基本不等式最值问题难题巧解
用基本不等式巧解物理最值问题
：８
．ｃ ｓ ．ｓｎ ０ ｏ０ ｉ２
此式也适合用基本不等式 ：
≤（ ＋ｂ＋ｃ ／ ａ ）３
其中 ， ｉ、 ｒ Ｇ、 ｍ 均为恒量 ， ｎ 令 Ｙ ｉ ０・ ｏ０ 且两边平 方 ， 同除 以 ４ 最后再 开 ＝ｓ ２ ｃｓ ， ｎ 再 ，
＝
（ Ｋ ｓ ０・ ０ ） ｒ ８ ｑｉ Ｃ８０ ／￣ ｎ
图 ２
其 中 ， ｑ ｒ 为恒量 以 、均
如 图 ２所示 ． 则有
Ｇｎ ｃ ｌ ｍ Ｆ ＝２ＦＡ ．ｃ ｓ ｃ ０ 。＝２ ．ｃ ｓ ０。
３
令 ＝ｎ‘ｓ，例ｌ 理 得（ ＝ ｙ ｓ ｃｏ ｉ 。 与 同可： ｏ ２ ）
②
联立①②得： Ｂ ｇ （ｉ ５ ｓ ）ｉ ２ Ｖ＝ Ｌ ｓ４ 一ｉ０ｓ ｎ ｎ ｎ０
＝
／ｓ （ ｓ ４ ２ ｉ ０ ｓ ｅ・ ｉｅ Ｌ ２ｉ ５－ ｓ ）ｉ ｓ ｎ ｎ ｎ ｎ
其 中 ．、 、ｉ ５ 均为恒量 ， ｇＬ ｓ ４ 。 ｎ
幽 ４
设 ａ＝ ｓ ４ 。 ｓ ， ＝ｓ 。 ＝ｓ ， ２ｉ ５ 一２ｉ ０ ｂ ｉ ０ ｃ ｉ ０ ｎ ｎ ｎ ｎ
２４ － ／ ｚ ｇ
－ － ＾
这时 ｃｓ ＝ ｉ ０ 。２ 丁 ２ ０ ｓ ｎ
，
Ｏ ｎ ＝ Ｐａ ０ ｔ
． ５￣ ｅ＝ ５
Ｃ
例 ２两等量 同号点电荷 ｑ相距为 ｒ求两点 电荷连线的 ，
Ｂ
Ａ
ｏ
垂直平分线上场 强最大 的点 的位置？
Ｅ
，
，
，
图 １
、
：
≮
一
Ｌ Ｏ
解： 设该点 Ｐ与两质点 Ａ、 Ｂ距离均为 Ｌ 即 Ａ （ Ｐ＝Ｌ ） Ｐ处的作用力为 Ｆ ／ Ｐ ０ ， ＿Ａ Ｏ＝
基本不等式求最值的解题技巧
跟踪训练：
求函数 y 2x 1 5 2x 1 x 5 的最大值.
2
2
的最大值为（
）
3
A．
2
8
B． 9 6 2
C． 9 6 2
例 10：已知正数 a ， b 满足 a b 2ab ，则 2a 6b 的最小值（
3
D．
2
4
）
A．6
B． 4 3
C．10
D． 4 2 3
例
11：已知
x
> 1,
y
>
0
，且
1 x 1
2 y
1 ，则
x
2y
1 的最小值为（
）
A．9
B．10
跟踪训练：
1. 已知正数 a ， b 满足 a b 2 ，当 a ______时， a 2 取到最大值为______． b
2.已知 x 0,
y
0
，若
x
(
y
1)
2
，则
x
-
1 y
的最大值为_______．
2.放缩消元 例 14：已知 x 0, y 0 ，且 2x 9 y 6xy 9 ，则 2x 9 y 的最小值为___________．
4.（多选）已知
x
0
，
y
0
，且
2x
y
1，则
x 1 xy
可能取的值有（
）
A．9
B．10
C．11
D．12
技巧六：消元法
1.等量关系消元
例 12：若正数 x, y 满足 x2 3xy 1 0 ，则 x y 的最小值是___________.
例 13：已知实数 x, y 满足 x2 xy 1，则 y2 2xy 的最小值为___________.
基本不等式求最值的题型及解题策略
ʏ喻 芳利用不等式求最值的实质是a b ɤa +b2ɤa 2+b 22(a ,b >0),a b ɤa +b 22ɤa 2+b22(a ,b ɪR )的灵活应用㊂题型一:简单的和或积为定值求最值例1 (1)已知x ,y ,z 都是正实数,若x y z =1,则(x +y )(y +z )(z +x )的最小值为( )㊂A.2 B .4C .6D .8(2)已知0<x <1,则函数f (x )=x 3(1-x 3)的最大值为㊂(1)由x >0,y >0,z >0,可知x +y ȡ2x y >0(当且仅当x =y 时等号成立),y +z ȡ2y z >0(当且仅当y =z 时等号成立),x +z ȡ2x z >0(当且仅当x =z 时等号成立)㊂以上三个不等式两边同时相乘得(x +y )(y +z )(z +x )ȡ8x 2y 2z 2=8(当且仅当x =y =z =1时等号成立)㊂应选D ㊂(2)由基本不等式得f (x )=x 3(1-x 3)ɤx 3+1-x322=14,当且仅当x 3=1-x 3,即x =312时等号成立㊂故所求的最大值为14㊂感悟:基本不等式a 2+b 2ȡ2a b (a ,b ɪR ),a +b ȡ2a b (a ,b ɪR +),当一端为定值时,另一端就可取到最值,且要注意两个不等式适应的范围和取等号的条件㊂题型二:配凑法构造和或积为定值求最值例2 (1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值㊂(2)若x ȡ72,则f (x )=x 2-6x +10x -3有( )㊂A .最大值52B .最小值52C .最大值2D .最小值2(1)由x <54,可得5-4x >0,所以y =4x -2+14x -5=4x -5+14x -5+3=-5-4x +15-4x+3ɤ-2(5-4x )ˑ15-4x+3=1,当且仅当5-4x =15-4x ,即x =1时等号成立,所以y 的最大值为1㊂(2)由x ȡ72,可得x -3>0,所以f (x )=x 2-6x +10x -3=(x -3)2+1x -3=(x -3)+1x -3ȡ2(x -3)ˑ1x -3=2,当且仅当x -3=1x -3,即x =4时等号成立,所以f (x )有最小值2㊂应选D ㊂感悟:形如y =a x 2+b x +ck x +m的分式函数求最值,可化为y =m g (x )+Ag (x)+B (A >0,B >0),这里g (x )恒正或恒负,然后运用基本不等式求最值㊂题型三:常数代换法求最值例3 已知p ,q 为正实数,且p +q =3,81 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.则1p +2+1q +1的最小值为( )㊂A.23B .53C .74D .95由p ,q 为正实数,p +q =3,可知p +2+q +1=6㊂所以1p +2+1q +1=1p +2+1q +1 ㊃p +26+q +16 =13+16p +2q +1+q +1p +2 ȡ13+16ˑ2p +2q +1㊃q +1p +2=23,当且仅当p +2=q +1,即p =1,q =2时 = 成立㊂应选A ㊂感悟:常数代换法适用于求解条件最值问题㊂题型四:消元法求最值例4 若正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则当x yz 取最大值时,1x +12y -1z 的最大值为㊂正实数x ,y ,z 满足x 2+4y 2=z +3x y ,则z =x 2-3x y+4y 2,所以x y z =x yx 2-3x y +4y2=1x y +4y x -3ɤ12x y ㊃4y x -3=1,当且仅当x =2y 时等号成立,所以x yzm a x=1,此时x =2y ,所以z =x 2-3x y +4y 2=2y 2㊂所以1x +12y -1z =12y +12y -12y 2=-121y -12+12ɤ12,所以1x +12y -1z的最大值为12㊂感悟:解决多元最值的方法是消元后利用基本不等式求解,但要注意所保留变量的取值范围㊂题型五:换元法求最值例5 若正数a ,b 满足2a +b =1,则a 2-2a +b2-b的最小值是㊂设u =2-2a ,v =2-b ,则a =2-u2,b =2-v ,所以u +v =3(u >0,v >0)㊂所以a 2-2a +b 2-b =1-12uu +2-vv=1u +2v -32=13(u +v )1u +2v-32=13㊃3+v u +2u v-32ȡ133+2v u ㊃2uv-32=1+223-32=223-12,当且仅当v 2=2u 2,u +v =3,即v =6-32,u =32-3时等号成立,所以所求的最小值为223-12㊂感悟:换元法求最值的关键是整体换元,利用构造的新元求最值㊂题型六:构建不等式求最值例6 (1)已知正实数x ,y 满足x y =x +y +8,则x +y 的最小值为㊂(2)已知x ,y ɪR +,若x +y +x y =8,则x y 的最大值为㊂(1)由正实数x ,y ,可得(x +y )2=x 2+y 2+2x y ȡ4x y(当且仅当x =y 时等号成立),所以x y ɤ(x +y )24,所以x y =x +y +8ɤ(x +y )24,即(x +y )2-4(x +y )-32ȡ0,解得x +y ɤ-4(舍去)或x +y ȡ8(当且仅当x =y =4时等号成立),所以x +y 的最小值为8㊂(2)因为正数x ,y 满足x +y +x y =8,所以8-x y =x +y ȡ2x y ,即x y +2x y-8ɤ0,解得0<x y ɤ2,所以x y ɤ4,当且仅当x =y =2时取等号㊂所以x y 的最大值为4㊂感悟:利用题设条件,借助基本不等式进行放缩,得到关于 和 或 积 的不等式,解此不等式可得 和 或 积 的最值㊂作者单位:湖北省宜昌市长阳土家族自治县职业教育中心(责任编辑 郭正华)91知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
巧妙利用“基本不等式”解决椭圆中三角形面积的最值问题
安徽 省宁 国中学 （２４２３９９） 汤生兵
摘 要 椭 圆中三角形面 积是高考 中的难点，主要体 现在
方法 ２（基本不等式）
计 算量 很大，很 多学 生望 而却 步，本文 巧妙利 用 “基 本不 等 式 ”，大 大减 少计 算量，首 先从 实例出发，然后寻其本质，最后 利 用 此 特 点 解 决 一 道 相 关 的题 目．
，且 Ｉ Ｂｌ＝
于是
１ ｌＡＢＩ忙 ·
。
接下 来 找 和 ｍ 的关 系 ，因为
解若直线ＡＢ斜率不存时，设Ａ日： ，则薯＋茄
，
①
１．Ｘ ＝
一 箬） 于是
廊 ＝
：
．
Ｘ／１２（ １＋３ｋ２－ｍ２）
．
：
，／５
＼／。 （ 一 ）＾ １
ａ
△ Ａ０ Ｂ ＝
当 。＝２６。时，（Ｓ￣ＡＯＢ） ＝ ａｂ
必须有个 顶点在 原点，其它 情况都 不可 以用，并 且我们 得 到 原 点 ，就 可 以 用 基 本 不 等 式 求 出它 的最 大值 为 ；若 三 个 顶
一 个 很好 的结论 Ｓ△ ｐＢ的最大值为 ，以后遇到小题就可 点 都在椭 圆上，初等数 学很难 解决，能 高 学将 椭 圆
ｓ△Ａ。Ｂ＝ ·ＩＡＢＩ·＾
（一 · ＝
·
）·
关键 词 基本不等式；三角形面积
题 目 １ 如 图 １所 示 ，椭 圆 Ｃ ：Ｘ ＋３ｙ ＝ ３ｂ。（６＞ Ｏ）．
（１）求椭 圆的离心率． （２）若 ｂ＝ １，Ａ，Ｂ 是椭 圆 上 两 点，且 ｌＡＢｌ＝ 、／３，求 ＡＡＯＢ 面积的最大值 ．
基本不等式应用利用基本不等式求最值的技巧题型分析
基本不等式应用一、知识点：1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ 即：222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 即：ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤（当且仅当b a =时取“=” ） 注：（1）利用均值不等式求最值的条件是：“一是正数，二为定值，三要有取等号的条件”（2）利用均值不等式求最值：当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积为定值和有最小值，和为定值积有最大值”．应用基本不等式求最值的常见题型：1、直接利用基本不等式求解；2、若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件进行恒等变形，如构造“1”的代换；3、若可用基本不等式，但等号不成立，则一般利用函数的单调性求解。
二、求最值例1：设1,1,,>>∈b a R y x ，若,4==y x b a 且22=+b a ，求yx 11+的最大值。
例2、（凑项）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
例3、（凑系数）当时，求(82)y x x =-的最大值。
例4、（构造“1”）若正数y x ,满足xy y x 53=+，求y x 43+的最小值。
例5、（ 换元）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
三、基本不等式与恒成立问题例6、已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
例7、已知正实数y x ,满足,3xy y x =++若对任意满足条件的y x ,，都有()()012≥++-+y x a y x 恒成立，求实数a 的范围。
四、练习：1、设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ，则当xyz 取最小值时，z y x -+2的最大值为（ ）A 、0 B 、89 C 、2 D 、492、已知()2,0∈x ，函数()x x y 38-=的最大值为3、若01>+x ，则11++x x 的最小值为4、设0>>b a ，则()b a a ab a -++112的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、45、若直线()0,002>>=+-b a by ax 被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，则ba 11+的最小值为线性规划问题：由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，以下五类常见题型。
基本不等式---求最值的常见技巧
