜作具体计算．因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题．

二、师生互动，新课讲解：

1、二分法：

上节（P88例1）课我们已经知道，函数62ln )(-+=x x x f 在区间（2，3）内有零点，问题是：如何找出这个零点呢？如果能够把零点所在的区间范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值．下面介绍一种求近似解的方法．

我们知道，函数)(x f 的图象与直角坐标系中x 轴交点的横坐标就是方程0)(=x f 的解，利用上节课学过的函数零点存在的条件，我们用逐步逼近的方法，来求方程的近似解．

（1）在区间（2，3）内，方程有解，取区间（2，3）中点2.5；

（2）用计算器计算084.0)5.2(-≈f ，因为0)3()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)3,5.2(内；

（3）再取区间)3,5.2(中点2.75，用计算器计算512.0)75.2(≈f ，因为0)75.2()5.2(<⋅f f ，所以零点在区间)75.2,5.2(内．

（4）重复上面的过程，在有限次重复相同步骤后，零点所在区间长度在一定精度控制范围内，零点所在区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零点的近似值．

本例中，把取中点和判断零点的过程，用表格列出（课本第89页表3-2）．

当精确度为0.01时，由于0078125.053125.25390625.2=-01.0<，所以，我们可将

53125.2=x 作为函数62ln )(-+=x x x f 零点的近似值，也即方程062ln =-+x x 根的近似值．

对于在区间],[b a 上连续不断且0)()(<⋅b f a f 的函数)(x f y =，通过不断地把函数)(x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection ）．

给定精确度ε，用二分法求函数)(x f 零点近似值的步骤如下：

1）确定区间],[b a ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε；

2）求区间),(b a 的中点c ；

3）计算)(c f ；

4）判断：（1）若0)(=c f ，则c 就是函数的零点；（2）若0)()(<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点),(0c a x ∈）；（3）若0)()(<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点),(0b c x ∈）．

5）判断：区间长度是否达到精确度ε？即若ε<-b a ，则得到零点近似值；否则重复2——5． 说明：由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．由于都是重复性的工作，所以可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算．

例1（课本P90例2）借助计算器或计算机用二分法求方程732=+x x

的近似解（精确到1.0）．

小结：

1） 结论：图象在闭区间a [，]b 上连续的单调函数)(x f ，在a (，)b 上至多有一个零点．

2） 函数零点的性质

从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数；

从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；

若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相切，则零点0x 通常称为不变号零点；

若函数)(x f 的图象在0x x =处与x 轴相交，则零点0x 通常称为变号零点．

3） 用二分法求函数的变号零点

二分法的条件)(a f ·)(b f 0<表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．

变式训练1：求方程x 2＝2x ＋1的一个近似解(精确度0.1)．

解 设f (x )＝x 2－2x －1.

∵f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，

∴在区间(2,3)内，方程x 2－2x －1＝0有一解，记为x 0.

取2与3的平均数2.5，∵f (2.5)＝0.25>0，

∴2

再取2与2.5的平均数2.25，

∵f (2.25)＝－0.437 5<0，∴2.25

再取2.25与2.5的平均数为2.375，

f (2.375)＝－0.109 4<0，

∴2.375

f (2.437 5)＝0.066 4>0.

∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，

∴方程x 2＝2x ＋1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.437 5.

点评 对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求之．

例2：已知函数()f x 在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，判断下列结论，正确的是 ① 若()()0f a f b ⋅<，则函数()f x 在(,)a b 内有且只有一个零点

② 若()()0f a f b ⋅>，则函数()f x 在(,)a b 内无零点

③ 若()f x 在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<