第四章 随机随机模拟方法1
随机模拟的方法和应用
随机模拟的方法和应用随机模拟是一种重要的数学方法，可以用来模拟各种现实世界中复杂的系统、行为和事件。
它的应用领域广泛，包括金融、统计学、天气预测、交通规划、工程设计等多个领域。
本文将简要介绍随机模拟的基础知识以及其在不同领域的应用。
1. 随机模拟的基础知识随机模拟的实质是通过计算机程序生成的一系列随机数，来模拟真实的随机过程。
因此，随机模拟的核心是随机数生成器。
随机数生成器需要生成能够代表真实随机事件的随机数，这需要考虑一些关键问题：如何确定随机数的分布、如何生成不相关的随机数、如何满足特定的统计性质等。
常用的随机数生成方法包括线性同余发生器、Marsaglia发生器、梅森旋转游程测试以及基于物理过程的随机数发生器。
这些方法在不同场合下各有优缺点，可以根据具体需求进行选择。
随机模拟的另一个基础是随机过程的建模。
随机过程是一组与时间有关的随机变量序列，用来描述某个系统、事件或行为的随机性质。
在进行随机模拟前，需要根据实际应用建立相应的随机过程模型，通常包括确定随机变量的分布、相关性结构以及参数等。
2. 随机模拟在金融中的应用在金融领域，随机模拟被广泛应用于风险管理、资产定价、投资组合优化等方面。
随机模拟可以通过模拟不断变化的金融市场来评估不同投资策略的风险水平和收益率。
其中，蒙特卡罗模拟是一种常用的方法，它通过生成随机数对股票价格进行模拟，以此来分析不同投资组合在不同市场情况下的表现。
此外，随机模拟还可以用来构建金融风险模型，包括VaR、CVaR等风险指标。
通过随机模拟的方法，可以不断地生成样本数据，并结合实际数据来计算风险指标，从而更加准确地评估金融投资风险。
3. 随机模拟在天气预测中的应用天气预测是一项非常重要的应用领域，也是随机模拟的重要应用之一。
天气系统具有复杂的非线性关系，因此难以建立确定性模型。
随机模拟通过计算机程序模拟大气系统、海洋系统等自然系统的复杂变化，提供了一种高效、准确的天气预测方法。
随机模拟方法总结
随机模拟方法总结引言随机模拟方法是一种基于概率和统计的数值计算方法，通过模拟随机事件的方式，来求解实际问题。
随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，特别是在金融、物理、计算机科学和工程等领域。
本文将总结随机模拟方法的基本原理和常用的应用场景。
基本原理随机模拟方法的基本原理是通过生成服从某种概率分布的随机数，并在该分布上进行采样，来模拟实际问题。
其基本步骤如下：1.确定概率分布：根据实际问题的特点和要求，选择合适的概率分布，如均匀分布、正态分布等。
2.生成随机数：利用确定的概率分布，生成服从该分布的随机数序列。
3.采样模拟：根据具体问题，对生成的随机数进行采样模拟，得到问题的解或近似解。
4.分析结果：对采样模拟得到的结果进行统计分析，评估其准确性和可靠性。
常用应用场景随机模拟方法在各个领域中都有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：金融风险评估在金融领域，随机模拟方法常用于风险评估。
通过模拟随机的市场变动、利率变化等因素，来评估投资组合的风险水平。
这些模拟结果可以帮助投资者做出更加准确的决策，降低投资风险。
物理系统模拟在物理学领域，随机模拟方法广泛应用于物理系统的建模和模拟。
通过随机模拟方法可以模拟分子动力学、粒子运动等复杂的物理现象，进一步深入理解和预测实验中观察到的现象。
计算机网络性能评估随机模拟方法可以用于评估计算机网络的性能。
通过模拟网络中的随机事件，如消息传输延迟、丢包率等，可以评估网络的性能指标，从而优化网络架构和改进网络协议。
工程系统仿真在工程领域，随机模拟方法可用于工程系统的仿真和优化。
通过模拟随机因素对工程系统的影响，可以评估系统的可靠性和性能，并进行系统优化设计。
常用模拟算法实际应用中，常用的随机模拟算法包括：•蒙特卡洛方法：通过随机采样和统计学方法，进行数值计算和模拟，如求解积分、求解微分方程等。
•马尔可夫链蒙特卡洛方法：利用马尔可夫链的性质，进行随机抽样和模拟，如在复杂系统中进行参数估计和优化。
风险理论第四章_随机模拟
例2 设随机变量X服从参数为l>0的指数分布，其 分布函数为 F(x) =1 - e -lx x>0
试用反函数法给出X的随机数。 解：令x=F-1(u)，则 或者 于是 u=F(x)=1- e -lx 1-u= e –lx 1 x ln( 1 u)
又 U ~ U [0,1]
1 U ~ U [0,1] 1 故 x ln u l 也为X的随机数。
u1 , u2 , , un
二、均匀随机数与伪随机数
对随机现象进行模拟，首要的问题是解决随机数的 生成问题，服从均匀分布U(0,1)的随机数是一切随 机模拟的基础。因而产生[0,1]区间上的服从均匀分 布的随机数是随机模拟的关键。 随机数应满足的条件：
＊ 统计特性好 ＊ 循环周期长 ＊ 计算简便
＊ 对解析模型进行验证。
模拟的基本步骤：
＊ 建立恰当模型；
＊ 设计试验方法；
＊ 从概率分布中重复生成随机数； ＊ 分析模拟结果。