基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.当且仅当22163(2)2xx+=+，即223x=-时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.当且仅当32x y=，即2,3x y==时，等号成立. 所以lg lgx y+的最大值是lg6.3、裂项例3已知1x>-，求函数()()521x xyx++=+的最小值.分析在分子的各因式中分别凑出1x+，借助于裂项解决问题.当且仅当411xx+=+，即1x=时，取等号.所以min9y=.4、取倒数例4 已知12x<<，求函数2(1)(12)xyx x+=-的最小值.分析分母是x与(12)x-的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求的最大值.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时，等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x 纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.9、 消元 例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题..【例题解析】例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25.（2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max=-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y>>+=，()1991061016y xx y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y xx y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值. 解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5 已知x ，y 为正实数，且2212y x +=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a b ab +≤.12，==下面将x=2212222y x ++≤4=，当且仅当2122y x =+且2212y x +=，即32x =，22y =时，等号成立.所以21xy +的最大值为324. 评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．52.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265 D ．以上均不对4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是（ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为（ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－17，设的最小值是( ) A. 10B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514．已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=.不等式（含基本不等式）练习答案1C. 因为114a b ++=≥当且仅当11a b=，且=a b =时，取“=”号。
巧用基本不等式解决函数最值问题
总结 ：本题 中的 函数 表达式并 不是几个 式子和 的形 式 ，似乎不 太可能运用 基本不 等 式。但是 ，我 们仔细观察 会发现 只要通过合
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们平 时要 多思考 ，多 练习 ，让基 本不等 式在 解决 函数最值问题 中焕发出独特的光彩 ！
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解 ：设金 属饮 料罐 的体 积 、表 面积 、底 地将 这两种 形式化 为多个积 或和为定值 的式 等式解决 。 子 ，然 后运用 基本不 等式求解 ，从而大大 减 通过 以上几道例 题 的讲解 ，我们不难 发 面半径和高分别 为 Ｖ、Ｓ 、ｒ 和ｈ ，则 少 了计算量 。 劐 － ’ ＾ 现在解决 这些较 复杂 函数 的最 值 问题 时 ，虽
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法一．配项例1：设x>2,求函数y=x+92x-的最小值解析：y=x-2+92x-+2≥8 当x-2=92x-时，即x=5时等号成立例2：已知a,b是正数，满足ab=a+b+3,求ab的最小值法1：ab=a+b+3≥当a=b3即ab≥9当a=b=3时等号成立。
法2:已知可化为（a-1）(b-1)=4.又ab=(a-1)+（b-1）+5≥9当a-1=b-1=2时等号成立，即a=b=3二．配系数例3:设0<x<1,求解析：当三．重复使用不等式例4：已知a>b>0，求2a+16()a b b-的最小值解析：2a+16()a b b-=2a b b-+（）+16()a b b-≥4(a-b)b+16()a b b-≥当时，等号成立。
四．平方升次例5：当x>0时，求函数的最大值。
解析：y2=x2+4-x2≤4+［x2)2］=8 当，即时，y取得最大值.五．待定系数法例6：求y=2sinx(sinx+cosx)的最大值。
解析：y=2sin 2x+2sinxcosx=2 sin 2x+2sin (cos )x a x a (a>0) ≤2 sin 2x+222sin cos x a x a+ =a+22(21)sin a a xa+- 若为定值，则221a a +-=0，+1,所以y 时成立。
六． 常值代换 例7：已知x>0,y>0,且x+2y=3,求1x +1y 的最小值解析：1x +1y =13(x+2y)( 1x +1y )=1+13(2y x +x y )≥1+23当且仅当2y x =x y ，且x+2y=3，即-1),y=32)时，取得最小值为1+23。
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型(解析版)
重难点1-1 利用基本不等式求最值8大题型基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点，在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是在函数最值问题中。
题型通常为选择题与填空题，但它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等。
在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点。
在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用。
利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为34+a b 与3+a b ，分子为2+a b ，设()()()()2343343+=+++=+++a b a b a b a b λμλμλμ∴31432+=⎧⎨+=⎩λμλμ，解得：1525⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩λμ4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
【题型1 直接法求最值】【例1】（2022春·辽宁锦州·高三校考阶段练习）已知0,0x y >>，且12x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．16B ．25C ．36D ．49 【答案】C【解析】因为0,0x y >>，122x y xy +=≥36xy ≤，当且仅当6x y ==时取到等号，故xy 的最大值为36.故选：C【变式1-1】（2022·四川广安·广安二中校考模拟预测）已知3918x y +=，当2x y +取最大值时，则xy 的值为（ ）A 2B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】由已知3918x y +=可得23318x y +=，则22218333323x y x y x y+=+≥⨯+2381x y ≤，所以+24x y ≤，当且仅当=22x y =时取等号，即=2x ，=1y ，此时2xy =.故选：B ．【变式1-2】（2023·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足2221a b +=,则2ab 的最大值是（ ）A ．13B C D ．19【答案】C【解析】解:由题知2222212a b a b b =+=++≥13≤,当且仅当a b ==2ab :C ．【变式1-3】（2022·上海·高三统考学业考试）已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是（ ） A ．2 B ．12 C ． 14D ．4 【答案】D【解析】∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴22lg lg 4lg lg 422x y x y +⎛⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当lg x ＝lg y ＝2，即x ＝y ＝100时等号成立．故选：D.【变式1-4】（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知正数,a b 满足()()5236a b a b ++=，则2+a b 的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．4 【答案】D【解析】因为()()()()252522a b a b a b a b ⎡⎤+++++≤⎢⎥⎣⎦，所以29(2)364a b +≥. 又0,0a b >>.所以24a b +≥，当且仅当,3382a b ==时，等号成立.故选：D【题型2 配凑法求最值】【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知30x -<<，则()f x =________． 【答案】92-【解析】因为30x -<<，所以()229922x x f x -+=≥-=-，当且仅当229x x -=，即x = 所以()f x =92-.【变式2-1】（2022春·上海静安·高三上海市市西中学校考期中）函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为______. 【答案】[)7,+∞【解析】由题知，1x >，所以10x ->，所以()9()11171f x x x =-++≥=-， 当且仅当911x x -=-，即4x =时取等号， 所以函数9()(1)1=+>-f x x x x 的值域为[)7,+∞.【变式2-2】（2022春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且7x y +=，则()()12x y ++的最大值为（ ） A ．36 B ．25 C ．16 D ．9 【答案】B【解析】由7x y +=，得()()1210x y +++=，则()()()()21212252x y x y ⎡⎤+++++≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当12x y +=+，即4,3x y ==时，取等号，所以()()12x y ++的最大值为25.故选：B.【变式2-3】（2022春·山东济宁·高三统考期中）已知向量()()5,1,1,1m a n b =-=+，若0,0a b >>，且m n ⊥，则113223a b a b+++的最小值为（ ） A ．15 B ．110 C ．115D ．120【答案】A【解析】根据题意，510m n a b ⋅=-++=，即4a b +=，则()()322320a b a b +++=，又0,0a b >>， 故113223a b a b +++()()1113223203223a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭123321122203223205a b a b a b a b ⎛++⎛⎫=++≥⨯+= ⎪ ++⎝⎭⎝， 当且仅当23323223a b a ba b a b++=++，且4a b +=，即2a b ==时取得等号.故选：A.【题型3 消元法求最值】【例3】（2022春·湖南永州·高三校考阶段练习）设220,0,12y x y x ≥≥+=，则的最大值为（ ）A．1 B C D【答案】C【解析】因为2212y x +=，所以22022y x =-≥，解得：[]0,1x ∈，故222322x x +-===≤，当且仅当22232x x =-，即x故.【变式3-1】（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足2240a ab -+=，则4ab -的最小值为（ ） A ．1 BC ．2 D．【答案】B【解析】,0a b >,2240a ab -+=，则有22a b a=+，222242444a a a a a b a a a∴-=+-=+⋅=当且仅当24a a =，即a =b =B.【变式3-2】（2022春·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）设正实数x 、y 、z满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足22430x xy y z -+-=，则2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-，当且仅当20y x =>时取等号.故xyz的最大值为1.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．94D ．1 【答案】D【解析】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432xy xy x y zx xy y x y y x===-++-⋅， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1．故选：D【变式3-4】（2022春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）（多选）已知a ，b ，c 均为正实数，2ab ac +=，则118ab c a b c+++++的取值不可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】ABC【解析】a ，b ，c 均为正实数，由2ab ac +=得：()2a b c +=，即2b c a+=， 所以2211818282222a a a a b c a b ca a a a a+++=++=++++++，由基本不等式得：2211828422a a a b c a b c a a +++=+≥++++， 当且仅当222822a a a a +=+，即2a =.故选：ABC【变式3-5】（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）若22221122124,4,2x y x y x y +=+=⋅=-，则21x y ⋅的最大值为___________．【答案】2 【解析】()()()()222222121112211444444204x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭，由212y x -=，所以211222y x x -==≤，所以112x ≤≤， 所以()222112142042044x y x x ⎛⎫=-+≤-⨯⎪⎝⎭⋅，当且仅当1||x =等号成立，所以21xy ⋅2≤，当且仅当21x y =21x y ==所以21x y ⋅的最大值为2．