模糊聚类分析方法

第二节 模糊聚类分析方法

在科学技术、经济管理中常常要按一定的标准（相似程度或亲疏关系）进行分类。例如，根据生物的某些性状可对生物分类，根据土壤的性质可对土壤分类等。对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。由于科学技术、经济管理中的分类界限往往不分明，因此采用模糊聚类方法通常比较符合实际。

一、模糊聚类分析的一般步骤

1、第一步：数据标准化[9]

（1） 数据矩阵

设论域12{,,,}n U x x x =为被分类对象，每个对象又有m 个指标表示其性状，

即

12{,,

,}i i i im x x x x = (1,2,

,)i n =，

于是，得到原始数据矩阵为

11

121212221

2

m m n n nm x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

。 其中nm x 表示第n 个分类对象的第m 个指标的原始数据。

（2） 数据标准化

在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使不同的量纲也能进行比较，通常需要对数据做适当的变换。但是，即使这样，得到的数据也不一定在区间[0,1]上。因此，这里说的数据标准化，就是要根据模糊矩阵的要求，将数据压缩到区间[0,1]上。通常有以下几种变换： ① 平移·标准差变换

ik k

ik

k

x x x s -'= (1,2,,;1,2,,)i n k m ==

其中 11n k ik i x x n ==∑，

k s = 经过变换后，每个变量的均值为0，标准差为1，且消除了量纲的影响。但

是，再用得到的ik

x '还不一定在区间[0,1]上。 ② 平移·极差变换

111min{}max{}min{}ik

ik i n

ik

ik

ik i n

i n

x x x x x ≤≤≤≤≤≤''-''=''-，(1,2,,)k m =

显然有01ik

x ''≤≤，而且也消除了量纲的影响。 ③ 对数变换

lg ik

ik x x '= (1,2,,;1,2,,)i n k m ==

取对数以缩小变量间的数量级。

2、第二步：标定（建立模糊相似矩阵）

设论域12{,,

,}n U x x x =，12{,,

,}i i i im x x x x =，依照传统聚类方法确定相似

系数，建立模糊相似矩阵，i x 与j x 的相似程度(,)ij i j r R x x =。确定(,)ij i j r R x x =的方法主要借用传统聚类的相似系数法、距离法以及其他方法。具体用什么方法，可根据问题的性质，选取下列公式之一计算。

（1） 相似系数法

① 夹角余弦法

21

m

ik

jk

ij m

ik

jk

k x

x r x

==

∑∑。

② 最大最小法

11()

()

m

ik

jk k ij m

ik

jk k x x r x

x ==∧=

∨∑∑。

③ 算术平均最小法

112()

()

m

ik jk k ij m

ik

jk k x x r x

x ==∧=

+∑∑。

④ 几何平均最小法

12()

m

ik jk k ij m

ik jk

k x x r x ==∧=

∑。

以上3种方法中要求0ij x >，否则也要做适当变换。 ⑤ 数量积法

1

1,

,

1

,,

m ij ik jk k i j r x x i j M ==⎧⎪

=⎨≠⎪⎩

∑，

其中 1

max()m

ik jk i j

k M x x ≠==∑。 ⑥ 相关系数法

2

1

(m

ik

i jk j

ij m

jk

k x

x x x r x

=--=

-∑∑

其中 11m i ik k x x m ==∑，1

1m

j jk k x x m ==∑。

⑦ 指数相似系数法

22

1()

13exp[]4m ik jk ij k k

x x r m s =-=-∑， 其中 211()n

k ik ik i s x x n ==-∑，

而 1

1n

k ik i x x n ==∑ (1,2,

,)k m =。

（2） 距离法

① 直接距离法

1(,)ij i j r cd x x =-，

其中c 为适当选取的参数，使得01ij r ≤≤，(,)i j d x x 表示他们之间的距离。经常用的距离有 ● 海明距离

1(,)m

i j ik jk k d x x x x ==-∑。

● 欧几里得距离

(,)i j d x x =

● 切比雪夫距离

1(,)m

i j ik jk k d x x x x ==∨-。

② 倒数距离法

1,,,,

(,)

ij i j i j M r i j d x x =⎧⎪

=⎨≠⎪⎩

。

其中M 为适当选取的参数，使得01ij r ≤≤。 ③ 指数距离法

exp[(,)]ij i j r d x x =-。

3、第三步：聚类（求动态聚类图）

（1）基于模糊等价矩阵聚类方法

① 传递闭包法

根据标定所得的模糊矩阵R 还要将其改造称模糊等价矩阵*R 。用二次方法求R 的传递闭包，即()t R =*R 。再让λ由大变小，就可形成动态聚类图。 ② 布尔矩阵法[10]

布尔矩阵法的理论依据是下面的定理： 定理2.2.1 设R 是12{,,

,}n U x x x =上的一个相似的布尔矩阵，则R 具有传

递性（当R 是等价布尔矩阵时）⇔矩阵R 在任一排列下的矩阵都没有形如