步骤3是任何随机模拟的基本要素，本章将讨 论几种常用分布的随机数生成方法，并通过几个简 单例子来说明随机模拟方法在保险精算中的应用。
均匀随机数模拟定积分 计算
1
0
f ( x )dx
例1. 设w0＝3456，利用平方取中法，求服从区间
[0,1]上服从均匀分布的随机数列。
2 wn { wn 1的中间m位数字}
2 w 解： 0 11943936 则 w1 9439 , u1 0.9439 ; 2 w1 89094721 则 w 2 947 , u2 0.0947 ;
例2. 如果选择m＝999563，k＝470001，根据乘同 余法求出5个在区间[0,1]上服从均匀分布的随机数。
蒙特卡洛随机模拟方法
蒙特卡洛随机模拟方法一、概述蒙特卡洛随机模拟方法是一种基于随机数的数值计算方法，它通过随机抽样来模拟实验过程，从而得到实验结果的概率分布。
在金融、物理、工程等领域有着广泛的应用。
二、基本思想蒙特卡洛随机模拟方法的基本思想是通过大量的随机抽样来模拟实验过程，从而得到实验结果的概率分布。
其主要步骤包括：1. 确定问题和目标：确定需要解决的问题和目标，例如计算某个事件发生的概率或者某个变量的期望值。
2. 建立模型：建立与问题相关的数学模型，并将其转化为计算机程序。
3. 生成随机数：根据所选用的分布函数生成符合要求的随机数。
4. 进行模拟实验：利用生成的随机数进行多次重复实验，并记录每次实验结果。
5. 统计分析：对多次重复实验结果进行统计分析，得到所需结果。
三、常用应用1. 金融领域中对衍生品价格进行估值；2. 工程领域中对结构可靠性进行评估；3. 物理领域中对粒子运动进行模拟；4. 生物领域中对药物作用机制进行研究。
四、具体步骤1. 确定问题和目标：首先需要明确需要解决的问题和目标，例如计算某个事件发生的概率或者某个变量的期望值。
2. 建立模型：建立与问题相关的数学模型，并将其转化为计算机程序。
例如，如果需要计算某个事件发生的概率，可以采用蒙特卡洛方法生成符合要求的随机数，并根据随机数判断事件是否发生。
如果需要计算某个变量的期望值，可以通过多次重复实验得到该变量在不同条件下的取值，并根据统计学原理计算其期望值。
3. 生成随机数：根据所选用的分布函数生成符合要求的随机数。
常见的分布函数包括均匀分布、正态分布、指数分布等。
4. 进行模拟实验：利用生成的随机数进行多次重复实验，并记录每次实验结果。
通常情况下，需要进行大量重复实验才能得到准确可靠的结果。
5. 统计分析：对多次重复实验结果进行统计分析，得到所需结果。
常见的统计分析方法包括求和、平均值、方差等。
五、优缺点1. 优点：蒙特卡洛随机模拟方法具有灵活性、精度高、适用范围广等优点，可以处理各种复杂问题，并且可以通过增加样本容量来提高精度。
随机模拟总结
随机模拟总结引言随机模拟是一种常见的数值计算方法，通过对概率分布进行随机抽样来模拟某种现象的统计特性。
它在各个领域都有广泛的应用，如金融、物理学、生物学等。
本文将介绍随机模拟的基本原理、常见的应用场景以及优缺点，并提供一些实例来帮助读者更好地理解和应用随机模拟方法。
随机模拟的基本原理随机模拟的基本原理是基于概率论和随机过程的理论，通过生成服从特定概率分布的随机变量来模拟某个随机现象。
在随机模拟中，我们通常使用随机数发生器来生成伪随机数序列，然后利用这些伪随机数来模拟目标分布。
随机模拟通常包括以下几个步骤：1.选择合适的概率分布函数：根据所模拟的现象和问题的特点，选择合适的概率分布函数作为随机模拟的基础。
2.生成随机数：利用随机数发生器生成服从选定概率分布函数的随机数。
3.运用模拟方法：使用生成的随机数来模拟目标现象，并收集统计数据。
4.分析结果：对模拟得到的数据进行统计分析，得出所关注问题的结果或得到近似解。
随机模拟的应用场景随机模拟在各个领域都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：金融领域在金融领域，随机模拟常用于风险管理、投资组合优化等问题。
通过模拟市场价格的随机变动和投资组合的收益率，可以评估不同投资策略的风险水平和回报潜力，帮助投资者做出更明智的决策。
物理学领域在物理学研究中，随机模拟常用于模拟粒子运动、统计物理系统的行为等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟粒子在给定势能场中的运动轨迹，从而研究物理系统的性质和行为。
生物学领域在生物学研究中，随机模拟常用于模拟遗传演化、蛋白质折叠等问题。
通过生成服从特定概率分布的随机数，可以模拟基因突变的发生、蛋白质的折叠过程等，从而深入了解生物体内的复杂过程和机制。
随机模拟的优缺点随机模拟方法具有一些显著的优点和一些限制性缺点。
优点1.灵活性：随机模拟方法可以适应各种问题和模型，能够模拟多种复杂的现象和系统。
2.实用性：随机模拟方法可以直接从统计样本中获取信息，使得相关问题的求解更加直观和实用。
数学实验_第四章概率论与数理统计
>> n=40; >> p=1-nchoosek(365,n)*factorial(n)/365^n 运行结果： p= 0.8912