【题型4 代换法求最值】【例4】（2022春·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，且41x y +=，则19x y+的最小值是_____． 【答案】25【解析】因为0,0x y >>，且41x y +=，所以()1919346913254x y x y x y y x y x +=⎛⎫+=+ ⎪⎝+++⎭+≥， 当且仅当36x y y x =，即13,105x y ==时，等号成立.【变式4-1】（2022春·江西·高三九江一中校联考阶段练习）已知0a >，0b >，2a b +=，则4ba b +的最小值为_______.【答案】2【解析】因为0a >，0b >，且2a b +=，所以4422222bba bbaa b a b a b +⎛⎫+=+=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时取等号 故4ba b +的最小值为2【变式4-2】（2022春·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）若正实数x ，y 满足2x y xy +=，则2x y +的最小值为______． 【答案】9【解析】由2x y xy +=得211y x+=，又因为0x >，0y >，所以()212222559x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当3x y ==时等号成立，故2x y +的最小值为9．【变式4-3】（2022春·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考阶段练习）已知2x >-，0y >，23x y +=，则2272x y x y++++的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 【答案】B【解析】因为2x >-，0y >，23x y +=，所以()227x y ++=，20x +>， 所以()()22722222222222x y x y y x y x x y x y x y +++++=+++=++++++()2222226y x yx ⋅+≥+=+，当且仅当2x y +=，即13x =，73y =时等号成立， 即2272x y x y++++的最小值为6，故选：B.【变式4-4】（2022·广西·统考一模）如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．4 【答案】B【解析】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC =+又2AG GM =，所以32AM AG =，又(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>） 所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ =+ 因为,,G P Q 三点共线，则133xy +=，化得()14x y ++=由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B【题型5 双换元法求最值】【例5】（2022春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）设1,2x y >->-，且4x y +=，则2212x y x y +++的最小值是__________. 【答案】167【解析】令1(0)x a a +=>，2(0)y b b +=>，则1x a =-，2y b =-，因为4x y +=，则有7a b +=，所以2222(1)(2)142412x y a b a b x y a b a b --+=+=+-++-++14724()a b =--++1141()()7a b a b =+++141(14)7b a a b =++++1161(577≥+⨯+=当且仅当2b a =，即714,33a b ==时取等号， 则,x y 分别等于48,33时，2212x y x y +++的最小值是167.【变式5-1】（2022春·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数x ，y 满足()()381232x y y x y x +=++，则xy 的最小值是（ ）A ．54 B ．83 C ．43 D ．52【答案】D【解析】()()3838232232x y xy xy x y y x y x x y x y ⎡⎤=+=+⎢⎥++++⎣⎦，令2x y m +=，32x y n +=，则2n m x -=，34m ny -=，38367752322222x y n m xy x y x y m n =+=+-≥=++，当且仅当362n m m n =且()()381232x y y x y x +=++，即x =y =成立，所以52xy ≥，故xy 有最小值52.故选：D.【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习）设正实数, x y 满足1,12x y >>，不等式224121x y m y x +≥--恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．8 B ．16 C． D．【答案】A【解析】设1,21y b x a -=-=，则()()()110,102y b b x a a =+>=+>所以()()2222114121a b x y y x b a +++=+≥=--()222228⎛=≥=⋅+= ⎝当且仅当1a b ==即2,1x y ==时取等号所以224121x y y x +--的最小值是8，则m 的最大值为8.故选A【变式5-3】（2022春·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）已知0,0x y >>，若1x y +=，则313213x y y+++的最小值是___________. 【答案】85【解析】设()()3213x y k x y y λμ++=+++，由对应系数相等得13123k λλμμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩ ，得1319k λμ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩所以()()1113213939x y x y y ++=+++ 整理得()()31132131010x y y =+++即()()()11961310x y y =+++所以()()()3113196133213103213x y y x y y x y y ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭()313196811032135y x y x y y ⎛⎫++=++ ⎪++⎝⎭. 经验证当12x y == 时，等号可取到.【题型6 齐次化求最值】【例6】（2020春·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考阶段练习）已知,a b 都是负实数，则2a ba b a b+++的最小值是____________ . 【答案】2【解析】222222232a b a ab b a b a b a ab b +++=++++22132ab a ab b =-++1123a b b a=-++，因为,a b都是负实数，所以20,0a bb a>>， 所以2abb a +≥=2a b b a =时等号成立）.所以233a b b a++≥，所以123a b b a≤++所以1323a b b a-≥=++，所以1113223a b b a-≥+=++. 即2a ba b a b+++的最小值是2.【变式6-1】（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.【答案】2【解析】因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>，则()2222x y a x xy y+-+≤，即2222x y a x xy y +-+≤，又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+，因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y+≤-+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____． 【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy ＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ， 故2223x y xy y ++的最小值为2.【题型7 构造不等式法求最值】【例7】（2013春·浙江嘉兴·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足212ab a b =++，则ab 的最小值是___________. 【答案】9【解析】由212ab a b=++得，212ab ≥，化简得)320≥，解得9ab ≥，所以ab 的最小值是9.【变式7-1】已知0x >，0y >，24xy x y =++，则x y +的最小值为______． 【答案】4【解析】由题知0,0,x y >>由基本不等式得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即2422x y x y +⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭， 令t x y =+，0t >，则有2422t t ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，整理得2280t t --≥，解得2t ≤-(舍去)或4t ≥，即4x y +≥，当且仅当2x y ==时等号成立， 所以x y +的最小值为4.【变式7-2】（2022·全国·高三专题练习）若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是___________．【解析】∵2241x y xy ++=，∴2222325(2)31(2)(2)228x y x y xy x y x y +⎛⎫+-=≥+-=+ ⎪⎝⎭ ， 当且仅当2x y =时，等号成立，此时28(2)5x y +≤，所以2x y +≤2x y +.【变式7-3】（2020春·天津河北·高三天津外国语大学附属外国语学校校考阶段练习）若0x >，0y >，1425y x x y+++=，则2x y +的最小值为___________. 【答案】8【解析】因为0x >，0y >，所以20x y +>由1425y x x y +++=两边同时乘xy ，得22425y y x x xy +++=，即2244254x y xy x y xy xy ++++=+，则()()2229x y x y xy +++=，因为()2222224x y x y xy ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以()()2229999222248x y xy xy x y +=⨯≤⨯=+， 故()()()2292228x y x y x y +++≤+，整理得()()22820x y x y +-+≥，即()()2280x y x y ++-≥，所以28x y +≥或20x y +≤（舍去）， 故2x y +的最小值为8.【题型8 多次使用不等式求最值】【例8】（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知0,0a b >>，则242ba b a ++的最小值为（ ） A． B． C．1 D．1 【答案】B【解析】因为0,0a b >>，所以244222b a a a ba a ++≥=+≥= 当且仅当24b ba =且42a a=，即a b == 即242ba ba ++的最小值为故选：B.【变式8-1】（2022春·江苏淮安·高三校联考期中）当02,x a <<不等式()221112x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B．(0 C ．(]0,2 D ．[)2,+∞【答案】B【解析】()221112x a x +≥-恒成立，即()22min1112x a x ⎡⎤+≥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 02,20x a a x <<∴->，又222211222(2)(2)(22)x a x x a x x a x a +≥=≥=+---，上述两个不等式中，等号均在2x a x =-时取到，()m 222in 1122x a a x ⎡⎤∴+=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 212a ∴≥，解得a ≤≤且0a ≠，又0a >， 实数a的取值范围是(0.故选：B.【变式8-2】（2022·全国·模拟预测）已知0a >，0b >，1c >，22a b +=，则1221c a b c ⎛⎫++⎪-⎝⎭的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．6 D ．212【答案】D【解析】()()121121221925542222ba ab a b a b a b⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当23a b ==时等号成立，（应用基本不等式时注意等号成立的条件）所以()12292911212c c a b c c ⎛⎫++≥-++≥ ⎪--⎝⎭92122=， 当且仅当()91221c c -=-，即53c =且23a b ==时，等号成立，故最小值为212，故选：D【变式8-3】（2022春·安徽·高三校联考阶段练习）已知,,a b c +∈R ，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，则θ的取值范围是（ ）A ．