第4章-能量能量守恒定律

功率 —— 单位时间内所作的功
功率 P
lim
W
dW
F dr
Fv
t 0 t dt
dt
单位: 焦耳/秒 ( 瓦特) W
第四章 能量、能量守恒定律
【例题】一物体受到 F= -6x3 的力的作用，x 以米为单位，F 以 N 为单 位。问物体从 x=1.0 m 移到 x=2.0 m 时，力F 做了多少功？
第四章 能量、能量守恒定律
本章主要阐述三个问题： 1）动能和功，着重掌握变力作功。 2）保守力作功和势能。 3）能量守恒定律。
第四章 能量、能量守恒定律
动能和功
恒 力 的 功:
W F cos
r
F
r
单位 : 焦耳 ( 牛顿米 ) Nm
第四章 能量、能量守恒定律
变 力 的 功:
i
小段元功
Wi Wi
例题 汤川势 Yukawa Potential 是描述两个核子之间的核力,
EP
EP0
r0 r
r
e r0
,
E P0 8.0 1012 J ,
能零点的过程中，保守力所作的功。
第四章 能量、能量守恒定律
几点说明： ① 势能是属于以保守力相互作用着的整个系统的，它实质上是一种
相互作用能，因此，单一物体是不存在所谓势能的。
② 势能是相对的，与零点的选择有关，而势能差是绝对的，与零点 的选择无关。
③ 势能是位置的能量。
④势能是与保守力作功有关的概念。对于非保守力作功，不能引用势 能的概念。
第四章 能量、能量守恒定律
重力势能: 引力势能: 弹性势能:
地面( h 0 ) 为零点 E重 m gh
无穷远 ( r )为零点
mM E引 G r
平衡位置 ( x 0 )为零点
E弹
1 mx2 2
b
W F dr EP (EPb EPa ) EPa EPb
a
重 力: ha hb W m gha m ghb
Fi cosi
dW F
ri dr
Fi
ri
W
dW
b
F
dr
a
定
义
:
力F作
用于质点使之产生位移元dr,
力F对质点所作的元
功是
dW
F dr
F
drcos
Fds cos
W
rb F dr
b
F cosds
ra
a
单位 : 焦耳(J ) 牛顿米( N m)
对于功的概念，需要明确：①标量 ②过程量 ③曲线积分。
引 力: ra rb
mM
mM
W ( G ) ( G )
ra
rb
弹 性 力: xa xb
W
1 2
kxa 2
1 2
kxb
2
第四章 能量、能量守恒定律
己
知
保
守
力F
路径积分
势
能
b F dr E p E pa E pb
已知势能
微分
保 守 力F
a
dE p dW F dr Fxdx Fydy Fzdz
1 2
mv
0
2
1 mv 2 2
0
v 2.3 m s
第四章 能量、能量守恒定律
本章主要阐述三个问题： 1）动能和功，着重掌握变力作功。 2）保守力作功和势能。 3）能量守恒定律。
第四章 能量、能量守恒定律
我们以重力作功为例来定义保守力。
h
设一质量为m的物体，在重力G的作用下，从 h dh
dr
a
定义 : 1 mv 2为质点的动能 2
EK
1 mv 2 2
功与动能虽然它们的单位和量纲相同，但却有本质的区别：功是过程量，动 能是状态量。功是能量（动能）变化的量度；
第四章 能量、能量守恒定律
质点动能定理----------合力对质点所作的功等于质点动能的增量。
W
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
W
r2
F
dr
x2
6x3
dx 6 x 4
x2 2
22.5
J
r1
x1
4
x1 1
第四章 能量、能量守恒定律
质点动能定理
v
dW
F
dr
F
drcos
Fds cos
F
b
drF v0
F
cos
ds
Ft ds
m
dv dt
ds
mvdv
W
b
dW
a
v
mvdv
v0
1 mv 2 2
1 2
mv
2 0
令 dy dz 0
Fx
(
dE p dx
)y, z
E p x
Fy
E p y
Fz
E p z
F
(
E p
i
E p
x y
j
E p z
k )
E p
势能梯度
斥力 : E p ＜ 0 x
引力 :
平衡位置 : E p 0 (极值) x
E p ＞ 0 x
2Ep x 2
＞0
(极 小 值)
第四章 能量、能量守恒定律
a点沿任意曲线acb运动到b点。a点和b点距地
h
c
面的高度分别为ha和hb。
ha a
Gd
在任意位移元dr中, 重力G所作的功为
dW
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G
dr
G
drcos
mgds cos
mgdh
hb
( dh ds cos( ) ds cos )
b
hb
W mgdh mgha mghb
o
ha
可见，重力作功只与物体的始、末位置（ha和hb）有关，而与物体经 过的路径无关。也就是说，如果物体沿另一路径adb从a点运动到b点，重
函数，称为势能函数，简称势能，用EP表示。
可以定义
b W F dr E P (E Pb E Pa ) E Pa E Pb
a
物理意义：保守力所作功等于系统势能增量的负值。
上式只定义了势能差,
若设E Pb
0,
则E Pa
b
F
dr
a
物理意义：系统在任一位置时的势能等于从该位置沿任意路径到势
EK
EK0
【例题】一质量 m =10㎏ 的物体在合力 F = 3+4 x（SI）的作用下，沿 X 轴运动。设物体 开始时静止在坐标原点，求该物体经过 x = 3 m 处时的速度？
由功的定义
3
W
Fdx 3 4xdx
3x 2x2
3 27 J
0
0
由质点动能定理
W
EK
1 mv 2 2
力所作的功是一样的。我们把具有这种性质的力称为保守力。
第四章 能量、能量守恒定律
由保守力作功与路径无关可知，保守力沿任意闭合路径绕行一周时所
作的功等于零。即
F
dr
0
这样一来，保守力可用两种方式定义：
（1）保守力是这样一种力，它所作的功与路径无关，仅与始、末位 置有关。 （2）保守力是沿任意闭合路径作功为零的力。
可以证明，上述两种定义是完全等效的。
在力学中常见的力有重力（万有引力）、弹力、摩擦力等。我们 可以证明：重力、万有引力、弹性力、静电力等作功与路径无关，是
保守力。摩擦力、磁场力、生物力等作功与路径有关，是非保守力。
第四章 能量、能量守恒定律
如果系统的内力是保守力，而保守力作功与路径无关，只决定于 始、终态的相对位置。因此，系统内存在一个由相对位置决定的状态