2．某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知所有这 12 次接待 都是在周二和周四进行的， 问是否可以推断接待时间是有规定的？ >> p=2^12/7^12 %接待时间没有规定时， 访问都发生在周二和周四 的概率 运行结果： p= 2.9593e-007 此概率很小，由实际推断原理知接待时间是有规定的。
概率概念的要旨是在 17 世纪中叶法国数学家帕斯卡与 费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论" 合理分配赌注问题"， 在概率问题早期的研究中， 逐步建 立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本 性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：人 口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和 质量控制等， 这些问题的提出， 均促进了概率论的发展。
实验一
排列数与组合数的计算
【实验目的】 1．掌握排列数和组合数的计算方法 2．会用 Matlab 计算排列数和组合数 【实验要求】 1．掌握 Matlab 计算阶乘的命令 factorial 和双阶乘的命令 prod 2．掌握 Matlab 计算组合数的命令 nchoosek 和求所有组合的命令 combntns
蒙特卡洛随机模拟方法
蒙特卡洛随机模拟方法摘要：蒙特卡洛随机模拟方法是一种通过随机采样和统计分析来解决数学问题的方法。
本文将从蒙特卡洛方法的起源、原理、应用以及优缺点等方面进行全面、详细、完整且深入地探讨。
1. 引言蒙特卡洛随机模拟方法是20世纪40年代由于法国科学家Stanislaw Ulam和美国科学家John von Neumann等人共同发展起来的一种重要的计算方法。
该方法通过随机数生成和统计分析的过程，模拟复杂的随机现象，解决各种数学问题，应用于各个领域。
2. 原理蒙特卡洛随机模拟方法基于大数定律和中心极限定理，通过生成大量的随机样本，对概率分布进行模拟和逼近，从而得到所求问题的近似解。
其基本原理可以归纳为以下几个步骤：1.建立数学模型：确定问题的数学模型，并将其转化为可计算的形式。
2.生成随机数：根据概率分布和随机数生成器，产生满足要求的随机数。
3.模拟实验：根据生成的随机数，进行模拟实验，并记录相应的结果。
4.统计分析：对模拟实验的结果进行统计分析，得到所求问题的近似解。
3. 应用蒙特卡洛随机模拟方法在各个领域有着广泛的应用，以下列举了部分典型的应用场景：3.1 金融领域蒙特卡洛方法在金融领域中被广泛应用于风险评估、期权定价、投资组合优化等问题。
通过模拟股价的随机波动，可以对不同的金融产品进行风险评估，提供决策支持。
3.2 物理学领域在物理学领域，蒙特卡洛方法被用于模拟粒子的运动轨迹、计算量子态的性质等问题。
通过生成大量的随机数，可以模拟复杂的物理过程，得到实验无法观测到的信息。
3.3 生物学领域生物学中的蒙特卡洛方法主要应用于蛋白质结构预测、基因表达调控网络的建模等问题。
通过随机模拟分子的运动，可以预测蛋白质的折叠结构，并推断其功能和相互作用关系。
3.4 工程领域在工程领域，蒙特卡洛方法通常用于模拟复杂系统的可靠性和优化设计。
通过对系统的不确定性进行随机抽样和模拟，可以评估系统的可靠性，并进行可靠性设计和优化。
随机模拟方法(中学课件201910)
(2)用0,1,2,3,表示下雨,4,5,6,7,8,9表示不下雨, 这样可以体现下雨的概率为0.4;
(3)每3个数作为一组,数出其中恰有2个数在 0,1,2,3中的组数m及试验总次数n;
(4)求得概率的近似值m/n.
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方法估计圆周率的值.
Y
分析:随机撒一把豆子,每个豆
子落在正方形内任一点是等可
能的,落在每个区域的豆子数
与这个区域的面积近似成正比,-1O1X
解 : (1)用计算机产生两组0 ~ 1之间的 均匀随机数,a1 RAND,b1 RAND; (2)进行平移和伸缩变换,a (a10.5) 2, b (b1 0.5) 2; (3)数出落在圆内的样本点数m及试验的 总次数n;
例2.假设每个人在任何一个月出生是等可能 的,用随机模拟方法,估计在一个有10个人的集 体中至少有两个人的生日在同一个月的概率.
解:(1)用计算产生1~12之间取整数值的随机 数;
(2)每10个数作为一组,数出其中至少有2个数 相同的组数m及试验总次数n;
(3)求得概率的近似值m/n.
例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟
随机模拟方法
小知识
用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
例1.天气预报说,在今后的3天中,每一天下雨 的概率均为0.4.求这3天中恰有2天下雨的概率.
分析:试验的结果有有限个,但每个结果出现 的可能性不同,因此不能用古典概率计算.