,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】因为,,,,22a b c ππθ+⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦R ，不等式()2222cos 4b a c a b c θ+++恒成立，所以()222max2cos 4b a c a b c θ⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦， 因为,,a b c+∈R，所以)))2222222ab a a a b ⎤=≤+=+⎥⎦，当且仅当2a b =时等号成立；()()()222211122222222bc c b c b c b ⎡⎤=⨯≤+=+⎢⎥⎣⎦， 当且仅当2c b =时等号成立.所以()()()222222222222211222222222444b a c ab bc a b c b a b c a b c a b c ++=≤++++++++=+， 当且仅当2a b c ==时等号成立， 所以()22224b a c a b c +++的最大值为22，所以2cos 2θ≥，又因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以,44ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：C.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14C ．22 D ．32【答案】A【解析】因为a ，b 均为正实数，则()222222222222222ab bc a c a c a ca c abc a c a c b bb b ++++=≤=++++++⨯ ()222222*********22222222a ac c ac ac a c a c a c ++==+≤+=++⨯，当且仅当222a c b b+=，且a c =，即a b c ==时取等号， 则2222ab bc a b c+++的最大值为12．故选：A ．（建议用时：60分钟）1．（2022春·江苏徐州·高三学业考试）若正实数x ，y 满足121x y+=，则x +2y 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】因为x ，y 是正数，所以有()12222559y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭， 当且仅当22y xx y =时取等号，即当且仅当3x y ==时取等号，故选：C2．（2022春·广东湛江·高三校考阶段练习）已知12,2x y x x >=+-，则y 的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．3 【答案】C【解析】因为2x >，所以120,02x x ->>-，由基本不等式得11222422y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当122x x -=-，即3x =时，等号成立，则y 的最小值为4.故选：C 3．（2022春·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知1a >，1b >，且ln 4ln 2a b +=，则4log lo e e g a b +的最小值为（ ）A ．9lg 2B ．212 C ．252D ．12 【答案】C 【解析】n e 1log l a a =，44l l e og n b b=，因为1a >，1b >，故ln 0a >，ln 0b >， ()414114log log ln 4ln ln ln 2ln ln e e a b a b a b a b ⎛⎫+=+=⨯++ ⎪⎝⎭14ln 4ln 12517172ln ln 22b a a b ⎛⎛⎫=⨯++≥⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝， 当且仅当ln ln a b =时，即25e a b ==时等号成立． 所以4log lo e e g a b +的最小值为252．故选：C 4．（2022春·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知正数,a b 满足494a b +=，则ab 的最大值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．12 【答案】A【解析】正数,a b 满足494a b +=，由基本不等式得：494a b +=≥19ab ≤，当且仅当49a b =，即12,29a b ==时，等号成立，ab 的最大值为19.故选：A5．（2022春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知0a >，0b >，9是3a 与27b的等比中项，则22231a b a b+++的最小值为（ ）A．9+ B C ．7 D【答案】B【解析】由等比中项定义知：3232739a b a b +⋅==，34a b ∴+=，()2223121121163434544a b b a a b a b a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫∴+=+++=+++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14544⎛≥++== ⎝（当且仅当6b aa b =，即8a =，(433b =时取等号），即22231a b a b +++.故选：B. 6．（2022春·河南南阳·高三校考阶段练习）在ABC 中，过重心E 任作一直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >），则4x y +的最小值是（ ） A ．43 B ．103C ．3D ．2 【答案】C【解析】在ABC 中，E 为重心，所以21()32AE AB AC =⋅+1()3AB AC =+，设AM xAB =，AN yAC =，（0x >，0y >） 所以1AB AM x=，1AC AN y =，所以111133AE AM AN x y =⋅+⋅.因为M 、E 、N 三点共线，所以11133x y +=，所以11(4)33x y x y ⎛⎫++⎪⎝⎭4143333y x x y =+++533≥+（当且仅当433yxx y =，即12x =，1y =时取等号）．故4x y +的最小值是3．故选：C ．7．（2022春·四川德阳·高三阶段练习）已知实数0a b >、，且函数()f x R ，则22a b a+的最小值是（ ） A．4 B ．6 C ． D ．2 【答案】A【解析】∵()f x =R ，∴22()2()10x a b x a b -+++-≥在R 上恒成立，∴2[2()]4[2()1]0a b a b ∆=-+-⨯+-≤，即：2()2()10a b a b +-++≤ ∴2(1)0a b +-≤，解得：1a b += 又∵0,0a b >> ∴2121212222a b b a b a b a -+=+=+-1212=()()224222a b a b b a b a ++-=++≥= 当且仅当22a b b a =，即21,33a b ==时取等号.故选：A. 8．（2022春·江西宜春·高三校考阶段练习）设x y z >>，且11()nn x y y z x z +≥∈---N 恒成立，则n 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C【解析】因为x y z >>，所以0x y ->，0y z ->，0x z ->，所以不等式11n x y y z x z +≥---恒成立等价于11()n x z x y y z ⎛⎫≤-+ ⎪--⎝⎭恒成立.因为()()x z x y y z -=-+-≥，11x y y z +≥--，所以11()4x z x y y z ⎛⎫-⋅+≥ ⎪--⎝⎭（当且仅当x y y z -=-时等号成立），则要使11()n x z x y y z ⎛⎫≤-⋅+ ⎪--⎝⎭恒成立，只需使4()n n ≤∈N ，故n 的最大值为4.故选：C9．（2022春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）（多选）已知实数a ，b 满足2241a ab b -+=，以下说法正确的是（ ）A ．a ≤B ．1a b +<C ．2244453a b ≤+≤D ．2a b -≤【答案】ACD【解析】由2241a ab b -+=，可得22410b ab a -+-=，关于b 的方程有解，所以()()224410a a ∆=---≥，所以2415a ≤，即a ≤A 正确； 取0,1a b ==，2241a ab b -+=，则1a b +=，故B 错误；由2241a ab b -+=，可得22141122a b ab ab +=+=+⋅，又222244222a b a b ab ++-≤≤，令224t a b =+，则()2122t t t -≤-≤，所以4453t ≤≤，即2244453a b ≤+≤，故C 正确；由2241a ab b -+=，可得()2231a b ab -+=，所以()()23213122a b ab a b -=-=+⋅⋅-，令2u a b =-，由()2222a b a b -⎛⎫⋅-≤ ⎪⎝⎭，可得22318u u ≤+，所以285u ≤，即2a b -≤D 正确.故选：ACD.10．（2022·浙江·模拟预测）（多选）已知a ，b 为正数，且220a b +-=，则（ ）A ．2168a a +>B ．219a b +≥ C D ．35422a b a +-<<- 【答案】ACD【解析】对于A 选项，()2216840a a a +-=-≥，当且仅当4a =时等号成立，当4a =时，由于220a b +-=，得22286b a =-=-=-，与b 为正数矛盾，故4a ≠，即得2168a a +>，故A 选项正确；对于B 选项，220a b +-=，12ba ∴+=.又0,0ab >>212115922222b b a a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++≥+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当b aa b =，即23a b ==时等号成立；故B 选项不正确； 对于C 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()2222224422584555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭，2245a b ∴+≥，当且仅当45a =时等号成立，C 选项正确；对于D 选项，220a b +-=，22b a ∴=-，()0,1a ∈.()()2552253510122222a ab a a a a a a a a a ---+-+----∴====--<<-----， 当01a <<时，221a -<-<-，55522a ∴-<<--，得351422a <--<-，即35422a b a +-<<-，故D 选项正确.故选：ACD11．（2022春·山西·高三校联考阶段练习）（多选）若1a b >>，且35a b +=，则（ ） A ．141a b b +--的最小值为24 B ．141a b b +--的最小值为25 C ．2ab b a b --+的最大值为14D ．2ab b a b --+的最大值为116【答案】BD【解析】由1a b >>，可知0a b ->，10b ->，()()4134541a b b a b -+-=+-=-=，()()()()441411411a b b a b b a b b a b b -+-⎡⎤-+-⎣⎦+=+----()()414171b a b a b b --=++--17≥+25= 当且仅当115a b b -=-=时，等号成立，141a b b +--的最小值为25．又()()141a b b =-+-=≥． 当且仅当()1412a b b -=-=时，等号成立，所以()()21116ab b a b a b b --+=-⋅-≤， 故2ab b a b --+的最大值为116．故选：BD . 12．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）（多选）在下列函数中，最小值是4的是（ ）A ．4y xx =+ B ．0)y x > C ．4sin sin y x x =+，0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．144xx y -=+ 【答案】BD【解析】对于A ，当0x >时，44y x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号；当0x <时，44[()]4y x x xx=+=--+-≤-=-，当且仅当4x x-=-，即2x =-时取等号，所以(,4][4,)y ∈-∞-+∞，A 错误；对于B ，y ===，因为0x >1>，4≥=3x =时取等号，所以0)y x =>的最小值为4，B 正确； 对于C ，因为0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以sin (0,1]x ∈，由对勾函数性质可知：4sin [5,)sin y x x=+∈+∞，C 错误；对于D ，40x >，1444444x x x x y -=++=≥，当且仅当444x x =，即12x =时取等号， 所以144xx y -=+的最小值为4，D 正确.故选：BD13．（2022春·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数x ，y 满足474x y +=，则2132x y x y+++的最小值为______.【答案】94【解析】因为474x y +=，所以()()2112123232432x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭， 所以()()22211413242233x y x y x y x y x y x y ⎡⎤++=+++⎢⎥++⎣+++⎦， 因为,x y 为正实数，所以()()220,02233x y yyx y x x +++>>+，所以()()4222233x y x y x yx y++++≥=+， 当且仅当32474x y x y x y +=+⎧⎨+=⎩时等号成立，即84,1515x y ==时等号成立，所以()21194413244x y x y +≥++=++，当且仅当84,1515x y ==时等号成立， 所以2132x y x y +++的最小值为94.14．（2022春·天津静海·高三静海一中校考阶段练习）若,a b ∈R ，且221b a -=，则22a b a b+-的最大值为___________.