【大学物理实验(上)】第5章 振动和波动

A
t=0时，矢量与坐标轴的夹角等于初相，
A 矢量 以角速度 逆时针作匀速圆周运动，
y
M
t A
研究端点 M 在 x 轴上投影点P的运动。
ox P x
1.M 点在 x 轴上投影点的运动
x A cos(t ) 为简谐振动。
2.M 点的运动速度
v A
在x轴上投影速度
vx A sin(t )
mat
ml
d 2
dt 2
d 2 g sin 0
dt2 l
当 <5 时，
sin
d 2
dt2
g
l
0
令 2 g ,
l
d 2
dt 2
2
0
l
T
结论：在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。
周期
T 2 2
l g
mg
3.简谐振动的速度和加速度
简谐振动运动方程（振动方程）：
x Acos(t )
第五章
振动和波动
§5.1 简谐振动
振动是一种重要的运动形式，自然界中普遍存在。
• 振动的一般概念 广义的说，任何一个物理量在一个定值附近随时间反复变化的现象都可以叫
做振动。 特点：有定值；具有重复性。
•振动的分类： 电磁振荡：电磁场中的电场强度和磁场强度随时间作周期性变化的现象。 机械振动：物体在同一路径的一定位置附近作重复往返运动称为机械振动。
本章通过讨论机械振动认识振动共性。 最简单、最基本的振动是简谐振动，存在于许多物理现象中。 复杂的振动都可以分解为一些简谐振动的叠加。
5.1.1 简谐振动的描述 1.简谐振动的引入
F弹 x
• 以弹簧振子为例 弹簧质量不计,不计摩擦， 将物体视为质点。
ox
建立坐标系，坐标原点O选在弹簧平衡位置处。
回复力： F弹 kx
简谐振动的速度：
v dx A sin(t )
dt
简谐振动的加速度：
a dv A 2 cos(t )
dt
F ma mA2 cos(t ) m2x kx
简谐振动的最大速度值： 简谐振动的最大加速度值：
vm A
am A2
4.描述简谐振动的物理量
简谐振动的振动方程：
x Acos(t )
2
பைடு நூலகம்
y
A
o 0
y
x y
A
2
o
x
A
o
x
y
3
2
o
x
A
例：质点沿x轴作简谐振动,振幅A=0.12m，周期T=2s，当t=0时，质点对平衡位置的位 移x0=0.06m，此时刻质点向x轴正向运动。求：(1)此简谐振动的振动方程；(2)从初始 时刻开始第一次通过平衡位置的时刻。
A t+ T
物理模型与数学模型比较 简谐振动 振幅 初相 相位 圆频率
简谐振动周期
旋转矢量 半径
初始角坐标 角坐标 角速度
圆周运动周期
旋转矢量法确定初相位：
y
x 0,v 0 在第Ⅰ象限 x 0, v 0 在第Ⅱ象限
x 0
x0
v0
v0
Ⅱ
Ⅰ
A
x 0, v 0 在第Ⅲ象限 x 0,v 0 在第Ⅳ象限
定义：凡是决定其位置的坐标按余弦（或正弦）函数规律随时间变化的振动都是 简谐振动。
强调：简谐振动的振动方程只能用余弦函数表示！
2.简谐振动的判据
1.判断合外力（或合外力矩）与物体离开平衡位置的位移（或角位移）是否成F=-kx 的形式。
2.判断位移与时间是否满足微分方程： 3.判断物体的运动是否满足方程： 例：证明竖直悬挂弹簧的运动是简谐振动。
v0 A sin ②
①2+(②/ )2， x02 (v0 / )2 A2, A
②/①有：
tg v0 / A v0
x0 / A
x0
x02
( v0
)2
在0~2之间有两个解，但只有一个解符合要求，为此要根据已知的x0、v0的正负 来判断和取舍。
5.1.2 简谐振动的旋转矢量表示法
在平面上作一坐标轴Ox，由原点O作一长度等于振幅的矢量 。
初相位
—t=0时物体的相位，
x Acos(t )
(t)=t+相位
—物体在任一时刻t的相位。
对一个确定的简谐振动，一定的相就对应于振动质点一定时刻的运动状态，即一定 时刻的位置和速度。
在简谐振动中，常用相来表示质点的某一运动状态。 相的概念在比较两个同频率的简谐振动的步调时特别有用：
两个同频率简谐振动：
x位移 — 振动物体离开平衡位置的位移。
A振幅 — 物体离开平衡位置的最大距离。
圆频率
—由系统本身的性质决定。
周期T —物体完成一次全振动所用的时间。
频率 — 单位时间内物体完成全振动的次数。
弹簧振子：
k
m
单摆：
g
l
周期、频率和圆频率三者的关系：
T 1 2
结论：简谐振动的周期和频率完全由这个系统本身的性质决定。
3.M 点的加速度
a A 2
在x轴上投影加速度
y
v
M vx
ax
A2
t A
ox P x
ax A2 cos(t )
这种以一个匀速旋转的矢量 转矢量法。
，在Ox轴上的投影A来表示简谐振动的方法，称为旋
旋转矢量法是由于简谐振动具有周期性这一特点而产生的描述质点运动的特殊 方法。
在简谐振动表达式x=Acos( t+ )中，( t+ )叫做振子在t时刻的相位。在旋转矢 量中，它还有一个直观的意义：在t时刻振幅矢量和x轴的夹角。
d 2x dt 2
2x
0
x A cos(t )
证明：平衡位置
mg k | x0 |
在任意位置 x 处，合力为：
F mg k(| x0 | x) kx
物体仍受回复力作用，作简谐振动。
x0
o
x
x
例：单摆的运动。 质量集中于小球上，不计悬线质量。
取逆时针为 张角正向。
切向：
mg
s in
x1 A1 cos(t 1), x2 A2 cos(t 2 ),
它们的相位差：
(t 2) (t 1) 2 1
5.振幅与初相的确定
x A cos(t )
初始条件： t 0, x x0 , v v0 由 x Acos(t ),v 得：A sin(t )
x0 A cos ①
加速度：
a
d2x dt 2
F弹 m
k x m
即：
d2x dt 2
k m
x
0
令
线性谐振子
k m
有：
d2x dt 2
2
x
0
简谐振动微分方程
解微分方程得到简谐振动运动方程（振动方程）：
x A cos(t )
A为振幅， 为初相位。
k 称为圆频率，只与弹簧振子性质有关。 m
F弹 x
ox
结论：线性振子系统中物体离开平衡位置的位移是时间的余弦函数。
o x 0 Ⅲ
Ⅳ
v0
x
x0 v0
t 0
x0 A / 2
v0 0
3
y
x0 Acos
v0 A sin
tg
v0 x0
/ A
/A
v0
x 0
A
3
o
x
几种特特殊位置初相位：
t 0
x0 A v0 0
0
x0 0
v0 0
2
x0 A v0 0
x 0 0 3
v0 0