；
勇冠戎夷 不能保其首领 以至诛戮 夫二三子 非慎始而保终也 赞曰 君子立功 守以
分布函数与概率密度函数的随机模拟方法
分布函数与概率密度函数的随机模拟方法随机模拟方法在统计学和概率论中有着重要的应用，在众多应用领域中，模拟方法广泛应用于金融工程、风险管理、工程设计、物理学等领域。
在这些领域中，分布函数和概率密度函数是常见的数学概念，它们描述了一个随机变量的概率分布情况。
本文将介绍一些常见的随机模拟方法，用于模拟分布函数和概率密度函数。
一、基本概念回顾在介绍随机模拟方法之前，我们先回顾一下分布函数和概率密度函数的基本概念。
在概率论中，给定一个随机变量X，对于任意实数x，其分布函数F(x)定义为X≤x的概率。
而概率密度函数f(x)定义为X在x处的导数。
分布函数和概率密度函数是描述随机变量概率分布的两个重要函数。
二、逆变换法逆变换法是一种常用的随机模拟方法，通过生成服从均匀分布的随机数，然后利用分布函数的逆函数，将均匀分布的随机数转化为服从给定概率分布的随机数。
以正态分布为例，其分布函数为F(x)=1/2(1+erf((x-μ)/(σ√2)))，其中μ为均值，σ为标准差，erf为误差函数。
我们需要生成服从正态分布的随机数。
首先，生成一个均匀分布的随机数U，然后通过逆变换法可以得到服从正态分布的随机数X，公式为X=μ+σ√2·erf^(-1)(2U-1)。
其中erf^(-1)为误差函数的逆函数。
三、接受-拒绝法接受-拒绝法，又称为抽样-接受法，是一种常见的随机模拟方法，用于生成服从指定概率密度函数的随机数。
它的主要思想是通过一个辅助概率密度函数，来接受或拒绝生成的随机数，以使得生成的随机数服从目标概率密度函数。
以指数分布为例，其概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中λ为参数。
我们需要生成服从指数分布的随机数。
首先，选择一个辅助概率密度函数，例如均匀分布，即f(x)=1，当0≤x≤1时。
然后，生成两个服从均匀分布的随机数U1和U2，计算比值r=U2/(λe^(-λU1))。
如果r<=f(U1)，则接受生成的随机数X=U1；否则，拒绝生成的随机数，并重新进行上述步骤。
数学建模之随机性模型与模拟方法
使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在 处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一 好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂 性的增加，数学就变的太难。使用后者的好处在于 模型时基于观测到的数据而不是基于假设之上。增 加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数 理统计而得求助于模拟以及模型的统计结果。 在建立随机性模型时，首先要注意，将要处理的是 离散还是连续的随机变量。 1、离散随机变量 离散随机变量的理论模型是由概率函数 p x P X x 来刻画的。这个式子说明随机变量 X 取值 x 时的概 率。对于离散型的随机变量有下面三种重要的分布
2 1
(1)均匀分布
设连续型随机变量 X 具有概率密度
a xb 其他
1 , f ( x) b a 0,
则称 X 在区间（a，b）上服从均匀分布。 在区间（a，b）上服从均匀分布的随机变量 X ，具 有下述意义的等可能性，即它落在区间（a，b）中任 意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落 在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间 的位置无关。 （2）正态分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为 x 2 1 2 2 f ( x) e , x 2 其中 , 0 为常数，则称X 服从参数为 , 的
设一共投掷 n 次（ n 是一个事先选好的相当大 的自然数），观察到针和直线相交的次数为 m 。
从上式我们看到，当比值 l / a不变时， p 值始终 不变。取 m /nn为 p 的近似值，我们可以算出 的 m 近似值。可以想象当投掷次数越来越多时计算的结 果就越来越准确。下表时这些实验的有关资料 (此 处把 a 折算为1）：
随机模拟方法与应用答案
随机模拟方法与应用答案1.模拟掷骰子100次，统计每个点数出现的次数，并计算每个点数的概率。
答案：模拟方法：```pythonimport randomdef simulate_dice(:results = []for _ in range(100):result = random.randint(1, 6)results.append(result)return resultsdef count_dice_results(results):counts = [0] * 6for result in results:counts[result-1] += 1return countsresults = simulate_dicecounts = count_dice_results(results)probabilities = [count/100 for count in counts]print(probabilities)```2.模拟抛硬币1000次，统计正面出现的次数，并计算正面的概率。
答案：模拟方法：```pythonimport randomdef simulate_coin(:results = []for _ in range(1000):result = random.choice(['Head', 'Tail'])results.append(result)return resultsdef count_coin_results(results):count_head = results.count('Head')return count_headresults = simulate_coincount_head = count_coin_results(results)probability = count_head/1000print(probability)```3.模拟投掷两枚骰子1000次，统计两枚骰子点数之和为6的次数，并计算概率。
随机模拟方法在统计学中的应用
随机模拟方法在统计学中的应用统计学作为一门研究数据收集、分析和解释的学科，一直以来都在不断发展和进步。
随机模拟方法作为其中的一种重要工具，在统计学中发挥着重要的作用。
本文将探讨随机模拟方法在统计学中的应用，并从多个角度进行阐述。
首先，随机模拟方法在统计学中的一个重要应用领域是推断统计。
推断统计是通过对样本数据进行分析来推断总体特征的过程。
传统的推断统计方法通常基于某些假设，如正态分布假设等。
然而，在实际应用中，总体分布往往是未知的，或者假设不成立。
这时，随机模拟方法就可以通过生成随机样本，模拟总体的分布情况，从而进行推断统计。
例如，可以使用蒙特卡洛方法，通过生成大量的随机样本，来估计总体的参数、计算置信区间等。
其次，随机模拟方法在统计学中的另一个重要应用是模型检验。
模型检验是判断某个统计模型是否能够很好地拟合数据的过程。
传统的模型检验方法通常基于一些统计量，如卡方检验、t检验等。
然而，这些方法往往依赖于一些假设，如总体分布的特定形式等。
而随机模拟方法可以通过生成大量的随机样本，来模拟数据的分布情况，并与拟合的模型进行比较，从而进行模型检验。
例如，可以使用蒙特卡洛模拟方法，通过生成服从某个拟合模型的随机样本，来比较观察数据与模拟数据之间的差异，从而判断模型的拟合程度。
此外，随机模拟方法在统计学中还有广泛的应用，如抽样方法、优化问题等。
抽样方法是统计学中常用的一种数据收集方法，通过从总体中随机地选择样本，来推断总体的特征。
而随机模拟方法可以通过生成随机样本，来模拟实际抽样过程，从而帮助研究者更好地理解抽样方法的性质和特点。
优化问题是在给定约束条件下，寻找最优解的问题。
随机模拟方法可以通过生成大量的随机样本，来模拟优化问题的解空间，从而帮助研究者寻找最优解的方法和策略。
综上所述，随机模拟方法在统计学中具有重要的应用价值。
它可以帮助研究者更好地理解和解释数据，进行推断统计、模型检验、抽样方法和优化问题等方面的研究。
随机模拟方法(PPT)5-2
例3.在正方形内随机撒一把豆子,用随机模拟
方法估计圆周率的值.