【解析】由题知，,a b ∈R ，且221b a -=，即221b a =+，所以221a b a a b b+-+=， 当0a =时，21b =，即1b =±，此时11a b+=±，所以22a b a b +-的最大值为1，当0a ≠时，22221212211212a a a a ab b a a ⎛+⎫++==+≤+= ⎪+⎝⎭，当且仅当1=a 时取等号，此时1a b+≤22a a b b +-.综上，22a a bb+-.15．（2022春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）已知正数,x y 满足22831322x xy xy y +=++，则xy 的最小值是_________．【答案】52【解析】根据题意，由22831322x xy xy y +=++可得22228(2)3(32)1(32)(2)xy y x xy x xy xy y +++=++， 即322223221)(6914384384y x xy x x y xy y x xy y y x ++=+++=+所以222222221691416914383844y y y x xy x x y y y x xyx xxy ++=+=+++++； 又因为,x y 均是正数，令()0,y t x =∈+∞，则221614983()4xy f t t t t t =++++= 所以， 22221831()4444316149348388183t t t t t t t t t f t t +++++==-=++++-+ 令2384)183(g t t t t ++=+，则16162112110101899()92718396183272727g t t t t t ⎛⎫=++=+++≥= ⎪++⎝⎭当且仅当1621996183t t ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即12t =时，等号成立；所以2181455()44184182718332f t t t t +=+=-≥-=+ 所以()f t 的最小值为min 5()2f t =;即当1,22y t x y x ====x y ==. 16．（2022春·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知正实数,,a b c 满足222120a ab b c ++-=，则当a bc+取得最大值时，2a b c -+的最大值为______. 【答案】916【解析】由222120a ab b c ++-=，可得()()()2222231224a b c a b ab a b a b +⎛⎫=+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即4a b c +≤， 当且仅当a b =时，等号成立， 所以当a b c+取得最大值时，a b =，42a b ac +==，所以2223392416a b c a a a ⎛⎫-+=-=--+ ⎪⎝⎭，故当333,,448a b c ===时，2a b c -+取最大值916.。
灵活运用基本不等式，快速求解双变量最值问题
双变量最值问题中往往含有两个变量，无法直接利用函数的图象和单调性来求最值，常常需要用基本不等式a+b≥2ab（a、b>0）及其变形式来求解.而运用基本不等式求最值，往往需将代数式进行适当的变形，以配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.那么如何进行配凑呢？一、整体代换若已知或可求出某个式子等于一个常数，就可将其化为“1”，然后把等于“1”的式子看作一个整体代入目标式中进行代换，以得到两个正数的和或积，且此时两式的和或积为定值，那么就可以直接运用基本不等式来求最值.例1.若m>0,n>0，且m+n=2，则4m+1n的最小值为________．解：因为m>0,n>0，m+n=2，所以4m+1n=(4m+1n)×1=(4m+1n)×12(m+n) =12(5+4n m+m n)≥12(5+)=92，当且仅当4n m=m n，即m=43,n=23时取等号.从而可知4m+1n的最小值为92.本题中m+n=2，可在其左右同除以“2”得12(m+ n)=1.然后将目标式乘以“1”，将“12(m+n)=1”进行代换，即可配凑出两式的和4n m+m n，而这两式的积为定值4，运用基本不等式即可求得目标式的最值.例2.若正数a,b满足1a+1b=1，则4a-1+16b-1的最小值是________．解：因为正数a,b满足1a+1b=1，所以1a=1-1b=b-1b，所以1b-1=a b.因为1a+1b=1，所以1b=1-1a=a-1a，所以1a-1=b a.可得4a-1+16b-1=4b a+16a b16，当且仅当4b a=16a b，即a=32,b=3时取等号.故4a-1+16b-1的最小值是16.本题中1a+1b=1，于是直接用“1a+1b”替换“1”，将目标式乘以“1”，将“1”进行代换，就可以得到4b a+16a b≥16.将任何一个代数式乘以“1”，其值不改变，但是可以改变代数式的形式结构，转换解题的思路.二、消元在求解双变量问题时，通常可先根据已知条件或关系式进行消元，即用其中一个变量表示另一个变量；然后将其代入目标式中，把问题转化为单变量最值问题；再用凑分子、分母，凑系数，添项，去项等方式，将目标式配凑为两式的和或积，以运用基本不等式求最值.例3.已知正数a,b满足ab+2a-2=0，则4a+b的最小值是________．解：因为ab+2a-2=0，所以b=2-2a a=2a-2，所以4a+b=4a+2a-22=42-2，当且仅当4a=2a，即a2可得4a+b的最小值是42-2.我们根据已知关系式ab+2a-2=0进行变形，将b 用关于a的式子表示出来，即可将目标式转化为关于a的式子.而该式中4a+2a为两式的和，且4a⋅2a=8，直接运用基本不等式即可解题.例4.已知a>0,b>0，ab-b+1=0，则1a+4b的最小值是________，此时b=________．解：因为ab-b+1=0，所以a=b-1b，由a>0,b>0可得b>1.可知1a+4b=b b-1+4b=1+1b-1+4b解题宝典42=1b-1+4(b-1)+55=9，当且仅当1b-1=4(b-1)，即b=32时不等式取等号.故1a+4b的最小值是9，此时b=32．根据已知关系式消去a，将问题转化为求代数式bb-1+4b的最小值.但此时还不能直接运用基本不等式求解，需要给4b配上一个常数-4，将其变形为4(b-1)，使得1b-1⋅4(b-1)=4为常数，才能运用基本不等式求最值.三、局部换元对于含有两个变量的最值问题，还可以通过局部换元，来配凑出基本不等式中的和式与积式.在进行局部换元时，需将已知关系式和目标式关联起来合理设元，可引入两个变量，也可引入一个变量，并用新变量将题目中式子的某一部分进行替换.有时可将已知关系式进行适当的拆分、拼凑，以将目标式化为两式的和或积，这样就可以直接运用基本不等式求最值.例5.若正数a,b满足2a+b=1，则a2-2a+b2-b的最小值是________；解：因为正数a,b满足2a+b=1，所以0<b<1,0<a<12.设2-2a=x,2-b=y，则a=1-12x,b=2-y，由2a+b=1得x+y=3.由2-2a=x,2-b=y可知1<x<2,1<y<2.所以a2-2a+b2-b=1-12xx+2-yy=1x+2y-32=13(x+y)(1x+2y)-32 =13(3+2x y+y x)-32≥13(3+)-32=223-12，当且仅当2xy=yx，即x=3(2-1),y=3(2-2)时不等式取等号.故a2-2a+b2-b的最小值是223-12.我们分别设2-2a=x,2-b=y，使得目标式的分母简化；再建立x、y之间的联系，并将目标式进行配凑，得到两式的和2xy+yx，而这两式的积为定值，这样运用基本不等式就能快速求得目标式的最值.例6.若x,y为正实数，且x+2y=1，则x2x+1+2y2y+2的最小值是________．解：因为x,y为正实数，且x+2y=1，所以0<x<1,0<y<12.设x+1=m,y+2=n，则x=m-1,y=n-2，由x+2y=1可得m+2n=6.由x+1=m,y+2=n可知1<m<2,2<n<52.则x2x+1+2y2y+2=(m-1)2m+2(n-2)2n=m2-2m+1m+2n2-8n+8n=m+2n+1m+8n-10=1m+8n-4=16(m+2n)(1m+8n)-4=16(17+2n m+8m n)-4≥16(17+)-4=16，当且仅当2n m=8m n，即m=65,n=125时不等式取等号，故x2x+1+2y2y+2的最小值是16.我们根据目标式的特征，引入两个新元，令x+1= m,y+2=n，即可将目标式转化为关于m、n的式子.再通过化简，将整式和分式分离，并进行常数代换，就能配凑出两式的和式，且使其积式为定值，运用基本不等式即可求得最值.总之，运用基本不等式求解双变量最值问题，需要注意以下几点：（1）将已知关系式和目标式关联起来；（2）通过常数代换、消元、局部换元，将已知关系式和目标式进行合理的变形；（3）进行合理的恒等变换，以配凑出基本不等式中的和式与积式.（作者单位：山东省郯城县美澳学校）解题宝典43。
微专题04 利用基本不等式解决多元最值问题(解析版)
微专题04利用基本不等式解决多元最值问题【方法技巧与总结】利用基本不等式求解多元最值的常用技巧（1）互倒模型（2）平方和与积的转换（3）条件等式求范围（4）换元消元法【题型归纳目录】题型一：互倒模型题型二：平方和与积的转换题型三：条件等式求范围题型四：换元消元法【典型例题】题型一：互倒模型例1．（2022·湖北恩施·高一期末）若2a >，3b >，则2223a b a b +--的最小值是（）A ．16B ．18C ．20D ．22【答案】C【解析】因为2a >，3b >，所以22224499492310232323a b a b a b a b a b a b -+-++=+=-++-++------1020≥+=（当且仅当4,6a b ==时，等号成立），所以2223a b a b +--的最小值是20．故选：C例2．（2022·天津·一模）设20a b >>，那么()412a b a b +-的最小值是___________．【答案】16【解析】因20a b >>，则221122(2)2(2)()2228b a b a b a b b a b +--=⋅-≤⋅=，当且仅当22b a b =-，即14b a =时取“=”，因此，()442221118()81628a a a ab a b a ++≥=+≥⨯-，当且仅当221a a=，即1a =时取“=”，所以，当11,4a b ==时，()412a b a b +-取最小值16．故答案为：16例3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）已知正实数,a b ，且22a b +=，则11121a ab ++++的最小值是（）A ．2B ．32C ．54D ．43【答案】C【解析】因为正实数,a b ，22a b +=，故(1)(21)4a b +++=，所以111121[(1)(21)](114141b a b a a a +=+++⨯=++++，故1112111121115(1)212141214412144a b a b a a b a b a b ++++++=++=+⨯+≥+=++++++，当且仅当15,36a b ==时取得等号，故选：C例4．（2022·全国·高三专题练习）若正数a ，b 满足11a b +=1，则41611a b +--的最小值为__．【答案】16【解析】因为正数a ，b 满足11a b+=1，则有1a =111b b b --=，则有11ab b=-，1b =111a a a--=，即有11b a a =-，则有41641611b a a b a b +=+≥=--16，当且仅当416b aa b=即有b ＝2a ，又11a b +=1，即有a 32=，b ＝3，取得最小值，且为16．故答案为：16．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知实数20x y ≥>，0z >，则43223x y z xx y y z+++++的最小值为___________．【答案】120x y ≥>，0z >，所以43223x y z xx y y z+++++223223x y y z xx y y z +++=+++231223y z xx y y z+=++++23111223y z x x y z +≥++≥+=++当"232,23,2223y z xx y x y z x y x y z +===+=+取等号“综上所述：43223x y z xx y y z+++++的最小值为1故答案为：1例6．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知0a b >>，当41422a a b a b+++-取到最小值时，=a ___________．【答案】34【解析】知0a b >>，当41422a a b a b +++-取到最小值时，=a 由题意知：41414222222++=+++-++-+-a a b a b a b a b a b a b≥6=，当且仅当412,222+=-=+-a b a b a b a b，即31,42a b ==时取等，故当41422a a b a b +++-取到最小值时，34a =．故答案为：34．例7．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）已知正数a b ，满足1a b +=，R c ∈，则222313a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】3【解析】由1a b +=，得2221a ab b ++=，0,0a b >>，则222222222(31132143)3(2)311a a a ab b a b c c c bc b abc ab c b ab c b a++++=++=+++++++，2263(1)331c c ≥++-≥+，当且仅当2262,3(1)1b ac c ==++时取“=”，所以当212,,133a b c ===-时，222313a c bc b abc ab++++的最小值为3．故答案为：3题型二：平方和与积的转换例8．（2022·全国·高一专题练习）,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为________．【答案】12【解析】22222222ab bc ab bca b c a b b c ++=+++++，222a b ab +≥，222b c bc+≥当且仅当a b c ==时取等号，所以222222212222ab bc ab bc ab bc a b c a b b c ab bc +++=≤=++++++∴2222ab bc a b c +++的最大值为12．故答案为：12．例9．（2022·浙江·高一阶段练习）若实数m ，n 满足2241m n +=，则421mnm n +-的最小值是___________．