Y
分析:随机撒一把豆子,每个豆
子落在正方形内任一点是等可
能的,落在每个区域的豆子数
与这个区域的面积近似成正比,
-用计算机或计算器模拟试验的方法称为 随机模拟方法,也称为蒙特卡罗方法.该方法 是在第二次世界大战期间兴起和发展起来的, 它的奠基人是冯.诺伊曼.
～谎言。 【编者】名编写的人；做编辑工作的人。 【编者按】（编者案）’名编辑人员对文章或消息所加的意见、评论等，常常放在文章或消息的前面。 【编织】ī动把细长的东西互相交错或钩连而组织起来：～毛衣◇根据民间传说～成一篇美丽的童话。 【编制】①动把细长的东西交叉组织起来，制成器物： 用柳条～的筐子。②动根据资； 教育品牌机构服务 教育品牌机构服务 ；料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。③名组织机构的设 置及其人员数量的定额和职务的分配：扩大～。 【编钟】名古代打击乐器，在木架上悬挂一组音调高低不同的铜钟，用小木槌敲打奏乐。 【编著】动编写； 著述：～历史教材。 【编撰】动编纂；撰写：～书籍。 【编缀】动①把材料交叉组织成器物；编结：～花环。②将有关的资料、文章等收集起来编成书；编 辑：～成书。 【编组】∥动把分散的人、交通工具等安排成一定形式的单位或单元。 【编纂】动编辑（多指资料较多、篇幅较大的著作）：～词典｜～百科 全书。 【煸】动烹调方法，把菜、肉等放在热油里炒：～锅｜～牛肉丝。 【蝙】［蝙蝠］（）名哺乳动物，头部和躯干像老鼠，四肢和尾部之间有皮质的膜， 夜间在空中飞翔，吃蚊、蛾等昆虫。视力很弱，靠本身发出的超声波来引导飞行。 【箯】［箯舆］（）名古代的一种竹轿。 【鳊】（鯿、鯾）名鳊鱼，身体 侧扁，头小而尖，鳞较细。生活在淡水中。 【鞭】①名鞭子：扬～｜快马加～。②古代兵器，用铁做成，有节，没有锋刃：钢～｜竹节～。③形状细长类似
第四章 随机随机模拟方法1
T1 / min
P(t )
0
5
10
T3 / min 28 30 32 34
P(t )
0.7 0.2 0.1
0.3 0.4 0.2 0.1
T 此人能及时赶上火车的充分必要条件为：1 T2 T3 ，所 p 以此人能赶上火车的概率模型为： {T1 T2 T3}。
R软件求解的总算法：
编写R程序
24
本节课结束
你学到了什么？
25
进行计算机统计模拟的基础是抽象现实系统的 数学模型
为了便于建模，对模型中使用的变量作出如 下假定：
T1 ：火车从A站出发的时刻；
T2 ：火车从A站到B站的运行时间；
：某人到达B站的时刻； ：随机变量 T2 服从正态分布的均值； ：随机变量 T2 服从正态分布的标准差；
T3
T 为了分析简化，假定13时为时刻t=0，则变量 T1 、 3 的分布律为：
（三）puffon随机投针实验
1777年Puffon（法）提出用投针实验求圆 周率Pi的问题。 间距为a的平行线，随机投掷一枚长为l（ l<a）的针，试求此针与一平行线相交的概 率P。
4
5
6
（四）Puffon投针的R实现
>source("buffon.R") >buffon(100000,l=0.8,a=1)##直接调用刚 刚编写好的“buffon”函数， 当然，l和a的取值由于在函数编写中已经 给出了，因此这里不必再给出， 可以直接用buffon（100000）。
#应用R软件对buffon投针实验进行模拟 pi的取值 #先编写“buffon”函数， buffon <- function(n, l=0.8, a=1){ k<-0 theta <- runif(n, 0, pi); x <- runif(n, 0, 1/2) for (i in 1:n){ if (x[i]<= l/2*sin(theta[i])) k <- k+1 } 2*l*n/(k*a)##函数最终输出的值，比如 当给定参数n时，输出2*l*n/(k*a) }
随机模拟
随机模拟随机模拟又称为Monte Carlo 方法，是一种采用统计抽样理论近似地求解数学问题或物理问题的方法。
它既可以用来研究概率问题，也可以用来研究非概率问题。
基本想法： 首先建立与描述该问题有相似性的概率模型。
利用这种相似性把概率模型的某些特征（如随机事件的概率或随机变量的平均值等）与数学分析问题的解答（如积分值，微分方程的解等）联系起来，然后对模型进行随机模拟统计抽样，再利用所得的结果求出这些特征的统计估计值作为原来的分析问题的近似解。
基本理论依据：大数定律。
一 引入随机模拟方法用于近似数值计算领域已有近百年的历史。
可追溯到历史上著名的蒲丰（Buffon ）投针问题。
（1） 蒲丰（Buffon ）投针问题平面上，画有等距离的平行线，平行线之间的距离为a ，（a>0），向平面上任意投一枚长为l （a l <）的针，试求针与平行线之间相交的概率。
又以φ表示针与此直线的夹角。
则：πφ≤≤≤≤02/0a x令A ：“针与平行线相交”，显然有“针与平行线相交”⇔“φsin 2lx ≤”。
则由几何概型有al d lS SA P a A ππϕϕπ2sin 2)(20=⋅==⎰Ω（*）若在（*）中以Nn 替代(估计))(A P ，⇒an lN2=π。
历史上有几位科学家做过此实验。
下表列出了其中的一部分实验结果： 人名 年份 N n 针长πWolf 1850 5000 2532 0.8 3.1596 Smith 1855 3204 1218 0.6 3.1514 Laggerini 1901 3408 1808 0.83 3.1415929 （2） 用Monte Carlo 方法计算面积考虑积分dx x f I ⎰=1)(，设],1,0[∈x 1)(0≤≤x f 。
这时积分I 等于由曲线)(x f y =，ox 轴和oy 轴以及x ＝1所围成的区域G 的面积。
现在向单位正方形区域（010,1≤≤≤≤y x ）中，随机地投掷一点，即它的两个坐标),(y x d i i ..～]1,0[U 。
几何概型和随机模拟方法