【答案】1,2x m y n ==，则()2222()42()1121111x y x y mn xy x y x y m n x y x y x y +-++-====+++-+-+-+-，因为2221222x y x y ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以x y ≤+≤2111xyx y x y =++≥++-，当且仅当x y ==立，故421mnm n +-的最小值为1．故答案为：1例10．（2022·辽宁·高二期末）若实数,a b 满足2244a b -=，则252a ab +的最小值为__________．【答案】4【解析】2244,122b b a b a a ⎛⎫⎛⎫-=∴+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设2b a x +=，则0x ≠，12b a x -=，111,2a x b x x x⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，222211111151552592444242a ab x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=⨯+++-=++⨯= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，等号在3x =±，即a b ==a b ==所以252a ab +的最小值为4．故答案为：4例11．（2022·河南·高二阶段练习（文））已知0a <<，则2125a M a a +=+++的最大值为______．【答案】54【解析】当0a <<时，()()22111142541411a a a a a a a ++==+++++++，当且仅当411a a +=+时，即当1a =时，等号成立．当0a <<时，22212a a +-≤=，当且仅当222a a =-时，即当1a =时，等号成立．因此，当1a =时，M 取得最大值，即max 15144M =+=．故答案为：54．例12．（2022·浙江·高一课时练习）若,,x y z 均为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是_______．【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x zy z ++=+++++≤，当且仅当2x y y z ⎧=⎪⎪=，即2x z y ==时等号成立．故答案为：2．例13．（2022·湖南·益阳市箴言中学高一开学考试）已知x ，y R ∈，2291x xy y -+=，则3x y +的最大值为________．【解析】2291x xy y -+=，22916x y xy xy ∴+=+ ，即15xy ，当且仅当3x y =，即151515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1515x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y ≤+3x y ∴+的最大值为5．例14．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z恒成立，则a 的最大值是__________．【答案】1【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥，解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：1例15．（2022·内蒙古巴彦淖尔·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（）A ．9B ．16C ．49D ．81【答案】D【解析】由题意得332727ab a b =++≥+，得)27930ab --=≥，9≥，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立．故选：D例16．已知实数,a b ，且0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为______．【答案】16【解析】由2220a b ab +≥>，所以222222424ab aba b a b ab a b ≤+++++，又由221142462ab ab a b ab ab ==++++，当且仅当a b =时，等号成立，所以2222146ab a b a b ≤+++．故答案为：16．例17．（2022·天津英华国际学校高一阶段练习）设0x >且2212y x +=，则的最大值为_______【答案】324【解析】由题意，0x >>由均值不等式，当0,0a b >>时，222222a ba b ab ab ++≥⇔≤，当且仅当22a b =即a b =时等号成立故22222113)2222x y y x ++=++=，即324≤=即22x y ==±时等号成立故答案为：4例18．（2022·江苏泰州·高一阶段练习）已知正实数x ，y ，z 满足2224y x z ++=，则2xy yz+的最大值为___________．【答案】【解析】∵x ，y ，z 为正实数，∴22222224455y y y z z y x x z ⎛⎫⎛⎫++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=，∴2xy yz +≤y ===∴2xy yz +的最大值为故答案为：例19．（2022·四川巴中·高一期中）已知正实数x ，y 满足1x y +=，则22x y +的最小值为________．【答案】12【解析】因为1x y +=，所以2211224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12x y ==时，等号成立，所以()222112121242x y xy x x y y =+-=--⨯=+≥，所以22x y +的最小值为12，故答案为：12．题型三：条件等式求范围例20．（2022·全国·高三专题练习）设220,0,4x y x y x y >>+-=，则11x y+的最小值等于（）A ．2B ．4C ．12D ．14【答案】B【解析】因为224x y x y +-=，可得224x y x y +=+且0,0x y >>，所以2211444x y x y xy x y xy xy xy +++===+≥，当且仅当4xy xy=时，即2xy =等号成立，所以11x y+的最小值为4．故选：B ．例21．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知实数x ，y 满足223x y +=，则2211(2)(2)x y x y ++-的最小值为__________．【答案】415【解析】设2(2)x y m +=，(0)m >，2(2)x y n -=，(0)n >可得2222(2)(2)5()15m n x y x y x y +=++-=+=，则2211111114()()(2)(22(2)(2)15151515n m m n x y x y m n m n +=++=++≥++-．当且仅当n m m n =，即152m n ==时，等号成立．故答案为：415．例22．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x yx y++的最小值为__________．【答案】33+【解析】因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+=当且仅当4322y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即132x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为33+．故答案为：33+例23．（2022·全国·高三专题练习）若正数a ，b 满足21a b +=，则222a ba b+--的最小值是__．【答案】132-【解析】设22,2u a v b =-=-，则2,22ua b v -==-，可得3(,0)u v u v +=>，所以11212311232()()222232u a b v u v a b u v u v u v --+=+=+-=++---1231331(3)(31323222v u u v =++-≥+-=-=，当且仅当63v u =-=时，等号成立，取得最小值．故答案为：132-．例24．（2022·山东德州·高二期末）若2,1a b >>-，且满足26ab a b +-=，则1921a b +-+的最小值为______．【答案】3【解析】由()()2122624a b ab a b -+=+--=-=又2,1a b >>-，则20,10a b ->+>所以19321a b +≥==-+当且仅当1921a b =-+以及26ab a b +-=，即8,53a b ==时取得等号．所以1921a b +-+的最小值为3故答案为：3例25．（2022·上海交大附中高一期中）已知正实数a ，b ，满足6a b +=，则2211a ba b +++的最大值为___．【答案】16【解析】因为正实数a ，b ，满足6a b +=，则222222222226(1)6(1)6(1)11(1)(1)()1()237(1)36a b ab a b a b ab ab ab a b a b ab a b ab ab ab +++++++====+++++++-+-+，因为6a b +=，0a >，0b >，所以20()92a b ab +<= ，当且仅当3a b ==时取等号，令1=-t ab ，18t -< ，则原式26(2)36t t +=+26(2)640(2)4(2)40242t t t t t +===+-++++-+ 当且仅当4022t t +=+，即2t =时取等号，此时取得最大值16+，故答案为：16．例26．（2022·江苏苏州·高二竞赛）已知正实数a ，b ，c 满足()2a b ab +=，且a b c abc ++=，则c 的最大值为___________．【答案】815【解析】由0,0a b >>，则()22a b ab +=≥⋅，可得16ab ≥，当且仅当4a b ==时取等；又由a b c abc ++=可得11122222a b ab c ab ab ab +===+---，由16ab ≥可得1102230ab <≤-，则18215c <≤，则c 的最大值为815．故答案为：815．例27．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________．【答案】4【解析】由题得331(3)3,3a b ab a b a b a b ab b a++=+∴+==+，所以23133(3)()(3)101016a b a b a b b a b a +=++=++≥+=．（当且仅当1a b ==时取等）因为34a b +≥，所以3a b +的最小值为4．故答案为：4例28．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-，则的最大值为___________．【答案】【解析】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =，则0t >21262t a b =+++++由()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立．所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立．故答案为：例29．（2022·天津河北·二模）已知0a >，0b >，且2610a b a b +++=，则52b a-的最大值为___________．【答案】4【解析】因为0a >，0b >，且2610a b a b+++=，所以152624b a b a b a -=+--1410a b b a =----4101a b b a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭又44a a +≥=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，12b b +≥=，当且仅当1b b =，即1b =时取等号，所以461a b b a +++≥，则41041a b b a ⎛⎫-+++≤ ⎪⎝⎭，即524b a-≤，当且仅当2a =、1b =时取等号；故答案为：4例30．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知a ，b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为_______．【答案】8【解析】因为0a >、0b >且196a b a b+=++，所以()()()21996610b a a b a b a b a b a b ⎛⎫+=+++=++++⎪⎝⎭()()610616a b a b ≥+++=++当仅当9b a a b =时取等号，即()()26160a b a b +-+-≥解得8a b +≥或2a b +≤-（舍去），当且仅当2a =、6b =时取等号；故答案为：8题型四：换元消元法例31．（2022·江西省铜鼓中学高一开学考试）已知0x >，0y >，212x y xy ++=，则221318xy x y xy +++的最大值为___________．【答案】19【解析】12226x y xy xy xy =++≥⇒+≤，当2x y ==时取等，所以(]020,4xy <⇒∈，故令1t xy =+，则(]1,5t ∈，所以()()222211116318169131181xy t t x y xy t t t t t t +===≤++++-+-+++，当4t =时，等号成立．所以221318xy x y xy +++的最大值为19故答案为：19例32．（2022·福建三明·高二期末）已知正实数a ，b 满足12a b+=，则12ab a+的最小值是（）A ．52B ．3C ．92D．1【答案】A【解析】因为12a b+=，所以12>0a b=-，所以02b <<，所以()122221+212112b b b b b a a b b b ⎛⎫-+=- ⎪-+-⎝⎭=，令21b t -=，则+12t b =，且13t -<<，所以+1111522+2++222122t t t t t ab a =≥=+=，当且仅当122t t =，即12t =，32,43b a ==时，取等号，所以12ab a+的最小值是52．故选：A ．例33．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______．【答案】12【解析】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ，所以a ＝23bb -，则2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b-+＝﹣2（112b -）2+12，当112b =，即b ＝2时取得最大值12．故答案为：12．例34．（2022·全国·高三专题练习）已知正实数x ，y 满足：222x x xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________．【答案】【解析】因为222xx xy y++=，所以2224xx xy y+++=，所以2()()4x x y x y y+++=，所以2()4x y x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，令24x y mx y m +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，则224322()2x y x y x m y y m ⎛⎫++=+++=+≥== ⎪⎝⎭，当且仅当42m m=即m 时取等号，所以232x y y++的最小值为故答案为：例35．（2022·全国·高三专题练习）若实数,x y 满足22321x xy y --=，则2252x yx xy y +++的最大值为___________．【答案】4【解析】令x y t +=，则()2222222322144x x x xy y x xy y t --++==-=-，即2241x t =+，所以()()222222225212421x y x y t tx xy y tx x xy y t t ++===++++++++，当0t ≤时，2012tt ≤+；当0t >时，211122t t t t=++，因为12t t +≥12t t =，即t =时，等号成立，所以22115242x y x xy y t t+=≤+++．所以2252x y x xy y +++的最大值为4．例36．（2022·江西·宁冈中学高一阶段练习（理））()21147x x x x ->-+的最大值为______．【答案】12【解析】令1x t -=，则1x t =+，0t >，所以222111447(1)4(1)72422x t t x x t t t t t t -===≤-++-++-++-，当且仅当4t t=，即2t =时，等号成立．所以()21147x x x x ->-+的最大值为12．故答案为：12．例37．（2022·江苏省上冈高级中学高二期中）设正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，当xy z 取得最大值时，22y yz+的最小值为______．【解析】正实数x 、y 、z 满足22340x xy y z -+-=，则2234z x xy y =-+，22114343xy xy x y z x xy y y x ∴===-++-，当且仅当2x y =时，等号成立，所以，当2x y =时，xyz取得最大值1，此时222234z x xy y y =-+=，22212222y y y y y z y y ∴+=+=+≥=y 时，等号成立．因此，22y yz+．例38．（2022·浙江杭州·高一期末）已知x ，y ＝R +，且满足x 12x++2y 1y +=6，若xy 的最大值与最小值分别为M 和m ，M +m ＝_____．【答案】134【解析】∵x ，y ＝R +，设xy t =，则1xyt=，∴11116222222xy y x x y x y x y x y x y t t t⎛⎫=+++=+++⋅=+++ ⎪⎝⎭∴12t ＝（2t +2）x +（4t +1）y≥，∴18t ≥（t +1）（4t +1）＝4t 2+5t +1，∴4t 2﹣13t +1≤0，t ≤≤∵xy 的最大值与最小值分别为M 和m，∴M 138+=，m 138-=，∴M +m 134=．例39．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x yx xy y --+的最大值为________．【答案】24【解析】由2221x xy y +-=，得(2)()1x y x y -+=，设12,x y t x y t-=+=，其中0t ≠．则1121,3333x t y t t t =+=-，从而2222112,522x y t x xy y t t t -=--+=+，记1u t t=-，则22225222x y u x xy y u -=-++，不妨设0u >，则12u u≤+当且仅当2u u =，即u=．故答案为：24．例40．（2022·江苏连云港·高二期末（文））已知0x >，0y >，则2223x y xy y ++的最小值为____．【答案】2【解析】∵x ，y ＞0，则2223x y xy y ++＝2231x y x y++，设xy＝t ，t ＞0，则()()2222212143311t t x y t xy y t t +-++++==+++＝（t +1）+41t +﹣﹣2＝4﹣2＝2，当且仅当t +1＝41t +，即t ＝1时取等号，此时x ＝y ，故2223x y xy y ++的最小值为2，故答案为2例41．（2022·黑龙江·铁人中学高二期中）若x ，y 均为正实数，且21123x y x y+=++，则x y +的最小值为________．【答案】95【解析】令x y t +=，则y t x =-，由21123x y x y +=++得211233x t x x t x +=+-+-，即21132x t t x +=+-，所以412232x t t x++-1=，因为0,0x y >>，所以220x t +>，320t x ->，所以[]41(22)(32)52232x t t x t x t t x ⎛⎫++-⋅+= ⎪+-⎝⎭，所以4(32)224152232t x x tt x t t x-++++=+-，所以4(32)225542232t x x t t x t t x -+-=+≥=+-，所以59t ≥，即95t ≥，当且仅当65x =，35y =时，等号成立．故答案为：95．。
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧
高中数学-基本不等式---求最值的常见技巧【理论解析】一个技巧：222a b ab+≥逆用就是222a bab+≤，2a b+≥(0,0)a b>>逆用就是2()2a bab+≤等．两个变形：(1) 2112a ba b+≤≤≤+(,)a b R+∈,即调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数；（当且仅当a b=时取等号）(2)222()22a b a bab++≤≤(,)a b R∈（当且仅当a b=时取等号)．三个注意“一正、二定、三相等”的忽视．【解题方法技巧举例】1、添、减项（配常数项）例1 求函数221632y xx=++的最小值.222221620,32163(2)6266x y xxxx+>=++=++-+≥=解：当且仅当22163(2)2xx+=+，即22x=时,等号成立. 所以y的最小值是6.2、配系数（乘、除项）例2 已知0,0x y>>，且满足3212x y+=，求lg lgx y+的最大值.分析lg lg lg()x y xy+=, xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式x y+是否定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将xy变形为326x y⋅，再用均值不等式.220,032lg lg lg()lg6132112lg lg 6262lg 6x y x y x y xy x y >>⋅+==⎡⎤⎡⎤+⎛⎫⎛⎫≤=⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=解： 当且仅当32x y =，即2,3x y ==时，等号成立. 所以lg lg x y +的最大值是lg 6.3、 裂项例3已知1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值.分析 在分子的各因式中分别凑出1x +，借助于裂项解决问题.()()141110,14(1)5519x x x y x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+>=+=+++≥+=解：当且仅当411x x +=+，即1x =时，取等号.所以min 9y =.4、 取倒数例4 已知102x <<，求函数2(1)(12)x y x x +=-的最小值. 分析 分母是x 与(12)x -的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(1)x + (这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.解 由102x <<，得10x +>，120x ->.221(12)1312(1)31131211113212x x x x y x x x x x x x --==⋅⋅+++-⎡⎤+⎢⎥++≤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当且仅当31211x xxx -=++，即15x =时，取等号. 故y 的最小值是12.5、 平方例5 已知0,0x y >>且22283y x +=求.分析 条件式中的x 与y 都是平方式，而所求式中的x 是一次式，y 是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.222222222((62)32(1)32(1)9333()22y x y x y x =+=⋅+⎡⎤++⎢⎥≤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：当且仅当222(1)3y x =+，即32x =，2y =时， 等号成立.故的最大值是评注 本题也可将x纳入根号内，即将所求式化为.6、 换元（整体思想）例6求函数y =的最大值.分析t =，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.22,0,2,(0)2100;1014212=.23,2t t x t t y t t t y t y t t t t t x =≥=-=≥+==>=≤=+==-则当时，当时，当且仅当，即所以时7、 逆用条件例7 已知191(0,0)x y x y +=>>,则x y +的最小值是（ ） .分析 直接利用均值不等式，只能求xy 的最小值，而无法求x y +的最小值.这时可逆用条件，即由191x y =+，得19()()x y x y x y +=++，然后展开即可解决问题.190,0,1199()()1010169,4,12.16.x y x y y xx y x y x y x yy x x y x yx y >>+=+=++=++≥====+解：由，得当且仅当即时，等号成立故的最小值是 评注 若已知0,0,x y >>1x y += (或其他定值)，要求19x y +的最大值，则同样可运用此法. 8、 巧组合 例8 若,,0a b c >且()4a a b c bc +++=-求2a b c ++的最小值 .分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用a b +≥来解决.换个思路，可考虑将2a b c ++重新组合，变成()()a b a c +++，而()()a b a c ++等于定值4-，于是就可以利用均值不等式了.,,0,2()()2,,1.2 2.a b c a b c a b a c b c b c a a b c >++=+++≥======-++解：由知当且仅当即时，等号成立故的最小值为9、 消元例9、设,,x y z 为正实数，230x y z -+=，则2y xz 的最小值.分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得32x zy +=，则可对2y xz 进行消元，用,x z 表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题.22223,0,,29666=3,443,,=33.x zx z y y x z xz xz xz xz xz xzyx z x y z y xz +>=+++≥====解：由可得当且仅当即时，取“”.故的最小值为【例题解析】 例1 求函数()()yx x x=++49的最值.解： （1）当x >0时，25362133613=⋅+≥++=xx x x y ， 当且仅当xx=36即6=x 时取等号.所以当x =6时，y min =25. （2）当x <0时，->->xx0360，， ()()-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪≥--⎛⎝ ⎫⎭⎪=x x x x 3623612， 11213)]36()[(13=-≤-+--=∴xx y .当且仅当-=-x x 36，即x =-6时取等号，所以当x =-6时，y max =-=13121.例2已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值. 解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时，上式等号成立，又191x y+=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += . 例3 当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值.解析：此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.211282(82)[2(82)]()8222x x y x x x x +-=-=-≤=当282x x =-，即2x =时取等号 ，所以当2x =时，(82)y x x =-的最大值为8.例4 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. 解析：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.例5已知x，y为正实数，且2212yx+=，求的最大值.解析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式222a bab+≤.12，==下面将x=2212222yx++≤4=当且仅当x=2212yx+=，即2x=，2y=时，等号成立.所以的最大值为4.评注：本题注意到适当添加常数配凑后，两项的平方和为常数，故而进行变形利用基本不等式链解决问题.【基本不等式课堂练习】一、选择题1.已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（ ）A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 2.