几何概型与随机模拟方法孙老师目录1几何概型2 2随机模拟方法31几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)=S AS,其中S A=构成事件A的区域长度(面积或体积)，S=试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).例1.1在区间[−1,1]上任取一个数x，则cosπ2x的值在区间[0,12]的概率为.解.这是一个典型的几何概型.0≤cos π2x≤12⇒−23≤x≤23所以S A=43,显然S=2.P=S AS=23.练习：假如你买了一件东西，快递员可能在早上6:30−−7: 30之间把快递送到你家，你离开家出去的时间在早上7:00−−8:00之间，那么你在离开家前能拿到快递(称为事件A)的概率是多少？2随机模拟方法随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。
这一方法源于美国在第二次世界大战期间进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。
该计划的主持人之一数学家冯·诺依曼用驰名世界的赌城–摩纳哥的Monte Carlo 来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
冯·诺依曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，MonteCarlo方法也是他的重要贡献。
事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。
早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来近似事件的“概率”。
18世纪下半叶，法国学者Buffon （蒲丰）提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。
这个著名的Buffon试验是Montc Carlo方法的最早尝试。
例2.1如图，正方形的边长为2，在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值.图1解.随机撒一把豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积成正比.因此这是一个典型的几何概型.豆子落在圆内的概率P=S1S，其中S1是圆的面积，S是正方形的面积.而豆子落在圆内的概率可以由豆子落在圆内的频率来近似.所以P=S1S=π4≈落在圆中的豆子数/落在正方形中的豆子数.这样就得到了π的近似值.我们用计算机模拟上述过程，步骤如下：(1)用Excel的RAND函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a,b;(2)经平移和伸缩变换，x=2(a−0.5),y=2(b−0.5),此时x,y 是区间[−1,1]之间的随机数；(3)计算出落在圆内(x2+y2<1)的点(x,y)的个数N1，计算π≈4N1N(N代表试验次数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的π的近似值的精度会越来越高.图2例2.2利用随机模拟方法计算图2中阴影部分（x ∈[0,π],y =sin x 和x 轴所围成的部分）的面积.图3解.在坐标系中画出矩形(x =0,x =π,y =0,y =1所围成的部分),用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值.具体步骤如下：(1)用Excel 的RAND 函数产生两组[0,1]之间的均匀随机数a ,b ；(2)经平移和伸缩变换，x =π·a ,y =b ,此时(x ,y )是矩形区域上的一个随机点；(3)计算出落在阴影内(y <sin x )的点(x ,y )的个数N 1，计算S ≈N 1N·π(其中N 是落在矩形区域的点的个数).如下表，可以发现，随着试验次数的增加，得到的S 的近似值的精度会越来越高(由定积分理论可以准确计算出S =2).图4练习：利用随机模拟方法近似计算图形的面积：y=x2+1和y=6所围区域的面积.图5。
随机模拟方法
程序%simu1.m clear i=2; w=0; x(i)=exprnd(10); c(i)=x(i); b(i)=x(i); while b(i)<=480 y(i)=unifrnd(4,15); e(i)=b(i)+y(i); w=w+b(i)-c(i); i=i+1; x(i)=exprnd(10);
随机模拟方法
在用传统方法难以解决的问题中， 某些问题含有不确定的随机因素，分析起 来通常比确定性的模型困难。 有的模型难做定量分析，得不到解析的结果或者是 有解析结果，但计算代价太大以至不能使用，在这种情况下，可以考虑随机模拟 的方法即 Monte Carlo 方法。该方法是一类以概率统计理论为指导的非常重要的 数值计算方法， 也是一种用于解决数值问题的基于计算机的统计抽样方法。 目前， 随机模拟方法已广泛应用于诸如生物信息学、统计物理学、计算机科学、材料科 学、金融学和经济学等领域。 基本知识 1. 基本思想 为了求解物理、数学、工程技术以及生产管理等方面的问题，首先建立一个 概率或者随机过程， 使它的参数等于问题的解；然后通过对模型或过程的观察或 者抽样实验来计算所求参数的统计特征， 最后给出所求解的近似值。而解的精确 度可用估计值的标准误差来表示。 该方法是一种独具风格的数值计算方法，其优 点大致有如下三方面： （A）方法的程序结构简单； （B）算法的概率性和问题的 维数无关； （3）方法的适应强。 2. 随机数和伪随机数 用 Monte Carlo 方法模拟某过程的时候，需要产生各种概率分布的随机变量。 最基本、 最简单、 最重要的随机变量是在 [0,1] 上均匀分布的随机变量。 为了方便， 通常把[0,1] 上均匀分布随机变量的抽样值成为随机数， 其他分布随机变量的抽样 都可以借助于随机数来实现，因此，随机数是随机抽样的基本工具。在计算机上 用数学的方法产生随机数是目前广泛使用的方法， 它的特点是占用内存少、产生 速度快、又便于重复产生，比如说平方取中法、移位指令加法、同余法等等。然 而这种随机数是根据确定的递推公式求得的， 存在着周期现象，初值确定后所有 随机的数便被唯一确定下来， 不满足真正随机数的要求，所以通常称数学方法产 生的随机数为伪随机数。 在实际应用中，只要这些伪随机数序列通过一系列的统 计检验，还是可以把它当称“真正”的随机数来使用。 3. 产生随机数的命令 在 Matlab 软件中，可以直接产生满足各种分布的随机数，命令如下： (1)产生 m n 阶 [ a, b] 均匀分布 U (a , b ) 的随机数矩阵：unifrnd (a,b,m, n)； 产生一个[ a, b] 均匀分布的随机数：unifrnd (a,b)； (2)产生 m n 阶 [0,1] 均匀分布的随机数矩阵：rand (m, n)； 产生一个[0,1] 均匀分布的随机数：rand； (3) 产生 m n 阶均值为 ，方差为 2 的正态分布的随机数矩阵：
计算机随机模拟方法
计算机随机模拟方法我跟你说啊，计算机随机模拟方法这事儿，我一开始真是瞎摸索。
那时候就听说这方法可神奇了，能解决好多复杂的问题，我就想试试。
我最初以为随机模拟嘛，那肯定就是乱搞一通呗。
我就写了一段代码，就想着让计算机随便产生一些数字，这应该就算随机模拟了吧。
结果搞出来的数据完全没用，这才发现根本不是那么回事。
然后我就去看书啊，上网查资料，原来这个随机模拟是有好多门道的。
比如说那个伪随机数，我以前根本不知道还有这东西。
我以为计算机产生的随机数就是真的随机的呢。
其实计算机是通过一定的算法来产生看起来像随机的数字，这就是伪随机数。
就好比我们小时候玩猜数字的游戏，你以为对方是乱出数字，但其实是有规律的，只是你没发现罢了。
后来我在做一个模拟投骰子的小项目的时候，就又对这个随机模拟方法有了更深的理解。
我得让计算机模拟投骰子，每次产生1到6之间的一个随机数。
开始我按照学到的基本方法，用了常见的随机数生成函数在程序里，但是发现模拟出来的结果和实际投骰子的概率有些不太对。
我仔细检查后才发现是我没有对随机数的种子进行正确的设置。
这就好比你种了一颗种子，要是种子没选好，长出来的植物肯定也不正常。
后来我把种子设置好了，按照正确的范围生成随机数，这次模拟的结果就和理论上扔骰子的概率很接近了。
还有啊，在进行资源分配的模拟时，我又碰到新问题了。
我想要让计算机模拟在一定资源下不同任务获取资源的可能性。
我一开始只聚焦在随机数的产生上，却忽略了整体的逻辑结构。
这就像是只关注了盖房子的一块砖，却没考虑房子整体的框架该怎么搭。
后来我重新规划了整个模拟的流程，把各个元素包括资源总量、任务类型和对应的获取资源规则等都考虑进去，然后用随机数在这个框架下进行模拟，这才算是比较成功地完成了这个资源分配的模拟。
我还试过在物理运动轨迹的模拟里应用随机模拟方法呢。
像模拟物体在有随机干扰下的运动轨迹，这时候就既要考虑基本的物理运动规律，又要把随机因素加进去。
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第三节 用蒙特卡洛方法求解确 定性问题
（一）计算定积分
为了简化计算，a=0，b=1。 计算定积分值也就是求曲边梯形的面积S， 常用方法有： (1).随机投点法
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记录实验次数N，成功次数M，用M/N作为概 率p的估计值，即可得出定积分I的近似解。
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(2).平均估值法
#应用R软件对buffon投针实验进行模拟 pi的取值 #先编写“buffon”函数， buffon <- function(n, l=0.8, a=1){ k<-0 theta <- runif(n, 0, pi); x <- runif(n, 0, 1/2) for (i in 1:n){ if (x[i]<= l/2*sin(theta[i])) k <- k+1 } 2*l*n/(k*a)##函数最终输出的值，比如 当给定参数n时，输出2*l*n/(k*a) }
[1]3.142986 还可以更改n的数值，与l、a的数值（见 表4-1） > buffon(100000,l=0.8,a=1) [1] 3.119334 > buffon(1000000,l=0.8,a=1) [1] 3.136941 调用已编号的R程序buffon.R进行模拟， > buffon(10000000,l=0.8,a=1) 取n=100000， [1] 3.142697 l=0.8，a=1。
实际问题 统计、逻辑 模型
计算机模拟（程序、算法）
实际解 统计、计算机解
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（二）随机模拟方法
一般地，随机模拟分类如下： 若按状态变量的变化性质分为连续随机模拟和离散随 机模拟。 而按变量是否随时间变化又可分为动态随机模拟和静 态随机模拟。 常用的随机模拟方法主要有以下几种： 1.蒙特卡罗法 2.系统模拟方法 3.其它方法：包括Bootstrap(自助法)、MCMC（马氏 链蒙特卡罗法）等。
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另一种求pi的方法