当0<x <2π时，函数f (x )=x x x 2sin sin 82cos 12++的最小值为（ ）A.2B.23C.4D.433.设y=x 2+2x+5+2125x x ++，则此函数的最小值为（）A ．174B ．2C ．265D ．以上均不对 4，若，下列不等式恒成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．5，若且，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ． Ｂ． Ｃ．2ab Ｄ．a6. 设x>0,则的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．Ｃ．Ｄ．－1 7，设的最小值是( ) A. 10 B.C.D.8. 若x, y 是正数，且，则xy 有（ ）Ａ最大值16 Ｂ．最小值 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值9. a,b 是正数，则三个数的大小顺序是（ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．10.下列函数中最小值为4的是( )Ａ Ｂ Ｃ Ｄ11、已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)12、已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·AC →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，则1x ＋4y 的最小值是( )A ．20B ．18C ．16D ．913．设x,y 为正数, 则(x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( )A.6 B.9 C.12 D.1514． 已知定义域为R 的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．15．若，则的最小值为（ ）A ．8 B ．C ．2D ．417.若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( ) A. 245 B. 285C.5D.6 18．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4xx x +>> B ．1sin 2(,)sin x x k k Z xπ+≥≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈D ．211()1x R x >∈+ 19若点(,)A x y 在第一象限且在236x y +=上移动，则3322log log x y + （ ）A 、最大值为1B 、最小值为1C 、最大值为2D 、没有最大、小值 20、 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值.21、已知0,0a b >>，328a b +=，求函数的最大值.。
利用基本不等式求最值技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”．所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．在运用基本不等式ab b a 222≥+与2ba ab +≤或其变式解题时,要注意如下技巧 1：配系数【例1】已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 2:添加项 【例2】已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. 3:分拆项【例3】已知2>x ，求2632-+-=x x x y 的最小值.4:巧用”1”代换【例4】已知正数y x ,满足12=+y x ,求yx 21+的最小值.一般地有,2)())((bd ac ydx c by ax +≥++,其中d c b a y x ,,,,,都是正数.这里巧妙地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例5】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求zy x 941++的最小值. 5:换元【例6】已知c b a >>,求cb ca b a c a w --+--=的最小值.【例7】已知1->x ,求8512+++=x x x y 的最大值.6:利用对称性【例8】已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求121212+++++z y x 的最大值. 【分析】由于条件式1=++z y x 与结论式121212+++++z y x 都是关于正数z y x ,,轮换对称的,故最大值必然是当31===z y x 时取到,这时35121212=+=+=+z y x ,从而得到下面证明思路与方向 【解】利用基本不等式b a ab +≤2得351235)12(2++≤⨯+x x , 351235)12(2++≤⨯+y y ,351235)12(2++≤⨯+z z ,以上三式同向相加得1053)(235)121212(2=++++≤+++++z y x z y x ,所以化简得15121212≤+++++z y x ,所以当且仅当31===z y x 时121212+++++z y x 取到最大值15.一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的,则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.7:直接运用化为其它【例9】已知正数b a ,满足3++=b a ab ,求ab 的取值范围.含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。
巧用基本不等式求最值 李林
巧用基本不等式求最值李林基本不等式ab≤（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号），是人教版高中数学必修五第三章《不等式》第四小节内容。
利用基本不等式求最值是其重要应用之一，也是高考考查的一个热点问题，很多学生由于对基本不等式认识过于简单、片面，因此在应用时就会出现很多问题，知道要用基本不等式就是不知道怎么用，显得束手无策。
为此灵活应用基本不等式求最值的方法显得尤为重要，下面就通过几例来说明，希望能达到穿针引线的效果。
题型一：神奇的“1”的妙用例1：已知a>0,b>0,a+b=1,求y=+的最小值。
分析：注意到条件a+b=1,充分利用“1”代换。
解析：y=+=（+）（a+b）=5+（+）≥5+2·=9（当且仅当=，即a=时，等号成立）。
变式：设a>0,b>1,若a+b=2,求+的最小值。
分析：由a+b=2，得a+（b-1）=2-1=1，再用“1”代换。
解析：+=(+)×1=(+)×[a+（b-1）]=4+[+]≥4+2×=4+23。
〔当且仅当=，即a=3（b-1）时，等号成立。
〕题型之二：巧妙变形后，利用基本不等式例2：已知x＞3，求函数y=x+的最小值。
分析：巧妙变形后，使两项的积或和是定值的类型，再使用基本不等式。
解析：因为x>3，所以x-3>0，y=（x-3）++3≥2（x-3）+3=2+3=5（当且仅当x-3=，即x=4时，等号成立）。
变式：已知f(x)=（k＞0），若存在x>3，使得f(x)≥1成立，求k的最小值。
分析：这是一道函数与基本不等式的综合题型，在解题过程中要进行有效的变形处理，才能使用基本不等式。
解析：因为x>3，所以x-3>0，且x2+6k>0。
由f（x）≥1，得：2k≥=≥（x-3）++6≥2（x-3）+6=12，即k≥6，故其最小值为６（当且仅当x-3=，即x=6时，等号成立）。
题型04 利用基本不等式求最值(解析版)
秒杀高考数学题型之利用基本不等式求最值【秒杀题型二】：利用基本不等式求最值。
『秒杀策略』：条件：一正、二定、三相等。
①和定，积有最大值，当且仅当两正数取等号时最大。
②积定，和有最小值，当且仅当两正数取等号时最小。
在求最值时要学会三种方法：以母题为例说明三种方法。
【高考母题】：如果0,0,2,x y x y xy >>++=则x y +的最小值为 ( )A.32B.1+2 D.2 【解析】：方法一：基本不等式法：思路：求y x +的最值要把xy 通过22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x xy 放缩到y x +，22)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤=+-y x xy y x ，得232-≤+y x ，选C 。
方法二：万能方法：思路：把所求的式子设为t ，与已知条件代入消元（含两个变量）转化为一元二次不等式，如含一个变量直接转化为一元二次不等式，令0≥∆得到t 的范围。
设t y x =+，代入得022=-+-t tx x ，0842≥-+=∆t t ，得322--≤t （舍去），232-≥t 。
方法三：秒杀方法：思路：当已知条件与所求式子中变量．．．．．．．．．．．．．(．双变量．．．)．系数一致时．．．．．(．或能配成一致时，只考虑一．．．．．．．．．．．．次和或平方和前的系数，乘积不用考虑，因为乘积可以配任意需要的系数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．.．这种方法叫地位等价法求最值，．．．．．．．．．．．．．．当取等号时取到最值。
．．．．．．．．．．已知条件与所求式子中x 的系数均为1，y 的系数均为1，则当y x =时取到最值，即31+-==y x 时取到最值232-。
1.(2007年新课标全国卷7)已知0x >,0y >,y b a x ,,,成等差数列，y d c x ,,,成等比数列，则2()a b cd +的最小值为 ( )A.0B.1C.2D.4【解析】：基本不等式xy y x 2≥+，由等差与等比数列的性质得：22()()44a b x y xy cd xy xy++=≥=，选D 。
(完整版)一题多解之利用基本不等式求最值
一题多解之利用基本不等式求最值用基本不等式求函数的最大(小)值是高中数学的一个重点,三个条件必须同时具备，才能应用，即“一正，二定，三相等”.在具体的题目中“正数”条件往往易从题设中获得，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧.因此,“定值”条件决定着不等式应用的可行性.这是解题成败的关键。
例、已知正数a,b 满足311=+b a ，求b a +的取值范围。
思路点拨：一种思路是根据划归思想，二元转化为一元，即利用311=+b a 将ba +中的b 用a 表示，然后用基本不等式求范围；另一种思路是对311=+b a 变形，获得b a +与ab 的关系，然后利用解不等式消去ab 建立b a +的不等式求解.解析：方法一：由311=+b a 得ab b a 3=+，13-=∴a a b ，由于a>0,b>0，可得31>a ，于是 )31(913113-++=-+=+a a a a a b a 3432)31(91)31(232)31(9131=+-⨯-≥+-+-=a a a a ， 当)31(9131-=-a a ，即32=a 时取等号，b a +∴的取值范围是),34[+∞令t ta a a g +-=33)(2，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>⨯--≥⨯-=∆+-=0)31(31323034)3(33)(22g t t t t ta a a g解得34≥t ， 所以b a +的取值范围是),34[+∞ 运用基本不等式求最值的技巧： 1、含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一 个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后， 在运用基本不等式。
2、妙用“1”的代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“1”的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常 数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数式进行变形整理，从而可利用基本 不等式求最值. 针对性练习：1.已知a ＞0,b ＞0,131,a b+=则a+2b 的最小值为( ) (A)726+(B)23 (C)723+ (D)14 解析：选A.()133a 2b a 2b a 2b ()16726,a b b a+=++=+++≥+Q ∴a+2b 的最小值为72 6.+ 2.若-4＜x ＜1，则2x 2x 2f (x)2x 2-+=-( ) (A)有最小值1 (B)有最大值1 (C)有最小值-1 (D)有最大值-13.已知0＜x ＜1，则4y lgx lgx=+的最大值为_________. 解析：∵0＜x ＜1，∴lgx ＜0，-lgx ＞0. ()4y lgx ()244lgx∴-=-+-≥=，即y ≤-4. 当且仅当41lgx x lgx 100-=-=，即时等号成立，故y max =-4. 4.已知函数2x 2y (x 2).x x 1+=-++＞ (1)求1y 的取值范围； (2)当x 为何值时，y 取何最大值？5.已知a>0,b>0，a+b=2,则14a b+的最小值是( )(A)72(B)4 (C)92(D)5解析：选C.由已知可得14a b1412a b()2a b2a b2b2a++=⋅+=+++≥52a b922b2a2+⋅=，当且仅当24a b33==，时取等号，即14a b+的最小值是92.6.若a>0,b>0,且a+b=1，则ab+1ab的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)174(D)227.已知f(x)=log2(x-2)，若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3，则m+n的最小值为( )(A)5 (B)7 (C)8 (D)9解析：选B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3，即log2［(m-2)(2n-2)］=3，因此m2,n1,(m2)(2n2)8.>⎧⎪>⎨⎪--=⎩于是4n1.m2=+-所以444m n m1m232(m2)37.m2m2m2+=++=-++≥-=---g当且仅当4m2,m2-=-即m=4时等号成立，此时m+n取最小值7.。