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MC1 <- function(n){ k <- 0; x <- runif(n); y <- runif(n) for (i in 1:n){ if (x[i]^2+y[i]^2 < 1) k <- k+1##在n个值当中，有多少个i满 足if函数 } 4*k/n }
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本节课结束
你学到了什么？
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进行计算机统计模拟的基础是抽象现实系统的 数学模型
为了便于建模，对模型中使用的变量作出如 下假定：
T1 ：火车从A站出发的时刻；
T2 ：火车从A站到B站的运行时间；
：某人到达B站的时刻； ：随机变量 T2 服从正态分布的均值； ：随机变量 T2 服从正态分布的标准差；
T3
T 为了分析简化，假定13时为时刻t=0，则变量 T1 、 3 的分布律为：
第四章 随机模拟方法
第一节 第二节 第三节 第四节 应用 第五节 拟 第六节
概述 随机模拟方法的特点 用蒙特卡罗方法求解确定性问题 随机模拟方法在随机服务系统中的 集装箱专用码头装卸系统的随机模
随机模拟方法在理论研究中的应用
1
第一节 概述
（一）随机（统计）模拟的定义
随机模拟即是计算机统计模拟，它实质上是计算机 建模，而这里的计算机模型就是计算机方法、统计模 型(如程序、流程图、算法等)，它是架于计算机理论 和实际问题之间的桥梁。它与统计建模的关系如下图。
①借助区间(0,1)分布产生的随机数，对 变量 T1、 T3概率分布进行统计模拟；
②根据变量 T1、T2 、T3 概率分布及模拟 程序、命令产生n 个随机分布数； ③使用随机产生的n 组随机数验证模型中 的关系表达式是否成立； ④计算n 次模拟实验中，使得关系表达 式成立的次数k ； ⑤当n 时，以
（三）puffon随机投针实验
1777年Puffon（法）提出用投针实验求圆 周率Pi的问题。 间距为a的平行线，随机投掷一枚长为l（ l<a）的针，试求此针与一平行线相交的概 率P。
4
5
6
（四）Puffon投针的R实现
>source("buffon.R") >buffon(100000,l=0.8,a=1)##直接调用刚 刚编写好的“buffon”函数， 当然，l和a的取值由于在函数编写中已经 给出了，因此这里不必再给出， 可以直接用buffon（100000）。
T1 / min
P(t )
0
5
10
T3 / min 28 30 32 34
P(t )
0.7 0.2 0.1
0.3 0.4 0.2 0.1
T 此人能及时赶上火车的充分必要条件为：1 T2 T3 ，所 p 以此人能赶上火车的概率模型为： {T1 T2 T3}。
R软件求解的总算法：
编写R程序
17
18
例：赶火车问题
一列列车从A站开往B站，某人每天赶往B站上车。他 已经了解到火车从A站到B站的运行时间是服从均值为 30min，标准差为2min的正态随机变量。火车大约下午13： 00离开A站，此人大约13:30到达B站。火车离开A站的时刻 及概率如表1所示，此人到达B站的时刻及概率如表2所示。 问此人能赶上火车的概率有多大？
k 作为此人能赶上 n
是
产生随机数 验证模型
关系式 成立 否
成立次数k=k+1
成立次数不变
试验次数 是否达到n次 是 计算估计结果 k/n
否
火车的概率p 的近似估计；
R 程序：
windows(7, 2)#作图窗口大小 prb = replicate(10, { #括号内程序重 复100次 x = sample(c(0, 5, 10), 1, prob = c(0.7, 0.2, 0.1)) y = sample(c(28, 30, 32, 34), 1, prob = c(0.3, 0.4, 0.2, 0.1)) plot(0:40, rep(1, 41), type = "n", xlab = "time", ylab = "", axes = FALSE) axis(1, 0:40) r = rnorm(1, 30, 2) points(x, 1, pch = 15) i=0 while (i <= r) { i=i+1 segments(x, 1, x + i, 1) if (x + i >= y) points(y, 1, pch = 19) Sys.sleep(0.1) } points(y, 1, pch = 19) title(ifelse(x + r <= y, "poor... missed the train!", "Bingo!catched the train!")) Sys.sleep(4) x+r>y }) mean(prb)
>source("MC1.R");MC1(100000) [1] 3.14268
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（五）统计模拟的一般步骤
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第二节 随机模拟方法的特点
（一）方法新颖、应用面广、适用性强 （二）随机模拟方法的算法简单，但计算 量大 （三）模拟结果具有随机性，且精度较低 （四）模拟结果的收敛过程服从概率规律 性
表1：火车离开A站的时刻及概率
火车离站时刻 概率
13:00 0.7
13:05 0.2
13:10 0.1
表2：某人到达B站的时刻及概率
人到站时刻 概率
Hale Waihona Puke 13:28 0.313:30 0.4
13:32 0.2
13:34 0.1
——问题的分析——
这个问题用概率论的方法求解十分困难，它 涉及此人到达时刻、火车离开站的时刻、火车 运行时间几个随机变量，而且火车运行时间是 服从正态分布的随机变量，没有有效的解析方 法来进行概率计算。在这种情况下可以用计算 机模拟的方法来解决。